[argentinator]

No entiendo lo que estás pidiendo.

La equivalencia entre los dos "métodos" como los llamas, en realidad es una equivalencia entre dos "axiomas de la Teoría de conjuntos", que por eso me atrevo a nombrarlos como si tal cosa.

Axioma A (clásico): Existe un conjunto \( X \) que contiene a todos los conjuntos de la forma \( \emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\} \), etc.

Axioma B (que propongo yo): Existe un sistema \( (N,1,S) \) que satisface los Postulados de Peano.

Axioma C (el otro que propuse): Existe un conjunto \( J \) que es infinito.

Que esos Axiomas son equivalentes quiere decir, por ejemplo, que si sólo supongo el Axioma B, puedo demostrar que se cumple el Axioma A, o sea, es posible "demostrar" (ya no es axioma) que existe un conjunto que contiene a los elementos \( \emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\} \), etc.

A su vez, el Axioma A permite demostrar el Axioma B: existe un sistema que cumple postulados de Peano.

Eso es probar "equivalencia" entre ambos "métodos".


Sin embargo, lo que estarías tratando de hacer es, me parece, lograr obtener las mismas construcciones partiendo de dos "comienzos teóricos" diferentes (desde axiomas distintos, pero equivalentes).

Esa es una construcción interesante.
¿Quién va a hacer las cuentas?
 

[argentinator]

¿O acaso te estás refiriendo a "tus" dos métodos: el de las clases sin restricción, y el de las clases "acotadas" por algún conjunto infinito?

En ese caso hay una manera de "acercar" ambos enfoques de forma armoniosa.
Se debe apelar a la idea de "redes" topológicas, o sea, sucesiones generalizadas de conjuntos.

Si A es un conjunto infinito, y n un número natural, tus clases de equivalencia parciales las podríamos denotar \( C_{A,n} \).

Ahora bien, dados dos conjuntos infinitos cualesquiera \( A, B \), existe siempre otro conjunto \( D \) tal que \( A\subset D, B\subset D \), por ejemplo la unión de \( A \) y \( B \) cumple con eso.
En tal caso, todo elemento de \( C_{A,n} \) y de \( C_{B,n} \) debiera pertenecer a \( C_{D,n} \),
y entonces todo subconjunto finito de \( A \) de \( n \) elementos es equivalente a todo subconjunto finito de \( B \) de \( n \) elementos, si lo "miramos" como subconjuntos del conjunto más grande \( D \), en el que ambos están incluidos, y son equivalentes "de verdad".

No sé si esto te sirve.

[Jabato]

Creo que si me sirve esa idea que me propones pero ... no, no me referia a ninguna de esas dos demostraciones. Me refería a que sería "conveniente" demostrar que cualquier conjunto que satisfaga los axiomas de Peano puede también obtenerse como clases de equivalencia de los subconjuntos finitos biyectivos de uno infinito dado, y vicebersa, es decir, que cualquier conjunto que pueda obtenerse como clases de equivalencia de los subconjuntos finitos biyectivos de uno infinito dado debe satisfacer los axiomas de Peano. Creo que puede hacerse y eso demostraría que el método axiomático que tu propusiste para definir los naturales sería equivalente al método de clases de equivalencia que propuse yo (con la última modificación de considerar un conjunto A infinito como contenedor).

¿Me expliqué ahora?

Y aún más, eso parece que nos va a permitir definir conjunto numerable sin necesidad de recurrir al conjunto de los números naturales y eso nos va a dar algunas posibilidades que ahora parece que no se contemplan, ya que la definición actual de conjunto numerable es aquel que es biyectivo con el conjunto de los números naturales y sin embargo de esta forma la definición de conjunto numerable sería totalmente independiente del conjunto de los números naturales.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

cualquier conjunto que pueda obtenerse como clases de equivalencia de los subconjuntos finitos biyectivos de uno infinito dado debe satisfacer los axiomas de Peano.

Eso es cierto, hay que tomarse el trabajo de probarlo.
Para eso hay que "bautizar" a una de esas clases como "1",
"definir" una función "sucesor" S entre las clases,
y tambien "demostrar" que el Principio de Inducción es cierto...

La técnica que yo usaría, y que creo que es quizá la única, es la de definir la noción de "conjunto inductivo", y luego tomar la intersección M de esos conjuntos "inductivos".
Dicha intersección, hay que demostrar, también es un conjunto inductivo, y como es el "mínimo" (por ser una intersección), resulta que todo subconjunto inductivo de M es igual a M.
Eso "es" el Principio de inducción.

Finalmente, hay que probar que ese conjunto M es exactamente el conjunto de todas las clases de finitos biyectivos.

La técnica e ideas son siempre las mismas, y un ejemplo de cómo se hacen las construcciones "inductivas" está en la demostración del Teorema 0 del post de números racionales en el siguiente link: Números racionales

Son cuentas que me sé de memoria y que , por ahora, no tengo ganas de escribir.
Si vos tenés ganas de escribir los detalles... 

[argentinator]

Y aún más, eso parece que nos va a permitir definir conjunto numerable sin necesidad de recurrir al conjunto de los números naturales y eso nos va a dar algunas posibilidades que ahora parece que no se contemplan, ya que la definición actual de conjunto numerable es aquel que es biyectivo con el conjunto de los números naturales y sin embargo de esta forma la definición de conjunto numerable sería totalmente independiente del conjunto de los números naturales.

Uno puede tener muchos conjuntos que satisfagan los axiomas de Peano, pero eso no significa que tengan el mismo cardinal.
Para definir un cardinal a partir de estas "cosas", hay que probar que todas tienen el mismo cardinal, o sea que cualesquiera dos de esos conjuntos con clases y qué sé yo qué, son biyectivos entre sí.

Eso determinaría un "cardinal" bien definido.

Satisfacer las mismas propiedades... no significa tener el mismo cardinal.
Y si no, pensemos en las propiedades de una estructura de grupo.

[Jabato]

Bien, ahora que tengo tiempo intentaré esbozar los esquemas de demostración. Partiré de un conjunto \( A \) infinito y denominaré a cada una de sus clases como \( C_i \). En primer lugar demostraré que mis clases de equivalencia satisfacen los axiomas de Peano:

1º.- La existencia del primer elemento, que en mi caso es el 0 (aunque creo que esto es solo un detalle sin importancia ya que con modificar el segundo axioma, siempre según tu exposición, sería suficiente para obtener coincidencia), viene dada por la clase de los conjuntos vacíos, que evidentemente solo contiene un conjunto, ya que \( \emptyset \) es único, finito y pertenece a \( P(A) \), lo que demuestra que N es no vacío y contiene un primer elemento (son los dos primeros axiomas).

2º.-La aplicación S(C_i), que puede construirse en la siguiente forma. Consideremos la existencia de un conjunto \( a_i\in{}C_i \). Dicho conjunto es finito por definición, y por ser \( A \) infinito entonces \( \exists{}x\in{}A-a_i \). De aquí concluimos que existe la clase \( S(C_i}) \), ya que tendría al menos un elemento:

\( b_i=a_i\cup{}\{x\} \)

Dicha clase es única por ser clase de equivalencia, y por lo tanto \( \exists{}\ C_i\ \Rightarrow{}\ \exists{}\ S(C_i) \), siendo claramente dicha aplicación inyectiva. Esto demostraría los dos siguientes axiomas.

3º.- El principio de inducción, no estoy muy seguro de esto pero ... creo que el apartada anterior sirve también para demostrar este axioma ya que cualquier conjunto de clases que contenga a la clase del \( \emptyset \), y que cumpla además que si contiene a una clase debe contener tambien a la que le sigue, entonces debe contener necesariamente a todas las clase puesto que todos los elementos de N pueden expresarse como siguiente del algún otro que también pertenece al conjunto, excepción hecha del primero, pero éste también pertenece al conjunto, y por lo tanto dicho conjunto debe coincidir con el conjunto de todas las clases, es decir, con \( N \). Piensese que los subconjuntos finitos de cualquier conjunto infinito muestran todos los cardinales finitos posibles.

Por lo tanto quedaría demostrada la proposición directa y los axiomas de Peano son claramente demostrables en la TC, serían entonces teoremas y no axiomas. Faltará ahora demostrar la inversa, es decir, que si un conjunto satisface los axiomas de Peano, entonces puede construirse como un conjunto de clases de equivalencia de subconjuntos finitos biyectivos, pero eso será en el próximo mensaje.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

El tercer axioma está demasiado conversado.
Pareciera que estás justificando la demostración con alguna "intuición" inductiva,
pero justamente la "induccion" es lo que hay que probar que existe.
Eso es algo que se puede hacer con precisión.

La manera que siempre uso para construir \( N \) en estos casos, y que creo que podría considerarse estándar, es como sigue:
Definir una "noción de conjunto inductivo"., esto sería así:
Un conjunto \( X \) es inductivo si cumple estas condiciones:

• La clase \( C_0 \), la que contiene al vacío, es un elemento de \( X \).
• Toda clase \( C\in X \) corresponde a elementos "finitos".
• Si \( C \) es alguna clase de equivalencia que está en \( X \), y \( C \) no es la clase que contiene al conjunto total \( A \), entonces \( S(C) \) también esta en \( X \).

Es claro que la familia \( X \) que contiene a todas las clases de equivalencia \( C \) "finitas" posibles de subconjuntos biyectivos de \( A \), es al menos uno de esos conjuntos inductivos.

Ahora formamos la familia \( \mathbb{F} \) que contiene a todos los conjuntos inductivos \( X \).
Como hay al menos un conjunto inductivo, según hemos visto, resulta que la familia \( \mathbb{F} \) es no vacía.
Ahora que tengo una familia no vacía de conjuntos, tiene sentido hablar de la intersección de los elementos de esa familia.
Si no, la intersección no estaría definida, no tiene sentido intersecar familias vacías.

Yo sé que da la sensación de que todos los \( X \) posibles "son el mismo", pero el hecho es que en matemática, todas las "sensaciones" hay que demostrarlas. Aún eso no se sabe, y no sé si lo voy a probar, pero sí que voy a construirme \( N \) a partir de esto.


Así que defino

\( N = \bigcap_{X\in\mathbb{F}} X \)

.

Hay que demostrar que esa intersección es un conjunto inductivo.
Como la clase \( C_0 \) está en todos los elementos de la intersección, entonces también está en \( N \).
Como todos los elementos de la intersección contienen sólo clases correspondientes a "finitos", también ocurre lo mismo con \( N \).
Finalmente, sea \( C \) una clase que está en \( N \).
Como \( N \) es una intersección, resulta que \( C \in X \), para todo \( X \) de la familia \( \mathbb{F} \).
Para cada uno de esos \( X \), por ser todos ellos inductivos, resulta que \( S(C) \in X \).
Pero si \( S(C) \) está en todos los \( X \) de la familia, también estará en su intersección, o sea que \( S(C)\in N \).
Así que \( N \) es también un conjunto inductivo.

En particular, \( N \) es el mínimo conjunto inductivo posible, porque es la intersección de todos ellos.
Así que \( N\subset X \), para cualquier conjunto inductivo \( X \).

Además, satisface la propiedad de inducción matemática, porque si E es un subconjunto de N que cumple: \( C_0\in E \) y que \( C_i\in E\Rightarrow{ S(C_i)\in E} \), entonces E cumple dos de las condiciones de un conjunto inductivo.
Pero como E es subconjunto de N, sólo contiene clases de "finitos".
Así que E es también un conjunto inductivo.
Esto implica que \( E\subset N. \)
Pero por hipótesis teníamos que \( N\subset E \).
Esto implica que \( E=N \), que es la conclusión del principio de inducción matemática en los Axiomas de Peano.

Así que \( N \) satisface los Axiomas de Peano...

Lo que no me queda claro, a pesar de todo esto, es que \( N \) efectivamente contenga "todas" las clases de equivalencia de subconjuntos "finitos" de \( A \).

Para eso definamos un nuevo conjunto \( M \) que contenga todas las clases de equivalencia "finitas".
Ya hemos dichos que ese conjunto \( M \) es inductivo, pues cumple con nuestra definición de arriba.

Como \( N \) es una intersección, y \( M \) es uno de los elementos de esa intersección,
resulta que \( N\subset M \).

Supongamos que \( N \) es estrictamente más pequeño que \( M \), con lo cual, existe alguna clase \( C_i\in M \) que no está en \( N \).
Denotemos con \( E \) al conjunto de los elementos de \( M \) que no están en \( N \).

Consideremos un representante \( I \) de dicha clase. Este \( I \) es un conjunto finito, obviamente.

Ahora bien, aprovechando que \( N \) "ya" satisface los Axiomas de Peano, podemos definir funciones con dominio \( N \), o sea, "sucesiones", je, je.
En particular, una de las consecuencias de los Axiomas de peano es el teorema que permite definir funciones de recurrencia.

Defino la función \( f:N\to M \) mediante la siguiente recurrencia:
\( f(0)=I \), donde \( I \) es aquel representante de la clase \( C_i \) que está en \( M \) pero no en \( N \).
\( f(S(n))=f(n)\setminus\{x\} \), si \( f(n) \) no es vacío, donde \( x \) es un elemento cualquiera de \( f(n) \) (plausible por axioma de elección).
O bien:
\( f(S(n))=f(n) \), si \( f(n) \) es vacío.

Para cada \( n\in N \), tenemos que \( f(n) \) es un subconjunto del famoso \( A \).
Se puede demostrar por inducción que cada \( f(n) \) es finito, y está contenido en \( I \).
Más aún, se puede demostrar por inducción que si \( f(n) \) es no vacío, entonces \( f(n) \) contiene estrictamente a \( f(S(n)) \), y además \( f(n)\setminus f(S(n)) \) contiene exactamente un elemento.

Supongamos que todo \( f(n) \) es no vacio. En tal caso, el conjunto \( J =\cup_{n\in N} f(S(n))\setminus f(n) \) sería una unión disjunta de elementos del conjunto finito \( I \), o sea, \( J \) sería un conjunto infinito de \( I \) (se puede probar armando una aplicación biyectiva con \( N \), claro).
Pero esto no es posible, contradice la finitud de \( I \).
Así que existe algún \( n\in N \) tal que \( f(n) \) es vacío.
Podemos considerar el mínimo \( n\in N \) con esa propiedad.
Apelando siempre a las propiedades de los números naturales, que ya podemos usar debido a que tenemos los Axiomas de Peano probados, podemos hablar del "máximo" número natural que cumple alguna propiedad entre los de la lista \( {\{0,1,2,...,n\} \).
En particular, dado que \( f(0) \) tiene la propiedad de que su clase de equivalencia \( [f(0)] \) es un elemento de \( E \), podemos hablar del "máximo" índice \( j=0,1,...,n \) tal que su clase de equivalencia \( f(j) \) es un elemento de \( E \).
Se trata de la clase \( C_k=C_{i-j} \), digamos, para concretar el "lío".

Obviamente, esta clase de equivalencia \( C_k \) no puede ser \( C_0 \), porque \( C_0 \) no está en E.
Así que todo representante \( K \) de \( C_k \) es no vacío. Por lo tanto existe su "antecesor" \( S^{-1}(C_k) \).
Este antecesor no puede estar en \( E \), porque si no, el índice \( j \) no sería el "máximo" en el párrafo anterior.
Así que \( S^{-1}(C_k) \) está en \( N \). Pero por estar en \( N \), su "sucesor", que es nuestro \( C_k \), tiene que estar en \( N \), o sea, no está en \( E \).

He ahí una contradicción... uff, al fin.

Esto quiere decir que N no puede ser estrictamente incluido en M, luego \( N=M \).
El significado de esto es que \( N \) contiene, precisamente, a todas las clases de equivalencia de "finitos".

Si no hubiera aprovechado la "estructura de Peano" de \( N \), no podría haber probado con "facilidad"  que los elementos de \( N \) mismo eran todos los que queríamos.

Esto es algo bastante enrededado, cosa del demonio, pero es válido, porque a pesar de no saber "exactamente" quiénes eran exactamente aún los elementos de N, sí que sabía que N tenía la estructura dada por los Axiomas de Peano.
Eso ya estaba "probado" y por lo tanto podía usarlo.

Para evitar esta "vuelta" sobre sí mismo, se puede apelar a otros principios de la teoría de conjuntos, pero a lo mejor me hubieras reclamado que te saco "conejos de la galera", y dejado una sensación de "injusticia".
Ya que el axioma de elección ha sido usado asiduamente, se podría haber apelado a cualquiera de sus equivalencias, en particular la propiedad (lema) de Zorn: toda familia de conjuntos parcialmente ordenada por inclusión, tal que toda cadena (una "lista" totalmente ordenada por inclusión) está acotada (contenida en algún conjunto), tiene una cadena maximal.
Pero eso... para otro día.

[Jabato]

Bien, yo creo que debe poderse hacer sin recurrir a los axiomas de Peano ya que usar los axiomas de Peano para demostrar que el conjunto de clases de equivalencia que yo he construido satisface precisamente los axiomas de Peano no me parece un procedimiento adecuado, y voy a intentar hacerlo sin usar dichos axiomas.

La definición que tu diste inicialmente del principio de inducción fue ésta:

Si \( A \) es un subconjunto no vacío de \( N \), definido de tal forma que \( 1\in A \), y tal que para todo \( n\in N \) vale la implicación \( n\in A\Rightarrow{S(n)\in A} \), entonces \( A=N. \)

La última propiedad es el famoso Principio de Inducción.

Para adaptarla al guión que llevo en este debate debo reescribirla con otra redacción, pero que será equivalente:

Si \( X \) es un subconjunto no vacío de \( N \), definido de tal forma que \( 0\in X \), y tal que para todo \( n\in X \) vale la implicación \( n\in X\Rightarrow{S(n)\in X} \), entonces \( X=N. \)

NOTA 1.- Se considera que \( N \) representa al conjunto de todas las clases de equivalencia de subconjuntos finitos biyectivos de A, construido por mi.
NOTA 2.- Se considera que \( 0 \) representa a la clase del conjunto vacío.
NOTA 3.- Se considera que \( n \) representa ahora una cualquiera de esas clases.

Y mi objetivo es demostrar que N cumple ese principio, demostrando así el quinto axioma de Peano, logicamente sin recurrir a él.

Continuará, Jabato.

[argentinator]

Bien, yo creo que debe poderse hacer sin recurrir a los axiomas de Peano ya que usar los axiomas de Peano para demostrar que el conjunto de clases de equivalencia que yo he construido satisface precisamente los axiomas de Peano no me parece un procedimiento adecuado, y voy a intentar hacerlo sin usar dichos axiomas.

Me estás criticando algo que yo no hice.

Nunca usé los axiomas de Peano para demostrar los axiomas de Peano.

Los axiomas de Peano los demostré sólo con clases de equivalencias y conjuntos.

Los axiomas de Peano sólo los usé para demostrar que los elementos de N coinciden con los que uno espera: que contengan todos los cardinales finitos posibles.

Pero eso es un resultado accesorio, que nada tiene que ver con la existencia de un sistema que satisface los axiomas de Peano.

Además te había explicdo muy bien cuándo y por qué se puede usar.
mmmm

[Jabato]

Vamos a ver Argentinator, yo no te acusé de nada. Estoy intentando independizar de forma total y absoluta el método de las clases de equivalencia que yo uso para definir los naturales del método que usas tu mediante los axiomas de Peano. Para lo cual debo usar mis propias herramientas que deben basarse solo en la TC, y no debo usar ningun otro axioma.

Mi primer paso es construir un conjunto que yo creo que es representativo de N. Creo que ya lo he conseguido.

Mi segundo paso es demostrar que dicho conjunto satisface los axiomas de Peano. Casi lo consigo, ya que demostré los cuatro primeros pero parece que la demostración que hice del quinto axioma no era consistente, al menos eso me indicaste, y debo probar a realizarlo de otra forma más detallada. En eso estoy ahora.

Mi tercer paso será demostrar que todo conjunto que satisface los axiomas de Peano puede obtenerse también utilizando el método de las clases de equivalencia.

Cuando consiga realizar los tres pasos (si es que lo consigo), habré demostrado, que ambos métodos, el tuyo (el axiomático) y el mío (el de clases), son equivalentes y por lo tanto tan válido uno como el otro.

Pero yo no te acusé de nada, al menos no fué esa mi intención, y por si acaso ahí van mis disculpas por adelantado si es que lo hice sin darme cuenta. Me malinterpretaste. Solo quise decir que no debo basarme en ninguno de los axiomas de Peano para conseguir mi "segundo paso", que se completará cuando consiga demostrar que mi conjunto de clases de equivalencia satisface el quinto axioma de Peano, es decir, el principio de inducción.

Saludos, Jabato.