[RDC]

Abro hilo aquí para seguir los comentarios publicados aquí, que se han ido descaradamente de tema.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124559.msg508340;boardseen#new

La idea que planteo es que lo racional es lo que, de algún modo atañe a la unidad, lo que tiene característica de entidad, y por consiguiente sigue los principios básicos de la lógica:

Principio de identidad o de entidad, de no contradicción, de transitividad y no continuidad, del todo mayor que las partes, del tercio excluido, etc.

Entiendo que estos principios, que de por sí son muy  etéreos pueden materializarse a través de diferentes expresiones según sean los ámbitos de acción.

Por ejemplo, en la lógica silogística tradicional el principio de identidad se define como "La esencia (identidad) de las cosas está en ser sí mismas"

En lógica de primer orden con identidad el principio se expresa así:

\( \forall{x} x=x \)

En filosofía es el principio ontológico por excelencia, que garantiza la existencia del mundo de las cosas en sí y las autoevidencias tautológicas; el famoso "mundo metafísico", que existiría más allá del mundo del devenir y el cambio permanente. El primero en postularlo fue, entre los griegos, Parménides al afirmar en su famoso poema:

"Lo que es es y lo que no es no es".

En aritmética podemos decir, entonces, que este principio fundamental, y que constituye a toda entidad lógica y con sentido propio, se expresa tal que así:

\( \forall{x}, x=x \)

Y vemos que esta expresión, o ecuación, la cumplen todos los números racionales. Y diría que no existe otra expresión que también la cumpla todo valor racional. En tal sentido, ¿acaso no la podemos considerar una ecuación fundamental?

Entonces tenemos el principio de no contradicción, que primero surge como una violación directa al principio de identidad. Parménides, después de dejar claro que " lo que es es y lo que no es no es", razona ", con lo cual no puede ser que lo que no es sea jamás".

La expresión que escogí para representar la no contradicción fue la siguiente:

\( x\pm{y}\neq x \), siendo \( y\neq 0 \)

Esta expresión, a su vez, expresa el principio de transitividad, es decir, de no continuidad, dado que permite distinguir de forma clara y diferenciada tres puntos:

\( x-y\neq x \neq x+y \), hecho que posibilita poder destacar que \( x-y< x < x+y \). Es decir, dado un $$x,y$$ este principio permite establecer un orden claro para distinguir $$ x$$ de $$x-y$$ y, ambos, de $$x+y$$

Pero es que además expresa también el principio de "el todo es mayor que las partes".

Lo característico de esta expresión es que no la cumple, jamás, ningún número racional. Se me ha dicho que eso tampoco no es tan especial, porque hay muchas otras expresiones que tampoco tienen soluciones racionales, acaso \( a^2+1=0 \). Y sabemos que eso es así porque existen muchos tipos de formas diferentes de reducir tales expresión a una contradicción, demostrando que en algún momento violan alguna propiedad aritmética que deberían cumplir.

En este sentido, ello me ha dado por proponer como hipótesis que toda expresión que no pueda tener soluciones racionales pueda derivarse, de una forma u otra, de esta expresión que hemos tomado como paradigma del principio de no contradicción de la aritmética:

\( x-y\neq x \neq x+y \).

Por ejemplo, la expresión que se me propuso, $$a^2+1=0$$, quizás pueda terminar expresando la contradicción $$x+y=x$$, siguiendo estos pasos:

$$a^2+1=0\longrightarrow{a^2=-1}$$

dado que sabemos que \( \forall{a},\exists{bc}, abc\in{\Bbb N}: a^2=c^2-b^2 \), siendo \( c^2>b^2\longrightarrow{c^2=b^2+y} \) (1), con \( y\in{\Bbb N},y>0 \). Entonces:

\( a^2=c^2-b^2=-1 \)

\( c^2+1=b^2 \). Aquí sustituimos (1)\( c^2=b^2+y \), y obtenemos:

\( b^2+y+1=b^2 \), y si sumamos \( y+1=z \), entonces:

\( b^2+z=b^2 \), que es la expresión de la contradicción aritmética, con lo cual se demostraría que $$a^2+1=0$$, no tiene soluciones racionales.

seguimos...

[RDC]

Respuesta a feriva:

Sabemos que esta operación, que inicialmente fue de medida simple y directa, no tiene solución y por ello valor. Es decir, no se puede medir. Ello no significa que no exista la diagonal de un cuadrado de lado unidad; que no tenga medida sólo significa que no se puede poner en relación con la unidad. Al ser la unidad el patrón de toda medida y por tanto, proporcionalidad.

¿A qué unidad te refieres, al 1 tal cual?

Es cierto que todo número puede actuar como una especie de unidad secundaria o terciaria, en el sentido que habrán infinitos números que se puedan reducir a él. Por ejemplo, 5 es unidad de todos los múltiplos de 5.

pero la unidad fundamental es, al menos a mi parecer:

\( a=a\Longleftrightarrow{1=\displaystyle\frac{a}{a}} \)

1 es pues, la unidad matemática fundamental porque para cualquier valor racional se cumple esta expresión que se deriva directamente del principio de identidad, con lo cual es cierta para todos los racionales. es decir, todo tiene a 1 como factor y por tanto, en tal sentido, se puede reducir a él, con lo cual expresa una relación concreta de proporcionalidad con él, y en tal sentido, con la unidad.

Por su lado, en cambio, los irracionales eso no lo hacen, con lo cual no se pueden recudir ni son proporcionales a ninguna unidad ¿cómo pueden ser resultados a mediciones, qeu se fundamentan en tomar la unidad como referencia y base de medida? ¿cómo pueden ser números? Esto nos lo hemos cuestionado durante milenios. 

Y obviamente una opción es decir: son números con infinitos decimales es una opción, pero no sé si quizás un poco precaria conceptualmente. Ya veremos, quizás lo precario sea lo que diga jajaja

 

Imaginemos un triángulo rectángulo de catetos \( \dfrac{2}{5} \) y \( \dfrac{3}{7} \).

Podemos medir ambos en un número de fracciones enteras; lo explico:

Tomemos como unidad común de medida el número racional \( u=\dfrac{a}{b} \) y los números naturales “n” y “m”. Éstos existen de tal forma que

\( \dfrac{2}{5}=n\cdot\dfrac{a}{b} \) y \( \dfrac{3}{7}=m\cdot\dfrac{a}{b} \).

Se demuestra fácilmente:

\( \dfrac{2}{5n}=\dfrac{3}{7m}=\dfrac{a}{b} \)

de donde

\( 14m=15n \)

con lo que basta hacer m=15 y n=14 para que se dé la igualdad.

Así tenemos \( u=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{35} \), si no me equivoco.

Si el valor de la hipotenusa es irracional, ésta no se podrá medir con un número entero de veces “u”.

Podemos buscar entonces una unidad racional común más pequeña, pero tampoco se podrá medir con ella la hipotenusa de medida irracional (usándola un número entero de veces, se entiende).

Siempre podremos elegir una “u” común para los catetos tan pequeña como queramos, sin embargo, tampoco servirá para medir de forma “entera” la hipotenusa irracional; tampoco, dicho en caso de que sea una “u” racional (pues sería contradictorio).


En la práctica esto no pasa, porque hay un umbral en torno a la medida, un límite de precisión donde no podemos notar diferencias, es teórico. Pero, además, en el mundo físico-teórico nos podríamos plantear si aisladamente existen las cosas que miden un valor irracional o sólo existen por comparación a la hora de considerar una unidad común respecto de la medida de otros objetos. No obstante, esto (que, por cierto, ya lo planteé hace muchos años en el foro) se sale de las matemáticas, es física o incluso filosofía.

Esto que apuntas es muy interesante; tiene que ver con la ley de Weber-Feschner, pero "de momento" no voy por aquí. Ya verás, lo intentaré mostrar a ver que os parece estos días cuando tenga algo de tiempo.

...

Pero no veo la relación de eso con esto que pones

\( \sqrt{2}\pm{k}\neq\sqrt{2} \)

lo cual sólo será mentira si k=0.

Los números llamados infinitesimales, en su versión pasados de rosca, son lo mismo que el número cero (exactamente) y en su versión normal son distintos de cero y, por tanto, al ser sumados o restados a cualquier otro número real cambian el resultado.

Saludos.

Déjame contar esto en otros comentarios y en relación a lo que también apunta sugata.

[feriva]

Respuesta a feriva:

Sabemos que esta operación, que inicialmente fue de medida simple y directa, no tiene solución y por ello valor. Es decir, no se puede medir. Ello no significa que no exista la diagonal de un cuadrado de lado unidad; que no tenga medida sólo significa que no se puede poner en relación con la unidad. Al ser la unidad el patrón de toda medida y por tanto, proporcionalidad.

¿A qué unidad te refieres, al 1 tal cual?

Es cierto que todo número puede actuar como una especie de unidad secundaria o terciaria, en el sentido que habrán infinitos números que se puedan reducir a él. Por ejemplo, 5 es unidad de todos los múltiplos de 5.

pero la unidad fundamental es, al menos a mi parecer:

\( a=a\Longleftrightarrow{1=\displaystyle\frac{a}{a}} \)

1 es pues, la unidad matemática fundamental porque para cualquier valor racional se cumple esta expresión que se deriva directamente del principio de identidad, con lo cual es cierta para todos los racionales. es decir, todo tiene a 1 como factor y por tanto, en tal sentido, se puede reducir a él, con lo cual expresa una relación concreta de proporcionalidad con él, y en tal sentido, con la unidad.

Por su lado, en cambio, los irracionales eso no lo hacen, con lo cual no se pueden recudir ni son proporcionales a ninguna unidad ¿cómo pueden ser resultados a mediciones, qeu se fundamentan en tomar la unidad como referencia y base de medida? ¿cómo pueden ser números? Esto nos lo hemos cuestionado durante milenios. 

Y obviamente una opción es decir: son números con infinitos decimales es una opción, pero no sé si quizás un poco precaria conceptualmente. Ya veremos, quizás lo precario sea lo que diga jajaja

El 1 de los números reales tiene de particular que es neutro e idempotente, pero no tiene tamaño; físicamente puede ser 1 m; 1 cm; 1 mm... y sigue siendo neutro mientras no se mezclen peras con manzanas y salgan mal las cuentas. Eso es lo importante, que el producto de cualquier otro número real por 1 es invariante, lo cual conlleva que se cumple también con los irracionales.

¿Por qué \( 1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2} \)? Pues porque, por definición, una cosa, tomada una vez, es esa cosa, sea raíz de 2 ó lo que sea; salvo que sea algo que no sea único. Pero \( \sqrt{2} \) sí tiene unicidad, ningún otro número igual de “largo” que \( \sqrt{2} \) es igual a \( \sqrt{2} \) salvo él mismo.
Es cierto que uno puede darle vueltas y pensar que las cifras del infinito ya no valen nada y que podría ser el mismo valor teniendo distintas cifras “tras” el infinito, pero los matemáticos no dejan que esas cosas les nublen la vista.

Realmente, nadie sabe qué ocurre y qué deja de ocurrir, porque, si miramos allí en el infinito, vemos menos que un galápago en lejía, que decía Paco Gandía. Entonces, hay que definir las cosas para poder hacer cuentas, planteamientos, elaborar teoremas... hacer matemáticas, en definitiva.

Cada irracional es único, por definición. Y ello es consistente con que el infinito numerable sea único y con muchas cosas más.

Nadie prohíbe proponer cosas nuevas, pero tienen que ser consistentes con las demás, porque, si no, se cae todo abajo y no vale (en esto está lo que no es tan sencillo, que sean cosas nuevas y funcionen con las demás; proponer arreglos, sin mirar a quién le puede caer el ladrillo en la cabeza, es fácil).
En cambio, filosóficamente hay más libertad para proponer novedades. Ahora recuerdo un chiste sobre un químico que estaba siempre yendo al despacho del rector para pedirle más material; y el rector le contestaba: “Siempre pidiendo. Podrías ser como las matemáticos, que sólo necesitan papel, lápiz y una papelera. O mejor, como los filósofos, que ni siquiera necesitan la papelera”.

Saludos.

[sugata]

En aritmética podemos decir, entonces, que este principio fundamental, y que constituye a toda entidad lógica y con sentido propio, se expresa tal que así:

\( \forall{x}, x=x \)

Y vemos que esta expresión, o ecuación, la cumplen todos los números racionales. Y diría que no existe otra expresión que también la cumpla todo valor racional. En tal sentido, ¿acaso no la podemos considerar una ecuación fundamental?

Esa ecuación también  la cumplen los irracionales.
La puedes llamar fundamental, pero hay infinitas ecuaciones que cumplen todos los Reales.
\( cos^2x+sen^2x=1 \)

dado que sabemos que \( \forall{a},\exists{bc}, abc\in{\Bbb N}: a^2=c^2-b^2 \), siendo \( c^2>b^2 \)

Esta premisa es falsa. No se cumple para todo \( a \) natural.

pero la unidad fundamental es, al menos a mi parecer:

\( a=a\Longleftrightarrow{1=\displaystyle\frac{a}{a}} \)

1 es pues, la unidad matemática fundamental porque para cualquier valor racional se cumple esta expresión que se deriva directamente del principio de identidad, con lo cual es cierta para todos los racionales. es decir, todo tiene a 1 como factor y por tanto, en tal sentido, se puede reducir a él, con lo cual expresa una relación concreta de proporcionalidad con él, y en tal sentido, con la unidad.

Los irracionales también la cumplen.

Por su lado, en cambio, los irracionales eso no lo hacen, con lo cual no se pueden recudir ni son proporcionales a ninguna unidad

¿Dices que \( \pi\neq\pi \)? ¿O qué \( \dfrac{\pi} {\pi} \neq 1?  \)
Respecto a qué no son proporcionales a ninguna unidad, depende de tu definición de proporcionalidad.

¿cómo pueden ser números? Esto nos lo hemos cuestionado durante milenios. 

Te lo cuestionas tu. Yo tengo muy claro que un NÚMERO irracional, es un número.

[sbmin]

A mi se me ocurre una posible solución, los números irracionales se deberían llamar mejor factores computables.

[sbmin]

\( \sqrt[2]{2} \) siempre será más fácil de aproximar que \( \sqrt[2]{2}*\sqrt[2]{3} \) pero por definición son lo mismo, números irracionales.

Por lo que \( \displaystyle\sum_{i=2}^\infty({\sqrt[i]{2}-1)} \) también es un número irracional, pero es muchísimo más difícil de aproximar.

No tiene mucho sentido llamar números irracionales a semejante cálculo infinito.

[RDC]

Hola, ayer lo tuve que dejar a medias. Sigo ahora que tengo un momento, y a ver si poco a poco soy capaz de responder algunas de las dudas y  objeciones que comentáis.

Me gustaría centrarme ahora en un caso muy particular de irracional: \( \sqrt[ ]{2} \)

Ya los griegos se preguntaron si la diagonal de un cuadrado de lado unidad, $$\displaystyle\frac{a}{a}=unidad$$, se podía medir, por tanto era proporcional a la unidad, y con ello, era un número. Para ello plantearon la ecuación simple:

\( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b} \), siendo $$a,b$$ coprimos.

Ciertamente hay diferentes formas de demostrar que tal expresión no tiene solución en los racionales. Pero la hipótesis que planteo des del inicio del hilo es ver como una de ellas es reducirla a la expresión de contradicción: \( x\pm{y}=x \), con \( y\neq 0 \). Vayamos allá:

\( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b} \)

\( 2=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}\longrightarrow{2b^2=a^2=b^2+b^2}\rightarrow{b^2=a^2-b^2} \)

Entonces consideremos que:

\( b=xy \), siendo \( x,y \) dos naturales cualquiera coprimos entre sí. Tenemos, pues:

\( b^2=a^2-b^2\longrightarrow{(xy)^2=(a-xy)(a+xy)} \)

Nota: creo recordar que al llegar aquí Luís me comentó que no lo veía muy claro. Intentaré probar de este modo:

Entonces, si no me equivoco, siempre se debe dar que:

$$x^2=a+xy$$ , y recordar que a, \( xy \) son corpimos.

Entonces tenemos 2 casos posibles:

Caso A) x>y

$$x^2=a+x^2+x(y-x)$$, que si tomamos $$\pm{z}=a+x(y-x)$$, obtenemos:

$$x^2=x^2\pm{z}= contradicción: \emptyset$$

Caso B) x<y:

$$x^2=a+x^2+x(y-1)$$, que si tomamos $$\pm{z}=a+x(y-1)$$, obtenemos:

$$x^2=x^2\pm{z}= contradicción: \emptyset$$

Con lo cual, tenemos que:

\( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}\longrightarrow{b^2=a^2-b^2\longrightarrow{(xy)^2=(a-xy)(a+xy)}}= contradicción: \emptyset \)

Con lo cual la no racionalidad de raíz de dos queda demostrado.

Otra opción:

Spoiler

\( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b} \)

\( 2=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}\longrightarrow{a^2-2b^2=0} \)

\( (a^2-2b^2)^2=0 \)

\( (a^4+4b^4-4(ab)^2=0 \)

\( a^4=4(ab)^2-4b^4 \)

\( a^4=a^4\pm{a^2(4b^2-a^2)}-4b^4 \), y tomamos \( \pm{z}=\pm{a^2(4b^2-a^2)}-4b^4 \)

\( a^4=a^4\pm{z}= contradicción: \emptyset \)

[cerrar]

[RDC]

¿Qué significa que \( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}\longrightarrow{a^2=2b^2} \) no tenga solución racional?

Spoiler

Sin embargo, parece ser que basta con hacer $$a^2\pm{1}=2b^2\longrightarrow{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{a^2\pm{1}}}{b}=\sqrt[ ]{2}}$$. Hecho que me parece peculiar.

[cerrar]

Una opción es: pues que no es un número racional, pero puede ser un número de otro tipo, acaso irracional. Ya ya está. es la interpretación a la que nos hemos acostumbrado.

Sin embargo, que no sea racional significa que no tiene medida, que no es proporcional a la unidad, \( \displaystyle\frac{a}{a} \). No fueron pocos los que pensaron que no era ningún número, por dichos motivos. Sin embargo, afirmar que tampoco es ningún número parece similar a decir que no es nada, hecho que se hace un poco raro.

Mi propuesta es tratarlo como un número, pero no un número puntual y atómico (que respetara el principio de transitividad), sino que es un número "continuo", flexible, dinámico -no sé como decirlo. Cuando comenté esta idea, obvia y legítimamente se me pidió, Luís el primero, que expusiera un ejemplo de número irracional intransitivo, y con lo cual cumpliera la contradicción:

\( x\pm{y}=x \)


Es más, algunos como sugata dijisteis algo sorprendidos como podía estar afirmando la locura de que:

\( \sqrt[ ]{2}\pm{y}=\sqrt[ ]{2}, y\neq0 \)

Soy consciente de que presentado así, a lo bruto, esto no se come por ningún lado. Ya no es que sea cierto o falso, simplemente nuestra mente lo rechaza de plano valga lo que valga \( \sqrt[ ]{2} \). ¿Y por qué  lo rechaza?

Porque aunque ignoramos el valor de \( \sqrt[ ]{2} \), lo consideramos un valor puntual, es decir, con una identidad propia y singular. Y esta expresión precisamente agrede la idea de que \( \sqrt[ ]{2} \) tenga una identidad propia como valor. Con lo cual, nuestra mente instintivamente niega en rotundo que tal expresión contradictoria pueda cumplirse para un valor con un sentido propio, y por tanto, puntual o atómico como se supone que sería \( \sqrt[ ]{2} \). En esto estoy de completamente acuerdo.

Pero hay un matíz. No hay ninguna razón para estar seguros de que la operación $$\sqrt[ ]{2}$$, tenga un valor preciso, concreto y bien determinado. Entonces, reconociendo que no lo tiene, la expresión \( \sqrt[ ]{2}\pm{y}=\sqrt[ ]{2}, y\neq0 \), podría tener, de golpe, algún sentido para nosotros; con lo cual dejaría de ser absurda.

Voy a tantear esta opción, a ver qué os parece:

Premisa 1: presuponemos que \( \sqrt[ ]{2} \) no tiene un valor preciso y determinado

Luego, hemo visto, aunque ya se sabía, que \( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}\longrightarrow{a^2=2b^2} \) es una ecuación sin soluciones racionales y en tal sentido no es cierta.

Ahora bien, la ecuación \( \sqrt[ ]{2}\approx{\displaystyle\frac{a}{b}}\longrightarrow{a^2\sim{2B^2}} \), sí tiene infinitas soluciones. De hecho, siempre es cierta. Por ejemplo:

\( \sqrt[ ]{2}\approx{\displaystyle\frac{78}{3}}=26 \), mientras que \( 78^2\sim{18} \). Es cierto.

Si se esgrime que esto de considerar que 26 o cualquier valor racional es una aproximación a \( \sqrt[ ]{2} \), con lo cual cualqueir racional es similar a otro, es un abuso, seguramente se deba a que se está presuponiendo que \( \sqrt[ ]{2} \) tiene un valor concreto que actúa como referencia de lo que es una aproximación y una similitud. Pero aquí se parte de la premisa contraria: de que no hay valor concreto para raíz de 2. Y vamos a ver qué pasa.

Tenemos pues:

Si \( a^2\sim{2b^2}\longrightarrow{a^2+ab\sim{2b^2+ab}}\longrightarrow{\displaystyle\frac{a}{b}\sim{\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}}} \)

Nota:
Y es fácil demostrar que: \( \displaystyle\frac{a+2b}{a+b}=\displaystyle\frac{a}{b}\pm{\displaystyle\frac{1}{b(a+b)}} \).

*Especulo con que el denominador es 1, podría ser un \( x \) cualquiera. A efectos prácticos da igual, pero lo dejo con 1

Y si hemos dicho que:

\( \sqrt[ ]{2}\approx{\displaystyle\frac{a}{b}} \), entonces

\( \displaystyle\frac{a}{b}\approx{\sqrt[ ]{2}}\approx{\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}=\displaystyle\frac{a}{b}}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \)

Visto esto, parece ser que \( \sqrt[ ]{2} \) no deba definirse como un hipotético valor puntual, atómico, transitivo; sino como un intervalo:

\( \sqrt[ ]{2}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \)

Entonces afirmar \( \sqrt[ ]{2}\pm{y}=\sqrt[ ]{2} \) no es más que afirmar que:

\( (\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})\pm{y}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \).

Y esta expresión ya no sabe directamente tan absurda. Ahora depende de como la tratemos.

Ciertamente, para hacer esa suma o resta es necesario dotar al intervalo de un valor puntual. Y a bote pronto pienso que se puede tomar como valor puntual del intervalo a su punto medio, que además nos da la distancia que hay entre él los extremos del intervalo. Aunque quizás se podrían probar otras estrategias.

Así pues:

Punto medio del intervalo:

\( pm=\displaystyle\frac{a}{b}\pm{\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)}} \), mientras que la distancia del punto medio con los extremos es, precisamente \( \displaystyle\frac{1}{2b(a+b)} \)

Así pues, para cualquier racional y (que siempre serán infinitos) tales que:

\( y<\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)} \)

puede considerarse que se encuentra dentro del intervalo, y por tanto del valor de \( \sqrt[ ]{2} \)

CONCLUSIÓN

Ahora parece tomar sentido y deja de ser absurdo la expresión:

\( \sqrt[ ]{2}\pm{y}=\sqrt[ ]{2} \), si comprendemos que \( \sqrt[ ]{2}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \), con \( y<\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)} \)

Soy consciente de que matemáticamente hablando no es nada del otro mundo (trata valores puntuales como intervalos), pero con ello cambia la interpretación de los números.

En este sentido un irracional como \( \sqrt[ ]{2} \) ya no es un número puntual, atómico, transitivo, tal y como nos hemos acostumbrado a imaginar, sino un número continuo, un intervalo. Pues podemos tomar l aproximación racional más acurada que tengamos de raíz de 2 y considerarla \( \displaystyle\frac{a}{b} \), con ella encontrar \( \displaystyle\frac{a+2b}{a+b} \), y entender que existen infinitos racionales entre ese intervalo que son aritméticamente neutros para nuestro valor aproximado de \( \sqrt[ ]{2} \)

Un saludo, que tengo que dejarlo por hoy

[feriva]

Entonces, si no me equivoco, siempre se debe dar que:

$$x^2=a+xy$$

Siempre que sean enteros “a” y  “xy”, coprimos, cosa que no son, es hipótesis. Al final, a lo que llegas, implica que no pueden ser enteros, pero me parece que no demuestras si pueden ser o no racionales no enteros. No estoy seguro, lo mismo me estoy liando (mejor que te lo revise otra persona).

...

$$x^{{\color{red}y}}=a+x^{2}+x(y-x)$$, que si tomamos $$\pm{z}=a+x(y-x)$$ ...

Cuidado con eso, es un 2, no una “y”, que después cuesta seguir las cosas.

Saludos.

[RDC]

Entonces, si no me equivoco, siempre se debe dar que:

$$x^2=a+xy$$

Siempre que sean enteros “a” y  “xy”, coprimos, cosa que no son, es hipótesis. Al final, a lo que llegas, implica que no pueden ser enteros, pero me parece que no demuestras si pueden ser o no racionales no enteros. No estoy seguro, lo mismo me estoy liando (mejor que te lo revise otra persona).

...

$$x^{{\color{red}y}}=a+x^{2}+x(y-x)$$, que si tomamos $$\pm{z}=a+x(y-x)$$ ...

Hola feriva, bueno, como doy por supuesto que ya se sabe que en la expresión \( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b} \), $$a,b$$ son coprimos, no lo he puesto. Luego, como $$b=xy$$, se deduce que $$xy$$ será corpimo con $$a$$.

En todo caso lo acabo de indicar en el post para que quede más claro.

Cuidado con eso, es un 2, no una “y”, que después cuesta seguir las cosas.

Saludos.

Sí, gracias. Lo corrijo!