[feriva]

Hola

La cuestión es que el 9 no puede estar solo (en medio y sin nadie más) porque entonces existiría un siguiente y un anterior respecto de los extremos implicados en los intervalos,

No entiendo que quieres decir con eso.

y eso sabemos que no pasa ni siquiera con los racionales; por eso tiene que haber irracionales necesariamente, dado que no existe ningún racional que sea mayor y menor que 9 a la vez.

Y por tanto tampoco que tiene que ver con que haya o no irracionales.

Entiendo que si no existiera el infinito, los números naturales no podrían ser tan grandes como se quisiera; pues entonces existiría un “n” máximo y, por tanto, de ahí no se podría pasar, no se podría decir eso de “tan grande como se quiera”.

Por la misma razón, no se podrían elegir dos racionales tan cercanos como se quisiera, pues existiría una distancia mínima que sería 1/n (con el mismo “n” máximo de antes). Dicho de otra manera, no podríamos elegir racionales con una mantisa tan larga como se quisiera (dejando aparte los periódicos).

A partir de esta observación concluyo que, si no existieran los irracionales, los racionales tendrían siguiente y anterior, como los enteros.

En los intervalos del ejemplo que ponía, (1,9); (9,15), el 9 es el ínfimo del primer intervalo y también es el supremo de segundo, está emparedado. He considerado que en los intervalos sólo hay racionales (no digo que existan o no) pero el nueve y su entorno no está sujeto a esa consideración. Para que no quede un agujero en el entorno del nueve (fuera de los paréntesis) tienen que existir otros números; y no pueden ser racionales, porque los racionales “anteriores” y “siguientes” están dentro de los paréntesis. Entonces, o bien entendemos que quedan agujeros o bien entendemos que en los paréntesis están el anterior y el siguiente a nueve. Ninguna de las dos cosas puede ser, así que tiene que haber irracionales mayores que los números del primer intervalo y menores que los del segundo

Ahora bien, si el intervalo lo definimos por comprensión, en vez de por extensión, y decimos, por ejemplo, que aquí (a,b) están todos los racionales cuyos cuadrados son menores que raíz de 2, y, aquí, (b,c) todos los racionales cuyos cuadrados son mayores, entonces en medio sólo puede haber un candidato a racional, raíz de 2.

Tampoco entiendo del todo esto. Por que de hecho no hay ningún racional que sea raíz de dos.

Saludos.

Claro, por eso digo "candidato"; porque al final no resulta ser racional y no hay ninguno racional fuera de los paréntesis.

Muchas gracias, Luis.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Entiendo que si no existiera el infinito, los números naturales no podrían ser tan grandes como se quisiera; pues entonces existiría un “n” máximo y, por tanto, de ahí no se podría pasar, no se podría decir eso de “tan grande como se quiera”.

Esto no se como interpretarlo; no se si me estás hablando de una existencia filosófica o a que llamas infinito.

Si llamas infinito a la propiedad de que un conjunto totalmente ordenado no tenga máximo, tautológicamente si no existiese el infininto los naturales tendrían máximo.

Por la misma razón, no se podrían elegir dos racionales tan cercanos como se quisiera, pues existiría una distancia mínima que sería 1/n (con el mismo “n” máximo de antes). Dicho de otra manera, no podríamos elegir racionales con una mantisa tan larga como se quisiera (dejando aparte los periódicos).

Más de lo mismo. Lo que necesitamos aquí es que haya naturales tan grande como queramos. Si eso es que exista el infinito, de acuerdo.

Digo esto porque uno puede trabajar con racionales y enteros sin mencionar en ningún momento la palabra infinito ni hacer un requiebro para evitarla.

A partir de esta observación concluyo que, si no existieran los irracionales, los racionales tendrían siguiente y anterior, como los enteros.

No esto no tiene nada que ver. Los racionales son un conjunto totalmente ordenado donde cada elemento no tiene ni siguiente ni anterior, porque dados dos racionales \( a,b \), \( (a+b)/2 \) es otro racional en medio.

Y no hace falta hablar de irracionales para esta propiedad.

Saludos.

[feriva]

Hola

Entiendo que si no existiera el infinito, los números naturales no podrían ser tan grandes como se quisiera; pues entonces existiría un “n” máximo y, por tanto, de ahí no se podría pasar, no se podría decir eso de “tan grande como se quiera”.

Esto no se como interpretarlo; no se si me estás hablando de una existencia filosófica o a que llamas infinito.

Si llamas infinito a la propiedad de que un conjunto totalmente ordenado no tenga máximo, tautológicamente si no existiese el infininto los naturales tendrían máximo.

Por la misma razón, no se podrían elegir dos racionales tan cercanos como se quisiera, pues existiría una distancia mínima que sería 1/n (con el mismo “n” máximo de antes). Dicho de otra manera, no podríamos elegir racionales con una mantisa tan larga como se quisiera (dejando aparte los periódicos).

Más de lo mismo. Lo que necesitamos aquí es que haya naturales tan grande como queramos. Si eso es que exista el infinito, de acuerdo.

Digo esto porque uno puede trabajar con racionales y enteros sin mencionar en ningún momento la palabra infinito ni hacer un requiebro para evitarla.

A partir de esta observación concluyo que, si no existieran los irracionales, los racionales tendrían siguiente y anterior, como los enteros.

No esto no tiene nada que ver. Los racionales son un conjunto totalmente ordenado donde cada elemento no tiene ni siguiente ni anterior, porque dados dos racionales \( a,b \), \( (a+b)/2 \) es otro racional en medio.

Y no hace falta hablar de irracionales para esta propiedad.

Saludos.

Ya he mirado en la Wiki lo de las cortaduras; estába interpretando una cosa que no era. Creía que se entendía que en caso de tener un intervalo de racionales así, por ejempl, \( (2;\,3,1416) \), se entendía que el número pi (por poner un caso) quedaba “fuera” por no ser racional, pese a ser menor que el supremo; y no se entiende así, queda fuera del conjunto considerado, pero no fuera del intervalo. Estaba entendiendo mal, por eso decía que el nueve no estaba solo.

Me había perdido un poco con la explicación de RDC; y yo no conocía esto (si recuerdo que, hace mucho, Argentinator puso por ahí la construcción de los reales usando las cortaduras, pero sólo recordaba el nombre, no lo que se hacía).

Siendo así ya no necesito recurrir a filosofías

Muchas gracias, Luis.

Saludods.

[RDC]

Hola

Entiendo que si no existiera el infinito, los números naturales no podrían ser tan grandes como se quisiera; pues entonces existiría un “n” máximo y, por tanto, de ahí no se podría pasar, no se podría decir eso de “tan grande como se quiera”.

Esto no se como interpretarlo; no se si me estás hablando de una existencia filosófica o a que llamas infinito.

Si llamas infinito a la propiedad de que un conjunto totalmente ordenado no tenga máximo, tautológicamente si no existiese el infininto los naturales tendrían máximo.

Por la misma razón, no se podrían elegir dos racionales tan cercanos como se quisiera, pues existiría una distancia mínima que sería 1/n (con el mismo “n” máximo de antes). Dicho de otra manera, no podríamos elegir racionales con una mantisa tan larga como se quisiera (dejando aparte los periódicos).

Más de lo mismo. Lo que necesitamos aquí es que haya naturales tan grande como queramos. Si eso es que exista el infinito, de acuerdo.

Digo esto porque uno puede trabajar con racionales y enteros sin mencionar en ningún momento la palabra infinito ni hacer un requiebro para evitarla.

A partir de esta observación concluyo que, si no existieran los irracionales, los racionales tendrían siguiente y anterior, como los enteros.

No esto no tiene nada que ver. Los racionales son un conjunto totalmente ordenado donde cada elemento no tiene ni siguiente ni anterior, porque dados dos racionales \( a,b \), \( (a+b)/2 \) es otro racional en medio.

Y no hace falta hablar de irracionales para esta propiedad.

Saludos.

Ya he mirado en la Wiki lo de las cortaduras; estába interpretando una cosa que no era. Creía que se entendía que en caso de tener un intervalo de racionales así, por ejempl, \( (2;\,3,1416) \), se entendía que el número pi (por poner un caso) quedaba “fuera” por no ser racional, pese a ser menor que el supremo; y no se entiende así, queda fuera del conjunto considerado, pero no fuera del intervalo. Estaba entendiendo mal, por eso decía que el nueve no estaba solo.

Me había perdido un poco con la explicación de RDC; y yo no conocía esto (si recuerdo que, hace mucho, Argentinator puso por ahí la construcción de los reales usando las cortaduras, pero sólo recordaba el nombre, no lo que se hacía).

Siendo así ya no necesito recurrir a filosofías

Muchas gracias, Luis.

Saludods.

Mira, feriva, me acaba de saltar este video que es muy ameno al respecto de las cortaduras de Dedekind:

https://www.youtube.com/watch?v=WzkLZhgm63Q

[feriva]

Mira, feriva, me acaba de saltar este video que es muy ameno al respecto de las cortaduras de Dedekind:

https://www.youtube.com/watch?v=WzkLZhgm63Q

Muchas gracias, RDC.
Creo que lo vi hace tiempo, sigo ese canal, t me gusta mucho; además, el matemático también es dibujante, todas las caricaturas y animaciones de Gauss, Euler… y demás familia son suyas.

Decías por ahí una cosa a Richard sobre que eso de las cortaduras no se puede demostrar (o algo en ese sentido, ahora no encuentro dónde estaba). Pero es que es una construcción, no una demostración. Como dice el profesor del vídeo, hacía ya muchos siglos que se sabía, por ejemplo, que raíz de 2 era irracional.
Precisamente, yo entendí mal el asunto debido un poco a eso.

Saludos. 

[Richard R Richard]

Creo haber entendido las cortaduras, pero no imagino intervalos de irracionales,  pues no los hay, se pueden imaginar conjuntos numerables de racionales ordenados, pero no son consecutivos, no es un intervalo continuo,  creo lo aclaró Luis, av er,  si me puedo explicar.

Mi imaginación me dice que a derecha  e izquierda de un racional solo hay un irracional,  así que el intervalo de racionales ,corchetes arriba o hacia abajo,  si empieza, empieza luego de un irracional.

Mi conclusión no hay dos racionales consecutivos pues hay infinitos irracionales en medio.

La semisuna de dos irracionales consecutivos no es racional ,o mejor dicho, no es posible hablar de irracionales consecutivos ya que la semisuma está en medio y debe ser irracional.
Si la semisuma de dos irracionales da un racional, pues entonces no eran consecutivos.

Dicho esto no veo igual como la suma de dos irracionales no puede dar cero,$$3\pi$$ sumado a $$-3\pi$$ es decir si defino el irracional $$\sqrt2$$ también  se puede definir su opuesto $$-\sqrt2$$ como otro irracional , y su suma, entiendo no puede ser otra cosa que cero.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Creo haber entendido las cortaduras, pero no imagino intervalos de irracionales,  pues no los hay, se pueden imaginar conjuntos numerables de racionales ordenados, pero no son consecutivos, no es un intervalo continuo,  creo lo aclaró Luis, a ver,  si me puedo explicar.

Me resulta un poco confuso todo esto. En realidad lo de "imaginar" es por definición algo subjetivo. Y para hablar de manera objetiva tenemos que fijar el contexto.

1) Si uno trabaja con los números reales todo intervalo abierto contiene racionales e irracionales.

2) Si uno trabaja sólo con números racionales, uno puede considerar intervalos de racionales.

3) Si uno trabaja sólo con números irracionales, uno puede considerar intervalos de irracionales.

Supongo que os estáis refiriendo al contexto (1) y en ese caso lo dicho: todo intervalo abierto contiene racionales e irracionales.

Mi imaginación me dice que a derecha  e izquierda de un racional solo hay un irracional,

Esto no es así; si fuese así, ¿cuál es el único irracional a la derecha de \( 1/2 \)?. Creo que quieres expresar otra idea; pero desde luego tal como lo has dicho no es cierto.

  así que el intervalo de racionales ,corchetes arriba o hacia abajo,  si empieza, empieza luego de un irracional.

Aquí no se muy bien que quieres decir.

Mi conclusión no hay dos racionales consecutivos pues hay infinitos irracionales en medio.

Si; pero como le dije a feriva para razonar que no hay dos racionales consecutivos no hace falta acudir a los irracionales; no hay dos racionales consecutivos porque hay infinitos racionales en medio.

La semisuma de dos irracionales consecutivos no es racional, o mejor dicho, no es posible hablar de irracionales consecutivos ya que la semisuma está en medio y debe ser irracional.

No es cierto que la semisuma de irracionales sea necesariamente irracional. Por ejemplo si tomas \( a=1+\sqrt{2} \) y \( b=1-\sqrt{2} \) irracionales, entonces \( (a+b)/2=1 \) racional.

Si la semisuma de dos irracionales da un racional, pues entonces no eran consecutivos.

Es que simplemente no tiene sentido hablar de números reales consecutivos. Entre cualquier par de números reales (sean ambos irracionales o ambos racionales o uno de cada tipo) hay infinitos raciones e infinitos irracionales.

Dicho esto no veo igual como la suma de dos irracionales no puede dar cero,$$3\pi$$ sumado a $$-3\pi$$ es decir si defino el irracional $$\sqrt2$$ también  se puede definir su opuesto $$-\sqrt2$$ como otro irracional , y su suma, entiendo no puede ser otra cosa que cero.

Desde luego; pero aquí me pierdo un poco, supongo que estás contestando a alguien pero no se a quien. Es tan largo el hilo que estoy un poco despistado en cuanto a que vienen estas reflexiones. 

Saludos.

[ani_pascual]

Creo haber entendido las cortaduras, pero no imagino intervalos de irracionales,  pues no los hay, ...

Hola:
Todo depende del contexto, como ha dicho Luis Fuentes; si estamos considerando solo los naturales, en el intervalo \( ]3,7[ \) solo están los números \( 4,5,6 \); si el contexto es el de los racionales, entonces \( ]3,7[=\mathbb{Q}\cap \{x\in\mathbb{R}\,|3<x<7\} \)
Saludos

[Richard R Richard]

Hola a todos, gracias por las aclaraciones, en efecto dejé unos días el hilo y le contestaba a RDC.
Veo ahora que uno puede hablar de intervalos para cada clase de números  independientemente de otros.
El tema que me trajo al hilo era esta expresión  de RDC


$$\sqrt2-\sqrt2=\pm z$$


Donde he sostenido que z es cero , en cada tipo de números en que lo podamos calcular.


Eso derivo en las cortaduras de Dedeking y creí haberlas interpretado, siempre en los reales, por eso he mezclado racionales e irracionales.


Hablando de subjetividad entiendo que el irracional que le sigue a 1/2, que lo puedo escribir como 0 y 5 con punto  decimal al medio seguidos de infinitos ceros y si acaso se pudiese concebir una última  cifra esta es cero, el siguiente número no puedo escribirlo pero si definirlo, quizá no simbólicamente usando el simbolo $$\sqrt{}$$ que sirve para una buena parte de los irracionales, pero si decir que a derecha tiene el irracional cuyas dos primeras cifras son 0 y 5  colocando el punto  decimal en medio, luego vienen infinitas cifras cero y si acaso se puede concebir, por última cifra lleva un uno; por izquierda un 0.4 para las primeras cifras luego infinitos 9 y si se puede concebir la última cifra también será 9 ,ambos irracionales.
Entiendo que a ultranza me dirán que entre 1/2 y los números que definí aun podrían definirse infinitos racionales e irracionales, dada falta de acotación permitida al infinito, pero el ínfimo de ese conjunto superior, incluida mi anticipada respuesta a vuestra intuida critica ,sin incluir el 1/2 , creo que también se puede definir como lo escribí y el supremo del inferior también como un periódico.
He visto los planteos donde los infinitos dígitos 9, como número periódico,  son expresados como sumas de fracciones e igualados a un racional, y eso se debe a que el número  periódico se ha expresado como  fracción y la suma de racionales da otro racional , pero expresada como suma de periódicos no hay resultado diferente que otro periódico y no el racional.
Aver que cada símbolo tiene su significado  y hay que respetarlo, sino para que se los ha definido.
La suma de dos número reales opuestos en signo definidos con el mismo símbolo, necesariamente debe dar cero.
Y si calculo la mejor aproximación racional a la raíz de 2 restada de la mejor aproximación a la raíz de dos como racional, necesariamente debe dar cero, no una indefinicion o intervalo.


Si a un metro le quito un metro ,tengo cero metros independientemente de lo cerca o lejos sea la medida de un objeto real tomado como unidad, respecto de la idea que define la unidad metro, lo mismo con los símbolos asociados a operaciones o directamente a números, ejemplo si le resto pi a pi es cero y no hay otra vuelta de hoja , del mismo modo que se lo veo a la operación raíz cuadrada cuando ponemos el mismo número como variable de la función.
Bueno espero haberme explicado, no se si con razón o no.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola a todos, gracias por las aclaraciones, en efecto dejé unos días el hilo y le contestaba a RDC.
Veo ahora que uno puede hablar de intervalos para cada clase de números  independientemente de otros.
El tema que me trajo al hilo era esta expresión  de RDC

$$\sqrt2-\sqrt2=\pm z$$

Donde he sostenido que z es cero , en cada tipo de números en que lo podamos calcular.

Si en eso (que $$\sqrt2-\sqrt2=0$$) estamos todos (o casi) de acuerdo. Salvo en un momento dado RDC que se inventó una nueva definición de \( \sqrt{2} \), una nueva definición de restar y  una nueva definición de igual (todas con bastantes lagunas, por cierto) para forzar que pueda darse una igualdad distinta de cero.

"Las ovejas vuelan"; me empeño que sea cierto y termino por llamar oveja a una paloma.

Hablando de subjetividad entiendo que el irracional que le sigue a 1/2, no puedo escribirlo pero si definirlo, quizá no simbólicamente usando el simbolo $$\sqrt{}$$ que sirve para una buena parte de los irracionales, pero si decir que a derecha tiene el irracional cuyas dos primeras cifras son 0 y 5  colocando el punto  decimal en medio, luego vienen infinitas cifras cero y si acaso se puede concebir, por última cifra lleva un uno; por izquierda un 0.4 para las primeras cifras luego infinitos 9 y si se puede concebir la última cifra también será 9.
Entiendo que a ultranza me dirán que entre 1/2 y los números que definí aun podrían definirse infinitos racionales e irracionales, dada falta de acotación permitida al infinito, pero el ínfimo de ese conjunto superior, incluida mi anticipada de vuestra intuido critica ,sin incluir el 1/2 , creo que también se puede definir como lo escribí y el supremo del inferior también como un periódico.

Pero no; no hay manera de que tenga sentido decir que hay UN irracional que le siga a \( 1/2 \). Si coges el ínfimo de todos los irracionales mayores que \( 1/2 \) ese ínfimo es precisamente \( 1/2 \) (que es racional).

La suma de dos número reales opuestos en signo definidos con el mismo símbolo, necesariamente debe dar cero.

No veo conexión ninguna en defender algo tan evidente como que un número menos si mismo es cero con andar planteando si un racional tiene un irracional siguiente.

Saludos.