Autor Tema: Perímetro Exacto de la Elipse

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06 Enero, 2017, 12:19 am
Respuesta #10

sugata

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Sabreis que para hallar el perímetro de una elipse existen varias opciones relativamente sencillas que actúan por aproximación.

En septiembre de 2016, hallé una constante entre elipses (circunferencia incluida) con el mismo perímetro pero diversas relaciones entre sus ejes vertical y horizontal.
Esa constante es que, por cada 1 unidad de medida que se reduzca (b) de una a otra elipse, (a) crece ((π/2)-1).
El resultado de (a)-(b) es a (x) como (1) es a (π/2).
Obtendríamos la diferencia entre (b) y el radio que tendría una circunferencia con el mismo perímetro que la elipse que tomemos para hacer el cálculo. De ese modo, sólo queda multiplicar dicho radio por (2π)
La fórmula, a la que he denominado "Fórmula Ñ" es la siguiente:

P=2π(((a-b)/(π/2))+b)

Un saludo

Aquí hablas de ejes no de semiejes.

06 Enero, 2017, 12:22 am
Respuesta #11

jpcarcedo

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Sabreis que para hallar el perímetro de una elipse existen varias opciones relativamente sencillas que actúan por aproximación.

En septiembre de 2016, hallé una constante entre elipses (circunferencia incluida) con el mismo perímetro pero diversas relaciones entre sus ejes vertical y horizontal.
Esa constante es que, por cada 1 unidad de medida que se reduzca (b) de una a otra elipse, (a) crece ((π/2)-1).
El resultado de (a)-(b) es a (x) como (1) es a (π/2).
Obtendríamos la diferencia entre (b) y el radio que tendría una circunferencia con el mismo perímetro que la elipse que tomemos para hacer el cálculo. De ese modo, sólo queda multiplicar dicho radio por (2π)
La fórmula, a la que he denominado "Fórmula Ñ" es la siguiente:

P=2π(((a-b)/(π/2))+b)


Sí, es verdad. Pero eso se resuelve tomando la fórmula, la nomenclatura sobre elipses y disfrutando de su precisión :D
Es decir... escribiera lo que escribiera... he ahí una fórmula sencilla y precisa ;)
No busques ahora faltas de ortografía y puntuación :D

Un saludo

Aquí hablas de ejes no de semiejes.

06 Enero, 2017, 12:25 am
Respuesta #12

jpcarcedo

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Sabreis que para hallar el perímetro de una elipse existen varias opciones relativamente sencillas que actúan por aproximación.

En septiembre de 2016, hallé una constante entre elipses (circunferencia incluida) con el mismo perímetro pero diversas relaciones entre sus ejes vertical y horizontal.
Esa constante es que, por cada 1 unidad de medida que se reduzca (b) de una a otra elipse, (a) crece ((π/2)-1).
El resultado de (a)-(b) es a (x) como (1) es a (π/2).
Obtendríamos la diferencia entre (b) y el radio que tendría una circunferencia con el mismo perímetro que la elipse que tomemos para hacer el cálculo. De ese modo, sólo queda multiplicar dicho radio por (2π)
La fórmula, a la que he denominado "Fórmula Ñ" es la siguiente:

P=2π(((a-b)/(π/2))+b)


Sí, es verdad. Pero eso se resuelve tomando la fórmula, la nomenclatura sobre elipses y disfrutando de su precisión :D
Es decir... escribiera lo que escribiera... he ahí una fórmula sencilla y precisa ;)
No busques ahora faltas de ortografía y puntuación :D

Un saludo

Aquí hablas de ejes no de semiejes.

No obstante, digo que tome diversas elipses con diferentes relaciones entre sus ejes, pero, cuando hablé de cálculos me referí únicamente a (a) y a (b) ;)

06 Enero, 2017, 12:26 am
Respuesta #13

Abdulai

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A tu pregunta.
Con pruebas empíricas con circunferencia de una goma de 22cm, una elipse cuya (b) era valor "0" y dos elipses diferentes elaboradas con la misma goma adaptadas a rasgos diseñados con dos clavos por focos y una cuerda sobre una tabla.
Los semiejes a y b siempre ofrecieron 22cm como respuesta.

La claridad no es tu fuerte, honestamente no entiendo que hiciste.

Pero si para contrastar te gustan estos procedimientos te recomiendo usar algún software de dibujo pues va ser preciso y mucho mas cómodo.

06 Enero, 2017, 12:30 am
Respuesta #14

sugata

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Das por sentado que conocemos la nomenclatura de las elipses.
Por eso es importante definir bien cada parte involucrada en una fórmula.

06 Enero, 2017, 12:39 am
Respuesta #15

jpcarcedo

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Tienes razón. Pero no deja de ser cierto que tomé diferentes relaciones entre sus ejes. Después sólo hablo de (a) y (b).
A pesar de todo, reconozco que no especifiqué lo que representaba (a) y (b)

Das por sentado que conocemos la nomenclatura de las elipses.
Por eso es importante definir bien cada parte involucrada en una fórmula.

A tu pregunta.
Con pruebas empíricas con circunferencia de una goma de 22cm, una elipse cuya (b) era valor "0" y dos elipses diferentes elaboradas con la misma goma adaptadas a rasgos diseñados con dos clavos por focos y una cuerda sobre una tabla.
Los semiejes a y b siempre ofrecieron 22cm como respuesta.

La claridad no es tu fuerte, honestamente no entiendo que hiciste.

Pero si para contrastar te gustan estos procedimientos te recomiendo usar algún software de dibujo pues va ser preciso y mucho mas cómodo.

Agradezco el consejo.
Sin embargo, el resultado es contundente. Porque sólo hice el ejercicio para confirmar mi hallazgo.

Para confirmarlo, tomé una goma de perímetro 22cm, usadas en fontanería.
Medí sus radios y use la fórmula. Respondió 22cm
Le adjudiqué 0 a (b), con lo que (a) sería 5,5cm. Respondió 22.
Dibujé sobre una tabla, mediante el método del cordel y dos clavitos, dos elipses. Según la constante en la que (b) decrece y (a) aumenta.
Lógicamente, el resultado era 22.
La goma encajaba con exactitud.

06 Enero, 2017, 12:45 am
Respuesta #16

Fernando Revilla

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Como curiosidad, recuerdo con "cariño" el problema

          Cotas de la longitud de una elipse,

propuesto en examen de Cálculo de la ETS de Ingenieros Industriales de la UPM y que tuve que resolver como obligación semi espartana de los sufridos profesores de academias de enseñanza universitaria.

P.D. Ahora no tengo tiempo, ignoro si la conjetura que propone jpcarcedo afina las cotas que aparecen en el problema.

06 Enero, 2017, 02:06 am
Respuesta #17

Abdulai

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...
Sin embargo, el resultado es contundente. Porque sólo hice el ejercicio para confirmar mi hallazgo.

Para confirmarlo, tomé una goma de perímetro 22cm, usadas en fontanería.
Medí sus radios y use la fórmula. Respondió 22cm
Le adjudiqué 0 a (b), con lo que (a) sería 5,5cm. Respondió 22.
Dibujé sobre una tabla, mediante el método del cordel y dos clavitos, dos elipses. Según la constante en la que (b) decrece y (a) aumenta.
Lógicamente, el resultado era 22.
La goma encajaba con exactitud.

Explicame como hacés para que  \( 2\pi\left(\dfrac{a-b}{\frac{\pi}{2}}+b\right) \)  te de 22

06 Enero, 2017, 02:16 am
Respuesta #18

sugata

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Simplificando la expresión llegamos a:

\( 4a-4b+2\pi b \)

Me cuesta creer que \( \pi \) sólo afecte a \( b \) y pueda sacar el perímetro.

Yo también pensé lo que tu, Abdulai.

06 Enero, 2017, 10:12 am
Respuesta #19

Fernando Revilla

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Para la elipse \( \displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2=1 \), es decir para \( a=2,b=1 \) y llamando \( L \) a su longitud,
1. \( L \) calculada por métodos numéricos es \( \boxed{L\approx{}\color{red}9.688...} \)
2. Usando las fórmulas de Cotas de la longitud de una elipse:  \( (a+b)\pi<L<(a+b)\pi\sqrt{1+\left(\dfrac{a-b}{a+b}\right)^2}\underbrace{\Rightarrow{}}_{a=2,b=1}\boxed{9.424...<L<9.934...} \)
3. Usando la fórmula exacta propuesta: \( L=2\pi\left(\dfrac{a-b}{\frac{\pi}{2}}+b\right)\underbrace{\Rightarrow{}}_{a=2,b=1}\boxed{L=10.283...} \)

Podemos concluir.