[Richard R Richard]

Ahora en ciclo dónde empezamos y terminamos en el mismo natural y por ello se puede despejar el término izquierdo  de la igualdad,  del lado derecho queda el acarreo  $$C$$ ,pero yo observo

\( (2^{k+l}-3^k)h= \color{red}\sum...+3^{k-1}+2^{l+k-1}\color{black}>\overbrace{2^l}^{k>1}>2^l-1\quad\forall l\in \Bbb N \)

No se de donde sale la parte en rojo que has puesto.

Hola , Luis, Muchas gracias, , Si ahora veo de donde viene la fórmula de Steiner, . Yo ya sabía por las mías que una única  subida y una única bajada no deba  un ciclo a menos que sea el ciclo trivial... era eso que lo decía (sin saber como demostrar ) como " tengo que lograr una generalización de los polinomios, para" bla, bla, bla, en algún otro hilo.


Pero yendo a lo rojo que me has marcado... es el desglose del  acarreo C que queda cuando pasas de termino , pues has supuesto que el numero final es igual al final, pero claro , eso no el desarrollo de un 1-circuito,  sino de un k-circuito, para un ciclo.   Es decir  C es un desarrollo en sumatorio de productos de potencias de 2 y 3, y solo en el 1-circuito para k=1 tienes el ciclo trivial. Pero pensé que Steiner había generalizado para cualquier foma de ciclo, pero en realidad en uno solo de los posibles ciclos que se pueden hacer  con k y l  (en mi notacion serian q letras Q seguidas de w letras W). Pero como puede darse una gran cantidad de combinaciones de exponentes, y seguir teniendo el mismo lado izquierda de la ecuación me resultó llamativo, que se expusiera de esa manera, porque no quería decir que estaba mal, cuando yo en realidad era el que no veía lo que explicaban ...


Si entendí  bien en un ejemplo sencillo hay $$q=5$$ Q y tengo que agregar $$w=0.58 \cdot 5\cong3$$ W  entonces un ciclo puede hacerse como un 1-circuito por ejemplo QQQQQWWW , pero puedo hacer un 2-circuito así QQQQWQWW o QQWWQQQW ,  por poner dos ejemplos, siempre y cuando no sean uno rotación del otro... también 3-circuito QQWQWQQW, así hay muchas formas de ciclos  y todas tiene un distinto C, que es lo que llamo "polinomio" porque no se me ocurrió de otra manera...


Así que si ya comprobaron hasta $$k=q=91$$ , me  ahorra muchas horas PC sin sentido,  buscando posibles ciclos , no había pasado exhaustivamente de los k=25, el tema es que cuando k crece , aumentan las posibles formas de  ciclos donde  $$w\cong 0.58 q$$ aunque elimines todas las rotaciones.

[danizafa]

Ahora voy con la fórmula de Steiner. Utiliza esta versión de la función de Collatz:

\( T(n)=\begin{cases}{(3n+1)/2}&\text{si}& n\text{ impar}\\n/2 & \text{si}& n\text{ par}\end{cases} \)

Esa fórmula (la de Steiner) es la condición necesaria y suficiente para que exista un ciclo CIRCUITO (ojo no un ciclo cualquiera).

¿Qué es un ciclo circuito? Es:

- un ciclo, es decir que exista \( n \) tal que \( T^{p)}(n)=n \) para un número \( p \) de pasos: lo que todos entendemos por un ciclo, después de aplicar varias veces la iteración se vuelve al mismo número. 
- un circuito es que ese ciclo sea \( k \) veces seguidas creciente y luego decreciente y YA. Un "tramo" de subidas seguidas y otro de  bajadas seguidas y vuelve al inicial.

Entonces supongamos que existe tal ciclo-circuito que empieza en un impar \( n \):

1) Si partimos de un número impar \( n \) y aplicamos \( k \) veces la iteración impar que es la única que produce subida  (suponiendo que se puede) \( n\to (3n+1)/2\to (3(3n+1)/2+1)/2\to \ldots \) es fácil ver que se llega a :

\( m=\dfrac{3^k(n+1)}{2^k}-1 \).

2) Ahí se acabará la subida y luego vendrán \( l \) bajadas, que es ir dividiendo por dos. Se llega a:

\( m/2^l \)

que si queremos ciclo debe de coincidir con \( n \), \( m=2^l\cdot n \).

3) Nótese que para que haya \( k \) subidas seguidas y no más implica que \( n+1=2^k\cdot h \) con \( h \) impar. De manera que rescribimos:

\( m=\dfrac{3^k(n+1)}{2^k}-1=3^kh-1 \).

y \( m=2^l\cdot n \) queda:

\( 3^kh-1=2^l(2^k\cdot h-1) \)

es decir:

\( 2^l-1=(2^{k+l}-3^k)k \)

y esa es la fórmula de Steiner. Condición necesaria y suficiente para que no haya ciclo-circuito.

Más adelante prueba que la única solución de esa ecuación es \( h=k=l=1 \) y por tanto no hay otro ciclo-circuito que el \( 1-2-1 \).

Saludos.

Hola Luis, gracias por la aclaración de la prueba de Steiner. Ahora, si estoy entendiendo bien, el prueba efectivamente que no puede haber otro ciclo con la forma precisa de un circuito que consta de una cadena de ascensos impares, seguida de una cadena de descensos impares. Como dice Chamberland, Steiner probó que el ciclo trivial es la única solución a la ecuación diofántica que planteó, por lo tanto no existe otro ciclo con esta característica.

Ahora, lo que hacen Simon y de Wegner, no siguen ese mismo patrón. Aunque se plantee el hecho de que sean circuitos concatenados en el sentido del circuito de Steiner, es totalmente compatible con el análisis de concatenar cualquier iteración, forme una cadena creciente de impares o no. Es decir, no es restrictivo al hecho de que si un impar decrece sin formar una cadena creciente con otros impares queda invalidado en este análisis. Voy a escribir en los términos de Richard:

$$QQQWWWW-QQWWW-QQQWWW:$$ Esto sería tres circuitos por lo que entiendo.

$$QWW-QQQW-QWWW:$$ Pero esto también sería una concatenación de 3 circuitos.

Y si abrieramos $$Q$$, utilizando $$C(n)$$ en lugar de $$T(n)$$, expresando: $$Q=qw$$, veríamos:

$$qw-qw-qwWWWW-qw-qwWWW-qw-qw-qwWWW$$ en el primer ejemplo, y

$$qwWW-qw-qw-qwW-qwWWW$$ en el segundo.

si $$3^k$$ está dada por la cantidad de veces que $$n$$ es impar, siendo $$k$$ efectivamente el conteo de las $$Q$$, también $$k$$ está contando las cantidad de $$q$$ en el mapa clásico, y también las cantidad de $$w$$ que acompañan obligatoriamente a esas $$q$$.

Entonces, $$2^{k+l}$$ puede expresarse como $$2^k\times2^l$$:

Como $$k$$ es la cantidad de $$w$$ en $$C(n)$$, nos queda que $$l$$ es la cantidad de $$W$$ que escribimos en los ejemplos.

Y la ecuación de ciclo no varía para nada diferenciando un circuito que sea ascendente estrictamente, de uno que admita cualquier cadena, pero además, no podés contar la cantidad de circuitos como $$k$$ en el ejemplo uno, fijate que hay ocho $$Q$$, lo que iterando el mapa da una potencia $$3^8$$, pero si decidis que $$k$$ es la cantidad de circuitos entonces eso no queda reflejado en la ecuación. deberias en ese caso considerar $$k_1+k_2+k_3=3+2+3=8$$. De igual manera contarás las $$w=k$$ y por lo tanto $$l$$ igualmente refleja las $$W$$.

Espero que con esta forma se entienda.

EN definitiva, lo que vale es el equilibrio entre potencias de $$2$$ y potencias de $$3$$, y que permita que la órbita vuelva a su origen en $$k$$ pasos impares.

Corregime si me equivoco, pero yo no encuentro la diferencia o la ventaja de diferenciar circuitos, fuera de la prueba de Steiner, ya que pasa a ser irrelevante por el hecho de la concatenación, el análisis en definitiva queda igual.

[Granmurillo]

Si entendí  bien en un ejemplo sencillo hay $$q=5$$ Q y tengo que agregar $$w=0.58 \cdot 5\cong3$$ W  entonces un ciclo puede hacerse como un 1-circuito por ejemplo QQQQQWWW , pero puedo hacer un 2-circuito así QQQQWQWW o QQWWQQQW ,  por poner dos ejemplos, siempre y cuando no sean uno rotación del otro... también 3-circuito QQWQWQQW, así hay muchas formas de ciclos  y todas tiene un distinto C, que es lo que llamo "polinomio" porque no se me ocurrió de otra manera...

Pues Richard, de lo que te entiendo es que cuando indicas QQQWWW, con f(x)=3x+1/2 para impar y x/2 para par es decir la función simplificada, eso sería un ciclo. Un circuito es cuando f(x)=x en k+l iteraciones, el circuito {1,2} es el ciclo trivial y otro circuito sería un ciclo no trivial que son los que no existirían de acuerdo a la función de Chamberland. Y ahora dos circuitos concatenados pues ni siquiera llego a imaginar, si un circuito es como un círculo, 2 circuitos serían como en forma de un 8??

Los k-ciclos que los utilizan para las verificaciones hasta k<=91 son las que ya no tengo claro, si son utilizados como circuitos o como ciclos en dirección al circuito del ciclo trivial.

Si habría algo que corregir sería excelente para estar de acuerdo en esas definiciones.

A lo que quisiera llegar es que al utilizar la función reducida

\( f(x)=(3x+1)/2^k \)

aquí si hay un patrón bien definido y ya no se utilizarían las W para pares decrecientes sino para impares decrecientes, claro que esto ya se sale de la demostración de imposibilidad de ciclos no triviales y entra ya a la cota para toda órbita. Sobre esto si que no he encontrado nada de literatura al respecto.

[danizafa]

Si entendí  bien en un ejemplo sencillo hay $$q=5$$ Q y tengo que agregar $$w=0.58 \cdot 5\cong3$$ W  entonces un ciclo puede hacerse como un 1-circuito por ejemplo QQQQQWWW , pero puedo hacer un 2-circuito así QQQQWQWW o QQWWQQQW ,  por poner dos ejemplos, siempre y cuando no sean uno rotación del otro... también 3-circuito QQWQWQQW, así hay muchas formas de ciclos  y todas tiene un distinto C, que es lo que llamo "polinomio" porque no se me ocurrió de otra manera...

Pues Richard, de lo que te entiendo es que cuando indicas QQQWWW, con f(x)=3x+1/2 para impar y x/2 para par es decir la función simplificada, eso sería un ciclo. Un circuito es cuando f(x)=x en k+l iteraciones, el circuito {1,2} es el ciclo trivial y otro circuito sería un ciclo no trivial que son los que no existirían de acuerdo a la función de Chamberland. Y ahora dos circuitos concatenados pues ni siquiera llego a imaginar, si un circuito es como un círculo, 2 circuitos serían como en forma de un 8??

Los k-ciclos que los utilizan para las verificaciones hasta k<=91 son las que ya no tengo claro, si son utilizados como circuitos o como ciclos en dirección al circuito del ciclo trivial.

Si habría algo que corregir sería excelente para estar de acuerdo en esas definiciones.

A lo que quisiera llegar es que al utilizar la función reducida

\( f(x)=(3x+1)/2^k \)

aquí si hay un patrón bien definido y ya no se utilizarían las W para pares decrecientes sino para impares decrecientes, claro que esto ya se sale de la demostración de imposibilidad de ciclos no triviales y entra ya a la cota para toda órbita. Sobre esto si que no he encontrado nada de literatura al respecto.

Entre los 2 tendríamos que tener la mejor forma de entendernos, pues usamos la misma función... 

Uso $$T(n)$$ asi:

\[
T(n)=\frac{3n+1}{2^{k}}
\]

Pero cuando la aplicas sucesivamente:

\[
T^{(m)}(n)
=
\underbrace{T\circ T\circ \cdots \circ T}_{m\ \text{veces}}(n)
=
\underbrace{T\bigl(T(\cdots T}_{m\ \text{veces}}(n)\cdots)\bigr).
\]

Por ejemplo si iteramos 2 veces la reducida (yo le digo acelerada xD) queda esto:

\[
T^{(2)}(n)=\frac{3 \left(\frac{3n+1}{2^{k_0}}\right)+1}{2^{k_1}} = \frac{9n+3}{2^{k_0+k_1}}+ \frac{1}{2^{k_1}}=\frac{9n+3+1\times 2^{k_0}}{2^{k_0+k_1}}
\]

A $$k_0+k_1$$ es lo que llamo $$K_m$$, por eso

\[
K_m=\sum_{j=0}^{m-1} k_j
\]

Y llamo $$C_m$$ a $$3+1\times2^{k_0}$$. de modo que:

\[
C_m = \sum_{j=1}^{m} 3^{m-j} 2^{K_{j-1}}
\]

Mientras $$9n=3^m n$$

Por lo tanto, la función reducida acelerada queda como:

\[
T^{(m)}(n) = \frac{3^m n + C_m}{2^{K_m}}
\]

Espero que con esta aclaración me entiendas, y entiendas lo que quise decir antes si es que querés releer el hilo.

Desde acá, si existe un ciclo que en $$m$$ pasos da una vuelta completa, vas a tener:

\[
T^{(m)}(n_0)=\frac{3^m n_0 + C_m}{2^{K_m}}=n_0
\]

Cada elemento del ciclo que tomes como $$n_0$$, en $$m$$ pasos vuelve sobre sí mismo. Los $$C_m^{(i)}$$ que se acumulan para cada $$n_0^{(i)}$$ son distintos, pero siempre se cumple que

\[(2^{K_m}-3^m)n_0^{(i)}=C_m^{(i)}\]

Y bueno, perdón por asumir que lo que escribía se entendía. Quizás no seguías mi forma de escribir o expresarme, yo como me entiendo así tiendo a pensar que todo el mundo debe estar entendiendo lo que escribo, y probablemente no sea así. También me deje llevar un poco, al leer los "no.." o repetición de las definiciones y nombres, disculpas también por ello.

Espero que esta explicación te ayude a relacionar lo de los $$k-$$ciclos con la acelerada, porque es justamente lo que viste que se parece a lo de Steiner, aunque yo diría que es más a lo posterior a él.

[Luis Fuentes]

Hola

Condición necesaria y suficiente para que no haya ciclo-circuito.

Si es condición necesaria y suficiente por qué son necesarias verificaciones donde ya van por k<=91? Por qué no se la ha considerado como demostración para la inexistencia de ciclos no triviales?

Lo que prueba Stenier es la inexistencia de ciclos CIRCUITOS (no ciclo cualesquiera). Lo expliqué en mi anterior mensaje. Leelo con calma e indica que no entiendes. Estas son las definiciones de ciclo y circuito que maneja Steiner:

Ahora voy con la fórmula de Steiner. Utiliza esta versión de la función de Collatz:

\( T(n)=\begin{cases}{(3n+1)/2}&\text{si}& n\text{ impar}\\n/2 & \text{si}& n\text{ par}\end{cases} \)

Esa fórmula (la de Steiner) es la condición necesaria y suficiente para que exista un ciclo CIRCUITO (ojo no un ciclo cualquiera).

¿Qué es un ciclo circuito? Es:

- un ciclo, es decir que exista \( n \) tal que \( T^{p)}(n)=n \) para un número \( p \) de pasos: lo que todos entendemos por un ciclo, después de aplicar varias veces la iteración se vuelve al mismo número. 
- un circuito es que ese ciclo sea \( k \) veces seguidas creciente y luego decreciente y YA. Un "tramo" de subidas seguidas y otro de  bajadas seguidas y vuelve al inicial.

 Respecto a otras cosas que decís, no tengo tiempo para leerlas con calma. En general no me queda claro si:

1) discutís como debería de enfocarse o no una demostración.
2) o si alguno cree tener una demostración de verdad de algo.

 Lo primero me parece muy osado; es decir, afirmar categóricamente que una demostración debería de seguir tal o cuál idea y no esta otra, me parece que requiere un conocimiento muy profundo del problema y todos las investigaciones que hay sobre él hasta ahora.  A no ser que por en medio se diga algo objetivamente falso.

 Lo segundo ... ... también me parece muy osado; pero en ese caso lo mejor es escribir en otro hilo de manera limpia y autocontenida la supuesta demostración. Si es una prueba no de la conjetura, si no de algo parcial, dejar muy claro que se afirma que se está probando.

Saludos.

[Granmurillo]

En general no me queda claro si:

1) discutís como debería de enfocarse o no una demostración.
2) o si alguno cree tener una demostración de verdad de algo.

En resumen, lo que pasó fue que compartían esa estructura de QQQWWW y yo dije que se parecía a los ciclos que había utilizado Steiner respecto a la dirección de demostrar la inexistencia de los k-ciclos y que se había llegado hasta k<=91 y que me parecía que iban por el mismo camino así que subieron el paper de Chamberland con la fórmula y discutíamos las definiciones para ver las coincidencias y ya Richard dijo que sí parecía que era lo mismo y que le iba a ahorrar mucho tiempo. Es decir no hemos salido de las definiciones. 

[Granmurillo]

Encontré un video donde se explican gráficamente los ciclos

[Richard R Richard]

Pues Richard, de lo que te entiendo es que cuando indicas QQQWWW, con f(x)=3x+1/2 para impar y x/2 para par es decir la función simplificada, eso sería un ciclo. Un circuito es cuando f(x)=x en k+l iteraciones, el circuito {1,2} es el ciclo trivial y otro circuito sería un ciclo no trivial que son los que no existirían de acuerdo a la función de Chamberland.

Hola QW es el circuito trivial en variante 3,  Q aplicado al 1 te lleva al 2 y W aplicado al 2 te lleva al 1.

Y ahora dos circuitos concatenados pues ni siquiera llego a imaginar, si un circuito es como un círculo, 2 circuitos serían como en forma de un 8? ?

Como en variante 3 la de (3x+1)  solo hay un ciclo y es un 1-circuito no te lo puedo explicar con otro ejemplo  porque no se encontró.
Pero aplicando la misma lógica a la variante  5, es decir Q cuando es impares y aplicas $$(5x+1)/2$$ y W cuando es pat y aplicas $$x/2$$ , Puedes observar como ya dije que si empiezas en el 13 tienes el ciclo QQQWWWW que lleva al 13 de nuevo es un ciclo , es un 1-circuito porque asciende solo una vez y desciende una vez, y es no trivial porque no pasa por el 1.


Ahora obseva el ciclo del 17 que es QQWWQWW te lleva de nuevo al 17 , asi que es un ciclo, pero es un 2-circuito pues en nedio hay un impar menor a uno previo,o bien hay dos ascensos y dos descensos ,uno es QQWW y el otro QWW . Tambien como no pasa por el 1 es otro ciclo no trivial.
$$17 \to 86 \to 43 \to 216\to108\to54\to27\to136\to68\to34\to17$$
En version simplificada
$$\overbrace{17}^Q \to \overbrace{43}^Q\to \overbrace{108}^W\to\overbrace{54}^W\to\overbrace{27}^Q\to\overbrace{68}^W\to\overbrace{34}^W\to17$$

Los k-ciclos que los utilizan para las verificaciones hasta k<=91 son las que ya no tengo claro, si son utilizados como circuitos o como ciclos en dirección al circuito del ciclo trivial.

Los k-ciclos ahora entendidos como k-circuitos concatenados para formar un unico ciclo.Como se hallegado  hasta comprender que ni con 91 ascensos y descensos de las variadas formas que se puede lograr es un avance fascinante para no explorar camino ya trillado.

[Granmurillo]

Aquí es cuando decía que pensaba que habría que dejar de depender de k y l para avanzar en una posible solución, pues ponerse a analizar todo esto que ya está super revisado, como dices, para qué recorrer ese mismo camino.

[Richard R Richard]

como dices, para qué recorrer ese mismo camino.

Es que cada avance representa  eliminar un tipo en general de ecuaciones sobre posibles ciclos, que son muchas a la vez, y no puedes descartar a ninguna en particular con k mayor, y para los iniciados o principiantes, hacer un recorrido lógico aprendiendo a que te enfrentas me parece normal,  por lo visto el tema no se ha podido por ahora generalizar para todo  k y l, si no ya no hablaríamos mas de ciclos, pero reitero sirve para que sepamos que la vara ahora esta en 91,  no difiere conceptualmente sobre que sea 1000, solo es un límite empírico de  lo ya probado. Pero para nada es algo que excluya esta línea de pensamiento sobre una posible demostración de la existencia o no de ciclos no triviales. Solo esta diciendo que si vas a buscar un contraejemplo  ya no lo busques entre los ciclos de menos de 91 impares y nada te impide estudiar los casos mas sencillos, para luego profundizar.