Me quedo con el hecho constatado de que mi fórmula en los casos "a"=1;"b"=1 y "a"=1;"b"=0 da un resultado exacto.
Que los resultados infinitos que hay en medio ofrecen un gráfico recto mientras que el oficial representa una curva.
Y que, comparado con los datos oficiales, mi fórmula tiene una desviación máxima del 7%. (no está mal para ser tan inviable)
Ya es paradójico, cosas más raras se han visto, que la única fórmula simple que arroja exactitud en los extremos no comprenda el resto de supuestos que una elipse puede ofrecer.
Un saludo y muchas gracias a todos los que me habéis ayudado a comprender que las cosas no son tan sencillas como uno piensa.
Hola, jpcarcedo. Se me olvidó comentar una cosa.
Bajar el error del cálculo de la elipse es algo que tampoco tiene límite, no hay un error que se pueda denominar “oficial” en cuanto al cálculo del perímetro de la elipse, el error depende de “cuánto” se calcule el perímetro.
En esta página tienes desarrollada la fórmula para calcular la elipse; tienes varias, me refiero a la que titulan ahí como “serie infinita 1”.
https://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse-perimetro.htmlLa reescribo aquí pero con las letras que usas, llamando “a” al semieje mayor y “b” al menor y épsilon (\( \varepsilon
\)) a la excentricidad, que viene dada por la fórmula que puse en mi anterior respuesta:
\( p=2a\pi\left(1-\left(\dfrac{{\color{blue}1}}{{\color{magenta}2}}\right)^{2}\dfrac{\varepsilon^{{\color{red}2}}}{{\color{red}1}}-\left(\dfrac{{\color{blue}1\cdot3}}{{\color{magenta}2\cdot4}}\right)^{2}\dfrac{\varepsilon^{{\color{red}4}}}{{\color{red}3}}-\left(\dfrac{{\color{blue}1\cdot3\cdot5}}{{\color{magenta}2\cdot4\cdot6}}\right)^{2}\dfrac{\varepsilon^{{\color{red}6}}}{{\color{red}5}}-...\right)
\)
“b” no aparece directamente pero está incluida en \( \varepsilon
\), simplemente hay que sustituir por el valor de la excentricidad.
Ahí puedes ir añadiendo sumandos y vas obteniendo un valor cada vez más exacto.
Los números morados del de nominador de esas fracciones va siendo el producto de los números pares, el factorial par; de manera que en el siguiente vendría \( 2\cdot4\cdot6\cdot8
\) y así sucesivamente.
Los números azules del numerador, análogamente, va siendo el producto de los impares, como ves.
Los números rojos del denominador que están fuera del paréntesis, en la fracción de los epsilones, van siendo los impares, 1,3,5..
Y los números rojos de la potencia de los epsilones van siendo los pares.
La potenica del paréntesis es siempre 2, es constante.
Para irse acercando con más decimales al valor “auténtico” sólo hay que restando más sumandos y añadiéndoles impares, pares y productos de ambas cosas donde se ha dicho.
Pero ten en cuenta que el valor “auténtico” es una quimera, no es un valor, no existe más que como una fórmula que lo identifica; literalmente esto es así por pura definición, porque si llegáramos al infinito éste ya no sería el infinito; la condición para que lo sea es no llegar nunca a él.
Pero, en cualquier caso, cuando hay muchos decimales (pon miles) los del final no nos interesan mucho, porque suponen una “cantidad cero” para nosotros.
Ahora bien, dentro de esto, hay que matizar una cosa y te lo explico con un ejemplo:
El número “e” es el límite del resultado que da esta fórmula \( \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}
\) cuando “n” es un número natural enorme; cuanto más enorme, más cerca estará de ese valor teórico que no se alcanza nunca.
Si pruebas con la calculadora (y con paciencia) a ir dando valores 1,2,3,4... a “n” en la fórmula, veras que, poco a poco, los primeros decimales irán tomando el valor auténtico; para “n=1”, ya ves, tendríamos 2 elevado a 1 que es 2; y el número “e” es 2,718281828...
Para “n=2” ya tienes 2,25; el primer decimal aún no vale lo que tiene que valer, pero lo valdrá por primera vez en cuanto se dé un valor un poco más grande: para “n=74”, concretamente.
Y ya, para los siguientes “n” más grandes, por muchos valores que se dé a “n”, ese primer decimal se estabiliza, no cambia, es siempre 7.
Si sigues dando valores mayores a “n,” mayores que 74, el segundo decimal va a ser cero todo el rato... hasta que llegas a “n=164”, donde por primera vez vale 1; que en este caso es el valor auténtico del segundo decimal (se queda ahí para siempre por muy grande que se dé el valor a “n” en la fórmula).
Y lo mismo para los siguientes decimales, llega un momento en que se fijan en su valor auténtico y no se mueven.
A mí me gusta verlo con un ejemplo; es como una maquinita de ésas que hay en los bares, con varias ventanitas por las cuales se ven correr las frutas (plátanos, naranjas...) y después se van parando como progresivamente (ésa sensación da) en alguna de esas frutas; pero hasta que no se paran no sabemos cuáles van a ser.
Al calcular el perímetro de la elipse pasa igual, se trata de ir llegando al valor auténtico de algunos decimales y generalmente no valen los primeros que obtienes, no son ésos.
El propio número pi, que interviene en la fórmula de la elipse, es así, como el número “e”, tiene sus fórmulas las en las cuales se puede ir dando valores a “n” hasta que se fijan esas ventanitas.
Cuando tú escribes pi con cinco decimales lo que está ocurriendo es que a partir del sexto decimal ya todos son ceros, y, por tanto, la precisión llega sólo hasta ahí, ése número no es pi, no existe la posibilidad de utilizar el auténtico; se pueden tomar millones (que están calculados) pero siempre habrá error.
...
Poco importa el valor “exacto” del perímetro de una elipse ante el misterio de qué número saldrá en la lotería de esas ventanitas; existen todos los deciamles concretos hasta el infinito pese a que no existen, porque cuando se fijan ya no pueden ser otros; por eso, pi, el número “e” y todos este tipo de números que convergen a un límite, son números concretos; en cambio, cuando los decimales no acaban de fijarse nunca (que ocurre con otras funciones) la fórmula no está representando un solo número, sino una cantidad indefinida y enorme de números distintos.
Con ésta es con la idea que tienes que quedarte; porque creo que para un novelista es mucho más seductora
Saludos.
