[Richard R Richard]

Resalto lo que dice el libro:

For general cycles of $$T$$, Bömh and Sontacchi (1978) showed that $$x\in\mathbb{Z}^{+}$$ is in an $$n-$$cycle of $$T$$ if and only if thera are integers $$0\leq \upsilon_0 \leq \upsilon_1 \leq \dots \leq \upsilon_m = n$$ such that

Ok, entendido.


Igualmente veo algo curioso, no creo que haya situación para que se de el igual en la formula en los símbolos $$\leq$$ debería expresarse


$$0\leq \upsilon_0 < \upsilon_1 < \dots < \upsilon_m $$  pues siempre hay una división obligatoria por 2, y en el desarrollo del sumatorio para  C  el exponente siguiente siempre crece en al menos 1 por eso no puede haber dos exponentes consecutivos iguales.  Solo el primero siempre es cero, y el último no es igual a $$n$$ sino maximo   $$n-1$$

[danizafa]

Ok, entendido.


Igualmente veo algo curioso, no creo que haya situación para que se de el igual en la formula en los símbolos $$\leq$$ debería expresarse


$$0\leq \upsilon_0 < \upsilon_1 < \dots < \upsilon_m $$  pues siempre hay una división obligatoria por 2, y en el desarrollo del sumatorio para  C  el exponente siguiente siempre crece en al menos 1 por eso no puede haber dos exponentes consecutivos iguales.  Solo el primero siempre es cero, y el último no es igual a $$n$$ sino maximo   $$n-1$$

Exacto.

Por eso me gustó la definición de la primer página que puse. Donde usa:

\[(2^{k+l}-3^k)h\]

Si tomamos que $$k$$ es la cantidad de pasos, entonces $$l$$ es jutamente lo que hablabamos

\[l= (\log_2(3))k + O(1)\]

Que en la forma que yo acostumbro a escribirlo sería

\[K_m-m= (\log_2(3))m + O(1)\]

Y esto es lo que limita la cantidad de combinaciones que permiten que el ciclo se cierre. No se si viste lo que puse para mostrar que no explota como el factorial de $$m$$.

[Granmurillo]

Segun dices  son 25 k ciclos, pero solo hay 10 ascensos y descensos.
Yo NO veo  25 Q en esa órbita osea $$QQWQQQQQWQWQQWQQQWQQQQWQWWQQQWQQWQQQQQQWWQQQQWWWQWQWQWWWQWWQQQWWWWQWWW$$

Como sería la verdadera forma, o una que nos entendamos ,  yo  observo que marca un k-ciclo cuando cambia una tendencía , pero no logro definirla.

Para mi varias Q seguidas , implican ascenso, cuando aparece una W  ya empieza el descenso hasta que aparece la siguiente Q y ahí termina un k-ciclo, según lo entendí, pero de ese modo se me dificulta entender esa cota de 92 porque podemos hacer ascensos de muchas  Q seguidas que pertenecen en el mismo k-ciclo.

Claro, eso es porque yo utilizo la función reducida y los k-ciclos utilizan la función simplificada nada más.

Si nos vamos a la definición es: "Un k -ciclo es un ciclo que se puede particionar en k subsecuencias contiguas, cada una de las cuales consiste en una secuencia creciente de números IMPARES, seguida de una secuencia decreciente de números PARES. Por ejemplo, si el ciclo consiste en una única secuencia creciente de números impares seguida de una secuencia decreciente de números pares, se denomina 1k-ciclo".

Es decir Steiner está utilizando:

\( f(x)=\begin{cases}{x/2}&\text{si}& x \equiv{0} (mod 2)\\(3x+1)/2 & \text{si}& x \equiv{1} (mod 2)\end{cases} \)

Para mí esta definición es muy confusa porque entre una secuencia de impares crecientes y una secuencia de pares decrecientes hay un impar decreciente pero, si esta definición de k-ciclos involucra los números pares, los k-ciclos son mas numerosos en una orbita larga que sólo tomando impares crecientes e impares decrecientes como yo detallé.

Tal como detallé los k-ciclos permite una estructura mejor para determinar una cota superior.

Cuando indiqué 25 k-ciclos es algo que estimé si se incluyen los pares pero en realidad con la definición de esa manera de impares y pares no puedo determinar el verdadero rango de cada k-ciclo por lo del impar decreciente intermedio y por lo tanto tampoco cuantos k-ciclos tiene una órbita.

Sólo para aclarar, como para mí los pares son triviales, sobre las órbitas yo suelo nombrarlas desde un \( x \equiv{0} \) \( mod \) \( 3 \) porque comienza desde un impar que sólo tiene pre-imagenes pares y abarca hasta el ciclo trivial, por ejemplo la  órbita del 9 la orbita del 27 o la orbita del 1234569, pero una órbita puede comenzar desde cualquier x y termina en el ciclo trivial o en un ciclo no trivial si existiere.

[Richard R Richard]

Si nos vamos a la definición es: "Un k -ciclo es un ciclo que se puede particionar en k subsecuencias contiguas, cada una de las cuales consiste en una secuencia creciente de números IMPARES,

Hola, como en  cada iteración sobre un impar tiene asociada obligatoriamente una división por 2, la única forma que el siguiente número impar sea mayor  al previo es haber usado la parte $$\dfrac{3x+1}{2}$$ de la función de Collatz, porque  si se tiene que dar una división mas por 2 obligatoriamente el siguiente impar es menor al previo ,es decir $$x_{i+1}=\dfrac{3x+1}{2^2}<x_i$$  .En el único caso que se da la igualdad es dentro el ciclo trivial.


Así que "una secuencia creciente de números IMPARES"  solo puede ser de la forma$$\dfrac{3x+1}{2}$$  , eso en mi forma de expresar una orbita la denomino como Q, y apenas haya una división por 4 o mas ya aparecen W que es "una secuencia decreciente de números PARES"

Por ejemplo, si el ciclo consiste en una única secuencia creciente de números impares seguida de una secuencia decreciente de números pares, se denomina 1k-ciclo".

Ok, entonces si suponemos la existencia de un ciclo $$QQQQQWWWW$$  sería un 1-ciclo , contaría con 5 ascensos seguidos $$\dfrac{3x+1}{2}$$  y cuatro descensos mas $$n/2$$

Entonces en la misma lógica en el ejemplo de la órbita posterior al 27 hay 17 bloques   es decir 17-ciclo no 10-ciclo.

Para los ciclos uno debe suponer dentro de ciertas cotas la cantidad de W esta en relación a la de Q como  $$w \cong 0.58.. q$$  si ese ratio aumenta o cae, habrá límites donde ya no es posible construirlo algebraicamente, porque el acarreo siempre debe ser mayor  a 0 es decir  $$3^q<2^{w+q}$$ , y también  $$x$$ no debe ser menor a 1 o bien ya tener en cuenta menor a $$10^{70}$$ pues hasta allí sabemos que cualquier numero cae a 1.

Es decir Steiner está utilizando:

\( f(x)=\begin{cases}{x/2}&\text{si}& x \equiv{0} (mod 2)&\to\ \mathbf W\\(3x+1)/2 & \text{si}& x \equiv{1} (mod 2)& \to \ \mathbf Q\end{cases} \)

Sólo para aclarar, como para mí los pares son triviales, sobre las órbitas yo suelo nombrarlas desde un \( x \equiv{0} \) \( mod \) \( 3 \) porque comienza desde un impar que sólo tiene pre-imágenes pares y abarca hasta el ciclo trivial, por ejemplo la  órbita del 9 la orbita del 27 o la orbita del 1234569, pero una órbita puede comenzar desde cualquier x y termina en el ciclo trivial o en un ciclo no trivial si existiere.

Solo aclarar que una órbita puede no terminar si asciende a infinito( diverge) para algún valor de $$n_0$$ todavía no encontrado, $$0,\ 1, o\ 2 mod 3$$, es indiferente.


Edito: Si Danizafa vi el desarrollo, estoy pensando  en aprovechar algo que  vi , si sale te cuento como y para que lo usé.

[Granmurillo]

Si nos vamos a la definición es: "Un k -ciclo es un ciclo que se puede particionar en k subsecuencias contiguas, cada una de las cuales consiste en una secuencia creciente de números IMPARES,

Hola, como en  cada iteración sobre un impar tiene asociada obligatoriamente una división por 2, la única forma que el siguiente número impar sea mayor  al previo es haber usado la parte $$\dfrac{3x+1}{2}$$ de la función de Collatz, porque  si se tiene que dar una división mas por 2 obligatoriamente el siguiente impar es menor al previo ,es decir $$x_{i+1}=\dfrac{3x+1}{2^2}<x_i$$  .En el único caso que se da la igualdad es dentro el ciclo trivial.


Así que "una secuencia creciente de números IMPARES"  solo puede ser de la forma$$\dfrac{3x+1}{2}$$  , eso en mi forma de expresar una orbita la denomino como Q, y apenas haya una división por 4 o mas ya aparecen W que es "una secuencia decreciente de números PARES"

Por ejemplo, si el ciclo consiste en una única secuencia creciente de números impares seguida de una secuencia decreciente de números pares, se denomina 1k-ciclo".

Ok, entonces si suponemos la existencia de un ciclo $$QQQQQWWWW$$  sería un 1-ciclo , contaría con 5 ascensos seguidos $$\dfrac{3x+1}{2}$$  y cuatro descensos mas $$n/2$$

Entonces en la misma lógica en el ejemplo de la órbita posterior al 27 hay 17 bloques   es decir 17-ciclo no 10-ciclo.

Para los ciclos uno debe suponer dentro de ciertas cotas la cantidad de W esta en relación a la de Q como  $$w \cong 0.58.. q$$  si ese ratio aumenta o cae, habrá límites donde ya no es posible construirlo algebraicamente, porque el acarreo siempre debe ser mayor  a 0 es decir  $$3^q<2^{w+q}$$ , y también  $$x$$ no debe ser menor a 1 o bien ya tener en cuenta menor a $$10^{70}$$ pues hasta allí sabemos que cualquier numero cae a 1.

Es decir Steiner está utilizando:

\( f(x)=\begin{cases}{x/2}&\text{si}& x \equiv{0} (mod 2)&\to\ \mathbf W\\(3x+1)/2 & \text{si}& x \equiv{1} (mod 2)& \to \ \mathbf Q\end{cases} \)

Sólo para aclarar, como para mí los pares son triviales, sobre las órbitas yo suelo nombrarlas desde un \( x \equiv{0} \) \( mod \) \( 3 \) porque comienza desde un impar que sólo tiene pre-imágenes pares y abarca hasta el ciclo trivial, por ejemplo la  órbita del 9 la orbita del 27 o la orbita del 1234569, pero una órbita puede comenzar desde cualquier x y termina en el ciclo trivial o en un ciclo no trivial si existiere.

Solo aclarar que una órbita puede no terminar si asciende a infinito( diverge) para algún valor de $$n_0$$ todavía no encontrado, $$0,\ 1, o\ 2 mod 3$$, es indiferente.

Ok, aprovechando la información compartida del artículo de Chamberland, estos circuitos denominados por Steiner como k-ciclos, se concatenan para formar una orbita. Para saber si los valores de k y l son correctos debe cumplir con la igualdad:

\( (2^{k+l}-3^k)h=2^l-1 \)

con

\( h=\displaystyle\frac{x+1}{2^k} \)

pero solo tiene solución para el ciclo trivial donde {k,l,h}={1,1,1} donde el resultado de la igualdad es 1=1, para todos los impares del tamaño hasta donde se ha verificado tendrá una diferencia porque tiene términos 2 y 3 que no permiten que esa igualdad se cumpla. Es lo que entiendo. O sea para cantidades enormes no se puede asegurar que es así, por lo que no es considerada una demostración y luego vienen Steiner y el resto haciendo verificaciones computacionales, que es lo que vendría a ser si llegas a la misma solución con Q y W.

[danizafa]

Si nos ponemos de acuerdo estoy dispuesto a seguir interactuando porque me gusta como pueden seguir las ideas, no es que quiera imponer "mis ideas", sino interpretar bien lo que hicieron Steiner y los demás (que no lo tenía del todo entendido cuando leí el libro de Lagarias, por eso terminé estudiandolo y quedó redactado en mi notación, pero de hecho, claramente es lo mismo).

Las pruebas de que no existen $$k-$$ciclos con $$k\leq 91$$, quiere decir que no hay ciclos con 91 números impares o menos. No se trata de contar una secuencia de iteraciones con un comportamiento particular, sino que con esa cantidad de elementos no existe cadena que se cierre en bucle. Justamente ellos prueban que no existen $$k-$$ciclos.

Pero si no puedo hablar en el mismo lenguaje que ustedes, no nos vamos a entender.

Y lo que yo veo que hace como una restricción o algo es ese $$0.585$$, justamente tengo algo semi-modelado que muestra lo que pasa si la diferencia que yo escribo como $$K_m-m=(\log_2(3))+O(1)$$ aumenta en tan solo $$1$$, es decir, que hay solo una $$W$$ de más: $$K_m-m+1=(\log_2(3))+O(1)+1$$. Acá pasa algo que aún no termino de entender como describirlo. Y esto si es relevante para estudiar ciclos porque me parece que ahí podría haber un camino.

En cuanto a

\[(2^{k+l}-3^k)h=2^l-1\]

Lo único que me descoloca un poco es el segundo término, ¿implicaría eso algún tipo de restricción?

Recordemos que

$$2^l \equiv \{2,4\} \pmod6$$. Luego $$2^l-1 \equiv \{1,3\} \pmod6$$

De nuevo, yo entiendo que estoy hablando de ciclos. Asi que mi búsqueda de ideas es por ese sentido.

[Granmurillo]

Lo que el artículo de Chamberland indica literalmente es lo siguiente:

"Un resultado temprano sobre ciclos se refiere a una clase especial de T-ciclos llamados circuitos. Un circuito es un ciclo que puede escribirse como k elementos impares seguidos de l elementos pares. Davison demostró que hay una correspondencia biunívoca entre circuitos y soluciones {k,l,h} en enteros positivos tal que
 
\( (2^{k+l}-3^k)h=2^l-1 \)

Posteriormente se demostró usando fracciones continuas y teoría de números trascendentales que la ecuación tiene solo la solución {1,1,1}. Esto implica que {1,2} es el único circuito. Mucho más tarde, Simons demostró que el problema 3x+1 no admite 2-ciclos (2 circuitos concatenados). Simon y Wegner continúan este enfoque para m-ciclos. Demuestran que no hay ciclos no triviales para m<=68."

Como se puede leer, cuando se refiere a circuitos son T-ciclos que al final los identifican como ciclos no triviales los cuales no existen hasta m<=68 y que el único circuito que existe es el ciclo trivial.

[Richard R Richard]

Si un matemático escribió

\( (2^{k+l}-3^k)h=2^l-1 \)

en un libro , no se lo voy a discutir, ni las conclusiones  que saque de eso.

Ahora en ciclo dónde empezamos y terminamos en el mismo natural y por ello se puede despejar el término izquierdo  de la igualdad,  del lado derecho queda el acarreo  $$C$$ ,pero yo observo

\( (2^{k+l}-3^k)h=C=\sum...+3^{k-1}+2^{l+k-1}>\overbrace{2^l}^{k>1}>2^l-1\quad\forall l\in \Bbb N \)

No veo relaciónde igualdad alguna que se pueda dar, salvo que coincide en el ciclo trivial con l=2, porque  k=1 y listo luego jamás podrá haber otra igualdad.
Si el lado derecho se desprende de cualquier ciclo, entonces estaría  demostrada su inexistencia fuera del trivial,  pero a falsedad de hipótesis...
Si me equivoco  estoy ansioso  me lo hagan saber. Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Vaya por delante que no estoy siguiendo los detalles del hilo, pero si me he parado en esto:

Si un matemático escribió

\( (2^{k+l}-3^k)h=2^l-1 \)

en un libro , no se lo voy a discutir, ni las conclusiones  que saque de eso.

En un momento explico de donde sale esa fórmula de Steiner. Pero antes Richard R Richard:

Ahora en ciclo dónde empezamos y terminamos en el mismo natural y por ello se puede despejar el término izquierdo  de la igualdad,  del lado derecho queda el acarreo  $$C$$ ,pero yo observo

\( (2^{k+l}-3^k)h= \color{red}\sum...+3^{k-1}+2^{l+k-1}\color{black}>\overbrace{2^l}^{k>1}>2^l-1\quad\forall l\in \Bbb N \)

No se de donde sale la parte en rojo que has puesto.
Ahora voy con la fórmula de Steiner. Utiliza esta versión de la función de Collatz:

\( T(n)=\begin{cases}{(3n+1)/2}&\text{si}& n\text{ impar}\\n/2 & \text{si}& n\text{ par}\end{cases} \)

Esa fórmula (la de Steiner) es la condición necesaria y suficiente para que exista un ciclo CIRCUITO (ojo no un ciclo cualquiera).

¿Qué es un ciclo circuito? Es:

- un ciclo, es decir que exista \( n \) tal que \( T^{p)}(n)=n \) para un número \( p \) de pasos: lo que todos entendemos por un ciclo, después de aplicar varias veces la iteración se vuelve al mismo número. 
- un circuito es que ese ciclo sea \( k \) veces seguidas creciente y luego decreciente y YA. Un "tramo" de subidas seguidas y otro de  bajadas seguidas y vuelve al inicial.

Entonces supongamos que existe tal ciclo-circuito que empieza en un impar \( n \):

1) Si partimos de un número impar \( n \) y aplicamos \( k \) veces la iteración impar que es la única que produce subida  (suponiendo que se puede) \( n\to (3n+1)/2\to (3(3n+1)/2+1)/2\to \ldots \) es fácil ver que se llega a :

\( m=\dfrac{3^k(n+1)}{2^k}-1 \).

2) Ahí se acabará la subida y luego vendrán \( l \) bajadas, que es ir dividiendo por dos. Se llega a:

\( m/2^l \)

que si queremos ciclo debe de coincidir con \( n \), \( m=2^l\cdot n \).

3) Nótese que para que haya \( k \) subidas seguidas y no más implica que \( n+1=2^k\cdot h \) con \( h \) impar. De manera que rescribimos:

\( m=\dfrac{3^k(n+1)}{2^k}-1=3^kh-1 \).

y \( m=2^l\cdot n \) queda:

\( 3^kh-1=2^l(2^k\cdot h-1) \)

es decir:

\( 2^l-1=(2^{k+l}-3^k)k \)

y esa es la fórmula de Steiner. Condición necesaria y suficiente para que no haya ciclo-circuito.

Más adelante prueba que la única solución de esa ecuación es \( h=k=l=1 \) y por tanto no hay otro ciclo-circuito que el \( 1-2-1 \).

Saludos.

[Granmurillo]

Condición necesaria y suficiente para que no haya ciclo-circuito.

Hola Luis.

Si es condición necesaria y suficiente por qué son necesarias verificaciones donde ya van por k<=91? Por qué no se la ha considerado como demostración para la inexistencia de ciclos no triviales?