[Jabato]

Sigo con mi demostración. Creo que el método de reducción al absurdo es aquí el más adecuado. Así pues supongamos un subconjunto \( X\subseteq{N} \), tal que \( 0\in{X} \) y aceptemos que \( \exists{}n\not\in{X} \). Elijamos ahora un representante de esa clase. Sabemos por demostraciones anteriores que esa clase es no vacía y que cualquiera de sus representantes es un conjunto finito no vacío. Tiene al menos un elemento, permitidme que me autocite:

2º.-La aplicación S(C_i), que puede construirse en la siguiente forma. Consideremos la existencia de un conjunto \( a_i\in{}C_i \). Dicho conjunto es finito por definición, y por ser \( A \) infinito entonces \( \exists{}x\in{}A-a_i \). De aquí concluimos que existe la clase \( S(C_i}) \), ya que tendría al menos un elemento:

\( b_i=a_i\cup{}\{x\} \)

Y ahora eliminemos un elemento de ese representante. Obtendremos así otro conjunto que perenecerá a una nueva clase, \( n-1 \), clase que tampoco puede pertenecer a \( X \), puesto que si perteneciera a \( X \) entonces también debería pertenecer a \( X \) la clase n=S(n-1), por la hipótesis de partida del principio de inducción.

Repitiendo el proceso tantas veces como sea necesario hasta llegar al conjunto vacío (sabemos que será un númer finito de veces) deberíamos llegar a la conclusión de que \( 0\not\in{}X \), pero por hipótesis resulta que \( 0\in{}X \), luego acabamos llegando a contradicción. Es decir no es posible que exista una clase que no pertenezca a \( X \), y de aquí deducimos entonces que:

\( (X\subseteq{N})\wedge (N\subseteq{X})\ \Rightarrow{}\ (X=N) \),

lo que demuestra el principio de inducción y por lo tanto el quinto axioma de Peano. Conclusión que completa mi segundo paso, es decir, el conjunto de las clases de equivalencia de los subconjuntos finitos biyectivos de \( A \), (siendo A cualquier conjunto infinito), satisface los aximomas de Peano. Algo que ya intuía, pero que ahora creo que he demostrado.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Pero yo no te acusé de nada, al menos no fué esa mi intención, y por si acaso ahí van mis disculpas por adelantado si es que lo hice sin darme cuenta.

No hay problema, yo sólo le estaba poniendo un poco de color al asunto para que no sea tan pesado el discurso de meras fórmulas y deducciones, pero no me sentí "afectado" personalmente por nada que hayas dicho.

Lo que sí remarcaba es que a partir de "tu" construcción probé los Axiomas de Peano.
Entonces ya está, no hay que probar nada más, está hecho.
O sea, las propiedades de la "lista de Peano" ya están "demostradas", ya son ciertas porque están probadas.
Y se pueden usar de ahí en más.

Fijate que probé el Principio de INducción sin invocar jamás los axoimas de Peano.
Nunca usé los Axiomas de Peano.

Después que terminé de probarlos, entonces sí que los usé, porque ya son ciertos una vez "demostrados". ¿O no?

[Jabato]

Si, es verdad, incluso me atrevería a decir que ya no son axiomas, sino teoremas, dentro del contexto de la TC porque pueden demostrarse.

Bien, mi esquema lógico me pide que trate ahora de probar que todo conjunto que satisfaga los axiomas de Peano puede construirse usándo el método de las clases de equivalencia; ya te indiqué que mi intención es probar que ambas definiciones de los naturales son equivalentes. Y esa será mi próxima exposición. Preveeo que no va a ser fácil, y además ahora no debo dedicarle tiempo porque estoy trabajando, pero esta tarde haré un intento, a ver que consigo.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Bien, ahí voy con mi tercer paso, es decir, tratar de demostrar que todo conjunto que satisface los axiomas de Peano puede construirse como conjunto de las clases de equivalencia de todos los subconjuntos finitos biyectivos de un determinado conjunto infinito \( A. \) Parece por lo tanto que mi objetivo va a ser identificar el citado conjunto \( A. \) El resto es automático.

Aunque antes una consideración, y es la de hacer que el primer elemento del conjunto \( N \) va a ser el \( 0 \) y no el \( 1. \) Ya hice un comentario al respecto en mi segundo paso, de manera que los axiomas que debe satisfacer el conjunto N ahora serán los que expuso Argentinator en su momento con una ligera modificación para adpatarlos al hilo del debate:

El sistema Axiomático de Peano considera tres objetos primitivos \( N, 0, S, \) sujetos a los siguientes axiomas:

• \( N \) es un conjunto no vacío.
• \( 0 \) es un elemento de \( N \).
• \( S \) es una función con dominio \( N \), e imagen \( N\setminus\{0\} \)
• La función S es inyectiva: \( S(x)=S(y)\Rightarrow{x=y} \)
• Si \( X \) es un subconjunto no vacío de \( N \), definido de tal forma que \( 0\in X \), y tal que para todo \( n\in N \) vale la implicación \( n\in X\Rightarrow{S(n)\in X} \), entonces \( X=N. \)

La última propiedad es el famoso Principio de Inducción.

Hay otra consideración que hacer, y es la de que como las clases de equivalencia que utilicé para mi definición de N no son más que familias de conjuntos finitos, mi primera exigencia es la de que cualquiera que sean los elemenos del conjunto N, siempre debo considerar que dichos elementos son a su vez familias de conjuntos finitos que guardan entre sí una determinada relación de equivalencia. Aunque esto creo que no plantea problemas puesto que la TC permite tal consideración. La unión de los elementos de cada familia correspondiente a un determinado elemento, \( n\in{}N \) me dará un determinado conjunto, que denominaré \( C_n \), y la unión de todos los \( C_n \) deberá reproducirnos el conjunto \( A \) buscado.

Luego mi problema estriba solo en buscar los conjuntos finitos representantes de cada n, y la relación de equivalencia que los convierte en clase de equivalencia.
 
Continuará, Jabato.

[argentinator]

todo conjunto que satisface los axiomas de Peano puede construirse como conjunto de las clases de equivalencia de todos los subconjuntos finitos biyectivos de un determinado conjunto infinito

No sé a qué te estás refiriendo con esto.
Cualquier conjunto numerable satisface los axiomas de peano, con tal que se defina una biyección con algún otro que ya tengamos de antes.

Una sucesión de elementos distintos \( \{x_n\}_n \) de un conjunto dado cualquiera, satisfará los axiomas de Peano con tal que consideremos al \( x_0 \) como el elemento "0", y a la función "sucesor" como \( S(x_n)=x_{n+1} \).

O sea, un conjunto que cumple las propiedades (o axiomas) de Peano no necesariamente proviene de "clases de equivalencia de conjuntos finitos".

No sé bien adónde apuntas.

me atrevería a decir que ya no son axiomas, sino teoremas,

Pareciera que aún estás teniendo alguna especie de "idolatría" (para decirlo muy exageradamente) por la palabra "axioma", como si fueran algo intocable.

Si una Propiedad se afirma algo sin demostración, es Axioma.
Si una Propiedad se la ha demostrado, es Teorema.

Que una Propiedad sea Axioma o Teorema depende exclusivamente de una elección personal.
Los Axiomas de la Teoría de Conjuntos se han elegido con mucho cuidado...

Los "Axiomas" de Peano los llamo así sólo porque es la "costumbre" en la literatura decirles "axiomas".
Yo preferiría llamarlas simplemente "lista de Propiedades enunciadas por Peano".

En todo caso, lo que hemos hecho hasta aqué es lo siguiente:
Partiendo de los axiomas de la teoría de conjuntos ZFC (porque hemos usado "elección"), hemos construido clases de equivalencia, las cuales hemos demostrado que cumplen todas las propiedades de la lista enunciada por Peano.

Eso es un Teorema.

Aunque la lista de propiedades de Peano no son para nosotros un teorema, porque los objetos a los que se refiere, que son \( N, 1, S \), son "genéricos", no "específicos".

Los Axiomas de Peano pueden volverse teoremas sólo partiendo de otros axiomas que hablen a su vez de elementos igual de genéricos \( N, 1, S, \) .
Hay muchas sutilezas y recovecos en esto.

[Jabato]

Ya lo veo ya, que el camino para conseguir mi objetivo está plagado de trampas y que los matices en estos temas son de vital importancia casi siempre. Pero hombre ahí esta lo bonito del debate.

Por lo demás, en cuanto a la consideración de axioma ó teorema, ya sé que la matemática nunca podrá liberarse de los primeros, al menos parece que eso demostró Godel con sus famosos teoremas, pero como ya te he dicho alguna vez, mientras más nos acerquemos a la utopía de Hilbert tanto mejor pienso yo.

En cualquier caso mis objetivos son basicamente dos en este debate:

1º.- Demostrar que es perfectamente posible prescindir de los axiomas de Peano para definir a los números naturales.

2º.- Aunque no lo he declarado hasta el momento, el segundo objetivo está relacionado con encontrar una definición de conjunto numerable que no tenga relación alguna con lo números naturales. Independizar los conjuntos numerables de los números naturales, aunque eso es más largo de explicar y procede de una ambición mía más lejana en el tiempo. Hemos discutido en este foro más de una vez, que yo recuerde, sobre el concepto de cardinalidad de un conjunto, y por ahí van los tiros.

Es cierto que para la matemática aplicada la herencia que nos dejaron los matemáticos que nos precedieron es fundamental y debemos cuidar que no se pierda. Pero la matemática no es solo matemática aplicada, eso nos exige muchas veces que tengamos que recorrer estos caminos en solitario, practicando las técnicas de "supervivencia" a cada momento, y disfrutando como "niño con zapatos nuevos" cada vez que somos capaces de solventar un escollo, por pequeño que sea, sin ayuda de nadie. Aunque la compañía y el apoyo moral se agradecen, por supuesto, pero el trabajo debe ser propio, individual, y eso es precisamente lo que nos conduce cada vez más a la pasión que sentimos la mayoría de nosotros por esta disciplina.

¡Vaya, vaya, ya me salió la vena romántica otra vez...!

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Varias veces he insistido con esta definición de cardinal numerable, que evita recurrir a los números naturales:

X es numerable si es infinito, y todo subconjunto infinito es biyectivo con X.

Con axiomas muy débiles de conjuntos esa definición es discutible,
pero con ZFC estoy seguro que eso "equivale" a ser biyectivo con algún "Peano", o sea, existe un N que satisface los Axiomas de Peano y es biyectivo con X.

¿No te agrada mi definición?

También puede haber otras definiciones o construcciones posibles.
No quiero impedir que llegues a la tuya propia, y que sea de tu agrado.

Lo que sí tengo claro es que, a mí en particular, todas las posibilidades me agradan por igual.
No soy partidario de quedarse con "una sola" definición o construcción, porque pienso que eso no permite comprender la totalidad del concepto que uno está investigando.
Hay que entender las relaciones entre todas las posibilidades existentes, y ver si se puede "construir" una a partir de "otra ya dada", y viceversa. Eso es "equivalencia". Si no se puede, es que alguna definición o axioma es más fuerte que otra...

En fin 

[Jabato]

Bueno a eso me refería, a que somos nosotros mismos los que tenemos que investigar y llegar a nuestras propias conclusiones, por supuesto que la ayuda siempre es bienvenida, pero en los libros casi nunca vienen los porqués, solo aparecen los qués, y eso solo a mi no suele bastarme.

Saludos, Jabato.  

[argentinator]

pero en los libros casi nunca vienen los porqués, solo aparecen los qués, y eso solo a mi no suele bastarme

Es difícil encontrar material "humanamente" claro.
Hasta ahora he visto pocos textos que ayuden a uno a "construir" los conceptos matemáticos antes que aceptarlos por decreto.

Son muy conocidos los textos de Ivorra, que se consiguen por internet, e incluso en la página principal del rincon.
No sé si están orientados a los "por qués", pero su estilo ameno ayuda bastante.

Hay unos libros viejos, que siempre recomiendo, de Rey Pastor, una obra en 3 tomos, que son un gusto leerlos.

No recuerdo por ahora nada más.

[Jabato]

Realmente yo por eso suelo recomendar lecturas sobre la historia de la matemática, son amenas, habitualmente fáciles de entender y ayudan bastante a comprender los porqués de las cosas. Los libros de texto puro y duro están llenos unas veces de demasiado formalismo, y otras de demasiada parquedad en las explicaciones de los conceptos, parece como si con dar una definición ya estuviera todo resuelto, y esas técnicas aplicadas al ensayo pueden ser efectivas quizás, pero aplicadas a la enseñanza suelen ser bastante ineficaces, incluso pueden producir el efecto contrario al esperado, y de hecho a menudo lo hacen.


Saludos, Jabato.