Hola
Sí, esta claro,
No sé, no sé...
. Por que si está claro no concuerda mucho con lo que dices después. Pero probablemente no me estoy sabiendo explcar; o quizá vemos las cosas de diferente manera.
pero no intento demostrar la conjetura, solo esbocé como se podría hacer ,
Bueno, en parte si lo intentas.
lo que busco es como hacer para escribir expresiones que no son números, "pero que se entiendan" pues para mi tienen toda lógica, solo quiero buscar una manera formalizar , es decir sin incurrir al uso de expresiones como el $$2^{\infty}$$ para decir que cierto tipo de órbita que se puede imaginar que nunca asciende hasta el infinito, porque requiere que para que esa afirmación sea cierta que el número de partida tampoco sea un número natural ...
Yo diría que ahí ya tienes una idea errónea; no hay ninguna forma general de formalizar ese paso al infinito que quieres hacer. En análisis uno gestiona infinitos (o infinitésimos) con paso al límite. En general te diría que cuando uno trabaja con número enteros, no suele haber ninguna forma de hacer pasos al límite que sean útiles. Digo en general, porque puede que en algún caso (no sé cual ahora) pudiera haber servido de algo. Por ejemplo curiosamente el llamado "descenso infinito", en realidad se base en que los naturales tienen un mínimo y están bien ordenados; no hay un paso al infinito.
A ver en tu ejemplo 1 en un número de pasos finito siempre desciendes a 1.
en tu ejemplo 2 , dependiendo del $$n$$ de partida o llegas a 1 o no llegas nunca. No hay nada de conjetura en eso.
No estoy de acuerdo. Vuelvo a lo del principio. Son ejemplos triviales, sencillos. Pero son análogos a la conjetura de Collatz en el sentido en que en todos ellos se itera una determinada función sobre los naturales y se investiga como evoluciona la órbita de un elemento. Que en esos ejemplos sea muy sencillo estudiar el comportamiento y que en Collatz sea difícil no quiere decir que "no haya nada de los dos ejemplos en la conjetura de Collatz".
De hecho, si la conjetura de Collatz es cierta, entonces se comportaría como el ejemplo 1: en un número finito de pasos siempre desciendes a 1. La única diferencia es que en el ejemplo es fácil de probar, y en la de Collatz endemoniadamente difícil.
S la conjetura de Collatz es falsa, entonces se comportaría como el ejemplo 2: hay números para los cuales nunca se desciende a 1. La única diferencia es que en el ejemplo es fácil de probar, y en la de Collatz de nuevo endemoniadamente difícil.
1) Existencia ciclos
2) Órbita en descenso y vuelta ascender al infinito.
3) Otra que desconozca, ¿Cuál?
Si demuestro que ni 1 ni 2 son posibles, entonces la conjetura es cierta.¿ Si o No, estamos de acuerdo en eso?
Si de acuerdo. En realidad en (2) es matiz de "en descenso" es lo de menos; si encuentras una órbita que toma valores tan grandes como queramos, pues la conjetura es falsa.
Para 2 es claro que cualquier natural $$n$$ puede obtenerse desde un descenso desde el infinito
No se que es un "descenso desde el infinito". Otra cosa es que digas descenso desde un número tan alto como queramos, que es distinto.
estamos de acuerdo siempre es posible hallar una para casos donde el número final es finito y que se pueden proponer infinidad de órbitas reiterativas o no para casos de infinitos pasos
.
No se que quieres decir con "órbitas reiterativas o no para casos de infinitos pasos". Sobre todo no se que quieres decir con "infinitos pasos". A no ser que te refieras que cualquier órbita puede ser iterada cuantas veces se quiera, aun a riesgo de caer en el ciclo 4-2-1-4-2-1.
Pero que se vuelve imposible calcular n para cada caso de infinitos pasos ,
Aquí entiendo que te refieres a que se vuelve imposible calcular un \( n \) inicial que al ser iterado nunca caiga a uno. Pero no se en que sentido es imposible. Si lo encontramos la conjetura sería falsa; si supiésemos que es imposible (no difícil) sino rigurosamente imposible, tendríamos probada la conjetura. Pero ni lo hemos encontrado; ni tenemos probado la segunda.
Faltaría descartar la existencia de no solo porque no se puede corroborar esa cantidad de pasos de la órbita infinita, sino porque se observa que el número de partida resulta necesariamente un número que no se puede expresar como un natural.
A mi me parece que tu tienes esta idea (errónea) o parecida:
1- Yo tengo un método que dado \( k \) tan alto como quiera, me permite construir un número \( n \) que ascienda \( k \) pasos.
2- Pero con mi método para obtener "infinitos" pasos, ese número debería de ser infinito. Con lo cual no existe un número finito que ascienda infinitos pasos.
Que tu tengas el método para conseguir (1) no dice nada a favor o en contra de que exista un número que ascienda en un número ilimitado de pasos (que en su órbita haya términos tan grandes como queramos). ¡Y precisamente mi ejemplo 2 quería mostrarte eso!. Pero veo que no lo consigo..
Si parto de la hipótesis que se llega al infinito con un natural y compruebo que eso me lleva a un absurdo, entonces ese natural no existe, donde falla mi lógica para demostrar la inexistencia de casos tipo 2.
Aquí debes de precisar que entiendes por "llegar al infinito con un natural". La única forma posible de darle sentido es lo que he dicho antes: dar un \( n \) que tenga una órbita que toma valores tan grandes como queramos. De manera más precisa, que encuentres un \( n \) de manera que dado cualquier otro \( M>0 \) exista un \( k \), tal que si iteras la función de Collatz \( k \) veces sobre \( n \) se llegue a un número mayor que \( M \).
Entendiendo por eso que he dicho antes lo de "llegar al infinito con un natural", y si de ahí eres capaz de probar que se llega a un absurdo, si habrías probado la inexistencia de casos del tipo 2. Pero no veo que hayas hecho nada parecido.
A ver si queda duda de tema de fondo, llamo órbita alfa (por ponerle un nombre) a una seguidilla de combinaciones de 1000 ascensos y 1300 descensos, argumentando y demostrando en cada paso se cumple correctamente la función de Collatz , ascender por 3 +1 cuando es un impar descender a la mitad cuando es par. Esa órbita es posible para un número inicial $$n_0$$ y terminará en uno que llamo $$n_{2300}$$ de todos los naturales habrá un $$n$$ mínimo que cumple con esa órbita sin descender a 1 , además $$n_{2300}>n_0$$.
No estoy muy seguro de a que llamas "cumplir con esa órbita". ¿Al menor número de esa órbita? Es decir tu empezaste con un \( n \) y aplicando \( 2300 \) veces Collatz obtuviste una lista \( 2300 \) números (que forman la órbita del inicial) y uno de ellos es el menor. ¿Es ese tu \( n_0 \)?. Hasta que no tenga claro a que te refieres no puede contestarte con rigurosidad.
Sea como sea intenta aplicar ese argumento al ejemplo 2.
El hilo viene de que no sé como formalizar la idea sin escribir cosas que ya sé que no debo escribir como $$2^{\infty}$$
Como te he ido diciendo casi seguro que si una idea te invita a escribir eso.. la idea no lleva a nada.
Saludos.
