El algoritmo que enseñan en los colegios...
https://www.epsilones.com/paginas/articulos/articulos-107-algoritmo-raizcuadrada.html#:~:text=El%20algoritmo,-Por%20si%20alguien&text=Paso%201%3A%20se%20escribe%20el,primera%20cifra%20de%20la%20ra%C3%ADz.
Pues claro, de acuerdo contigo, que más necesita, quiere tener un algoritmo que con una iteración le de los numeros de la raiz cuadrada, pero luego propone una serie que tiene n elementos calculados obviamente por n iteraciones, y dice que será mejor, la verdad es que no se de que va el hilo ya realmente.
Me pregunto cuando RDC lee lo siguiente
1
que entiende por ese simbolo? un número un natural, un racional, un irracional?
Por qué me lo pregunto? porque
1 lo vemos definido como número natural, pero \( \dfrac{1}{1}=\dfrac{2}{2}=1 \) es una forma de representar al 1 como un racional, pero también lo puedes pensar con la misma extensión en decimales que un irracional, yo entiendo que el 1 es el 1.00000000... con todos los decimales luego de la coma igualados a cero , si existe uno que no fuera cero entonces ya no sería 1.
Entonces la pregunta es ....si sobreentender que todos esos decimales son cero hacen del 1 un número único, porque no entender que 0.3333333... con todos los decimales iguales a 3 no es igual a 1/3 o bien que cuando lea
$$\sqrt{2}$$
entienda que es un número que se escribe
1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766793799..... $$
con la precisión o cantidad de decimales que desees obtenidos por un simple algoritmo, y cuando presentes un número similar con algún decimal diferente a lo que te da ese algoritmo, "solo" uno entre la cantidad arbitraria que te propongas, pues entonces ese número ya no es $$\sqrt2$$.
El algoritmo es un método, que te dara la raiz cuadrada de lo que dentro le pongas, en este caso hablamos del número 2, así no podemos decir que el algoritmo es el número, sino que el número es lo que se obtiene de aplicar el algoritmo, y la prueba está en que que al elevar al cuadrado ese número , multiplicando todas sus cifras consigo mismo, tiene que resultar el número 2,00000000.... o 1.9999999.... con la precisión que desees y al final un error de truncamiento del método, que si no lo truncas dará alguna vez exacto, no hay lugar para dos valores diferentes.
Entonces $$\sqrt2$$ es el resultado de aplicar el método o función raíz cuadrada al número 2 , de modo que para no escribir todos los números que se quieran uno detrás de otro obtenidos con el método y se lo representa $$\sqrt2$$ a secas , pero todo el mundo entiende que tiene infinitos decimales, que son anecdóticos conocer, del mismo modo que es anecdótico conocer que el entero 1 tiene infinitos decimales 0 y como que el 1/3 tienen infinitos decimales iguales a 3.
Saludos
Hola Richard, Luís y también sugata.
tal y como lo veo, y estoy de acuerdo con Luis en esto, cabría distinguir:
1) Primero, la afirmación \( x^2=2 \), la cual consideramos que es cierta si suponemos que existe un valor para $$x$$ que NO SERÁ RACIONAL, sino algo que está más allá de los racionales, como solución de ella -
con lo cual hace que la afirmación sea cierta y no una contradicción. Nos imaginamos que existe este hipotético valor escribiendo precisamente \( X=\sqrt[ ]{2} \).
2)Luego, por otro lado, tenemos las expresiones racionales, que si bien no dan ninguna solución para \( x^2=2 \), que es la ecuación de marras, dan solución a expresiones SIMILARES tipo, \( x^2=2\pm{n} \); por ejemplo el caso de la escalera de Eudoxo se da cuando n=1. Pero $$n$$ podría ser cuaqlueir valor racional.
3) Y finalmente, comiendo a parte, tenemos las expresiones decimales, como 1.4 o 1.414, etc. Las expresiones decimales ya son una manipulación de las expresiones racionales en base a una base decimal (\( 10^n \)). Por tanto, no sólo ninguna de ella satisface jamás la afirmación inicial \( x^2=2 \), sino que suelen implicar ya cambiar los racionales usados para "aproximar".
Ahora bien, entiendo, después de vuestras aportaciones, que como comenta Luís es un handicap pensar que \( x^2=2 \) no tiene solución, y que a lo sumo lo podemos representar como una eterna aproximación o un intervalo, o un margen de error, o un valor continuo (no sé como decirlo). Porque si no se considera que existe tal valor puntual entonces no tiene sentido afirmar que toda aproximación o similitud racional a \( x^2=2 \) CONVERGE, en el infinito, a ese valor. Por tanto, entiendo que diga que abrimos un problema que parece que sobra.
así pues, en el fondo, se pone en duda la idea de convergencia al infinito, uno de los fundamentos de nuestras matemáticas modernas. Por ejemplo, en base a esta idea podemos defender que si vamos partiendo una distancia por la mitad al infinito esta converge a 0.
Saludos
