[jpcarcedo]

Sabreis que para hallar el perímetro de una elipse existen varias opciones relativamente sencillas que actúan por aproximación.

En septiembre de 2016, hallé una constante entre elipses (circunferencia incluida) con el mismo perímetro pero diversas relaciones entre sus ejes vertical y horizontal.
Esa constante es que, por cada 1 unidad de medida que se reduzca (b) de una a otra elipse, (a) crece ((π/2)-1).
El resultado de (a)-(b) es a (x) como (1) es a (π/2).
Obtendríamos la diferencia entre (b) y el radio que tendría una circunferencia con el mismo perímetro que la elipse que tomemos para hacer el cálculo. De ese modo, sólo queda multiplicar dicho radio por (2π)
La fórmula, a la que he denominado "Fórmula Ñ" es la siguiente:

P=2π(((a-b)/(π/2))+b)

Un saludo

[Abdulai]

Por favor, recuerda escribir las fórmulas en LaTeX.


Respecto al resto del mensaje no lo entiendo bien, pues la fórmula exacta es a través de una integral elíptica de 2da especie, no se puede expresar por medio de una combinación finita de funciones elementales.

P=2π(((a-b)/(π/2))+b)

La fórmula que presentás como "exacta"  \( 2\pi\;\left(\dfrac{a-b}{\frac{\pi}{2}}+b\right) \)  no lo es, ni siquiera es una buena aproximación.

Basta comparar con los primeros términos del desarrollo por Taylor de la integral elíptica:
\( P = 2\pi\left(b+\dfrac{b^2-a^2}{4b}+\cdots\right)  \)

[jpcarcedo]

Hola, Abdulai.
Gracias por hacerte eco.
Tal vez, el problema que encuentras se debe a que no soy matemático y, quizá, no lo esté representando debidamente.
No obstante, te invito a que hagas lo siguiente:
- Enfrentate a una elipse de verdad.
- Mide (a) y (b).
- Haz el cálculo (a-b)
- Haz el cálculo (π/2)
- Divide el resultado del primer cálculo entre el resultado del segundo. (a-b)/(π/2)
- Al nuevo resultado súmale el valor de (b)
- Por último, utiliza el dato final para sustituir (r) en la siguiente fórmula, que conocerás de sobra: 2πr

El resultado es tan preciso como decimales conozcas de π.   
Un saludo.

Por favor, recuerda escribir las fórmulas en LaTeX.


Respecto al resto del mensaje no lo entiendo bien, pues la fórmula exacta es a través de una integral elíptica de 2da especie, no se puede expresar por medio de una combinación finita de funciones elementales.

P=2π(((a-b)/(π/2))+b)

La fórmula que presentás como "exacta"  \( 2\pi\;\left(\dfrac{a-b}{\frac{\pi}{2}}+b\right) \)  no lo es, ni siquiera es una buena aproximación.

Basta comparar con los primeros términos del desarrollo por Taylor de la integral elíptica:
\( P = 2\pi\left(b+\dfrac{b^2-a^2}{4b}+\cdots\right)  \)

[sugata]

De hecho no se cumple ni para una circunferencia.
Siendo \( a=b \) tenemos una circunferencia de diámetro \( a \)
Calculando con tu fórmula sale.
\( 2\pi a=4\pi r \)

[jpcarcedo]

Estimado SUGATA.
a=100
b=100

P=2π(((100-100)/(π/2))+100
P=2*3,14159265358979*(((100-100)/(3,14159265358979/2))+100)
P=2*3,14159265358979*(((0)/(1,5707963267949))+100)
P=2*3,14159265358979*((0/1,5707963267949)+100)
P=2*3,14159265358979*(0+100)
P=2*3,14159265358979*100
P=2πr

****************
a=72
b=53

P=2π(((72-53)/(π/2))+53
P=2*3,14159265358979*(((72-53)/(3,14159265358979/2))+53)
P=2*3,14159265358979*(((19)/(1,5707963267949))+53)
P=2*3,14159265358979*((19/1,5707963267949)+53)
P=2*3,14159265358979*(12,095775674984+53)
P=2*3,14159265358979*65,095775674984

Esto: 65,095775674984, sería el radio correspondiente a la circunferencia de igual perímetro a esta elipse.

P=2πr
P=409,008821280518

Un saludo.

De hecho no se cumple ni para una circunferencia.
Siendo \( a=b \) tenemos una circunferencia de diámetro \( a \)
Calculando con tu fórmula sale.
\( 2\pi a=4\pi r \)

[sugata]

En el primer caso.
Si \( a=b=100 \)
El radio de la circunferencia es 50.
Por lo que tu resultado es incorrecto.
\( 2\pi r=2\pi 50 \)

[Abdulai]

....
No obstante, te invito a que hagas lo siguiente:
- Enfrentate a una elipse de verdad.
- Mide (a) y (b).
- Haz el cálculo (a-b)
- Haz el cálculo (π/2)
- Divide el resultado del primer cálculo entre el resultado del segundo. (a-b)/(π/2)
- Al nuevo resultado súmale el valor de (b)
- Por último, utiliza el dato final para sustituir (r) en la siguiente fórmula, que conocerás de sobra: 2πr

El resultado es tan preciso como decimales conozcas de π.   

Asumo que \( a \) y \( b \)  son los semiejes.
Pero ¿Y el valor del perímetro para contrastar la fórmula de donde lo sacas?

------------------------------------------------

Te invito a otra prueba: Una elipse muy cerrada.  Es decir con \( a=0 \) o \( a<<b \)
Es obvio que el perímetro será \( 4b \) o muy cercano, pero tu fórmula pasa a kilómetros.


En cambio, si usamos la expresión exacta del perímetro:

\( P = b \displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\;\text{d}\theta} \quad ; \text{  con} \quad k=\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b} \quad , \quad b: \text{semieje mayor} \) 

no hay ninguna sorpresa.

[jpcarcedo]

¿50?
a="semieje mayor" es decir, a=r

En el primer caso.
Si \( a=b=100 \)
El radio de la circunferencia es 50.
Por lo que tu resultado es incorrecto.
\( 2\pi r=2\pi 50 \)

[jpcarcedo]

Por favor... acabas de ver la demostración.
En matemáticas, el semieje mayor de una elipse es la mitad del diámetro más largo; su símbolo es "a".
Es decir... si (a)<<(b)... quiere decir que a eso a lo que tú has llamado (a) no es (a) sino (b).
Acabas de descubrir que mi fórmula es exacta...  en todo caso merezco un 

....
No obstante, te invito a que hagas lo siguiente:
- Enfrentate a una elipse de verdad.
- Mide (a) y (b).
- Haz el cálculo (a-b)
- Haz el cálculo (π/2)
- Divide el resultado del primer cálculo entre el resultado del segundo. (a-b)/(π/2)
- Al nuevo resultado súmale el valor de (b)
- Por último, utiliza el dato final para sustituir (r) en la siguiente fórmula, que conocerás de sobra: 2πr

El resultado es tan preciso como decimales conozcas de π.   

Asumo que \( a \) y \( b \)  son los semiejes.
Pero ¿Y el valor del perímetro para contrastar la fórmula de donde lo sacas?

------------------------------------------------

Te invito a otra prueba: Una elipse muy cerrada.  Es decir con \( a=0 \) o \( a<<b \)
Es obvio que el perímetro será \( 4b \) o muy cercano, pero tu fórmula pasa a kilómetros.


En cambio, si usamos la expresión exacta del perímetro:

\( P = b \displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\;\text{d}\theta} \quad ; \text{  con} \quad k=\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b} \quad , \quad b: \text{semieje mayor} \) 

no hay ninguna sorpresa.

[jpcarcedo]

A tu pregunta.
Con pruebas empíricas con circunferencia de una goma de 22cm, una elipse cuya (b) era valor "0" y dos elipses diferentes elaboradas con la misma goma adaptadas a rasgos diseñados con dos clavos por focos y una cuerda sobre una tabla.
Los semiejes a y b siempre ofrecieron 22cm como respuesta.

....
No obstante, te invito a que hagas lo siguiente:
- Enfrentate a una elipse de verdad.
- Mide (a) y (b).
- Haz el cálculo (a-b)
- Haz el cálculo (π/2)
- Divide el resultado del primer cálculo entre el resultado del segundo. (a-b)/(π/2)
- Al nuevo resultado súmale el valor de (b)
- Por último, utiliza el dato final para sustituir (r) en la siguiente fórmula, que conocerás de sobra: 2πr

El resultado es tan preciso como decimales conozcas de π.   

Asumo que \( a \) y \( b \)  son los semiejes.
Pero ¿Y el valor del perímetro para contrastar la fórmula de donde lo sacas?

------------------------------------------------

Te invito a otra prueba: Una elipse muy cerrada.  Es decir con \( a=0 \) o \( a<<b \)
Es obvio que el perímetro será \( 4b \) o muy cercano, pero tu fórmula pasa a kilómetros.


En cambio, si usamos la expresión exacta del perímetro:

\( P = b \displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\;\text{d}\theta} \quad ; \text{  con} \quad k=\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b} \quad , \quad b: \text{semieje mayor} \) 

no hay ninguna sorpresa.