[Granmurillo]

Pues seguí leyendo sobre los ciclos y encontré que a estas iteraciones que tienen subidas y luego bajadas que juntas forman una órbita se les dice excursiones. La forma más corta de una excursión que encontré luego de un descenso previo y que el nuevo valor iterado es mayor que el primer ascenso de la excursión anterior, es de dos iteraciones de incrementos juntos con k=1 y un descenso con k=2, es decir:

\( f(x)=\displaystyle\frac{3(\displaystyle\frac{3(\displaystyle\frac{3x+1}{2})+1}{2})+1}{4} \)

donde 103 es la primera excursión de este tipo:

\( f(x)=\displaystyle\frac{3(\displaystyle\frac{3(\displaystyle\frac{3(103)x+1}{2})+1}{2})+1}{4}=175 \)

la frecuencia de este tipo de excursiones es de 128n+103, es decir que el siguiente es 231 que termina iterando a la excursión encabezada por 391, pero al llegar a 128(5)+103=743 itera a la excursión del 1255 que también itera a la excursión del 2119. El siguiente es 128(5+16)+103=2791 que itera a la excursión del 4771 y luego este itera a la excursión del 7951. Así los incrementos de las concatenaciones de estas excursiones son intervalos estables con un crecimiento fijo. Hay otras excursiones cortas de este tipo pero sus intervalos son mayores.

Entonces fui a buscar excursiones largas y se encontraban en un intervalo decreciente de los cuales la primera secuencia de estas comenzaba en el mismo 103, pero aun así no encontré excursiones con un intervalo menor a 128.

En conclusión la frecuencia de estas excursiones que se concatenan para incrementar el valor de x no crecen tan rápido. Debe haber un límite que no les permita escapar de las iteraciones decrecientes que les suceden en las orbitas.

[Richard R Richard]

Pues seguí leyendo sobre los ciclos y encontré que a estas iteraciones que tienen subidas y luego bajadas que juntas forman una órbita se les dice excursiones. La forma más corta de una excursión que encontré luego de un descenso previo y que el nuevo valor iterado es mayor que el primer ascenso de la excursión anterior, es de dos iteraciones de incrementos juntos con k=1 y un descenso con k=2, es decir:

\( f(x)=\displaystyle\frac{3(\displaystyle\frac{3(\displaystyle\frac{3x+1}{2})+1}{2})+1}{4} \)

donde 103 es la primera excursión de este tipo:

\( f(x)=\displaystyle\frac{3(\displaystyle\frac{3(\displaystyle\frac{3(103)x+1}{2})+1}{2})+1}{4}=175 \)

Observa que no, o bien no te entiendo bien
si tu aplicas $$f(x)$$ al $$7$$, obtienes un entero, y si sumas $$2^3=8$$ a $$x$$ así que 7 es la primer excursión y 15 es la segunda   y  103 es la decimo segunda  $$8\cdot12+7$$


Esto esta relacionado con lo que ya hable durante el hilo, tu $$f(x)$$ , representa a cualquier secuencia que pueda empezar como $$QQQW$$ , como hay 3 $$Q$$ seguidas  el siguiente numero que tiene la secuencia esta distanciado en 2 elevado a la cantidad de Q  osea $$2^q=2^3=8$$ y como el 7 es el primero todos lo números de la forma $$7+8k$$ tienen una secuencia $$QQQW$$ es decir que le puedes aplicar $$f(x)$$ y obtener un entero

Si lo que quieres es que el luego de terminar esa excursión empiece otra,  las concatenas, es decir que tengas la secuencia $$QQQWQQQW$$  el menor es el 231, el que tiene tres secuencias el 743 pero el que tiene 4 ya es el 41703

Esto lo he probado hasta el cansancio , y he conjeturado, porque no me toman valida la demostración, que aumentar la cantidad de esas secuencias concatenadas implica que el menor número que cumple la secuencia entera debe ser mayor al que cumple menor cantidad  de secuencias, luego uno puede inferir que cualquier secuencia arbitraria repetida una cantidad de veces tengan como quiera debe partir de un número mayor a cualquier número tan grande como se quiera...  de eso habla toda la primera parte de este hilo.

[Granmurillo]

No, porque 7 itera a 11, luego a 17 y baja a 13, pero luego en vez de subir vuelve a bajar a 5, es decir sigue un camino de descenso.
En cambio el 103 sube a 155 luego a 233 y baja a 175 y entonces vuelve a subir a 263, es decir toma un camino de incrementos. Estas excursiones mínimas de ascenso tienen una explicación inductiva, si se concatenan pueden llegar a valores muy altos, pero a medida que crece x, aunque sus intervalos son fijos, su crecimiento es muy distante cada vez lo que los hace muy escasos.
Por otra parte las excursiones largas donde tienes 3 o mas incrementos continuos tienen una aparición más distante y de crecimiento que disminuye hasta que un grupo desaparece, mientras se forman nuevos grupos, pero todos con la misma tendencia. De estos no tengo una demostración inductiva todavía
Siendo así pues no encuentro forma que el problema del granizo pueda ser una amenaza para la formación de un contraejemplo e invalidar la conjetura.
Entonces los siguientes son 231->391, 359->607, 487->823, 615->1039 y al llegar a 743 ahora si itera a otra de estas excursiones cortas 743->1255->2119

[Richard R Richard]

No, porque 7 itera a 11, luego a 17 y baja a 13, pero luego en vez de subir vuelve a bajar a 5, es decir sigue un camino de descenso.
En cambio el 103 sube a 155 luego a 233 y baja a 175

Hasta allí ambos hacen lo mismo , suben 2 veces y bajan 1, pero si lo que quieres es

y entonces vuelve a subir a 263, es decir toma un camino de incrementos.

Para evitar lo que criticas al 7 ,tendrías que hacer $$QQQWQQ$$ el primero de los números que lo hace es el 39 y como hay 5 Q en la secuencia los números que cumplen son los de la forma  $$39+2^5K$$, cuando K=2  tienes el 103 , que cumple con lo que pides, sube cae y vuelve a subir.


En definitiva puedes pedirle lo que sea que quieras que haga a la secuencia y siempre habrá un número mínimo que la cumplirá y se repetirá en cada número que obtengas sumando a $$x$$ de una cantidad $$2^q$$ potencia de dos, repitiendo el patrón de inicio.


 

[Granmurillo]

No, porque el 39 itera 39->59->89->67, pero el 67->101->19 no es la misma forma de excursión. Debe ser QQQW->QQW->QQW->QQW->...

[Richard R Richard]

El mínimo para


$$QQQW\,\quad\to\quad 7\,\quad\to\quad 13$$
$$QQQWQQ\,\quad\to\quad 39$$
$$QQQWQQW\,\quad\to\quad 39\,\quad\to\quad 76$$
$$QQQWQQWQQW\,\quad\to\quad 679\,\quad\to\quad 1453$$
$$QQQWQQWQQWQQW\,\quad\to\quad 2727\,\quad\to\quad 6556$$
$$QQQWQQWQQWQQWQQW\,\quad\to\quad 43687\,\quad\to\quad 118093$$
$$QQQWQQWQQWQQWQQWQQW\,\quad\to\quad 174759\,\quad\to\quad 531436$$...


Observa algo que ya mencione a  lo largo del hilo, silo que agregas a la secuencia , forma parte de la cadena de descenso a 1 , entonces el número mínimo  de inicio se mantiene, puedes verlo entre la segunda y tercera lineas previas que expuse, pero si no coincide el mínimo se incremente en $$2^t$$ donde $$t$$ es la posición de la nueva letra contando de izquierda a derecha, así que cada vez que agregas tres letras como hay $$2^3=8$$ combinaciones posibles y solo una sigue la linea de descenso a 1 , esa sola mantiene el mínimo, y el resto lo incrementan en función de si la diferencia con el patrón de descenso a 1 esta en la posición $$t,t+1\,o\, t+2$$ o en una combinación de ellos.

[Granmurillo]

Sólo utilizo impares gon la función Syracusa o reducida, los pares son triviales.

[Richard R Richard]

Si el número final es par , indica que con ese número inicial no puedes agregar otra $$Q$$ para iniciar otro grupo $$QQW$$, por lo que el número que si cumpla,  será aún mayor al que presenté, pero nunca menor.

[danizafa]

Qué pasó que no han escrito nada nuevo en este tema? Siguen revisando? Yo creo que tengo algo como un hilo que sobresale de la sabana en el 103. Alguien más lo ha revisado?

Yo no veo comportamientos anómalos en ningún número, así que no busco revisar números en particular, sino buscar algo estructural. Pero las ideas que fui analizando no cierran el problema. Siento que me estanqué o que llegué hasta donde pude. Por cierto, estoy del lado de que la conjetura es verdadera. Creo que tomando la línea adecuada, no haría falta demostrar la inexistencia de ciclos. Y bueno, creo que vos estás en línea con lo que yo creo:

Regresamos a lo que ya sabemos, no hay ciclo no trivial, no lo van a encontrar, entonces hay que buscar una forma generalizada para demostrar que no existe un ciclo no trivial. O estás buscando la forma de encontrarlo?

Si es así será un camino eterno.

pero no podemos decir que "no hay ciclo no trivial" si no lo demostramos, salvo que demostremos la conjetura de esa manera en la que no haría falta demostrar la inexistencia de los mismos. Si afirmaras eso y lograrás una demostración, esa afirmación te la desploma porque no la tenés demostrada. Ahora, si encontrás una forma en la que no necesites la afirmación para llegar a la demostración, la propia demostración implica la inexistencia. Pero no podemos partir de "lo que ya sabemos", y una forma de demostrarlo de manera general es el problema más grande de la conjetura. En realidad es por el tema de las 2 cuestiones que se dice que se necesitan:

1) Inexistencia de ciclos.
2) Inexistencia de órbitas divergentes.

Ambas significan que toda órbita llega eventualmente a 1.

Creo que la cuestión es olvidarse de las 2 cuestiones por separado. Estudiar por qué todos los números están conectados. Buscar la forma de encontrar un ciclo no trivial es igual de dificil que encontrar la forma de demostrar que no hay ciclo no trivial. Y lo mismo sucede con el tema de buscar una órbita que no llegue a 1 o la forma de demostrar que no existe.

Ya no hay más ideas, y no tengo nada fresco para agregar que pueda aportar a nuevas ideas. Solo eso. Creo que la evidencia empírica es suficiente para decir que puede ser verdadera, pero es insuficiente para demostrarlo. siempre queda una pata renga en algún lugar.