La forma de medir los k-ciclos aquí se define bajo a función simplificada pero llevándolo a la función reducida sería con secuencias crecientes de números impares seguida de secuencia decreciente de números impares.
Por ejemplo, en la órbita del 27 que son 25 k-ciclos con función simplificada, con función reducida resulta en:
k-ciclo 1: 27->(ascenso)41->(descenso)31->
k-ciclo 2: 47(ascensos)->71->107->161(descensos)->121->91->
k-ciclo 3: 137->(descenso)->103->
k-ciclo 4: 155->233->175->
k-ciclo 5: 263->395->593->445->167->
k-ciclo 6: 251->377->283->
k-ciclo 7: 425->319->
k-ciclo 8: 479->719->1079->2429->911
k-ciclo 9: 1367->2051->3077->577->433->325->61->23->35->
k-ciclo 10: 53->5->1.
Total 10 k-ciclos.
Esta estructura es la que opino habría que estudiarse para llevarlo a una demostración de órbitas acotadas.
Y exactamente donde eso es un posible ciclo?
Un ciclo es cualquier proceso o conjunto de etapas que se repite periódicamente en el mismo orden, de modo que, al finalizar, el sistema vuelve a su estado inicial para comenzar de nuevo.
Ciclos k
Un k-ciclo es un ciclo que se puede particionar en k subsecuencias contiguas, cada una de las cuales consiste en una secuencia creciente de números impares, seguida de una secuencia decreciente de números pares. Por ejemplo, si el ciclo consiste en una única secuencia creciente de números impares seguida de una secuencia decreciente de números pares, se denomina 1-ciclo .
Fuente: Lagarias, Jeffrey C.. "El problema 3 x + 1 y sus generalizaciones" (versión actualizada)
un $$k$$-ciclo según eso, es justamente un ciclo de $$k$$-pasos. Exactamente lo que yo llamo un ciclo de $$m$$ pasos... si querés usar la $$k$$ significa que iterarías $$k$$ veces el mapa $$T(n)$$ y volvería al mismo punto inicial. Entonces, tendrias algo como $$T^{(k)}(n_0)=n_0$$ si algún $$k$$-ciclo existiese. Tomando la función acelerada sobre impares, tenés:
\[T^{(k)}(n_0)=\frac{3^k n_0 + C_k}{2^{Q_k}}\]
donde $$k$$ es la longitud del ciclo.
\[C_k := \sum_{j=1}^{k-1} 3^{k-j} 2^{Q_{j-1}}\]
\[Q_k := \sum_{j_0}^{k-1} q_i ;\quad Q_0 := 0\]
Exactamente la misma ecuación que te vengo dando... Un $$k$$-ciclo de existir cumpliría para todo $$n \in \text{ciclo}$$
\[T^{(k)}(n_0)=n_0\]
Es decir que partas del elemento que partas, en $$k$$-pasos, volvés a $$n_0$$.
El ciclo trivial es donde \( a_0=1 \) y por lo tanto \( a_q=1 \). El ciclo NO trivial es donde \( a_0\neq1 \) y por lo tanto \( a_1, a_2,.... a_q\neq1 \). Los ciclos no triviales son los que se debe demostrar que no existen en el algoritmo 3x+1.
Seguís afirmando cosas sin fundamento. Un ciclo es una secuencia que luego de una cantidad finita de pasos vuelve al elemento por donde iniciaste. Su característica principal es la periodicidad.
El ciclo trivial de hecho es un $$1$$-ciclo. Y esto sale de la definición que vos estás citando.
Luego tu ejemplo de
la órbita del 27, no es un ejemplo de $$10$$ $$k$$-ciclos. De hecho,
NO ES UN CICLO. Es una órbita.
Visto lo visto, no tratés de enseñarme ni corregirme sin antes entender lo que estás diciendo. Porque estamos en una discución que lleva días y ni siquiera entiendes lo que estás escribiendo.
Saludos!
Agrego: El problema de esa definición que citas:
Ciclos k
Un k-ciclo es un ciclo que se puede particionar en k subsecuencias contiguas, cada una de las cuales consiste en una secuencia creciente de números impares, seguida de una secuencia decreciente de números pares. Por ejemplo, si el ciclo consiste en una única secuencia creciente de números impares seguida de una secuencia decreciente de números pares, se denomina 1-ciclo .
Fuente: Lagarias, Jeffrey C.. "El problema 3 x + 1 y sus generalizaciones" (versión actualizada)
Secuencia creciente de números impares: Eso en el algoritmo no existe. Siempre aplicado $$3n+1$$ a cualquier impar, el resultado es par. Por lo tanto, nunca vas a obtener una secuencia de impares, salvo que solo consideres impares, usando la versión acelerada del algoritmo. Y esto te lo hago notar porque tu definición continúa con:
Una secuencia decreciente de números pares: Esto se da siempre que la cantidad de divisiones sea $$\geq 2$$, pero si usas el algoritmo acelerado, no tiene sentido tomar en cuenta a los pares. Pero si los tenés en cuenta, entonces no estás usando el acelerado, lo que hace absurdo que hables de una secuencia creciente de números impares.
