UNA COSA es que no existan y OTRA COSA es que no puedan existir, pues una prueba de que no pueden existir ciclos queda automáticamente refutada porque existe el trivial.
No. El hecho que existe el ciclo trivial no demuestra que existan o no ciclos no triviales.
Te comparto información de Teoría sobre los ciclos del planteamiento del problema:
CICLOS
En esta parte, considere la forma abreviada de la función de Collatz.
f(n)=\begin{cases}{\displaystyle\frac{n}{2}}&\text{si}& n\equiv{0 (mod 2)}\\\displaystyle\frac{3n+1}{2}& \text{si}& n\equiv{1 (mod 2)}\end{cases}
Un ciclo es una secuencia \( ( a_0 , a_1 , ..., a_q ) \) de enteros positivos distintos donde \( f ( a_0 )=a_1 , f ( a_1 )=a_2 , ..., \) y \( f ( a_q )=a_0 \)
El único ciclo conocido es el \( (1,2) \) de periodo 2, llamado ciclo trivial.
Duración del ciclo
A partir de 2025, el límite más conocido sobre la duración del ciclo es 217 976 794 617 (355 504 839 929 sin atajo). En 1993, Eliahou demostró que el período \( p \) de cualquier ciclo no trivial es de la forma
\( p=301994a+17087915b+85137581c \) donde a , b y c son enteros no negativos, b ≥ 1 y ac = 0. Este resultado se basa en la expansión en fracción continua simple de
\( \displaystyle\frac{ln3}{ln2} \)
Ciclos k
Un k -ciclo es un ciclo que se puede particionar en k subsecuencias contiguas, cada una de las cuales consiste en una secuencia creciente de números impares, seguida de una secuencia decreciente de números pares. Por ejemplo, si el ciclo consiste en una única secuencia creciente de números impares seguida de una secuencia decreciente de números pares, se denomina 1-ciclo .
Steiner (1977) demostró que no existe ningún 1-ciclo aparte del trivial (1; 2) . Simons (2005) utilizó el método de Steiner para demostrar que no existe ningún 2-ciclo. Simons y de Weger (2005) extendieron esta demostración hasta 68-ciclos; no existe ningún k -ciclo hasta k = 68. Hercher extendió aún más el método y demostró que no existe ningún k -ciclo con k ≤ 91. A medida que continúan las búsquedas exhaustivas por computadora, se pueden descartar valores de k mayores . Para expresar el argumento de forma más intuitiva: no tenemos que buscar ciclos que tengan menos de 92 subsecuencias, donde cada subsecuencia consiste en ascensos consecutivos seguidos de descensos consecutivos.
Fuente: Lagarias, Jeffrey C.. "El problema 3 x + 1 y sus generalizaciones" (versión actualizada)
