[danizafa]

Continuo con la charla de Café...

Justo que andaba necesitando un café!

Richard, hay partes que reconozco familiares. Otras que me han mareado un poco.

Pero lo que rescato es que con todo eso has llegado a la ecuación correcta:

Mediante la solución de una ecuación diofántica se puede  hallar ese $$n$$ mínimo, aunque existirán infinitos otros naturales mayores que $$n$$ que también pueden transitar la misma secuencia, pero solo estamos interesados en el mínimo. La ecuación en cuestión es $$2^d n_f = 3^m n_0 + C$$ donde $$C$$ es una constante que depende de la secuencia , $$m$$ es el número de veces que aparece $$Q$$ en la secuencia y $$d$$ es la longitud de la secuencia  es decir la suma de la cantidad $$m$$ de $$Q$$  y la cantidad $$t$$ de $$W$$ presentes , $$n_0$$ es el número que inicia la secuencia y $$n_f$$ el número final. 

Pero ojo! Hay un detalle que estás interpretando mal. $$n_0$$ no es el $$n$$ mínimo, nada en esa ecuación indica el tamaño de $$n$$ respecto al grupo de $$n_i$$, sino que de hecho esa es la ecuación que te posiciona a $$m$$ iteraciones $$Q$$ y las correspondientes $$K$$ para que $$n_f$$ sea el valor final.

Esa ecuación describe exactamente la ruta de Collatz desde $$n_0$$ a $$n_f$$, o viceversa. Pero no dice nada sobre que $$n_0$$ es un valor mínimo.

Fijate que es exactamente la ecuación que vengo trabajando:

\[2^Q n_m = 3^m n_0 + C\]

Esta es la ecuación de la dinámica y en cada paso se cumple. Si fijas un $$n_0$$ y un $$m$$, $$Q$$ se determina automáticamente al igual que $$n_m$$.
Si elegís un $$n_0$$ y un $$n_m$$ que esté en la sucesión, vas a poder encontrar $$Q$$ y $$m$$. Si partis de un $$n_0$$ y asignas las secuencias de $$q_i$$ vas a encontrar $$n_m$$ y $$m$$ depende de la cantidad de elementos $$q_i$$ que definiste.

Lo que no podés hacer, es fijar $$n_m$$ y $$n_0$$ e intentar alterar siquiera el orden de los $$q_i$$, por mas que acumule lo mismo, estás definiendo otra ruta. Los $$q_i$$ además solo pueden modificarse en iteración inversa, por lo que si conmutas el orden con un $$n_m$$ fijo, vas a llegar a otro $$n_0$$.

En definitiva, yo identifico 4 elementos: $$n_0, \, n_m, \, m, \, \{q_0,q_1,\dots, \, q_{m-1}\}$$

Pero en la iteración directa, dado un número inicial, no es posible elegir esas secuencias $$q_i$$.

Si haces una inversa, a partir de un número final, podés elegir la secuencia, pero esa elección te va a llevar siempre a un inicial distinto.

\[ n_m = \frac{3^m n_0 + C}{2^Q} \]

\[n_0 = \frac{2^Q n_m - C}{3^m}\]

Son las 2 derivaciones de la que puse antes:

\[2^Q n_m = 3^m n_0 + C\]

Y el tema que cierra la dinámica es como se comporta $$C$$, ya que tiene una forma muy particular

\[C = \sum_{j=1}^{m} 3^{m-j} \, 2^{Q_{j-1}}\]

Ahora, si vos te planteas que tu ecuación siempre tome $$n_0$$ y $$n_f$$ impares, ya podemos hablar de lo mismo, para esto debés contemplar los pasos $$W$$ que siguen a $$Q$$ hasta que el siguiente paso deba ser $$Q$$, sino esto:

$$2^d n_f = 3^m n_0 + C$$

Permite $$n_f$$ pares. Y tenés el problema también que podés tomar $$n_0$$ pares. ¿Por qué parece un problema? Porque esos bordes te distorsionan $$2^d$$ y $$C$$ en definitiva. Supongamos que $$n_f$$ es par. Entonces podrias expresar eso mismo así:

\[2^d \frac{ n_f}{2^a} = 3^m n_0 + C\]

donde $$a$$ es la cantidad de pasos $$K$$ que podes aplicar hasta un impar, entonces:

\[2^{d-a} n_{f+a} = 3^m n_0 + C\]

Ahora supongamos que partís desde un $$n_0$$ par, entonces aplicar esa fórmula no es correcto, ya que $$3 \cdot n_0$$ lo harías solo en caso de que $$n_0$$ sea impar. Para que la fórmula sea válida:

\[2^d n_f = 3^m \frac{n_0}{2^a} + C\]

primero debés dividir $$n_0$$ hasta poder aplicar $$3n+1$$. ¿A dónde ponemos ese denominador? Ese denominador ajusta justamente $$C$$. Por eso lo correcto para trabajar esa fórmula es con el mapa reducido a impares. Sino debés normalizar el $$n_0$$ para que sea impar antes de aplicarla. Y bueno, podés terminar en número par, pero también estás desaprovechando que tener un factor $$2^d$$ que en realidad puede absorber los factores $$2^a$$ del número par.

[Richard R Richard]

Hola Danizafa, si en efecto la ecuación  diofántica que presenté tiene múltiples  soluciones para los enteros, relaciona dos números que estarán a cierta distancia en la misma órbita, por supuesto  hay una cota inferior que me interesa en el conjunto  de los naturales.
Tiene  de especial ese valor  sobre las demás que aparte de ser legal, es decir cumplir la función  de Collatz para cada $$n_i$$ , que es ese valor mínimo, es el que me permitiría en caso de probarlo, argumentar que toda secuencia arbitraria indefinida de pasos legales,, necesariamente u obligatoriamente requiere que ese número mínimo esté por encima de cualquier cota que se pueda imponer,  lo que conlleva  a que no existiría un natural que asciende hasta infinito en una sucesión  de pasos. Como dije eso no demostraría como cierta la conjetura  sino que todavía faltaría demostrar que no hay otro ciclo. Cualquier  otro mayor que cumpla la misma secuencia no podría  afirmar que al agregar pasos no exista otro número  inferior que pudiera ser menor a una cota. El mínimo al estirar la secuencia  solo puede o bien conservarse o bien ser mayor al mínimo anterior.  La conservación es consecuencia propia de la función  es decir la cumpla todos los números  de la misma órbita cuando definido el primero  se sigue su descenso  hasta 1.Cuando pretendemos estirar esa cadena indefinidamente pueden suceder dos cosas o se aumenta el número  inicial o existe uno que no desciende a 1 en un determinado  número de pasos, Lo que pretendo es encontrar una forma si existe de demostrar  lo primero  que prohíbe encontrar ejemplo de lo segundo.

[danizafa]

Hola Danizafa, si en efecto la ecuación  diofántica que presenté tiene múltiples  soluciones para los enteros, relaciona dos números que estarán a cierta distancia en la misma órbita, por supuesto  hay una cota inferior que me interesa en el conjunto  de los naturales.

Hola Richard.
Fijate que ahí podés ver la relación con lo que yo usaba de los los mapeos $$n\mapsto 4n+1$$, ya que cumplen exactamente la misma secuencia, y lo único que cambia es la cantidad de divisiones que haces luego de la primer aplicación de $$3n+1$$. Ahí relacionas todos los números que tienen la misma órbita futura. Y como es una iteración, puede crecer y crecer, cada aplicación aumenta en dos la cantidad de divisiones por 2 que haces en el primer paso.

Tiene  de especial ese valor  sobre las demás que aparte de ser legal, es decir cumplir la función  de Collatz para cada $$n_i$$ , que es ese valor mínimo, es el que me permitiría en caso de probarlo, argumentar que toda secuencia arbitraria indefinida de pasos legales,, necesariamente u obligatoriamente requiere que ese número mínimo esté por encima de cualquier cota que se pueda imponer,  lo que conlleva  a que no existiría un natural que asciende hasta infinito en una sucesión  de pasos. Como dije eso no demostraría como cierta la conjetura  sino que todavía faltaría demostrar que no hay otro ciclo. Cualquier  otro mayor que cumpla la misma secuencia no podría  afirmar que al agregar pasos no exista otro número  inferior que pudiera ser menor a una cota. El mínimo al estirar la secuencia  solo puede o bien conservarse o bien ser mayor al mínimo anterior.  La conservación es consecuencia propia de la función  es decir la cumpla todos los números  de la misma órbita cuando definido el primero  se sigue su descenso  hasta 1.Cuando pretendemos estirar esa cadena indefinidamente pueden suceder dos cosas o se aumenta el número  inicial o existe uno que no desciende a 1 en un determinado  número de pasos, Lo que pretendo es encontrar una forma si existe de demostrar  lo primero  que prohíbe encontrar ejemplo de lo segundo.

Creo que probar la inexistencia de ciclos puede ser más fácil que probar esto de las secuencias infinitas. Pero bueno, siguen siendo ideas que tengo, y que por momento parecen estar condicionadas a poder armar el resultado de lo que intenté con esto. Por ejemplo, acomodar el árbol inverso en un buen orden teniendo en cuenta justamente esto de las distancias sería definitivamente el cierre.

Fijate que si hubiera un ciclo, esa diofantica deberia cumplirse para varios $$m$$ llegar al mismo número, entonces ahora dependeria de la longitud del ciclo, entonces si tenes un ciclo de $$x$$ pasos impares y te parás en uno de los números que forman ese ciclo entonces la diofantica te muestra lo imposible que es:

$$n_0$$ es cualquier número que forma parte de un ciclo,
$$x$$ es la longitud del ciclo,

entonces en múltiplos de $$x$$ se cumple que $$n_f=n_0$$, y basicamente queda:

\[2^{ad} n_0=3^{ax} n_0 + C\]

Pero ese $$C$$ acumula igualmente valores, es decir que cambia en cada vuelta de ciclo.

Fijate que si iteras Collatz en el ciclo trivial se ve esto:

$$\frac{3(1)+1}{4}=1 \,\Longrightarrow \,3(1)+1=4$$

$$\frac{3\left(\frac{3(1)+1}{4}\right)+1}{4}=1 \,\Longrightarrow \, 9(1)+7=16$$

$$\frac{3\left(\frac{3\left(\frac{3(1)+1}{4}\right)+1}{4}\right)+1}{4}=1 \,\Longrightarrow \, 27(1)+37=64$$

Entonces $$C$$ va tomando diferentes valores según la cantidad de iteraciones. Pero necesitarías que cada vez que se cumpla el ciclo exacto, esa acumulación en $$C$$ cumpla la diofantica tomando el valor $$3^{ax}n_0$$.

[Richard R Richard]

Hola Danizafa, si en efecto la ecuación  diofántica que presenté tiene múltiples  soluciones para los enteros, relaciona dos números que estarán a cierta distancia en la misma órbita, por supuesto  hay una cota inferior que me interesa en el conjunto  de los naturales.

Hola Richard.
Fijate que ahí podés ver la relación con lo que yo usaba de los los mapeos $$n\mapsto 4n+1$$, ya que cumplen exactamente la misma secuencia, y lo único que cambia es la cantidad de divisiones que haces luego de la primer aplicación de $$3n+1$$. Ahí relacionas todos los números que tienen la misma órbita futura. Y como es una iteración, puede crecer y crecer, cada aplicación aumenta en dos la cantidad de divisiones por 2 que haces en el primer paso.

Estoy tratando de ver lo que me dices. Si partes de un numero $$n_0$$ y estudias su cadena  hasta 1 en los terminos que he de  dado de Q y W verás que si $$n_{i+1}=4n_i+1$$ todos los n umeros siguientes presentan una cadena compuesta por una Q al inicio y 2 W extras posterior en cada evalucación, y la terminación es siempre la misma que la de $$n_0$$  equivalente a si eligieras  $$n_i=\frac{(3n_0+1)4^i-1}{3}$$ resultando $$n_{i}$$ impar

por elegir alguno para $$n_0=7$$ los primeros términos serían


7 7 5 11        QQWQWWQWWW
7 29 5 13      QWWQQWQWWQWWW
7 117 5 15    QWWWWQQWQWWQWWW
7 469 5 17    QWWWWWWQQWQWWQWWW
7 1877 5 19  QWWWWWWWWQQWQWWQWWW
7 7509 5 21  QWWWWWWWWWWQQWQWWQWWW

la cantidad de Q permanece constante solo aumentan 2 W luego de la primer subida Q

Creo que probar la inexistencia de ciclos puede ser más fácil que probar esto de las secuencias infinitas. Pero bueno, siguen siendo ideas que tengo, y que por momento parecen estar condicionadas a poder armar el resultado de lo que intenté con esto. Por ejemplo, acomodar el árbol inverso en un buen orden teniendo en cuenta justamente esto de las distancias sería definitivamente el cierre.

Fijate que si hubiera un ciclo, esa diofántica debería cumplirse para varios $$m$$ llegar al mismo número, entonces ahora dependería de la longitud del ciclo, entonces si tenes un ciclo de $$x$$ pasos impares y te parás en uno de los números que forman ese ciclo entonces la diofántica te muestra lo imposible que es:

$$n_0$$ es cualquier número que forma parte de un ciclo,
$$x$$ es la longitud del ciclo,

entonces en múltiplos de $$x$$ se cumple que $$n_f=n_0$$, y básicamente queda:

\[2^{ad} n_0=3^{ax} n_0 + C\]

Pero ese $$C$$ acumula igualmente valores, es decir que cambia en cada vuelta de ciclo.

Fijate que si iteras Collatz en el ciclo trivial se ve esto:

$$\frac{3(1)+1}{4}=1 \,\Longrightarrow \,3(1)+1=4$$

$$\frac{3\left(\frac{3(1)+1}{4}\right)+1}{4}=1 \,\Longrightarrow \, 9(1)+7=16$$

$$\frac{3\left(\frac{3\left(\frac{3(1)+1}{4}\right)+1}{4}\right)+1}{4}=1 \,\Longrightarrow \, 27(1)+37=64$$

Entonces $$C$$ va tomando diferentes valores según la cantidad de iteraciones. Pero necesitarías que cada vez que se cumpla el ciclo exacto, esa acumulación en $$C$$ cumpla la diofántica tomando el valor $$3^{ax}n_0$$.

Es que  si   usas la función   $$5n+1$$ para impares y $$n/2$$ para pares , he encontrado un ciclo con mas de 2 millones de números y otros ciclos mas  reducidos que no  comparten obviamente números, la mayoría de las órbitas de los  impares terminarán cayendo en ese ciclo. Supongo claro está que observarás que  Collatz se trata de que todas las secuencias aparentemente terminan en el mismo ciclo 1421.... de solo 3 números de longitud en ves de millones, no hay nada que indique que otros pequeños o más grandes ciclos puedan ocurrir,  y si existen será una porción  infinita de naturales que caerán en él.

La fórmula  \[2^{ad} n_0=3^{ax} n_0 + C\] la he desarrollado con exponentes $$ad$$ y $$ax$$ según tu nomenclatura,  hasta el límite del PC sin hallar nada, por el contrario, el análisis de la familia de módulos $$2^{ad}$$ parece ser muy rígida en cuanto a acomodar a una secuencia en $$C$$  tenga el complemento del modulo de  $$3^{ax} n_0$$ , como para valores  relativamente bajos de cifras  las posibles combinaciones de Q y W ascienden exponencialmente, no hay mucho por hacer en fuerza bruta mas allá de 20 elementos de la secuencia, pues los tiempos de máquina se disparan, aún teniendo un cierto equilibrio entre cantidades de W y Q en razón de  $$0.58 \cong ln[3]2$$  por lo que llegar  a 70 o más cifras como se han ya explorado, humildemente se me escapa sobre como hace un análisis exhaustivo, en comparativa a lo que sí logré para cadenas de mas de 4300 cifras intentando no lleguen a infinito.


Agradezco  que tu forma de armar esos números, quizá me pueda servir de inspiración para armar cadenas cada vez mas largas.  En particular  quiero  "formular algo" que haga previsible y finito el resultado de la función de Collatz cualquier cadena.

[danizafa]

La fórmula  \[2^{ad} n_0=3^{ax} n_0 + C\] la he desarrollado con exponentes $$ad$$ y $$ax$$ según tu nomenclatura,  hasta el límite del PC sin hallar nada, por el contrario, el análisis de la familia de módulos $$2^{ad}$$ parece ser muy rígida en cuanto a acomodar a una secuencia en $$C$$  tenga el complemento del modulo de  $$3^{ax} n_0$$ , como para valores  relativamente bajos de cifras  las posibles combinaciones de Q y W ascienden exponencialmente, no hay mucho por hacer en fuerza bruta mas allá de 20 elementos de la secuencia, pues los tiempos de máquina se disparan, aún teniendo un cierto equilibrio entre cantidades de W y Q en razón de  $$0.58 \cong ln[3]2$$  por lo que llegar  a 70 o más cifras como se han ya explorado, humildemente se me escapa sobre como hace un análisis exhaustivo, en comparativa a lo que sí logré para cadenas de mas de 4300 cifras intentando no lleguen a infinito.

Usé esa nomenclatura para que no se confunda...

El tema es que si existe un ciclo, será periódico. Cuando vos haces la diofántica, $$m$$ representa la cantidad de pasos $$Q$$. Si vos contas las vueltas de ciclo de cada número que lo integra, suponiendo que $$x$$ es la longitud del ciclo, y $$a$$ cuenta las vueltas completas de ciclo, siempre $$m=ax$$ para que el número deba caer de nuevo en sí mismo...

Pero ahora, tomando la idea de las fibras, la órbita de los números $$\equiv 5 (mod \, 8)$$ es la misma que la órbita del menor impar en la iteración $$n_{i+1}=4n_i+1$$, ya que en el primer paso solo se dividen por 2 más veces que el menor número. En congruencias los números elevados responden a la equivalencia módulo 8 que puse.

Esto dice algo importante, porque si la órbita se la asignamos al menor, significa que un ciclo no puede volver a pasar sobre números $$\equiv 5 (mod \, 8)$$.

Esto acota los ciclos a secuencias que en tu lenguaje seria $$QW$$ o $$QWW$$ como máximo, ya que no pueden formar parte de ciclos números que puedan divirse 3 o más veces sucesivamente.

¿Por qué? Porque si un número se puede dividir 3 veces, significa que su órbita futura es la órbita de un número menor, el menor de la recurrencia, que yo le llamo representante de fibra. Por lo tanto, si se generara un ciclo, en el ciclo debería caer ese número menor y no uno de arriba.

[danizafa]

Fijate que de la ecuación diofántica sale una ecuación de ciclos, voy a usar $$m=ax$$ para representar vueltas completas de ciclo y $$r$$ para la acumulación que tendria que darse en la potencia de 2:

\[(2^{r d} - 3^{ax}) n_0 = C_{r}\]

El tema es que $$C$$ va a acumular de una forma que no es lineal, pero de hecho siempre se cumple esto:

\[(2^{r d} - 3^{ax}) \mid C_{r}\]

humildemente se me escapa sobre como hace un análisis exhaustivo

no te preocupes. A mí humildemente se me acabaron las ideas de como afrontar esto. Jejeje.

[RH]

He intentado seguir el hilo, me parece que no se puede hallar una solución completa a la conjetura de Collatz de esta manera, si es lo que se pretende.

Pregunto, desde mi humilde opinión, si ese es el objetivo del hilo, o es hallar una solución parcial para un rango de cotas o limitado.

danizafa, he cogido un resumen de líneas de investigación, seguro que se me escapan muchas:

Spoiler

1. Enfoque Computacional (Fuerza Bruta)Complejidad: Trivial (Ejecución).Mecanismo: Automatización mediante sistemas distribuidos para verificar números hasta el infinito. Actualmente se han probado hasta \(2^{68}\) sin encontrar contraejemplos. Es una táctica de reacción y patrón.
2. Análisis ProbabilísticoComplejidad: No Trivial (Heurística).Mecanismo: Modelar la secuencia como un paseo aleatorio. Bajo esta óptica, la conjetura es "casi seguro" verdadera porque la ganancia neta en cada paso promedio es menor a 1. Requiere abstracción estadística.
3. Sistemas Dinámicos y Teoría ErgódicaComplejidad: No Trivial (Multidimensional).Mecanismo: Estudiar la función de Collatz como un mapa sobre los enteros p-ádicos. Se busca ver si la medida de los puntos que escapan al infinito es cero. Es pura investigación de marcos de trabajo nuevos.
4. Teoría de Números (Fracciones Diophantinas)Complejidad: No Trivial (Sintética).Mecanismo: Relacionar la conjetura con cuán cerca están las potencias de 2 de las potencias de 3. Se utiliza para establecer límites sobre ciclos largos. Requiere pensamiento lateral.
5. Teoría de Autómatas y ComputabilidadComplejidad: No Trivial (Indeterminado).Mecanismo: Tratar a Collatz como una "máquina de estados". Se ha demostrado que problemas similares son indecidibles, lo que sugiere que Collatz podría no tener una demostración lógica dentro de los sistemas actuales (Gödel).
6. Enfoque de Grafos (Árbol de Collatz)Complejidad: No Trivial (Exploración).Mecanismo: Invertir el problema: empezar en 1 y construir el árbol hacia atrás. El reto es demostrar que este árbol cubre todos los enteros. Se aplica la reducción de nodos complejos a ramas conocidas.
7. Análisis de Fourier y CírculosComplejidad: No Trivial (Creativa).Mecanismo: Utilizar métodos de Hardy-Littlewood para intentar contar el número de pasos. Terence Tao realizó avances recientes aquí, probando que "casi todos" los números terminan en valores muy pequeños.
8. Representación Binaria (Dinámica de Bits)Complejidad: Trivial/No Trivial (Depende del bagaje).Mecanismo: Observar cómo las operaciones \(3n+1\) desplazan y añaden bits. Es una analogía con el procesamiento de señales: el "ruido" de los bits de Collatz debería eventualmente disiparse.
9. Búsqueda de Ciclos (Algebraica)Complejidad: No Trivial (Lineal/Iteración).Mecanismo: Formular ecuaciones para posibles ciclos distintos al (4, 2, 1). Es un proceso de validación de hipótesis donde se intenta demostrar que ninguna combinación algebraica permite un bucle cerrado.
10. Teoría de la Información (Entropía)Complejidad: No Trivial (Insight).Mecanismo: Medir la pérdida de información en cada división por 2 frente al aumento por \(3n+1\). Si la entropía disminuye a largo plazo, el sistema debe colapsar al estado base (1). Es un modelado de alta resistencia mental.

[cerrar]

Es posible que esa evidencia abrumadora, Richard, requiera esto que he puesto y más elementos.

Pero yo apenas se algo de collatz, así que no puedo decir gran cosa.  

[Richard R Richard]

He intentado seguir el hilo, me parece que no se puede hallar una solución completa a la conjetura de Collatz de esta manera, si es lo que se pretende.

Hola, RH, no pretendo demostrar nada, quizá  por lo largo que se ha hecho leer todo lo que se ha dicho, has pasado de largo un par de tips. El cuero solo me da para divertirme,  o bien soñar que podría ganar la lotería con el bombo mas grande que haya imaginado y con un boleto  que de casualidad he encontrado.

" La conjetura de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 independientemente del número con el que comencemos."Entonces cuales son las posibles vías para no alcanzar el 1.
1) Existencia ciclos
2) Órbita en descenso y vuelta ascender al infinito.....

En algún momento he abierto un hilo  preguntando por temas de ciclos, pero ahora solo por la parte 2.
Fundamentalmente, o en muy resumidas cuentas, pasa que al existir siempre una continuación válida de la función de Collatz, puede existir algún $$n$$ finito, por debajo de alguna cota que quieras imponer, y aunque no se pueda precisar  ese número, puede cumplir una orbita indefinida y hace que escape por la tangente  mi relato de una demostración solo de esa parte, aunque  sé que ese número no es muy pequeño.

[The Tarita]

Hola

Resultados obtenidos de una variante de la Conjetura de Collatz.

$$
\text{Variante Conjetura de Collatz}  \left\{
\begin{array}{cl}
{\displaystyle\frac{x}{2}}&\mbox{si } x \text{ es par},\\
{\displaystyle\frac{5x+1}{2}}&\mbox{si } x\mbox{ es impar} .
\end{array}\right.
$$

Si iniciamos la secuencia en el número 19:   $$19$$,   $$48$$,   $$24$$,   $$12$$,   $$6$$,   $$3$$,   $$8$$,   $$4$$,   $$2$$,   $$1$$,   $$3$$,   $$8$$,   $$4$$,   $$2$$,   $$1$$,   ...

Si iniciamos la secuencia en el número 13:   $$13$$,    $$33$$,   $$83$$,  $$208$$,   $$104$$,   $$52$$,   $$26$$,   $$13$$,   ...    Bucle cíclico con origen y final en 13.
Si iniciamos la secuencia en el número 43:   $$43$$,  $$108$$,   $$54$$,    $$27$$,     $$68$$,   $$34$$,   $$17$$,   $$43$$,   ...    Bucle cíclico con origen y final en 43.

Seguramente habrá más bucles cíclicos diferentes de:   ...   $$3$$,   $$8$$,   $$4$$,   $$2$$,   $$1$$,   $$3$$,   $$8$$,   $$4$$,   $$2$$,   $$1$$,   ...

Con estos ejemplos se puede afirmar que esta variante de la Conjetura de Collatz es falsa.

Saludos

[Richard R Richard]

Con estos ejemplos se puede afirmar que esta variante de la Conjetura de Collatz es falsa.

Hola, bienvenido al hilo, correcto al encontrarse al menos un ciclo que no pasa por 1, esa variante es falsa.
La cuestión  de mi mención sobre la variante, es la longitud de uno de los ciclos, que tiene millones de elementos y por tanto no fáciles de descubrir a mano alzada o con la resolución de una simple ecuación como lo hacen los ciclos pequeños encontrados.

Y que esta variante es falsa no implica que la de Collatz lo sea, el único ciclo descubierto incluye al 1 por tanto todo número  parece llegar a él,  a menos se encuentre  otro ciclo entonces tema resuelto o bien  que un número finito ascienda hasta infinito, que sin lugar a dudas habría que probarlo por algún razonamiento pues seguir su órbita  no sería posible dada la infinitud de pasos.


Pd una clasificación de ciclos sería identificarlos por el menor de los números que pertenece a cada ciclo, ejemplo 1,, 7 (pasapor el 9),13, 17 (el que pasa por 43),etc