[Richard R Richard]

Hola, Luis

 Me resulta frustrante. Todo lo que dices se puede contrargumentar con mi anterior mensaje, que veo que no ha servido de nada.


 Para mi sigues sin entender (o seguro que lo explico fatal) lo que es un ejemplo con otra serie, que obviamente se comporta distinto y más sencillo, pero que lo que trata es de contrargumentar es el esquema de razonamiento.


 

Pero si puedo darte un ejemplo con esta función de iteración:


\( f(n)=\begin{cases}{n/2}&\text{si $n=2^k$ para algún $k\in \Bbb N$}\\n+2 & \text{en otro caso}\end{cases} \)


Si empiezas por ejemplo en \( n_0=24 \) tienes una cadena que crece hasta el infinito, sin límite:


\( 24-26-28-30-32-16-8-4-2-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19-\ldots \)

 Si llamo \( K \) a sumar dos, y \( C \) a dividir por  \( 2 \) esa serie infinita es:


\(  KKKKCCCCCKKKKKKKKKKK.... \)


 El menor número que admite una serie KKKK es el \( 1 \) y \( 1\leq 24 \). Bien se cumple lo que dices.
 El menor número inicial que admite una serie KKKKCCCC es el \( 8 \) (creo) y \( 8\leq 24 \). Bien se cumple lo que dices.
 El menor número inicial que admite una serie KKKKCCCCK es el  \( 8 \) y \( 8\leq 24 \). Bien se cumple lo que dices. Y lo mismo ahora ya para cualquier número de Ks que añadamos.


 Entonces ese argumento de concatenación de cadenas por si solo no prueba nada porque aquí se cumple y sin embargo si existe una serie infinita.

Hola, Luis, ante todo te pido disculpas si es que te he causado molestia, tedio o frustración al insistir sobre el tema, no puedo hallar la pista que me dás con tu ejemplo. Si aún quieres contestar, tómatelo como que soy un curioso que quiere aprender  y no un toca... que insiste en que ha demostrado algo. Por eso no posteo todos los días, releo para ver si le encuentro la objeción.

Yo entiendo  alto , fuerte y claro, que si hay una cadena  que lleve al infinito desde un número finito, es solo cuestión de dar el número y la función lo hace sola , como en tu ejemplo y que no es tan evidente en Collatz el formular un por qué sucedería ese o los casos que se encuentren.

De lo que me dices en ese caso de tu ejemplo veo que luego de KKKKCCCCK no existe posibilidad de otra C luego de esa última K, no hay posibilidad que baje nuevamente, por eso, resulta obvio que sin importar el número inicial, y sin cortar la cadena cuando se llega a 1, el único resultado para una cadena indefinida en longitud, es superar cualquier cota, no hay margen de duda.
Pero hay una gran diferencia, se termina en infinito con cualquier número inicial, ningún par hará otra trayectoria posterior al 1, pasando por todos los impares,  pero Collatz hasta ahora muestra solo una termina descendiendo en el ciclo 1421.
 Una cadena indefinida de ascensos puede llevar a infinito , de hecho sabes que puedes seguir eligiendo $$t$$ tan grande como quieras y partiendo de $$2^t -1$$  tendrás $$2t$$ iteraciones que terminarán en un número mayor al inicial, sin haber pasado por 1... Ahora bien mientras tan grande como yo quiera sea finito, tu me dices que podrá bajar a 1421 posteriormente, pero como se hace a trabajar mas allá de lo finito.
"Sí" (de afirmación) puedo con la repetición de "cualquier" serie ascendente  llegar a superar cualquier cota, mientras "me dejes superar cualquier cota con el número de las iteraciones $$t$$", en el caso que  eso no sea un problema, entonces se puede determinar cuál es el número de inicio de esa cadena y resultará mayor a cualquier cota , pues al $$t$$  el mismo de $$n_0=2^t-1$$ le hemos permitido ser mayor a cualquier cota.
Observo que me dices que va a ver un número $$n$$ que va a usar una cadena , que no tiene que ser especial, de ascenso que por si sola con ese número ascienda al infinito, y tal cosa ," digo , opino, y seguro me dirás que lo pruebe, me resulta es imposible" , ¿Por qué?. Porque la cadena de ese $$n$$ esta compuesta de los mismos tramos ascendentes que invente KCKCKCCKCKC...KCCCCCCKCKCKCKC... los mismos que cualquier otra órbita infinita que puedas pensar,  también debe contener infinitas veces KC, infinitas veces KCCKC, infinitas veces KCKCC, e infinitas veces cualquier otra serie ascendente*.  * Que falte una poco variaría mi opinión, pero no hay razón para que así suceda ni tampoco para que no.


Todas las secuencias ascendentes finitas que puedas probar, buscando el mínimo número que la atraviese, van aumentando ese número $$n_0$$ mínimo que las hace posibles transitar a medida que aumenta su longitud, ojo, eso es diferente a decir que a medida que aumenta el numero inicial la cadena debe ser mas larga, no he dicho eso, ya que es fácil comprobar que es falso.  Insisto en algo ¿Por qué la secuencia de ese $$n$$ que va al infinito va a ser diferente? No es especial.
Para mi cualquier serie que pueda superar cualquier cota, lo hace si  ya inició por encima de cualquier cota, luego no hay naturales que asciendan al infinito. Eso es lo que quiero probar.
 
Si solo se trata de que no aporté nada para probarlo y que la simple lógica no alcanza...Bueno, ok.    Pero me  deja en el limbo sobre si  es necesario exigir una prueba a la función de tu ejemplo , el que venimos poniendo con cierta analogía, sobre si algún $$n$$ de inicio no llegará a infinito para darla por verdadera o si ¿ya la consideras verdadera? Para mi ,no es conjetura tu ejemplo, es verdad que siempre asciende a infinito.

En caso  que exista $$n$$ finito que llegue a infinito en Collatz,  mas allá de dilema de como lo probarás,no sé... Mi lógica me dice que en comparación por simple observación y comportamiento que no hallarás $$n$$ que no llegue a infinito en tu ejemplo, no necesito probarlo, acaso esperarías que un $$n$$ no cumpla con continuar al infinito con tu función, y si me dices que no es necesario convencido,que se puede probar, pues yo estoy convencido del mismo modo, que no existe ese $$n$$ natural que asciende a infinito en Collatz porque si es finito, no llega,  y para que llegue deber iniciar siendo mayor que cualquier natural finito, luego no es un natural ( o así lo entiendo) y como la función solo toma naturales, luego no hay naturales que cumplan porque todos son finitos. No se como explicarlo sin tanta redundancia. Sé que lo que tengo que hacer es probarlo , no solo afirmarlo.

La clave para que tu argumento funcione es que pruebes que para cualquier serie ascendente cuanto mas larga sea necesariamente el número inicial tiene que ser más grande. Si pruebas eso; ya no hace falta hablar nada de concatenase series, es evidente e inmediato que no existe una serie que suba hasta el infinito.

Veo que no te convencen mis argumentos, una generalización de las observaciones particulares, donde pones como objeción, "que tal si hay un $$n$$ que no cumple lo que dices", pero ¿habrá uno que no cumple con tu ejemplo?, yo veo tan claro que no  hay natural que cumpla en los dos casos, y por eso justamente creo que se puede probar, otra cosa es como hacerlo.

Si defino un conjunto de secuencias ascendentes por comprensión y cualquier combinación de cualesquiera de ellas extendida tan grande como se quiera, requiere que el número de inicio este por encima de un número tan grande como se quiera. Creo que en eso no tuve objeción o sí.
Dime si esa cadena que necesita un $$n$$ finito que ascienda a infinito, esta compuesta por secuencias ascendentes diferentes a las que he mencionado... pues no, eso esperaría me digas.
Creo me puedes objetar lo siguiente, la cadena de $$n$$ tiene una secuencia ascendente con un orden especial que no sigue cualquier otra cadena... y te diría que es falso porque habrá números mas grandes que tambien la podrían cursar... Pero...  en realidad me refiero a que todas las porciones de longitud finita de cualquier cadena ascendente que compone la cadena de e ese $$n$$ han sido exploradas en mi lista, todas requieren que el mínimo inicial ascienda con la longitud . También que ninguno de esos  $$n_0$$ finito mínimo se muestra que pasada la cadena ascendente el comportamiento posterior no sea caer a 1421, por tanto lo único que garantiza no caer es empezar de un número cada vez mas alto, tan alto que ya no es un natural para cuando se extiende indefinidamente. 

Pero no vale que me digas. "Es evidente Luis, y si no dame un contraejemplo". Es como si alguien me dice: "He demostrado el Teorema de Fermat, es evidente que es imposible que el cubo de dos naturales sume el cubo de otro natural". Y yo digo, pero tienes que demostrarlos... "es que es evidente, y sino dame un contrajemplo". ¡No puedo dar un contraejemplo porque el Teorema de Fermat es cierto y no existen números que no lo cumplan!.

Claro Luis  ,  entiendo que no puedo demostrar la conjetura usando de argumento otra conjetura, pero he explorado todos los grises donde me puede fallar , no hay posibilidad de tal gris, algunos directamente por definición, no son ni siquiera grises.

Tu suposición de que cadenas más largas ascendentes tendrán números iniciales más grandes cuanto más largas sean, probablemente sea cierta porque casi seguro que la conjetura de Collatz es cierta. ¡Pero la cosa es demostrarlo!.

Ok,  si algo es imposible que sea falso, no es en realidad,verdadero? O que si es imposible que sea verdadero, será falso?
Bueno, por definición de cadena ascendente, "es ascendente", una sucesión de cadenas ascendentes es ascendente, porque habría necesidad de demostrarlo, los números  que pueden  transitar muchas secuencias seguidas iguales son mayores que los que solo transitan pocas, ¿hay necesidad de demostrarlo? De hecho dos cadenas  que empiecen igual cumplen con tener el mismo mínimo, sin embargo al agregarle solo una iteración mas obligatoria a una secuencia, entonces el número mínimo inicial es mayor o a lo sumo igual al mínimo anterior, imposible menor , hay necesidad de demostrarlo  es perogrullo. Si el mínimo KCKC  es el número $$x$$,  no existe por definición de mínimo, un número $$y$$  menor a $$x$$ que pueda  empezar su cadena por KCKC ... luego cualquier cadena que empiece como KCKCK o KCKCC tiene como mínimo a $$x$$ o a un  $$z$$ talque   $$z>x$$ es imposible $$y<x$$ que cumpla. 
Luego combinar secuencias extendiendo su longitud implica que el número inicial aumente, toda cadena indefinida que se pruebe requiere que el $$n$$ mínimo aumente por encima de cualquier cota, luego todos los $$n$$ finitos estarán por debajo de esa cota, luego es imposible que un natural debajo de cualquier cota, luego imposible para cualquier natural, entonces algo que es imposible que sea  cierto, termina siendo falso. Así no hay naturales que asciendan a infinito, no sé que más decir , si no hay falla lógica ni posibilidad de contra argumento, que más se requiere como demostración , ¿una númerica? simbólica mas formal, en latex, o que sea solo lógicamente cierta...,  No se puede ser exhaustivo con ejemplos,  ya me dices que de nada sirve presentarlos, solo he generalizado los ejemplos y sé que todos fallan.   

Lo que si te he dado (pero pierdo la esperanza de hacerme entender) es un contraejemplo al trozo de argumento que se refiere a la concatenación de cadenas, con mi ejemplo con una función distinta a la de Collatz. Lo que trata de poner de manifiesto ese contraejemplo es que la concatenación de cadenas no es la clave, sino probar realmente que cuanto más larga es una cadena ascendente mayor tiene que ser su número inicial.

Si claro , eso lo afirmo,mas larga es, mayor $$n$$, tu quieres lo demuestre, y me dices que solo te he puesto ejemplos,  no imagino que ninguna secuencia ascendente pueda fallar.

   
Pregunto ¿Existe algún número inicial que cumple con la duplicación de cualquier  series sencilla (o complicada) que sea menor al que cumple solo con el término que se repite? Pues no, ¿hace falta demostrarlo?, o no es lógico. La respuesta es no para cualquier serie. No es conjetura, es cierto, y si  fuera conjetura, presentarme un contraejemplo.

 Que sea menor no. Que sea IGUAL podría ser.

Aja!!! lo que te digo es que no puede ser igual siempre exijas lo que le exijas a la secuencia, mas le exiges mas grande el número mínimo que la puede sortear.
Tu $$n$$ que podría cumplir dicha secuencia ascendente al infinito debe ser cada vez mas grande para que sea al menos igual al de cualquier corte propuesto  en un número de iteración finito, y mas largo el tramo mas grande el $$n$$ ,
Luego $$n$$  debe inevitablemente ser mas grande que cualquier cota cuando le exijas cumplir una determinada secuencia indefinida, .... una secuencia que lleve al infinito, es una sucesión indefinida de sucesiones pequeñas, que cuando le analizas cualquier porción inicial finita , el $$n$$ mínimo de la secuencia indefinida  debe ser mayor a o igual (no menor) al $$n$$ mínimo de esa cadena finita.
Entonces $$n$$ tiene que ser mayor a cualquier $$n$$  que cumpla cualquier secuencia inicial finita, entonces $$n$$ esta por fuera de cualquier cota.
No hay posibilidad de otra cosa, todas y cada una de las sucesiones finitas cumplen que al reiterarla, estirarla, combinarla, etc. su número inicial crece. No existe la afortunada secuencia que lo mantiene eternamente... creo que de esto último es de lo que sobrevive tu oposición.

 

 
Sea A una serie ascendente, cuyo menor número que la cumple es $$n_{0_A}$$ terminando en $$n_A$$ y otra serie ascendente B con el menor número que la cumple es $$n_{0_B}$$ y termina en $$n_B$$ , ¿existe un número menor a $$n_{0_A}$$ que cumpla AB? que seguro es una secuencia ascendente, es decir a la concatenación de las dos series. Pues no, a lo sumo si $$n_A=n_{0_B}$$  entonces $$n_{0_{AB}}=n_{0_A}$$ por lo que cualquier concatenación arbitraria    cumple $$n_{0_{AB}}\geq n_{0_A}$$
Cuando se crean series ascendentes más complejas, $$n_0$$  va aumentando.

O en un momento dado se queda fijo. Y esa es la clave.  Si existe una serie infinita termina por haber un número común \( n_0 \) que es el menor número del que puede partir un montón de secuencias ascendentes diferentes (todas salvo un número finito). Tienes que probar que eso no se da.

Creo que ya lo explique recien, pero  lo intentaré de otro modo, aunque creo que no tengo que probar nada,  es que en realidad me cuesta ver que algo así se dé.
 
Piensa por un instante que tienes $$n$$ finito que llega al infinito ascendiendo. No podrás seguirlo para verificar por siempre, no? Entonces...
Cortas la cadena  en la posición 10000 trillones 2004 ni uno mas ni uno menos... Cual es el mínimo $$n$$  que cumple la cadena hasta ese punto ..  tu me diras $$n$$ por supuesto o  quizá hay alguno menor..., sí puede haber menores, pero el resto de la cadena hasta al infinito no aplicaría para ellos,su cadena va a 1 prematuramente.
Yo digo que si esa cadena la convierto en términos K y C  y busco como vengo haciendo el menor $$n$$ que la cumple empezando desde el primer termino y agregando mas  hasta llegar a tener 10000 trillones 2004 números, verás que siempre que cada ves que agregaste iteraciones, el número  mínimo ascendía quizá lo mantenías cuando agregas un C,  así siempre el número mínimo que puede ir sorteando la cadena que va creciendo en longitud va aumentando, mas avanzas  agregando iteraciones y el mínimo aumenta, y mas aumenta, entonces llegas a $$n$$, que es el mínimo o bien a un número menor que $$n_0$$ (pero en cuyo caso debe suceder que luego del punto de corte en esa iteración tiene que ascender hasta $$n_0$$ para llegar a infinito (afirmabamos que era $$n_0$$, no uno menor),pues  eso incumple tu premisa  que en algún punto no ascendía más), Entonces ese $$n=n_0$$ necesariamente es mínimo, pero mas grande que el $$n_0$$ necesario para cualquier secuencia que repita los mismos pasos pero mas corta.
Entonces,  primer punto ¿Cual es la razón para que cambie la tendencia de ir aumentando siempre a la de ahora continuando la secuencia suponiendo que el $$n$$ inicial se tenga que mantener?.
De hecho $$n$$ ,cumple con pasar todas y cada una de las secuencias previas mas cortas o chicas en cantidad de iteraciones desde el inicio y no se podrá asegurar lo mismo para todas las infinitas iteraciones posteriores.  Lo que digo es que mas grande sea la secuencia inicial que analices y le pidas sortee , corroboraras que inevitablemente $$n$$ debe ser mas grande que para cualquier porción inicial arbitraria , y será mas grande que cualquier cota cuanto mas grande o tan grande como escojas la muestra de su órbita.

Veo que la oposición se ciñe una posibilidad remota que se desvanece cuando por encima de cualquier punto finito  aún quedan infinitos números por donde pasar, pero cuanto mas larga cualquier secuencia finita mas grande es el número, no hay uno menor que siga siendo compatible con la secuencia. Reitero toda secuencia que sea combinación de secuencias chicas, todas ,muestran que $$n$$ crece respecto de la primera, no hay posibilidad de uno que no crezca,... que me dices que lo demuestre, bien ya me las voy a ingeniar, espero opinión, aunque estoy seguro de llevar razón, cualquier combinación de secuencias requiere que $$n_0$$ crezca y eso incluye a la de tu $$n$$  cualquier sea ese $$n$$, no hay ninguno que esté exento.   

   
De todas formas si hablas de considerar el conjunto de todas las secuencias finitas ascendentes. Si. Eso puede hacerse. Es de hecho un conjunto finito numerable.

Bien, otra cosa que no es locura..ni #$%& mental.

 
 Obvio que si (a algunas de ellas). ¿Y....?

¿Por que algunas y no todas?... Si  tengo cabos sueltos quiero saber cuales  para luego saber que consecuencia traen. O mejorar mis explicaciones

Disculpa es gazapo quise decir

   
¿Se puede identificar sobre la secuencia infinita extractos finitos consecutivos donde el número inicial es mayor al final? Mi repuesta es que sí sin necesidad de demostración.

 Aquí no estoy seguro que quieres decir con "extractos finitos consecutivos donde el número inicial es menor al final". Evidentemente si es una secuencia es  ascendente el número inicial siempre es menor al final.

Listo, si eso quise decir  siempre  puedo cortar la cadena en ciertos puntos donde el numero final es mayor al inicial,  una cadena descendente , en algún momento eso fallará.
 

   
Si cualquiera de las secuencias finitas de una secuencia infinita está en mi lista... ¿Cuántas veces aparecerá la primera  en la segunda? , una, dos, un número arbitrario pero finito de veces o infinitas veces. Para mí infinitas veces, cualquiera de todas las secuencias.

 Esto en principio ya no lo veo. No sé si te he entendido. En una secuencia infinita (si la hubiese), quizá la subsecuencia "KCCCKCCCKCCC" aparezca sólo una vez, o dos, o nunca y este formada por subsecuencias de otro tipo. Imagina que la secuencia infinita tiene o siempre menos de tres C seguidas o siempre más, pero nunca tres.

Ok , mientras no me digas que puedes imponer que no hay 2 o mas C seguidas, no habría problema en hacer las combinaciones, sino solo quedaría mi ejemplo KCKCKCKC....., Lo que quiero decir que mientras puedas hacer combinaciones ascendentes, repetirlas etc  solo incrementa el número inicial,combinación tras combinación,  si solo usas KC, ya lo tendría demostrado.

Cada número impar puede el mínimo ser inicio de una cadena ascendente infinita, que puede escribir se en su forma KC... pero cada número impar $$n_i$$ que aparezca intermedio en la secuencia , es a la vez , inicio de otra cadena infinita, esta vez es diferente la cadena a la anterior,(difiere en un primer tramo) y el siguiente impar $$n_{i+1}$$ presentará  otra cadena otra diferente, luego habrá otra , y otra... o al menos seguirán presentándose cadena diferentes mientras no se repiten periódicamente...
Si se repite periódicamente hay forma  de hallar numéricamente la secuencia hasta el infinito, luego cada secuencia repetida es un caso similar al de la repetición KC, con las misma conclusiones... El minimo n que cumple asciende por encima de cualquier cota.
Pero si no se repite, entonces tendremos infinitas secuencias diferentes que ascenderán a infinito,  y tendrán  como mínimo ser mayores que cualquier número que aparecen esa lista de posibles combinaciones... entonces si mi lista es exhaustiva, incluirá la combinación que tenga por inicio a un natural tan grande como se quiera, por lo tanto esos números deberán ser siempre mas grandes que mi número tan grande como quiera inclusive el de inicio, .. eso me dice que para llegar por encima de cualquier natural debes partir por encima de cualquier natural.

 
 Tampoco se si entiendo lo que quieres decir. Como te decía no necesariamente toda cadena finita aparece en una infinita.

Es que las incluí a todas por definición de ese conjunto.

   

 Pero si lo fuese... ¿por qué no habría de mantener ese mínimo de \( 27 \) siempre?.

 En fin. Se me están empezando a acabar los recursos para hacerme entender.

    El punto de tu crítica te lo he captado, pero sinceramente no creo que se pueda mantener el numero inicial a menos que vayas en una órbita descendiente . Es claro que una vez que tomas el descenso el numero inicial se conserva, puede ser o no el máximo de la órbita, pero no es así para el ascenso.

El que no sabe hacerse entender soy yo...Le busco otra forma...  Toma la cadena entera KC... para el 27 hasta llegar al 1, todos sus K y C en ese orden, pregunto ¿existe un número menor a 27 que  usando esa cadena no llegué a 1? ¿Cómo debe ser un número que al aplicarle esa cadena no llegue a 1, mayor a 27 no? Bueno, de eso va esto, que si no quieres que la cadena llegue a 1 debes aumentar el número inicial, si eliges el siguiente número que cumple con la función de Collatz dando todos enteros usando como inicio la misma secuencia del 27,  será no sé,  llamémosle $$x>27$$, si aplico Collatz a $$x$$ pasada la secuencia del 27, la secuencia continua pero en cierto momento desciende a 1. Ahora tienes una cadena mas larga, si quiero que esa cadena no llegue a 1 , pues debo partir de $$y>x$$ .... cadenas mas largas números mas altos de inicio. No hay nada mas obvio que eso.
Lo que intento decir que si existe un $$n$$ que cumpla con ir a infinito,  cada porción finita de cadena ascendente que puedas identificar tuvo un $$n$$ menor que la podía transitar, como puedes cortar la cadena infinita en la iteración que quieras, allí puedes identificar cual es el menor natural que transita a esa secuencia hasta esa iteración. Verás que como es una sucesión de sub cadenas concatenadas  y la concatenación va  haciendo que el $$n$$ mínimo aumente, nuevamente mas larga la cadena mas  grande el número inicial, y el $$n$$ que va al infinito debe obligatoriamente ser mayor siempre a ese $$n$$ mínimo que transito la cadena hasta alli, es imposible que sea menor. Luego toda cadena indefinida tiene que iniciar de un número mas alto que cualquier natural  que pueda transitar cualquier  cadena que puedas cortar.
Se entiende que no digo que transite por los mismos números, sino que siga la misma secuencia de K y C hasta el corte de longitud finita, como esas secuencia finitas que se pueden cortar requieren de números cada vez mas altos para ser transitadas,  no puede darse el caso que de un $$n$$ que sea menor, extender indefinidamente la cadena  hace que el número de inicio se mas grande que cualquier natural. Equivalente a que no hay natural que ascienda a infinito.

 

- No es tanto que lo que dices sea falso, sino que das por hecho el paso clave que es que necesariamente una cadena ascendente con cada vez más pasos empezará necesariamente en un número más grande y te centras en las concatenaciones que probado lo anterior serían superfluas.

No es que lo doy por hecho, es que para mí es imposible que no sea así, una cadena larga ascendente que inicie similar a una corta, siempre tiene el $$n_0$ mayor al de la cadena corta, las excepciones son cuando justamente el exceso en la larga es justamente el descenso hasta el 1, pero en ese caso no es una cadena ascendente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, Luis, ante todo te pido disculpas si es que te he causado molestia, tedio o frustración al insistir sobre el tema, no puedo hallar la pista que me dás con tu ejemplo.

No, no. Faltaría más. No es una molestia en plan enfado; simplemente me gustaría poder ser más claro.

Por eso no posteo todos los días, releo para ver si le encuentro la objeción.

 Es que la objección es que no hay demostración; o de manera más precisa, te basas en una afirmación que NO has demotrado. Y no tengo mucho más que decir francamente, porque sería repetirme. Marco algunas cosas que tu mismo dices donde das a entender que son creencias, pareceres, pero sin demostración alguna...

Todas las secuencias ascendentes finitas que puedas probar, buscando el mínimo número que la atraviese, van aumentando ese número $$n_0$$ mínimo que las hace posibles transitar a medida que aumenta su longitud, ojo, eso es diferente a decir que a medida que aumenta el numero inicial la cadena debe ser mas larga, no he dicho eso, ya que es fácil comprobar que es falso.  Insisto en algo ¿Por qué la secuencia de ese $$n$$ que va al infinito va a ser diferente? No es especial.

Aquí estás diciendo. "Tengo un montón de ejemplos donde se cumple una cosa, porque habría de existir uno donde no se cumpliese". Eso no es una demostración.

Para mi cualquier serie que pueda superar cualquier cota, lo hace si  ya inició por encima de cualquier cota, luego no hay naturales que asciendan al infinito. Eso es lo que quiero probar.

 Pues pruébalo.
 

Si solo se trata de que no aporté nada para probarlo y que la simple lógica no alcanza...Bueno, ok.   

 Exacto. Pero tu "simple lógica" son ejemplos. Punto.

Pero me  deja en el limbo sobre si  es necesario exigir una prueba a la función de tu ejemplo , el que venimos poniendo con cierta analogía, sobre si algún $$n$$ de inicio no llegará a infinito para darla por verdadera o si ¿ya la consideras verdadera? Para mi ,no es conjetura tu ejemplo, es verdad que siempre asciende a infinito.

 No entiendo muy bien lo que quieres decir. En mi ejemplo tonto se puede demostrar rigurosamente que siempre se llega a infinito. No lo he detallado porque es trivial. Pero se puede explicitar.

Spoiler

- Dado \( x_¡ \) impar, se tiene puede probar por inducción que \( x_n=x_0+2n \) impar. Efectivamente, para \( n=1 \), \( x_1=f(x_0)=x_0+2 \) por ser \( x_0 \) impar y da un número impar porque impar más dos es par. Supuesto cierto para \( n-1 \), \( x_n=f(x_{n-1})=x_{n-1}+2=x_0+2(n-1)+2=x_0+2n \) (donde ahí usamos que por hipótesis de inducción \( x_{n-1} \) es impar; y \( x_0+2n \) es impar (por ser impar más par). Entonces si empezamos en un impar la serie es \( x_n=x_0+2n \) que obviamente va al infinito.

- Si \( x_0=2^kx_0' \) par, con \( x_0' \) impar; entonces aplicando \( k \) veces \( f \) se llega a un impar \( f^{k)}(x_0)=x_i \) y por lo que vimos antes ya se cae en una serie que llega a infinito.

[cerrar]

En caso  que exista $$n$$ finito que llegue a infinito en Collatz,  mas allá de dilema de como lo probarás,no sé...

 Vaya por delante que yo creo que no existe. Es que no se si ha quedado claro  esto: yo creo que te todas las afirmaciones que haces son ciertas; pero el problema es que algunas no las has demostrado.

 Entonces ¡yo qué sé cómo sería una prueba de que ese número va a infinito!. Habría que ir probando que en su serie va superando a ratos cualquier cota posible... Pero tampoco sé cómo es una prueba de que no existe.

Mi lógica me dice que en comparación por simple observación y comportamiento que no hallarás $$n$$ que no llegue a infinito en tu ejemplo

,

 O sea porque tienes ejemplos... pero millones de ejemplos que se comporten de una manera no son una demostración.

no necesito probarlo, acaso esperarías que un $$n$$ no cumpla con continuar al infinito con tu función, y si me dices que no es necesario convencido,que se puede probar,

 Vuelvo a lo mismo. Si hablas de mi función del ejemplo tonto si se puede probar con toda rigurosidad que siempre va a infinito. No sé a que viene eso. No es que yo lo afirmase porque "estoy convencido". Lo que pasa es que es obvia la demostración; pero como ves pude escribirla

pues yo estoy convencid del mismo modo, que no existe ese $$n$$ natural que asciende a infinito en Collatz porque si es finito, no llega,  y para que llegue deber iniciar siendo mayor que cualquier natural finito,

 Yo también tengo esa creencia; pero como tú no tengo ninguna demostración de eso.

Sé que lo que tengo que hacer es probarlo , no solo afirmarlo.

¡¡¡¡¡EXACTO!!!!!

Si defino un conjunto de secuencias ascendentes por comprensión y cualquier combinación de cualesquiera de ellas extendida tan grande como se quiera, requiere que el número de inicio este por encima de un número tan grande como se quiera.

 Pero no has demostrado tal cosa.

Ok,  si algo es imposible que sea falso, no es en realidad,verdadero?

Si HAS PROBADO que es imposible que sea FALSO, ¡claro que es verdadero!

Pero como te digo una y otra vez NO HAS PROBADO LOS PUNTOS CLAVE. "Crees", "estás convencido", "los ejemplos muestran que"...

Bueno, por definición de cadena ascendente, "es ascendente", una sucesión de cadenas ascendentes es ascendente, porque habría necesidad de demostrarlo, los números  que pueden  transitar muchas secuencias seguidas iguales son mayores que los que solo transitan pocas, ¿hay necesidad de demostrarlo? De hecho dos cadenas  que empiecen igual cumplen con tener el mismo mínimo, sin embargo al agregarle solo una iteración mas obligatoria a una secuencia, entonces el número mínimo inicial es mayor o a lo sumo igual al mínimo anterior, imposible menor

,

Richard pero es que nos repetimos una y otra vez. Te he dicho hasta tres veces en mi mensaje anterior que eso es cierto pero el problema es el IGUAL.

Antes en la secuencia del 27, te mostré como ese menor número llega un momento que se estanca en [tex]27[tex], es siempre "igual".

Y tu me dirás: "Luis si, pero esa secuencia no se va al infinito". No, claro. No puedo darte un ejemplo de una secuencia infinita porque probablemente no exista, y desde luego nadie conoce ninguna.

 

No se puede ser exhaustivo con ejemplos,  ya me dices que de nada sirve presentarlos, solo he generalizado los ejemplos y sé que todos fallan.   

No. No se puede ser exhaustivo con ejemplos. Si tienes que probar algo sobre una cosa que abarca infinitas posiblidades; con ejemplos que sólo abarquen un número finito de ellas, no puedes concluir nada definitivo.

Si claro , eso lo afirmo, mas larga es, mayor $$n$$, tu quieres lo demuestre, y me dices que solo te he puesto ejemplos,  no imagino que ninguna secuencia ascendente pueda fallar.

Yo tampoco la imagino. Pero si quieres lo mandamos así a una revista. "La conjetura de Collatz es cierta porque es inimaginable que sea falsa".

Esto es una broma exagerada, que simplemente hace hincapié en lo mismo: hay que demostrar las cosas.

Aja!!! lo que te digo es que no puede ser igual siempre exijas lo que le exijas a la secuencia, mas le exiges mas grande el número mínimo que la puede sortear.

No entiendo esta frase.

Tu $$n$$ que podría cumplir dicha secuencia ascendente al infinito debe ser cada vez mas grande para que sea al menos igual al de cualquier corte propuesto  en un número de iteración finito,

¡Y dale!. ¿Y por qué debe de ser más grande?. Cero demostración.

y mas largo el tramo mas grande el $$n$$ , Luego $$n$$  debe inevitablemente ser mas grande que cualquier cota cuando le exijas cumplir una determinada secuencia indefinida, ....

Cuando dices "una determinada", no tengo claro si te refieres a la supuesta secuencia infinita o a la que tu elijas.

Ten en cuenta que si existe una secuencia que va al infinito o supones que existe, tu no puedes razonar sobre ella presuponiendo que tiene en medio el tipo de secuencia que "a ti te conviene"; tendrá las que tenga... sabe Dios.

Es decir, ese determinada no puede ser "determinada", "elegida" por ti.

una secuencia que lleve al infinito, es una sucesión indefinida de sucesiones pequeñas, que cuando le analizas cualquier porción inicial finita , el $$n$$ mínimo de la secuencia indefinida  debe ser mayor a o igual [quoteb]

 ¡Otra vez! "O igual".

. No existe la afortunada secuencia que lo mantiene eternamente... creo que de esto último es de lo que sobrevive tu oposición.

 Afirmación gratuita.

 
Creo que ya lo explique recien, pero  lo intentaré de otro modo, aunque creo que no tengo que probar nada,  es que en realidad me cuesta ver que algo así se dé.

 Lo ponemos en otra revista. "La conjetura de Collatz es cierta porque cuesta ver que se da una secuencia que la haga falsa"

 No sigo contestando punto por punto, porque no soy capaz de decir nada nuevo. Y el problema es siempre el mismo. Lo resumo una vez más citándote aquí
 

  El punto de tu crítica te lo he captado, pero sinceramente no creo que se pueda mantener el numero inicial a menos que vayas en una órbita descendiente . Es claro que una vez que tomas el descenso el numero inicial se conserva, puede ser o no el máximo de la órbita, pero no es así para el ascenso.

 Una creencia no es una demostración.

Saludos.

P.D. Puede ser que yo esté equivocado y tengas una demostración de que no hay cadenas que puedan ir al infinito. Yo no la veo por ningún lado y creo que entiendo perfectamente todas tus ideas. Te basas en ejemplos y tendencias de comportamiento; y en que (estoy contigo) cuesta imaginar que haya una tal cadena, porque se comportaría muy distinto a como se comportan nuestros ejemplos. Pero eso no es una prueba.

Entonces busca otras opiniones, otros puntos de vista. Yo soy incapaz (ya dese hace varios mensajes) de aportar nada nuevo.

[Richard R Richard]

Muchas gracias  Luis.
Creo que nadie puede demostrar nada sino esta convencido, de que por ahí van los tiros. No es que este inentando probar algo, esa camiseta  me queda grande.
Con que no le veas falla lógica,  me pone muy contento, no tengo ni idea de cómo formalizar una demostración para esta conjetura, pero peor sería perder el tiempo en intentar jugar a hacer la demostración partiendo  de algo equivocado de base.
Le voy a buscar tranquilo la forma  de mostrar que donde dice creo, resulte que sea así, no para mí,  sino para todos.


Gracias  de nuevo por tu predisposición.

[danizafa]

Hay una frase que pusiste:

Ok, si algo es imposible que sea falso, no es en realidad,verdadero? O que si es imposible que sea verdadero, será falso?

El tema es que nadie ha podido demostrar que sea imposible que sea falso, o que sea verdadero. Pero tampoco nadie ha probado que es imposible que sea verdadero, o que sea falso.

Otra cosa es el tema del infinito. Tenés que olvidarte del que $$n$$ se vaya a infinito. Centrarte en cambio en una secuencia infinita que crezca.

como vos dijiste si podes encontrar números de la forma $$2^t-1$$ que en $$2t$$ pasos crece, el tema es que esos pasos luego si deben ser infinitos. Pero además, solo podés elegir el $$n_0$$, luego de los $$2t$$ pasos, cómo hace para configurarse otro número que crezca de esa forma? O sea, bajo la iteración de Collatz, la secuencia debería caer otra vez en un número de esa forma para poder encontrar otro tramo de crecimiento igual de prolongado, pero eso es imposible.

Partimos de $$n_0=2^t-1$$, entonces durante $$t$$ pasos tenemos:

\[n_{i+1}=\frac{3n_i+1}{2}\]

que es exactamente la recurrencia

\[n_{i+1}=\frac{3}{2}n_i+\frac{1}{2}\]

tras $$t$$ pasos (impares), o $$2t$$ pasos de los que vos contas, se obtiene

\[\left(\frac{3}{2}\right)^t \, (n_0+1)-1\]

como $$n_0+1=2^t$$, queda:

$$n_t=3^t-1$$.

esto implica que en $$t$$ pasos

$$2^t-1 \,\longrightarrow\, 3^t-1$$

Para continuar el mecanismo, vos necesitarias que el número vuelva a ser de la forma $$2^t-1$$, pero eso implica que $$3^t=2^{t'}$$ lo cual es imposible. Por lo tanto, no podrías concatenar estas secuencias. Entonces que puedas encontrar números con crecimiento controlado en base al exponente para un número de pasos, solo te garantiza crecimiento controlado en esos pasos, luego de eso, el crecimiento lo determina la propia dinámica.

Calculo que vos buscas argumentar con el hecho de que si ese exponente crece y crece, vas a encontrar una secuencia donde va a crecer sin control, el tema es que no podés usar $$2^t-1=2^\infty-1$$ porque ese no es un número. Pero si necesitas que la secuencia crezca en $$\infty$$ iteraciones, y por más alto que sea $$t$$ siempre tenés garantizadas $$t$$ iteraciones crecientes (ya incluyen las divisiones por 2), luego esa secuencia va a decrecer tarde o temprano si Collatz es cierta. Pensalo como que el $$\infty$$ de las iteraciones es más grande que el $$\infty$$ del exponente, siempre vas a tener que iterar mas de $$t$$ veces. Incluso dando por válido esto, vos no podrías decirme cuál es ese $$n_0$$: por eso es que $$2^\infty-1$$ no es un número.


Agrego:

Incluso, viendo la forma de $$n_t$$, podemos ver que siempre es par, entonces podrá ser dividido más de una vez por 2. Entonces escribimos:

$$3^t-1=2^k\cdot m$$ con $$m$$ impar.

Puede darse que $$m=2^{t'}-1$$ ?? Tendía que pasar que:

$$3^t-1=2^k(2^{t'}-1)$$

$$3^t=2^{k+t'}-2^k+1$$

solo en el caso trivial $$m=1$$ se cumple

$$t=2: \, 3^2-1=8=2^3 \rightarrow m=1$$

Por lo tanto, $$3^t-1$$ no puede volver a $$2^{t'}-1$$, y consecuentemente, no podés encadenar ese regimen basado en números de la forma $$2^t-1$$.

Si se cumple $$a=(n_0+1)\dfrac{3^k}{2^k}-1$$     que será impar luego puede ocurrir que exista $$b=\dfrac{3a+1}{2^x}$$  y que   a la vez $$n=(b+1)\dfrac{3^k}{2^k}-1$$ para el mismo k o  bien otro distinto ...

Creo que prueba que esto no puede ocurrir de manera inmediata, más no se si podrá darse el caso que luego de otra cantidad de pasos en lo que no cumpla esa forma lo pueda hacer. Eso no podemos descartarlo, pero tampoco podemos buscar la forma para que vuelva a pasar.

[Richard R Richard]

Para continuar el mecanismo, vos necesitarias que el número vuelva a ser de la forma $$2^t-1$$, pero eso implica que $$3^t=2^{t'}$$ lo cual es imposible. Por lo tanto, no podrías concatenar estas secuencias. Entonces que puedas encontrar números con crecimiento controlado en base al exponente para un número de pasos, solo te garantiza crecimiento cont^t-1rolado en esos pasos, luego de eso, el crecimiento lo determina la propia dinámica.

Hola  Danizafa, concuerdo, esa línea de explorar si se pueden concatenar secuencias de longitud preestablecida, la he explorado y no solo para intercalar un descenso mas o menos pronunciado, sino una variedad de secuencias, descendentes y ascendentes y no he llegado nunca de un numero  de la forma $$3^t-1$$ a uno de la forma $$2^{t'}-1$$... Siempre he pensado que es debido a mi propia incapacidad, pero no a que sea imposible, si fuera imposible pues no habría forma de reanudar ningún ascenso, no los habrá con la forma $$2^t-1$$ pero si de otra, sino no habría forma de llegar a infinito con concatenación de cadenas ascendentes y descendentes y el tema estaría resuelto. Mi forma de verlo es que si se puede, pero con número de inicio por encima de cualquier cota natural para reemplazar el símbolo que caracteriza al infinito.

Calculo que vos buscas argumentar con el hecho de que si ese exponente crece y crece, vas a encontrar una secuencia donde va a crecer sin control, el tema es que no podés usar $$2^t-1=2^\infty-1$$ porque ese no es un número. Pero si necesitas que la secuencia crezca en $$\infty$$ iteraciones, y por más alto que sea $$t$$ siempre tenés garantizadas $$t$$ iteraciones crecientes (ya incluyen las divisiones por 2), luego esa secuencia va a decrecer tarde o temprano si Collatz es cierta. Pensalo como que el $$\infty$$ de las iteraciones es más grande que el $$\infty$$ del exponente, siempre vas a tener que iterar mas de $$t$$ veces. Incluso dando por válido esto, vos no podrías decirme cuál es ese $$n_0$$: por eso es que $$2^\infty-1$$ no es un número.

Si, si ,bueno por eso estoy buscando la forma de evitar eso , aplicando cualquier recurso que quiera dar el mismo significado, pero  con un contenido matematico entendible, no conflictivo , ni vago, ni ambiguo ,ni  erróneo, la idea es probarme que no existe ese $$n_0$$ natural... Como?... No lo sé, yo me convenzo fácil, pero demostrárselo a los demás requiere mas esfuerzo.

Si ya estuve jugando con la IA para ver si hay alguna solución distinta de $$m=1$$, pero no he logrado nada... y desarrollando un poco , generalizando casos, muy similares a esos que tu igualas a 1, y me resultaron un callejón sin salida en mi caso, pensarlo de ese modo.
Opino que cuando le pones el valor a $$n_0$$ es como si lo condenas a ir a 1 por su ruta determinada por la función. Por eso he intentado de no darle ese nombre propio y manejar la cadena de ascensos y descensos, para explorar que características debe tener una secuencia que ascienda a infinito, si tales características fueran imposibles de cumplir por cualquier natural, entonces no habría nombre propio o valor natural aplicable a la variable $$n_0$$ que lleve a infinito , ojalá, zanjando esa parte de la conjetura. La otra pata de la conjetura la de los los ciclos también intenté reemplazar ese 1 por el valor de $$n_0$$ y llevarlo todo a  aritmética modular con números base $$2^t-3^{t'}$$, pero intentar generalizar la variedad  de estructuras de las cadenas cíclicas(combinaciones de ascensos y descensos), es otro puzzle que dejado de lado por ahora.

[danizafa]

Hola  Danizafa, concuerdo, esa línea de explorar si se pueden concatenar secuencias de longitud preestablecida, la he explorado y no solo para intercalar un descenso mas o menos pronunciado, sino una variedad de secuencias, descendentes y ascendentes y no he llegado nunca de un numero  de la forma $$3^t-1$$ a uno de la forma $$2^{t'}-1$$... Siempre he pensado que es debido a mi propia incapacidad, pero no a que sea imposible, si fuera imposible pues no habría forma de reanudar ningún ascenso, no los habrá con la forma $$2^t-1$$ pero si de otra, sino no habría forma de llegar a infinito con concatenación de cadenas ascendentes y descendentes y el tema estaría resuelto. Mi forma de verlo es que si se puede, pero con número de inicio por encima de cualquier cota natural para reemplazar el símbolo que caracteriza al infinito.

Si, si ,bueno por eso estoy buscando la forma de evitar eso , aplicando cualquier recurso que quiera dar el mismo significado, pero  con un contenido matematico entendible, no conflictivo , ni vago, ni ambiguo ,ni  erróneo, la idea es probarme que no existe ese $$n_0$$ natural... Como?... No lo sé, yo me convenzo fácil, pero demostrárselo a los demás requiere mas esfuerzo.

Si ya estuve jugando con la IA para ver si hay alguna solución distinta de $$m=1$$, pero no he logrado nada... y desarrollando un poco , generalizando casos, muy similares a esos que tu igualas a 1, y me resultaron un callejón sin salida en mi caso, pensarlo de ese modo.
Opino que cuando le pones el valor a $$n_0$$ es como si lo condenas a ir a 1 por su ruta determinada por la función. Por eso he intentado de no darle ese nombre propio y manejar la cadena de ascensos y descensos, para explorar que características debe tener una secuencia que ascienda a infinito, si tales características fueran imposibles de cumplir por cualquier natural, entonces no habría nombre propio o valor natural aplicable a la variable $$n_0$$ que lleve a infinito , ojalá, zanjando esa parte de la conjetura. La otra pata de la conjetura la de los los ciclos también intenté reemplazar ese 1 por el valor de $$n_0$$ y llevarlo todo a  aritmética modular con números base $$2^t-3^{t'}$$, pero intentar generalizar la variedad  de estructuras de las cadenas cíclicas(combinaciones de ascensos y descensos), es otro puzzle que dejado de lado por ahora.

Había hecho una fórmula para concatenar pero basado en aritmética módulo 6, que es donde me siento más cómodo, pero luego me di cuenta que no siempre se cumplía, así que solo pude quedarme con la primera parte, el tema es que yo creía que podía controlar cuando aparece el siguiente bloque de crecimiento, y encontré de casualidad números en los que se cumplía, estaba chocho, pero yo buscaba probar que una caída brusca era forzada. Luego en un momento no se cumplió mi ley y también fue una descepción, jajaja. Pero las decepciones en este tipo de problemas son aprendizaje, aún nadie lo ha resuelto. Yo he formulado varias visiones para atacarlo, he encontrado la forma de determinar cual será el número de divisiones que sufrirá solo descomponiendo $$n=6t+r \, \, con \, r={1,5}$$, he visto donde se cumple la concatenación en ese $$t$$, cuales son las condiciones modulares del mismo. Como la forma $$3n+1=6t+4$$ domina todo ese descenso. Pero me tope con la pared de que eso no sirve porque las secuencias no se ordenan como se ordenan los naturales.

He armado lo de la recurrencia $$4n+1$$, probé que si hay un ciclo, este no puede tener ningún elemento que se divida tres o más veces (esto por el momento lo tengo reservado, tampoco quiero caer en que me convencí de algo demasiado fácil, pero además lo hice desde una generalización de mapas tipo Collatz, por eso creo que antes puse que quizás pensé bastante fuera de la caja), por eso estudié las ramas de esa forma. Pero sigue existiendo el hecho de la sucesión infinita. Construí una prueba de eso, pero tiene un punto débil, y es justo lo que parece un salto lógico extendiendo esa prueba a órbitas infinitas.

Pero mi razonamiento favorito es el que te puse antes:

Cuando usas tu fórmula

\[\frac{3n_0+1}{2^q}\]

y luego realizas varios pasos asi, podés resumirlo en una fórmula cerrada que condense todos esos pasos, te quedaría algo como:

\[n_m = \frac{3^m n_0+ C}{2^Q}\]

donde $$m$$ es la cantidad de iteraciones que haces,
\[Q = q_0 + q_1 + q_{m-1} = \sum_{j=0}^{m-1} q_j\]
y
\[C = \sum_{j=1}^{m} 3^{m-j} \, 2^{Q_{j-1}}\]

Una de mis ideas es que esa misma estructura que vos anidaste, es una ecuación de la siguiente forma...

\[1 = \frac{3\left(\dots\frac{3\left(\frac{\left(n_0\right)+1}{2^{q_0}}\right)+1}{2^{q_1}}\dots\right)+1}{2^{q_{m-1}}}\]

Que luego de $$x$$ cantidad de iteraciones la órbita llegue a uno, significa que vas resolviendo de adentro para afuera. Lo que significa que mientras mas alejado en pasos estes del unomas pequeño es el número por decirlo de alguna manera. si lo expandis como hice antes:

\[1=\frac{3^m n_0}{2^Q} + \frac{3^{m-1}}{2^Q} + \frac{3^{m-2} \cdot 2^{q_0}}{2^Q} + \dots + \frac{3 \cdot 2^{Q-q_{m-1}-q_{m-2}}}{2^{Q}} + \frac{1 \cdot 2^{Q-q_{m-1}}}{2^Q}\]

Y acá tengo algo que no puedo usar como argumento, pero quiero explicar como lo pienso, para mostrar por donde va la intuición: Si $$m\to \infty$$ entonces ese último término jamás llega, pero esto es lo mismo que te pasa a vos con que querés ver el número que se va a infinito. Por eso entiendo tu punto de vista, porque el problema dentro del argumento es similar...

Entonces, igualar eso a 1, a medida que $$m$$ aumenta, sería ir retrocediendo en el árbol inverso. Entonces el problema está en que existe $$m, \{q_0, q_1,\dots,q_{m-1}\}$$ para $$n_0$$ tal que

\[1=\frac{3^mn_0}{2^Q} + \frac{3^{m-1}}{2^Q} + \frac{3^{m-2} \cdot 2^{q_0}}{2^Q} + \dots + \frac{3 \cdot 2^{Q-q_{m-1}-q_{m-2}}}{2^{Q}} + \frac{1 \cdot 2^{Q-q_{m-1}}}{2^Q}\]

Y por eso para mi es el objetivo más directo.

Y el tema de las cotas, me permití discutirlo basicamente como vos planteaste, si vos estableces algo como

\[\frac{3^t}{2^t}(n_0)\]

por simplicarlo, estás mostrando que $$n_0\mapsto n_t$$ crece, entonces lo que importa es $$n_t$$, pero ese número tiene infinitas preimágenes, y solo para tu $$n_0$$ crece, pero todos los

$$n_s=4^sn_0+\frac{4^s-1}{3} : s>0$$

son distintos iniciales que tienen la misma órbita que $$n_0$$, es decir, que llegan a $$n_t$$ y son más los que muestran decrecimiento que los que muestran crecimiento. Podés contraargumentar que son diferentes iniciales, pero la realidad es que hay que probar que globalmente la órbita no contrae.

Y justamente es $$\{q_0,q_1,q_2,q_3,\dots,q_{m-1}\}$$ lo que determina la secuencia, y que además no pueden ser elegidos libremente. En mis $$n_s$$ lo unico que varía es $$q_0$$ que hace $$q_0^{(s)}=q_0+2s$$. Ese aumento te lleva a un mayor numero si analizas un paso anterior. Aún así, veo muy dificil poder hacerlo.

Lo bueno es que no son malas ideas (creo). Aunque si, están lejos de lo que simplificaría una cota global que sea suficiente para probarlo. Y creo que la cota tiene un problema, y es justo que toma un promedio de $$\{q_0,q_1,q_2,q_3,\dots,q_{m-1}\}$$, pero está alterando la parte más rígida del problema, esa que justamente no podemos elegir libremente. Si ponderara de alguna manera los pesos en cada paso... Pero el tema es que esta ponderación es tan dificil como analizar cada órbita, en las potencias de 3 está totalmente controlado, pero sigue siendo el problema la potencia de 2 paso a paso.

Si hay algo que no se entienda, es porque a la vez que escribía me puse a pensar como se podría hacer.

[Richard R Richard]

Y acá tengo algo que no puedo usar como argumento, pero quiero explicar como lo pienso, para mostrar por donde va la intuición: Si $$m\to \infty$$ entonces ese último término jamás llega, pero esto es lo mismo que te pasa a vos con que querés ver el número que se va a infinito. Por eso entiendo tu punto de vista, porque el problema dentro del argumento es similar...

Entonces, igualar eso a 1, a medida que $$m$$ aumenta, sería ir retrocediendo en el árbol inverso. Entonces el problema está en que existe $$m, \{q_0, q_1,\dots,q_{m-1}\}$$ para $$n_0$$ tal que

\[1=\frac{3^mn_0}{2^Q} + \frac{3^{m-1}}{2^Q} + \frac{3^{m-2} \cdot 2^{q_0}}{2^Q} + \dots + \frac{3 \cdot 2^{Q-q_{m-1}-q_{m-2}}}{2^{Q}} + \frac{1 \cdot 2^{Q-q_{m-1}}}{2^Q}\]

Si, lo veo muy similar, solo que me gusta pasar el denominador a la izquierda, y trabajar el sumatorio , como una suma de enteros y no de racionales, cuestión de gustos digamos... No se donde leí si fue la IA o que, que todo ese sumatorio que no depende de $$n_0$$ linealmente , le dan un nombre particular lo meten en una variable asignándole una letra. Algo así entendí que hace Terence Tao, salvando las distancias.
El tema es que siempre aparecen todos los exponentes para el 3 entre $$ 0$$ y $$m-1$$, pero solo los acumulados para los exponentes de 2, esos exponentes depende de como es la cadena, eso hace  que el sumatorio sea diferente  para cada tipo de cadena, pero si sabemos que los exponentes del 2 necesariamente van desde 0 y un valor minimo de $$m$$ y hasta aproximadamente $$1.58 m$$ , pasado ese valor la cadena inevitablemente será descendiente. La cantidad de formas en que se puede obtener ese sumatorio  es un numero combinatorio, basado en factoriales y crece mas rapidamente que a lo que a uno le da ganas de hacer un analisis de tendencia.

Y justamente es $$\{q_0,q_1,q_2,q_3,\dots,q_{m-1}\}$$ lo que determina la secuencia, y que además no pueden ser elegidos libremente. En mis $$n_s$$ lo unico que varía es $$q_0$$ que hace $$q_0^{(s)}=q_0+2s$$. Ese aumento te lleva a un mayor numero si analizas un paso anterior. Aún así, veo muy dificil poder hacerlo.

Bueno allí tengo un punto de vista diferente, yo creo que "si se pueden elegir libremente", pero eso implica que no cualquier $$n_0$$ estará en orbita con cualquier $$n_t$$ o viceversa y justamente la posibilidad de que sean elegibles libremente , me permite generalizar y ver que si $$m$$ aumenta , necesariamente $$n_0$$ aumenta, que es lo que Luis me pide que demuestre, la consecuencia  de eso es que extender la cadena  indefinidamente , hace que el número $$n_0$$ aumente indefinidamente... Bueno ,pero lo  primero es lo primero , probar que cualquier extensión de cadena arbitraria hace que el numero inicial aumente, y solo para un caso  de los posibles, el numero permanece igual, y ese caso se da cuando esa cadena es la que lo lleva a 1 y no a $$n_t$$

[danizafa]

Si, lo veo muy similar, solo que me gusta pasar el denominador a la izquierda, y trabajar el sumatorio , como una suma de enteros y no de racionales, cuestión de gustos digamos... No se donde leí si fue la IA o que, que todo ese sumatorio que no depende de $$n_0$$ linealmente , le dan un nombre particular lo meten en una variable asignándole una letra. Algo así entendí que hace Terence Tao, salvando las distancias.
El tema es que siempre aparecen todos los exponentes para el 3 entre $$ 0$$ y $$m-1$$, pero solo los acumulados para los exponentes de 2, esos exponentes depende de como es la cadena, eso hace  que el sumatorio sea diferente  para cada tipo de cadena, pero si sabemos que los exponentes del 2 necesariamente van desde 0 y un valor minimo de $$m$$ y hasta aproximadamente $$1.58 m$$ , pasado ese valor la cadena inevitablemente será descendiente. La cantidad de formas en que se puede obtener ese sumatorio  es un numero combinatorio, basado en factoriales y crece mas rapidamente que a lo que a uno le da ganas de hacer un analisis de tendencia.

Creo que lo he puesto yo, pero ya no recuerdo en que hilo. Tao lo llama $$Syrac(\mathbb{Z}/3^n\mathbb{Z})$$, pero lo toma como una variable aleatoria. Para mi no tiene nada de aleatoria, sino que es la descripción exacta de la órbita.

Bueno allí tengo un punto de vista diferente, yo creo que "si se pueden elegir libremente", pero eso implica que no cualquier $$n_0$$ estará en orbita con cualquier $$n_t$$ o viceversa y justamente la posibilidad de que sean elegibles libremente , me permite generalizar y ver que si $$m$$ aumenta , necesariamente $$n_0$$ aumenta, que es lo que Luis me pide que demuestre, la consecuencia  de eso es que extender la cadena  indefinidamente , hace que el número $$n_0$$ aumente indefinidamente... Bueno ,pero lo  primero es lo primero , probar que cualquier extensión de cadena arbitraria hace que el numero inicial aumente, y solo para un caso  de los posibles, el numero permanece igual, y ese caso se da cuando esa cadena es la que lo lleva a 1 y no a $$n_t$$

Te comento como lo veo y por qué te digo que no puedes elegir libremente. Estamos de acuerdo en que vos podés elegir libremente $$n_0$$, al aplicar $$3n_0+1$$ obtenes siempre un número par, consecuentemente ahora tendras que dividir por dos al menos una vez. Pero lo que vemos en esa ecuación que yo puse, es una forma con el denominador común de todos los sumandos, pero hay otra manera: lo hagamos con un ejemplo, tomemos $$n_0=13$$, cuya órbita es $$13 \mapsto 5 \mapsto 1$$, antes habiamos visto que quedaba como:

\[1 = \frac{9(13)}{128} + \frac{3}{128} + \frac{8}{128}\]

Si vemos la forma como anidaste vos es:

\[1 = \frac{3 \cdot \left( \frac{3 \cdot (13) + 1 }{8} \right) +1}{16}\]

Entonces, en realidad si sacamos el sumando del 1 es:

\[1 = \frac{3 \cdot \left(3 \cdot (13) + 1 \right)}{16 \cdot 8} + \frac{1}{16}\]

\[1 = \frac{ 9 \cdot (13) + 3 }{128} + \frac{1}{16}\]

En símbolos:

\[n_m = \frac{3^2 n_0 + 3^1 }{2^{q_0 + q_1}} + \frac{3^0}{2^{q_1}}\]

Son potencias de 3 dividido potencias de 2. Al sacar común denominador es que se produce la multiplicación en el numerador. Las potencias de 3 van en aumento mientras nos alejamos del número final, y las de 2 van acumulando los totales.

Entonces a medida que vas saliendo de la forma anidada, vas desacumulando potencias de 2 y decrece el exponente de la potencia de 3. Pero las potencias de 2 en cada paso son fijas, a partir del número inicial la secuencia está determinada. En el caso del ejemplo $$q_0=3$$ y $$q_1=4$$

\[1 = \frac{3^2 (13) + 3^1 }{2^{3 + 4}} + \frac{3^0}{2^{4}}\]

Si vos "elegís" esa secuencia de $$q_i$$ estás eligiendo el $$n_0$$ en realidad. Lo que no podés hacer es elegir $$n_0$$ y a la vez cambiar los $$q_i$$, ellos dependen de los $$n_i$$, en particular, son la cantidad de veces que se divide $$3n_i+1$$.

El resultado 1 no es que lo esté fijando, vos podrías tomar cualquier número final, pero variaría la cantidad de iteraciones, y por lo tanto, la cantidad de sumandos de esa ecuación. Si tuvieras una órbita más larga, por ejemplo: $$7 \mapsto 11 \mapsto 17 \mapsto 13 \mapsto 5 \mapsto 1$$ esa ecuación queda mas larga, salvo que quieras truncar una cantidad de pasos antes de llegar al 1.

\[n_m = \frac{3^m n_0}{2^{q_0+q_1+\dots+q_{m-1}}} + \frac{3^{m-1}}{2^{q_0+q_1+\dots+q_{m-1}}} + \frac{3^{m-2}}{2^{q_1+\dots+q_{m-1}}} + \dots  + \frac{3^1}{2^{q_{m-2}+q_{m-1}}}+ \frac{3^0}{2^{q_{m-1}}}\]

Vos podés partir de un mismo $$n_0$$ y probar diferentes números para $$m$$, pero se te van a generar $$m+1$$ sumandos donde solo 1 de ellos depende de $$n_0$$ por lo que vas a tener $$m$$ sumandos que no dependen de $$n_0$$, pero eso te altera la cadena que va acumulando los exponentes de los denominadores. Por ejemplo desde $$n_0=7$$ hasta $$n_m=1$$ tenés $$m=5$$, si modificas y la secuencias de $$q_i$$ es $$1,1,2,3,4$$

\[1=\frac{3^5 (7)}{2^{11}} + \frac{3^4}{2^{11}} + \frac{3^3}{2^{10}} +\frac{3^2}{2^9} +\frac{3^1}{2^7} +\frac{3^0}{2^4}\]

Fijate que la ecuación se ve muy distinta a como la planteabamos antes.

\[1=\frac{3^5 (7)}{2^{11}} + \frac{3^4 + 3^3 \, 2^1 + 3^2 \, 2^2 + 3^1 2^4 + 3^0 2^7 }{2^{11}} = \frac{2048}{2048}\]

¿Qué pasa si cambiamos a $$m=3$$? Si vemos en como va la órbita, sabemos que $$n_m=13$$, pero acá ya no acumulás $$Q=11$$, sino que acumulás $$Q=4$$

\[13=\frac{3^3 (7)}{2^4} + \frac{3^2}{2^4} + \frac{3^1}{2^3} + \frac{3^0}{2^2} = \frac{208}{16} \]

Que coincide con $$n_m=13$$.

Entonces no hay una cota posible realmente, porque esos términos no dependientes de $$n_0$$ permanentemente producen el equilibrio.

\[2^Q n_m = 3^m n_0 + C\]

Esta es la ecuación de la dinámica y en cada paso se cumple. Si fijas un $$n_0$$ y un $$m$$, $$Q$$ se determina automáticamente al igual que $$n_m$$.
Si elegís un $$n_0$$ y un $$n_m$$ que esté en la sucesión, vas a poder encontrar $$Q$$ y $$m$$. Si partis de un $$n_0$$ y asignas las secuencias de $$q_i$$ vas a encontrar $$n_m$$ y $$m$$ depende de la cantidad de elementos $$q_i$$ que definiste.

Lo que no podés hacer, es fijar $$n_m$$ y $$n_0$$ e intentar alterar siquiera el orden de los $$q_i$$, por mas que acumule lo mismo, estás definiendo otra ruta. Los $$q_i$$ además solo pueden modificarse en iteración inversa, por lo que si conmutas el orden con un $$n_m$$ fijo, vas a llegar a otro $$n_0$$.

En definitiva, yo identifico 4 elementos: $$n_0, \, n_m, \, m, \, \{q_0,q_1,\dots, \, q_{m-1}\}$$

Pero en la iteración directa, dado un número inicial, no es posible elegir esas secuencias $$q_i$$.

Si haces una inversa, a partir de un número final, podés elegir la secuencia, pero esa elección te va a llevar siempre a un inicial distinto.

\[ n_m = \frac{3^m n_0 + C}{2^Q} \]

\[n_0 = \frac{2^Q n_m - C}{3^m}\]

Son las 2 derivaciones de la que puse antes:

\[2^Q n_m = 3^m n_0 + C\]


Aprovecho y te muestro lo de tomar la recurrencia $$4n+1$$, con el ejemplo del 13:

\[13=\frac{3^3 (7)}{2^4} + \frac{3^2}{2^4} + \frac{3^1}{2^3} + \frac{3^0}{2^2} = \frac{208}{16} \]

Luego $$4(7)+1=29$$

\[13=\frac{3^3 (29)}{2^6} + \frac{3^2}{2^6} + \frac{3^1}{2^3} + \frac{3^0}{2^2} = \frac{832}{64} \]

Fijate que solo cambian los sumandos que tienen que ver con la primer operación, los que tiene las potencias $$3^m$$ y $$3^{m-1}$$ acumulan $$+2$$ en el exponente del denominador por cada aplicación de la recurrencia y luego solo modificas el $$n_0$$, tenés el mismo resultado, y la misma secuencia futura de sumandos.

[Richard R Richard]

Me alegra que hayas sido tu el que mencionaste el trabajo de Tao y no una IA, me apena no recordar la fuente de lo que voy leyendo, imagina lo que me va quedando de lo que voy aprendiendo...
Hola en cuanto a la libertad  no me refería a que puedes inventar una ruta entre dos números libremente, sino que puedes escoger ,el tipo de ruta a transitar libremente, es decir la secuencia de ascensos y descensos algunos obligados y otros elegidos libremente... definida la ruta son escasos proporcionablemente los pares de números $$n_0$$ y $$n_m$$  que pueden estar a inicio y fin de esas secuencias y puedes, elegir libremente cualquier  para ejemplificar.
Lo que he estado viendo es que una determinada secuencia te puede llevar a 1 partiendo de un $$n_0$$ especifico, pero aplicada a otro número de inicio  no es suficiente para llevarte a 1, aunque sea descendente y todos los términos  , Del mismo modo hay ascendentes, pero no tenemos mas que el 1421 que te lleva de vuelta al mismo numero la secuencia$$KCC$$.
En particular puse la mira en las secuencias ascendentes, en particular algo que quiero formalizar como prueba o teorema es que siempre existe un n_0 mínimo para iniciar cualquier secuencia, y que creo que es cierto, pero hay que demostrarlo me dicen , que por mas que esa secuencia forme parte de otra secuencia mas larga, los números a los que se le aplica la secuencia larga, son inevitablemente mayores que ese mínimo.
 Me refiero a  que  esa variable $$C$$ contiene toda la información referente a la forma de la secuencia, y es función de $$m$$ y de todos los $$q_i$$, luego los números iniciales y finales surgen como un conjunto infinito de soluciones a la ecuación diofántica  $$2^Q n_m = 3^m n_0 + C$$ y habrá un elemento de conjunto donde el $$n_0$$ sea al menor de todos.

[Richard R Richard]

Continuo con la charla de Café...
Sea  $$n$$ un número natural al que le vamos a aplicar la función de Collatz,
$$F(n) =\begin{cases}{ 3n+1}&\text{si}&n \text{ es impar.} \\n/2 & \text{si}& n\text{ es par.}\end{cases}$$
Voy a cambiar un poco la nomenclatura y la forma de la función
$$F(n) =\begin{cases}{ \dfrac{3n+1}{2}}&\text{si}&n \text{ es impar. Este paso lo denomino Q}  \\n/2 & \text{si}& n\text{ es par. Este paso lo denomino W}\end{cases}$$
Toda serie de iteraciones de la función que inicia en $$n$$ puede escribirse como una serie de pasos  del tipo $$Q$$ o $$W$$  eje $$QWQWWQ...$$ podría haber elegido otra denominación como "1" y "0" asemejando la secuencia a un número binario, pero me resulta más claro trabajar con las letras, igualmente no hay forma de hacer una forma cerrada de función $$F(binario)=n_{min}$$ pues hay que ir sumando internamente la cantidad de $$1$$ o $$Q$$  por lo que aún creo es necesario un algoritmo o recursión,(aparte de evitar los ceros a la izquierda que podrían traer confusiones) pero que sí establece una relación 1 a 1 entre la secuencia y el número mínimo.
De ese modo  según una IA podría escribirse como
 \[
n_S =
\left(
\sum_{i=0}^{a-1} \sum_{j=0}^{a-1}
q_i (-1)^j \binom{k_i + j - 1}{j} 2^{i+j}
\right)
-
2^a \left\lfloor
\frac{
\left(
\sum_{i=0}^{a-1} \sum_{j=0}^{a-1}
q_i (-1)^j \binom{k_i + j - 1}{j} 2^{i+j}
\right)
-1
}{2^a}
\right\rfloor
\]
donde
\[
S = s_0 s_1 \dots s_{a-1}, \quad s_i \in \{Q, W\}
\]


\[
q_i =
\begin{cases}
1 & \text{si } s_i = Q \\
0 & \text{si } s_i = W
\end{cases}
\]


\[
k_i = \sum_{j=i+1}^{a-1} q_j
\]
Todo natural que se ha puesto a prueba  termina por caer a 1, la serie de pasos que lo lleva hasta ahí es única para cada natural es decir existe una función total  sobreyectiva entre los naturales y las posibles  secuencias.   Ya que la gran mayoría terminará al menos en $$WWW$$ y uno solo en $$WW$$ y otro en $$QW$$, pero nunca termina en $$Q$$.
Del mismo modo sabemos que toda serie de  $$d$$ pasos puede combinarse de $$2^d$$ formas diferentes y entonces habrá ilimitadas series posibles cuanto $$d$$ se haga tan grande como uno quiera.
A cada serie si le podemos asociar con una función inyectiva sobre los naturales definiendo la función que devuelva el "mínimo" natural que puede transitar la secuencia con todos los pasos legales enteros y  de la paridad requerida por la función de Collatz.
Podemos entonces establecer una Lista $$L$$ con todas y cada una de las posibles combinaciones de series de cada longitud $$d$$ y asociarle a cada una su número mínimo.
A la misma lista le podemos agregar otra secuencia  basada en caracteres $$Q$$ y $$W$$ que es la que llevaría al número final de la secuencia  hasta el número 1.  Como esta función es sobreyectiva siempre dispondremos de  camino que lleva a 1, al menos la podemos obtenerla de todos los naturales que se han probado hasta ahora, dejemos pendiente la posibilidad que exista al menos un caso en que tal secuencia  se trunca en una cantidad $$y$$ de pasos , pues suponemos  que nunca llegara a 1. Llamaré a esa secuencia $$E(n_f)$$
Así la lista tiene tres datos , la secuencia $$S$$, el mínimo $$n$$ y la secuencia $$E(n_f)$$ que sigue para llegar a 1 que tendrá longitud finita $$e$$
Dos secuencias similares pueden tener el mismo número natural de inicio, si ambas son una porción inicial de distinta longitud extraída de la misma serie que lleva a ese natural a caer en el 1. En esos casos la unión de las secuencias $$S$$ y $$E$$ llevan a $$n$$ hasta 1.
Mediante la solución de una ecuación diofántica se puede  hallar ese $$n$$ mínimo, aunque existirán infinitos otros naturales mayores que $$n$$ que también pueden transitar la misma secuencia, pero solo estamos interesados en el mínimo. La ecuación en cuestión es $$2^d n_f = 3^m n_0 + C$$ donde $$C$$ es una constante que depende de la secuencia , $$m$$ es el número de veces que aparece $$Q$$ en la secuencia y $$d$$ es la longitud de la secuencia  es decir la suma de la cantidad $$m$$ de $$Q$$  y la cantidad $$t$$ de $$W$$ presentes , $$n_0$$ es el número que inicia la secuencia y $$n_f$$ el número final. 
Cuando $$n_0$$ es el mínimo de una serie o secuencia $$S$$, lo llamo $$n_S$$  y al final de esa serie estará \[n_f=m_S = T_S(n_S)\] el número final de la serie $$S$$ o de la transformación iniciada en $$n_S$$
Podemos convertir una serie en otra al agregarle  o bien al final una $$W$$ o una $$Q$$.
Como $$T_S(n_S)$$ puede ser par o impar  el agregado arbitrario de una $$W$$ o $$Q$$ puede que respete o no la función de Collatz.  Hay solo 4 escenarios posibles para calcular el nuevo mínimo  y los 4 con la misma formula


$$n'_{S'}=n_S+r\cdot 2^d$$
donde
$$r(T_S(n_S)) =\begin{cases}{ 0}&\text{si}&T_S(n_S)\equiv0mod2 \text{ es par } \\1 & \text{si}& T_S(n_S)\equiv1mod2 \text{ es impar }\end{cases}$$


1)Si $$ T_S(n_S)\equiv 0mod 2\Rightarrow{r=0}$$  y $$S'(n')=SW \Longrightarrow{n'_{S'}=n_S}$$
2)Si $$ T_S(n_S)\equiv 1mod 2\Rightarrow{r=1}$$  y $$S'(n')=SW \Longrightarrow{n'_{S'}=n_S+2^d}$$
3)Si $$ T_S(n_S)\equiv 0mod 2\Rightarrow{r=0}$$  y $$S'(n')=SQ \Longrightarrow{n'_{S'}=n_S+2^d}$$
4)Si $$ T_S(n_S)\equiv 1mod 2\Rightarrow{r=1}$$  y $$S'(n')=SQ \Longrightarrow{n'_{S'}=n_S}$$


Sea  $$N_0$$ el número del cual suponemos que aplicando la función de Collatz , no desciende a 1 en un número finito de pasos  $$x$$  que es menor a $$y$$ una cota tan grande como queremos auto impuesta en la cual podemos  suponer que más allá de ella ya la función de Collatz no baja a 1.
$$x$$ es la cantidad de pasos que se han seguido en la práctica y se ha visto que aún no desciende a 1  ,
$$N_f$$ el último  número calculado de la secuencia iniciada en $$N_0$$ luego de $$x$$ pasos,
$$S_N$$ es la secuencia seguida por la función de Collatz durante esos $$x$$ pasos tomados de la forma $$Q$$ y $$W$$.
Hacemos el siguiente ejercicio mental, tomamos el primer carácter de la secuencia $$S_N$$, y buscamos cual es el mínimo entero que cumple dicha secuencia.
Luego repetimos para el primer y segundo carácter de la secuencia, encontrando el mínimo,
Establecemos una lista hasta completar todas las secuencias de longitud ascendente  hasta $$x$$ caracteres de la secuencia $$S$$. , ejemplos [Q],[QW],[QWQ],[QWQQ],[QWQQW],...
Como la lista $$L$$ es inyectiva contiene todos los casos posibles de secuencias que puede tomar la secuencia $$S_N$$ mientras $$x$$ su longitud, sea de un valor finito.


Para cada elemento de la lista  buscamos cual es el número mínimo $$n$$ que la recorre $$n_{min}$$ y vamos viendo cómo evoluciona ese número al seguir agregando pasos.


Si existe el número finito que va hacia infinito, entonces el mínimo que se ha encontrado al ir incrementando la longitud hasta $$x$$ de la secuencia se irá también incrementando hasta alcanzar el valor de $$n$$, que  aparecerá  como truncado en $$y$$ elementos en la Lista $$L$$.


Por qué se va incrementando el mínimo... por dos razones,
La primera que ocurre  es que  si de un paso $$S_i$$ al siguiente $$S_{i+1} = S_iW$$ o bien $$S_{i+1} = S_iQ$$, el último carácter ingresado luego de la secuencia $$S_i$$ es decir $$Q$$ o $$W$$ , no se corresponde con el primer carácter de la secuencia $$E(n_f)$$ del número $$n$$,  quiere decir la secuencia $$S+E$$ no llevará a 1  como se esperaba, y entonces y como $$n$$ es el mínimo que podía transitar la secuencia hasta $$S_i$$, cualquier otro número que siga la secuencia hasta $$S_{i+1}$$ basada en $$N$$  debe ser mayor a $$n$$   ese número es $$n_{S_{i+1}} = n_{S_i}+2^i$$
Como todas las posibilidades de secuencias han sido exploradas, el inicio de longitud $$x$$ de  la secuencia de $$N$$ tiene asociado el valor  mínimo  de $$n$$ posible que puede o no tomar  $$N$$. 


Y la segunda es que puede suceder que la secuencia inicial hasta  $$i$$ de $$N$$ o sea $$S_i$$ sea exactamente la secuencia $$S+E$$ del $$n$$ mínimo por lo que llega a 1 con el $$n$$ mínimo , luego $$N$$ debe ser mayor a $$n$$ porque sabemos que $$N$$ no llega a 1 en $$S_i$$, por lo que el paso $$S_{i+1}$$ obligaría a reproducir el ciclo $$1421$$ o $$QC$$ indefinidamente que como es una secuencia descendente llevaría a $$N$$ hasta el 1 y no a infinito, así que ese $$n$$ finito no es $$N$$ y entonces $$N$$ debe ser mayor a $$n$$ y el siguiente que cumple es $$n_{S_{i}+E} = n_{S_i}+2^{i+e}$$.


El mínimo para cada longitud $$d$$ se puede ir repitiendo, es decir si buscamos el menor $$n$$ para cada longitud $$d$$ resulta que varias longitudes van teniendo el mismo $$n_{min}$$ de inicio, es así porque ese mínimo $$n$$ es el que tiene la cadena mas larga que $$d$$ para llegar a 1. Cuando la forma de la secuencia es tal que le permite al mínimo llegar a 1 es decir  $$S+E$$, ese número inicial se mantiene hasta esos $$d$$ pasos, así que el mínimo coincide con aquel mínimo natural que tiene la cadena más larga hasta llegar a 1 y , mantendrá su valor hasta la longitud que lo lleva a 1, luego seguirá  otro mayor, no necesariamente $$2^x$$ más grande que el anterior, hasta la longitud $$d$$ de su secuencia $$S+E$$ cuya secuencia también lo lleve a 1. 
Para cada longitud $$d$$ existe un $$n_{{min}_T}$$ que es el minimo $$n_{min}$$ de todas las secuencias de esa longitud.
Como la lista es tan larga como queremos, y nos interesa la porción cortada de la secuencia de un $$N$$ que no puede ser igual a ninguna secuencia $$S+E$$ de ningún $$n$$ mínimo finito al que si o si le podemos asignar una de todas la posibles secuencias $$S$$ de longitud $$d$$ y no debe iniciar con el primer carácter de la secuencia asociada $$E$$ en la lista para ese $$n$$ entonces $$N$$ es mayor que cualquier $$n$$ mínimo de una cadena de longitud $$d$$ en la cantidad $$2^d$$ y como $$d$$ no tiene cota, pues entonces no hay cota para el valor de $$N$$, luego $$N$$ no es un natural.


Si existiera $$N$$ con su serie de longitud infinita, tiene que superar a cualquier $$n$$ mínimo de cualquier subsecuencia inicial de longitud arbitraria tan grande como queremos.
No existe entonces la posibilidad de que $$N$$ finito ascienda en una cadena infinita porque esa cadena para ese número no es especial, puesto que el corte arbitrario de esa cadena en una longitud finita muestra que mas grande la cadena más grande el número inicial, y ese número inicial puede mantener el $$n$$ inicial mientras la secuencia es la que lo lleva en su descenso a 1, pero una vez superada esa longitud para  el $$n$$ mínimo, el resto de la cadena solo puede ser cumplida por un número inicial mayor al propuesto en $$2^d$$, es decir  un número mayor a cualquier natural que pueda ser el mínimo de una cadena finita pero tan grande como queremos.
He usado una IA de sparring, pero no confío mucho, me ha dicho que debo demostrar primero que $$n_{min}(d)$$ tiende a infinito cuando $$d$$ tiende a infinito... esto se cruza con algo esencial, si siempre  hay una relación de mayor e "igual" entre un $$n$$ mínimo y el siguiente de mayor longitud, es posible que  $$n_{min}$$ se estanque en un número, llamémosle $$N$$ que sería el  número natural finito que tiene una cadena de longitud indefinida que no hace ciclos, ni va a 1, es decir $$n_{min}(S\alpha)=n_{min}(S)$$ donde la longitud de $$S\alpha$$ es $$d+1$$ y la de $$S$$ es $$d$$. Esto es lo mismo que decir que no hay otra cadena de longitud indefinida que tenga un $$n_min$$ menor a $$N$$.
Pero esto a su vez implica que todo $$n_i$$ perteneciente a la órbita de $$N$$  tenga que ser mayor que $$N$$, ¿por qué? Porque todo $$n_i$$ es inicio de una cadena "diferente" a la de $$N$$ en el inicio de la cadena, todas son diferentes y todas tienen longitud indefinida y aplica   cada una debe cumplir que su propio $$n_{min}=n_i$$ sea el menor para cualquier sub cadena de longitud $$d$$ pero ya vimos que para $$N$$ teníamos el mínimo, luego $$n_i$$  no puede ser menor que $$N$$, luego hay contradicción pues $$N$$ constante es imposible, así que tal $$N$$ no puede existir. 


A ver si se entiende  tengo una cadena  de longitud $$d$$  cuyo  natural mínimo que la cursa es $$n_{min}$$, pero también tengo al $$n_{{min}_T}$$ de todas las cadenas posibles de combinar de longitud $$d$$  que no contengan ciclos es decir no repitan 4,2 o 1 es decir que por repetir QWQWQW sobre el final falseen la longitud repitiendo 121212,
entonces si $$N$$ es el $$n_{min}$$ de la serie $$S$$ de longitud $$d$$ , decimos que  $$n_{min}(S\alpha)\geq n_{min}(S)$$

La IA me aduló dándome la razón pero pidiendome que demuestre que$$ n_{{min}(S)_d}\to\infty$$ cuando $$d$$ aumente, ya fue bastante lograr que no me contradiga.

He probado software que supero los 4300 digitos para $$n$$ con longitudes de términos hasta el descenso a 1, y me he liberado de un límite de cifras a python que luego logró colgarme el pc antes de darme un $$n$$ mínimo que se estabilice... así que llegué a mi límite tecnológico. Sé que con ejemplos no demuestro nada , pero sé qué el entero finito de cadena indefinida que lleve a infinito sin caer , es mas grande que lo que un pc soporta.