[Luis Fuentes]

Hola

 Antes de nada alcaro un matiz por si estaba ahí el problema. Cuando digo:

Cosas distinta es que probases algo así: que dado \( M>0 \) para alcanzar un número mayor que \( M \) es OBLIGATORIO partir de un numero mayor que, por decir, algo \( M/2 \) ó \( M/3 \) o alguna función creciente de \( M \). Si eres capaz de probar eso, entonces habrías demostrado la inexistencia de número cuya órbita alcanza números tan grandes como queramos. Pero ojo con ese "OBLIGATORIO", que es distinto de "con mí método" para alcanzar \( M \) necesito partir de un número mayor que tal y tal...

me refiero a:

"Cosas distinta es que probases algo así: que dado \( M>0 \) para alcanzar CUALQUIER número mayor que \( M \) es OBLIGATORIO partir de un numero mayor que, por decir, algo \( M/2 \) ó \( M/3 \) o alguna función creciente de \( M \). Si eres capaz de probar eso, entonces habrías demostrado la inexistencia de número cuya órbita alcanza números tan grandes como queramos. Pero ojo con ese "OBLIGATORIO", que es distinto de "con mí método" para alcanzar \( M \) necesito partir de un número mayor que tal y tal..."

He añadido ese CUALQUIER porque no vale que tu me digas que encuentras UN número mayor que \( M \) que sólo se puede alcanzar, por decir algo, desde \( M/2 \); sino que tienes que probar que cualquier número mayor que \( M \) sólo puede alcanzarse (por decir algo) desde \( M/1 \).

Aver si es esto :  dada una cota M, esta no pueda ser rebasada por ninguna órbita que pase por cualquier $$n< n_0$$, cuando $$n_0$$ queda definido por alguna relación con $$M$$ , ejemplo  muy obvio, afirmar  que no se puede alcanzar $$M=10$$ si parto de un $$N<M/2$$  ,

Creo que si. Aunque lo expresas de una manera que me resulta confusa. ¡Yo creo que no es tan complicado!.Te lo enuncio de al revés.

- Tienes que probar que si partes de un \( n_0 \) por más que iteres Collatz, nunca vas a superar una cota \( M(n_0) \) que dependa de \( n_0 \), por ejemplo, nunca vas a superar \( 2n_0^2 \). Si lo has probado. ¿Cuál es ese valor de \( M(n_0) \)?.

- O de al revés (que es lo que te comentaba), tienes que probar si quieres superar \( M>0 \) aplicando a un \( n_0 \) la función de Collatz, es obligatorio que ese \( n_0 \) sea mayor de una función creciente que dependa de \( M \). Por ejemplo \( \sqrt{M/2} \).

pero también tengo duda sobre si es esto,  porque  cualquier $$n$$ menor a $$n_0$$ tiene una órbita determinada por $$n$$, y no podrá ascender más rápido que la de mi ejemplo, o en menos iteraciones,

 La rapidez de ascenso es indiferente en todo esto.

lo que si estoy seguro, es que si ese $$n$$ dentro de su órbita  hacia el infinito  tiene una porción de ascensos y descensos como una secuencia , igual a cualquiera de las que surgen de mi ejemplo, entonces resulta $$n>n_0$$ Eso esta claro no?.

 Me cuesta dar un significado preciso a esta frase.

Eso es lo que creo puedo probar, que como en una serie infinita seguro aparece mi secuencia de ejemplo, entonces  el resto de la órbita aporta mas condiciones para el número inicial del total de la cadena de ascenso, por lo tanto ese número será mayor o a lo sumo de casualidad igual a $$n_0$$, pero eso hace que al extender la órbita para alcanzar el infinito entonces $$n_0$$ necesariamente tenderá a infinito pues mi segmento (en realidad cualquier segmento ascendente) se repite infinitas veces, la consecuencia es que $$n_0$$ va al infinito , es decir para cumplir la secuencia impuesta Obligatoriamente o necesariamente el número inicial debe "no ser un natural", pues si es un natural , no llegará al infinito.

- O bien sigues pensando que tu ejemplo si aporta algo para probar lo anterior. Pero soy incapaz de entender que; porque lo anterior se trata de probar una IMPOSIBILIDAD, no una posibilidad.

Bueno ,sí, sí pienso que algo aporta,  que no hay órbita que llegue al infinito si parto de un $$n$$ finito, cualquier órbita genérica ascendente con una cantidad infinita de iteraciones que se nos pueda ocurrir, necesariamente u obligatoriamente, tendrá su número inicial en un número por encima de cualquier cota, es decir  no será un natural.

Es extremadamente raro como redactas esto:

1) No hay órbitas que lleguen al infinito. Supongo que debe de entenderse una órbita que, en con un suficiente número de pasos, supere cualquier cota previamente fijada.

2) No hay cantidad infinita de iteraciones; si no iteraciones tan altas como queramos.

3) No tiene sentido hablar de un número inicial infinito. Así que sólo puede interpretarse que lo que estás probando es que si el número inicial es finito, entonces necesariamente la órbita tiene un máximo, es decir, una cota que nunca puede superar, por más que iteremos una y otra vez.

Si fueses capaz de probar 3...¡es obvio que habrías probado que no hay órbitas no acotadas, es decir, que toda órbita es periódica y ni tu mismo tendrías dudas!. Pero no veo que pruebes tal cosa por ningún lado.

Es que no me doy cuenta, porque te parece que no aporta.

Porque es indiferente que encuentres números concretos que sólo pueden alcanzarse desde un cierto valor mínimo. Es el matiz que te indiqué a principio de este hilo.

Lo que yo te pido es que demuestres que ese \( n_0 \) está acotado de alguna manera por \( n \). Algo así: "Luis he probado que obligatoriamente siempre \( n_0>log(n) \) (por decir algo)"- Si eres capaz de probar algo así lo tienes; sino, nada de nada.

Es que eso lo he hecho, para mi ejemplo, no para cualquier ejemplo, y es lo que explique  a lo largo de hilo  aver si me explico mejor,[/quote]

Si ya es "para mi ejemplo" y no "para cualquier ejemplo". MAL. No vale de nada.

1) tengo un ejemplo que si le aumento el número de iteraciones , el menor natural que cumple la secuencia , queda perfectamente determinado y demostré  que aumenta con el número de iteraciones , que le solicito cumpla.

Bien.

2) La extensión de las iteraciones de mi ejemplo hasta el infinito , indica que ese número mínimo asciende al infinito.

Obvio. Aunque no se que aporta.

3) la misma conclusión se llega para la repetición de cualquier secuencia ascendente, no solo la de mi ejemplo.

Aquí ya no entiendo nada o en todo caso es un salto, que no veo justificado. ¿Exactamente qué entiendes por repetir cualquier secuencia ascendente?. ¿Exactamente a qué conclusión te refieres?. Si no es sólo la de tu ejemplo, explícalo sin hacer ninguna referencia a tu ejemplo.

Me parece que sigues sin reflexionar que tu argumento se puede aplicar a mi ejemplo 2, donde si hay secuencias que llegan al infinito.

4) la misma conclusión se llega para cualquier secuencia que sea combinación de secuencias ascendentes.

Tampoco lo entiendo.

Pero olvidate de mi método, yo quiero saber que falla en esa lógica de que al extender el número de iteraciones al infinito implicaría que $$n_0$$ tienda a infinito. Y si eso  demuestra o no,  que no existe un natural que pueda ascender al infinito.

Es que soy incapaz de entender ese argumento. No se si una posibilidad sería que vuelvas a explicarlo partiendo de cero y evitando cualquier ejemplo que no sea imprescindible y clave, troncal.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, la inserción  de ese "cualquier " me  puso más claro lo que debería zanjar si es que puedo, será  que uno se cierra a sus propias ideas y no lo veía antes..
Me pienso  todo lo que me has dicho y la sigo si aún le encuentro miga.
Gracias por tu predisposición.

[danizafa]

Hola Richard, cómo estás?

Primero que nada: no creo que se trate de "tu limitación", son muchos quienes se topan con la pared de este problema.

Para mi, la conjetura es cierta y concuerdo con Luis en que dificilmente encontrarás un contraejemplo.

Por otro lado, no creo que buscar cotas sea la solución. Tampoco tratar de probar crecimiento o colapso. Esto es solo opinión mía, y no digo que esté mal abordarlo así. Pues de hecho lo intenté varias veces, hasta que me di cuenta que el término que voy a llamar $$C$$ siempre equilibra para que el resultado sea entero. Y este término no podemos alterarlo, se configura solo por la cantidad de divisiones por 2 al que se va a someter el paso $$3n+1$$, ya voy a tratar de explicarlo.

Cuando usas tu fórmula

\[\frac{3n_0+1}{2^q}\]

y luego realizas varios pasos asi, podés resumirlo en una fórmula cerrada que condense todos esos pasos, te quedaría algo como:

\[n_m = \frac{3^m n_0+ C}{2^Q}\]

donde $$m$$ es la cantidad de iteraciones que haces,
\[Q = q_0 + q_1 + q_{m-1} = \sum_{j=0}^{m-1} q_j\]
y
\[C = \sum_{j=1}^{m} 3^{m-j} \, 2^{Q_{j-1}}\]

En la forma que "anidaste" las fracciones:

\[\frac{3\left(\frac{3\left(\frac{3\left(n_0\right)+1}{2^{q_0}}\right)+1}{2^{q_1}}\right)+1}{2^{q_2}}\]

Fijate como esto se descompone:

\[\frac{3^3 n_0}{2^{q_0+q_1+q_2}} + \frac{3^{2}}{2^{q_0+q_1+q_2}} + \frac{3}{2^{q_1+q_2}} + \frac{1}{2^{q_2}}\]

Sacando común denominador, y llamando $$Q=q_0+q_1+q_2$$, te queda:

\[\frac{3^3 n_0}{2^Q} + \frac{3^2 + 3 \cdot 2^{q_0} + 2^{q_0+q_1}}{2^Q}\]

Separé en dos términos, discriminando lo que está relacionado con el valor inicial $$n_0$$ y lo que no. Y eso sería $$C=3^2 + 3 \cdot 2^{q_0} + 2^{q_0+q_1}$$, quedando

\[\frac{3^3 n_0}{2^Q}+ \frac{C}{2^Q}\]

Este término $$C$$ podés verlo en el trabajo de Terry Tao "Almost All Orbits of the Collatz Map Attain Almost Bounded Values" con el nombre $$Syrac(\mathbb{Z}_3)$$.


Una de mis ideas es que esa misma estructura que vos anidaste, es una ecuación de la siguiente forma...

\[1 = \frac{3\left(\dots\frac{3\left(\frac{\left(n_0\right)+1}{2^{q_0}}\right)+1}{2^{q_1}}\dots\right)+1}{2^{q_{m-1}}}\]

Que luego de $$x$$ cantidad de iteraciones la órbita llegue a uno, significa que vas resolviendo de adentro para afuera. Lo que significa que mientras mas alejado en pasos estes del unomas pequeño es el número por decirlo de alguna manera. si lo expandis como hice antes:

\[1=\frac{3^m n_0}{2^Q} + \frac{3^{m-1}}{2^Q} + \frac{3^{m-2} \cdot 2^{q_0}}{2^Q} + \dots + \frac{3 \cdot 2^{Q-q_{m-1}-q_{m-2}}}{2^{Q}} + \frac{1 \cdot 2^{Q-q_{m-1}}}{2^Q}\]

Fijate

$$1=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}$$

$$1=\frac{3(5)}{16}+\frac{1}{16}$$

$$1=\frac{9(3)}{32}+\frac{3}{32}+\frac{2}{32}$$

$$1=\frac{9(13)}{128}+\frac{3}{128}+\frac{8}{128}$$

$$1=\frac{27(17)}{512}+ \frac{9}{512}+\frac{3 \cdot 4}{512}+\frac{32}{512}$$

Por cada paso que aplicas $$\frac{3n+1}{2^q}$$ vas agregando un sumando, acercandote a 1. El tema es que este punto de vista no puede usarse como prueba, jejeje. Salvo que se pueda probar que todo impar no múltiplo de 3 puede tomarse como $$n_0$$, basicamente probar la conjetura. Si partimos de acá para probar eso sería como circular. Pero basicamente para cualquier numero se puede hacer esa suma, al menos hasta los números probados que dijo Luis. Un contraejemplo no admitiría que pueda escribirse una ecuación así.

Antes puse que mientras más alejado estás en pasos de 1, es como que el número era más pequeño, y ahora lo voy a aclarar, mientras más se va alejando el denominador va creciendo, por lo tanto, la fracción es cada vez menor... Y se nota peor si separás la potencia de 3

\[3^m \quad \frac{n_0}{2^Q}\]

Esto no quiere decir que no pueda haber una fraccion más cercana que sea más pequeña, porque de hecho podés tomar un número inmenso, como este:

$$\frac{2^{136279841}-1}{3}$$

y al aplicar tu funcion es igual a 1:

\[\frac{3\left(\frac{2^{136279841}-1}{3}\right)+1}{2^{136279841}} = 1\]

Pero si ves el número que estaría antes, como mínimo va a duplicar el denominador. y tendrias 3 fracciones que sumadas, darian 1.

Espero no haberme enredado mucho porque tengo que agregar una última cosa: si vamos a la estructura de árbol inverso, solo hace falta que multipliquemos el denominador por $$4$$ para pasar de una órbita que parecía creciente a una que es decreciente y llega al mismo número. Ejemplo:

\[\frac{3(5)+1}{16} = 1 \quad \mapsto \quad  \frac{3(4 \cdot 5 +1)+1}{4 \cdot 16} = 1 \quad \mapsto \quad  \frac{3(4 \cdot 21+1)+1}{4 \cdot 64} = 1\]

Y esto no es solo para 1, es para cualquier número en un paso, veamos el 3:

\[\frac{3(3)+1}{2} = 5 \quad \mapsto \quad  \frac{3(4 \cdot 3 +1)+1}{4 \cdot 2} = 5 \quad \mapsto \quad  \frac{3(4 \cdot 13+1)+1}{4 \cdot 8} = 5\]

Así si ves las preimagenes impares de un impar, solo una puede ser menor que dicho impar (porque no necesariamente lo es, si se divide por 4, la menor preimagen es mayor que el número) y hay infinitas que son mayores. Esto tampoco prueba Collatz. Pero si puede tomarse como que hay una preimagen de un número que es $$\approx 2/3$$ de ese impar, mientras que hay infinitas preimagenes que son $$\approx 2^q/3$$ del mismo. Y esto se cumple para todos los números impares no múltiplos de 3, ya que los múltiplos no tienen "preimagenes" en la dinámica que planteas.

Entonces, para cerrar creo que para probar la conjetura habría que combinar temas de la dinámica del problema con la estructura del árbol inverso, porque ambas por si solas son insuficientes o dificiles de probar. Y que tratar de probar que globalmente toda órbita decrece lo veo dificil, para mi la clave está en la cantidad de pasos, y eso estaría de alguna forma en un orden del arbol inverso.

Bueno, espero que se entienda!
Saludos.

P/D: también reniego con este problema  . Traté otros métodos, pero al parecer el para cualquier n_0 también me rompe la cabeza. Y cuando encuentro algo que se cumple para todo n la parte dinámica no sigue el mismo orden, así que parece chocar. 

[Richard R Richard]

Hola, Luis, por la noche tengo un rato de tiempo para reflexionar , no se si mejor o peor.
Tu no quieres ejemplos pero hay preguntas que me haces, que  las puedo responder ilustrando, pues entiendo no me he sabido explicar.
Me he dado cuenta de un gazapo y verás una diferencia en una fórmula que venía manejando.
El número 31 que es $$2^5-1$$ pertenece al conjunto  la forma $$2^{t}-1$$  cuando $$t=5$$,  es la cantidad de ascensos de la forma $$\dfrac{3n+1}{2}$$ que siguen a ese número , es decir asciende obligatoriamente 5 veces en 10 iteraciones

31   1vez
94   
47   2veces
142   
71   3
214   
107   4
322   
161   5
484   
242   que al ser par no puede seguir con un 3n+1
Esta porción de órbita hasta allí la escribiría como KCKCKCKCKC... 5 bloques KC  donde K es  aplicar el lado 3n+1 de la función y C dividir por 2.  Partí de 31 llegue al 242 (pasé por el 484) si haces el ratio de los logaritmos debe dar próximo a 1.58 en realidad da 1.59 , así que está no desentona con esa cota que mencionaste y la que había calculado.

A esta sucesión KCKCKCKCKC que termina en un número mayor al que inicia la llamo ascendente.
31 es el menor $$n$$  de los infinitos naturales que  puede cumplir con esa secuencia.
Llamo repetir la secuencia es duplicar esa cadena  estoe es cumplier con la secuencia KCKCKCKCKCKCKCKCKCKC , ahora es claro que 31 no puede cumplirla va a fallar en el 242 pues debería ser impar para poder volver a ascender.
Entonces cual es menor $$n$$ que sí puede hacer eso .. es  el 1023  que es $$2^{10}-1$$ es decir  ahora $$t$$ es el doble de antes y cumple ascender 10 veces seguidas, obviedad es que 1023 también cumple subir  5 veces seguidas pero no es el menor $$n$$ que lo hace,  que como dije es el 31, pero si es el menor que sube 10 veces seguidas.

Si de los ejemplos de las páginas que me pasaste tomas el 447  haces la secuencia KCKCKCKCKCKCCKCKCKCCCKCCKCKCKCKCCCKCCCKCKCKCKCKCKCKCKC llegas a 19682(pasaste por 39364) entonces  al duplicar esa secuencia   haciendo KCKCKCKCKCKCCKCKCKCCCKCCKCKCKCKCCCKCCCKCKCKCKCKCKCKCKCKCKCKCKCKCKCCKCKCKCCCKCCKCKCKCKCCCKCCCKCKCKCKCKCKCKCKC ¿cual es el mínimo n que la cumple? . La secuencia sabemos  que es seguro  ascendente, pero no es el 447 el que la cumpla, seguro es muchísimo mayor.
 
Como yo he encontrado una serie que permite calcular  ese 1023 , habrá otra que permita calcular esta segunda secuencia duplicada , triplicada ...y extenderla n veces... y para algun numero de repeticiones t calculara perfectamente $$n_0$$ y $$n_t$$

Entonces, no encuento oposición a pensar que con cualquier secuencia ascendente sucede lo mismo , que al repetir una vez mas la secuencia, el mínimo $$n$$ que la cumple aumenta por encima que el que la cumple una sola vez.
Cuando la cantidad de iteraciones , sea tan larga como queramos, tu me dices que nunca estaremos seguros de que no hay un $$n$$ menor que pase en su órbita tenga tal secuencia, y aunque lo haya el camino entre ese $$n$$  y el que inicia la secuencia que estamos tratando, es finito en cantidad de iteraciones.

Ahora imagina una secuencia que tenga todas y cada una de la posibles combinaciones de secuencias ascendentes que podamos imaginar, mientras el número de iteraciones es finito existirá un $$n$$ mínimo que la cumpla, pero como sería ese $$n$$, seguro mayor a cualquiera n que cumpla con cada secuencia individual ascendente que podamos identificar en toda la cadena, es por eso que si nuestra imaginación no tiene límite , el número de iteraciones es tan grande como queremos, y hacemos subir el número final por encima de cualquier cota...  también el número inicial estará por encima de cualquier cota.

Vuelvo a preguntar que está mal con ese razonamiento.

3) No tiene sentido hablar de un número inicial infinito. Así que sólo puede interpretarse que lo que estás probando es que si el número inicial es finito, entonces necesariamente la órbita tiene un máximo, es decir, una cota que nunca puede superar, por más que iteremos una y otra vez.

Si fueses capaz de probar 3...¡es obvio que habrías probado que no hay órbitas no acotadas, es decir, que toda órbita es periódica y ni tu mismo tendrías dudas!. Pero no veo que pruebes tal cosa por ningún lado.

Te entiendo perfectamente, que la órbita no ascienda más es porque   tiene que llegar a un máximo y descender. Eso sucede si el número de iteraciones es finito. Lo que digo es que sí podemos dar un número inicial que transite una secuencia ascendente tan larga como queramos y que no descienda a 1, pero digo que eso liga a que el número inicial sea grande, porque debe cumplir con ser mas grande que el mínimo $$n$$ para cualquier porción ascendente que se identifique de la órbita propuesta.

Como no me dejas usar "infinito" en el número de iteraciones, no sé como explicarlo mejor, $$n$$ debe ser mayor a cualquier natural que sea solución para cualquier porción ascendente que podamos analizar separadamente, como en una cadena tan grande como queremos ese número final es  muy grande, eso lleva a que el mínimo $$n$$ del cual inicia debe ser muy grande, en definitiva  no habrá natural que satisfaga si la cantidad de iteraciones no es finita.

No estoy diciendo que Collatz es falsa , ni tampoco verdadera, sino que para "mantenerse sin descender a 1,mas allá del número que queramos de iteraciones" no lo cumple un $$n$$ inicial finito.

Que estaría mal de lo que afirmo.


Gracias. 


PD Hola, Danizafa  gracias por pasar y leerte los argumentos, estaba por postear esto y vi tu entrada , lo he mirado por encima, y me parece propones algo que había intentado, pero para demostrarme inexistencia de ciclos,  bueno, no llegué a nada como siempre, pero me empecina y divierte en ratos libres. Leeré con mas detenimiento a ver que saco en limpio, distintos puntos de vista , abren y cierran caminos y mejor cerrar los que no me llevarán a nada.

[danizafa]

Richard, voy a tratar de mediar entre Luis y vos.

No es que Luis no te deje usar infinito, es que técnicamente no es un número. Lo que te está señalando es que vos tenés que probar para todo número que no es lo mismo que infinito. Infinito no es un número, sino un concepto de límite, que en Naturales no tiene mucho sentido usar. Por eso te marca la diferencia entre "tan grande como queramos" e "infinito". Cualquier valor arbitrariamente tan grande como se te ocurra no es infinito.
 
Y Luis dice que Collatz es absurdamente dificil sino imposible, porque de hecho parece serlo.

El tema son los puntos que se encuentran en muchos lugares.

1) Una órbita infinita que nunca llegue a 1.
2) Una órbita que crezca sin control.
3) Existencia de ciclos distintos del trivial.

En primer lugar no podrías hablar de una órbita infinita que nunca llegue a 1, por el simple hecho de que nunca se acaba, entonces no podés saber donde termina porque de hecho no termina. Ese es el problema del infinito.
Una órbita que crezca sin control, pero no sabés si en algún punto va a caer de golpe por muchisimas divisiones.

Entonces los 2 primeros puntos son, de por sí, imposibles de encontrar. Los números que se probaron, no dan cuenta de que algo así exista.

Y la existencia de ciclos, tampoco se ha encontrado ninguno. Pero hasta no dar una prueba concreta de por qué pasa lo que pasa, seguimos en incertidumbre.


Ahora voy a tu notación: Cuando vos haces KCKCKCKC o KCCKCCKC, etc. Estás haciendo lo que pasa en el mapa de Collatz, tras $$3n+1$$ necesariamente va a ocurrir al menor una división por 2.

cuando vos condensas todas las divisiones y escribir $$\frac{3n+1}{2^q}$$, estás comprimiendo en un único paso la dinámica expansión/contracción. Esto se conoce como mapa acelerado de Collatz,

$$T(n)=\frac{3n+1}{2^q}$$

y $$q$$ se llama valuación $$2-ádica$$ de $$3n+1$$, que es simplemente la cantidad de veces que dividis por 2. No es un número $$2-ádico$$. Sino

$$q = \nu_2(3n+1)=max\{q \in \mathbb{N}: 2^q\mid (3n+1)\}$$

y el mapa te queda:

$$T(n)=\frac{3n+1}{2^{\nu_2(3n+1)}}$$

Eso condensa tu KCCCC en un solo paso.

Este mapa trabaja con impares, y luego de la primera multiplicación, ya se excluyen los múltiplos de 3, ya que $$3n+1 \not\equiv 0 \pmod 3$$

Esto te ahorra mucho tiempo.

Mi forma para calcular facilmente la valuación 2-adica la uso trabajando con aritmética mod 6 y congruencias sobre el "índice" del número (mod 2^q), ya me acostumbre a verlo así.

Ahora, respecto a la cantidad de ascensos, estos suceden exclusivamente cuando $$q=1$$,

si tomamos impares como $$n_0=6a+r$$ con $$r={1,5}$$, entonces $$\nu_2(3n_0+1)=\nu_2(6A+4)=1+\nu_2(3A+2)$$, acá vemos que si $$A$$ es impar, $$3A+2$$ también es impar, por lo que no puede dividirse por 2 ninguna vez, y ahí tenés los números que crecen. Y para que tengas algo más, si $$q$$ es impar, el mapa acelerado cae en la forma modular $$6a+5$$, entonces una seguidilla de numeros donde crecen se da en números de esa forma, aunque el primero puede ser $$6a+1$$. Ejemplo $$7 -> 11 -> 17$$

Si querés sucesión de números que crecen sin tener ningún $$q>1$$ podés calcular que número va a generar una seguidilla de $$L$$ ascensos de esta forma (lo voy a simplificar en numeros con $$r=5$$):

\[
a_L = \frac{3^L a_0 + (3^L-2^L)}{2^L}.
\]

ahí vas a poder armar el último número de la seguidilla. Pero esto es muy rígido, y solo hay una congruencia que cumple esto:

$$a_0 \equiv -1 \pmod {2^L}$$

Calculemos 1 a ver:

con 7 ascensos:

$$a_0 \equiv -1 \pmod {2^7} \equiv 127 \pmod {128}$$

\[
a_L = \frac{3^7 \cdot 127 + (3^7-2^7)}{2^7} = 2186
\]

$$6(2186)+5=13121$$ 

nuestro $$n = 6(127)+5 = 767$$ Y la iteración te asegura que crece durante los próximos 7 pasos y en el octavo decrece:

$$767 \mapsto 1151 \mapsto 1727 \mapsto 2591 \mapsto 3887 \mapsto 5831 \mapsto 8747 \mapsto 13121 \mapsto 9841$$

Funcionó!  En el último paso divide por $$2^2$$, como la valuacion de salida es par ($$q=2$$), el resultado es de la forma $$6a+1$$

$$\frac{9841-1}{6}=1640 \Leftrightarrow 6(1640)+1=9841$$

Bueno, se me pasó el tiempo que iba a destinar jaja...

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, Luis, por la noche tengo un rato de tiempo para reflexionar , no se si mejor o peor.
Tu no quieres ejemplos pero hay preguntas que me haces, que  las puedo responder ilustrando, pues entiendo no me he sabido explicar.
Me he dado cuenta de un gazapo y verás una diferencia en una fórmula que venía manejando.
El número 31 que es $$2^5-1$$ pertenece al conjunto  la forma $$2^{t}-1$$  cuando $$t=5$$,  es la cantidad de ascensos de la forma $$\dfrac{3n+1}{2}$$ que siguen a ese número , es decir asciende obligatoriamente 5 veces en 10 iteraciones

31   1vez
94   
47   2veces
142   
71   3
214   
107   4
322   
161   5
484   
242   que al ser par no puede seguir con un 3n+1
Esta porción de órbita hasta allí la escribiría como KCKCKCKCKC... 5 bloques KC  donde K es  aplicar el lado 3n+1 de la función y C dividir por 2.  Partí de 31 llegue al 242 (pasé por el 484) si haces el ratio de los logaritmos debe dar próximo a 1.58 en realidad da 1.59 , así que está no desentona con esa cota que mencionaste y la que había calculado.

La cosa es que  (no sé por que) aquí sólo pareces considerar secuencias de la forma KCKCKCKC... , es decir, siempre intercalando un paso \( 3n+1 \), luego dividir por \( 2 \) una vez y luego necesariamente \( 3n+1 \) y así...

Es fácil probar que si partes de \( n_0 \) y aplicas \( k \) veces \( KC \) se llega a:

\( n=(n_0+1)\dfrac{3^k}{2^k}-1 \)

Spoiler

Basta resolver la ecuación de recurrencia lineal no homogénea \( x_{n+1}=(3x_n+1)/2 \)

[cerrar]

Entonces desde luego en \( k \) pasos (entendiendo por paso hacer \( KC \) el número más pequeño que iniciará una tal secuencia) tiene que ser \( n_0=2^k-1 \) para que \( n_0+1 \) sea divisible por \( 2^k \).

Y no sólo eso, dado un número impar \( n_0 \) si sólo permitimos pasos \( KC \) el número más grande al que se puede llegar es \( (n_0+1)\dfrac{3^k}{2^k}-1 \) siendo \( 2^k \) la mayor potencia de \( 2 \) que divide a \( n_0+1 \). Es decir si sólo permitimos pasos \( KC \) está claro que cualquier secuencia llega a un máximo valor y luego ya no puede seguir creciendo. Pero insisto: sólo con pasos \( KC \).

Entonces no hay mucho más que decir en cuanto a secuencias de ese tipo y lo que dices a continuación sobra. No es que este mal pero no aporta nada nuevo, no hace falta usarlo para concluir lo que he dicho antes.

Spoiler

A esta sucesión KCKCKCKCKC que termina en un número mayor al que inicia la llamo ascendente.
31 es el menor $$n$$  de los infinitos naturales que  puede cumplir con esa secuencia.
Llamo repetir la secuencia es duplicar esa cadena  estoe es cumplier con la secuencia KCKCKCKCKCKCKCKCKCKC , ahora es claro que 31 no puede cumplirla va a fallar en el 242 pues debería ser impar para poder volver a ascender.
Entonces cual es menor $$n$$ que sí puede hacer eso .. es  el 1023  que es $$2^{10}-1$$ es decir  ahora $$t$$ es el doble de antes y cumple ascender 10 veces seguidas, obviedad es que 1023 también cumple subir  5 veces seguidas pero no es el menor $$n$$ que lo hace,  que como dije es el 31, pero si es el menor que sube 10 veces seguidas.

Si de los ejemplos de las páginas que me pasaste tomas el 447  haces la secuencia KCKCKCKCKCKCCKCKCKCCCKCCKCKCKCKCCCKCCCKCKCKCKCKCKCKCKC llegas a 19682(pasaste por 39364) entonces  al duplicar esa secuencia   haciendo KCKCKCKCKCKCCKCKCKCCCKCCKCKCKCKCCCKCCCKCKCKCKCKCKCKCKCKCKCKCKCKCKCCKCKCKCCCKCCKCKCKCKCCCKCCCKCKCKCKCKCKCKCKC ¿cual es el mínimo n que la cumple? . La secuencia sabemos  que es seguro  ascendente, pero no es el 447 el que la cumpla, seguro es muchísimo mayor.
 
Como yo he encontrado una serie que permite calcular  ese 1023 , habrá otra que permita calcular esta segunda secuencia duplicada , triplicada ...y extenderla n veces... y para algún numero de repeticiones t calculara perfectamente $$n_0$$ y $$n_t$$

[cerrar]

+

¡Pero el problema es que en Collatz las secuencias no tienen porque seguir ese patrón KCKCKCKC...

Por ejemplo desde el \( 27 \) se llega al \( 9323 \) con una secuencia:

KCKCCKCKCKCKCKCCKCCKCKCCKCKCKCCKCKCKCKCCKCCCKCKCKCCKCKCCKCKCKCKCKCKCCCKCKCKCK

donde hay dos o tres veces seguidas pasos tipo C.

Entonces, no encuento oposición a pensar que con cualquier secuencia ascendente sucede lo mismo , que al repetir una vez mas la secuencia, el mínimo $$n$$ que la cumple aumenta por encima que el que la cumple una sola vez.

Esto es un brindis al sol, un salto mortal. Evidentemente el "pensar" es libre; puedes pensar que para cualquier secuencia ascendente suceede lo mismo. De hecho yo también lo pienso. Porque creo que la conjetura es cierta y por tanto hay un límite en el número a donde podemos llegar partiendo de otro; o recíprocamente el número de donde debemos de partir para llegar  otro grande. Pero no sé probarlo. Y no veo que tu des tampoco ningún argumento, más que para ese tipo muy concreto de secuencias KCKCKC se cumple (trivial) y que "no encuentras oposición a pensar"...

Ahora imagina una secuencia que tenga todas y cada una de la posibles combinaciones de secuencias ascendentes que podamos imaginar, mientras el número de iteraciones es finito existirá un $$n$$ mínimo que la cumpla, pero como sería ese $$n$$, seguro mayor a cualquiera n que cumpla con cada secuencia individual ascendente que podamos identificar en toda la cadena, es por eso que si nuestra imaginación no tiene límite

Pero si existiese un \( n_0 \) desde el cual iterando Collatz podemos llegar a superar cualquier cota, es decir, su órbita no es acotada (llamo a eso órbita infinita). Ese \( n_0 \) sería efectivamente mayor O IGUAL que cualquier menor número necesario para llegar a un número concreto de esa órbita...¡pero eso no contradice para nada la exsistencia de la misma!.

Creo que el fallo es que tu presupones que para cualquier secuencia cuanto más larga sea, necesariamente el número inicial tiene que ser más grande también. Pero eso no está demostrado en ningún sitio. Como he dicho, sólo para secuencias muy específicas KCKCKCKCK...

Saludos.

[Richard R Richard]

Pero esto es muy rígido, y solo hay una congruencia que cumple esto:

$$a_0 \equiv -1 \pmod {2^L}$$

Si claro Dani, ese es el número inicial de una de las infinitas secuencias ascendentes que se pueden enunciar, la mas sencilla es la que repite una y otra ves $$(3n+1)/2$$ y por eso la pongo de ejemplo porque me resulto fácil de calcular la serie , los puntos de partida y final.

1) Una órbita infinita que nunca llegue a 1.
2) Una órbita que crezca sin control.
3) Existencia de ciclos distintos del trivial.


En primer lugar no podrías hablar de una órbita infinita que nunca llegue a 1, por el simple hecho de que nunca se acaba, entonces no podés saber donde termina porque de hecho no termina. Ese es el problema del infinito.
Una órbita que crezca sin control, pero no sabés si en algún punto va a caer de golpe por muchisimas divisiones.


Entonces los 2 primeros puntos son, de por sí, imposibles de encontrar. Los números que se probaron, no dan cuenta de que algo así exista.

Bueno de eso trata este hilo es que es evidente que mientras manejamos números finitos, y cadenas ascendentes de la longitud que queremos que resulten finitas en extensión,  nunca se puede asegurar lo que viene después. Eso está claro.


Pero mientras agregamos  nuevas iteraciones que se nos ocurran, para hacer la secuencia tan larga como queremos, el número inicial que recorrerá esa órbita sin descender a 1 , necesariamente , inevitablemente y obligatoriamente se va haciendo mas grande.
Lo que busco es pensar si es que hay una forma de pasar eso a un límite, para zanjar  que justamente lo que marcas como 2 no es posible empezando por un natural finito.

Hola
Y no sólo eso, dado un número impar \( n_0 \) si sólo permitimos pasos \( KC \) ....

  Es que ese en un solo ejemplo, el que elegí, de los infinitos que podría haber elegido , me he centrado en el mas sencillo que hay para hacer evidente los cálculos, nada más. Lo importante es que de cualquier  secuencia, que suba, baje, vuelva a subir, y a bajar abruptamente , ascender lentamente , no importa cual , se puede concluir lo mismo, que te parezca tirado de los pelos, te lo tomo, pero creo  fervientemente que es demostrable, tengo que buscar la forma que te convenza por que luego me dices...

Esto es un brindis al sol, un salto mortal. Evidentemente el "pensar" es libre; puedes pensar que para cualquier secuencia ascendente sucede lo mismo. De hecho yo también lo pienso. Porque creo que la conjetura es cierta y por tanto hay un límite en el número a donde podemos llegar partiendo de otro; o recíprocamente el número de donde debemos de partir para llegar  otro grande. Pero no sé probarlo. Y no veo que tu des tampoco ningún argumento, más que para ese tipo muy concreto de secuencias KCKCKC se cumple (trivial) y que "no encuentras oposición a pensar"...

Para mi es prometedor  , que me digas que como te lo planteo no te cierre,  no llegue,  lo tomo como buena crítica, porque estaré intentando hacer algo  sobre un pensamiento que de fondo es correcto.

Pero si existiese un \( n_0 \) desde el cual iterando Collatz podemos llegar a superar cualquier cota, es decir, su órbita no es acotada (llamo a eso órbita infinita). Ese \( n_0 \) sería efectivamente mayor O IGUAL que cualquier menor número necesario para llegar a un número concreto de esa órbita...¡pero eso no contradice para nada la exsistencia de la misma!.

Bueno, con lo escrito en negritas me das la razón , pero luego no me la das,  yo estoy convencido que si contradice, si no molesta ilustrame con algún ejemplo, yo creo que mas extiendes la órbita mas grande ese $$n_0$$ ... extender la órbita  indefinidamente para que nunca caiga, hace que ese número inicial sea mas grande que cualquier natural... 

Creo que el fallo es que tu presupones que para cualquier secuencia cuanto más larga sea, necesariamente el número inicial tiene que ser más grande también. Pero eso no está demostrado en ningún sitio. Como he dicho, sólo para secuencias muy específicas KCKCKCKCK...

Bueno es que es lo que intento esclarecer, y no tiene que ver con el tipo de secuencia ascendente, sino que es para toda secuencia, y que sí "debe" ser así, intentaré esbozar mi chapuza demostración, pero no creo que necesite mucho de números sino   mas de lógica y de carencia o imposibilidad  de contraejemplos... Muchas Gracias a ambos.

[Luis Fuentes]

Hola

Es que ese en un solo ejemplo, el que elegí, de los infinitos que podría haber elegido , me he centrado en el mas sencillo que hay para hacer evidente los cálculos, nada más. Lo importante es que de cualquier  secuencia, que suba, baje, vuelva a subir, y a bajar abruptamente , ascender lentamente , no importa cual , se puede concluir lo mismo, que te parezca tirado de los pelos, te lo tomo, pero creo  fervientemente que es demostrable, tengo que buscar la forma que te convenza por que luego me dices...

Pero no es que me parezca tirado de los pelos...¡es qué tienes que demostrarlo no simplemente afirmarlo!. De hecho yo creo que es cierto, es decir, que cualquier secuencia solo asciende hasta un cierto límite que depende del iterante inicial. Creo eso, porque creo que la conjetura de Collatz es cierta.

¡Pero se trata de demostrarlo! Y no he visto que hayas exhibido ningún tipo de demostración, ni esbozo de demostración para eso.

Además no se si has entendido que si demuestras eso todo lo de más que dices sobra. Es decir, como te he comentado para el caso de secuencias KCKCKCKC... con este razonamiento:

Es fácil probar que si partes de \( n_0 \) y aplicas \( k \) veces \( KC \) se llega a:

\( n=(n_0+1)\dfrac{3^k}{2^k}-1 \)

Spoiler

Basta resolver la ecuación de recurrencia lineal no homogénea \( x_{n+1}=(3x_n+1)/2 \)

[cerrar]

Entonces desde luego en \( k \) pasos (entendiendo por paso hacer \( KC \) el número más pequeño que iniciará una tal secuencia) tiene que ser \( n_0=2^k-1 \) para que \( n_0+1 \) sea divisible por \( 2^k \).

Y no sólo eso, dado un número impar \( n_0 \) si sólo permitimos pasos \( KC \) el número más grande al que se puede llegar es \( (n_0+1)\dfrac{3^k}{2^k}-1 \) siendo \( 2^k \) la mayor potencia de \( 2 \) que divide a \( n_0+1 \). Es decir si sólo permitimos pasos \( KC \) está claro que cualquier secuencia llega a un máximo valor y luego ya no puede seguir creciendo. Pero insisto: sólo con pasos \( KC \).

Entonces si sólo considerásemos cadenas de ese tipo KCKCKCK... listo. No haría falta todo eso que dices después de enganchar una cadena con otra, y que si el \( n_0 \) es mayor que los otros \( n_0 \) etc.. etc... todo eso sería innecesario.

Para mi es prometedor  , que me digas que como te lo planteo no te cierre,  no llegue,  lo tomo como buena crítica, porque estaré intentando hacer algo  sobre un pensamiento que de fondo es correcto.

Me parece muy bien que te parezca prometedor. Pero no es que no me cierre; tampoco que tu pensamiento sea incorrecto. Sino que tu hablas como si pensases... "bien ya estoy cerquita"; cuando al menos por lo que has escrito (no se lo que tienes en mente porque no puedo leértela  ) no has dado ni un sólo paso de cara a DEMOSTAR (NO SIMPLEMENTE AFIRMAR) que cualquier cadena desde un \( n_0 \)  necesariamente alcanza un valor máximo acotado.

Pero si existiese un \( n_0 \) desde el cual iterando Collatz podemos llegar a superar cualquier cota, es decir, su órbita no es acotada (llamo a eso órbita infinita). Ese \( n_0 \) sería efectivamente mayor O IGUAL que cualquier menor número necesario para llegar a un número concreto de esa órbita...¡pero eso no contradice para nada la existencia de la misma!.

Bueno, con lo escrito en negritas me das la razón , pero luego no me la das,  yo estoy convencido que si contradice, si no molesta ilustrame con algún ejemplo, yo creo que mas extiendes la órbita mas grande ese $$n_0$$ ... extender la órbita  indefinidamente para que nunca caiga, hace que ese número inicial sea mas grande que cualquier natural... 

Te doy la razón en lo que tienes razón; pero lo que te digo es que de ahí no se concluye la inexistencia de una órbita infinita.

Evidentemente no puedo darte un ejemplo con la función de Collatz, porque no puedo darte un ejemplo de una órbita infinita (nadie conoce una y si la tuviésemos sabríamos que la conjetura es falsa).

Pero si puedo darte un ejemplo con esta función de iteración:

\( f(n)=\begin{cases}{n/2}&\text{si $n=2^k$ para algún $k\in \Bbb N$}\\n+2 & \text{en otro caso}\end{cases} \)

Si empiezas por ejemplo en \( n_0=24 \) tienes una cadena que crece hasta el infinito, sin límite:

\( 24-26-28-30-32-16-8-4-2-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19-\ldots \)

Ahora el menor número desde el cual se puede llegar, por ejemplo al \( 5 \) (que es un miembro de esa cadena) es el \( 1 \): \( 1-3-5 \) y efectivamente \( 1<24 \).

El menor número desde el cual se puede llegar, por ejemplo al \( 11 \) (que es un miembro de esa cadena) es el \( 1 \): \( 1-3-5-7-9-11 \) y efectivamente \( 1<24 \).

Y en fin.. así...

Claro tu dirás. Pero es que la función de Collatz tiene otro comportamiento. ¡Claro qué lo tiene, muchos más complejo! Y casi seguro que no hay una cadena infinita, pero la cosa es demostarlo.

Lo que trata de mostrar este ejemplo es que es perfectamente compatible que exista una cadena infinita, que empiece en un \( n_0 \) con el hecho de que el número más pequeño desde el cual se puede alcanzar algún elemento de esa cadena sea menor que \( n_0 \).

La clave como ya te he dicho antes es probar que realmente en ese número más pequeño para alcanzar un \( M \), no puede ser "demasiado pequeño", necesariamente tiene que ser mayor que alguna cota dependiendo de \( M \). No has dado ni un sólo argumento que acerque a probar esto. Más que el ejemplo de KCKCKCK que es trivial y del cual ya he hablado. Me puedes dar 1000 ejemplos para otras configuraciones prefijadas de cadenas, y sigue sin valer de nada mientras no des un argumento general.

Saludos.

[Richard R Richard]

por lo que has escrito (no sé lo que tienes en mente porque no puedo leértela  ) no has dado ni un sólo paso de cara a DEMOSTAR (NO SIMPLEMENTE AFIRMAR) que cualquier cadena desde un \( n_0 \)  necesariamente alcanza un valor máximo acotado.

Hola, sigo intentando, hasta ahora sin éxito de hacer ver que eso es equivalente, a que, para superar cualquier cota con n, necesariamente $$n_0$$ tiene que estar por encima de cierta cota, es decir si $$n$$ están grande como quiera , $$n_0$$ será superior a cualquier cota...  Si a n se lo alcanza con cierta órbita finita, para seguir ascendiendo sin caer  la órbita debe continuar agregando porciones finitas de orbitas ascendentes, la composición de órbitas lleva a que el número inicial deba ser cada vez más alto y más se extienda a  órbita  alcanzará cualquier cota y la superará.


Sigo leyendo que me dices eso no demuestra,  o sea que puede existir n que ascienda al infinito,  seguro que su secuencia de  ascenso puede  escribirse en una serie indefinida de  términos KC,(el único ascendente) y KCC,KCCC,KCCCC...todos descendentes, de forma que combinados se puedan obtener secuencias ascendentes reconocibles, y demuestro (es de Perogrullo) que  la combinación de secuencias ascendentes requieren de un $$n_0$$ mínimo, mayor que el $$n_0$$ la de la primera secuencia ascendente. Solo un milagro recurrente de concatenaciones exitosas puede conservar el $$n_0$$ original mientras sea finito.  Y en tal caso será posible desde el inicio avanzar  cortar cualquier porción de esa cadena infinita  , buscar cual es el mínimo número que cumple tal secuencia , sería fácil ver que se corte donde se corte el número inicial es el mismo mínimo, pero como cada combinación o concatenación de secuencias muestra que el número varía al componerla sucede que o  va hacia a 1 , o  requiere un $$n_0$$ mayor y que  de otro modo no cumple la función de Collatz, no hay más posibilidades.

Pero si existiese un \( n_0 \) desde el cual iterando Collatz podemos llegar a superar cualquier cota, es decir, su órbita no es acotada (llamo a eso órbita infinita). Ese \( n_0 \) sería efectivamente mayor O IGUAL que cualquier menor número necesario para llegar a un número concreto de esa órbita...¡pero eso no contradice para nada la existencia de la misma!.

Para mí sí porque si el número inicial está por encima de cualquier cota(por esta será el menor número que cumple la secuencia que es cada vez más grande  cuantas más iteraciones hay), entonces no es un natural , y la función  de Collatz toma naturales.

Pero si puedo darte un ejemplo con esta función de iteración:


\( f(n)=\begin{cases}{n/2}&\text{si $n=2^k$ para algún $k\in \Bbb N$}\\n+2 & \text{en otro caso}\end{cases} \)


Si empiezas por ejemplo en \( n_0=24 \) tienes una cadena que crece hasta el infinito, sin límite:


\( 24-26-28-30-32-16-8-4-2-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19-\ldots \)


Ahora el menor número desde el cual se puede llegar, por ejemplo al \( 5 \) (que es un miembro de esa cadena) es el \( 1 \): \( 1-3-5 \) y efectivamente \( 1<24 \).


El menor número desde el cual se puede llegar, por ejemplo al \( 11 \) (que es un miembro de esa cadena) es el \( 1 \): \( 1-3-5-7-9-11 \) y efectivamente \( 1<24 \).


Y en fin.. así...

Bueno,  ahora despabilo que antes  hacías alusión a que la secuencia continua luego de haber alcanzado el 1.....Y aunque me dices que no lo haga .. Si tengo que meter el bocadillo. Collatz no hace eso entra en bucle y no llegaría a infinito, de esa manera tan previsible.

pero la cosa es desmotarlo.

Bueno  si, pero tú quieres que demuestre que  ningún natural superar una cota basada en ese natural, y yo digo  que cualquier número por encima de cierta cota tiene que tener inicio por encima de cierta cota, más compleja su órbita más fácil será que ver que su número inicial aumenta, aunque yo lo haya dado ejemplos fáciles de calcular.


Lo que trata de mostrar este ejemplo es que es perfectamente compatible que exista una cadena infinita, que empiece en un \( n_0 \) con el hecho de que el número más pequeño desde el cual se puede alcanzar algún elemento de esa cadena sea menor que \( n_0 \).

No has dado ni un sólo argumento que acerque a probar esto. Más que el ejemplo de KCKCKCK que es trivial y del cual ya he hablado. Me puedes dar 1000 ejemplos para otras configuraciones prefijadas de cadenas, y sigue sin valer de nada mientras no des un argumento general.

El argumento general  es que extender órbita finita, hace que el número inicial necesario para atravesarla sea cada vez mayor, si quieres prolongar indefinidamente la secuencia, necesariamente partirás de algo que no es un natural, luego ningún natural asciende... pensándolo como aquello que cuando aquella órbita finita que podamos pensar para cierto $$n$$ termina, luego de eso  $$n$$ necesariamente hacer lo contrario , es decir si  en $$n_f$$  luego debía seguir su descenso a 1 dividiendo o multiplicando, es necesario reacomodar la órbita para que con la misma secuencia, haga lo contrario, multiplique o divida, ejemplo,  en la iteración 2455 se produce el comienzo de un descenso inevitable a 1, entonces previo a eso hay que suponer que la iteración 2455 necesita por resultado un número impar , luego en vez de dividir multiplica... pero eso tiene una consecuencia inevitable, si queremos que la función de Collatz no sea violada en el transcurso de los cálculos de  la secuencia, y eso es que necesariamente $$n_0$$ deba ser mayor.  Menor imposible  ya que hemos garantizado que hasta 2454 $$n_0$$  era el mismo y además el menor que puede atravesar la órbita.


Es similar  a decir que no hay ningún número "vidente", que sepa para donde va a ir la función de Collatz y modifique su valor original para que cuando llegue a ese punto, no descienda  en la siguiente iteración, una órbita infinita tiene infinitas iteraciones, necesariamente debe ser mayor a un natural para no descender arbitrariamente cada vez que la secuencia para el  número  alcanzado intente llevarlo a 1. No hay entonces números naturales que crezcan para ascender al infinito, para llegar allí debes partir de allí y si partes de allí no partes con un natural.


Si es que no agobio, en qué punto hecho por tierra una línea lógica para hacer una futura demostración.

• Una serie ascendente es aquella  que luego de un número finito de ascensos y descensos , el número final es mayor al inicial. Si fuera igual sería un ciclo.
• El número más bajo que admita un ascenso a un número par y su obligado descenso a la mitad, en un paso es decir una sola secuencia KC es el número 1, parte de 1 , pasa por 4 y termina en 2.
• KCC , y todas las que sigan con C, no son una secuencia ascendente , solo iguala al número inicial cuando n=1.
• las siguientes son combinaciones
• KCKC , es ascendente y 3 es el primer número que la cumple  pasa por [10,5,16,8] con 8>3
• KCKCC y KCCKC si son secuencias ascendentes de nuevo empieza en 3 y pasa por [10,5,16,8,4]  con 4>3 sería la seguidilla de números para la primera secuencia  y partiendo  [9,28,14,7,22,11] y 9<11
• Pregunto ¿Existe algún número inicial que cumple con la duplicación de cualquier  series sencilla (o complicada) que sea menor al que cumple solo con el término que se repite? Pues no, ¿hace falta demostrarlo?, o no es lógico. La respuesta es no para cualquier serie. No es conjetura, es cierto, y si  fuera conjetura, presentarme un contraejemplo.
• Sea A una serie ascendente, cuyo menor número que la cumple es $$n_{0_A}$$ terminando en $$n_A$$ y otra serie ascendente B con el menor número que la cumple es $$n_{0_B}$$ y termina en $$n_B$$ , ¿existe un número menor a $$n_{0_A}$$ que cumpla AB? que seguro es una secuencia ascendente, es decir a la concatenación de las dos series. Pues no, a lo sumo si $$n_A=n_{0_B}$$  entonces $$n_{0_{AB}}=n_{0_A}$$ por lo que cualquier concatenación arbitraria    cumple $$n_{0_{AB}}\geq n_{0_A}$$
• Cuando se crean series ascendentes más complejas, $$n_0$$  va aumentando.
• Cuando concatenan series más complejas ,el número inicial de la concatenación aumenta y solo en 1 caso particular se obtiene un número inicial igual al de la primera serie. Esto sucede cuando se produce la igualdad $$n_{0_{AB}}=n_{0_A}$$ , pero entonces AB es una nueva serie ascendente.
• Cualquier ascenso arbitrario está formado por una cantidad de series todas ascendentes, luego el número inicial es mayor o igual al número inicial de la primera serie, y solo es igual en el caso en que todos y cada uno de los números finales de cada serie , se corresponde con un número que cumple la siguiente serie, una sola falta de coincidencia, hace que toda la serie deba ser cumplida por un número mayor al inicial, y cuanto más larga toda la serie, mayor será la diferencia entre ese número y el inicial de la primera serie.
• ¿Esto hay que demostrarlo ? para mi es Perogrullo.
• Se puede armar una base de datos de todas y cada una de las series ascendentes ¿si  o no? ... si me dicen que no , piensen si Cantor pudo escribir una serie con todos los reales entre  0 y 1, bueno no se trata de que arme una lista de las series que son ascendentes por extensión sino por comprensión, la lista está compuesta por todas las series o secuencias que son ascendentes  es decir $$n_f>n_0$$ podría se mas especifico redefiniendo si la serie termina en un número $$n_f$$ impar que sea mayor que $$n_0$$ así el menor que cumple un ascenso KC es el 3 , con [10,5] como miembros de la órbita más pequeña.
• En una secuencia infinita en general , ¿existirán secuencias ascendentes de longitud finita exactamente iguales a las que figuren en esa lista definida anteriormente? Mi repuesta es que sí sin necesidad de demostración. Pura lógica.
• ¿Se puede identificar sobre la secuencia infinita extractos finitos consecutivos donde el número inicial es menor al final? Mi repuesta es que sí sin necesidad de demostración.
• Cada uno de esos extractos está en mi lista de secuencias, ¿sí o no? . Mi respuesta es sí, cuál sería la razón para que una serie ascendente no estuviera en la lista , ¿por qué fallaría a la definición por comprensión?
• Si cualquiera de las secuencias finitas de una secuencia infinita está en mi lista... ¿Cuántas veces aparecerá la primera  en la segunda? , una, dos, un número arbitrario pero finito de veces o infinitas veces. Para mí infinitas veces, cualquiera de todas las secuencias.
• Si AB es una secuencia ascendente resultado de la composición de dos secuencias ascendentes A y B, ¿estará en mi lista?, En general estarán todas y cada una de las composiciones ¿si o no? para mí sí. Si alguna no estuviera ¿cuál sería la razón?
• El número inicial de una secuencia compuesta es mayor o igual al número inicial de la primera secuencia. Si vuelvo a componer con una serie arbitraria de la lista , ¿todas ellas podrán ser cumplidas con el mismo $$n_0$$?.No, una parte sí, la mayoría no...(todavía no sé cómo evaluar o demostrarlo , pero sigue siendo el mismo Perogrullo)
• Como se van a encontrar en la lista las composiciones de cada secuencia con cada una de las otras secuencias , no podemos evitar que cada composición extra exija que el número mínimo inicial que la recorre sea mayor o igual al de la primera serie de la composición.
• Como la composición de  secuencias ascendentes es una secuencia ascendente, podría suponer que una cantidad tan grande como yo quiera de secuencias contiguas las consideremos una única secuencia, y la busquemos en la lista, y como es ascendente aparecerá, y si miramos su número inicial... existe alguna razón para pensar que será pequeño o más pequeño que el que cumple la primer secuencia que se compondrá... no me explicaría como. L mismo si resultara igual.
• Supongamos que existe un $$n_0$$ finito que es el inicio de una secuencia que nunca baja a 1 , que no es un ciclo  y por tanto ascenderá por encima de cualquier cota. A esa órbita le cabe cumplir con todo lo dicho previamente para una órbita infinita, en cualquier número en que se analice la órbita, este será un punto finito de la órbita, todavía le quedan infinitos pasos por delante.
• Si ya vimos que para cada secuencia finita existe un número mínimo que es el menor que la cumplirá hasta esa posición,  y si la extiendo no necesariamente ese número mínimo continua siendo el mínimo de la serie extendida, o si la duplico, tampoco tengo garantizado que se cumpla con el mismo número inicial, porque tendría entonces que asumir que luego de infinitas composiciones arbitrarias con secuencias ascendentes consecutivas tenga que aceptar que sigue siendo el mismo número inicial el que satisface la composición, si ya hemos aceptado que la mayoría no cumplirá.
• Luego solo me queda decir que continuar componiendo secuencias ascendentes finitas la cantidad de vece que quiera, el número mínimo que cumple sigue ascendiendo.
• No es nada sencillo mostrar ejemplos de duplicaciones de  cadenas arbitrarias, es complicado ya con las básicas tipo KC, KCKCC,KCCKC  reiteradas dos o más veces, pero incluso como me dicen de nada servirá que lo halle al ejemplo.
• LO que si no hallo forma de decir es que el número mínimo debe está por encima de cualquier cota si quiero que cumpla una secuencia  ascendente arbitraria con la cantidad de iteraciones por encima de una cota.
• Todavía entiendo me pueden decir que lo milagros existen y que han hallado una que sí conserva el $$n_0$$ luego de un número superior a cualquier cota de iteraciones, pero creo que deben recordar que entonces el conjunto de todos los números por donde pasa la órbita tenderá al mismo tamaño que el de los naturales, nunca podría ser mayor, pero deberíamos poder hacer una biyección entre cada elemento de conjunto perteneciente a la órbita con su posición en la órbita, si un $$n$$ se repitiese habría ciclos y no descendería a 1, la alternativa a no descender es que  la composición de todas las secuencias ascendentes tiene que repetirse infinitas veces , pero vemos que cada vez más que se repita el número inicial debe aumentar, luego ese número inicial está por encima de cualquier cota natural.

Por otro lado


Si se cumple $$a=(n_0+1)\dfrac{3^k}{2^k}-1$$     que será impar luego puede ocurrir que exista $$b=\dfrac{3a+1}{2^x}$$  y que   a la vez $$n=(b+1)\dfrac{3^k}{2^k}-1$$ para el mismo k o  bien otro distinto ...


He analizado las secuencias compuestas para ver qué $$n_0$$ mínimo la cumple y si este es el mismo mínimo que cumple la primera secuencia... y en ningún caso pasa, siempre las secuencias cortas tienen un mínimo menor a cualquier compuesta que la contenga.


Se espera se diga que cualquier natural no puede pasar una cota dada por el propio $$n$$  , yo lo que digo  es algo similar pero desde otro punto de vista , dado un $$n$$ arbitrario, este no puede ser alcanzado por ninguna cadena que empiece por debajo de un valor en función de $$n$$ pues de cualquier composición finita ascendente permite hallar su $$n_0$$ y ninguna repitiendo indefinidamente la secuencia, permite conservarlo, pero sin embargo sabemos que de las que podrían a ascender indefinidamente, al menos 1 de todas ellas si puede conservar ese $$n_0$$,sin saber cuál es o pretendiendo decir que $$n_0$$  es vidente y sabe que con su valor nunca va a caer... luego es un absurdo pensar que hay cadenas que van a ascender indefinidamente o bien que si hay una que lo logra ascenderá iniciando encima de cualquier natural. Que significa lo mismo no hay natural que ascienda indefinidamente. Reitero Esto no prueba que no haya ciclos ,Así que no pruebo  nada de la conjetura.       
Pd vengo mirando de reojo , hilos similares, pero se tratan a la vez de otros ejemplos de los que incluyo en series ascendentes. Así que , sigo viendo luz a final de la crítica....
Y si Terence Tao Trabaja con algo similar el sumatorio que propuse, para buscar ciclos, lo escribe con una letra C. La idea de fondo se la copio de mí  , que atrevido. Porque de yo de su trabajo poca idea.

[Luis Fuentes]

Hola

 Me resulta frustrante. Todo lo que dices se puede contrargumentar con mi anterior mensaje, que veo que no ha servido de nada. 

 Para mi sigues sin entender (o seguro que lo explico fatal) lo que es un ejemplo con otra serie, que obviamente se comporta distinto y más sencillo, pero que lo que trata es de contrargumentar es el esquema de razonamiento.

 

Pero si puedo darte un ejemplo con esta función de iteración:

\( f(n)=\begin{cases}{n/2}&\text{si $n=2^k$ para algún $k\in \Bbb N$}\\n+2 & \text{en otro caso}\end{cases} \)

Si empiezas por ejemplo en \( n_0=24 \) tienes una cadena que crece hasta el infinito, sin límite:

\( 24-26-28-30-32-16-8-4-2-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19-\ldots \)

 Si llamo \( K \) a sumar dos, y \( C \) a dividir por  \( 2 \) esa serie infinita es:

\(  KKKKCCCCCKKKKKKKKKKK.... \)

 El menor número que admite una serie KKKK es el \( 1 \) y \( 1\leq 24 \). Bien se cumple lo que dices.
 El menor número inicial que admite una serie KKKKCCCC es el \( 8 \) (creo) y \( 8\leq 24 \). Bien se cumple lo que dices.
 El menor número inicial que admite una serie KKKKCCCCK es el  \( 8 \) y \( 8\leq 24 \). Bien se cumple lo que dices. Y lo mismo ahora ya para cualquier número de Ks que añadamos.

 Entonces ese argumento de concatenación de cadenas por si solo no prueba nada porque aquí se cumple y sin embargo si existe una serie infinita.

 La clave para que tu argumento funcione es que pruebes que para cualquier serie ascendente cuanto mas larga sea necesariamente el número inicial tiene que ser más grande. Si pruebas eso; ya no hace falta hablar nada de concatenase series, es evidente e inmediato que no existe una serie que suba hasta el infinito.

 Pero no vale que me digas. "Es evidente Luis, y si no dame un contraejemplo". Es como si alguien me dice: "He demostrado el Teorema de Fermat, es evidente que es imposible que el cubo de dos naturales sume el cubo de otro natural". Y yo digo, pero tienes que demostrarlos... "es que es evidente, y sino dame un contrajemplo". ¡No puedo dar un contraejemplo porque el Teorema de Fermat es cierto y no existen números que no lo cumplan!.

 Tu suposición de que cadenas más largas ascendentes tendrán números iniciales más grandes cuanto más largas sean, probablemente sea cierta porque casi seguro que la conjetura de Collatz es cierta. ¡Pero la cosa es demostrarlo!.

 Lo que si te he dado (pero pierdo la esperanza de hacerme entender) es un contraejemplo al trozo de argumento que se refiere a la concatenación de cadenas, con mi ejemplo con una función distinta a la de Collatz. Lo que trata de poner de manifiesto ese contraejemplo es que la concatenación de cadenas no es la clave, sino probar realmente que cuanto más larga es una cadena ascendente mayor tiene que ser su número inicial.

   

• Pregunto ¿Existe algún número inicial que cumple con la duplicación de cualquier  series sencilla (o complicada) que sea menor al que cumple solo con el término que se repite? Pues no, ¿hace falta demostrarlo?, o no es lógico. La respuesta es no para cualquier serie. No es conjetura, es cierto, y si  fuera conjetura, presentarme un contraejemplo.

 Que sea menor no. Que sea IGUAL podría ser.

   

• Sea A una serie ascendente, cuyo menor número que la cumple es $$n_{0_A}$$ terminando en $$n_A$$ y otra serie ascendente B con el menor número que la cumple es $$n_{0_B}$$ y termina en $$n_B$$ , ¿existe un número menor a $$n_{0_A}$$ que cumpla AB? que seguro es una secuencia ascendente, es decir a la concatenación de las dos series. Pues no, a lo sumo si $$n_A=n_{0_B}$$  entonces $$n_{0_{AB}}=n_{0_A}$$ por lo que cualquier concatenación arbitraria    cumple $$n_{0_{AB}}\geq n_{0_A}$$
• Cuando se crean series ascendentes más complejas, $$n_0$$  va aumentando.

 O en un momento dado se queda fijo. Y esa es la clave.  Si existe una serie infinita termina por haber un número común \( n_0 \) que es el menor número del que puede partir un montón de secuencias ascendentes diferentes (todas salvo un número finito). Tienes que probar que eso no se da.

   

• Cuando concatenan series más complejas ,el número inicial de la concatenación aumenta y solo en 1 caso particular se obtiene un número inicial igual al de la primera serie. Esto sucede cuando se produce la igualdad $$n_{0_{AB}}=n_{0_A}$$ , pero entonces AB es una nueva serie ascendente.

 Justo. Y esa igualdad puede ocurrir.

   

• Cualquier ascenso arbitrario está formado por una cantidad de series todas ascendentes, luego el número inicial es mayor o igual al número inicial de la primera serie, y solo es igual en el caso en que todos y cada uno de los números finales de cada serie , se corresponde con un número que cumple la siguiente serie, una sola falta de coincidencia, hace que toda la serie deba ser cumplida por un número mayor al inicial, y cuanto más larga toda la serie, mayor será la diferencia entre ese número y el inicial de la primera serie.
• ¿Esto hay que demostrarlo ? para mi es Perogrullo.

 Hay que demostrar que no se da la igualdad. Es decir que ese número menor de partida no llega un momento que se estanca.

   Se puede armar una base de datos de todas y cada una de las series ascendentes ¿si  o no? ...

No se que base de datos quieres armar. Hay infinitas.

De todas formas si hablas de considerar el conjunto de todas las secuencias finitas ascendentes. Si. Eso puede hacerse. Es de hecho un conjunto finito numerable.

   

• En una secuencia infinita en general , ¿existirán secuencias ascendentes de longitud finita exactamente iguales a las que figuren en esa lista definida anteriormente? Mi repuesta es que sí sin necesidad de demostración. Pura lógica.

 Obvio que si (a algunas de ellas). ¿Y....?

   

• ¿Se puede identificar sobre la secuencia infinita extractos finitos consecutivos donde el número inicial es menor al final? Mi repuesta es que sí sin necesidad de demostración.

 Aquí no estoy seguro que quieres decir con "extractos finitos consecutivos donde el número inicial es menor al final". Evidentemente si es una secuencia es  ascendente el número inicial siempre es menor al final.
 

   

• Cada uno de esos extractos está en mi lista de secuencias, ¿sí o no? . Mi respuesta es sí, cuál sería la razón para que una serie ascendente no estuviera en la lista , ¿por qué fallaría a la definición por comprensión?

 Bien.

   

• Si cualquiera de las secuencias finitas de una secuencia infinita está en mi lista... ¿Cuántas veces aparecerá la primera  en la segunda? , una, dos, un número arbitrario pero finito de veces o infinitas veces. Para mí infinitas veces, cualquiera de todas las secuencias.

 Esto en principio ya no lo veo. No sé si te he entendido. En una secuencia infinita (si la hubiese), quizá la subsecuencia "KCCCKCCCKCCC" aparezca sólo una vez, o dos, o nunca y este formada por subsecuencias de otro tipo. Imagina que la secuencia infnita tiene o siempre menos de tres C seguidas o siempre más, pero nunca tres.

   

• Si AB es una secuencia ascendente resultado de la composición de dos secuencias ascendentes A y B, ¿estará en mi lista?, En general estarán todas y cada una de las composiciones ¿si o no? para mí sí. Si alguna no estuviera ¿cuál sería la razón?

 Tampoco se si entiendo lo que quieres decir. Como te decía no necesariamente toda cadena finita aparece en una infinita.

   

• El número inicial de una secuencia compuesta es mayor o igual al número inicial de la primera secuencia. Si vuelvo a componer con una serie arbitraria de la lista , ¿todas ellas podrán ser cumplidas con el mismo $$n_0$$?.No, una parte sí, la mayoría no...(todavía no sé cómo evaluar o demostrarlo , pero sigue siendo el mismo Perogrullo)

 Mayor o IGUAL si; pero quizá en un momento dado ese número inicial se estanca se queda siempre igual, no crece.

   

• Como se van a encontrar en la lista las composiciones de cada secuencia con cada una de las otras secuencias , no podemos evitar que cada composición extra exija que el número mínimo inicial que la recorre sea mayor o igual al de la primera serie de la composición.
• Como la composición de  secuencias ascendentes es una secuencia ascendente, podría suponer que una cantidad tan grande como yo quiera de secuencias contiguas las consideremos una única secuencia, y la busquemos en la lista, y como es ascendente aparecerá, y si miramos su número inicial... existe alguna razón para pensar que será pequeño o más pequeño que el que cumple la primer secuencia que se compondrá... no me explicaría como. L mismo si resultara igual.

 Como te digo ese número inicial puede "estancarse". Quedarse fijo. Y eso es justo lo que ocurriría si existiese una infinita.

 Por ejemplo imagina la del 27 (que claro no es infinita), pero es mientras asciende:

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232

 y corresponde a:

KCKCCKCKCKCKCKCCKCCKCKCCKCKCKCCKCKCKCKCCKCCCKCKCKCCKCKCCKCKCKCKCKCKCCCKCKCKCK

 Aparece A=KC el número más pequeño con que empieza una secuencia KC es el \( 1 \). \( 27\geq 1 \)

  Aparece B=KCC. Concatenada con A, es KCKCC el número más pequeño con que empieza una secuencia KCKCC es el \( 3 \). \( 27\geq 3 \)

  Aparece D=KCKCKCKC. Concatenada con AB, es KCKCCKCKCKCKC el número más pequeño con que empieza una secuencia KCKCCKCKCKCKC es el \( 27 \). \( 27\geq 27 \)

 A partir de aquí todas las concatenaciones tendrán como mínimo el \( 27 \).

 Y luego bueno, sabemos nuestra cadena terminará por descender al \( 1 \). No es infinita, pero eso es otra historia. .

 Pero si lo fuese... ¿por qué no habría de mantener ese mínimo de \( 27 \) siempre?.

 En fin. Se me están empezando a acabar los recursos para hacerme entender.

 Ten claro que:

 - No es tanto que lo que dices sea falso, sino que das por hecho el paso clave que es que necesariamente una cadena ascendente con cada vez más pasos empezará necesariamente en un número más grande y te centras en las concatenaciones que probado lo anterior serían superfluas.

 - No me vale que en muchas casos digas: si no es así ponme un contraejemplo. Casi seguro que no existen cadenas infinitas no periódicas en Collatz: imposible poner un ejemplo entonces.

Saludos.