Precisamente le estaba dando vueltas a ese asunto, aunque no con los axiomas de Peano, sino con el método de las clases de equivalencia aplicado de forma recurrente. Es decir como ajustar el método para basándonos en este método poder ir construyendo los cardinales transfinitos de forma sucesiva basando la construcción de cada uno de ellos en el cardinal anterior.
La idea la tengo hilvanada solamente pero trataré de exponer las lineas generales:
1º.- Construimos inicialmente el primer conjunto, \( N \), como ya hemos descrito, eligiendo un conjunto \( A \) infinito cualquiera y eligiendo sus subconjuntos finitos y formando las clases usando la biyectividad como relación de equivalencia. Obtenemos un conjunto numerable que satisface los axiomas de Peano. Hasta ahí correcto.
2º Volvemos a aplicar el mismo método pero eligiendo ahora cualquier subconjunto de \( A \) (no solo los finitos) y formando las clases de equivalencia basadas en la biyectividad. Obtendremos (no necesariamente si \( A \) es numerable) nuevas clases de equivalencia que antes no aparecían. Dichas clases pueden ordenarse puesto que siempre aparecerá algún representante de la clase \( \aleph_i \) que esté incluido estrictamente en algún representante de la clase \( \aleph_j \) lo que nos permite afirmar, sin lugar a dudas creo yo que:
\( \aleph_i < \aleph_j \)
Esto nos permite ordenar dichas clases, basándonos unicamente en la relación de inclusión entre conjuntos. Podemos avanzar en el proceso tanto como queramos sin más que usar conjuntos \( A \) cada vez mayores, usando simplemente las potencias sucesivas de \( A. \) Aunque creo que cada vez que se modifique el conjunto \( A \) será necesario volver a iniciar el proceso desde el principio para poder asegurar la relación de inclusión entre representantes de clase, pero eso no parece un inconveniente grave.
Ahora bien conseguir esto usando axiomas "tipo Peano", quizás pudiera hacerse, pero no lo he meditado. No veo la forma de hacerlo. Desde luego los dos primeros axiomas deben mantenerse, quizás la cuestión esté en la función siguiente como apuntas y si acaso en el principio de inducción. Aunque no veo en principio la forma:
- El conjunto de los cardinales transfinitos es no vacío
- Existe un primer elemento que es la cardinalidad numerable \( \aleph_0 \)
Si tuvieramos la seguridad de que la hipótesis del continuo se satisface podríamos realizar la construcción muy facilmente:
\( (\aleph_i=\#A)\ \Rightarrow{}\ S(\aleph_i)=\#P(A) \)
pero creo que tal cosa no puede afirmarse, al menos sin demostrarla o aceptarla como axioma (pero en ese caso corremos el riesgo de construir un sistema inconsistente), salvo que yo ande muy equivocado.
Saludos, Jabato.
