[sugata]

Para la elipse \( \displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2=1 \), es decir para \( a=2,b=1 \) y llamando \( L \) a su longitud,
1. \( L \) calculada por métodos numéricos es \( \boxed{L\approx{}9.934...} \)
2. Usando las fórmulas de Cotas de la longitud de una elipse:  \( (a+b)\pi<L<(a+b)\pi\sqrt{1+\left(\dfrac{a-b}{a+b}\right)^2}\underbrace{\Rightarrow{}}_{a=2,b=1}\boxed{9.424...<L<9.934...} \)
3. Usando la fórmula exacta propuesta: \( L=2\pi\left(\dfrac{a-b}{\frac{\pi}{2}}+b\right)\underbrace{\Rightarrow{}}_{a=2,b=1}\boxed{L=10.283...} \)

Podemos concluir.

¡La fórmula exacta no es tan exacta!
¡¡¡Oh!!!

[jpcarcedo]

Como curiosidad, recuerdo con "cariño" el problema

          Cotas de la longitud de una elipse,

propuesto en examen de Cálculo de la ETS de Ingenieros Industriales de la UPM y que tuve que resolver como obligación semi espartana de los sufridos profesores de academias de enseñanza universitaria.

P.D. Ahora no tengo tiempo, ignoro si la conjetura que propone jpcarcedo afina las cotas que aparecen en el problema.

Discúlpeme, Don Fernando. No voy a enfrentar mis conocimientos matemáticos con los suyos, pues no soy ingeniero y usted me supera en muchos años de formación y experiencia.

Sin embargo, soy dibujante y escritor y requería de un cálculo exacto de la elipse. La busqué y la obtuve.

Cuando quieran conocer todos los pormenores, busquen Jorge Peñamedrano Elipse y lo encontrarán en mi blog

[sugata]

Creo que "don Fernando" ha dado cálculos suficientes.
Pero yo no soy matemático y " Don Fernando" si.
Creo que su contraejemplo es bastante importante.

[jpcarcedo]

Para la elipse \( \displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2=1 \), es decir para \( a=2,b=1 \) y llamando \( L \) a su longitud,
1. \( L \) calculada por métodos numéricos es \( \boxed{L\approx{}9.934...} \)
2. Usando las fórmulas de Cotas de la longitud de una elipse:  \( (a+b)\pi<L<(a+b)\pi\sqrt{1+\left(\dfrac{a-b}{a+b}\right)^2}\underbrace{\Rightarrow{}}_{a=2,b=1}\boxed{9.424...<L<9.934...} \)
3. Usando la fórmula exacta propuesta: \( L=2\pi\left(\dfrac{a-b}{\frac{\pi}{2}}+b\right)\underbrace{\Rightarrow{}}_{a=2,b=1}\boxed{L=10.283...} \)

Podemos concluir.

¡La fórmula exacta no es tan exacta!

¡¡¡Oh!!!

Absolútamente. 10,2831853071796 ¿Ha hecho usted la comprobación física?
Aplíquele a sus dos fórmulas el hecho de que (b)=0

[Luis Fuentes]

Hola

 Por completar el análisis de Fernando, la expresión que propone jpcarracedo no es más que la aproximación lineal del perímetro de la elipse interpolando sobre los valores exactos en \( a=b \) y \( b=0 \).

 Esto se puede ver en los siguientes gráficos:



 En el primero se pueden ver comparados los valores del perímetro real de la elipse y de la aproximación de jpcarracedo, para una elipse con \( a=1 \) y \( b \) variando entre \( 0 \) y \( 1 \).

El valor exacto ha sido calculado mediante el Mathematica que pude resolver por métodos iterativos la integral elíptica que da el perímetro exacto (esto está más que contrastado) de manera tan precisa como queramos.

 En el segundo está representado el error relativo de la aproximación de jpcarracedo sobre un máximo del 100%. Por error relativo me refiero al cociente:

\( 100\cdot \dfrac{|aprox-exacto|}{exacto} \)

 Vemos que el máximo error relativo alcanza más o menos el 7%.

 Por comparar con otras aproximaciones, en la famosa fórmula de Ramanujan:

\(  \pi[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}] \)

 el error relativo no supera en ningún caso el 0.5%.

Saludos.

P.D.

Sin embargo, soy dibujante y escritor y requería de un cálculo exacto de la elipse. La busqué y la obtuve.

Cuando quieran conocer todos los pormenores, busquen Jorge Peñamedrano Elipse y lo encontrarán en mi blog

Como acaban de mostrar las gráficas: su fórmula, Jorge, es una aproximación, no es en absoluto el valor exacto.

[jpcarcedo]

Para la elipse \( \displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2=1 \), es decir para \( a=2,b=1 \) y llamando \( L \) a su longitud,
1. \( L \) calculada por métodos numéricos es \( \boxed{L\approx{}9.934...} \)
2. Usando las fórmulas de Cotas de la longitud de una elipse:  \( (a+b)\pi<L<(a+b)\pi\sqrt{1+\left(\dfrac{a-b}{a+b}\right)^2}\underbrace{\Rightarrow{}}_{a=2,b=1}\boxed{9.424...<L<9.934...} \)
3. Usando la fórmula exacta propuesta: \( L=2\pi\left(\dfrac{a-b}{\frac{\pi}{2}}+b\right)\underbrace{\Rightarrow{}}_{a=2,b=1}\boxed{L=10.283...} \)

Podemos concluir.

¡La fórmula exacta no es tan exacta!

¡¡¡Oh!!!

Absolútamente. 10,2831853071796 ¿Ha hecho usted la comprobación física?
Aplíquele a sus dos fórmulas el hecho de que (b)=0

Por cierto... es conocido el error medio de la fórmula "oficial" que es de 2,97%. El algunos casos, como es aquel en el que (b)\approx{0}, el error alcanza el 11%.
En este caso que usted plantea, el error de la fórmula "oficial" es del 3,389%

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Añado algo más si quieres comprobar por ti mismo las longitudes puedes usar el software geogebra.

 Es extremadamente inuitivo.

 Basta introducir la ecuación de la elipse:

 x^2/a^2+y^2/b^2=1

 con los valores de \( a,b \) que deseemos.

 Después seleccionar la herramienta longitud y pinchar en la elipse; automáticamente nos da su perímetro.
 
 En el archivo adjunto está hecho con unos deslizadores que permiten variar al gusto las dimensiones de la elipse.

Saludos.

[sugata]

Un error del 3 y pico por ciento no es exactamente la longitud de la parábola.
Es la longitud de la parábola \( \pm{} \) El 3 y pico.

[jpcarcedo]

Hola

 Por completar el análisis de Fernando, la expresión que propone jpcarracedo no es más que la aproximación lineal del perímetro de la elipse interpolando sobre los valores exactos en \( a=b \) y \( b=0 \).

 Esto se puede ver en los siguientes gráficos:



 En el primero se pueden ver comparados los valores del perímetro real de la elipse y de la aproximación de jpcarracedo, para una elipse con \( a=1 \) y \( b \) variando entre \( 0 \) y \( 1 \).


El valor exacto ha sido calculado mediante el Mathematica que pude resolver por métodos iterativos la integral elíptica que da el perímetro exacto (esto está más que contrastado) de manera tan precisa como queramos.

 En el segundo está representado el error relativo de la aproximación de jpcarracedo sobre un máximo del 100%. Por error relativo me refiero al cociente:

\( 100\cdot \dfrac{|aprox-exacto|}{exacto} \)

 Vemos que el máximo error relativo alcanza más o menos el 7%.

 Por comparar con otras aproximaciones, en la famosa fórmula de Ramanujan:

\(  \pi[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}] \)

 el error relativo no supera en ningún caso el 0.5%.

Saludos.

P.D.

Sin embargo, soy dibujante y escritor y requería de un cálculo exacto de la elipse. La busqué y la obtuve.

Cuando quieran conocer todos los pormenores, busquen Jorge Peñamedrano Elipse y lo encontrarán en mi blog

Como acaban de mostrar las gráficas: su fórmula, Jorge, es una aproximación, no es en absoluto el valor exacto.

El_Manco. Gracias por haber hecho un análisis tan extenso y pormenorizado.
No obstante, quiero hacerle saber que existe una constante entre la oscilación de (a) y (b) en elipses del mismo perímetro. Esa constante, implica que sea lineal, como su gráfico indica.
A mi modo de ver, la visión y observación sobre la elipse se ha planteado desde la complejidad que exige su misma ejecución sobre el papel, sin atender a características más sencillas que nadie se plantearía hasta verse en la obligación de hacer moverse a dos vehículos el mismo tiempo y a la misma velocidad en dos órbitas de óvalo diferente logrando que regresen al mismo punto de inicio.
Cuando uno se plantea algo así, decide mirar la elipse desde su perímetro y no desde sus ejes, semiejes, o focos... y descubre una constante resultante entre (a) y (b). Esa constante es ((π/2)-1)

[jpcarcedo]

Hola

 Añado algo más si quieres comprobar por ti mismo las longitudes puedes usar el software geogebra.

 Es extremadamente inuitivo.

 Basta introducir la ecuación de la elipse:

 x^2/a^2+y^2/b^2=1

 con los valores de \( a,b \) que deseemos.

 Después seleccionar la herramienta longitud y pinchar en la elipse; automáticamente nos da su perímetro.
 
 En el archivo adjunto está hecho con unos deslizadores que permiten variar al gusto las dimensiones de la elipse.

Saludos.

Voy a utilizar una pregunta que me han hecho antes.
¿Qué te hace estar seguro de que los datos arrojados por esa web o por las fórmulas existentes son más aproximadas? ¿Cómo lo has comprobado?
¿En función a qué cálculos hallan el perímetro?

Un saludo.