[Richard R Richard]

Hola, RDC fíjate que cuando escribes


$$x^2=2\pm n$$


Si n=2 por poner ejemplo, entonces x=2 o x=0 con todos los decimales cero hasta el infinito tanto para n como para x, preguntate cuando dejas de aplicar tu algoritmo? En tu caso cuando ya tienes el resultado  2 o 0 , porqué no continuas aproximando? Porque finalizar el algoritmo  en un caso y en otro continuas?, pues no tienes forma de ver que siguen saliendo  ceros a derecha es decir cuándo el  2 o el 0 te parecen una buena aproximación ?  Quien puede afirmar que nunca saldrá un uno y no un cero en la sucesion por mas extraño que parezca pues eso le pides a la sucesión de la raiz de 2.

Porque si aplicas el mismo criterio cuando ya sabes que $$x=\sqrt2$$


$$(\sqrt2)^2=2\pm n $$ de lo que estoy seguro es que n=0 y puedo estarlo mientras evalúen con el mismo criterio con la misma cantidad de decimales para el caso n=2.

[Richard R Richard]

Pero para mi la cuestión está en confundir la expresión decimal del número, con el número en si.

Muy de acuerdo.


Si escribo números que son resultado  de una operación  1 o 1000004 no le exijo aproximación  infinita  con todos cero detrás de la coma.
Pero si escribimos
$$\sqrt2=1.41...$$ parece que si le tenemos que exigir todos los decimales, para satisfacer  a RDC
En mi opinión  hay una diferencia  de criteriio para escribir en cada caso.

$$\sqrt1 =1.0000000...$$
$$\sqrt{100000080000016}=10000004.000000...$$
Donde dejamos de aproximar?

Las cifras que no se escriben , no se escriben a causa de falta de tiempo o por carencia de utilidad pero no porque no sepamos cuáles son.

[RDC]

Hola Luís y Richard,

sí, en efecto, cualquier número decimal finito se puede representar como un racional con denominador $$10^n$$. Entiendo que eso se debe a que el número decimal es base 10, con lo cual si lo quisiéramos expresar en otras bases tendríamos otra expresión diferente, aunque equivalente; no?

De todos modos, sí que le veo mucha diferencia entre trabajar (y pensar) en racionales, que trabajar y pensar en decimales. Prefiero lo primero, porque, en general, me parece mucho más fácil de operar, de ser preciso y comprender lo que se hace, aunque con el decimal termina ayudándome a orientarme. Quizás por eso me parecen "cosas" distintas.

De hecho que en notación decimal muchos valores racionales adquieran  infinitos decimales periódicos , si no me equivoco, me parece un problema moderno, es decir, surge cuando se empieza a usar la notación decimal precisamente. Los griegos pitagóricos, por ejemplo, sólo empleaban la expresión racional (no tenían ni abecedario para números, con lo cual usaban letras, las cuales también representaban notas musicales al ser proporciones) y por tanto, parece ser que no conocían este problema. Como tampoco lo conocían los sumerios (ver la tableta sumerio Plimton 322). Supongo que por ello les chocó tanto encontrar los irracionales.

Pero entiendo que la notación decimal, a nosotros, nos da la impresión de expresar un valor de forma más comprensible, porque nuestros sistemas métricos són decimales (metros, kilos, etc). Por tanto, a raíz de esta forma de emplear las medidas, el hecho de decir que la altura de una pared es de "7/2 de metro" nos suena muy muy raro; en cambio decir  que es de 3 metros y 50 cm, ya tiene sentido. Con lo cual tendemos a pasarlo todo a decimal a lo bruto por comodidad cognitiva, aunque eso, en la mayoría de veces, implica manipular el racional. 

Pero, además, el sistema decimal parece darnos un sistema de referencias numérico muy claro que, no tenemos con los racionales. Me explico, es muy difícil alertar cómo números racionales aparentemente muy distintos, son decimalmente muy cercanos, al menos tomando la unidad como punto de referencia.

Por ejemplo, cuesta mucho alertar que el número \( \displaystyle\frac{19601}{13860} \) y el número \( \displaystyle\frac{665857}{470832} \) se puedan tomar como dos aproximaciones a \( \sqrt[ ]{2} \).

En cambio si decimos, el \( 1,414213564213564213564213... \) y el \( 1,4142135623746899106262955788111... \) se aprecia rápido que se pueden tomar sin problemas como dos aproximaciones a \( \sqrt[ ]{2} \). Y de hecho se pueden "unificar" tomando por valor 1,41421356 o bien \( \displaystyle\frac{141421356}{10^8} \)

En este sentido, cuando damos la serie:

\( \displaystyle\frac{37}{37}, \displaystyle\frac{3}{2},\displaystyle\frac{7}{5},\displaystyle\frac{17}{12},\displaystyle\frac{41}{29} \), cuesta mucho de imaginar que convergirá a un valor.

En cambio, tomando decimales y diciendo que:

\( 1,1.41235,1.416542,1.414652,1.4142545125,... \)

nos da la ilusión de que converge a algo concreto, aunque en verdad no sabemos a qué. Bueno, podemos decir a \( \sqrt[ ]{2} \).

En este sentido, entiendo que se enseñe el tradicional método de resolver raíces cuadras, que es lento, engorroso y con muchos pasos que no muestran mucho de la naturaleza de la raíz. Pero como nos da un resultado en decimal...

Un saludo.

[feriva]

Hola feriva de nuevo,


Hay algo curioso en esto de las raíces, y en concreto de \( \sqrt[ ]{2} \). No sé si también sucede con los trascendentales.

Hola, RDC. Está bien el método ése, probaré después con él a ver (con "papel y lápiz")

Los números trascendentes no son raíces de ningún polinomio con coeficientes enteros. Pero en algunos casos se pueden aproximar muy fácilmente con sólo dar valores naturales, como en el caso del número “e”, \( e=lim_{n\rightarrow\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} \).

La cuestión es que \( n\rightarrow\infty \); pero... ¿es ese “n” un número “puntual”? Si fuera así, ¿en qué punto estaría?

Si elegimos un “n” muy grande, ése no es el “n” adecuado para obtener “e”, no existe un “n” máximo, que sería el que nos daría “e” con “exactitud”. ¿Quién tiene la “culpa” de que “e” sea irracional entonces?

Podemos hallar “e” para un “n” muy grande (y digamos que ese “n” muy grande se llama “m”). No sabemos bien quién es “m”, lo hemos definido como “m” y es un natural único. Sí que sabemos, entonces, que existe “m+1” y que también es un natural único y distinto de "m". Por tanto, existe \( lim_{n\rightarrow\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n}\approx e \) para n=m+1.

Por Peano, y por cerradura y lo que sea necesario, existen también naturales únicos m+2, m+3... hasta que llega un momento en que el cardinal de varios de esos naturales se confunde con un valor infinito y ya da igual sumar 1; es el mismo “n”. Y ahí “e” ya es “e”, el único “e”. Si no fuera único, entonces implicaría que ese “n” tendente al infinito, que “rozaría” el infinito de lo numerable, sería distinto de n+1, n+2, n+3... los cuales harían que la función se acercará más a “e”, sin llegar, y que, por tanto, no existiera “e” de alguna manera. Pero eso no se considera así, simplemente, se considera que del cardinal infinito (numerable) no se pasa; por definición.

Viendo esto, un número irracional tendrá que ser tan único o poco único como el cardinal de los naturales. Si tu quieres considerar (para ti, para tus cosas) varios infinitos numerables distintos (unos más grandes que otros) pues bueno. Pero eso no va a ser muy útil.

...

Entiendo que en matemáticas uno puede zafarse de cosas como la paradoja EPR, las desigualdades de Bell y todo ese conocido asunto. La “luna” puede estar ahí cuando no miramos, puede tener una existencia y localización previa, porque hablamos de abstractos de nuestra mente, no de cosas atadas a las leyes del mundo físico y su empírica. Si obtenemos cinco decimales de “e” con la fórmula \( e=lim_{n\rightarrow\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} \), podemos decir que el sexto, aunque no lo hayamos calculado y no sepamos cuál es, tiene una existencia previa, sólo puede ser el que es. Así que lo mismo pasará con todos los siguientes, por mucho que no acaben. Eso nos lleva a decidir que “e” es único. O sea, que no haya un último decimal no quiere decir que los decimales no sean los que son, no quiere decir que el número no tenga entidad como tal (porque sí, porque lo decimos nosotros; y funciona bien para hacer muchas cosas con los números).

Saludos.

[RDC]

Hola feriva.

Hola feriva de nuevo,


Hay algo curioso en esto de las raíces, y en concreto de \( \sqrt[ ]{2} \). No sé si también sucede con los trascendentales.

Hola, RDC. Está bien el método ése, probaré después con él a ver (con "papel y lápiz")

Los números trascendentes no son raíces de ningún polinomio con coeficientes enteros. Pero en algunos casos se pueden aproximar muy fácilmente con sólo dar valores naturales, como en el caso del número “e”, \( e=lim_{n\rightarrow\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} \).

La cuestión es que \( n\rightarrow\infty \); pero... ¿es ese “n” un número “puntual”? Si fuera así, ¿en qué punto estaría?

Si elegimos un “n” muy grande, ése no es el “n” adecuado para obtener “e”, no existe un “n” máximo, que sería el que nos daría “e” con “exactitud”. ¿Quién tiene la “culpa” de que “e” sea irracional entonces?

Podemos hallar “e” para un “n” muy grande (y digamos que ese “n” muy grande se llama “m”). No sabemos bien quién es “m”, lo hemos definido como “m” y es un natural único. Sí que sabemos, entonces, que existe “m+1” y que también es un natural único y distinto de "m". Por tanto, existe \( lim_{n\rightarrow\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n}\approx e \) para n=m+1.

Al final, me temo, esto es lo que pasa siempre. Cuando propuse semanas atrás lo de "los números naturales tan grandes como queramos" pensaba un poco en los términos que dices. Y Luís comentaba que eso quizás eran otra cosa (similares a los irracionales), pero no eran naturales.  Ahora lo estoy reenfocando un poco, gracias a los comentarios de Luís, pero de momento no diré nada más al respecto. 

Lo que sí tengo claro es que los naturales son naturales, los racionales son racionales, que el infinito no es un número ni cantidad y que en este caso, el deseado valor de $$e$$ no lo dará ningún número racional y preciso $$n$$. En todo caso imaginamos que la serie converge en un hipotético valor $$e$$, pero que en realidad desconocemos; con lo cual solo podemos "visualizarlo aparentemente" mediante racionalizaciones, o ya luego expresiones decimales.  Pero esto ya lo he dicho antes.

El tema de la convergencia es interesante pare tratar este tema. Y curiosamente arithma compartió un texto del Parménides de Platón donde el griego lo trata de la siguiente forma:

Spoiler

El hilo es: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124783.20

EL fragmento se puede traducir mediante un ejemplo, como hace arithma, de este modo:

"Si alguien tenía 3 años de edad cuando yo tenía 2 años, la razón de nuestras edades era 3/2, ahora cuando ese alguien tiene 70 años de edad yo tendría 69, y la razón entre nuestras edades cambió a 70/69, mucho menor que la inicial, tiende a la Unidad."

Es evidente que en la medida que ambas edades crecen con el paso del tiempo su diferencia proporcional disminuye, con lo cual parece que la tendencia es que ambas edades converjan hasta sean proporcionalmente "iguales" en el infinito. Ahora bien, que converjan no significa que lo sean. Por eso se usa el concepto de converger y de límite. 

[cerrar]

Con los irracionales tenemos lo mismo. Por ejemplo con \( \sqrt[ ]{2}\longrightarrow{x^2-2=0} \). Aquí vamos buscando valores racionales para x con el fin de que \( x^2-2 \), pero como esto es imposible vamos aplicando "aproximaciones", hecho que conlleva iterar y la iteración nos lleva a la idea de límite y por tanto de converger.

Por tanto, mediante iteraciones buscamos una convergencia; que $$x^2$$ converja a 0, sabiendo que nunca va a ser 0 -por eso usamos el concepto de convergencia. Y me parece plausible y lógico pensar que algo converge a 0, si entendemos que converger a 0 SOLO significa que en cada iteración obtenemos un valor racional menor que el anterior, y nunca cero; nada más.

Por tanto, desde mi parecer, si  bien \( x^2-2 \) puede converger a 0 eso significa, más bien, que nunca podrá ser cero. SOLO podemos lograr que en cada iteración su valor racional sea menor que el anterior. Nada más.

Y cuando logramos,  mediante iteraciones, que el nuevo valor sea menor que el anterior, eso no significa que sea más próximo a 0, puesto que nunca se alcanzará 0.  Por tanto, pienso, es imposible demostrar que con cada iteración nos acerquemos más a un supuesto valor de \( \sqrt[ ]{2} \), porque cada vez nuestro error respecto ese supuesto valor se suponga menor.

Me explico, si comparamos 1 y 1.4142, es evidente que el primer valor es, RESPECTO al segundo, menos preciso. Con lo cual es posible calcular su error relativo. Ahora bien, respecto a un supuesto valor más allá de los racionales de \( \sqrt[ ]{2} \) ahí ya no podemos aplicar cálculo de errores y por tanto eso no tiene sentido.

   

Por Peano, y por cerradura y lo que sea necesario, existen también naturales únicos m+2, m+3... hasta que llega un momento en que el cardinal de varios de esos naturales se confunde con un valor infinito y ya da igual sumar 1; es el mismo “n”. Y ahí “e” ya es “e”, el único “e”. Si no fuera único, entonces implicaría que ese “n” tendente al infinito, que “rozaría” el infinito de lo numerable, sería distinto de n+1, n+2, n+3... los cuales harían que la función se acercará más a “e”, sin llegar, y que, por tanto, no existiera “e” de alguna manera. Pero eso no se considera así, simplemente, se considera que del cardinal infinito (numerable) no se pasa; por definición.

Viendo esto, un número irracional tendrá que ser tan único o poco único como el cardinal de los naturales. Si tu quieres considerar (para ti, para tus cosas) varios infinitos numerables distintos (unos más grandes que otros) pues bueno. Pero eso no va a ser muy útil.

...

Entiendo que en matemáticas uno puede zafarse de cosas como la paradoja EPR, las desigualdades de Bell y todo ese conocido asunto. La “luna” puede estar ahí cuando no miramos, puede tener una existencia y localización previa, porque hablamos de abstractos de nuestra mente, no de cosas atadas a las leyes del mundo físico y su empírica. Si obtenemos cinco decimales de “e” con la fórmula \( e=lim_{n\rightarrow\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} \), podemos decir que el sexto, aunque no lo hayamos calculado y no sepamos cuál es, tiene una existencia previa, sólo puede ser el que es. Así que lo mismo pasará con todos los siguientes, por mucho que no acaben. Eso nos lleva a decidir que “e” es único. O sea, que no haya un último decimal no quiere decir que los decimales no sean los que son, no quiere decir que el número no tenga entidad como tal (porque sí, porque lo decimos nosotros; y funciona bien para hacer muchas cosas con los números).

Saludos.

Lo azul lo veo distinto. A ver qué te parece...

No veo que tengamos infinitos decimales en la "nube", por así decirlo. Infinito no es una cantidad. Lo que tenemos es una afirmación, acaso \( x^2-2=0\rightarrow{a^2-2b^2=0} \) que no tiene solución, pero que si la cambiamos por esta otra similar:

\( a^2-2b2=\pm{q} \), con "q" ciertos valores muy característicos, por ejemplo el 1, entonces mediante iteración obtenemos una secuencia determinada de valores racionales que se puede iterar indefinidamente; pues no hay solución final.

Y lo que caracteriza a semejante secuencia es que el intervalo entre dos valores racionales cada vez es menor que el intervalo anterior, en vez de explotar o seguir otro comportamiento. Esto nos ha llevado a interpretar, pienso que erróneamente, que si cada intervalo es menor que el anterior eso significaría que cada vez nos acercamos más a o, y por ello a un final. Pero entiendo, igual me equivoco, que converger a 0 no significa en el fondo esto; sólo significa que cada iteración da un intervalo menor que el anterior. Nada más.

por tanto, si entendemos que esos intervalos sólo convergen a 0 en el sentido que cada uno es menor que el anterior, y nada más, entonces entendemos, pienso, que con ningún intervalo estaremos jamás más cerca de llegar al supuesto final: hallar el intervalo de valor 0 y por tanto el supuesto valor exacto de \( \sqrt[ ]{2} \).

En este sentido, pues, pienso que SOLO se puede decir "que con cada iteración se converge hacia un valor" cuando tomamos por referencia a los intervalos anteriores. Y por consiguiente, respecto a un hipotético valor absoluto y exacto que nos aguarda en el más etéreo infinito no se puede decir nada, más allá de que siempre tendremos una iteración que nos dará un intervalo mayor que 0.

 un saludo

[Richard R Richard]

Esto nos ha llevado a interpretar, pienso que erróneamente, que si cada intervalo es menor que el anterior eso significaría que cada vez nos acercamos más a o, y por ello a un final. Pero entiendo, igual me equivoco, que converger a 0 no significa en el fondo esto; sólo significa que cada iteración da un intervalo menor que el anterior. Nada más.

No es ni equivocado,  ni  es nada mas, si tu al valor obtenido con cada iteración lo elevas al cuadrado y calculas la diferencia con el 2 verás que con cada iteración te acercas a la solución $$x^2-2=0$$ si eso no diverge entonces es decir el error se reduce en cada iteración llegarás al resultado que buscas, con mayor o menor esfuerzo, entiendo que tu dices nunca llegaré a evaluar las infinitas iteraciones para estar lo suficientemente seguro que todos los decimales son los correctos , no significa que la forma de buscar la exactitud sea equivocada y que la ordenación de números obtenidos no represente al valor número de $$\sqrt2$$

Pero te reitero mi crítica si escribo "1," luego un millón de ceros y  luego otro "1" , ya eso no es un 1  , pero si yo quiero usar igualmente eso como regla para medir la distancia a la galaxia mas lejana en longitudes de Planck como unidad $$\cong 10^{-34}m$$ , ni siquiera habré de tener error los primeros 100 dígitos, nil ni cien mil digitos, así que ese número me vale lo mismo que el 1 a secas para regla,  del mismo modo entonces el primer millón de dígitos de $$\sqrt2$$ te vale para cualquier cálculo o medición que quieras hacer ,el resto es anecdótico , aun así puedes calcular trillones de dígitos con un pc común en un tiempo no muy extenso, que igual no es una buena aproximación? para que no es una buena aproximación , en que cálculo se necesita la exactitud, si lo que estás haciendo es un cálculo algebraico, usar la expresión reducida $$\sqrt2$$ te puede valer de simplificación y talvez nunca necesites  usar su valor exacto para nada.

Lo que sí tengo claro es que los naturales son naturales, los racionales son racionales, que el infinito no es un número ni cantidad y que en este caso, el deseado valor de $$e$$ no lo dará ningún número racional y preciso $$n$$. En todo caso imaginamos que la serie converge en un hipotético valor $$e$$, pero que en realidad desconocemos; con lo cual solo podemos "visualizarlo aparentemente" mediante racionalizaciones, o ya luego expresiones decimales.  Pero esto ya lo he dicho antes.

Que opinas de esto entonces

\( e=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \)

Acaso eso no es la suma de infinitos términos de números racionales convergiendo hacia un irracional, y que por supuesto conocemos cualquier término de la serie por lo que para cualquier $$n$$ podemos conocer el valor del sumatorio , luego tener un algoritmo eficaz para calcular todos los decimales de $$e$$ que necesites con un error menor aún al que te puedas imaginar, de nuevo dices que no conocemos o  sabemos cuánto vale $$e$$ no te entiendo, puesto que a la vez conocemos mas dígitos de los que son necesarios para cualquier operación matemática útil  claro en matemáticas , física o ingeniería.

Si quiero usar $$e$$ algebraicamente, lo uso aplicando sus propiedades como número único y no por la cantidad de decimales que tengo para expresarlo que es anecdótica.

[feriva]

Hola feriva.

Hola feriva de nuevo,


Hay algo curioso en esto de las raíces, y en concreto de \( \sqrt[ ]{2} \). No sé si también sucede con los trascendentales.

Hola, RDC. Está bien el método ése, probaré después con él a ver (con "papel y lápiz")

Los números trascendentes no son raíces de ningún polinomio con coeficientes enteros. Pero en algunos casos se pueden aproximar muy fácilmente con sólo dar valores naturales, como en el caso del número “e”, \( e=lim_{n\rightarrow\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} \).

La cuestión es que \( n\rightarrow\infty \); pero... ¿es ese “n” un número “puntual”? Si fuera así, ¿en qué punto estaría?

Si elegimos un “n” muy grande, ése no es el “n” adecuado para obtener “e”, no existe un “n” máximo, que sería el que nos daría “e” con “exactitud”. ¿Quién tiene la “culpa” de que “e” sea irracional entonces?

Podemos hallar “e” para un “n” muy grande (y digamos que ese “n” muy grande se llama “m”). No sabemos bien quién es “m”, lo hemos definido como “m” y es un natural único. Sí que sabemos, entonces, que existe “m+1” y que también es un natural único y distinto de "m". Por tanto, existe \( lim_{n\rightarrow\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n}\approx e \) para n=m+1.

Al final, me temo, esto es lo que pasa siempre. Cuando propuse semanas atrás lo de "los números naturales tan grandes como queramos" pensaba un poco en los términos que dices. Y Luís comentaba que eso quizás eran otra cosa (similares a los irracionales), pero no eran naturales.  Ahora lo estoy reenfocando un poco, gracias a los comentarios de Luís, pero de momento no diré nada más al respecto. 

Lo que sí tengo claro es que los naturales son naturales, los racionales son racionales, que el infinito no es un número ni cantidad y que en este caso, el deseado valor de $$e$$ no lo dará ningún número racional y preciso $$n$$. En todo caso imaginamos que la serie converge en un hipotético valor $$e$$, pero que en realidad desconocemos; con lo cual solo podemos "visualizarlo aparentemente" mediante racionalizaciones, o ya luego expresiones decimales.  Pero esto ya lo he dicho antes.

El tema de la convergencia es interesante pare tratar este tema. Y curiosamente arithma compartió un texto del Parménides de Platón donde el griego lo trata de la siguiente forma:

Spoiler

El hilo es: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124783.20

EL fragmento se puede traducir mediante un ejemplo, como hace arithma, de este modo:

"Si alguien tenía 3 años de edad cuando yo tenía 2 años, la razón de nuestras edades era 3/2, ahora cuando ese alguien tiene 70 años de edad yo tendría 69, y la razón entre nuestras edades cambió a 70/69, mucho menor que la inicial, tiende a la Unidad."

Es evidente que en la medida que ambas edades crecen con el paso del tiempo su diferencia proporcional disminuye, con lo cual parece que la tendencia es que ambas edades converjan hasta sean proporcionalmente "iguales" en el infinito. Ahora bien, que converjan no significa que lo sean. Por eso se usa el concepto de converger y de límite. 

[cerrar]

...

Claro, pero eso depende, eso tiene dos caras.

Por ejemplo la cantidad de primos que hay hasta 100 es 25. Con la función “pi” contadora de primos, tenemos que nos da una aproximación de la cantidad de primos siempre menor que la real; en este caso \( \dfrac{100}{log(100)}=21,7... \).

Es decir, la razón es 0,86... y la diferencia de primos entre los que de verdad hay y los que da la función “pi” es 3,85...

Si ahora consideramos la cantidad de primos hasta 10000, la real es 1229 primos, y la función “pi” da 1085,73... primos.

Así, ahora, la razón se acerca más 1, es 0,88... pero la diferencia de primos entre los que hay de verdad y los que da la función es mucho mayor que antes, 143,26...

Esto quiere decir que en el infinito, cuando el número es muy grande, pese a que la razón es 1, las cantidades de primos no son ni mucho menos iguales; es más, la diferencia de primos tiende a infinito.

Significa que la unidad se queda pequeña por comparación.

...

No sé desde hace cuánto lees el foro, pero en él he comentado varias veces una teoría física mía (que registré allá por el año 2000, puse por ahí los papeles y todo, no me acuerdo dónde) en la que espacio y materia se expanden por igual, los observadores también se expanden. Y, de esta manera, no se nota nada, las distancias cambian en el tiempo (respecto del tiempo pasado) pero siempre se miden igual, constantes, con el mismo valor, pues las propias herramientas de medida se expanden.

En matemáticas se podría pensar igual, pero con eso no se puede hacer nada; ¿cuál sería la unidad mínima? Sería el cero, pero el cero sumado muchas veces es invariante, no crearía espacio ni nada. Y además, la unidad para medir el propio tiempo, cambiaría con el tiempo.

Por tanto, la mejor manera de considerar las cosas es como ya están consideradas por los matemáticos, otra forma de verlo, como la que digo, puede ajustarse muy bien a lo que puede ser el mundo, el espacio, la materia... pero con ello no podemos calcular nada, ahí se queda, en la idea.

En mi opinión, fuera de la física, de la filosofía, etc., a la matemática no hay que darle muchas vueltas, no se llega a ningún sitio en cuanto a aspectos axiomáticos y metódicos. Yo, cuando tengo dudas, digo algo para ver si está bien; y entonces me corrigen lo que sea y así aprendo la definición o definiciones que no sabía. Y todo funciona bien a la hora de hacer cuentas, medir, estimar... Se llega hasta donde se puede llegar, hasta donde se pueden comparar los números y las cosas. A partir de ese punto ya vienen aspectos de física teórica o de filosofía o de lo que sea, pero son aparte.

Saludos.

[RDC]

Hola Richard

Esto nos ha llevado a interpretar, pienso que erróneamente, que si cada intervalo es menor que el anterior eso significaría que cada vez nos acercamos más a o, y por ello a un final. Pero entiendo, igual me equivoco, que converger a 0 no significa en el fondo esto; sólo significa que cada iteración da un intervalo menor que el anterior. Nada más.

No es ni equivocado,  ni  es nada mas, si tu al valor obtenido con cada iteración lo elevas al cuadrado y calculas la diferencia con el 2 verás que con cada iteración te acercas a la solución $$x^2-2=0$$ si eso no diverge entonces es decir el error se reduce en cada iteración llegarás al resultado que buscas, con mayor o menor esfuerzo, entiendo que tu dices nunca llegaré a evaluar las infinitas iteraciones para estar lo suficientemente seguro que todos los decimales son los correctos , no significa que la forma de buscar la exactitud sea equivocada y que la ordenación de números obtenidos no represente al valor número de $$\sqrt2$$

Este es el punto que he comentado.

Cuando vamos iterando \( x^2-2=\pm{q} \) y $$q$$ se hace cada vez menor y menor, ciertamente podemos afirmar que $$q$$ converge a 0. Pero que converja a 0 significa, precisamente, que nunca será o. Aquí podemos apelar al ejemplo expuesto por feriva:

-que en la medida que cogemos intervalos de naturales cada vez más grandes nuestra función de distribución de primos y la cantidad real de primos convergen a 1. Ahora bien, eso no significa que en el infinito esa función termine dándonos precisamente la misma cantidad de primos que existen. Sin embargo, me parece que cuando se trata a los irracionales se toma la convergencia en este sentido. ¿O me equivoco?

En cualquier caso, comentaba es que la convergencia toma sentido, no de forma absoluta, sino de forma RELATIVA. Si vemos que $$q$$ converge a 0 es porque vemos que $$q_1<q_2<q_3...<q_n$$, no porque estemos REALMENTE más cerca de 0.

Imaginemos que andamos por un camino interminable y, además, sin un destino final concreto; y cada día recorremos 1000 pasos. Y nos lo apuntamos en una libreta. Con ello sabemos que des del día inicial hemos recorrido  n·1000 pasos, y además podemos inferir e imaginar que estamos siguiendo una hipotética dirección al tomar por referencia el punto de partida y el lugar donde terminamos cada jornada. ¿Es cierto afirmar, entonces, que cada día nos falta menos para llegar a un destino al que creemos que nos dirigimos por lo que llevamos recorrido?

Pienso que continuamos estando tan lejos del final como el primer día, aunque por el hecho de haber andado un porrón de días nos parezca haber caminado mucho trecho. E inferir un destino concreto a partir de lo que hemos recorrido, me parece otra ilusión. 

Pero te reitero mi crítica si escribo "1," luego un millón de ceros y  luego otro "1" , ya eso no es un 1  , pero si yo quiero usar igualmente eso como regla para medir la distancia a la galaxia mas lejana en longitudes de Planck como unidad $$\cong 10^{-34}m$$ , ni siquiera habré de tener error los primeros 100 dígitos, nil ni cien mil digitos, así que ese número me vale lo mismo que el 1 a secas para regla,  del mismo modo entonces el primer millón de dígitos de $$\sqrt2$$ te vale para cualquier cálculo o medición que quieras hacer ,el resto es anecdótico , aun así puedes calcular trillones de dígitos con un pc común en un tiempo no muy extenso, que igual no es una buena aproximación? para que no es una buena aproximación , en que cálculo se necesita la exactitud, si lo que estás haciendo es un cálculo algebraico, usar la expresión reducida $$\sqrt2$$ te puede valer de simplificación y talvez nunca necesites  usar su valor exacto para nada.

No entiendo muy bien este punto. En efecto, siempre podemos aproximar para acomodar los cálculos. Por ejemplo si tenemos 71/2, en muchas circunstancias prácticas lo convertimos en 70/2 o 72/2, simplificamos y lo usamos.

Lo que sí tengo claro es que los naturales son naturales, los racionales son racionales, que el infinito no es un número ni cantidad y que en este caso, el deseado valor de $$e$$ no lo dará ningún número racional y preciso $$n$$. En todo caso imaginamos que la serie converge en un hipotético valor $$e$$, pero que en realidad desconocemos; con lo cual solo podemos "visualizarlo aparentemente" mediante racionalizaciones, o ya luego expresiones decimales.  Pero esto ya lo he dicho antes.

Que opinas de esto entonces

\( e=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \)

Acaso eso no es la suma de infinitos términos de números racionales convergiendo hacia un irracional, y que por supuesto conocemos cualquier término de la serie por lo que para cualquier $$n$$ podemos conocer el valor del sumatorio , luego tener un algoritmo eficaz para calcular todos los decimales de $$e$$ que necesites con un error menor aún al que te puedas imaginar, de nuevo dices que no conocemos o  sabemos cuánto vale $$e$$ no te entiendo, puesto que a la vez conocemos mas dígitos de los que son necesarios para cualquier operación matemática útil  claro en matemáticas , física o ingeniería.

Insisto, entiendo que infinito no es un número, ni una cantidad, sino lo idea de que no se termina nunca. Por tanto cuando tienes una serie de términos que se van sumando de forma indefinida, pues entiendo que sucede lo mismo que en el ejemplo del camino.

Si quiero usar $$e$$ algebraicamente, lo uso aplicando sus propiedades como número único y no por la cantidad de decimales que tengo para expresarlo que es anecdótica.

Imaginemos que existe el número:

\( 2x-2x^2=1 \), y llamamos a tal número \( 2x=2\otimes{z} \).

No sabemos su valor, pero sabemos que:

0)\( 2\otimes{z}-(2\otimes{z})^2=1 \) Con lo cual se demuestra que no puede ser racional.

1) \( 7(2\otimes{z})+1-\sqrt[ ]{2}=m=1+(2\otimes{z})7-\sqrt[ ]{2} \), y consideramos $$m$$ también un hipotético número concreto, con lo cual cumple la regla de la suma y multiplicación.

2) \( 2\otimes{z}·2\otimes{z}=2(2\otimes{z}) \)

3) \( 2\otimes{z}-(2\otimes{z})^2+1=1 \). Entonces $$x=1\longrightarrow{2x=2}$$

Por tanto, podemos afrmar que este número existe y es aquel que al sumarle 1 a la resta de él con su cuadrado da 1.

¿Qué hay de verdad en todas estas definiciones? Obviamente las podemos usar, y de hecho podemos decir que hemos hallado un nuevo real irracional. Pero, ¿no es eso un mero juego de símbolos sin sentido porque \( 2\otimes{z} \) es un símbolo operacional sin realmente un valor?

un saludo

[RDC]

Hola feriva.


No sé desde hace cuánto lees el foro, pero en él he comentado varias veces una teoría física mía (que registré allá por el año 2000, puse por ahí los papeles y todo, no me acuerdo dónde) en la que espacio y materia se expanden por igual, los observadores también se expanden. Y, de esta manera, no se nota nada, las distancias cambian en el tiempo (respecto del tiempo pasado) pero siempre se miden igual, constantes, con el mismo valor, pues las propias herramientas de medida se expanden.

Esta propuesta me recuerda algo a lo de los ciclos conformados de Roger Penrose, según el cual en cada eon el espaciotiempo pierde la métrica con lo cual es incapaz de reconocer el momento y la posición y actua como una especie de reset cosmológico.

Interesante.

En matemáticas se podría pensar igual, pero con eso no se puede hacer nada; ¿cuál sería la unidad mínima? Sería el cero, pero el cero sumado muchas veces es invariante, no crearía espacio ni nada. Y además, la unidad para medir el propio tiempo, cambiaría con el tiempo.

Por qué el cero es la unidad mínima? El cero sólo indica que dos cosas iguales cuando se restan no dan ningún valor, porque son lo que es igual a sí mismo no es otra cosa. \( x=x\longrightarrow{x-x=0} \)

Por eso lo usamos para decir que no hay distancia, y por tanto no tenemos dos puntos, sino uno solo, $$x$$. y lo grande y lo pequeño, lo que está lejos y cerca son valores relativos, no absolutos; por tanto buscar una unidad universal como el elemento más pequeño no me parece que tenga mucho sentido en matemáticas. En el mundo físico... mmm en el mundo físico no existen entidades, todo es fluir y cambiar permanente; pero imaginamos que este fluir y cambiar está hecho de entidades que se mueven y cambian para poder crear escenarios comprensibles para inteligencias como las nuestras. 
 

Por tanto, la mejor manera de considerar las cosas es como ya están consideradas por los matemáticos, otra forma de verlo, como la que digo, puede ajustarse muy bien a lo que puede ser el mundo, el espacio, la materia... pero con ello no podemos calcular nada, ahí se queda, en la idea.

En mi opinión, fuera de la física, de la filosofía, etc., a la matemática no hay que darle muchas vueltas, no se llega a ningún sitio en cuanto a aspectos axiomáticos y metódicos. Yo, cuando tengo dudas, digo algo para ver si está bien; y entonces me corrigen lo que sea y así aprendo la definición o definiciones que no sabía. Y todo funciona bien a la hora de hacer cuentas, medir, estimar... Se llega hasta donde se puede llegar, hasta donde se pueden comparar los números y las cosas. A partir de ese punto ya vienen aspectos de física teórica o de filosofía o de lo que sea, pero son aparte.

Saludos.

Lo tendré en cuenta feriva.

un saludo



 

[Richard R Richard]

Hola como va ,RDC

Cuando vamos iterando \( x^2-2=\pm{q} \) y $$q$$ se hace cada vez menor y menor, ciertamente podemos afirmar que $$q$$ converge a 0. Pero que converja a 0 significa, precisamente, que nunca será o. .... ¿O me equivoco?

A lo que te respondo, cuanto es cero?  cero es lo que sigue? "0" o es esto que sigue" 0.0000000000000000000000000...." cuantos ceros tengo que escribirte para convencerte de que cero es cero... para lo cual te digo cuantos digitos tengo que escribir para convencerte que "1.4142..." es la raíz cuadrada de 2 que la podemos resumir notacionalmente como tu lo haces con el cero escribiendo "0" a secas, y yo te escribo "$$\sqrt2$$"  , si al cero le quiero poner precisión de mil dígitos pues será "0," mas mil dígitos cero, y la precisión de la raíz será "1," y 1000 dígitos sacados de un algoritmo. Pero tu me dices que  el cero  representa al cero sin saber que hay mas allá de esos mil ceros o del primero de ellos, pero no le aplicas el mismo criterio a los dígitos mas allá de 1000 de la raíz, (yo creo que porque como presupones no son cero los dígitos que continúan en el número  entonces acarrean un error mayor y no te parecen correctos)  pero si avanzo en el cálculo del error cometido verás que en ambos casos está acotado al mismo valor, " en la última cifra".

En cualquier caso, comentaba es que la convergencia toma sentido, no de forma absoluta, sino de forma RELATIVA. Si vemos que $$q$$ converge a 0 es porque vemos que $$q_1<q_2<q_3...<q_n$$, no porque estemos REALMENTE más cerca de 0.

Aver que si entiendo tu idea de fondo entonces hay una errata de tipeo, dime te he entendido bien, quieres decirme...

En cualquier caso, comentaba es que la convergencia toma sentido, no de forma absoluta, sino de forma RELATIVA. Si vemos que $$q$$ converge a 0 es porque vemos que $$q_1>q_2>q_3...>q_n$$, no porque estemos REALMENTE más cerca de 0.

Define que quieres decir con cerca, ? yo lo entiendo como la diferencia ente el valor calculado en la serie en  la iteración n  y el valor teorico a obtener  digamos  que escribo 1.414 para n=3 el siguiente valor es 2 por lo que el error que cometo esta acotado en 0.0002 y 0.0003 , si lo hago para n=8 que tambien tiene como siguiente valor al 2 el error que cometo ahora esta acotado en 0.000000002 y 0.000000003 , la distancia al valor real desde 1.414 es 0.0001 como máximo y es 100000 veces mayor a la  máxima distancia que hay partiendo desde 1,41421356  hasta el valor real. Entonces n=8 esta mas cerca que n=3  sin importar a que valor de n tengas que llegar posteriormente para obtener el valor real.

me parece otra ilusión. 

Que nunca puedas llegar no significa que no estés más cerca, un ejemplo diferente, pero ilustrativo, imagina una trayectoria elíptica de un objeto orbitando a otro que está en el foco de la elipse,  habrá un lugar donde esté más cerca(la distancia mas corta) aunque no lo pueda nunca alcanzar, pero no por ello nos vamos a privar de decir que está más cerca cuando se ubica sobre el periastro.

Puedes decir que siempre te acercas pero cada vez mas lento o a menos tasa ,produciendo el efecto de nunca alcanzar, pero eso no significa que no estés mas cerca.

simplificamos y lo usamos.

Exactamente, aplicado a este problema $$\sqrt2-\sqrt2=0$$, simplificamos y lo usamos.

Insisto, entiendo que infinito no es un número, ni una cantidad, sino lo idea de que no se termina nunca. Por tanto cuando tienes una serie de términos que se van sumando de forma indefinida, pues entiendo que sucede lo mismo que en el ejemplo del camino.

Si sucede lo mismo que en el camino, entonces te sigues acercando, nunca terminas, y si truncas el camino tienes un error, que es lo que nos quieres imponer con $$\pm z$$ pero si entiendes que con la notación $$\sqrt2$$ ya viene con todos los decimales cargados indefinidamente , entonces tienes que entender que   $$\sqrt2-\sqrt2=0.00000....=0$$ todos los decimales de cero serán cero osea $$z=0$$

Imaginemos que existe el número:

\( 2x-2x^2=1 \), y llamamos a tal número \( 2x=2\otimes{z} \).

No sabemos su valor, pero sabemos que:

0)\( 2\otimes{z}-(2\otimes{z})^2=1 \) Con lo cual se demuestra que no puede ser racional.

1) \( 7(2\otimes{z})+1-\sqrt[ ]{2}=m=1+(2\otimes{z})7-\sqrt[ ]{2} \), y consideramos $$m$$ también un hipotético número concreto, con lo cual cumple la regla de la suma y multiplicación.

2) \( 2\otimes{z}·2\otimes{z}=2(2\otimes{z}) \)

3) \( 2\otimes{z}-(2\otimes{z})^2+1=1 \). Entonces $$x=1\longrightarrow{2x=2}$$

Por tanto, podemos afrmar que este número existe y es aquel que al sumarle 1 a la resta de él con su cuadrado da 1.

¿Qué hay de verdad en todas estas definiciones? Obviamente las podemos usar, y de hecho podemos decir que hemos hallado un nuevo real irracional. Pero, ¿no es eso un mero juego de símbolos sin sentido porque \( 2\otimes{z} \) es un símbolo operacional sin realmente un valor?

un saludo

La verdad no te he entendido bien, si es que había una analogía , me parece que hay otro gazapo , si tengo\( 2x-2x^2=1 \) entonces $$x$$ es un número complejo, y estamos hablando de otra cosa no de irracionales.

Por otro lado me parece que aquí hay otro error


si \( 2x-2x^2=1 \), y llamamos a tal número \( 2x=2\otimes{z} \).
entonces

$$2x^2\neq (2\otimes{z})^2$$  . indicame si hay tal gazapo o no soy capaz de interpretarte.

para mi

$$2x^2= (2\otimes{z}^2)$$ que es diferente interpretación  me parece tener cierto sentido


Saludos