Hola Richard, bienvenido al hilo.
Es más, algunos como sugata dijisteis algo sorprendidos como podía estar afirmando la locura de que:
\( \sqrt[ ]{2}\pm{y}=\sqrt[ ]{2}, y\neq0 \)
Soy consciente de que presentado así, a lo bruto, esto no se come por ningún lado.
Va por delante que no soy matemático y solo voy a aplicar ingeniería de métodos simplificada.
Convengamos que existe un método numérico para calcular todos los decimales se nos antoje de $$\sqrt2$$ mediante ordenador si quieres para hacerlo rápido y no hay duda de la veracidad del resultado con la precisión que se necesite.
Dicho esto sí es realmente una locura, sí es que se supone que sabes restar o sumar,
Si eres consciente pues por qué lo presentas si nadie se lo puede comer, buscas a algún incauto en el foro?
Sé sumar y restar números racionales, pero no irracionales. Y veo que, en realidad, a ti te sucede lo mismo. De eso va el tema: para poder sumar/restar supuestos números puntuales irrracionales lo que hacemos, como bien indicas tu mismo por ejemplo, es intentar racionalizarlos de algún modo a través de fracciones o decimales.
Es decir, podemos considerar que \( \sqrt[ ]{2} \) es un hipotético valor no racional que se encontraría entre 1 y 2, no porque nos lo indique la propia expresión \( x^2=2 \), de donde sacamos que \( \sqrt[ ]{2}=x \) (que raíz de dos es un valor puntual), sino porque aplicamos una racionalización (que es una similitud racional). Solo a través de esta estrategia de racionalización podemos imaginar que el valor de \( \sqrt[ ]{2} \) forma parte del intervalo: \( (\displaystyle\frac{3}{2},\displaystyle\frac{7}{5}) \), o de este \( (\displaystyle\frac{17}{12},\displaystyle\frac{41}{29}) \), o tantos otros más.
En realidad la necesidad nuestra de racionalizar raíz de 2 para manejarlo de alguna forma, implica tomar de algún modo la opción 2 que ya he comentado algunos post atrás al intentar dar sentido a la afirmación $$x^2-2=0$$, de donde surge la afirmación de que raíz de 2 es un valor concreto.
Tu mismo dices: imaginemos un método que nos pueda dar todos los decimales posibles de \( \sqrt[ ]{2} \). Entonces vemos que la expresión \( \sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{2}=\pm{y},y\neq 0 \) resulta absurda porque podemos aplicar una resta clara con todos sus decimales.
Pero, pienso que aquí te engañas, simplemente porque tal método de racionalización de \( \sqrt[ ]{2} \)
no puede existir, dado que eso implicaría que el valor de \( \sqrt[ ]{2} \) sería racional, y está demostrado que no puede ser racional, porque al pretenderlo entramos en contradicción y obtenemos, precisamqente, que \( \sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{2}=\pm{y}, y\neq 0 \).
Sabemos, pues, que \( \sqrt[ ]{2}=x \) no tiene solución racional, con lo cual no podemos hallar "todos sus decimales" porque no tiene sentido alucinar con imaginar que \( \sqrt[ ]{2} \) es un determinado conjunto de decimales. Pues, ¿no equivaldría eso a decir que es racional? Pero no lo puede ser.
Lo que sí podemos hacer es considerar que \( \sqrt[ ]{2} \) es
similar a un conjunto de racionales, o que es
aproximado a un conjunto de decimales, o que es un
intervalo entre dos conjuntos de decimales. Mi opción es tratarlo del tercer modo: como un intervalo entre dos racionales. Y dado que un intervalo no es un valor concreto y puntual, entonces lo considero un valor continuo (no transitivo). De modo que, sólo en tal caso, tiene sentido afirmar que:
\( \sqrt[ ]{2}-\sqrt[ ]{2}=\pm{y}, y\neq 0\longrightarrow{intervalo-intervalo=\pm{q}} \), si damos ciertas consideraciones a este intervalo.
Obviamente uno puede decir que eso es un rollo y que me complico la vida. Vale, pero eso es una opinión completamente subjectiva de tal persona. Con lo cual no puedo hacer nada.
Así pues, todo esto, que entiendo que pueda parece muy raro, viene a cuento por el hecho de que desde mediados del s.XIX tratamos los valores irracionales como hipotéticos valores puntuales y concretos que se encontrarían más allá de los racionales (signifique eso lo que signifique). Y pienso que esto no es cierto, o al menos hay otra opción más racional de concebirlo: tomarlo como un intervalo de racionales y por tanto como un valor no continuo, como ya he dicho.
Ello nos lleva a valorar, también, que la idea de que un conjunto de infinitos elementos es, precisamente, un conjunto que engloba a "
a todos los elementos con una determinada característica", me parece una idea contradictoria. Me parece que la idea de "Infinito" es contradictorio con la idea de "Todo", que es un concepto racional y finito. En tal sentido, pues, suponer que existe "el conjunto de todos los racionales" como un conjunto de infinitos elementos me parece dudoso y, acaso, un brindis al sol.
Y observo que considerar que un conjunto tal existe no es algo baladí. Implica suponer, por ejemplo, que si cogemos el conjunto infinito de todos los racionales y nos vamos al infinito entonces podemos alcanzamos el final del conjunto, donde se puede imaginar que ya nos encontramos con otra cosa distinta a los racionales; acaso los hipotéticos valores irracionales.
Esto es muy dudoso, de hecho no es más que idealismo aplicado a las matemáticas. No niego que no sea una opción, pero entiendo que hay otras. Como la que tanteo por aquí.
Saludos
