[Richard R Richard]

Gracias por tomarte el tiempo de desmenuzar lo que escribo.

Para resumir y no hacer cita de la cita...
Te comento que no  estoy buscando probar la conjetura, para ello entiendo hay varias demostraciones que hacer y este hilo trata solo de una de esas, así que lo que resulte de aquí no terminará ni probando ni falsando la conjetura.
Me has orientado bien que no tengo camino a seguir en ese paso de lo finito a lo infinito, de acuerdo. Y cuando escribo infinito..., está perfecto me corrijas porque como bien me apuntas el sentido que busco es el que me indicas  "tan grande como se quiera" .
No quise desmerecer tus ejemplos , pero  ante la  facilidad de demostrarlos, no reconocí a la primera el trasfondo que me querías indicar, creo que se me ha aclarado.


Con órbita reiterativa, me refiero  a que repites siempre los mismos pasos de la función de Collatz... tu, entiendo que a eso le llamaste iteración de la función, voy a ver si puedo explicarlo así,  si iteras sobre un número impar  , entonces multiplicas por 3 y sumas 1, luego obligatoriamente iteras pero esta vez dividiendo, para mi hay 1 paso, tu le llamas 2 iteraciones, bien, una órbita repetitiva es aquella que repite una secuencia de iteraciones , ejemplo llamo K  a la iteración en la que aplicas 3n+1 y llamo C  a la que divides es decir aplicas  n/2.  Si quiero escribir una serie de iteraciones entonces luego de cada K viene una  C así podriamos decir que KCKCKCKCKCKCKC.. repite 2 iteraciones y va ascendiendo,  en cambio KCCKCCKCCKCC..  repite 3 iteraciones pero va descendiendo...
La idea de órbita repetitiva, es que a cualquier secuencia de iteraciones finita,  que se repita la cantidad de veces que queramos, necesariamente  hace que el número inicial $$n_0$$ que satisface todas las repeticiones de esa secuencia, vaya incrementando su valor a medida que le pedimos que cumpla con mas repeticiones de la secuencia....
Entonces se puede definir una secuencia  como aquella en la que podemos determinar si el número final es mayor o menor que el inicial, si es mayor decimos que asciende y si es menor desciende.
Reiterando una secuencia ascendente voy progresivamente ascendiendo alejándome del 1.
Siempre que haya un número finito de reiteraciones de secuencia ascendente finitas llegaremos a un número finito desde el cual hacia adelante no sabremos como funcionará la función de Collatz.

Mi idea es que  si esa cantidad de reiteraciones es tan grande como se quiera, habremos llegado tan alto que habremos probado no "desciende".(aunque hacia adelante no sabremos como funcionará la función de Collatz)

Pero que se vuelve imposible calcular n para cada caso de infinitos pasos ,

Aquí entiendo que te refieres a que se vuelve imposible calcular un \( n \) inicial que al ser iterado nunca caiga a uno. Pero no se en que sentido es imposible. Si lo encontramos la conjetura sería falsa; si supiésemos que es imposible (no difícil) sino rigurosamente imposible, tendríamos probada la conjetura. Pero ni lo hemos encontrado; ni tenemos probado la segunda.

Bien,  aver si ahora puedo transmitir la idea, 
1) Yo tengo una formula para calcular el numero inicial de una  secuencia ascendente que al reiterarla llego a un numero muy superior al inicial,
2) Mientras aumento a antojo el número de repeticiones que deseo para la orbita, el número inicial que la puede satisfacer va ascendiendo.
3) Dado un número finito de repeticiones, es posible hallar el número inicial y el final  de la órbita,
4) Mientras el número de repeticiones es finito, lo que haga la función de Collatz después del número final,  puede o no llegar a 1 .
5) La idea es que quiero hacer el número de repeticiones tan grande como quiera , para superar cualquier cota finita que impongamos, para decir que por encima de la cota hemos ascendido lo suficiente para afirmar que la órbita no ha regresado a 1. ( si imponemos una cota, habrá quien me diga que tengo superarla como 10 trillones de digitos mas, y luego pedirán mas, así que imponer cota no me parece razonable)...
6)El tema es que hay una relación directa entre el ascenso que logra un número de reiteraciones de una secuencia y el número del que se parte, mientras uno es finito el otro también lo es.
7) Luego no importa cuanto o como me esfuerce en crear números mas grandes, siempre serán finitos, y no podré probar la conjetura , el tema es decir cuanto es suficiente y me temo que lo que se busca no es eso, sino demostrar inevitablemente  desciende a 1 o inevitablemente no lo hace.

1- Yo tengo un método que dado \( k \) tan alto como quiera, me permite construir un número \( n \) que ascienda \( k \) pasos.
2- Pero con mi método para obtener "infinitos" pasos, ese número debería de ser infinito. Con lo cual no existe un número finito que ascienda infinitos pasos.

En realidad sería así

1- Yo tengo un método que dado \( n \) tan alto como quiera, me permite construir un número \( n \) al que se asciende en \( k \) pasos.
2- Pero con mi método para obtener "infinitos" pasos, ese número debería de ser infinito. Con lo cual no existe un número finito que ascienda al infinito en  infinitos pasos,  si bien en cada paso el número del  paso siguiente es mayor que el anterior , lo  mismo es  decir que no desciende a 1 es esos infinitos pasos.

Si de ahí eres capaz de probar que se llega a un absurdo, si habrías probado la inexistencia de casos del tipo 2. Pero no veo que hayas hecho nada parecido.

Bueno si, creo lo he hecho , o no veo bien la crítica.
Indico como generar el número de partida $$n_0$$, para cualquier $$k$$ finito
Indico cual es el número $$n_k$$ final y la forma de justificar todos los intermedios de las $$k$$ repeticiones de una secuencia  tipo KC de ascenso. Siempre $$n_k>n_{i+1}>n_i>n_0$$
Cumplir con la órbita, es ser determinista, das el $$n_0$$ inicial, aplicas la función de Collatz y en $$2k$$ iteraciones  o en $$k$$ repeticiones de la secuencia KC aún no habremos llegado a 1.
Empezando desde el 1, no todo número inicial puede seguir la secuencia total entre el número inicial y el final, pues quizá  en algún momento infrinja con no ajustarse a la función de Collatz, ya sea por que la secuencia indica dividir pero estamos en numero impar o pide ascender pero estamos en número par, cuando un número no cumple buscamos que cumpla alguno inmediato superior, así que el sí cumpla será el menor de todos los que pueden cumplirla.

 Sea como sea intenta aplicar ese argumento al ejemplo 2.

Aver    aquí  elegir cualquier  $$n$$ impar  hace que nunca desciendas, pues no hay ningun $$k>0$$ talque $$2^k$$ sea impar, la condición de descenso no se da nunca y elegir cualquier par finito desciende en un número finito de iteraciones, porque la condición de descenso a 1 luego del ascenso  se da siempre.
En este ejemplo no pasas de par a impar como en  Collatz, solo pasas del ascenso al descenso en una condición especifica que te lleva a 1 inevitablemente solo cuando es par.  En Collatz vas tomando siempre una sucesión de ascensos seguidos de descensos es decir las dos partes de la función y no esta claro si siempre hallarás la condición que te lleve al descenso a 1. 
Yo puedo garantizar que no desciendas por debajo de $$n_0$$ en $$k$$ pasos o en $$2k$$ iteraciones con $$k$$ tan grande como quieras.

La única forma posible de darle sentido es lo que he dicho antes: dar un \( n \) que tenga una órbita que toma valores tan grandes como queramos. De manera más precisa, que encuentres un \( n \) de manera que dado cualquier otro \( M>0 \) exista un \( k \), tal que si iteras la función de Collatz \( k \) veces sobre \( n \) se llegue a un número mayor que \( M \).

Ya lo he dicho, creo poderte dar $$k$$, $$n_0$$ y $$n_k>M$$ para cualquier $$M$$ tan grande como desees. Si quieres te los escribo cuando me pases el M.  $$*$$

Esto parece decir que puedo  tener órbitas tipo 2.... pero en realidad cuanto mas grande M , mas grande $$k$$ y tambien $$n_0$$  Y...

Si hubiese una forma de hacer limite de M  yendo a infinito, implicaría que  $$k$$ y también  $$n_0$$ tiendan a infinito (hay una relación lineal con $$n_k$$ que debe ser mayor a M) por tanto no habría números finitos que lleguen a infinito con infinitos pasos o sea no habría ningún número finito perteneciente a una órbita tipo 2. Se entiende como el paso al limite me cambia la lógica.


Si hubiese alguna objeción al tema de repetir secuencias, esto lo veo  como una analogía a que la codificación las letras del quijote estén infinitas veces dentro de las cifras de Pi..., requiere tantos pasos, que inevitablemente,  habrá una cantidad infinita de repeticiones de cualquier secuencia finita, que por definición  todas son de ascenso. Entonces si hasta cierta punto de la órbita se puede saber que $$n_0$$ es el número inicial, y si la órbita sigue con la repetición de una secuencia cualquiera, ya no esta garantizado que sea $$n_0$$ sea el que pueda dar esa órbita, sino que deberá ser uno mayor o bien igual , imposible estaba claro que sea uno menor , pues $$n_0$$ es el menor natural que la cumplía hasta el punto de análisis.

Gracias y saludos.

Pd $$*$$ mientras  $$M$$ sea finito , $$n_0$$ es finito, y luego de un número finito de $$2k$$ iteraciones llegaremos a $$n_k>M$$ también finito.... lo que no se puede  saber es que pasa con la órbita luego de pasar por $$n_k$$ , solo que $$k$$ es tan grande como queremos , entonces podemos garantizar no descender  durante $$2k$$ iteraciones con $$k$$ tan grande como se quiera.  , Es como si con M le pusieras cota mínima al infinito y por eso me resulta extraño que me lo plantees así, lo más probable no te haya entendido.

[Luis Fuentes]

Hola

En realidad es así

1- Yo tengo un método que dado \( n \) tan alto como quiera, me permite construir un número \( n \) al que se asciende en \( k \) pasos.
2- Pero con mi método para obtener "infinitos" pasos, ese número debería de ser infinito. Con lo cual no existe un número finito que ascienda al infinito en  infinitos pasos,  si bien en cada paso el número del  paso siguiente es mayor que el anterior , lo  mismo es  decir que no desciende a 1 es esos infinitos pasos.

Esencialmente es lo mismo que decía. Y el problema está en (2) que tu método no sea capaz de encontrar un número finito que "ascienda al infinito" (o en otras palabras que nunca llegue al \( 1 \)) no quiere decir nencesariamente que ese número no exista, sino que tu no eres capaz de encontrarlo (ni yo tampoco).

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Si de ahí eres capaz de probar que se llega a un absurdo, si habrías probado la inexistencia de casos del tipo 2. Pero no veo que hayas hecho nada parecido.

Bueno si, creo lo he hecho , o no veo bien la crítica.

mmmm esa cita esta aparentemente saca de contexto. No se refiere a los dos puntos de arriba, que como te digo no llevan a nada. Se referían a si eres capaz de probar esto:

La única forma posible de darle sentido es lo que he dicho antes: dar un \( n \) que tenga una órbita que toma valores tan grandes como queramos. De manera más precisa, que encuentres un \( n \) de manera que dado cualquier otro \( M>0 \) exista un \( k \), tal que si iteras la función de Collatz \( k \) veces sobre \( n \) se llegue a un número mayor que \( M \).

Y no, no eres capaz. Por que ahí yo me refiero a un \( n \) que NO DEPENDA de \( M \), es decir, un \( n \) fijo al cual si aplicas suficientemente número de veces la función de Collatz, superes cualquier posible cota previa \( M \). No lo eres, porque si lo fueses desde el principio habrías dicho que la conjetura es falsa.

Y tampoco veo que partas de ahí para llegar a una contradicción en nada de lo que explicas.

Indico como generar el número de partida $$n_0$$, para cualquier $$k$$ finito
Indico cual es el número $$n_k$$ final y la forma de justificar todos los intermedios de las $$k$$ repeticiones de una secuencia  tipo KC de ascenso. Siempre $$n_k>n_{i+1}>n_i>n_0$$
Cumplir con la órbita, es ser determinista, das el $$n_0$$ inicial, aplicas la función de Collatz y en $$2k$$ iteraciones  o en $$k$$ repeticiones de la secuencia KC aún no habremos llegado a 1.

Esto ya sé que puede hacerse; salió incluso en otro hilo (creo que el de mongar); no hay nada sorprendente ahí y eso, por si sólo, no va a llevar a probar nada a favor o en contra de la conjetura.
 

Yo puedo garantizar que no desciendas por debajo de $$n_0$$ en $$k$$ pasos o en $$2k$$ iteraciones con $$k$$ tan grande como quieras.

Me creo que lo puedas garantizar: pero eso no dice nada a favor o en contra de la conjetura.

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La única forma posible de darle sentido es lo que he dicho antes: dar un \( n \) que tenga una órbita que toma valores tan grandes como queramos. De manera más precisa, que encuentres un \( n \) de manera que dado cualquier otro \( M>0 \) exista un \( k \), tal que si iteras la función de Collatz \( k \) veces sobre \( n \) se llegue a un número mayor que \( M \).

Ya lo he dicho, creo poderte dar $$k$$, $$n_0$$ y $$n_k>M$$ para cualquier $$M$$ tan grande como desees. Si quieres te los escribo cuando me pases el M.  $$*$$

Como te dije antes yo me refiero a que el \( n \) no dependa del \( M \); en otro caso ya sé que puedes darlo.

Fíjate que en general no dudo para nada de tu resultado concreto en cuanto a obtener secuencias como las que describes; si no que lo que niego es que eso ayude lo más mínimo (sin una gran idea adicional) a probar nada a favor o en contra de la conjetura.

Si hubiese una forma de hacer limite de M  yendo a infinito, implicaría que  $$k$$ y también  $$n_0$$ tiendan a infinito (hay una relación lineal con $$n_k$$ que debe ser mayor a M) por tanto no habría números finitos que lleguen a infinito con infinitos pasos o sea no habría ningún número finito perteneciente a una órbita tipo 2. Se entiende como el paso al limite me cambia la lógica.

No hay ningún paso al límite que se pueda hacer ahí. Lo único que tienes es que con tú método, para conseguir llegar a números cada vez más altos, necesitas partir de número cada vez más alto. No hay nada útil que se pueda concluir de ahí a favor o en contra de la existencia de un número cuya órbita alcanzase números tan grande como queramos.

Cosas distinta es que probases algo así: que dado \( M>0 \) para alcanzar un número mayor que \( M \) es OBLIGATORIO partir de un numero mayor que, por decir, algo \( M/2 \) ó \( M/3 \) o alguna función creciente de \( M \). Si eres capaz de probar eso, entonces habrías demostrado la inexistencia de número cuya órbita alcanza números tan grandes como queramos. Pero ojo con ese "OBLIGATORIO", que es distinto de "con mí método" para alcanzar \( M \) necesito partir de un número mayor que tal y tal...

Saludos.

[Richard R Richard]

Cosas distinta es que probases algo así: que dado \( M>0 \) para alcanzar un número mayor que \( M \) es OBLIGATORIO partir de un numero mayor que, por decir, algo \( M/2 \) ó \( M/3 \) o alguna función creciente de \( M \). Si eres capaz de probar eso, entonces habrías demostrado la inexistencia de número cuya órbita alcanza números tan grandes como queramos. Pero ojo con ese "OBLIGATORIO", que es distinto de "con mí método" para alcanzar \( M \) necesito partir de un número mayor que tal y tal...

Ok, gracias de nuevo, ya veo que no me imponias cota tan sencilla,  necesitaría generalizar "mi metodo" por cualquier metodo"  y que sea el que fuera obligatoriamente necesite partir de un número inferior a la cota, que quede definido por ella y que inevitablemente la supere en un número de iteraciones finito.
Soy optimita que no lo has puesto muy difícil, solo explicar que "mi método" es un ejemplo de "cualquier método" que cumple con la característica de ascender entre el primer y último número de una secuencia, sin descender a 1 entre medio, claro está,  pero sin importar mucho como es al interior esa secuencia.


Bueno por la mañana  no dispongo de tiempo para desarrollar más la idea, pero por la noche haré  el intento, y sino encuentro alguna cosa infranqueable al generalizar, creo llegaré a algo que se pueda compartir .


Gracias  se nuevo saludos

[Richard R Richard]

Aclaro algo sobre la nomenclatura que uso.
$$k$$ = índice de una iteración
paso=$$t$$ número de pasos entre dos números de una misma órbita.  En algunos casos $$t=2k$$
Si en la iteración tomamos como elemento de entrada un $$n$$ impar  entonces el próximo número de la órbita es $$3n+1$$, esa iteración la llamo tipo K
Si en la iteración tomamos como elemento de entrada un $$n$$ par  entonces el próximo número de la órbita es $$n/2$$, esa iteración la llamo tipo C
Como consecuencia de aplicar la función de Collatz,en  toda secuencia de iteraciones luego de una K viene una C.
Un paso ascendente es aquel que luego de una K lo sigue solo una C , es decir KC asciende   $$n_1=\dfrac{3n_0+1}{2}>n_0$$   estos los llamo A
pasos descendentes son aquellos más de 1 C seguidas, que luego de una $$K$$ lo siguen $$q$$ veces iteraciones $$C$$ , es decir $$K\overbrace{CCCC...CCC}^{q\ veces}$$ entonces desciende   $$n_1=\dfrac{3n_0+1}{2^q}<n_0$$ a estos los llamo D
Toda órbita puede escribirse  como una secuencia en combinatoria de pasos A y pasos D , y suma de las cantidades de pasos  A y D en una órbita es t.
Si una órbita contiene solo pasos tipo A  tiene 2k iteraciones y t pasos  o sea $$t=2k$$.

Una órbita es entonces la concatenación de pasos A y D,
Si cortamos una porción de la órbita siempre previo a un elemento K , estaremos en dos números impares .
Si la secuencia cortada termina en un $$n_f=n_{final}>n_{inicial}=n_i$$  decimos que es una secuencia ascendente.
Si la secuencia cortada termina en un $$n_f=n_{final}<n_{inicial}=n_i$$  decimos que es una secuencia descendente.

Es claro que para cualquier secuencia empecemos por un número impar ya que la primera iteración es K y la segunda C
Si empezamos en par , no estamos siguiendo la $$función$$ de Collatz ya que en mi definición empezamos por $$n$$ impar.
Hay que observar que luego de la segunda iteración no todo $$n_i$$ permitirá que se continúe con una tercera iteración tipo K , para ello $$n_1$$ debe ser impar , ejemplos
$$n_0 =11$$  entonces $$n_1=\dfrac{3n_0+1}{2}=17$$ impar  esto permite que la tercera iteración sea K. Este  ha sido un paso ascendente
pero con $$n_0=13$$  tenemos $$n_1=\dfrac{3n_0+1}{2}=20$$ que es par, luego la tercera iteración tiene que ser C , luego esta parte de una secuencia  es KCC o sea un paso descendente.

Si definimos a placer una secuencia de iteraciones posibles(las que no violan la función de Collatz, por ejemplo, KKC, viola la función de Collatz , porque la segunda K aplica 3n+1 a un número par)
siempre las podemos analizar como una combinatoria de pasos tipo A y D.

La repetición indefinida de pasos tipo D, llevará inevitablemente a 1
La repetición indefinida de pasos tipo A, llevará inevitablemente a un número tan grande como se quiera en finitos pasos.

Cualquier secuencia finita aleatoria cuyo $$n_f>n_0$$ será ascendente.
Cualquier secuencia finita aleatoria cuyo $$n_f<n_0$$ será ascendente.
Cualquier secuencia finita aleatoria cuyo $$n_f=n_0$$ será un ciclo.

Explicando "Mi método "de ascenso indefinido.

Parto de un número $$n_0$
Propongo que la secuencia sigue por números definido por pasos tipo A exclusivamente.
Luego de $$t$$ pasos habremos llegado a un $$n_t$$ impar  que es mucho mayor  a $$n_0$$

Sabemos que los números mínimos finales que cumplen con $$w$$creciente pasos en ascenso produciendo  impares antes de todos los ascensos
5,17,53,161 ...  estos siguen la secuencia $$n_{(w+1} =3(n_w)+2$$  o sea  que todos son 3m2 como resulta cualquier $$(3n+1)/2$$ de la cadena ascendente

Así que para número de esa serie el número $$n_o$$ que la empieza es

$$n _0=2^{t+1}-1$$

• para $$t=1$$  es decir  solo un paso en ascenso partimos de $$n_0=2^{1+1}-1=3$$  y si ejecuto un paso o dos iteraciones, tenemos  $$n_1=\dfrac{3\cdot3+1}{2}=5$$  que es el primer elemento de la serie.
• para $$t=2$$  es decir  solo dos pasos en ascenso   partimos de $$n_0=2^{2+1}-1=7$$  y si ejecuto un paso  o dos iteraciones tenemos  $$n_2=\dfrac{3\cdot\dfrac{3\cdot7+1}{2}+1}{2}=17$$  que es el segundo elemento de la serie

y así podemos definir números de partida tan grande como queremos en función de un $$t$$ tan grande como queramos y produce una  cadena de $$t$$ pasos ascendentes tan grande como queramos

esa serie se puede escribir en forma directa como $$n_t=2*3^{t}-1$$

Dada una cota M  a superar  podemos averiguar  que $$t$$   supera la cota $$ M<n_t=2*3^{t}-1$$ entonces  $$\dfrac{M-1}2<3^t$$ entonces $$t=\lfloor\log_{3}\left(\dfrac{M-1}2\right)\rfloor+1$$

Resumiendo,  puedo hallar  un número $$n _0=2^{t+1}-1$$   cuya $$t$$  se calcula con  $$t=\lfloor\log_{3}\left(\dfrac{M-1}2\right)\rfloor+1$$  y podemos comprobar que $$n_0<M$$ que al aplicarle la función de Collatz en 2t iteraciones o t pasos  superará a la cota, para cualquier cota que imponga. 

Por las dudas aclaro  que no todo $$n>n_0$$ tiene que seguir una órbita que  no descienda a 1 en t pasos o mas.  Es decir $$n_0+2=2^{t+1}+1$$ desciende  en al menos t+1 pasos  porque $$n_0$$ es una potencia $$t+1$$ de dos restado 1 .
Es decir  habrá números grandes que  desciendan en poco mas  de $$t$$ iteraciones C  pero hay otros que es esa misma cantidad  $$t$$ de  pasos habrán tenido tambien C divisiones pero habrán ascendido, luego de eso se necesitan al menos $$t*log_23$$ para descender a 1.


Bueno se hace largo, pero  ahora tengo que generalizar a cualquier secuencia que sea ascendente es decir $$n_0<n_f$$ si la reitero la cantidad de veces suficiente también superará cualquier cota , y siempre se verificara que todos los pasos intermedios cumplen la función de Collatz.

Espero que eso sea lo que le pedía a "mi método" , si es eso entonces  solo me falta probar

• cualquier reiteración indefinida de cualquier secuencia creciente. fácil pues cualquier secuencia creciente tiene $$n_f\geq n_0+2$$ , luego de  reiterar x veces la secuencia estaremos mas lejos de 1, solo hay que buscar que función aplicar para $$n_f,n_0 \ y \ x$$
• cualquier combinación aleatoria de secuencias crecientes. Mas de lo mismo, no tan fácil si bien cualquier secuencia creciente tiene $$n_f\geq n_0+2$$  hallar una  función que devuelva $$n_f,n_0 \ y \ x$$ será complicado.

Ejemplos de pequeñas secuencias crecientes
KCKCC
KCKCCCKCKC


Una forma rudimentaria de estimar si una secuencia asciende  si $$u$$= es la cantidad de Ks y $$v$$ es la cantidad de Cs  será ascendente si  $$\dfrac{3^u}{2^v}\geq1$$ . Exacto sería comparar todo el polinomio que se crea por la aplicación de las iteraciones poniendo como variable inicial $$n_0$$  con respecto al valor de $$n_0$$   

[Luis Fuentes]

Hola

$$n _0=2^{t+1}-1$$

• para $$t=1$$  es decir  solo un paso en ascenso partimos de $$n_0=2^{1+1}-1=3$$  y si ejecuto un paso o dos iteraciones, tenemos  $$n_1=\dfrac{3\cdot3+1}{2}=5$$  que es el primer elemento de la serie.
• para $$t=2$$  es decir  solo dos pasos en ascenso   partimos de $$n_0=2^{2+1}-1=7$$  y si ejecuto un paso  o dos iteraciones tenemos  $$n_2=\dfrac{3\cdot\dfrac{3\cdot7+1}{2}+1}{2}=17$$  que es el segundo elemento de la serie

y así podemos definir números de partida tan grande como queremos en función de un $$t$$ tan grande como queramos y produce una  cadena de $$t$$ pasos ascendentes tan grande como queramos

esa serie se puede escribir en forma directa como $$n_t=2*3^{t}-1$$

Dada una cota M  a superar  podemos averiguar  que $$t$$   supera la cota $$ M<n_t=2*3^{t}-1$$ entonces  $$\dfrac{M-1}2<3^t$$ entonces $$t=\lfloor\log_{3}\left(\dfrac{M-1}2\right)\rfloor+1$$

Resumiendo,  puedo hallar  un número $$n _0=2^{t+1}-1$$   cuya $$t$$  se calcula con  $$t=\lfloor\log_{3}\left(\dfrac{M-1}2\right)\rfloor+1$$  y podemos comprobar que $$n_0<M$$ que al aplicarle la función de Collatz en 2t iteraciones o t pasos  superará a la cota, para cualquier cota que imponga. 

Por las dudas aclaro  que no todo $$n>n_0$$ tiene que seguir una órbita que  no descienda a 1 en t pasos o mas.  Es decir $$n_0+2=2^{t+1}+1$$ desciende  en al menos t+1 pasos  porque $$n_0$$ es una potencia $$t+1$$ de dos restado 1 .
Es decir  habrá números grandes que  desciendan en poco mas  de $$t$$ iteraciones C  pero hay otros que es esa misma cantidad  $$t$$ de  pasos habrán tenido tambien C divisiones pero habrán ascendido, luego de eso se necesitan al menos $$t*log_23$$ para descender a 1.

Bien, de acuerdo. Nada que objetar. Pero lejos de lo que se necesita.

   

• cualquier reiteración indefinida de cualquier secuencia creciente. fácil pues cualquier secuencia creciente tiene $$n_f\geq n_0+2$$ , luego de  reiterar x veces la secuencia estaremos mas lejos de 1, solo hay que buscar que función aplicar para $$n_f,n_0 \ y \ x$$

Aquí no se muy bien que quieres decir.

   

• cualquier combinación aleatoria de secuencias crecientes. Mas de lo mismo, no tan fácil si bien cualquier secuencia creciente tiene $$n_f\geq n_0+2$$  hallar una  función que devuelva $$n_f,n_0 \ y \ x$$ será complicado.

Aquí tampoco. Pero sinceramente no veo nada que me sugiera que estés en el camino de lo que realmente se necesita.

Además si cuando hablas de \( n_0 \) hablas del punto de partida que TÚ tomas para tu órbita; el problema está en si a su vez a ese \( n_0 \) puede haberse llegado desde un número inferior.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola,
Solo me dices que estoy lejos de lo que se necesita. No estoy viendo en eso la crítica, doy la fórmula para obtener un numero inicial, que en una cantidad finita de pasos supera la una cota arbitraria sin descender a 1.
Si puedo subir la cota todo lo que quiera, ¿que mas se requiere?He releido tu critica anterior y no veo que me salto por alto, si aumento la cota  aumenta el numero inicial, si se tiende al infinito la cota el inicial también tiende a infinito y no hay forma de ascender en menos iteraciones.

Si toda potencia de 2 es 1mod3 y 2mod3 , al restarle 1 tendría un $$n_0$$ que podrian ser 0mod3 o 1mod3, si elijo el primero no podria venir de un número inferior, y si elijo el segundo puede venir de uno superior, dividido por 2 en una cantidad de iteraciones pares, si eso extiende la órbita y molesta puedo refinar la busqueda, y solo superar la cota con los $$n_0$$ que sean 0mod3.


Las otras dos citas solo indican mi camino a seguir,, no estan explicadas aún.

[Luis Fuentes]

Hola

Solo me dices que estoy lejos de lo que se necesita. No estoy viendo en eso la crítica, doy la fórmula para obtener un numero inicial, que en una cantidad finita de pasos supera la una cota arbitraria sin descender a 1.

Si; y ya te he comentado en todos los mensajes anteriores que eso, al menos por si solo, no aporta absolutamente nada a la hora de dilucidar si es o no posible que existan órbitas con infinitos elementos (es decir que iteranto una u otra vez nunca lleguen a \( 1 \) ni caigan en cilos). Como muestra los ejemplos que te puse con las funciones simplonas pero análogas al problema de Collatz.

Si puedo subir la cota todo lo que quiera, ¿que mas se requiere?

Pensé que esto había quedado claro. Ya te lo comenté aquí (incluso si cambias el matiz de conseguir un número tan alto como quieras):

A mi me parece que tu tienes esta idea (errónea) o parecida:

1- Yo tengo un método que dado \( k \) tan alto como quiera, me permite construir un número \( n \) que ascienda \( k \) pasos.
2- Pero con mi método para obtener "infinitos" pasos, ese número debería de ser infinito. Con lo cual no existe un número finito que ascienda infinitos pasos.

Que tu tengas el método para conseguir (1) no dice nada a favor o en contra de que exista un número que ascienda en un número ilimitado de pasos (que en su órbita haya términos tan grandes como queramos). ¡Y precisamente mi ejemplo 2 quería mostrarte eso!. Pero veo que no lo consigo..

y en realidad te lo comenté en todos mis mensajes anteriores. ¡Eso no llega! (véase mis ejemplos 1 y 2).

He releido tu critica anterior y no veo que me salto por alto, si aumento la cota  aumenta el numero inicial, si se tiende al infinito la cota el inicial también tiende a infinito y no hay forma de ascender en menos iteraciones.

Pero eso es en TÚ forma de construir esa secuencia. Eso no dice nada a favor o en contra de que se pueda encontrar un iterante incial más bajo que el que tu dices. Y esa es la clave. Es más o menos lo que te dije aquí:

Cosas distinta es que probases algo así: que dado \( M>0 \) para alcanzar un número mayor que \( M \) es OBLIGATORIO partir de un numero mayor que, por decir, algo \( M/2 \) ó \( M/3 \) o alguna función creciente de \( M \). Si eres capaz de probar eso, entonces habrías demostrado la inexistencia de número cuya órbita alcanza números tan grandes como queramos. Pero ojo con ese "OBLIGATORIO", que es distinto de "con mí método" para alcanzar \( M \) necesito partir de un número mayor que tal y tal...

Fíjate en mis OBLIGATORIO; no con tú método.

En realidad lo que hay que probar tiene más que ver con probar la imposibilidad de algo, que la posiblidad. No vale de nada que tu des formas de construir secuencias cumpliendo tales o cuales condiciones (a no ser que dieses un iterante inicial que ascienda hasta al infinito, con lo cual probarías que la conjetura es falsa). Lo que se trata es de probar que es imposible llegar a una cota \( M \) sino se parte de un número inicial "suficientemente alto" (en una cierta proporción o función creciente que dependa de \( n \)). No veo nada en ese camino. Insisto mucho en que para eso no vale el análisis de las secuencias concretas que tu has creado eligiendo iterantes particulares; porque la cosa es si eligiendo otros iterantes iniciales quizá pequeños se llega a superar o no tal o cual cota.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, Luis, sigues apuntando a mi método, que es solo un ejemplo,,no prueba ni afirma nada.
Pero creo que algo no he dicho o no lo expliqué bien , o si realmente no sirve y no te entiendo el por qué.  Así que si no sirve en particular voy a tratar de hablar en general, haber si allí encuentro el argumento en contra a mis dichos.

Por un lado veo que me dices que no puedo garantizar que $$n_0$$ no pueda provenir de otra secuencia en la cual exista en un paso arbitrario, una iteración que devuelva un número menor a $$n_0$$ , creo que te refieres que a si es así ese número podría estar por debajo de cualquier relación impuesta  respecto de la cota M, ¿es así?
Si es así solo los $$n_0$$ múltiplos de 3 nunca tendrán un número menor del cual provenir.

Mí método incluye como $$n_0$$ a los múltiplos de 3 pero también tiene números 1mod 6 , que si bien  directamente no pueden venir de un ascenso K o $$3n+1$$ pues al ser impares  implica que $$n$$ sea par,  violando la función de Collatz, pero si lo que yo no podría evitar por ahora, es que exista un $$2^xn_0$$ cuando $$n_0$$ es 1mod6 y ese números si pueda venir de una cadena que contenga al menos un $$ n <n_0$$ , si eso es la crítica me obligas a que parta exclusivamente de un $$n_0$$ múltiplo de 3.
Pero aún así si aplicándole a este múltiplo de 3  una secuencia de iteraciones que pueda ascender indefinidamente y entonces no halle un natural que pueda satisfacer las condiciones para ser ese $$n_0$$ y aún,  no estaré diciendo nada sobre el resto de los naturales, que supongo sería la misma critica que me vienes haciendo. Es decir  por mas que halle una forma de ascender particular y muestre que no existe un natural que pueda seguir esa órbita, no estaría diciendo nada por el resto de la infinidad de formas de ascender y de números de partida que quedan sin explorar.

Intento generalizar. Veamos el punto de partida.

Sea $$n \in \Bbb N$$  tal que $$n\neq 2^x$$  para cualquier $$x\in\Bbb N$$ si es  $$n$$ es par entonces entonces existe $$n_{im}=\dfrac{n}{2^w}>1$$ impar para algún $$w\in\Bbb N$$

• Si $$n\equiv0mod3$$ entonces $$n_0=n$$ y se cumple que cualquier $$2^xn_{im}\equiv0mod3$$
• Si $$n\equiv1mod3$$ entonces si $$w=2q$$ entonces  $$\exists n2^w\equiv4mod6$$  y  existe $$y=2c+1$$ impar tal que $$3y =n_0$$  y entonces $$3(3y)+1=3(3(2c+1))+1=18c+4\equiv 4mod6$$ para cualquier 4 mod 6 entonces siempre hay un impar múltiplo de 3 del cual partir  que pase por cualquier natural 1mod 3 
• Si $$n\equiv2mod3$$ entonces si $$w=2q+1$$ entonces  $$\exists n2^w\equiv4mod6$$  y  existe $$y=2c+1$$ impar tal que $$3y =n_0$$  y entonces $$3(3y)+1=3(3(2c+1))+1=18c+4\equiv 4mod6$$ para cualquier 4 mod 6 entonces siempre hay un impar múltiplo de 3 del cual partir  que pase por cualquier natural 2mod 3

Luego cualquier natural puede estar en una órbita que empiece en un $$n_0$$ múltiplo de 3 que inevitablemente no puede venir de un número inferior.

No se puede sugerir que desde "cualquier" número $$r$$ inferior a $$n$$, se puede ascender y pasar por $$n$$ , la órbita de cada $$r<n$$ esta determinada por la función de Collatz y si no pasa por $$n$$ en un ascenso , pues eso, sin mas  "no pasa", Puede que algunos pasen , pero no cualquiera, si $$n$$ es finito podemos conocer la órbita de cualquier $$r<n$$ y saber si pasa por $$n$$.
No entendería cual es la importancia de ese $$r<n$$ tal que  en una secuencia finita de pasos pase por $$n$$..., de hecho si dices (o eso entendí que dices) que siempre habrá un $$r<n$$ tal que en una serie finita de pasos pase por $$n$$ , entonces habrá un $$q$$ que en una serie finita de pasos pase por $$r$$ , y luego por $$n$$, dando la idea la siguiente idea errónea, que se puede sugerir que exista una órbita que pase por cualquier $$n$$ después de infinitos pasos habiendo partido de otro $$n$$ finito,  pues ha tenido que pasar en el trayecto por todos  los naturales sin repetir ninguno,  la evidencia es que si tocara cualquier número menor a $$10^{71}$$  descendería a 1 antes de llegar a $$n$$ pues todos descienden en menos de infinitos pasos, bueno digamos que todavía no hallamos el menor de esos números por ser $$10^{71}$$ un conjunto finito pequeño,  pero como evitar todas las potencias de 2 que son un conjunto infinito y ademas si repetir creando un ciclo. Es como si se sugiriera que ese $$n$$ pertenece a una  órbita que no viene en descenso desde el infinito, pero eso de mínima es falso, puesto que si $$n$$ perteneciera a un ciclo hay forma de pasar por $$n$$ al menos una vez descendiendo de una potencia de 2 por $$n$$.

No veo el porque no se pudiera sugerir que $$n_0$$ pueda ser el mínimo de una órbita hasta cierto punto de una órbita.

Por otro lado, extiendo mi ejemplo a uno mas general , definida una secuencia de órbita ascendente cualquiera f y otra g

$$n_f=f_t(f_{t-1}(f_{t-2}(....f_1(n_0)...))$$ donde $$f(n)$$ es la función de Collatz $$n_f>n_0$$  donde ambos son impares , es $$n_0$$ el menor número natural con el que puede obtenerse el menor $$n_f$$

Concatenar 2 órbitas ascendentes $$g_f=g(f(n_0))$$ implicará que si $$n_f$$ toda la secuencia $$g$$ entonces $$n_0$$ es el mínimo natural que cumple la composición, pero si $$n_f$$ no satisface será entonces un $$n>n_0$$ el que si lo pueda hacer , resumiendo

si $$n_f$$ satisface $$n_{0_{gof}}=n_{0_{f}}$$
sino satisface $$n_{0_{gof}}\geq 2+n_{0_{f}}>n_{0_{f}}$$ 

Si se repite la composición de infinitas funciones arbitrarias ascendentes puede suceder que :
la situación $$n_{0_{\infty}} =n_0$$  solo puede ser igual si cada final de secuencia satisface el inicio de la siguiente.
La evidencia  vista en cualquier ejemplo, muestra que no siempre es así, y mas bien casi nunca, por lo que  en infinitas composiciones habrá infinitas que obligatoriamente aumenten el valor de $$n_0$$ que puede cumplir con esa composición,  el valor  siempre aumenta mas , pero simbolicamente aumentara en al menos dos unidades por cada secuencia insatisfecha que al ser infinitas hacen que el valor de $$n_0$$ ascienda mas allá de cualquier cota que le impongamos.

El inconveniente que le encontrarán es justamente que dirán puede existir $$n_0$$ que satisfaga todas y cada una de las composiciones de secuencias ascendentes  y llegue en infinitas iteraciones al infinito sin descender.  Simplemente ese hecho es imposible. Probablemente me dirán que es gratis lo que acabo de escribir. Pero...

Pero en esas infinitas sucesiones ascendentes se encontraran inevitablemente infinitas secuencias de $$t$$ pasos finitos que superaran cualquier cota,( exactamente iguales a mi ejemplo)  que inevitablemente requieren que $$n_0$$ ascienda por encima de cualquier cota,  es tan inevitable como encontrar el quijote codificado en las cifras de pi , lo hallaras infinitas veces... La secuencia de mi ejemplo entonces aparecerá infinitas veces llevando cualquier cota para $$n_0$$ a ser superada, es imposible mantenerlo el valor de $$n_0$$ a medida que aumenta el número de secuencias ascendentes arbitrarias. Menos  aún será posible bajarlo debajo de $$n_0$$ con alguna parte de alguna secuencia, pues a todas las hemos definido ascendentes y en su interior no se puede descender infinitos pasos hasta 1, ya que hemos dicho que la cantidad de iteraciones es finita . Decir que se puede encontrar la secuencia que siempre mantiene el mismo $$n_0$$ finito para llegar a infinito, es afirmar que no e  pueda encontrar ni  una sola vez la secuencia de mi ejemplo, lo que lleva a un absurdo, pues sí o sí estará presente entre las infinitas iteraciones de una órbita que asciende al infinito.

Y se puede generalizar más aún a la repetición de cualquier otra secuencia $$g$$ de iteraciones y no solo a la que yo describí en "mi método", mientras sea ascendente la secuencia $$g$$, la repetición de $$g$$ infinitas veces a lo largo de la órbita, hace que el $$n_0$$ que satisfaga aumente por encima de cualquier cota.

Por eso no existe un $$n_0$$ natural para una órbita de infinitas iteraciones que llegue al infinito, pues inevitablemente reiterará infinitas veces todas y cada una de las posibles secuencias ascendentes finitas, para lograrlo este debe superar cualquier cota...
Por eso cuando todo apunta a que en cantidad de iteraciones finitas, tendremos n finito, pero inevitablemente no existirá ese natural si la secuencia continua ascendiendo al infinito, pues un n finito, en algún momento no satisfacerá la función de Collatz de alguna secuencia y por ello se deberá escoger uno mayor, esto se repetirá infinitas veces, luego no habrá natural que satisfaga. De ahí el titulo del hilo. parece que tenemos toda la evidencia de lograr cualquier cadena hasta el infinito pero te desilusionas cuando ves que el número que puede satisfacer o iniciar la secuencia  no es un natural. Cuando buscas falsar ,parece que resulta en parte cierta.
 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, Luis, sigues apuntando a mi método, que es solo un ejemplo,,no prueba ni afirma nada.

Si por tu método te refieres a esto:

Spoiler

$$n _0=2^{t+1}-1$$

• para $$t=1$$  es decir  solo un paso en ascenso partimos de $$n_0=2^{1+1}-1=3$$  y si ejecuto un paso o dos iteraciones, tenemos  $$n_1=\dfrac{3\cdot3+1}{2}=5$$  que es el primer elemento de la serie.
• para $$t=2$$  es decir  solo dos pasos en ascenso   partimos de $$n_0=2^{2+1}-1=7$$  y si ejecuto un paso  o dos iteraciones tenemos  $$n_2=\dfrac{3\cdot\dfrac{3\cdot7+1}{2}+1}{2}=17$$  que es el segundo elemento de la serie

y así podemos definir números de partida tan grande como queremos en función de un $$t$$ tan grande como queramos y produce una  cadena de $$t$$ pasos ascendentes tan grande como queramos

esa serie se puede escribir en forma directa como $$n_t=2*3^{t}-1$$

Dada una cota M  a superar  podemos averiguar  que $$t$$   supera la cota $$ M<n_t=2*3^{t}-1$$ entonces  $$\dfrac{M-1}2<3^t$$ entonces $$t=\lfloor\log_{3}\left(\dfrac{M-1}2\right)\rfloor+1$$

Resumiendo,  puedo hallar  un número $$n _0=2^{t+1}-1$$   cuya $$t$$  se calcula con  $$t=\lfloor\log_{3}\left(\dfrac{M-1}2\right)\rfloor+1$$  y podemos comprobar que $$n_0<M$$ que al aplicarle la función de Collatz en 2t iteraciones o t pasos  superará a la cota, para cualquier cota que imponga. 

Por las dudas aclaro  que no todo $$n>n_0$$ tiene que seguir una órbita que  no descienda a 1 en t pasos o mas.  Es decir $$n_0+2=2^{t+1}+1$$ desciende  en al menos t+1 pasos  porque $$n_0$$ es una potencia $$t+1$$ de dos restado 1 .
Es decir  habrá números grandes que  desciendan en poco mas  de $$t$$ iteraciones C  pero hay otros que es esa misma cantidad  $$t$$ de  pasos habrán tenido tambien C divisiones pero habrán ascendido, luego de eso se necesitan al menos $$t*log_23$$ para descender a 1.

[cerrar]

lo que tiene que quedar claro es que es un ejemplo que no dice absolutamente nada en la línea de lo que realmente si aportaría algo, es decir, no ayuda NADA dilucidar esto:

Cosas distinta es que probases algo así: que dado \( M>0 \) para alcanzar un número mayor que \( M \) es OBLIGATORIO partir de un numero mayor que, por decir, algo \( M/2 \) ó \( M/3 \) o alguna función creciente de \( M \). Si eres capaz de probar eso, entonces habrías demostrado la inexistencia de número cuya órbita alcanza números tan grandes como queramos. Pero ojo con ese "OBLIGATORIO", que es distinto de "con mí método" para alcanzar \( M \) necesito partir de un número mayor que tal y tal...

Entonces:

- O bien sigues pensando que tu ejemplo si aporta algo para probar lo anterior. Pero soy incapaz de entender que; porque lo anterior se trata de probar una IMPOSIBILIDAD, no una posibilidad.

- O si estás de acuerdo, no utilices más ese ejemplo en este punto. Entiéndeme bien que no le quito mérito o interés, pero  no viene a cuento para lo que aquí estamos dilucidando.

Si es así solo los $$n_0$$ múltiplos de 3 nunca tendrán un número menor del cual provenir.

Eso es obvio, pero no vale. Hay que controlar ese número mínimo para cualquier número, no solo los múltiplos de 3.

Intento generalizar. Veamos el punto de partida.

Sea $$n \in \Bbb N$$  tal que $$n\neq 2^x$$  para cualquier $$x\in\Bbb N$$ si es  $$n$$ es par entonces entonces existe $$n_{im}=\dfrac{n}{2^w}>1$$ impar para algún $$w\in\Bbb N$$

• Si $$n\equiv0mod3$$ entonces $$n_0=n$$ y se cumple que cualquier $$2^xn_{im}\equiv0mod3$$
• Si $$n\equiv1mod3$$ entonces si $$w=2q$$ entonces  $$\exists n2^w\equiv4mod6$$  y  existe $$y=2c+1$$ impar tal que $$3y =n_0$$  y entonces $$3(3y)+1=3(3(2c+1))+1=18c+4\equiv 4mod6$$ para cualquier 4 mod 6 entonces siempre hay un impar múltiplo de 3 del cual partir  que pase por cualquier natural 1mod 3 
• Si $$n\equiv2mod3$$ entonces si $$w=2q+1$$ entonces  $$\exists n2^w\equiv4mod6$$  y  existe $$y=2c+1$$ impar tal que $$3y =n_0$$  y entonces $$3(3y)+1=3(3(2c+1))+1=18c+4\equiv 4mod6$$ para cualquier 4 mod 6 entonces siempre hay un impar múltiplo de 3 del cual partir  que pase por cualquier natural 2mod 3

Luego cualquier natural puede estar en una órbita que empiece en un $$n_0$$ múltiplo de 3 que inevitablemente no puede venir de un número inferior.

No se puede sugerir que desde "cualquier" número $$r$$ inferior a $$n$$, se puede ascender y pasar por $$n$$ , la órbita de cada $$r<n$$ esta determinada por la función de Collatz y si no pasa por $$n$$ en un ascenso , pues eso, sin mas  "no pasa", Puede que algunos pasen , pero no cualquiera, si $$n$$ es finito podemos conocer la órbita de cualquier $$r<n$$ y saber si pasa por $$n$$.
No entendería cual es la importancia de ese $$r<n$$ tal que  en una secuencia finita de pasos pase por $$n$$..., de hecho si dices (o eso entendí que dices) que siempre habrá un $$r<n$$ tal que en una serie finita de pasos pase por $$n$$ , entonces habrá un $$q$$ que en una serie finita de pasos pase por $$r$$ , y luego por $$n$$, dando la idea la siguiente idea errónea, que se puede sugerir que exista una órbita que pase por cualquier $$n$$ después de infinitos pasos habiendo partido de otro $$n$$ finito,  pues ha tenido que pasar en el trayecto por todos  los naturales sin repetir ninguno,  la evidencia es que si tocara cualquier número menor a $$10^{71}$$  descendería a 1 antes de llegar a $$n$$ pues todos descienden en menos de infinitos pasos, bueno digamos que todavía no hallamos el menor de esos números por ser $$10^{71}$$ un conjunto finito pequeño,  pero como evitar todas las potencias de 2 que son un conjunto infinito y ademas si repetir creando un ciclo. Es como si se sugiriera que ese $$n$$ pertenece a una  órbita que no viene en descenso desde el infinito, pero eso de mínima es falso, puesto que si $$n$$ perteneciera a un ciclo hay forma de pasar por $$n$$ al menos una vez descendiendo de una potencia de 2 por $$n$$.

No veo el porque no se pudiera sugerir que $$n_0$$ pueda ser el mínimo de una órbita hasta cierto punto de una órbita.

Bufff. Me pierdo. En primer lugar esos "puede", "puede", "puede" son un decir y no decir. Se trata de detectar imposibles.

Por otro lado no se a que \( n_0 \) te refieres.

No es tan complicado. Es claro que dado cualquier \( n \) existirá un \( n_0 \) mínimo tal que iterando suficientes veces la función de Collatz desde ese \( n_0 \) se llegue a \( n \).

Lo que yo te pido es que demuestres que ese \( n_0 \) está acotado de alguna manera por \( n \). Algo así: "Luis he probado que obligatoriamente siempre \( n_0>log(n) \) (por decir algo)"- Si eres capaz de probar algo así lo tienes; sino, nada de nada.

Por otro lado, extiendo mi ejemplo a uno mas general , definida una secuencia de órbita ascendente cualquiera f y otra g

No quiero ejemplos.

$$n_f=f_t(f_{t-1}(f_{t-2}(....f_1(n_0)...))$$ donde $$f(n)$$ es la función de Collatz $$n_f>n_0$$  donde ambos son impares , es $$n_0$$ el menor número natural con el que puede obtenerse el menor $$n_f$$

Concatenar 2 órbitas ascendentes $$g_f=g(f(n_0))$$ implicará que si $$n_f$$ toda la secuencia $$g$$ entonces $$n_0$$ es el mínimo natural que cumple la composición, pero si $$n_f$$ no satisface será entonces un $$n>n_0$$ el que si lo pueda hacer , resumiendo

si $$n_f$$ satisface $$n_{0_{gof}}=n_{0_{f}}$$
sino satisface $$n_{0_{gof}}\geq 2+n_{0_{f}}>n_{0_{f}}$$ 

Si se repite la composición de infinitas funciones arbitrarias ascendentes puede suceder que :
la situación $$n_{0_{\infty}} =n_0$$  solo puede ser igual si cada final de secuencia satisface el inicio de la siguiente.
La evidencia  vista en cualquier ejemplo, muestra que no siempre es así, y mas bien casi nunca, por lo que  en infinitas composiciones habrá infinitas que obligatoriamente aumenten el valor de $$n_0$$ que puede cumplir con esa composición,  el valor  siempre aumenta mas , pero simbolicamente aumentara en al menos dos unidades por cada secuencia insatisfecha que al ser infinitas hacen que el valor de $$n_0$$ ascienda mas allá de cualquier cota que le impongamos.

El inconveniente que le encontrarán es justamente que dirán puede existir $$n_0$$ que satisfaga todas y cada una de las composiciones de secuencias ascendentes  y llegue en infinitas iteraciones al infinito sin descender.  Simplemente ese hecho es imposible. Probablemente me dirán que es gratis lo que acabo de escribir. Pero...

Pero en esas infinitas sucesiones ascendentes se encontraran inevitablemente infinitas secuencias de $$t$$ pasos finitos que superaran cualquier cota,( exactamente iguales a mi ejemplo)  que inevitablemente requieren que $$n_0$$ ascienda por encima de cualquier cota,  es tan inevitable como encontrar el quijote codificado en las cifras de pi , lo hallaras infinitas veces... La secuencia de mi ejemplo entonces aparecerá infinitas veces llevando cualquier cota para $$n_0$$ a ser superada, es imposible mantenerlo el valor de $$n_0$$ a medida que aumenta el número de secuencias ascendentes arbitrarias. Menos  aún será posible bajarlo debajo de $$n_0$$ con alguna parte de alguna secuencia, pues a todas las hemos definido ascendentes y en su interior no se puede descender infinitos pasos hasta 1, ya que hemos dicho que la cantidad de iteraciones es finita . Decir que se puede encontrar la secuencia que siempre mantiene el mismo $$n_0$$ finito para llegar a infinito, es afirmar que no e  pueda encontrar ni  una sola vez la secuencia de mi ejemplo, lo que lleva a un absurdo, pues sí o sí estará presente entre las infinitas iteraciones de una órbita que asciende al infinito.

Y se puede generalizar más aún a la repetición de cualquier otra secuencia $$g$$ de iteraciones y no solo a la que yo describí en "mi método", mientras sea ascendente la secuencia $$g$$, la repetición de $$g$$ infinitas veces a lo largo de la órbita, hace que el $$n_0$$ que satisfaga aumente por encima de cualquier cota.

Por eso no existe un $$n_0$$ natural para una órbita de infinitas iteraciones que llegue al infinito, pues inevitablemente reiterará infinitas veces todas y cada una de las posibles secuencias ascendentes finitas, para lograrlo este debe superar cualquier cota...
Por eso cuando todo apunta a que en cantidad de iteraciones finitas, tendremos n finito, pero inevitablemente no existirá ese natural si la secuencia continua ascendiendo al infinito, pues un n finito, en algún momento no satisfacerá la función de Collatz de alguna secuencia y por ello se deberá escoger uno mayor, esto se repetirá infinitas veces, luego no habrá natural que satisfaga. De ahí el titulo del hilo. parece que tenemos toda la evidencia de lograr cualquier cadena hasta el infinito pero te desilusionas cuando ves que el número que puede satisfacer o iniciar la secuencia  no es un natural. Cuando buscas falsar ,parece que resulta en parte cierta.
 

No entiendo nada de lo que explicas ahí. Me llama la atención (y es clave esto) además que es un argumento en el que apenas se usa nada específico de la función de Collatz; pareces usar que simplemente dado un \( n \) hay un mínimo \( n_0 \) que permite alcanzarlo, lo cual es evidente. Pero esto también se cumple para mi ejemplo dos, donde si hay cadenas que ascienden sin límite superior agluno.

Saludos.

P.D. Está conjeturado que si llamamos \( n_0 \) a un iterante inicial y \( M(n_0) \) al máximo número que se puede alcanzar desde \( n_0 \) aplicando sucesivamente la función de Collatz;

\( \displaystyle\limsup_{n_0 \to{+}\infty}{}\dfrac{log(M(n_0))}{log(n_0)}=2 \).

Si esto fuese cierto querría decir:

- Que a partir de un cierto valor \( m_0 \) si \( n_0>m_0 \) siempre \( \dfrac{log(M(n_0))}{log(n_0)}\leq 2 \).
- No existen órbitas que tomen infinitos valores, es decir, todas terminan por ser cíclicas.
- De manera intuitiva que si se empieza en \( n_0 \) lo máximo que se va a poder alcanzar, como mucho, es del orden \( n_0^2 \).

Aquí hay listas de puntos de partida donde se alcanzan iterantes altos cercanos a estas cotas:

https://pcbarina.fit.vutbr.cz/path-records.htm

https://www.ericr.nl/wondrous/pathrecs.html

[Richard R Richard]

Hola Luis, lamento no ser tan breve y conciso para expresar ideas claras, como tu, lo haces


Si me refería  ese método, como ejemplo de la infinidad que se puedan ocurrir, con 2 ,3 o varias características , que pienso son clave o útiles para aportar algo, pero justamente lo que intento es no afirmar , sino saber si lo que podría afirmar tiene sentido.

lo que tiene que quedar claro es que es un ejemplo que no dice absolutamente nada en la línea de lo que realmente si aportaría algo, es decir, no ayuda NADA dilucidar esto:

Cosas distinta es que probases algo así: que dado \( M>0 \) para alcanzar un número mayor que \( M \) es OBLIGATORIO partir de un numero mayor que, por decir, algo \( M/2 \) ó \( M/3 \) o alguna función creciente de \( M \). Si eres capaz de probar eso, entonces habrías demostrado la inexistencia de número cuya órbita alcanza números tan grandes como queramos. Pero ojo con ese "OBLIGATORIO", que es distinto de "con mí método" para alcanzar \( M \) necesito partir de un número mayor que tal y tal...

Creo tengo problemas en entender bien la frase, a la vista que no  te convence nada de lo que escribo, intento ahora darle otra interpretación a ver si me entero.
Es claro que no es lo obvio de  imponer cualquier cota M finita para que pueda ser rebasada en una órbita que parta de un $$n_0$$, ya me has dicho que eso no es.


Aver si es esto :  dada una cota M, esta no pueda ser rebasada por ninguna órbita que pase por cualquier $$n< n_0$$, cuando $$n_0$$ queda definido por alguna relación con $$M$$ , ejemplo  muy obvio, afirmar  que no se puede alcanzar $$M=10$$ si parto de un $$N<M/2$$  , pero también tengo duda sobre si es esto,  porque  cualquier $$n$$ menor a $$n_0$$ tiene una órbita determinada por $$n$$, y no podrá ascender más rápido que la de mi ejemplo, o en menos iteraciones, lo que si estoy seguro, es que si ese $$n$$ dentro de su órbita  hacia el infinito  tiene una porción de ascensos y descensos como una secuencia , igual a cualquiera de las que surgen de mi ejemplo, entonces resulta $$n>n_0$$ Eso esta claro no?.
Eso es lo que creo puedo probar, que como en una serie infinita seguro aparece mi secuencia de ejemplo, entonces  el resto de la órbita aporta mas condiciones para el número inicial del total de la cadena de ascenso, por lo tanto ese número será mayor o a lo sumo de casualidad igual a $$n_0$$, pero eso hace que al extender la órbita para alcanzar el infinito entonces $$n_0$$ necesariamente tenderá a infinito pues mi segmento (en realidad cualquier segmento ascendente) se repite infinitas veces, la consecuencia es que $$n_0$$ va al infinito , es decir para cumplir la secuencia impuesta Obligatoriamente o necesariamente el número inicial debe "no ser un natural", pues si es un natural , no llegará al infinito.

- O bien sigues pensando que tu ejemplo si aporta algo para probar lo anterior. Pero soy incapaz de entender que; porque lo anterior se trata de probar una IMPOSIBILIDAD, no una posibilidad.

Bueno ,sí, sí pienso que algo aporta,  que no hay órbita que llegue al infinito si parto de un $$n$$ finito, cualquier órbita genérica ascendente con una cantidad infinita de iteraciones que se nos pueda ocurrir, necesariamente u obligatoriamente, tendrá su número inicial en un número por encima de cualquier cota, es decir  no será un natural.

- O si estás de acuerdo, no utilices más ese ejemplo en este punto. Entiéndeme bien que no le quito mérito o interés, pero  no viene a cuento para lo que aquí estamos dilucidando.

Es que no me doy cuenta, porque te parece que no aporta.

Si es así solo los $$n_0$$ múltiplos de 3 nunca tendrán un número menor del cual provenir.

Eso es obvio, pero no vale. Hay que controlar ese número mínimo para cualquier número, no solo los múltiplos de 3.

Intento generalizar. Veamos el punto de partida.

Sea $$n \in \Bbb N$$  tal que $$n\neq 2^x$$  para cualquier $$x\in\Bbb N$$ si es  $$n$$ es par entonces entonces existe $$n_{im}=\dfrac{n}{2^w}>1$$ impar para algún $$w\in\Bbb N$$

• Si $$n\equiv0mod3$$ entonces $$n_0=n$$ y se cumple que cualquier $$2^xn_{im}\equiv0mod3$$
• Si $$n\equiv1mod3$$ entonces si $$w=2q$$ entonces  $$\exists n2^w\equiv4mod6$$  y  existe $$y=2c+1$$ impar tal que $$3y =n_0$$  y entonces $$3(3y)+1=3(3(2c+1))+1=18c+4\equiv 4mod6$$ para cualquier 4 mod 6 entonces siempre hay un impar múltiplo de 3 del cual partir  que pase por cualquier natural 1mod 3 
• Si $$n\equiv2mod3$$ entonces si $$w=2q+1$$ entonces  $$\exists n2^w\equiv4mod6$$  y  existe $$y=2c+1$$ impar tal que $$3y =n_0$$  y entonces $$3(3y)+1=3(3(2c+1))+1=18c+4\equiv 4mod6$$ para cualquier 4 mod 6 entonces siempre hay un impar múltiplo de 3 del cual partir  que pase por cualquier natural 2mod 3

Luego cualquier natural puede estar en una órbita que empiece en un $$n_0$$ múltiplo de 3 que inevitablemente no puede venir de un número inferior.

No se puede sugerir que desde "cualquier" número $$r$$ inferior a $$n$$, se puede ascender y pasar por $$n$$ , la órbita de cada $$r<n$$ esta determinada por la función de Collatz y si no pasa por $$n$$ en un ascenso , pues eso, sin mas  "no pasa", Puede que algunos pasen , pero no cualquiera, si $$n$$ es finito podemos conocer la órbita de cualquier $$r<n$$ y saber si pasa por $$n$$.
No entendería cual es la importancia de ese $$r<n$$ tal que  en una secuencia finita de pasos pase por $$n$$..., de hecho si dices (o eso entendí que dices) que siempre habrá un $$r<n$$ tal que en una serie finita de pasos pase por $$n$$ , entonces habrá un $$q$$ que en una serie finita de pasos pase por $$r$$ , y luego por $$n$$, dando la idea la siguiente idea errónea, que se puede sugerir que exista una órbita que pase por cualquier $$n$$ después de infinitos pasos habiendo partido de otro $$n$$ finito,  pues ha tenido que pasar en el trayecto por todos  los naturales sin repetir ninguno,  la evidencia es que si tocara cualquier número menor a $$10^{71}$$  descendería a 1 antes de llegar a $$n$$ pues todos descienden en menos de infinitos pasos, bueno digamos que todavía no hallamos el menor de esos números por ser $$10^{71}$$ un conjunto finito pequeño,  pero como evitar todas las potencias de 2 que son un conjunto infinito y ademas si repetir creando un ciclo. Es como si se sugiriera que ese $$n$$ pertenece a una  órbita que no viene en descenso desde el infinito, pero eso de mínima es falso, puesto que si $$n$$ perteneciera a un ciclo hay forma de pasar por $$n$$ al menos una vez descendiendo de una potencia de 2 por $$n$$.

No veo el porque no se pudiera sugerir que $$n_0$$ pueda ser el mínimo de una órbita hasta cierto punto de una órbita.

Bufff. Me pierdo. En primer lugar esos "puede", "puede", "puede" son un decir y no decir. Se trata de detectar imposibles.

Vale, te entiendo, pero no me gusta faltar a la verdad  haciendo afirmaciones cuando no estoy totalmente seguro, yo estoy casi seguro que es cierto, si no lo es, será por mi puro desconocimiento, además tengo claro que tras afirmarlo , me pedirás la demostración como corresponde, pero si ni siquiera puedo hacerla para el objetivo del hilo y en eso estoy completamente seguro, menos para eso que no lo tenía en planes, si crees es necesario para que me ponga en caja las ideas, lo haré. Para mí, si un $$n$$ no viene del infinito entonces tiene que venir  o bien del 1 (que es imposible) o bien de un ciclo, pero si pertenece a  un ciclo $$n$$ nunca ira al infinito, pero pertenceciendo o no a un ciclo $$n$$ puede venir de un $$2^xn$$ superior , lo que si es seguro no viene de una cadena indefinida que se "pasee por una porción de todos los naturales" menores o mayores a $$n_0$$, si indefinida no es finita. Si es finita y no viene del infinito, será un ciclo. La alternativa restante es que desciende del infinito de eso no hay duda.

Por otro lado no se a que \( n_0 \) te refieres.

No es tan complicado. Es claro que dado cualquier \( n \) existirá un \( n_0 \) mínimo tal que iterando suficientes veces la función de Collatz desde ese \( n_0 \) se llegue a \( n \).

No estoy tan seguro, si con mínimo te refieres a menor que $$n_0$$, apicale el mismo argumento a ese $$n_0$$ que defines todas las veces que quieras y en algún momento tendrás una contradicción o bien $$n_0$$ esta mas allá de cualquier cota.
para dejarlo claro sería esto...


Es claro que dado cualquier \( n_0 \) existirá un \( n_1 \) mínimo tal que iterando suficientes veces la función de Collatz desde ese \( n_1 \) se llegue a \( n_0 \).
Es claro que dado cualquier \( n_1 \) existirá un \( n_2 \) mínimo tal que iterando suficientes veces la función de Collatz desde ese \( n_2 \) se llegue a \( n_1 \).
... y así sucesivamente ...cual es el mínimo entonces. 


Ninguno de los números hasta $$10^{71}$$ cumplen eso arbitrariamente, solo pasan por los $$n$$ de la órbita a la que pertenecen hasta llegar a 1.
Además eso es claramente falso para el 3 , no hay un $$n$$ menor a 3 que con la suficiente cantidad de iteraciones pase por $$3$$, para el $$7$$ lo mismo.  Su orbita previa no contiene al $$1,2,3,4,5$$ ni al $$6$$... todos ellos llegan a 1 antes que pasar por el $$7$$,  o lo mas probable no  entiendo tu idea , aunque yo por definición digo que $$n_0$$  es el mínimo de la órbita, que es finito, afirmo que desciende del infinito, y luego asciende al infinito en infinitos pasos, pero eso me lleva a la contradicción de que $$n_0$$ no es finito.

Lo que yo te pido es que demuestres que ese \( n_0 \) está acotado de alguna manera por \( n \). Algo así: "Luis he probado que obligatoriamente siempre \( n_0>log(n) \) (por decir algo)"- Si eres capaz de probar algo así lo tienes; sino, nada de nada.

Es que eso lo he hecho, para mi ejemplo, no para cualquier ejemplo, y es lo que explique  a lo largo de hilo  aver si me explico mejor,
1) tengo un ejemplo que si le aumento el número de iteraciones , el menor natural que cumple la secuencia , queda perfectamente determinado y demostré  que aumenta con el número de iteraciones , que le solicito cumpla.
2) La extensión de las iteraciones de mi ejemplo hasta el infinito , indica que ese número mínimo asciende al infinito.
3) la misma conclusión se llega para la repetición de cualquier secuencia ascendente, no solo la de mi ejemplo.
4) la misma conclusión se llega para cualquier secuencia que sea combinación de secuencias ascendentes.
5) No hay mas casos posibles.  Cualquiera de esos ejemplos de lo links que ascienden mas que mi método en mas iteraciones , están incluidos una infinidad de veces en una secuencia de longitud infinita . Todos los caminos llevan a que el mínimo de la secuencia denominado $$n_0$$ tenga que estar por encima de cualquier natural, quiere decir que no hay natural que lleve al infinito... Luego no hay cadenas que asciendan al infinito...
6) Para demostrar Collatz verdadera faltaría demostrar que no hay  ciclos que no pasen por 1. Así que esto no demuestra nada , y si lo hace es un pequeño paso.

Por otro lado, extiendo mi ejemplo a uno mas general , definida una secuencia de órbita ascendente cualquiera f y otra g

No quiero ejemplos.

$$n_f=f_t(f_{t-1}(f_{t-2}(....f_1(n_0)...))$$ donde $$f(n)$$ es la función de Collatz $$n_f>n_0$$  donde ambos son impares , es $$n_0$$ el menor número natural con el que puede obtenerse el menor $$n_f$$

Concatenar 2 órbitas ascendentes $$g_f=g(f(n_0))$$ implicará que si $$n_f$$ toda la secuencia $$g$$ entonces $$n_0$$ es el mínimo natural que cumple la composición, pero si $$n_f$$ no satisface será entonces un $$n>n_0$$ el que si lo pueda hacer , resumiendo

si $$n_f$$ satisface $$n_{0_{gof}}=n_{0_{f}}$$
sino satisface $$n_{0_{gof}}\geq 2+n_{0_{f}}>n_{0_{f}}$$ 

Si se repite la composición de infinitas funciones arbitrarias ascendentes puede suceder que :
la situación $$n_{0_{\infty}} =n_0$$  solo puede ser igual si cada final de secuencia satisface el inicio de la siguiente.
La evidencia  vista en cualquier ejemplo, muestra que no siempre es así, y mas bien casi nunca, por lo que  en infinitas composiciones habrá infinitas que obligatoriamente aumenten el valor de $$n_0$$ que puede cumplir con esa composición,  el valor  siempre aumenta mas , pero simbolicamente aumentara en al menos dos unidades por cada secuencia insatisfecha que al ser infinitas hacen que el valor de $$n_0$$ ascienda mas allá de cualquier cota que le impongamos.

El inconveniente que le encontrarán es justamente que dirán puede existir $$n_0$$ que satisfaga todas y cada una de las composiciones de secuencias ascendentes  y llegue en infinitas iteraciones al infinito sin descender.  Simplemente ese hecho es imposible. Probablemente me dirán que es gratis lo que acabo de escribir. Pero...

Pero en esas infinitas sucesiones ascendentes se encontraran inevitablemente infinitas secuencias de $$t$$ pasos finitos que superaran cualquier cota,( exactamente iguales a mi ejemplo)  que inevitablemente requieren que $$n_0$$ ascienda por encima de cualquier cota,  es tan inevitable como encontrar el quijote codificado en las cifras de pi , lo hallaras infinitas veces... La secuencia de mi ejemplo entonces aparecerá infinitas veces llevando cualquier cota para $$n_0$$ a ser superada, es imposible mantenerlo el valor de $$n_0$$ a medida que aumenta el número de secuencias ascendentes arbitrarias. Menos  aún será posible bajarlo debajo de $$n_0$$ con alguna parte de alguna secuencia, pues a todas las hemos definido ascendentes y en su interior no se puede descender infinitos pasos hasta 1, ya que hemos dicho que la cantidad de iteraciones es finita . Decir que se puede encontrar la secuencia que siempre mantiene el mismo $$n_0$$ finito para llegar a infinito, es afirmar que no e  pueda encontrar ni  una sola vez la secuencia de mi ejemplo, lo que lleva a un absurdo, pues sí o sí estará presente entre las infinitas iteraciones de una órbita que asciende al infinito.

Y se puede generalizar más aún a la repetición de cualquier otra secuencia $$g$$ de iteraciones y no solo a la que yo describí en "mi método", mientras sea ascendente la secuencia $$g$$, la repetición de $$g$$ infinitas veces a lo largo de la órbita, hace que el $$n_0$$ que satisfaga aumente por encima de cualquier cota.

Por eso no existe un $$n_0$$ natural para una órbita de infinitas iteraciones que llegue al infinito, pues inevitablemente reiterará infinitas veces todas y cada una de las posibles secuencias ascendentes finitas, para lograrlo este debe superar cualquier cota...
Por eso cuando todo apunta a que en cantidad de iteraciones finitas, tendremos n finito, pero inevitablemente no existirá ese natural si la secuencia continua ascendiendo al infinito, pues un n finito, en algún momento no satisfacerá la función de Collatz de alguna secuencia y por ello se deberá escoger uno mayor, esto se repetirá infinitas veces, luego no habrá natural que satisfaga. De ahí el titulo del hilo. parece que tenemos toda la evidencia de lograr cualquier cadena hasta el infinito pero te desilusionas cuando ves que el número que puede satisfacer o iniciar la secuencia  no es un natural. Cuando buscas falsar ,parece que resulta en parte cierta.
 

No entiendo nada de lo que explicas ahí. Me llama la atención (y es clave esto) además que es un argumento en el que apenas se usa nada específico de la función de Collatz;

Bueno, es que si Collatz con su $$3n+1$$ resulta tan díficil o despierta tanto interés es porque no hallaron ciclos como con  $$5n+1$$, pero con este caso también  se puede hacer aplicar exactamente el mismo argumento que he dado y encontrar una cadena que ascienda sin pertenecer a ningún ciclo, (si es que hay números que no pertenecen a ningún ciclo)  que al ampliar el número de iteraciones solo hará que el número de partida aumente, y evidentemente se llegará a la misma conclusión, que para ascender a infinito, requeriras partir de un número mayor a cualquier natural. 

pareces usar que simplemente dado un \( n \) hay un mínimo \( n_0 \) que permite alcanzarlo, lo cual es evidente. Pero esto también se cumple para mi ejemplo dos, donde si hay cadenas que ascienden sin límite superior agluno.

No he dicho eso,   yo digo que la cadena de longitud mínima (en iteraciones) para superar ese $$n$$ o cualquier $$n$$  es la de mi ejemplo, está empieza en un $$n_0$$,  cualquier cadena que alcance ese $$n$$ tiene que tener mas longitud o mas iteraciones, si este conjunto de iteraciones(el orden en que se suceden) , se la toma como una secuencia ascendente , sin importar mucho que haya partido de otro $$n_0$$ e incluso menor al de mi ejemplo, si duplico esta cadena, no necesariamente ese $$n_0$$ original de la cadena cumplirá con esta nueva secuencia doble, reiterar indefinidamente la cadena  implica que $$n_0$$ aumente indefinidamente... lo mismo se concluye sea cualquiera la secuencia posterior ,  sea o no, esta se repita. por eso para una cadena infinita , necesariamente se parte de un número superior a cualquier cota.

Saludos.

P.D. Está conjeturado que si llamamos \( n_0 \) a un iterante inicial y \( M(n_0) \) al máximo número que se puede alcanzar desde \( n_0 \) aplicando sucesivamente la función de Collatz;

\( \displaystyle\limsup_{n_0 \to{+}\infty}{}\dfrac{log(M(n_0))}{log(n_0)}=2 \).

Si esto fuese cierto querría decir:

- Que a partir de un cierto valor \( m_0 \) si \( n_0>m_0 \) siempre \( \dfrac{log(M(n_0))}{log(n_0)}\leq 2 \).
- No existen órbitas que tomen infinitos valores, es decir, todas terminan por ser cíclicas.
- De manera intuitiva que si se empieza en \( n_0 \) lo máximo que se va a poder alcanzar, como mucho, es del orden \( n_0^2 \).

Aquí hay listas de puntos de partida donde se alcanzan iterantes altos cercanos a estas cotas:

https://pcbarina.fit.vutbr.cz/path-records.htm

https://www.ericr.nl/wondrous/pathrecs.html

Bueno, al menos yo no lo contradigo, en mi método dicho límite es menor que 2 es decir puedo  como $$n_0=2^{t+1}-1$$ y $$M\cong n_t=2\cdot3^t-1$$ llegas a que el limite es aproximadamente $$log3/log2=1.58...$$
Pero te reitero  yo no digo que no haya un ascenso que suba más que mi método, si no que por definición no puede ascender en menos iteraciones... y  por eso es solo un ejemplo.
Ahora si tomas el cualquier $$n_0$$ de esas listas del cual se asciende  hasta un $$n_x$$ ,en una sucesión $$kckcckc...kc$$ ponele que  x=100000 o millones de iteraciones o mas ... (solo puse ese número x como referencia) , si ahora quiero que $$n_x$$ sea el inicio de nuevo la misma sucesión $$kckcckc...kc$$ , es decir la misma que para ir de $$n_0 a n_x$$ , la pregunta es  ¿cual es el menor número $$n_0$$ que cumple $$kckcckc...kckckcckc...kc$$? El mismo n_0 no es,  lo mas probable es que se infrinja en algún momento la función de Collatz si parte desde el $$n_0$$ que lo llevo hasta $$n_x$$, así que $$n_0$$  no cumplirá necesariamente las dos sucesiones seguidas, pero "sí es siempre es posible hallar un $$n>n_0$$ el menor de todos los posibles n" que si cumpla la doble secuencia, ese será el nuevo $$n_0$$ para esa sucesión doble, y apuesto (porque no lo puedo probar aún) que ese $$n_0$$ es mayor que el que da mi método con la misma cantidad de iteraciones.  Si se pretendiese llegar a infinitas reiteraciones de esa misma sucesión entonces el $$n_0$$ de esa sucesión infinita debería ser mayor a cualquier natural, y siempre mayor al que yo propuse para mi método.


Pero olvidate de mi método, yo quiero saber que falla en esa lógica de que al extender el número de iteraciones al infinito implicaría que $$n_0$$ tienda a infinito. Y si eso  demuestra o no,  que no existe un natural que pueda ascender al infinito.