[Luis Fuentes]

Hola

Uno puede seguir manejando afirmaciones algebraicas del tipo \( \sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{159}{15}=x \) sin problemas,

Según tu teoría:

\( \sqrt{2}=\left(\dfrac{a}{b},\dfrac{a+2b}{a+b}\right) \)

y

\( \sqrt{2}=\sqrt{2}+y \)

siempre que \( |y|<\dfrac{1}{2a(a+b)} \). Entonces por ejemplo:

\( \sqrt{2}=(1/2,5/3) \)

y

\( \sqrt{2}=\sqrt{2}+1/10 \).

Entonces:

\( \sqrt{2}=\sqrt{2}+1/10=\sqrt{2}+1/10+1/10+\sqrt{2}+1/10+1/10+1/10=\ldots \).

y repitiendo \( 10k \) veces:

\( \sqrt{2}=\sqrt{2}+10k\cdot (1/10)=\sqrt{2}+k \).

Entonces:

\( x=\sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{159}{15}=\sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{159}{15}+k \)

para el \( k \) que queramos, por ejemplo:

\( x=\sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{159}{15}=\sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{159}{15}+10000 \)

¿No te parece un lío esto?Resulta que a esa expresión da igual que le sumemos \( 10000 \).

Yo no dudo que puedas explicarme que en realidad estoy usando mal tu idea; que la interpretación no es esa; que hay que redefinir las reglas de la suma y lo que significa el signo igual; es decir digamos que puedes arreglar las cosas para que eso tenga sentido. Pero a mi me parece evidente que como punto de partida es una complicación ENORME que antes no existía.

Si lo que quieres es trabajar con aproximaciones eso es algo que ya se hace en la matemática estándar; la teoría de aproximaciones y errores se estudia en métodos numéricos y se usa.

Uno puede escribir por ejemplo \( \sqrt{2}=1.41+\epsilon  \)con \( |\epsilon|<0.1 \) y operar de la forma usual. Y para eso no hace falta violentar ni redefinir los significados de los signos suma e igualdad.

Yo no niego que tu el método que propones basado en la escalera de Eudoxo esté muy bien para aproximar \( \sqrt{2} \) con la precisión que queramos; pero no hace falta redefinir nada para aplicar ese método.

De hecho, si  tomamos los irracionales, ya no como valores precisos más allá de los racionales ni tampoco como números decimales, sino como intervalos racionales ello conlleva trabajar al mismo tiempo con márgenes máximos de error posible -según el intervalo escogido.

Lo que acabo de decir: la tería de aproximaciones y errores ya encaja en la matemática usual sin complicar las cosas.

Ahora bien, en el único caso que esto puede generar un problema es al tratar los irracionales como un conjunto de infinitos números precisos que, supuestamente, están más allá de los infinitos racionales;

¿Qué quieres decir con que "está mas allá de los infinitos de racionales"? Si te refieres de nuevo al Teorema de Cantor que dice que el infinito del conjunto de todos lo irraciones es mayor que el infinito del conjunto de los racionales, estás mezclando cosas.

 Podemos ceñirnos por ejemplo sólo a los números irracionales del tipo \( \sqrt[n]{q} \) con \( q\in \Bbb Q \); y entonces ya no se da esa situación. El infinito del conjunto de ese tipo de irracionales es el mismo que el infinito de los racionales.

 Pero a ti ya no te gusta ni siquiera a las raíces tratarlas con los mismos derechos que a los números racionales.

 Si querías decir otra cosa no se a que te refieres.

la de considerar que un irracional, acaso \( \sqrt[ ]{2} \), es un valor concreto y preciso, es decir, está super bien definido por el conjunto de todos sus decimales, que son infinitos. (es lo que ha imaginado Richard, por ejemplo). Pero esto no tiene sentido: precisamente que los irracionales conlleven una infinidad de decimales al racionalizarlos indica, precisamente, que no se pueden racionalizar nunca jamás. Es decir, que no hay un conjunto con "todos sus decimales". Pues la infinidad, por definición, no puede ser un todo jamás. Pero nos hemos acostumbrado a tomarla así y nos da igual tales sutilezas.

 Me pregunto si tu cuando consideras un intervalo \( \left(\dfrac{a}{b},\dfrac{a+2b}{a+b}\right) \), consideras que dentro hay infinitos números racionales o sólo un número finito. Yo juraría que hay infinitos racionales, pero según tu "la infinidad no puede ser un todo".

 Por otra parte ya te he dicho mil veces que no hay que usar las cifras decimales para caracterizar \( \sqrt{2} \). La propiedad que lo caracteriza es: ser más pequeño que cualquier racional cuyo cuadrado es mayor que dos y más grande que cualquier racional cuyo cuadrado es menor que dos.

Digo todo esto, porque hay algo más que no he comentado. Uno de los aspectos que me hizo pensar lo absurdo e imposible de la idea que defiende la "existencia" del mundo de los irracionales más allá de los racionales y con lo cual cada irracional sería un número de infinitos decimales, es la imposibilidad de hallar métodos para racionalizar irracionales que nos dé aproximaciones arbitrariamente grandes.

No entiendo exactamente que quieres decir. Puede haber alguna sutileza dependiendo del caso, pero en principio si un número está definido, hay formas de obtener aproximaciones del mismo tan precisas como queramos.

Saludos.

[feriva]

Digo todo esto, porque hay algo más que no he comentado. Uno de los aspectos que me hizo pensar lo absurdo e imposible de la idea que defiende la "existencia" del mundo de los irracionales más allá de los racionales y con lo cual cada irracional sería un número de infinitos decimales, es la imposibilidad de hallar métodos para racionalizar irracionales que nos dé aproximaciones arbitrariamente grandes. Es decir, que nos dé conjuntos de decimales de ese número irracional arbitrariamente grandes.

Este es un tema que lleva un tiempo fascinándome un poco, y pienso que a través de esta otra forma de tratar los irracionales igual se logra algo. Pero yo qué sé...

Un saludo.

Si te refieres a que podemos elegir una cantidad de cifras tal que se acabe el mundo antes de determinarlas, sí, pero eso pasa también con un racional tan largo como se quiera.

Si no te refieres a eso, existen métodos; por ejemplo, en el caso de \( \sqrt{2} \) existe hallar la raíz como nos enseñaron en el colegio (que ya nadie se acuerda y yo menos).

Otra forma, en el caso de las raíces cuadradas (u otras) por ejemplo, podría ser apoyarnos en que sabemos que los cuadrados perfectos nos dan soluciones triviales: \( \sqrt{x}=2 \) si x=4, \( \sqrt{x}=4 \) si x=16, o sea, los puntos (4,2); (16,4)... y así conocemos infinitos puntos sin calcular raíces (bueno, y se me ha quedado por medio (9,3) )

Con eso podemos construir un sistema con una cantidad arbitraria de ecuaciones a partir de la cantidad de puntos que tengamos; y de manera que \( \sqrt{x}_{i}=P(x_{i}) \) para cada “i-ecuación”. Es lo que llama el polinomio interpolador.

Para \( x=4,f(4)=2 \) tenemos una ecuación

\( f(4)=a_{0}\cdot4^{0}+a_{1}\cdot4^{1}+...+a_{n}4^{n} \)

Para \( x=16,f(16)=4 \) tienes

\( f(16)=a_{0}\cdot16^{0}+a_{1}\cdot 16 ^{1}+...+a_{n}16^{n} \)

etc.

Según la cantidad arbitraria de puntos que tomemos (que pueden ser tantos como queramos,(4,2); (16,4)... ) tendremos más o menos ecuaciones y el sistema dará valores más exactos, para las incógnitas \( a_{i} \), cuantas más ecuaciones haya (sólo hay que resolver el sistema, que puede ser muy largo; pero lo calcula el ordenador y ya está).

Ya calculado, se tienen todos los \( a_{i} \) y con ello se puede escribir el polinomio en “x” en el que podremos sustituir “x” por cualquier valor; si hacemos x=2, nos dará un valor aproximado de \( f(2)\approx\sqrt{2} \).

Además, el método se basa en el teorema de aproximación, que dice que la diferencia en valor absoluto de \( |f(x)-p(x)| \), para un cierto “x”, puede ser tan pequeña como se quiera (eligiendo más y más puntos para confeccionar el sistema).

En la práctica, no siempre va a funcionar demasiado bien en cuanto a exactitud, habrá “zonas”, pero, teóricamente, para “casi infinitas” ecuaciones sí funcionará bien.

Hay muchos métodos, no digo que éste sea el más apropiado para raíz de 2, éste nos da una sistema con una cantidad finita de ecuaciones que no sirve para aproximar, con una precisión arbitraria, \( \sqrt{x} \), no sólo raíz de 2.

La función \( \sqrt{x} \) no sólo da valores irracionales, también da racionales, es una familia de números reales donde hay de todo, como en botica. Por tanto, para muchas cosas, no conviene “separar” racionales e irracionales, todos son números reales que sirven para identificar puntos en ésta u otra función. Cuando tú ves una función dibujada, un línea, los puntos (que no se ven, es imposible, pero se intuyen de forma abstracta) son todos iguales independientemente del número que va asignado a ellos. En aspectos geométricos, analíticos... los reales son todos reales, no hay que andar con tanta distinción. El asunto de los cardinales es aparte, es una matemática que va un poco más allá, pero no implica que haya que cambiar la idea de número real.

Saludos.

[RDC]

Hola Richard, buenos días;

Sé sumar y restar números racionales, pero no irracionales. Y veo que, en realidad, a ti te sucede lo mismo. ....

Tu mismo dices: imaginemos un método que nos pueda dar todos los decimales posibles de \( \sqrt[ ]{2} \).

No, no, a mi no me sucede lo mismo, yo no necesito imaginar un método, el método ya existe

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada


Con ese método tengo todos los decimales de la raíz cuadrada de cualquier número no solo del 2 sea entonces su resultado racional o irracional.


Te repito ni tu ni yo, tenemos el suficiente tiempo y ni espacio para almacenar los datos que dicho método puede proveer con un simple algoritmo, así que la diferencia $$\sqrt2-\sqrt2=???$$ la puedes aproximar a $$0$$ con la precisión que te quieras proponer,  es decir $$z=0$$ cuando haces las cuentas de verdad.  Puesto que cuando representas a un entero o un racional puedes proponerte seguir agregando ceros a la derecha de la del ultimo valor útil, puedes llegar a adicionar tantos hasta alcanzar los dígitos que le propusiste para tu irracional, y por lo tanto darle la misma precisión al irracional que a los enteros y a los racionales. Dudar que ese resultado no sea cero, es para mí, cuanto mucho descabellado , no hay motivo para asumir que en algún momento ambas raíces presenten decimales diferentes, del mismo modo que para un entero o un racional podemos pensar que para la misma cantidad o mas de decimales exista alguno que no sea cero.


Se que esto no tiene mucho rigor  y los matemáticos de por aquí quizá con justa razón me tiren de las orejas , pero es la mejor justificación que le encuentro.

No me he explicado bien, porque veo que feriva también comenta algo parecido.

Lo que encuentro curioso es que no podemos desarrollar un método que con UNA SOLA ITERACIÓN o OPERACIÓN nos de un número de decimales de \( \sqrt[ ]{2} \), o cualquier otro irracional, tan grande como queramos.

Cualquiera de estos métodos nos da, en una iteración un número limitado de decimales. Obviamente, luego si vamos iterando (hecho que conlleva capacidad de calculo y memoria) podemos ir acumulando decimales hasta que queramos o bien podamos.

Por ejemplo, imaginamos una operación que introduciéndole un valor a y un número de decimales deseados n, con un par de operaciones nos de una racionalización de un irracional que al pasar a decimal muestre d decimales.

¿por qué de esta imposibilidad?
Quizás no tenga nada que ver con lo que había dicho, pero... es un tema que me da un poco de curiosidad.

Saludos

[feriva]

No me he explicado bien, porque veo que feriva también comenta algo parecido.

Lo que encuentro curioso es que no podemos desarrollar un método que con UNA SOLA ITERACIÓN o OPERACIÓN nos de un número de decimales de \( \sqrt[ ]{2} \), o cualquier otro irracional, tan grande como queramos.

Cualquiera de estos métodos nos da, en una iteración un número limitado de decimales. Obviamente, luego si vamos iterando (hecho que conlleva capacidad de calculo y memoria) podemos ir acumulando decimales hasta que queramos o bien podamos.

Por ejemplo, imaginamos una operación que introduciéndole un valor a y un número de decimales deseados n, con un par de operaciones nos de una racionalización de un irracional que al pasar a decimal muestre d decimales.

¿por qué de esta imposibilidad?
Quizás no tenga nada que ver con lo que había dicho, pero... es un tema que me da un poco de curiosidad.

Saludos

Y qué pasa con la división a mano de dos números racionales, ¿es sólo una interación? Si hacemos un progama para que cálcule una raíz cuadrada paso a paso, será similar a un programa que calcule paso a paso la división entre dos números. El cociente entre dos números puede ser un racional de mil cifras o de un millón... depende, todo depende, hay muchos racionales que no determinaremos nunca con todos sus decimales.

De hecho, demostrar si un número es racional o no, puede llegar a ser algo muy difícil; de hecho hay números de los que aún no se sabe si son racionales o irracionales. Esto pone de manifiesto... que no estás viendo la cosa como en realidad es

Aquí tienes un vídeo de cómo se demostró la irracionalidad de “pi”

Saludos.

[RDC]

Hola

Uno puede seguir manejando afirmaciones algebraicas del tipo \( \sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{159}{15}=x \) sin problemas,

Según tu teoría:

\( \sqrt{2}=\left(\dfrac{a}{b},\dfrac{a+2b}{a+b}\right) \)

y

\( \sqrt{2}=\sqrt{2}+y \)

siempre que \( |y|<\dfrac{1}{2a(a+b)} \). Entonces por ejemplo:

\( \sqrt{2}=(1/2,5/3) \)

y

\( \sqrt{2}=\sqrt{2}+1/10 \).

Entonces:

\( \sqrt{2}=\sqrt{2}+1/10=\sqrt{2}+1/10+1/10+\sqrt{2}+1/10+1/10+1/10=\ldots \).

y repitiendo \( 10k \) veces:

\( \sqrt{2}=\sqrt{2}+10k\cdot (1/10)=\sqrt{2}+k \).

Entonces:

\( x=\sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{159}{15}=\sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{159}{15}+k \)

para el \( k \) que queramos, por ejemplo:

\( x=\sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{159}{15}=\sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{3}+\displaystyle\frac{159}{15}+10000 \)

¿No te parece un lío esto?Resulta que a esa expresión da igual que le sumemos \( 10000 \).

Yo no dudo que puedas explicarme que en realidad estoy usando mal tu idea; que la interpretación no es esa; que hay que redefinir las reglas de la suma y lo que significa el signo igual; es decir digamos que puedes arreglar las cosas para que eso tenga sentido. Pero a mi me parece evidente que como punto de partida es una complicación ENORME que antes no existía.

Si lo que quieres es trabajar con aproximaciones eso es algo que ya se hace en la matemática estándar; la teoría de aproximaciones y errores se estudia en métodos numéricos y se usa.

Uno puede escribir por ejemplo \( \sqrt{2}=1.41+\epsilon  \)con \( |\epsilon|<0.1 \) y operar de la forma usual. Y para eso no hace falta violentar ni redefinir los significados de los signos suma e igualdad.

Hola Luís, buenos días.

obviamente esto no tiene sentido.

Lo que comentaba es que si tratamos \( \sqrt[ ]{2} \), ya no como un número puntual y concreto, sino como un intervalo, entonces lo tratamos como un valor continuo, y no puntual.  ¿Estás de acuerdo de que el valor de un intervalo  de racionales es un valor continuo y no puntual?

Entonces, si asumimos que el valor de \( \sqrt[ ]{2} \) será siempre un intervalo entre 2 racionales, ello nos permite pensar que entre los dos racionales del intervalo siempre hay tantos racionales $$q$$ como queramos que no se distinguen del valor de \( \sqrt[ ]{2} \) que nos proporciona, precisamente, el intervalo. 

En realidad esto no tiene ningún secreto ni es nada nuevo, ni raro ni complicado -feriva ya comentó algo por el estilo hace unos días, creo recordar. De hecho, seguro que en ingeniería lo usáis a diario:

al medir valores que NO SON CONCRETOS, PRECISOS y PUNTUALES no queda otra que medirlos mediante márgenes de error estimados; y por ello se tratan como valores "continuos".

Y en efecto, toda expresión que nos lleva a un valor no puntual al definirse mediante un margen de error, se expresa rompiendo el principio de transitividad:

\( x=x\pm{error}, error>0 \), que es la expresión de la contradicción: \( x-x=error\neq 0 \)

entonces que uno diga:


\( x=x+error_1+x+error_1+x+error_1.... \) para criticar el cálculo de valores con márgenes de errores, pues, no no me parece acertado.

Y de hecho, como ya he dicho, a efectos prácticos dado que siempre racionalizamos para operar, y luego muchas veces también lo  pasamos a decimal esta interpretación no altera mucha cosa a  nivel práctico. En efecto, más o menos es lo mismo.

Y a nivel teórico, tampoco cambia mucho, en la medida que tratemos las operaciones precisamente como operaciones. Por ejemplo, en la operación \( \sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{3}=3 \) no nos importa saber el supuesto valor de \( \sqrt[ ]{2}, \sqrt[ ]{3} \). Nos da bastante igual. Nos basta con transformar operaciones de una en otra siguiendo las normas aritméticas para darnos cuenta de que no es una operación válida o cierta:

\( \sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{3}=3 \)

\( (\sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{3})^2=3^2 \)

\( 4+2\sqrt[ ]{3}\sqrt[ ]{2}+9=9 \). Esta operación se puede considerar falsa sin problemas por expresar una contradicción: \( 9=9\pm{y}, y\neq 0 \), además de que $$y$$ es irracional dado que \( y=4+2\sqrt[ ]{3}\sqrt[ ]{2} \), con lo cual es imposible que la suma de un racional con un irracional dé un racional.

-----------------------------

El cambio radica, básicamente, a nivel conceptual. Dejar de considerar un irracional como un punto ideal (un valor concreto) en la recta de los reales y por tanto del continuo, para considerarlo precisamente un "fragmento" de continuo (un intervalo continuo de racionales).

¿A donde nos puede llevar este cambio de consideración? Ya te he dicho que no sé... aunque tengo mis sospechas. Sin embargo, salta a la vista que mis limitaciones son grandes. Pero si me pongo a especular un poco, pienso que ello nos permitiría "comprender", o al menos tratar con mejores herramientas, la aleatoriedad que, en el fondo, parece regir a los números. Pero no sé... igual no sea así.

Por otro lado, añadir, que plantear esta interpretación me pareció pertinente al hablar del teorema de cantor, pues Cantor define la existencia de un conjunto \( B: B=\left\{{x\in{A}}, x\not\in f(x)\right\} \), cuyos elementos $$x$$ deben de ser elementos precisos y concretos del conjunto A, acaso el conjunto de los reales por ejemplo. Pero si los irracionales no pueden ser valores precisos y concretos, entonces se pueden confundir con tantos otros elementos que queramos y que sí los son, con lo cual esa premisa de Cantor no podría aplicarse.

Ahora bien, en el único caso que esto puede generar un problema es al tratar los irracionales como un conjunto de infinitos números precisos que, supuestamente, están más allá de los infinitos racionales;

¿Qué quieres decir con que "está mas allá de los infinitos de racionales"? Si te refieres de nuevo al Teorema de Cantor que dice que el infinito del conjunto de todos lo irraciones es mayor que el infinito del conjunto de los racionales, estás mezclando cosas.

 Podemos ceñirnos por ejemplo sólo a los números irracionales del tipo \( \sqrt[n]{q} \) con \( q\in \Bbb Q \); y entonces ya no se da esa situación. El infinito del conjunto de ese tipo de irracionales es el mismo que el infinito de los racionales.

 Pero a ti ya no te gusta ni siquiera a las raíces tratarlas con los mismos derechos que a los números racionales.

 Si querías decir otra cosa no se a que te refieres.

No, no quería decir eso. Sólo ponía en duda la visión que parte de esto mismo que comentas aquí:

Por otra parte ya te he dicho mil veces que no hay que usar las cifras decimales para caracterizar \( \sqrt{2} \). La propiedad que lo caracteriza es: ser más pequeño que cualquier racional cuyo cuadrado es mayor que dos y más grande que cualquier racional cuyo cuadrado es menor que dos.

Aquí se está colocando el "supuesto valor puntual" de \( \sqrt[ ]{2} \) más allá de los infinitos racionales posibles; de los "infinitos" racionales que su cuadrado es mayor que 2 y de los "infinitos" racionales que su cuadrado es menor que 2 ¡Como si el infinito indicara un número o una cantidad de racionales concretos muy grande, quizás inimaginable, pero una cantidad que como tal, podemos rebasar en algún instante!

Se afirma, pues, que más allá de los infinitos racionales habría algo etereo, metaracional, inmedible pero imaginable: el mundo de los irracionales.

Desde mi parecer, esto es sólo una forma de interpretar la ecuación \( x^2=2 \); una forma idealista. Y ya expuse que como mínimo hay dos opciones más para interpretarla.

la de considerar que un irracional, acaso \( \sqrt[ ]{2} \), es un valor concreto y preciso, es decir, está super bien definido por el conjunto de todos sus decimales, que son infinitos. (es lo que ha imaginado Richard, por ejemplo). Pero esto no tiene sentido: precisamente que los irracionales conlleven una infinidad de decimales al racionalizarlos indica, precisamente, que no se pueden racionalizar nunca jamás. Es decir, que no hay un conjunto con "todos sus decimales". Pues la infinidad, por definición, no puede ser un todo jamás. Pero nos hemos acostumbrado a tomarla así y nos da igual tales sutilezas.

 Me pregunto si tu cuando consideras un intervalo \( \left(\dfrac{a}{b},\dfrac{a+2b}{a+b}\right) \), consideras que dentro hay infinitos números racionales o sólo un número finito. Yo juraría que hay infinitos racionales, pero según tu "la infinidad no puede ser un todo".

Como ya he dicho antes entiendo que entre dos racionales podemos encontrar tantos racionales como queramos, simplemente porque no hay límite. Y es que no trato el infinito, o la infinitud, como un número o una cantidad, porque entiendo que no lo es. Trato precisamente lo infinito como la idea de que no se termina nunca al no haber límite, un tope o algo diferente que haga de barrera.

Así pues, entiendo,  precisamente, que los racionales son infinitos en el sentido de que carecen de límite porque más allá de los racionales no hay nada más que racionales . Si hubiera algo distinto, acaso irracionales como \( \sqrt[ ]{2} \), entonces, en algún momento los racionales limitarían con algo diferente que les haría de tope, hecho que les conformaría y afectaría de algún modo. Entonces, no serían propiamente infinitos y se podrían tratar como un todo.

[RDC]

No me he explicado bien, porque veo que feriva también comenta algo parecido.

Lo que encuentro curioso es que no podemos desarrollar un método que con UNA SOLA ITERACIÓN o OPERACIÓN nos de un número de decimales de \( \sqrt[ ]{2} \), o cualquier otro irracional, tan grande como queramos.

Cualquiera de estos métodos nos da, en una iteración un número limitado de decimales. Obviamente, luego si vamos iterando (hecho que conlleva capacidad de calculo y memoria) podemos ir acumulando decimales hasta que queramos o bien podamos.

Por ejemplo, imaginamos una operación que introduciéndole un valor a y un número de decimales deseados n, con un par de operaciones nos de una racionalización de un irracional que al pasar a decimal muestre d decimales.

¿por qué de esta imposibilidad?
Quizás no tenga nada que ver con lo que había dicho, pero... es un tema que me da un poco de curiosidad.

Saludos

Y qué pasa con la división a mano de dos números racionales, ¿es sólo una interación? Si hacemos un progama para que cálcule una raíz cuadrada paso a paso, será similar a un programa que calcule paso a paso la división entre dos números. El cociente entre dos números puede ser un racional de mil cifras o de un millón... depende, todo depende, hay muchos racionales que no determinaremos nunca con todos sus decimales.

De hecho, demostrar si un número es racional o no, puede llegar a ser algo muy difícil; de hecho hay números de los que aún no se sabe si son racionales o irracionales. Esto pone de manifiesto... que no estás viendo la cosa como en realidad es

Aquí tienes un vídeo de cómo se demostró la irracionalidad de “pi”

Saludos.

Muy interesante feriva!!

Quizás tengas razón... en otro momento comento a ver qué te parece.

un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

obviamente esto no tiene sentido.

De acuerdo.

Lo que comentaba es que si tratamos \( \sqrt[ ]{2} \), ya no como un número puntual y concreto, sino como un intervalo, entonces lo tratamos como un valor continuo, y no puntual.  ¿Estás de acuerdo de que el valor de un intervalo  de racionales es un valor continuo y no puntual?

Llamarle "valor" a un intervalo de raciones, puede ser discutible. Pero entiendo lo que quieres decir.

Entonces, si asumimos que el valor de \( \sqrt[ ]{2} \) será siempre un intervalo entre 2 racionales, ello nos permite pensar que entre los dos racionales del intervalo siempre hay tantos racionales $$q$$ como queramos que no se distinguen del valor de \( \sqrt[ ]{2} \) que nos proporciona, precisamente, el intervalo. 

Pues la teoría estándar si distingue entre el valor de \( \sqrt{2} \) de sus aproximaciones y sin embargo igualmente nos permite aproximarlo por racionales tan próximos como queramos.

En realidad esto no tiene ningún secreto ni es nada nuevo, ni raro ni complicado -feriva ya comentó algo por el estilo hace unos días, creo recordar. De hecho, seguro que en ingeniería lo usáis a diario:

al medir valores que NO SON CONCRETOS, PRECISOS y PUNTUALES no queda otra que medirlos mediante márgenes de error estimados; y por ello se tratan como valores "continuos".

Efectivamente como ya te he dicho hay una teoría de la aproximación que encaja perfectamente en la matemática standard y no exige poner la igualdad \( \sqrt{2}=\sqrt{2}+1/10 \), que sólo llevará a malentendidos.

\( x=x+error_1+x+error_1+x+error_1.... \) para criticar el cálculo de valores con márgenes de errores, pues, no no me parece acertado.

Ya predije esa respuesta aquí:

Yo no dudo que puedas explicarme que en realidad estoy usando mal tu idea; que la interpretación no es esa; que hay que redefinir las reglas de la suma y lo que significa el signo igual; es decir digamos que puedes arreglar las cosas para que eso tenga sentido. Pero a mi me parece evidente que como punto de partida es una complicación ENORME que antes no existía

Pero como te digo hay una teoría de la aproximación standard:

\( \sqrt{2}=(\sqrt{2})_{aprox}+error \)

donde el igual significa lo que significa en todos los casos; y no se entran en absurdos como el que reconociste al principio. Ni hace falta excepciones para manipulaciones algebraicas.

Y de hecho, como ya he dicho, a efectos prácticos dado que siempre racionalizamos para operar, y luego muchas veces también lo  pasamos a decimal esta interpretación no altera mucha cosa a  nivel práctico. En efecto, más o menos es lo mismo.

Si yo entiendo la idea que tienes a efectos prácticos; trabajar con aproximaciones de la raíz de dos. Pero ya te digo que eso puede hacerse con la matemática estándar, y tu nuevo enfoque sólo introduce inconvenientes. Igualdades chocantes. Comportamientos anómalos del signo igual y del signo más.

Y a nivel teórico, tampoco cambia mucho, en la medida que tratemos las operaciones precisamente como operaciones. Por ejemplo, en la operación \( \sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{3}=3 \) no nos importa saber el supuesto valor de \( \sqrt[ ]{2}, \sqrt[ ]{3} \). Nos da bastante igual. Nos basta con transformar operaciones de una en otra siguiendo las normas aritméticas para darnos cuenta de que no es una operación válida o cierta:

\( \sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{3}=3 \)

Si, es lo que te llevo diciendo varios mensajes. Uno puede operar con \( \sqrt{2} \) sin utilizar su expresión decimal.

¿A donde nos puede llevar este cambio de consideración? Ya te he dicho que no sé... aunque tengo mis sospechas. Sin embargo, salta a la vista que mis limitaciones son grandes. Pero si me pongo a especular un poco, pienso que ello nos permitiría "comprender", o al menos tratar con mejores herramientas, la aleatoriedad que, en el fondo, parece regir a los números. Pero no sé... igual no sea así.

Desventajas: las que te he dicho. Cambias el significado del signo igual, del signo más, o en otro caso se llegan a expresiones absurdas. Ventajas: quien sabe (muy sólidas  ).

Desventajas del enfoque usual: todavía no me has dicho una coherente, porque todo lo que quieres hacer con tu enfoque se puede hacer con el usual.

Por otro lado, añadir, que plantear esta interpretación me pareció pertinente al hablar del teorema de cantor, pues Cantor define la existencia de un conjunto \( B: B=\left\{{x\in{A}}, x\not\in f(x)\right\} \), cuyos elementos $$x$$ deben de ser elementos precisos y concretos del conjunto A, acaso el conjunto de los reales por ejemplo.

No hace falta hablar de irracionales para estudiar el Teorema de Cantor, así que mezclas churras con merinas.

Se afirma, pues, que más allá de los infinitos racionales habría algo etereo, metaracional, inmedible pero imaginable: el mundo de los irracionales.

Que tu seas capaz de imaginar los racionales pero no los irracionales es una cuestión subjetiva. No entro en eso. No veo forma de objetivarlo.

En fin.

Saludos.

[RDC]

No me he explicado bien, porque veo que feriva también comenta algo parecido.

Lo que encuentro curioso es que no podemos desarrollar un método que con UNA SOLA ITERACIÓN o OPERACIÓN nos de un número de decimales de \( \sqrt[ ]{2} \), o cualquier otro irracional, tan grande como queramos.

Cualquiera de estos métodos nos da, en una iteración un número limitado de decimales. Obviamente, luego si vamos iterando (hecho que conlleva capacidad de calculo y memoria) podemos ir acumulando decimales hasta que queramos o bien podamos.

Por ejemplo, imaginamos una operación que introduciéndole un valor a y un número de decimales deseados n, con un par de operaciones nos de una racionalización de un irracional que al pasar a decimal muestre d decimales.

¿por qué de esta imposibilidad?
Quizás no tenga nada que ver con lo que había dicho, pero... es un tema que me da un poco de curiosidad.

Saludos

Y qué pasa con la división a mano de dos números racionales, ¿es sólo una interación? Si hacemos un progama para que cálcule una raíz cuadrada paso a paso, será similar a un programa que calcule paso a paso la división entre dos números. El cociente entre dos números puede ser un racional de mil cifras o de un millón... depende, todo depende, hay muchos racionales que no determinaremos nunca con todos sus decimales.

De hecho, demostrar si un número es racional o no, puede llegar a ser algo muy difícil; de hecho hay números de los que aún no se sabe si son racionales o irracionales. Esto pone de manifiesto... que no estás viendo la cosa como en realidad es

Aquí tienes un vídeo de cómo se demostró la irracionalidad de “pi”

Saludos.

Hola feriva de nuevo,


Hay algo curioso en esto de las raíces, y en concreto de \( \sqrt[ ]{2} \). No sé si también sucede con los trascendentales.

Tenemos que \( \sqrt[ ]{2} \) surge de afirmar que:

\( x^2=2 \). Y sabemos que no hay solución para \( x=\displaystyle\frac{a}{b} \) y por tanto para:

\( a^2=2b^2 \)

Ahora bien, sí parece haber solución para:

\( a^2=2b^2\pm{1} \), es decir \( a^2-b^2=b^2\pm{1} \)

Esta solución es precisamente la escalera de Eudoxo; tanto la mayor como la menor. Y me ha sorprendido apreciar como la podemos expresar gráficamente mediante el triángulo de Fermat (vaya, sólo le veo cosas en el triángulo del francés). La escalera menor es la azul, y la mayor la verde:



Tenemos, pues, dos series de racionales para la escalera de Eudoxo para \( \sqrt[ ]{2} \) con un clarísimo orden (La serie mayor y la menor). Vayamos a la menor, y la disponemos así:

\( \displaystyle\frac{1}{1},\displaystyle\frac{3}{2},\displaystyle\frac{7}{5},\displaystyle\frac{17}{12},\displaystyle\frac{41}{29},\displaystyle\frac{99}{70},\displaystyle\frac{239}{169},\displaystyle\frac{577}{408},\displaystyle\frac{1393}{985},\displaystyle\frac{3363}{2378},... \)

cada elemento de la serie ocupa, pues, un lugar $$n$$.

La cuestión es:

¿Es posible generar un método de poco cálculo capaz de obtener el racional de cualquier posición de la serie?

Ya colgué en el foro una superfracción para cualquier raíz cuadrada como un primer intento para ello. Lo curioso de esa superfracción es que toma como constantes los valores de las series numéricas que constituyen el triángulo de Pascal (\( s_1=1,1,1,1... s_2: 1,2,3,4,5,... s_3: 1,3,6,10,15,... \)) etc.

Pero esa superfracción es más algo curioso y conceptual, que operativo; pues termina siendo algo muy farragoso de operar.

Esta tarde me ha venido en mente otra operación algo básica como un tanteo preliminar. esta operación permite ir de la posición $$n$$ de la escalera de Eudoxo a la posición $$2n$$. Y quizás pueda tener cierto interés educativo; o igual ya es algo conocido -no sé.

La operación de iteración general para cualquier raíz cuadrada me parece bastante simple; es:

\( \sqrt[ 2]{x}\sim{\displaystyle\frac{a}{b}}\approx{\displaystyle\frac{a^2+xb^2}{2ab}} \)

Para \( \sqrt[ ]{2} \), pues, $$x=2$$. de modo que\( \sqrt[ ]{2}\sim{\displaystyle\frac{a}{b}}\approx{\displaystyle\frac{a^2+2b^2}{2ab}} \).

Por tanto, si empezamos en:

\( \displaystyle\frac{1}{1} \)(p:1); entonces obtenemos \( \displaystyle\frac{3}{2} \)(p:2) 

\( \displaystyle\frac{3}{2} \)(p:2); entonces, obtenemos \( \displaystyle\frac{17}{12} \)(p:4) 

\( \displaystyle\frac{17}{12} \)(p:4); entonces obtenemos \( \displaystyle\frac{577}{408} \)(p:8) 

Etc...


Como he dicho, igual puede ser interesante aplicar este método para resolver raíces cuadradas en la ESO. Parece un método muy sencillo:

Dado un natural $$x$$ cualquiera, acaso $$x=3459$$ por ejemplo, buscamos \( y, y=\sqrt[ ]{3459} \)

Primero buscamos una aproximación que sea un múltiplo de:

a) Si x<100 la aproximación será un natural menor que 10.

b) si x<10.000 la aproximación será un múltiplo de 10.

c) Si x<1.000.000 la aproximación será un múltiplo de 100

etc...

En este caso la aproximación puede ser fácilmente 60 dado que \( 6^2·10^2=3600\sim{x=3459} \)

Entonces aplicamos iteración:

\( \displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{60}{1}\rightarrow{\displaystyle\frac{a^2+xb^2}{2ab}}=\displaystyle\frac{60^2+3459·1^1}{2·60·1}=\displaystyle\frac{3600+3459}{120} \). Obtenemos, pues:

\( \displaystyle\frac{7059}{120}\sim{58.82} \) Que no es un mal resultado para la ESO.

Pero se puede iterar otra vez.

Nota: cuando obtenemos una aproximación racional y queremos iterarla de nuevo, sólo entonces es posible modificar LIGERAMENTE el numerador para simplificar el racional y que sea más fácil iterar. En este caso podemos hacer lo siguiente:

\( \displaystyle\frac{7059}{0120}\sim{\displaystyle\frac{7060}{120}}=\displaystyle\frac{706}{12}=\displaystyle\frac{353}{6}\sim{\displaystyle\frac{354}{6}}=59 \)

Por tanto:

\( \displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{59}{1}\rightarrow{\displaystyle\frac{a^2+xb^2}{2ab}}=\displaystyle\frac{59^2+3459·1^1}{2·59·1}=\displaystyle\frac{3481+3459}{118} \). Obtenemos, pues:

\( \displaystyle\frac{6940}{118}=\displaystyle\frac{3470}{59}\sim{58.8135} \)

Anexo:

A bote pronto es posible hacer esta iteración el doble de rápido, aunque el cálculo se hace más complejo:

Partimos de \( \displaystyle\frac{a}{b}\longrightarrow{\displaystyle\frac{a^2+xb^2}{4ab}+\displaystyle\frac{xab}{a^2+xb^2}} \)


En definitiva:

podemos reducir el problema de racionalizar raíces a localizar los números racionales de sus series características. Me ha parecido muy curioso.

Un saludo









 

[Restituto]

RDC, lo que intentas hacer rechazando los números puntuales irracionales que es una forma de rechazar el infinito actual, lo ha investigado mucha gente, aunque probablemente el más conocido sea L. E. J. Brouwer y su intuicionismo, él hablaba de "free choice sequences" o secuencias de elección libres que eran algo parecido a números que se van aproximando, en vez de tener un carácter puntual definido. Este factor temporal o "provisional" de estas secuencias choca frontalmente con la lógica matemática clásica y la formalización, por lo que la idea original de Brouwer murió con él y el intuicionismo constructivista que desarrollaron algunos de sus alumnos siguió otros derroteros. En cualquier caso la matemática standard admite también aproximaciones arbitrarias en la práctica como dice Luis, aunque a nivel filosófico las trata de manera totalmente diferente encajadas en su formalismo de números reales.

[sugata]

¿Para qué aproximar una raíz cuadrada cuando tienes un algoritmo que te da la solución exacta?