Hola, Dani yo entendí que Steiner lo que hace es un 1-circuito, una serie ascendente y luego una descendente hasta el número original, y lo que hace es demostrar que para ese caso hay una solución , la trivial.
Y sí, no habría combinaciones sino rotaciones que permiten encontrar cada $$n$$ del ciclo, pero no hallas enteros con otras longitudes de ciclo, salvo para el trivial.
Cuando ya consideras 2-circuitos, ya lo veo difícil de atacar en general para todo $$k$$, o quizá lo este comprendiendo mal, imagina 1000 iteraciones ascendiendo, luego 1 descendiendo y otras 1000 ascendiendo y luego descender al original (1000Q W 1000 y luego unas 1260W), la cantidad 1000 que elegí es arbitraria puede ser cualquiera entre 1 e infinito , pero aún así, ha sido demostrada, recuerda que cuando calculas el exponente $$v_i$$ siempre es uno mayor al anterior el que acompaña a cada potencia de 3, salvo en los saltos cuando entre dos impares en los que hay una potencia de dos distinta de 1.
En un 2 circuito hay dos caídas y una rotación mantiene la distancia (cantidad de impares en medio) entre las 2 caídas, pero en una combinación cambia la distancia , así que en un 2-circuito hay 3 variables, $$q,w , v_i$$ y aparece una variable mas a controla con cada circuito adicional porque aporta un $$v_i$$ mas, , siempre hay un $$v_i$$ que queda determinado por $$w$$ y por el resto de los $$v_i$$
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El número de combinaciones se dispara cuando crecen $$q,w$$ y $$k\approx w/2$$ eso es lo que veo $$q+w$$ rotaciones de un mismo ciclo compuesto de $$2q+w$$ números, será solución si todos son enteros, eso es lo que te venía diciendo , además que los $$v_i <v_{i+1}$$ en el calculo de cada C.
Si, en efecto es lo que hace, un $$1-$$circuito.
Pero veamoslo así: $$Q=qW$$ y $$QWWW=qWWWW$$. Pero $$QQQQWWWWW=qWqWqWqWWWWWW$$
Si concatenamos circuitos, por ejemplo $$QQQWWWW-QQWWW-QQWWW$$, sería algo como:
$$qWqWqWWWWW-qWqWWWW-qWqWWWW$$
entonces tomando $$2^{k+l}-3^k$$ lo único que importa es que $$k$$ cuenta las $$q$$ y $$k+l$$ cuenta las $$W$$. Ya no necesitas imponer que un circuito tiene que ser más de una $$Q$$ seguida. Solo importa la cantidad de $$Q$$ que reúne las $$q$$ y $$W$$ de modo que dan igual, y luego las cantidades de $$W$$ en exceso.
Armemos el esquema de Steiner, queremos armar un circuito que tenga las siguientes cantidades de divisiones a lo largo de todos los pasos: $$(1,1,1,1,1,\dots,1,l+1)$$
Voy a cambiar a mi notación de $$m$$ pasos para que quede consistente con mi $$K_m$$ y no se me mezclen las $$k$$ 
El número de divisiones es constante por $$m-1$$ pasos y en el último es $$l+1$$.
por lo tanto
\[
K_m = (m-1)\cdot 1 + (l+1) = m+l
\]
Ahora calculemos $$C_m$$:
\[
C_m=\sum_{j=1}^{m} 3^{m-j} 2^{K_{j-1}}
\]
Como las primeras valuaciones son todas 1,
\[
K_r = r,
\qquad
0 \leq r \leq m-1
\]
O sea, que el término $$k_m=l+1$$ nunca entra en los $$K_{j-1}$$, porque el máximo índice que aparece es $$K_{m-1}$$. ENtonces:
\[
K_{j-1}=j-1,
\qquad
j=1,\dots,m.
\]
Y tenemos:
\[
C_m = \sum_{j=1}^{m} 3^{m-j} 2^{j-1}.
\]
desarrollo
Si hacemos $$r=j-1$$ nos queda
\[
C_m
= \sum_{r=0}^{m-1} 3^{m-1-r} 2^{r}
= 3^{m-1} \sum_{r=0}^{m-1} \left(\frac{2}{3}\right)^r
\]
Lo que es lo mismo que
\[
C_m = 3^{m-1} \frac{1-(2/3)^m}{1-2/3}
\]
Y como $$1-(2/3)=1/3$$, queda
\[
C_m = 3^{m} \left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^m\right)
\]
Finalmente:
\[
C_m = 3^m-2^m
\]
Lo comparemos con la ecuación de ciclo:
\[
(2^{m+l}-3^m) n_0=C_m
\]
se puede escribir como
\[
\boxed{(2^{m+l}-3^m) n_0=3^m-2^m} \quad (1)
\qquad \text{equivalentemente } \boxed{ n_0=\frac{3^m-2^m}{2^{m+l}-3^m}}
\]
Y mirá esto! Si llamamos $$n_0=2^mh-1$$ recuperamos la ecuación de Steiner!!!
calculos
Sustituimos en $$(1)$$
\[
(2^{m+l}-3^m)(2^mh-1)=3^m-2^m
\]
Distribuimos:
\[
(2^{m+l}-3^m)2^mh-(2^{m+l}-3^m)=3^m-2^m
\]
Sumamos $$(2^{m+l}-3^m)$$ en ambos miembros:
\[
(2^{m+l}-3^m)2^mh
=3^m-2^m + 2^{m+l}-3^m
\]
Se cancelan los $$3^m$$
\[
(2^{m+l}-3^m)2^mh
=2^{m+l}-2^m
\]
Sacamos factor común $$2^m$$
\[
(2^{m+l}-3^m)2^mh
=2^m(2^l-1)
\]
Y dividimos ambos lados por $$2^m$$
\[
(2^{m+l}-3^m)h
=2^l-1
\]
\[
\boxed{
(2^{K_m}-3^m)n_0=C_m
\xrightarrow[\text{1-circuito}]{(1,1,\dots,l+1)}
(2^{m+l}-3^m)h
=2^l-1
}\]
Pero es curioso el resultado de Steiner. Porque el $$1-$$circuito si crece de $$1\to2$$ pero no tenes varios impares en sucesión creciente. Fijate que es $$QW$$ el único que existe. Si lo descomponemos como dije al principio es $$qWW$$, y varias iteraciones sobre el ciclo trivial hacen $$qWW-qWW-qWW-\dots$$, entonces no es requisito que haya $$Q$$s seguidas. Pues el crecimiento en $$Q$$ es hasta un número par o impar, así el 7 hace $$7\to11\to17\to26\to13=QQQW$$ pero cualquier número puede tener una única $$Q$$ descender una vez más o incluso más, pero podría seguir siendo parte de un $$m-$$ciclo, al igual que sucede en el trivial que se cuenta $$QW=1\to2\to1$$.
Entonces analizar la concatenación de pasos como circuitos, no está restringido a que si o si tenga que tener más de un impar que crezca hacia otro impar, el crecimiento está contado en $$Q$$, sea el resultado par o impar. Por lo tanto $$QWWQWQQQWWQW$$ podría tranquilamente formar un ciclo bajo este punto de vista, la unica condición esta dada por la ecuación:
\[
(2^{m+l}-3^m) n_0=C_m
\]
