[jpcarcedo]

Hola, jpcarcedo. El hilo es muy largo y acabo de llegar, sólo he leído algunas frases por encima; supongo que lo que voy a decir ya se habrá dicho de una u otra manera.

No existe ni existirá nunca (con toda seguridad) la forma de hallar la longitud exacta de una curva, porque por naturaleza la longitud de una curva no es exacta; como diría alguien, una silla es una silla y una mesa es una mesa, un cuadrado es un cuadrado y una circunferencia es una circunferencia.
De hecho, teóricamente, ni siquiera es exacta la longitud de un segmento recto; ¿en qué unidades es exacta, en metros, en decímetros... en micrómetros, en nanómetros...? La unidad se puede partir sin límite; la única “unidad” exacta es el cero absoluto, y no sirve para medir nada porque, entonces, todo mide lo mismo, cero.

Saludos. 

Hola, Feriva.
De una u otra manera, algunos han dicho alguna de las cosas que expresas. Pero otras no y me ha parecido más aleccionador que otras... sólo que me has trasladado a lo existencial y por un momento he olvidado qué me había traído hasta aquí
Gracias por tu intervención.

[Carlos Ivorra]

Gracias por su atención, Don Carlos.

De nada.

Desde luego, ha dado su opinión con cierto desdén, con lo que la interesante y concienzuda actitud de el_manco resulta aún más gratificante.

Ésa era mi intención, que los pelmazos que pretenden revolucionar el mundo sin saber de lo que hablan le estén agradecidos a el_manco y le den la lata a él y me dejen a mí tranquilo. Si otros pelmazos leen esto y ello les lleva a no mandarme a mí ningún e-mail, pues eso habremos ganado (tanto ellos como yo).

El_manco ya me había conseguido posicionar en el lateral desde el que se observan las cosas con actitud crítica, para proponerle sólo cuestiones más propias de la opinión, pues de lo matemático ya me ha dado prueba suficiente, usted sólo ha logrado que lamente la suerte de sus alumnos,

No veo qué relación hay entre mi calidad como profesor y el hecho de que no considere oportuno atender a pelmazos que creen saber y no saben. Los alumnos con los que me encuentro, por regla general, saben perfectamente que no saben y, si tienen un poco de voluntad de aprender, no cuesta mucho ayudarlos a que aprendan. Bueno, a veces sí que cuesta un poco, pero es gratificante hacerlo. Mis alumnos saben por experiencia que si me escriben un e-mail un sábado a la una de la mañana con una duda, a la una y diez tienen la respuesta. En cambio, no considero nada gratificante intentar convencer a alguien que cree saber y no sabe de que todos sus planteamientos están equivocados, y lo digo por experiencia, porque hace tiempo sí que me tomaba la molestia de intentarlo, pero he llegado a la conclusión de que tales intentos no merecen la pena.

pues no le he pedido que me respalde, sino que, a raíz de la paciencia que el_manco ha empleado en mí, me había planteado que alguien como usted podría decirme: opino que esa constante es irreal. Los cálculos no apoyan tal conclusión y te recomiendo que plantees estas dudas ante profesionales antes de publicarlas con excesiva ligereza.

Ya, pero para eso tendría que haber dedicado una parte de mi precioso tiempo a leer tus argumentos, y no lo he hecho. Simplemente, si el_manco dice que lo que dices está mal, no me cabe ninguna duda de que él tiene razón y tú te equivocas. Para dar mi opinión fundada tendría que leer tus argumentos, pero no estoy dispuesto a leer tus argumentos, igual que no estoy dispuesto a leer los argumentos de un astrólogo que defienda la solidez científica de la astrología. Simplemente, la vida es demasiado breve para desaprovecharla leyendo cosas que, a priori, hay evidencias sobradas de que no pueden estar bien. Ojo, y te lo dice alguien a quien una vez escribió un sujeto afirmando que Adán y Eva existieron realmente y que el evolucionismo es un cuento chino, y estuvo intercambiando mensajes con él cuya longitud fue creciendo exponencialmente hasta llegar a algunos en los que había que pasar 40 pantallas del ordenador pequeño que yo tenía entonces para leer mi respuesta completa. ¿Pero tú crees que el individuo en cuestión dejó de creer en Adán y Eva? No, naturalmente que no. Entonces ¿para qué perder el tiempo con toda clase de argumentos biológicos, probabilísticos, psicológicos, etc. si al final se va a quedar como al principio? Por ello no debería ser muy difícil entender que entre dedicar mi tiempo libre a leer tus argumentos o a contestar un e-mail de una chica que apenas conozco, porque no es alumna mía, sino una amiga de unos ex alumnos míos que le han recomendado que me escriba a mí para preguntarme en lugar de a su profesor (al que no entiende), prefiera dedicar mi tiempo a lo segundo (y es justo lo que he estado haciendo antes de escribir esto).

Sin embargo, las espectativas fueron demasiado altas, y no le culpo, pues quien puso las espectativas fui yo, usted sólo dio lo que podía dar.

No creas. Como ya te digo, he llegado a dar respuestas de hasta 40 pantallas de ordenador (un mac antiguo pequeñito), pero sí, hoy en día, tus expectativas eran completamente erróneas. Hace ya tiempo que no atiendo a pelmazos revolucionarios. (En particular, no los busco para contradecirlos en nada, te recuerdo que eres tú quien me ha escrito a mí.) Espero que estas líneas puedan servir a todos los pelmazos del mundo para que no se creen falsas expectativas conmigo y sepan que es inútil escribirme para pedirme que analice sus teorías revolucionarias. Mi punto de vista es que la probabilidad de que deje de atender a alguien con una idea brillante es de uno contra mil millones, así que estoy dispuesto a correr el riesgo de cometer tal injusticia.

Reciba un cordial saludo.

Igualmente.

[jpcarcedo]

Gracias por su atención, Don Carlos.

De nada.

Desde luego, ha dado su opinión con cierto desdén, con lo que la interesante y concienzuda actitud de el_manco resulta aún más gratificante.

Ésa era mi intención, que los pelmazos que pretenden revolucionar el mundo sin saber de lo que hablan le estén agradecidos a el_manco y le den la lata a él y me dejen a mí tranquilo. Si otros pelmazos leen esto y ello les lleva a no mandarme a mí ningún e-mail, pues eso habremos ganado (tanto ellos como yo).

El_manco ya me había conseguido posicionar en el lateral desde el que se observan las cosas con actitud crítica, para proponerle sólo cuestiones más propias de la opinión, pues de lo matemático ya me ha dado prueba suficiente, usted sólo ha logrado que lamente la suerte de sus alumnos,

No veo qué relación hay entre mi calidad como profesor y el hecho de que no considere oportuno atender a pelmazos que creen saber y no saben. Los alumnos con los que me encuentro, por regla general, saben perfectamente que no saben y, si tienen un poco de voluntad de aprender, no cuesta mucho ayudarlos a que aprendan. Bueno, a veces sí que cuesta un poco, pero es gratificante hacerlo. Mis alumnos saben por experiencia que si me escriben un e-mail un sábado a la una de la mañana con una duda, a la una y diez tienen la respuesta. En cambio, no considero nada gratificante intentar convencer a alguien que cree saber y no sabe de que todos sus planteamientos están equivocados, y lo digo por experiencia, porque hace tiempo sí que me tomaba la molestia de intentarlo, pero he llegado a la conclusión de que tales intentos no merecen la pena.

pues no le he pedido que me respalde, sino que, a raíz de la paciencia que el_manco ha empleado en mí, me había planteado que alguien como usted podría decirme: opino que esa constante es irreal. Los cálculos no apoyan tal conclusión y te recomiendo que plantees estas dudas ante profesionales antes de publicarlas con excesiva ligereza.

Ya, pero para eso tendría que haber dedicado una parte de mi precioso tiempo a leer tus argumentos, y no lo he hecho. Simplemente, si el_manco dice que lo que dices está mal, no me cabe ninguna duda de que él tiene razón y tú te equivocas. Para dar mi opinión fundada tendría que leer tus argumentos, pero no estoy dispuesto a leer tus argumentos, igual que no estoy dispuesto a leer los argumentos de un astrólogo que defienda la solidez científica de la astrología. Simplemente, la vida es demasiado breve para desaprovecharla leyendo cosas que, a priori, hay evidencias sobradas de que no pueden estar bien. Ojo, y te lo dice alguien a quien una vez escribió un sujeto afirmando que Adán y Eva existieron realmente y que el evolucionismo es un cuento chino, y estuvo intercambiando mensajes con él cuya longitud fue creciendo exponencialmente hasta llegar a algunos en los que había que pasar 40 pantallas del ordenador pequeño que yo tenía entonces para leer mi respuesta completa. ¿Pero tú crees que el individuo en cuestión dejó de creer en Adán y Eva? No, naturalmente que no. Entonces ¿para qué perder el tiempo con toda clase de argumentos biológicos, probabilísticos, psicológicos, etc. si al final se va a quedar como al principio? Por ello no debería ser muy difícil entender que entre dedicar mi tiempo libre a leer tus argumentos o a contestar un e-mail de una chica que apenas conozco, porque no es alumna mía, sino una amiga de unos ex alumnos míos que le han recomendado que me escriba a mí para preguntarme en lugar de a su profesor (al que no entiende), prefiera dedicar mi tiempo a lo segundo (y es justo lo que he estado haciendo antes de escribir esto).

Sin embargo, las espectativas fueron demasiado altas, y no le culpo, pues quien puso las espectativas fui yo, usted sólo dio lo que podía dar.

No creas. Como ya te digo, he llegado a dar respuestas de hasta 40 pantallas de ordenador (un mac antiguo pequeñito), pero sí, hoy en día, tus expectativas eran completamente erróneas. Hace ya tiempo que no atiendo a pelmazos revolucionarios. (En particular, no los busco para contradecirlos en nada, te recuerdo que eres tú quien me ha escrito a mí.) Espero que estas líneas puedan servir a todos los pelmazos del mundo para que no se creen falsas expectativas conmigo y sepan que es inútil escribirme para pedirme que analice sus teorías revolucionarias. Mi punto de vista es que la probabilidad de que deje de atender a alguien con una idea brillante es de uno contra mil millones, así que estoy dispuesto a correr el riesgo de cometer tal injusticia.

Reciba un cordial saludo.

Igualmente.

[jpcarcedo]

Hola

El_Manco. Gracias por haber hecho un análisis tan extenso y pormenorizado.
No obstante, quiero hacerle saber que existe una constante entre la oscilación de (a) y (b) en elipses del mismo perímetro. Esa constante, implica que sea lineal, como su gráfico indica.

Básicamente estás diciendo que la fórmula para el perímetro dada por la integral (exacta), que ha sido demostrada y comprobada teóricamente y empíricamente durante décadas está mal. En ese sentido primero te pedirías que reflexionases si te parece eso razonable. Algo tan común, tan sencillo, tan enseñado la universidad, tan llevado a la práctica, tan experiementado... que todos hayan medido mal menos tu.

A mi modo de ver, la visión y observación sobre la elipse se ha planteado desde la complejidad que exige su misma ejecución sobre el papel, sin atender a características más sencillas que nadie se plantearía hasta verse en la obligación de hacer moverse a dos vehículos el mismo tiempo y a la misma velocidad en dos órbitas de óvalo diferente logrando que regresen al mismo punto de inicio.
Cuando uno se plantea algo así, decide mirar la elipse desde su perímetro y no desde sus ejes, semiejes, o focos... y descubre una constante resultante entre (a) y (b). Esa constante es ((π/2)-1)

Si en algún tipo de construcción práctica, de experimento real, está manejando unas curvas donde tu fórmula es exacta (incluso suponiendo que tus mediciones sean precias), la conclusión razonable no es que las fórmulas ya conocidas y contrastadas del perímetro de la elipse estén mal, sino que tus curvas no son realmente elipses.

Voy a utilizar una pregunta que me han hecho antes.
¿Qué te hace estar seguro de que los datos arrojados por esa web o por las fórmulas existentes son más aproximadas? ¿Cómo lo has comprobado?
¿En función a qué cálculos hallan el perímetro?

Me baso en resultados teóricos y generales sobre longitudes de curvas de ecuación conicida, que han sido demotrados teóricamente y contrastados empíricamente durante siglos.

Esencialmente la idea intuitiva de como el ordenador calcula el perímetro de una curva es aproximarlo por una poligonal, por segmentos rectos que puede medir. Cuanto más segmentos usemos, mas cerca estára el perímetro calcuado al valor real. Esto lo podríamos hacer a mano. Pero la ventaja es que un ordenador puede dividir la curva en miles de pequeños segmentos y hacer cálculos con gran precisión.

Saludos.

Agradezco encarecidamente la equidad de sus planteamientos y el gran esfuerzo que hace para mostrar una posición asombrosamente neutral.
De hecho, si pretendiera responder a su pregunta con un contundente "sí, yo he hecho todas las comprobaciones corectamente", demostraría ser un tanto obtuso.
A pesar de ello, no acepto que, algo, poer el hecho de haber sido contrastado mil veces bajo el mismo método y premisas, tenga que ser cierto absolutamente, porque la historia demuestra lo contrario en inúmeras ocasiones. Con esto no quiero decir que éste sea el caso en el que se haya estado errando hasta hoy, sino que no es argumento válido a pesar de que yo pueda estar equivocado.
Por otro lado, para no incidir sobre la fórmula, le voy a hacer una consulta, porque la razón áurea y el mismo número "π", estarían de mi parte al ser constantes en la naturaleza.

¿Si se encontrara una constante entre la fluctuación de (a) y (b) en elipses del mismo perímetro, tiene sentido que sea lineal el gráfico que ha mostrado?

Permita que lo importune por última vez.

-Circunferencia con r=1; P=2π
-Elipse con (b)=0 y P=2π; (a)=(π/2)
En este caso, comparando la circunferencia con la elipse en sus radios: (b) se ha reducido 1 (de 1 a 0); (a) ha incrementado su valor de 1 a (π/2), un incremento de ((π/2)-1)

He ahí la razón de mi planteamiento. Consideré que si eso sucedía en todos los casos, cuando (b) se reduce (0,1), (a) crece (((π/2)*0,1)-0,1).
Asumo la posibilidad cercana de haberme equivocado de lado a lado...
Cuando intenté lograr mi primer cálculo, sin pretensiones, sólo para cumplir con un capítulo de mi novela, lo hice partiendo de un eje mayor constante donde variaba el eje menor y el perímetro. Lograba exactitud cuando (a)=(b) o cuando (b)=0 pero las dos cosas no. Intenté comprender cómo se relacionaba el semieje menor con el semieje mayor que era fijo y no había una constante. El gráfico de mis conclusiones reportaba una especie de parábola que, además, no seguía cambios regulares, en modo alguno, y comprendí que lo oficial había logrado, mediante el uso del lenguaje que yo desconozco, dominar esas oscilaciones irregulares tal y como me ha mostrado usted.
El espejismo me llegó como le he expresado al inicio de este párrafo. Si algún día esa constante se confirmara, consideraré que mi acierto se debió a perspectiva y no a conocimiento (obviamente) y mis agradecimientos hacia usted serán vigenetes. Si algún día abro los ojos a mi error, mis agradecimientos serán aún mayores.
Que 2017 sea el primero de muchos años de prosperidad. Un abrazo.

[feriva]

. sólo que me has trasladado a lo existencial y por un momento he olvidado qué me había traído hasta aquí
Gracias por tu intervención.

De nada.
No en balde tengo bastante relación con Paul Sartre; él era “de Sartre” y yo soy un de-sastre (para las matemáticas y para todo ).

Interpreto que tu fórmula es ésta

\( 2\pi\left(\dfrac{a-b}{(\dfrac{\pi}{2})}+b\right)=2\pi\left(\dfrac{2a-2b}{\pi}+b\right)=4a+4b+2\pi b
  \)

Y aquí dices una cosa que no entiendo

-Circunferencia con r=1; P=2π -Elipse con (b)=0 y P=2π; (a)=(π/2) En este caso, comparando la circunferencia con la elipse en sus radios: (b) se ha reducido 1 (de 1 a 0); (a) ha incrementado su valor de 1 a (π/2), un incremento de ((π/2)-1)

Ah, no, que me había confundido con pi y a.

En cualquier caso te queda un segmento recto, no una elipse, no puedes usar ese ejemplo, tiene que ser en dos dimensiones.

[jpcarcedo]

. sólo que me has trasladado a lo existencial y por un momento he olvidado qué me había traído hasta aquí
Gracias por tu intervención.

De nada.
No en balde tengo bastante relación con Paul Sartre; él era “de Sartre” y yo soy un de-sastre (para las matemáticas y para todo ).

Interpreto que tu fórmula es ésta

\( 2\pi\left(\dfrac{a-b}{(\dfrac{\pi}{2})}+b\right)=2\pi\left(\dfrac{2a-2b}{\pi}+b\right)=4a+4b+2\pi b
  \)

Y aquí dices una cosa que no entiendo

-Circunferencia con r=1; P=2π -Elipse con (b)=0 y P=2π; (a)=(π/2) En este caso, comparando la circunferencia con la elipse en sus radios: (b) se ha reducido 1 (de 1 a 0); (a) ha incrementado su valor de 1 a (π/2), un incremento de ((π/2)-1)

Ah, no, que me había confundido con pi y a.

En cualquier caso te queda un segmento recto, no una elipse, no puedes usar ese ejemplo, tiene que ser en dos dimensiones.

Hola, Feriva.
Gracias por interesarte en este asunto.
En primer lugar, no conozco el lenguaje matemático para expresar exactamente lo que quiero presentar.

El desarrollo de lo que planteo es el siguiente:

semieje mayor "a"=2
semieje menor "b"=1

P=2π(((a-b)/(π/2))+b
P=2*3,14159265358979*(((2-1)/(3,14159265358979/2))+1)
P=2*3,14159265358979*((1/1,5707963267949)+1)
P=2*3,14159265358979*(0,636619772+1)
P=2*3,14159265358979*1,636619772

P=2πr

La razón por la que hice esto es porque, en la comparativa de una elipse:

Elipse 1:
semieje mayor "a"=1
semieje menor "b"=1

Cuyo perímetro sería 2π (pues con los semiejes "a"="b" hablamos de una circunferencia)

Con otra Elipse 2:
semieje menor "b"=0
Perímetro "p"=2π

Necesariamente, "a"=(π/2)

La norma que encuentro es que, teniendo el mismo perímetro, mientras "b" se ha reducido 1 hasta 0, "a" ha crecido desde 1 hasta (π/2).
Concluyo que, si en vez de haberse reducido de 1 a 0 se hubiese reducido de 1 a 0,9; "a" se habría incrementado de 1 hasta 1+((π/2)*0,1); es decir, hasta 1,0507.
Si fuera así, que esta constante se mantiene a cada paso, la elipse es regular y admite la fórmula indicada antes. Si no es así, como me indican aquellos que se han entregado a este asunto, ha sido un espejismo divertido por el que porfiaré hasta salir de mi error... o todo lo contrario

[jpcarcedo]

. sólo que me has trasladado a lo existencial y por un momento he olvidado qué me había traído hasta aquí
Gracias por tu intervención.

De nada.
No en balde tengo bastante relación con Paul Sartre; él era “de Sartre” y yo soy un de-sastre (para las matemáticas y para todo ).

Interpreto que tu fórmula es ésta

\( 2\pi\left(\dfrac{a-b}{(\dfrac{\pi}{2})}+b\right)=2\pi\left(\dfrac{2a-2b}{\pi}+b\right)=4a+4b+2\pi b
  \)

Y aquí dices una cosa que no entiendo

-Circunferencia con r=1; P=2π -Elipse con (b)=0 y P=2π; (a)=(π/2) En este caso, comparando la circunferencia con la elipse en sus radios: (b) se ha reducido 1 (de 1 a 0); (a) ha incrementado su valor de 1 a (π/2), un incremento de ((π/2)-1)

Ah, no, que me había confundido con pi y a.

En cualquier caso te queda un segmento recto, no una elipse, no puedes usar ese ejemplo, tiene que ser en dos dimensiones.

Hola, Feriva.
Gracias por interesarte en este asunto.
En primer lugar, no conozco el lenguaje matemático para expresar exactamente lo que quiero presentar.

El desarrollo de lo que planteo es el siguiente:

semieje mayor "a"=2
semieje menor "b"=1

P=2π(((a-b)/(π/2))+b
P=2*3,14159265358979*(((2-1)/(3,14159265358979/2))+1)
P=2*3,14159265358979*((1/1,5707963267949)+1)
P=2*3,14159265358979*(0,636619772+1)
P=2*3,14159265358979*1,636619772

P=2πr

La razón por la que hice esto es porque, en la comparativa de una elipse:

Elipse 1:
semieje mayor "a"=1
semieje menor "b"=1

Cuyo perímetro sería 2π (pues con los semiejes "a"="b" hablamos de una circunferencia)

Con otra Elipse 2:
semieje menor "b"=0
Perímetro "p"=2π

Necesariamente, "a"=(π/2)

La norma que encuentro es que, teniendo el mismo perímetro, mientras "b" se ha reducido 1 hasta 0, "a" ha crecido desde 1 hasta (π/2).
Concluyo que, si en vez de haberse reducido de 1 a 0 se hubiese reducido de 1 a 0,9; "a" se habría incrementado de 1 hasta 1+((π/2)*0,1); es decir, hasta 1,0507.
Si fuera así, que esta constante se mantiene a cada paso, la elipse es regular y admite la fórmula indicada antes. Si no es así, como me indican aquellos que se han entregado a este asunto, ha sido un espejismo divertido por el que porfiaré hasta salir de mi error... o todo lo contrario

A ver si lo consigo:

P=perímetro de la elipse
d=diferencia entre semiejes de una elipse
T=Constante similar a la mitad de π
b=semieje mejor


\( P=2π((d/T)+b) \)

[sugata]

Es la misma ecuación.
Por lo que pienso lo mismo de antes.

[jpcarcedo]

Es la misma ecuación.
Por lo que pienso lo mismo de antes.

Gracias, Sugata.
Pretendía 2 cosas. Ofreceros respeto, utilizando LATEX, aunque sea de manera tan básica y, la segunda, para impedir que se utilice la fórmula principal como un compendio de incógnitas.
Tu opinión es nítida y lógica. En base a lo que todos conocemos, no sólo no existe constante sino que el gráfico que supondría sería una curva irregular llena de dientes de sierra. Hice una tabla con todos los datos para intentar comprender la naturaleza de la elipse. Admití que la verdad oficial era más que apropiada, un virtuoso ejemplo de genialidad.
Después me choqué con otro punto de vista.

[feriva]

Gracias por interesarte en este asunto.
En primer lugar, no conozco el lenguaje matemático para expresar exactamente lo que quiero presentar.

El desarrollo de lo que planteo es el siguiente...

Hola, jpcarcedo, buenos días.

Piensa en al excentricidad de la elipse, que es algo así como un índice de lo distintos que son los semiejes y de cómo varían éstos según el valor que tome.

Si suponemos, por ejemplo, que el semieje mayor es “a” y el menor “b”, la excentricidad viene dada por esta fórmula

\( exc=\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}
  \)

Vamos a analizar un poco qué puede ser eso.

Operando (si no te convence o no te lo crees te detallo por qué, no te dé reparo pedirme que te lo explique) es lo mismo que esta expresión

\( exc=\sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}}
  \)

Donde como “a” es mayor que “b”, la fracción es menor o igual a 1 y lo que hay dentro de la raíz da un valor positivo o, en caso de que la fracción valga 1, da cero; que se puede considerar positivo y negativo o ninguna de las dos cosas; es cero, simplemente.

Cuando da cero, comoe s obvio, es cuando \( a=b \), entonces \( \dfrac{b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{b^{2}}{b^{2}}=1
  \) y tendríamos “1-1”; y de ahí tendríamos raíz de cero, que es cero. O sea, es, como ves, el caso de la circunferencia, excentricidad cero, los dos semiejes iguales.

Ahora, si \( b=0 \) tienes \( \dfrac{b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{0}{a^{2}}=0
  \) con lo que la excentricidad vale 1 y es máxima (no puede ser mayor que 1 nunca).

La elipse se ha convertido en un segmento recto y ya no puede pasar de ahí; se puede decir que ha perdido una dimensión, se puede representar sin dos ejes de coordenadas “X,Y”, basta sólo el eje “X” o el “Y”.

Pero, mientras no pase eso, estaremos en el mundo de las dos dimensiones y la excentricidad variará dependiendo de la razón \( \dfrac{b^{2}}{a^{2}}
  \), que es la proporción entre dos cuadrados, la cual no varía igual que cuando “a” “b” no son cuadrados.

Por ejemplo:

\( \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{8}{16}...=0,5
  \)

Es decir, tomas unos valores para “a” y “b”, multiplicas los dos por un mismo número, y la razón no varía, sigue siendo el valor de \( \dfrac{b}{a}
  \); eso es algo lineal, digamos.

Si en vez de multiplicar, elevas “a” y “b” a un número distinto de 1, la razón ya no es la misma:

\( \dfrac{1^{2}}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}
  \); evidentemente un medio es distinto de un cuarto.

Pero pasa esto... salvo que la razón sea cero, caso b=0, que lo mismo vale cero si la multiplicamos por un número o la elevamos a un número; es un caso especial, particular, por eso no puedes generalizar a partir de esa observación.

Saludos.