Aquí lo más relevante técnicamente hablando que encontré sobre la función inversa.
1. El Problema de la "Infinitud" vs. la "Totalidad"
El método inverso crea un grafo que comienza en 1 y se ramifica hacia números mayores (aplicando $$2^n$$ y $$n-1/3$$)).
La falla: Que el árbol sea infinito no significa que cubra todos los números naturales. El hecho de que un conjunto sea infinito no garantiza que incluya todos los enteros positivos.
Posibilidad: Podría existir un ciclo ajeno al árbol del 1 (por ejemplo, un lazo infinito o una secuencia que diverja al infinito) que nunca se conecte con el grafo inversamente construido desde el 1.
Exacto, conectar todos los impares no múltiplos de 3 es suficiente para probar la totalidad. Sé que el hecho de que sea infinito no significa que sea total.
2. No es una Inversa en Sentido Estricto (Función Multivaluada)
La función de Collatz original f(n) es una función bien definida: dado un número, solo hay un siguiente paso. Sin embargo, su inversa es una función multivaluada (no es inyectiva).Para un número dado, pueden existir múltiples "antecesores" o ninguno. Además, las operaciones inversas (especialmente n-1/3) no siempre producen números enteros, lo que complica la definición de la función inversa sobre el conjunto de los números naturales.
Eso también es cierto, pero justamente eso es una herramienta potente, si podés describir todos los antecesores de un número impar, sabes que todos esos números siguen la misma órbita. A mí me gusta trabajar con la función reducida a impares. Entonces solo observo impares antecesores, esto me permitió agruparlos y encontrar una función cerrada que relaciona todos los antecesores del mismo número.
Como la función es inyectiva hacia adelante, estos antecesores solo tienen una imagen, no pueden tener otra. Y en sentido inverso, no tenés un antecesor, sino un conjunto infinito de ellos, y este conjunto se caracteriza con una recursión afín que ya he mencionado en este y otros hilos en el foro. Esa recurrencia determina todos y cada uno de los elementos de ese conjunto antecesor.
3. Falta de "Prueba de Cobertura"
Para que la demostración inversa fuera válida, se necesitaría demostrar no solo que el árbol crece, sino que cada uno de los números naturales N aparece en algún lugar de ese árbol generado desde el 1. Demostrar que el conjunto de números que sí convergen a 1 es infinito es fácil, pero demostrar que ese conjunto es exactamente igual al conjunto de todos los enteros positivos es la dificultad real.
No necesitas probar que el árbol crece, sino que alcanza a cada uno de los impares (con eso es suficiente). Por eso, mi idea de ataque a la conjetura es bien ordenar las recurrencias que te mencioné en el punto anterior. Ese buen orden está dado por la cantidad de pasos hasta llegar a 1.
4. Ciclos Alternativos
La inversa no prueba que no existan otros ciclos distintos al ciclo (4 -> 2 -> 1). Si existiera otro ciclo, digamos C, la operación inversa aplicada a un elemento de C solo reproduciría el ciclo C, sin conectarse nunca al árbol del 1.
Este es el punto más maravilloso de lo que planteo, pues si existiera otro ciclo, también existiría un árbol inverso infinito de dicho ciclo. Es más, por cada ciclo existe un árbol inverso. Y estos árboles son disjuntos, ninguno puede intersecarse con otro, en ningún elemento. Y además cada uno de esos árboles se construye inversamente de la misma manera, y usando la misma recursión se calculan todos los números que llegan al mismo elemento.
Resumen
El enfoque de la función inversa es útil para visualizar la estructura de las secuencias y ha permitido verificar la conjetura computacionalmente hasta números inmensos (2^68 aproximadamente 2.95(10^20)), pero no constituye una demostración matemática formal debido a que no cubre la totalidad de los números naturales de manera irrefutable.
Conclusión:
Como no responde a ninguna de las dos condiciones requeridas la función inversa nunca será considerada como demostración rigurosa de la conjetura.
No coincido en que no cubre la totalidad de los números, pero soy consciente de la dificultad que probar aquello importa. Como dije antes, probar que el árbol inverso desde 1 alcanza a todos los impares, es equivalente a probar Collatz.
Para vos la solución es una cota? Ese camino lo veo más dificil. Y justamente lo que lo dificulta es que la función inversa es multivaluada.
Fijate, logras una cota que te dice que un termino crece por ejemplo. Pero en línea vertical al término sobre el que determinaste crecimiento, tenés infinitos números más grandes que caen al mismo número impar, por lo que tenés decrecimiento. No es posible por tanto generar una cota general que explique el comportamiento de las secuencias.
Por eso, el trabajo de Tao, no puede concluir más allá de "casi toda órbita en promedio decrece".
Las órbitas comienzan siempre desde un numero impar mod 3, porque el algoritmo no permite calcular un múltiplo de 3 impar.
Esto no podés probarlo. En realidad no podés probar donde comienza una órbita.
Tu intuición dice que como un múltiplo de 3 no tiene precursores, en ellos comienzan todas las órbitas, pero bajo que puntos de vista considerás el "comienzo de una órbita"?
Cómo sabés que no hay órbitas que no comienzan en múltiplos de 3?
O vamos más allá. Tomemos el $$3$$, su órbita es $$3\to 5\to1$$. Vos me querés decir que la órbita que pasa por el $$5$$ comienza en el $$3$$? Ya que, como la órbita no puede empezar en $$5$$, tenemos que buscar un múltiplo de $$3$$ que la origine.
Pero al $$5$$ le anteceden: $$\{3,13,53,213,853,...\}$$, entonces ¿dónde empieza realmente la órbita que pasa por el 5?
El origen de la órbita de $$5$$ es igual de multivaluado que la función inversa. Por lo que parece contradictorio tu punto de vista. Determinas un origen para una órbita discrecionalmente. Sin embargo, el origen se determina con la
función inversa, cuya característica remarcás es que no es
inyectiva.
Entonces, ¿cómo podemos determinar que las órbitas comienzan siempre en un múltiplo de 3?
Pero además, eso tampoco prueba que todos los múltiplos de 3 estén conectados al ciclo trivial, por lo que tampoco aporta mucho. Es decir, si hay un ciclo distinto al trivial, este va a contener en sus predecesores también a múltiplos de 3.
