Hola
Resultados obtenidos de una variante de la Conjetura de Collatz.
$$
\text{Variante Conjetura de Collatz} \left\{
\begin{array}{cl}
{\displaystyle\frac{x}{2}}&\mbox{si } x \text{ es par},\\
{\displaystyle\frac{5x+1}{2}}&\mbox{si } x\mbox{ es impar} .
\end{array}\right.
$$
Si iniciamos la secuencia en el número 19: $$19$$, $$48$$, $$24$$, $$12$$, $$6$$, $$3$$, $$8$$, $$4$$, $$2$$, $$1$$, $$3$$, $$8$$, $$4$$, $$2$$, $$1$$, ...
Si iniciamos la secuencia en el número 13: $$13$$, $$33$$, $$83$$, $$208$$, $$104$$, $$52$$, $$26$$, $$13$$, ... Bucle cíclico con origen y final en 13.
Si iniciamos la secuencia en el número 43: $$43$$, $$108$$, $$54$$, $$27$$, $$68$$, $$34$$, $$17$$, $$43$$, ... Bucle cíclico con origen y final en 43.
Seguramente habrá más bucles cíclicos diferentes de: ... $$3$$, $$8$$, $$4$$, $$2$$, $$1$$, $$3$$, $$8$$, $$4$$, $$2$$, $$1$$, ...
Con estos ejemplos se puede afirmar que esta variante de la Conjetura de Collatz es falsa.
Saludos
Es interesante plantear la variable, pero para nada significa que se van a comportar de la misma forma, pero podemos analizar usando la misma forma que planteó Richard para $$3n+1$$, y esto es genial porque no se me había ocurrido usar variantes para mostrar esto! Gracias!! Vamos con ello:
Tomamos la siguiente ecuación:
\[2^{D_m} n_f = 5^m n_0 + C\]
Tomemos que $$n_0$$ y $$n_f$$ sean impares. $$C$$ será:
\[C = \sum_{j=1}^{m} 5^{m-j} \, 2^{D_{j-1}}\]
y
\[D_{m} = \sum_{j=0}^{m-1} d_j\]
Donde $$d_{j}$$ representa la cantidad de divisiones por 2 luego de hacer $$5n+1$$.
Tomando los pasos impares, el $$43$$ hace $$43 \to 27 \to 17 \to 43$$
Luego del paso $$5(43)+1$$, se divide 3 veces.
Luego del paso $$5(27)+1$$, se divide 3 veces.
Luego del paso $$5(17)+1$$, se divide 1 vez.
Vemos que el ciclo tiene 3 pasos, es decir que, en cualquiera de los valores del ciclo en cuestion si $$m=3a$$ entonces el número $$n_0$$ cae nuevamente en $$n_0$$. La forma de $$C$$ es poco intuitiva puesta de esa manera, voy a tratar de explicarlo de una manera mejor.
$$\frac{5\left(\frac{5\left(\frac{5(43)+1}{2^3}\right)+1}{2^3}\right)+1}{2}=43 \,\Longrightarrow \, \frac{5^3(43)}{2^7}+\frac{5^2}{2^7}+\frac{5}{2^4}+\frac{1}{2}$$
En la última expresion la expandí, porque de ahí se ve de donde viene la acumulación invertida en las potencias de $$2$$, que la forma de $$C$$ puesta arriba pierde de vista. Ahora, si queremos resolver la suma, sacamos común denominador:
\[\frac{5^3(43)+5^2+5\cdot 2^3+2^6}{2^7} = \frac{5375+25+40+64}{128}=\frac{5504}{128} = 43\]
Ahora, para Richard, viste cuando yo cambie el exponente por $$ax$$? Acá queda clarísimo. Demos una vuelta más de ciclo tomando el mismo $$n_0=43$$, ahora $$m=6$$:
$$\frac{5^6(43)}{2^{14}}+\frac{5^5}{2^{14}}+\frac{5^4}{2^{11}}+\frac{5^3}{2^8}+\frac{5^2}{2^7}+\frac{5}{2^4}+\frac{1}{2}$$
$$\frac{671875+3125+5000+8000+3200+5120+8192}{16384}=\frac{704512}{16384}=43$$
Esto para $$m \equiv 0\, (mod \, 3)$$ siempre será $$43$$.
Ahora, si cambian el número, supongamos que toman el 27, el orden de las potencias de 2 cambia, entonces la desacumulación se hace distinto, pero tambien partiendo desde $$n_0=27$$ para $$m \equiv 0\, (mod \, 3)$$ siempre será $$27$$.
$$27=\frac{5^3(27)}{2^7}+\frac{5^2}{2^7}+\frac{5}{2^4}+\frac{1}{2^3} = \frac{3375+25+40+16}{128}=\frac{3456}{128}=27$$
También podés agregar multiplos de 3 pasos, y siempre va a dar 27... Y lo mismo sucede si empezaramos con el $$17$$:
$$17=\frac{5^3(17)}{2^7}+\frac{5^2}{2^7}+\frac{5}{2^6}+\frac{1}{2^3} = \frac{2125+25+10+16}{128} = \frac{2176}{128} = 17$$
Esto muestra lo que decía antes.
Saludos!
