hola richard
Hola como va ,RDC
Cuando vamos iterando \( x^2-2=\pm{q} \) y $$q$$ se hace cada vez menor y menor, ciertamente podemos afirmar que $$q$$ converge a 0. Pero que converja a 0 significa, precisamente, que nunca será o. .... ¿O me equivoco?
A lo que te respondo, cuanto es cero? cero es lo que sigue? "0" o es esto que sigue" 0.0000000000000000000000000...." cuantos ceros tengo que escribirte para convencerte de que cero es cero... para lo cual te digo cuantos digitos tengo que escribir para convencerte que "1.4142..." es la raíz cuadrada de 2 que la podemos resumir notacionalmente como tu lo haces con el cero escribiendo "0" a secas, y yo te escribo "$$\sqrt2$$" , si al cero le quiero poner precisión de mil dígitos pues será "0," mas mil dígitos cero, y la precisión de la raíz será "1," y 1000 dígitos sacados de un algoritmo. Pero tu me dices que el cero representa al cero sin saber que hay mas allá de esos mil ceros o del primero de ellos, pero no le aplicas el mismo criterio a los dígitos mas allá de 1000 de la raíz, (yo creo que porque como presupones no son cero los dígitos que continúan en el número entonces acarrean un error mayor y no te parecen correctos) pero si avanzo en el cálculo del error cometido verás que en ambos casos está acotado al mismo valor, " en la última cifra".
En cualquier caso, comentaba es que la convergencia toma sentido, no de forma absoluta, sino de forma RELATIVA. Si vemos que $$q$$ converge a 0 es porque vemos que $$q_1<q_2<q_3...<q_n$$, no porque estemos REALMENTE más cerca de 0.
Aver que si entiendo tu idea de fondo entonces hay una errata de tipeo, dime te he entendido bien, quieres decirme...
Me parece que sí habría diferencia entre racionales y irracionales en este aspecto que comentas sobre las aproximaciones. ¿Acaso Dedekind no lo tiene claro cuando define de forma distinta la cortadura que representa un racional y la que representa un irracional?
Para Dedekind un racional es: dada la intersección, que siempre es \( \emptyset \), entre el conjunto de racionales sin máximo que son menores que el propio número y con el conjunto de racionales con
un mínimo que son mayores que él. Precisamente este
mínimo es el propio número racional. Por tanto, presupone que la convergencia de los dos conjuntos se "materializa" en los racionales a través del propio
mínimo, que es el racional mismo.
En cambio define al irracional de forma muy distinta: la intersección, que siempre es \( \emptyset \), entre el conjunto sin máximo de racionales que son menores que el racional y el conjunto sin
mínimo de los racionales son mayores que el racional. Por tanto, lo que nos dice Dedekind, entiendo, es que esta intersección no es propiamente \( \emptyset \), sino que contiene al irracional.
Por tanto, si haces aproximaciones a 0, el propio 0, siendo racional, al final formará parte de tus aproximaciones como
mínimo de la aproximación. En cambio, con un irracional eso nunca sucederá, pues no hay
mínimo alguno.
Hablando de Dedekind:La principal duda que tengo es la de suponer, como hace Dedekind, que podamos dividir o dividir por la mitad una densidad infinita, como cortar el conjunto de racionales por la mitad.
Para cortar algo es necesario llegar hasta el fondo sin más. Lo único que podemos hacer es cortar en un punto concreto, que será el
mínimo de una cortadura, por así decirlo.
Pero considerar que dos intervalos abiertos, sin mínimo ni máximo, forman una cortadura en los racionales eso está muy lejos de estar demostrado. Y luego suponer que al generar esta cortadura, en la intersección al infinito de ambos conjuntos encontramos, en vez de nada, algo que no tiene nada que ver con los elementos de los dos conjuntos que estamos trabajando, pues, me parece un brindis al sol.
Lo que propongo, visto lo de Dedekind, es que en una cortadura que no hay
mínimo entonces, la intersección nunca es \( \emptyset \), sino que la intersección nos da un intervalo de racionales. Y este intervalo es, precisamente, el número irracional.
En cualquier caso, comentaba es que la convergencia toma sentido, no de forma absoluta, sino de forma RELATIVA. Si vemos que $$q$$ converge a 0 es porque vemos que $$q_1>q_2>q_3...>q_n$$, no porque estemos REALMENTE más cerca de 0.
Define que quieres decir con cerca, ? yo lo entiendo como la diferencia ente el valor calculado en la serie en la iteración n y el valor teorico a obtener digamos que escribo 1.414 para n=3 el siguiente valor es 2 por lo que el error que cometo esta acotado en 0.0002 y 0.0003 , si lo hago para n=8 que tambien tiene como siguiente valor al 2 el error que cometo ahora esta acotado en 0.000000002 y 0.000000003 , la distancia al valor real desde 1.414 es 0.0001 como máximo y es 100000 veces mayor a la máxima distancia que hay partiendo desde 1,41421356 hasta el valor real. Entonces n=8 esta mas cerca que n=3 sin importar a que valor de n tengas que llegar posteriormente para obtener el valor real.
me parece otra ilusión.
Que nunca puedas llegar no significa que no estés más cerca, un ejemplo diferente, pero ilustrativo, imagina una trayectoria elíptica de un objeto orbitando a otro que está en el foco de la elipse, habrá un lugar donde esté más cerca(la distancia mas corta) aunque no lo pueda nunca alcanzar, pero no por ello nos vamos a privar de decir que está más cerca cuando se ubica sobre el periastro.
Puedes decir que siempre te acercas pero cada vez mas lento o a menos tasa ,produciendo el efecto de nunca alcanzar, pero eso no significa que no estés mas cerca.
interesante ejemplo, Richard, pero no es lo mismo que he planteado. Y continuamos con el mismo dilema: un irracional nunca puede ser un punto concreto respecto a los racionales, y como sólo podemos usar racionales para comprenderlo y tratarlo, como bien se aprecia en Dedekind mismo por ejemplo, entonces o bien lo tratamos como un intervalo (un valor continuo de racionales) o bien como un elemento que estaría más allá de los racionales todos. ¿Donde estaría? ¿Qué significa eso?... Estas preguntas, pero, parece que no importan.
simplificamos y lo usamos.
Exactamente, aplicado a este problema $$\sqrt2-\sqrt2=0$$, simplificamos y lo usamos.
Insisto, entiendo que infinito no es un número, ni una cantidad, sino lo idea de que no se termina nunca. Por tanto cuando tienes una serie de términos que se van sumando de forma indefinida, pues entiendo que sucede lo mismo que en el ejemplo del camino.
Si sucede lo mismo que en el camino, entonces te sigues acercando, nunca terminas, y si truncas el camino tienes un error, que es lo que nos quieres imponer con $$\pm z$$ pero si entiendes que con la notación $$\sqrt2$$ ya viene con todos los decimales cargados indefinidamente , entonces tienes que entender que $$\sqrt2-\sqrt2=0.00000....=0$$ todos los decimales de cero serán cero osea $$z=0$$
Imaginemos que existe el número:
\( 2x-2x^2=1 \), y llamamos a tal número \( 2x=2\otimes{z} \).
No sabemos su valor, pero sabemos que:
0)\( 2\otimes{z}-(2\otimes{z})^2=1 \) Con lo cual se demuestra que no puede ser racional.
1) \( 7(2\otimes{z})+1-\sqrt[ ]{2}=m=1+(2\otimes{z})7-\sqrt[ ]{2} \), y consideramos $$m$$ también un hipotético número concreto, con lo cual cumple la regla de la suma y multiplicación.
2) \( 2\otimes{z}·2\otimes{z}=2(2\otimes{z}) \)
3) \( 2\otimes{z}-(2\otimes{z})^2+1=1 \). Entonces $$x=1\longrightarrow{2x=2}$$
Por tanto, podemos afrmar que este número existe y es aquel que al sumarle 1 a la resta de él con su cuadrado da 1.
¿Qué hay de verdad en todas estas definiciones? Obviamente las podemos usar, y de hecho podemos decir que hemos hallado un nuevo real irracional. Pero, ¿no es eso un mero juego de símbolos sin sentido porque \( 2\otimes{z} \) es un símbolo operacional sin realmente un valor?
un saludo
La verdad no te he entendido bien, si es que había una analogía , me parece que hay otro gazapo , si tengo\( 2x-2x^2=1 \) entonces $$x$$ es un número complejo, y estamos hablando de otra cosa no de irracionales.
Por otro lado me parece que aquí hay otro error
si \( 2x-2x^2=1 \), y llamamos a tal número \( 2x=2\otimes{z} \).
entonces
$$2x^2\neq (2\otimes{z})^2$$ . indicame si hay tal gazapo o no soy capaz de interpretarte.
para mi
$$2x^2= (2\otimes{z}^2)$$ que es diferente interpretación me parece tener cierto sentido
Saludos
Bueno lo de este ejemplo lo único que obtenemos, ahora que me lo miro bien es un polinomio, o una ecuación de segundo grado:
\( 2x-2x^2=1\longrightarrow{x^2-2x+1=} \), y la solución no es real. Pero como podemos imaginar que todo puede tener solución, entonces creamos los complejos como puntos del plano numérico.
Y, alto, no estoy en contra de considerar que todos los polinomios tienen solución y de que toda expresión u opración que parezca converger a valores singulares se tome como soluciones de ellas. Esto es muy práctico. Lo que digo que es que los irracionales pueden "verse" como intervalos de racionales.
Pero claro, si los irracionales se ven como intervalos de racionales, entonces, ¿no habría forma de relacionarlos biyectivamente con los racionales?
Saludos
