Hola
Pero, ¿Dedekind no está trabajando sólo con racionales? ¿Los intervalos que emplea para generar sus cortaduras acaso no son subconjuntos de racionales?
Si. Si uno no ha definido los irracionales y sólo trabaja con racionales, pues en
ese contexto un intervalo sólo contendrá racionales.
Lo que comento es que definir a un irracional como la intersección vacía entre dos subconjuntos de racionales tales que su unión nos da el propio conjunto de racionales, bueno es una opción interpretativa. Pero clara no es.
No entro en eso. Lo que es irrefutable es que funciona, es decir permite definir los números irracionales de manera que no dan lugar a ninguna contradicción, generaliza las operaciones que hacemos con los racionales de manera coherente y es funcional, ha permitido desarrollar las matemáticas.
Entre racionales hay distancias; mientras que no está nada claro que haya distancias entre racionales e irracionales, o entre irracionales mismos. Me explico:
Dado un racional, acaso $$2/3$$, obviamente resulta absurdo preguntar a lo bruto cuál es el siguiente racional. Pero lo que sí tiene sentido es buscar el racional que esta a una distancia $$x$$ de $$2/3$$:
$$\displaystyle\frac{2}{3}+x=\displaystyle\frac{a}{b}$$
Dado que una distancia es, por definición, algo que se puede dividir indefinidamente, entonces, no tiene sentido imaginar o hablar "del racional inmediatamente posterior a \( \displaystyle\frac{2}{3} \)".
De acuerdo.
En realidad, si no tiene sentido se debe, pienso, a que los racionales son puntuales y como tales cumplen el principio de transitividad: un racional como \( \displaystyle\frac{2}{3} \) es distingible perfectamente de otro diferente, y ello implica que entre ambos haya algo que no sea ni el propio \( \displaystyle\frac{2}{3} \) ni el otro racional. Este "algo" en realidad es una distancia (la idea potencial de poder dividir algo tanto como queramos), que se concibe como una infinidad de racionales.
Veo a que a ti mismo si te permites hablar de infinidad.
Por eso hay algo de absurdo en considerar que más allá de aquello que se puede dividir indefinidamente haya un punto indivisible y atómico muy peculiar: el irracional.
No; matemáticamente no hay nada absurdo. Quiero decir la teoría funciona, no tiene fisuras lógicas troncales.
Conceptualmente es el mismo problema que tiene el idealismo filosófico, porque se tomó de allí.
En filosofías no entro.
No hay infinitos racionales, pues el infinito no es una cantidad.
Hay es indiferente que consideres o no el infinito no es una cantidad. El sentido de infinito ahí es no finito; es decir no hay un número finito de racionales entre dos racionales. Eso se demuestra trivialmente: si suponemos que hay \( n \) racionales, vemos que siempre puede construirse al menos uno más.
La idea es que podemos dividir la distancia entre dos racionales tanto como queramos que jamás alcanzaremos un punto final. Por eso choca la idea de Dedekind de concebir el irracional como un punto que se encuentra dividiendo la distancia entre racionales tanto como queramos.
Para mi no choca nada. Y más allá de los "para mi" y "para ti", la construcción moderna de los irracionales funciona.
Reconozco que me has hecho reír con este comentario 
De todos modos no pienso que estuviera haciendo esto que dices.
Quitando lo de la metáfora, lo otro TAL CUÁL lo que has hecho. Dime si cuál de las cosas que afirmo aquí que has hecho aquí es falsa:
"Salvo en un momento dado RDC que se inventó una nueva definición de \( \sqrt{2} \), una nueva definición de restar y una nueva definición de igual (todas con bastantes lagunas, por cierto) para forzar que pueda darse una igualdad distinta de cero."La cuestión es que atribuir un valor puntual y concreto a los irracionales parece ser una suposición imaginaria nuestra, fruto de nuestros hábitos de pensamiento. Pero no está nada claro.
Subjetividades. A lo mejor a Fulanito le parece que considerar racionales o números negativos también es una suposición imaginaria nuestra. No entro en esas filosofías.
De nuevo vuelvo a lo mismo: se hace una construcción de los irracionales que funciona.
Lo único que está claro es que los racionales son puntuales, por propia definición de racional: estar en relación a la unidad.
A mi esto no me dice nada. Pero volvería a ser una subjetividad.
Los irracionales son expresiones, operaciones, ecuaciones que resultan absurdas y paradójicas para todo lo racional:
No hay ninguna paradoja en el manejo de los irracionales.
A alguien le podría parecer paradójico y absurdo un racional porque no es múltiplo de un entero.
Lo que he propuesto es que no se conciba este tipo de operaciones de este modo, sino como intervalos abstractos de racionales y por tanto, como valores continuos y no puntuales.
Lo has hecho de manera chapucera y todavía no se que ventajas tiene.
Ello conlleva que en cierta medida, y a nivel abstracto, estos valores no atienden en cierta medida al principio de transitividad, con lo cual se puede pensar que:
\( \sqrt[ ]{2}+q=\sqrt[ ]{2}=(m,n) \), siendo $$m,n,q$$ racionales, y en concreto $$q\in{(m,n)}$$.
Ya te expliqué los problemas de manejar esa igualdad si uno pretende usar el "más" y el "igual" como estamos acostumbrados. Se llega a sinsentidos.
Si hay que manejarlos de otra forma resulta que cuando resolvamos ecuaciones \( x+2=x^2 \), las tendremos que manipular de manera distinta si suponemos que son racionales o si son irracionales, porque con tu """definición""" no las rigen las mismas reglas.
En realidad, me parece que no es del toda cierta esta supuesta necesidad. A nivel práctico y de ingeniería, por ejemplo, no. En la vida real casi nunca nadie sabe el supuesto valor real que debería de tener algo que medimos. Lo que tenemos son un cúmulo estadístico de valores que nos da un cierto intervalo o margen, al que tomamos precisamente por el valor.
Ya te he dicho que con la matemática estándar hay teorías para manejar los errores, que no exigen redefinir los irracionales, la suma y la igualdad; que no hacen que los símbolos que usamos habitualmente tengan significados diferente según usemos racionales o irracionales.
Hay muchas formas de definir los irracionales, no sólo la de Dedekind. Una es como límites de sucesiones de Cauchy de racionales: grosso modo sucesiones de racionales donde cada vez los puntitos están mas cercanos y deberían de converger.
Una variante y que se puede parecer a tu idea de trabajar con aproximaciones es definir un número como un conjunto de intervalos de racionales encajados:
\( [a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset [a_3,b_3]\supset\ldots \)
de manera que para todo \( N>0 \) existe un \( n \) tal que \( (b_n-a_b)<1/N \) para garantizar que esa familia nos permite aproximar el número tanto como queramos.
Con esa definición uno puede definir las operaciones con esos números (que serán todos los reales) y recuperar la matemática estándard.
La suposición de que debería de existir un mundo ideal, sin ruido estadístico y por ello, completamente determinado... bueno, es una tendencia milenaria de las matemáticas más puras e idealistas, pero, ¿acaso no podría pensarse de otro modo?
Ya te dije que el simple ¿y por qué no? es un argumento pobre; sobre todo si no hay ni una sóla ventaja en la alternativa propuesta a la estándard.
Saludos.
P.D. Me cuesta no contestar, pero en realidad damos vueltas en círculo: todo esto ya estaba comentado.
