[Granmurillo]

Por mi lado vine a preguntar si alguien tenía idea de como demostrar la inexistencia de ciclos no triviales. Si no hay, me despido. Bye.

Te dí ideas, te conté de hecho mis ideas.

De la definición de Wikipedia, ni de la definición de $$k-$$ciclo que citaste de Lagarias surge que es lo que vos pensás que es. De hecho, es justo lo que yo te vengo diciendo varias veces.

Las demostraciones parciales que citas, no difieren mucho de lo que yo te mostré acá usando $$5n+1$$:

Te dejo una captura de pantalla para mostrarte como se reduce a un problema de combinatoria del orden que cumplen las cantidades de divisiones por 2 a lo largo de la órbita:

O acá usando $$3n+1$$:

Ahora, para comparar con lo que te decía antes, te pongo una captura de lo que se fuerza en Collatz para que exista un ciclo de $$4$$ elementos.

Ideas sobraron en el hilo. Pero vos no las viste o no te interesaron.

Claro que revisé por eso hice la analogía a Steiner, pero la demostración que pregunté fue sobre el algoritmo 3x+1 no alguna de sus otras versiones.

[danizafa]

Claro que revisé por eso hice la analogía a Steiner, pero la demostración que pregunté fue sobre el algoritmo 3x+1 no alguna de sus otras versiones.

Ahora, leíste que la segunda imagen es sobre el algoritmo $$3n+1$$?

De verdad no entiendo, si me estás cargando...

Todo bien con compartir información, trata de no compartir desinformación.

No me refiero a las definiciones que ponés. Me refiero a todo lo que escribís en base a lo que suponés que dice la definición.

Me decís que un $$k-$$ciclo es una cosa distinta del ciclo trivial y de los ciclos no triviales, pero:

Un k -ciclo es un ciclo que se puede particionar en k subsecuencias contiguas,...

Steiner (1977) demostró que no existe ningún 1-ciclo aparte del trivial...

Me decis que así se les llama por convención entre matemáticos a las partes de una órbita, y de hecho me mostraste uno, pero:

Simons (2005) utilizó el método de Steiner para demostrar que no existe ningún 2-ciclo. Simons y de Weger (2005) extendieron esta demostración hasta 68-ciclos; no existe ningún k -ciclo hasta k = 68. Hercher extendió aún más el método y demostró que no existe ningún k -ciclo con k ≤ 91...

Entonces, o no entendés que las definiciones que estás pasando no dicen lo que vos decís que dicen. O estoy loco.
Pero después pienso, ¿cómo me mostró algo que no existe?
Entonces concluyo que no estoy loco.
Y entiendo que lo más sano es no continuar.

Porque no estoy dando mi opinión sobre lo que decis, es un hecho que hay contradicciones entre las definiciones que vos mismo compartís y lo que vos crees que significan. Solo mirá el hecho de que demostraron la inexistencia de $$k-ciclos$$ hasta $$k\leq 91$$, vos mismo decía que no existen basado en que hay demostraciones, y sin embargo, un rato después me ponés la órbita del 27 como ejemplo de un $$10-$$ciclo.

No es mi opinión sobre las definiciones que compartís, tampoco es una opinión. Simplemente te estoy señalando que estás analizando mal lo que vos estás estudiando.

Pero bueno,

Ahora si, mi opinión, es que las demostraciones parciales de Steiner y sucesores basadas en el Teorema de Baker, es el camino más opcionado para llegar a una demostración de la conjetura, tanto en las órbitas acotadas como la no existencia de ciclos no triviales. Si no estás de acuerdo, listo es tu opinión y la mía es diferente nada más.

Si no te agradan las definiciones, bueno habría que reclamarle no sé, a Lagarias, a Baker, a Steiner, pero yo no me las inventé. Yo no toco ningún instrumento en esa banda.

Cuando opino digo que opino, cuando escribo una ecuación trato de que no sea errónea. Pero una ecuación no es mi opinión.

Respecto a Lagarias, no me contestó un mail que le envié una vez. No voy a reclamarle además una definición, que está bien, porque vos pensás que a mi me desagrada la definición, cuando lo único que estoy tratando de que veas es que la estás analizando mal. Vos en vez de aprovechar y revisar cómo la entendés, preferís hablar de opinión y ahí yo ya no tengo nada que ver. Saludos

[Richard R Richard]

Hola Danizafa, Granmurillo llama k-ciclo a la alternancia de ascensos y descensos en una órbita, y no tiene nada que ver con los ciclos  que venimos entendiendo almenos nosotros,  si ambos leyeron la primera parte del hilo,  ascender es quivalente una órbita en la cuales hay 2 o mas Q seguidas, y un descenso la presencia de al menos una W   así QQWQWWQQQQQW tiene 3 k-ciclos porque alterna 3subidas y bajadas en la misma órbita, no teniendo en cuenta la bajada obligatoria luego del $$3n+1$$.   El número 2955 es el menor natural que puede hacer esa órbita del ejemplo dado.
 
Pero nada nuevo bajo el sol, lo que si  es cierto es que bajo esa definición  muchas  de las expresiones escritas por Granmurillo citadas por Danizafa, no resultan a mi parecer exactamente ciertas. El tema es hallar acuerdos, los mensajes pasan rápido y no veo mucha controversia real.

Definitivamente no termino de entender esto.

Como  no hemos podido encontrar todavía un ciclo no trivial en la variante 3 de la función (trivial es aquel que cuenta con el 1 dentro del conjunto de números que  pertenecen a esa órbita), te muestro lo mismo en un ciclo no trivial de la variante 5

$$\mathbf{13}\to66\to\mathbf{33}\to166\to\mathbf{83}\to416\to208\to104\to52\to26\to\mathbf{13}$$
este es no trivial


$$\mathbf{1}\to6\to\mathbf{3}\to16\to8\to4\to2\to\mathbf{1}$$
este es el trivial

presta atención a que el ciclo no trivial no tiene elementos menores al numero 13,  es decir  has encontrado un numero (el 13) que en su órbita no existe otro menor a él,  y ya con eso la conjetura no es cierta para la variante 5, pues hay un ciclo .

ahora  si observas en la variante 7  e inicias con el 1
tienes el ciclo trivial
$$\mathbf{1}\to8\to4\to2\to\mathbf{1}$$

pero si inicias  en el 3 ya diverge,  cualquier $$n=2^x3$$ diverge, eso  se corresponde con un ascenso infinito , observa que ni el 2 ni el 1 pertenecen a esa órbita, luego el 3 no tiene un número menor a él en su órbita y por eso la conjetura no es verdadera en la variante 7.

Es decir  si en la órbita de todo natural $$n_0$$ siempre hallas un $$n$$ tal que $$n<n_0$$, entonces la conjetura es cierta, porque no existen contra ejemplos de ninguno de los dos tipos.

Ahora si me explique bien?.

Todos apuntan a demostrar esos 2 temas.

Te entiendo pero no es la única forma,  yo no tengo forma de abordar las cotas como forma de demostración pero eso no me impide que explore otras.

Mi opinión es que debe haber algo que Steiner y los demás deben haber pasado por alto en sus combinatorias del acarreo que los hace avanzar tan lento y no se convierte en una demostración general para el tema de la inexistencia de ciclos no triviales.

Es que cuantos mas pasos le impones a un ciclo la cantidad  de variantes de alternancias para los mismos k-ciclos, crece con el factorial  de $$k$$, y si de alguna forma se las apañó el investigador para llegar a ese número de alternancias o pasos ya es un mérito enorme para sacarse el sombrero, pero  pormas que siga  estudiando los $$k-ciclos$$ por ejemplo hasta el 1000 , no seguirá probando nada, de hecho el ciclo del número 7 en la variante 5 tiene cientos de miles de k-ciclos, y termina volviendo al 7 , así que hacer crecer el limite de los k-ciclos solo aporta datos sobre hasta donde se ha investigado, pero de ninguna manera aporta información sobre si existe o no un ciclo con mas de 92 k-ciclos, así que de demostración nada.

Por otro lado el tema de la acotación, que es algo por separado, pienso que lo que debe demostrarse es que las órbitas tengan un valor superior, no inferior, sobre el cual no pueden iterar,

Creo  que te mezclas las cosas,  la acotación superior refiere a que para cualquier $$n_0$$ existe una cota en función de ese $$n_0$$  llamale $$x(n_0)$$ la cual no va a ser superada por ningun $$n_i$$  que pertenezca a esa órbita, es decir $$x(n_0)>n_i \  \ \forall n_i  \in S(n_0)$$ donde $$S(n_0)$$ ee el conjunto de números que componen la órbita de $$n_0$$. Si se halla la cota no habrá números que puedan ascender hasta infinito pues  superará en algún momento esa cota. Pero eso, no pone ninguna restricción a que no puedan existir ciclos no triviales, para números de muchísimas cifras  mas grandes que  los que hasta hoy se han explorado de alrededor de las 70 cifras.

Y si le puedes poner un valor inferior a una cota   basada en $$n_0$$ y resulta cierta,  habrás determinado que la conjetura es falsa, es decir si encuentras números que nunca pasan por debajo de esa cota , entonces nunca caen a 1 , y eso pasará con los ciclos no triviales, en el caso que se halle uno.  El tema es que esa cota nadie ha podido afirmar que no sea  1 para ningún número particular ni ningún otro conjunto de números, siempre te lleva a ser un ejemplo mas de los triviales y sin importancia en la demostración.

Pero si te fijas  en el ejemplo que te dí de la variante 5 para el número 13 , la cota inferior es justamente el  13, no hay elementos de la órbita que sean menores, pero si hay infinitos números mayores que descienden hasta cualquiera de los 3 impares que componen el ciclo, pero ninguno baja de esa cota. 

pues por más que iteren por debajo de ese valor, y además demostrado que no existen ciclos no triviales, la cantidad de impares a los que la órbita puede iterar serían finitos y por ende la conjetura sería demostrada. Aquí también serían útiles los k-ciclos para determinar cómo es que pueden llegar a crecer tanto como hasta llegar a k-ciclo=91 y tener siempre una solución en el ciclo trivial.

Aquí me pierdes , no te puedo seguir.

El ciclo trivial es donde \( a_0=1 \) y por lo tanto \( a_q=1 \). El ciclo NO trivial es donde \( a_0\neq1 \) y por lo tanto \( a_1, a_2,.... a_q\neq1 \). Los ciclos no triviales son los que se debe demostrar que no existen en el algoritmo 3x+1.

Eso no es totalmente cierto para los naturales el número $$2 \neq 1$$ y forma parte del ciclo trivial.   Pero si con $$a_1 , a_2 $$ ... te refieres solo a los elementos impares  del  conjunto de números de la órbita del ciclo entonces si hay sentido. 

[danizafa]

Hola Danizafa, Granmurillo llama k-ciclo a la alternancia de ascensos y descensos en una órbita, y no tiene nada que ver con los ciclos  que venimos entendiendo almenos nosotros,  si ambos leyeron la primera parte del hilo,  ascender es quivalente una órbita en la cuales hay 2 o mas Q seguidas, y un descenso la presencia de al menos una W   así QQWQWWQQQQQW tiene 3 k-ciclos porque alterna 3subidas y bajadas en la misma órbita, no teniendo en cuenta la bajada obligatoria luego del $$3n+1$$.   El número 2955 es el menor natural que puede hacer esa órbita del ejemplo dado.

Si, he entendido a qué le llama $$k-$$ciclo, pero a lo que él le dá ese nombre dista mucho de la definición que pone citando el libro de Lagarias. Solo eso. La definición de Lagarias es exactamente la que entendemos vos y yo como un ciclo de $$k$$ pasos impares que retorna en el último paso al primer elemento, en pocas palabras un ciclo de $$k$$ términos impares, pero Granmurillo lo usa, siguiendo teóricamente esa definición, pero no en la práctica.

No es mi intención señalar que tiene un error por el mero hecho de hacerlo, sino justamente para ponernos de acuerdo en lo que hablamos. Yo le he puesto una ecuación que se cumpliría en todo ciclo bajo esa misma definición, y me ha contestado "No...", luego me dice que se ha probado que no existen, pero tiene un ejemplo de lo que es un $$k-$$ciclo, luego me pide ejemplo de ciclos no triviales, que sabemos que (si los hay) no se conocen.

Y más aún no me dice que haría que un ciclo no trivial sea distinto del trivial, o por qué es que no puedo usar los ciclos de $$5n+1$$ para hacer analogía, si de hecho, las ecuaciones funcionan de la misma manera en las dos variantes.

$$\mathbf{13}\to66\to\mathbf{33}\to166\to\mathbf{83}\to416\to208\to104\to52\to26\to\mathbf{13}$$
este es no trivial

presta atención a que el ciclo no trivial no tiene elementos menores al numero 13,  es decir  has encontrado un numero (el 13) que en su órbita no existe otro menor a él,  y ya con eso la conjetura no es cierta para la variante 5, pues hay un ciclo .

  Un claro contraejemplo a la inducción completa para $$5n+1$$. El tema es que él va a decir que no es válido para $$3n+1$$, y lo lindo de la analogía es justamente que muestra que también sería válido.

Es que cuantos mas pasos le impones a un ciclo la cantidad  de variantes de alternancias para los mismos k-ciclos, crece con el factorial  de $$k$$, y si de alguna forma se las apañó el investigador para llegar a ese número de alternancias o pasos ya es un mérito enorme para sacarse el sombrero, pero  pormas que siga  estudiando los $$k-ciclos$$ por ejemplo hasta el 1000 , no seguirá probando nada, de hecho el ciclo del número 7 en la variante 5 tiene cientos de miles de k-ciclos, y termina volviendo al 7 , así que hacer crecer el limite de los k-ciclos solo aporta datos sobre hasta donde se ha investigado, pero de ninguna manera aporta información sobre si existe o no un ciclo con mas de 92 k-ciclos, así que de demostración nada.

Te puedo asegurar que aunque crecen de manera astronómica, lo hacen mucho mas lento que con el factorial de $$k$$.

De hecho, si querés lo veamos:

Spoiler

Voy a usar $$m$$ en lugar de $$k$$ porque me es más natural, y yo uso $$k$$ como exponente de la potencia de 2.

El factorial crece como $$m!$$ y por Stirling tenés:

\[m!\sim \sqrt{2\pi m}\,\left(\frac{m}{e}\right)^m\]

Pero nosotros vamos a considerar secuencias $$(k_0,k_1,\dots,k_{m-1})$$

Entonces el número de combinaciones es

\[ N_{lin}=\binom{E+m-1}{m-1} \]

($$N_{lin}$$ es la cantidad "lineal" de combinaciones)

Donde para el régimen de un ciclo $$E\approx(\log_2(3)-1)\,m$$, algo como $$E=\alpha m, \alpha\approx0.585$$. Entonces:

\[ N_{lin}=\binom{(1+\alpha)\,m -1}{m-1} \sim \binom{(1+\alpha)\,m}{m} \]

Si tomamos:

\[\binom{n}{k}\leq 2^n\]

tendremos:

\[ N_{lin}\leq 2^{(1+\alpha)m} \]

Como $$1+\alpha=\log_2(3)\approx1.585$$

Tenemos

\[ N_{lin}\leq 2^{1.585m}=3^m \]

Así que

\[ N_{lin} = O(3^m)\]

Pero además, ya vimos que las secuencias $$(k_0,k_1,\dots,k_{m-1})$$ bajo rotación corresponden a la misma órbita de lo que sería un ciclo, y como hay $$m$$ elementos en el posible ciclo, podemos agrupar las $$m$$ rotaciones, llamemos $$N_{circ}$$ a está cantidad que será:

\[ N_{circ} = O\left(\frac{3^m}{m}\right)\]

Ahora comparemos con el factorial:

\[m!\sim \sqrt{2\pi m}\,\left(\frac{m}{e}\right)^m\]

y

\[N_{circ}=O(\frac{3^m}{m})\]

Entonces si hacemos:

\[\frac{m!}{N_{circ}}\gtrsim \frac{\sqrt{2\pi m}\left(\dfrac{m}{e}\right)^m}{3^m/m} = m\sqrt{2\pi m}\left(\dfrac{m}{3e}\right)^m\]

COmo $$\frac{m}{3e}\to\infty$$ tenemos que

\[\frac{m!}{N_{circ}}\to \infty\]

o

\[\frac{N_{circ}}{m!}\to 0\]

Por lo tanto

\[N_{circ}=o(m!)\]

[cerrar]

Agrego: Una aclaración: Richard, yo estaba suponiendo algo que no se si quedó claro, pero es porque vos usaste el mismo exponente que yo... Las combinaciones si pueden dispararse como el factorial de $$m$$, pero las interesantes para el estudio se restringen demasiado, por eso sale ese resultado. Pero vos no pusiste igual que yo asi que lo aclaro. En mi notacion lo puse antes como $$K_m-m=(\log_2(3)-1)m$$. Aunque siendo mas precisos es:

\[K_m^{crit}=\lfloor m\log_2(3)\rfloor +1 \Longrightarrow K_m^{crit}-m=(\log_2(3)-1)m+O(1)\]

[Granmurillo]

Hola Danizafa, Granmurillo llama k-ciclo a la alternancia de ascensos y descensos en una órbita

Hola Richard. No soy yo el que los llama así, es una definición que utilizan todos los autores de los artículos que indiqué como Steiner y otros.

El tema es hallar acuerdos, los mensajes pasan rápido y no veo mucha controversia real.

De acuerdo Richard, por eso compartí la información de las definiciones como convencionalmente han sido utilizadas.

Ahora si me explique bien?.

Si Richard, de acuerdo, haces una analogía de los otros ciclos de la versión 3x+5 para indicar lo que es un ciclo no trivial en la versión 3x+1

Te entiendo pero no es la única forma,  yo no tengo forma de abordar las cotas como forma de demostración pero eso no me impide que explore otras.

De acuerdo Richard, puede que no sea la unica forma, pero yo llegué preguntando si alguien tenía idea de encontrar una solución de esa forma.

Es que cuantos mas pasos le impones a un ciclo la cantidad  de variantes de alternancias para los mismos k-ciclos, crece con el factorial  de $$k$$, y si de alguna forma se las apañó el investigador para llegar a ese número de alternancias o pasos ya es un mérito enorme para sacarse el sombrero, pero  pormas que siga  estudiando los $$k-ciclos$$ por ejemplo hasta el 1000 , no seguirá probando nada, de hecho el ciclo del número 7 en la variante 5 tiene cientos de miles de k-ciclos, y termina volviendo al 7 , así que hacer crecer el limite de los k-ciclos solo aporta datos sobre hasta donde se ha investigado, pero de ninguna manera aporta información sobre si existe o no un ciclo con mas de 92 k-ciclos, así que de demostración nada.

De acuerdo Richard. Si, la función del teorema de Baker estira \( \wedge \) a medida que se incrementa el tamaño del valor y la cantidad de los datos, por eso se hace más complejo llegar a demostraciones de k-ciclos más grandes. Lo que me llama la atención es un valor fijo que se presenta por más que crezca el valor con las iteraciones que lo incrementan, si eso es cierto, entonces ya no importarían la cantidad de k-ciclos, lo que me hace pensar que hay una esperanza por este camino.

Creo  que te mezclas las cosas,  la acotación superior refiere a que para cualquier $$n_0$$ existe una cota en función de ese $$n_0$$  llamale $$x(n_0)$$ la cual no va a ser superada por ningun $$n_i$$  que pertenezca a esa órbita, es decir $$x(n_0)>n_i \  \ \forall n_i  \in S(n_0)$$ donde $$S(n_0)$$ ee el conjunto de números que componen la órbita de $$n_0$$. Si se halla la cota no habrá números que puedan ascender hasta infinito pues  superará en algún momento esa cota. Pero eso, no pone ninguna restricción a que no puedan existir ciclos no triviales, para números de muchísimas cifras  mas grandes que  los que hasta hoy se han explorado de alrededor de las 70 cifras.

Y si le puedes poner un valor inferior a una cota   basada en $$n_0$$ y resulta cierta,  habrás determinado que la conjetura es falsa, es decir si encuentras números que nunca pasan por debajo de esa cota , entonces nunca caen a 1 , y eso pasará con los ciclos no triviales, en el caso que se halle uno.  El tema es que esa cota nadie ha podido afirmar que no sea  1 para ningún número particular ni ningún otro conjunto de números, siempre te lleva a ser un ejemplo mas de los triviales y sin importancia en la demostración.

Pero si te fijas  en el ejemplo que te dí de la variante 5 para el número 13 , la cota inferior es justamente el  13, no hay elementos de la órbita que sean menores, pero si hay infinitos números mayores que descienden hasta cualquiera de los 3 impares que componen el ciclo, pero ninguno baja de esa cota. 

Aquí si que no estoy de acuerdo Richard, esto podría ser cierto para ciclos no triviales con pocas iteraciones pero si existe un ciclo no trivial con muchas iteraciones puede que dentro del ciclo no trivial se den valores impares por debajo de \( n_0 \) y luego vuelvan a crecer o crecer y bajar de nuevo para volver a calcular \( n_q=x_0 \) a menos que ese valor intermedio dentro del ciclo no trivial sea la cota inferior a la que te refieres.

Aquí me pierdes , no te puedo seguir.

A lo que aquí me refiero Richard, es que si tienes una cota superior y también tienes demostrado que no hay ciclos no triviales, el algoritmo iteraría sólo entre los impares que necesite por debajo de esa cota hasta encontrar consecuentemente el ciclo trivial. Por ejemplo si hay una cota 21 para una orbita el algoritmo puede saltar al 11 o luego al 17 o luego al 5 y finalmente al ciclo trivial, sin que necesariamente salte a todos los impares por debajo de la cota pero eso si sin saltar a un impar por encima de la cota.

Eso no es totalmente cierto para los naturales el número $$2 \neq 1$$ y forma parte del ciclo trivial.   Pero si con $$a_1 , a_2 $$ ... te refieres solo a los elementos impares  del  conjunto de números de la órbita del ciclo entonces si hay sentido.

Si Richard, siempre me refiero sólo a los impares porque utilizo el criterio que los pares son triviales. 

[Richard R Richard]

Ahora si me explique bien?.

Si Richard, de acuerdo, haces una analogía de los otros ciclos de la versión 3x+5 para indicar lo que es un ciclo no trivial en la versión 3x+1

No, no, las analogías son entre la variante 3 de Collatz osea la $$3x+1$$, la variante 5 ,que es la $$5x+1$$ y la variante 7 que es la $$7x+1$$ cada vez que hay un impar y dividir siempre por 2 cuando es par en todas las variantes.   

De acuerdo Richard, puede que no sea la única forma, pero yo llegué preguntando si alguien tenía idea de encontrar una solución de esa forma.

A menos que haya estado distraído y se me pasó, en los últimos tiempos no he visto participar a nadie, tratando de demostrar por ese método, sí es cierto que,  en este mismo hilo Luis Fuentes me explicó a mí como sería demostrar de esa forma, pero ya te digo , al menos yo no se como recomendar ni explicar nada más de lo que ya te dije. Abre un hilo con una pregunta especifica sobre lo que quieres saber sobre ese tema y por ahí la ayuda viene mas rápido , que releyendo este hilo.

Lo que me llama la atención es un valor fijo que se presenta por más que crezca el valor con las iteraciones que lo incrementan, si eso es cierto, entonces ya no importarían la cantidad de k-ciclos, lo que me hace pensar que hay una esperanza por este camino.

Ojo , no es fijo el valor,  la cota es  se presenta en función del numero del que inicias la órbita...     si empiezas en un numero de 10 cifras puedes ascender mucho mas relativamente a esas cifras, que empezando con un numero de 5 cifras ...

P.D. Está conjeturado que si llamamos \( n_0 \) a un iterante inicial y \( M(n_0) \) al máximo número que se puede alcanzar desde \( n_0 \) aplicando sucesivamente la función de Collatz;

\( \displaystyle\limsup_{n_0 \to{+}\infty}{}\dfrac{log(M(n_0))}{log(n_0)}=2 \).

Si esto fuese cierto querría decir:

- Que a partir de un cierto valor \( m_0 \) si \( n_0>m_0 \) siempre \( \dfrac{log(M(n_0))}{log(n_0)}\leq 2 \).
- No existen órbitas que tomen infinitos valores, es decir, todas terminan por ser cíclicas.
- De manera intuitiva que si se empieza en \( n_0 \) lo máximo que se va a poder alcanzar, como mucho, es del orden \( n_0^2 \).

Aquí hay listas de puntos de partida donde se alcanzan iterantes altos cercanos a estas cotas:

https://pcbarina.fit.vutbr.cz/path-records.htm

https://www.ericr.nl/wondrous/pathrecs.html

 

Aquí si que no estoy de acuerdo Richard, esto podría ser cierto para ciclos no triviales con pocas iteraciones pero si existe un ciclo no trivial con muchas iteraciones puede que dentro del ciclo no trivial se den valores impares por debajo de \( n_0 \) y luego vuelvan a crecer o crecer y bajar de nuevo para volver a calcular \( n_q=x_0 \) a menos que ese valor intermedio dentro del ciclo no trivial sea la cota inferior a la que te refieres.

Estas cerca de la idea pero la dejaste pasar, toma cualquier numero , no te fijes si verifica, solo doy uno por dar ejemplo, empiezas la orbita en el 1234567 , si ese numero es $$n_0$$ entonces tu me dices que puede haber otro número por ejemplo el 987653 que tambien pertenezca al ciclo, bien, pero entonces el 987653  ahora es el menor del ciclo, y entonces  será el 987653 el que no tenga uno menor a el mismo en el ciclo, siempre debe haber uno que sea el menor del ciclo, y verificas que por ser el menor del ciclo no existe otro aún menor, luego de ese numero solo puede haber dos situaciones que continuen con la órbita y a la vez que siga siendo verdad todo lo antedicho , que la orbita ascienda al infinito, o que sea un ciclo, y si es así , con cualquiera de las dos situaciones la conjetura no es cierta.

A lo que aquí me refiero Richard, es que si tienes una cota superior y también tienes demostrado que no hay ciclos no triviales, el algoritmo iteraría sólo entre los impares que necesite por debajo de esa cota hasta encontrar consecuentemente el ciclo trivial. Por ejemplo si hay una cota 21 para una orbita el algoritmo puede saltar al 11 o luego al 17 o luego al 5 y finalmente al ciclo trivial, sin que necesariamente salte a todos los impares por debajo de la cota pero eso si sin saltar a un impar por encima de la cota.

No eso no es cierto mira de nuevo esto en la variante 5

$$\mathbf{13}\to66\to\mathbf{33}\to166\to\mathbf{83}\to416\to208\to104\to52\to26\to\mathbf{13}$$

podría conjeturar  que para todo n mayor a 500 la conjetura es cierta, pero apenas pruebes con el 416 la conjetura es falsa, si entras en un ciclo  nunca superarás al mayor de la órbita nuevamente, por mas que aumentes la cantidad de iteraciones, eso es que haya una cota,  y viene expresada en función de uno de los números de la órbita , sea que entres ciclo por encima o por debajo de $$n_0$$


Para ejemplo tienes al $$5$$ , en la variante  $$5$$, es menor a cualquiera  de los números del ciclo pero su órbita termina entrando ya que $$5\cdot5+1=26$$  y 26 ya pertenece al ciclo ,  en cambio el 1331 es superior al ciclo y $$1331\cdot5+1=6656$$ y $$6656/2^9=13$$ o sea que caerá en el ciclo tambien. Así que , poner una cota por encima de $$n_0$$ no te garantiza que  esa orbita no pueda entrar en un ciclo, y ser falsa la conjetura, el tema es que si es verdadera la cota , entonces la órbita no llega a infinito, que es  solo una de las patas de los contraejemplos que podrían aparecer.

[danizafa]

Hola Danizafa, Granmurillo llama k-ciclo a la alternancia de ascensos y descensos en una órbita, y no tiene nada que ver con los ciclos  que venimos entendiendo almenos nosotros,  si ambos leyeron la primera parte del hilo,  ascender es quivalente una órbita en la cuales hay 2 o mas Q seguidas, y un descenso la presencia de al menos una W   así QQWQWWQQQQQW tiene 3 k-ciclos porque alterna 3subidas y bajadas en la misma órbita, no teniendo en cuenta la bajada obligatoria luego del $$3n+1$$.   El número 2955 es el menor natural que puede hacer esa órbita del ejemplo dado.
 

Hola Richard, reiteremos la definición que Granmurillo ha traído al hilo.

Un k -ciclo es un ciclo que se puede particionar en k subsecuencias contiguas, cada una de las cuales consiste en una secuencia creciente de números impares, seguida de una secuencia decreciente de números pares. Por ejemplo, si el ciclo consiste en una única secuencia creciente de números impares seguida de una secuencia decreciente de números pares, se denomina 1-ciclo .

Entonces con tú notación si adquiere sentido lo que he remarcado en negritas, pues bajo el Mapa acelerado

\[T(n)=\begin{cases}
Q=\frac{3n+1}{2}, \quad \text{si } n \text{ impar.}\\
W=\frac{n}{2}, \quad \text{si } n \text{ par.}
\end{cases}
\]

En este caso, claro, puede armarse una secuencia $$QQWQWWQQQQQW$$, pero eso es una órbita. No está para nada compuesto por $$k-$$ciclos, ni ciclos de ningún tipo. De hecho, las pruebas que se citan demuestran que los $$k-$$ciclos no existen para $$k\leq 91$$, entonces ¿cómo podemos hablar de que esa secuencia esta compuesta por 3 $$k-$$ciclos? Sin contar que estamos llamando (algo)-ciclo a una cosa que no tiene ninguna característica de periodicidad. Si querés entender como que tiene un "ciclo" de crecimiento, luego un "ciclo" de decrecimiento y otro de crecimiento, bueno, llamemoslo así. Entonces $$QQW-QWW-QQQQQW$$ ahi tenemos las 3 secciones que indicas.

Pero las demostraciones, y la definición dicen exactamente lo que yo. Y podemos preguntar a una idea cuál es la interpretación pasando solo la definicion, y los nombres de los que realizaro las pruebas

Steiner (1977), Simons (2005) y Weger. prueban algo sobre lo que lagarias o ellos llaman k-ciclos, en collatz...

se supone que la definicion es esta

Un k -ciclo es un ciclo que se puede particionar en k subsecuencias contiguas, cada una de las cuales consiste en una secuencia creciente de números impares, seguida de una secuencia decreciente de números pares. Por ejemplo, si el ciclo consiste en una única secuencia creciente de números impares seguida de una secuencia decreciente de números pares, se denomina 1-ciclo .

Steiner (1977) demostró que no existe ningún 1-ciclo aparte del trivial (1; 2) . Simons (2005) utilizó el método de Steiner para demostrar que no existe ningún 2-ciclo. Simons y de Weger (2005) extendieron esta demostración hasta 68-ciclos; no existe ningún k -ciclo hasta k = 68. Hercher extendió aún más el método y demostró que no existe ningún k -ciclo con k ≤ 91. A medida que continúan las búsquedas exhaustivas por computadora, se pueden descartar valores de k mayores . Para expresar el argumento de forma más intuitiva: no tenemos que buscar ciclos que tengan menos de 92 subsecuencias, donde cada subsecuencia consiste en ascensos consecutivos seguidos de descensos consecutivos.

que debemos entender que es un k-ciclo

respuesta de IA

Lo que hay que entender es que **(k) no es la longitud del ciclo**.

Ese es un error muy común al leer esos trabajos.

Un **(k)-ciclo** es un ciclo cuya secuencia puede descomponerse en exactamente (k) "bloques de ascenso-descenso".

Cada bloque tiene la forma:

1. una sucesión creciente de impares,
2. seguida por una sucesión decreciente de pares.

---

Por ejemplo, el ciclo trivial

\[
1 \to 4 \to 2 \to 1
\]

si lo mirás empezando en el impar (1), tenés:

\[
1 \uparrow 4 \downarrow 2 \downarrow 1
\]

Hay un único ascenso de impares (en realidad un único impar) seguido por una caída de pares.

Por eso es un **1-ciclo**.

---

La forma moderna de verlo es usando la dinámica acelerada sobre impares.

Si escribís un ciclo impar

\[
n_1 \to n_2 \to \cdots \to n_k \to n_1,
\]

donde

\[
n_{i+1}=\frac{3n_i+1}{2^{a_i}},
\]

entonces cada ($$n_i$$) es un "pico impar".

Los exponentes ($$a_i$$) cuentan la bajada par posterior.

En este lenguaje:

* un (1)-ciclo tiene un único pico impar,
* un (2)-ciclo tiene dos picos impares,
* ...
* un (k)-ciclo tiene (k) picos impares.

Y eso es exactamente lo que estudian Steiner, Simons y de Weger.

---

Por ejemplo, un hipotético (2)-ciclo tendría una estructura esquemática:

\[
n_1
;\uparrow;
3n_1+1
;\downarrow\cdots\downarrow;
n_2
;\uparrow;
3n_2+1
;\downarrow\cdots\downarrow;
n_1.
\]

Hay dos máximos impares ($$n_1,n_2$$).

Por eso se llama (2)-ciclo.

---

Entonces cuando Lagarias escribe:

> no existe ningún (k)-ciclo para ($$k\leq 91$$),

lo que realmente significa es:

> no existe ningún ciclo no trivial cuyo ciclo acelerado sobre impares tenga (91) o menos impares distintos.

O equivalentemente:

> cualquier ciclo no trivial tendría que contener al menos (92) picos impares.

---

Desde el punto de vista de tu trabajo sobre fibras y dinámica acelerada, esto es importante porque el parámetro (k) está midiendo algo muy cercano al número de pasos en la representación acelerada, no la cantidad total de enteros del ciclo completo.

Por eso un ciclo con ($$k=92$$) tendría en realidad muchísimos más nodos cuando expandís todas las cadenas de pares intermedias.

En resumen:

\[
\boxed{
k=\text{número de impares (o picos impares) del ciclo}
}
\]

y no

\[
\boxed{
k=\text{longitud total del ciclo en } \mathbb N.
}
\]

Esa es la interpretación correcta de los (k)-ciclos de Steiner–Simons–de Weger.

[cerrar]

Entonces:

claro, yo que trabajo con la dinamica acelerada, solo impares es lo que tienen mis secuencias, entonces ahi un k-ciclo si tiene longitud k

respuesta

Exactamente.

Y de hecho esa es una de las razones por las que a veces hay confusión cuando uno viene de la dinámica acelerada.

En la dinámica completa:

\[
1 \to 4 \to 2 \to 1
\]

el ciclo tiene longitud (3).

Pero Steiner no está contando eso.

Está contando los **bloques impar → impar**.

---

En tu lenguaje acelerado:

\[
T(n)=\frac{3n+1}{2^{\nu_2(3n+1)}}
\]

y trabajás solamente sobre impares.

Entonces un ciclo sería:

\[
n_1 \to n_2 \to \cdots \to n_k \to n_1.
\]

Ahí sí:

\[
\boxed{\text{longitud del ciclo}=k.}
\]

No hay pares intermedios ocultos.

---

Por eso, cuando Lagarias habla de un (k)-ciclo, para vos es natural leer:

> ciclo de longitud (k).

Y en realidad eso es casi correcto, porque en la dinámica acelerada ambas nociones coinciden.

Lo que ocurre es que históricamente Steiner estaba trabajando sobre la dinámica ordinaria y necesitaba introducir esa partición en bloques ascenso-descenso.

---

De hecho, si reescribieras su definición en lenguaje acelerado, probablemente dirías simplemente:

> Un (k)-ciclo es un ciclo de longitud (k) de la transformación acelerada sobre impares.

Mucho más limpio.

---

Por ejemplo, el ciclo trivial:

\[
1 \mapsto 1
\]

en la dinámica acelerada tiene longitud (1).

Y precisamente Steiner lo llama un (1)-ciclo.

Eso ya te muestra que ambas nociones coinciden.

---

Por eso la frase:

> "no existen (k)-ciclos para ($$2\le k\le 91$$)"

vista desde tu marco significa literalmente:

> No existe ningún ciclo acelerado de longitud entre (2) y (91).

o equivalentemente:

> Cualquier ciclo no trivial tendría que tener al menos (92) impares distintos.

Esa es probablemente la forma más natural de leer esos resultados si uno piensa habitualmente en términos de dinámica acelerada.

[cerrar]

Entonces como para mi los pares son triviales y no los tengo en cuenta, entiendo perfectamente que un $$k-$$ciclo, es un ciclo que tendría $$k$$ elementos impares. Por eso, lo que ellos demuestran es que no existen ciclos con menos de 92 elementos. Pero no que puedas hablar de los $$k-$$ciclos que tiene una órbita, ni que puedas decir "esta órbita de acá hasta acá tiene $$x$$ $$k-$$ciclos.

Ahora, si existe un ciclo no trivial, ese ciclo se cierra sobre si mismo y vuelve a empezar, como es un bucle, tendra un $$n$$ que es el menor de todos, no importa en que posición esté porque rotas un poco el ciclo y lo acomodas como $$n_0$$, entonces ese número siendo $$n_0$$ en su órbita no tiene un número menor, lo que no permite que el argumento inductivo de descenso se pueda realizar. Por eso, si podemos demostrar que para todo $$n$$ hay un elemento en su órbita posterior que es menor a él mismo, habremos probado por inducción completa que la conjetura es cierta.



AGREGO:
Entonces, interpretando lo que me dice la IA:

Tengo que pasar de
$$QQW-QWW-QQQQQW$$
que habiamos dicho que tenía 3 bloques, a esto:
$$Q-QW-QWW-Q-Q-Q-Q-QW$$
que tiene 8 bloques.

[Granmurillo]

No, no, las analogías son entre la variante 3 de Collatz osea la $$3x+1$$, la variante 5 ,que es la $$5x+1$$ y la variante 7 que es la $$7x+1$$ cada vez que hay un impar y dividir siempre por 2 cuando es par en todas las variantes.   

Ok, lo importante es que estamos de acuerdo en lo que es un ciclo no trivial.

A menos que haya estado distraído y se me pasó, en los últimos tiempos no he visto participar a nadie, tratando de demostrar por ese método, sí es cierto que,  en este mismo hilo Luis Fuentes me explicó a mí como sería demostrar de esa forma, pero ya te digo , al menos yo no se como recomendar ni explicar nada más de lo que ya te dije. Abre un hilo con una pregunta especifica sobre lo que quieres saber sobre ese tema y por ahí la ayuda viene mas rápido , que releyendo este hilo.

Claro Richard, pero continué participando porque me contestaron con algo que se parece a lo de Steiner y quise compartir.

Ojo , no es fijo el valor,  la cota es  se presenta en función del numero del que inicias la órbita...     si empiezas en un numero de 10 cifras puedes ascender mucho mas relativamente a esas cifras, que empezando con un numero de 5 cifras ...

Aquí a lo que me refería es a la función de Baker que utilizó Steiner donde \( \wedge \) se estira dependiendo del valor del número y la cantidad de términos entre dos logaritmos.

\( |\Lambda| = |b_1 \ln \alpha_1 + b_2 \ln \alpha_2| > (B \cdot d)^{-\Omega} \)

Sin embargo aquí el algoritmo puede brindar un resultado fijo que no varía sin importar el tamaño del número ni la cantidad de términos y no sé por qué no se ha considerado. Pero eso es algo que yo he observado, no tiene ninguna relación con lo que están revisando. Lo que si tiene relación con lo que hacen es todo lo demás. A mí me parece que siguen los pasos de Steiner.

Estas cerca de la idea pero la dejaste pasar, toma cualquier numero , no te fijes si verifica, solo doy uno por dar ejemplo, empiezas la orbita en el 1234567 , si ese numero es $$n_0$$ entonces tu me dices que puede haber otro número por ejemplo el 987653 que tambien pertenezca al ciclo, bien, pero entonces el 987653  ahora es el menor del ciclo, y entonces  será el 987653 el que no tenga uno menor a el mismo en el ciclo, siempre debe haber uno que sea el menor del ciclo, y verificas que por ser el menor del ciclo no existe otro aún menor, luego de ese numero solo puede haber dos situaciones que continuen con la órbita y a la vez que siga siendo verdad todo lo antedicho , que la orbita ascienda al infinito, o que sea un ciclo, y si es así , con cualquiera de las dos situaciones la conjetura no es cierta.

Todavía no entiendo para qué se tiene que identificar una cota mínima para un ciclo no trivial, ¿no es más importante encontrar el ciclo no trivial?

No eso no es cierto mira de nuevo esto en la variante 5

Por eso especifico primero, siempre y cuando se haya demostrado que no existen ciclos no triviales. Sin ciclos no triviales por debajo de una cota superior para cualquier orbita las iteraciones consecuentemente llevarán al ciclo trivial.

[Richard R Richard]

¿no es más importante encontrar el ciclo no trivial?

Supongo en cierto modo que sí, encuentras un ciclo no trivial, listo, conjetura falsa y a publicar.
Pero mientras creo que a la vez una cota inferior  como la que indica hasta que número ya se han explorado, por ejemplo hasta 70 cifras, es importante, porque si tu de alguna manera logras acotar también por encima , los número susceptibles a no confirmar la conjetura queda en un intervalo finito, y cuanto mas cierres el rango , mas próximo a confirmar la conjetura. El tema es que  la cota superior no se ha podido demostrar  que exista, así que aún los ascensos al infinito serían posibles.



Todo bien con el resto pero

AGREGO:
Entonces, interpretando lo que me dice la IA:


Tengo que pasar de
$$QQW-QWW-QQQQQW$$
que habiamos dicho que tenía 3 bloques, a esto:
$$Q-QW-QWW-Q-Q-Q-Q-QW$$
que tiene 8 bloques.

Pero lo veo compatible con esto otro

Por ejemplo, en la órbita del 27 que son 25 k-ciclos con función simplificada, con función reducida resulta en:


k-ciclo 1: 27->(ascenso)41->(descenso)31->
k-ciclo 2: 47(ascensos)->71->107->161(descensos)->121->91->
k-ciclo 3: 137->(descenso)->103->
k-ciclo 4: 155->233->175->
k-ciclo 5: 263->395->593->445->167->
k-ciclo 6: 251->377->283->
k-ciclo 7: 425->319->
k-ciclo 8: 479->719->1079->2429->911
k-ciclo 9: 1367->2051->3077->577->433->325->61->23->35->
k-ciclo 10: 53->5->1.
Total 10 k-ciclos.

Segun dices  son 25 k ciclos, pero solo hay 10 ascensos y descensos.
Yo NO veo  25 Q en esa órbita osea $$QQWQQQQQWQWQQWQQQWQQQQWQWWQQQWQQWQQQQQQWWQQQQWWWQWQWQWWWQWWQQQWWWWQWWW$$

Spoiler

27 41 31 47 71 107 161 121 91 137 103 155 233 175 263 395 593 445 167 251 377 283 425 319 479 719 1079 1619 2429 911 1367 2051 3077 577 433 325 61 23 35 53 5 1

[cerrar]

Como sería la verdadera forma, o una que nos entendamos ,  yo  observo que marca un k-ciclo cuando cambia una tendencía , pero no logro definirla.


Para mi varias Q seguidas , implican ascenso, cuando aparece una W  ya empieza el descenso hasta que aparece la siguiente Q y ahí termina un k-ciclo, según lo entendí, pero de ese modo se me dificulta entender esa cota de 92 porque podemos hacer ascensos de muchas  Q seguidas que pertenecen en el mismo k-ciclo.

$$QQW\ QQQQQW\ QW\ QQW\ QQQW\ QQQQW\ QWW\ QQQW\ QQW\ QQQQQQWW\ QQQQWWW\ QW\ QW\ QWWW\ QWW\ QQQWWWW\ QWWW$$ cuento 17 bloques ¿¿¿???

Así que  para mi lo mas  acertado  es  que $$k =q$$ de mi definición el número de impares  que hay en una órbita   y la cantidad de alternancias si sirvieran para explicar algo que no veo aún, debería tener una nomenclatura diferente a k.

[danizafa]

Richard, a lo que Steiner se refería cuando probó que el único $$1-$$ciclo es el trivial, es que no hay otro ciclo aparte del trivial que cumpla:
$$Q_0WWW\to Q_0$$

Cuando Simons probó en 2005 que no existen $$2-$$ciclos, es que no hay ciclos con 2 elementos impares, en tu notación de $$QW$$ sería que no existen ciclos asi:

$$Q_0WWW \to Q_1WW \to Q_0$$

Pero bueno, vamos a los libros, en "The $$3x+1$$ problem and its generalizations" de J. Lagarias, que recopila bibliografía de varios autores. Ahí aparece lo siguiente:







Esto está en "Part II - Survey Papers" - "A $$3x+1$$ Survey: Number Theory and Dynamical Systems" de Marc Chamberland, precisamente en el capítulo "5 - Cycles".

Es decir, que si llamás $$k-$$ciclos a cada pedazo de órbita cuando cambia de descendente a ascendente, estás nombrando mal. Justamente sus pruebas son que no existen ciclos con $$k$$ números impares.


Resalto lo que dice el libro:

For general cycles of $$T$$, Bömh and Sontacchi (1978) showed that $$x\in\mathbb{Z}^{+}$$ is in an $$n-$$cycle of $$T$$ if and only if thera are integers $$0\leq \upsilon_0 \leq \upsilon_1 \leq \dots \leq \upsilon_m = n$$ such that

\[x=\frac{1}{2^n-3^m} \sum_{k=0}^{m-1} 3^{m-k} 2^{\upsilon_k} \]

si pasamos multiplicamos ambos lados por $$2^n-3^m$$ queda:

\[(2^n-3^m) x=\sum_{k=0}^{m-1} 3^{m-k} 2^{\upsilon_k} \]

Que es algo parecido a esto, verdad?

... de esa misma ecuación que te puse sale algo que ya mencioné en este hilo, y es la ecuación de ciclos, si tomás:

\[n_m = \frac{3^m n_0 + C_m}{2^{K_m}} \]

Con algunos pasajes:

\[2^{K_m} n_m = 3^m n_0 + C_m\]

Si tomás una vuelta completa a un ciclo, $$n_0=n_m$$ reemplazando:

\[2^{K_m} n_0 = 3^m n_0 + C_m\]

Y con algunos pasajes más te queda:

\[(2^{K_m}-3^m) n_0 = C_m\]

Pero de todas formas $$m$$ es la cantidad de pasos desde $$n_0$$ a $$n_m$$, entonces si considerás una vuelta de ciclo, $$m$$ es la cantidad de pasos que el ciclo tarda en volver al mismo punto, por lo tanto, $$m$$ es la longitud del ciclo. En mi notación $$K_m$$ es la acumulación de los $$k_j$$ locales.

si reemplazamos $$C_m$$

\[(2^{K_m}-3^m) n_0 = \sum_{j=1}^{m} 3^{m-j} 2^{K_{j-1}} \]