[argentinator]

Ya te indiqué que la idea sobre la construcción de los cardinales infinitos basándome en el método de las clases estaba en fase de meditación

Lo sé, pero por eso mismo antes de que te enredes en caminos sin salida, me pareció bien adelantar los problemas que estoy seguro que van a aparecer, entre ellos, la necesidad de estudiar los números ordinales.

Si somos capaces de establecer los ordinales y asociar a cada ordinal un cardinal, deberíamos ser capaces de afirmar si el cardinal siguiente al de los naturales es el de los reales, y eso supone demostrar la hipótesis del continuo. ¡¿?!

No.
Lo que eso significa es que no se sabe en realidad cuál es el siguiente cardinal al de los naturales.
El del continuo podría ser cualquier otro, no necesariamente el siguiente de \( N \).
Aún así, aunque hubiera otra "escala" de cardinales, siempre hay un "siguiente" a uno dado, con tal que valga el axioma de elección. Pero podría haber o no cardinales intermedios, y uno no podría demostrarlo.

Eso muestra quizá, que la teoría de conjuntos no es más que una lista de propiedades en un "antecedente" de gran parte de las implicaciones que forman la matemática.
Los conjuntos no son algo "concreto", sino que están sujetos a los axiomas o propiedades que de ellos se postulen.

Habrá "sistemas de conjuntos" que satisfagan la hipótesis del continuo, y otros "sistemas de conjuntos" que no.
Se trata de "universos de conjuntos" distintos.

Del mismo modo que hay "sistemas algebraicos" que satisfacen la conmutatividad del producto, y otros no.

[Jabato]

¿Y usando el método de las clases no podríamos sacar algo más concreto? Pienso que si precisamos algo más mi esquema "hilvanado" podríamos obtener alguna interesante propiedad que nos permitiera poder definir los cardinales de forma recurrente, de manera que se pudiera precisar cual sería su secuencia, su orden, es decir, definiendo la función siguiente, y obteniendo además como ejemplos de cada cardinal cada uno de los representantes de las clases de equivalencia obtenidas.

Me explico mejor con un ejemplo, consideremos que el conjunto \( A \) sea \( R \). Y tratemos de clasificar sus partes usando la biyección como relación de equivalencia.

1º.- Si elegimos todos los subconjuntos finitos de \( R \) obtendremos un conjunto de clases numerable que podemos identificar con N.

2º.- Elijamos ahora todos los subconjuntos infinitos de \( R \). Obtendríamos ahora un conjunto de clases que debería poderse ordenar usando la inclusión entre sus representantes. Dependiendo del número de clases obtenido y de como queden ordenadas quizás pudieramos sacar alguna conclusión. Creo que es claro que si dos conjuntos, \( a \) y \( b \), pertenecen a clases distintas (es decir tienen distinto cardinal) y uno de ellos incluye estrictamente al otro, \( a\subset{}b \) el cardinal de \( a \) debe ser estrictamente mayor que el de \( b \). ¿O no?

Pero nuesro mayor problema es como obtener todas las cardinalidades que contiene \( R \), y es ahí donde creo que estriba el "quid" de la cuestión.
 
Saludos, Jabato.

[argentinator]

Si se pudiera "saber" quien es el siguiente, no habría tantas polémicas en la teoría de conjuntos.
Me temo que no se puede.
La hipótesis del continuo no se puede demostrar, es independiente de los demás axiomas de ZFC.

El conjunto \( R \) de los números reales uno puede "mirarlo" como el conjunto de pares (m, s), donde m es un entero, y s es una sucesión de dígitos 0, 1.
Aparentemente es algo bien concreto, y uno podría saber cosas de \( R \), como los cardinales posibles de todos sus subconjuntos infinitos, o dar algún buen orden....

Pero no se puede.
Y lo más terrorífico es que, ese conjunto R, tan concreto, pareciera que depende de qué axiomas estemos considerando en la teoría de conjuntos.
Algunas propiedades valen o dejan de valer en \( R \) según qué axiomas se acepten en la teoría de los conjuntos.

Misterioso

[argentinator]

Para concretar.

El siguiente cardinal al de N, según la hipotesis del continuo, es el de P(N), que es el mismo que el de R.

Sin la hipótesis del continuo, habría que demostrar que el "siguiente" cardinal al de N es el de P(N).
¿Cómo sería esa demostración?
Con clases, o con lo le se te ocurra.

Se puede probar que hay un cardinal "siguiente", pero no se puede probar que sea el de P(N).

[argentinator]

Y un último comentario, que no quiero olvidarme.

Para entender los cardinales transfinitos es necesario ir más allá de los cardinales "siguientes", porque no todos los cardinales se pueden obtener así.
Sin ir más lejos, el cardinal de N no es el "siguiente" de ningún otro.
Al cardinal de N sólo se puede llegar como "límite" de cardinales finitos.

Y del mismo modo, hay muchos cardinales a los que sólo se puede llegar como límite de los que le preceden.
He ahí la diferencia entre lo finito y lo infinito en este asunto.

Y de nuevo, el "manejo" de estos límites, cuando uno hace las cuentas, requiere "operar" con "números ordinales".
No se puede esquivar ese bulto. Los ordinales es el tema que hay que estudiar...

[Jabato]

Lo que no acabo de entender es una cosa. Si los matemáticos saben que la hipotesis del continuo no conduce a inconsistencia, tanto si se acepta como si se niega, porqué no se acepta como un axioma más de la TC y acabamos de salir de dudas. Alguna razón habrá supongo.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Es que la hipótesis del continuo no sirve para nada en matemática.

Aceptarla sería sólo una cuestión de comodidad.

Vos mismo has dicho un montón de veces "no aceptar más axiomas de los necesarios".
¿Es necesaria para alguna cosa importante la hipótesis del continuo?
Por ahora no.

El Axioma de Elección en cambio es tan básico como la tabla del 2.

Y además, estudiar distintas posibilidades: con o sin hipótesis del continuo,
es lo mismo que hicieron los geómetras al estudiar geometrías con o sin postulado de las paralelas.

En su momento podía parecer un disparate, hoy las geometrías no euclidianas explican el Universo.
Sería una gran pérdida y deshonestidad intelectual afirmar la hipótesis del continuo arbitrariamente.

La matemática, aún siendo tan abstracta, está dentro del campo de la ciencia, y las cosas hay que tomarlas con todos los recaudos que el rigor científico requiere.

[Jabato]

Pues visto así, quizás merezca la pena esperar. Total que acabamos casi como andabamos al principio, aunque creo que le dimos un buen repaso a la teoría, ¿no te parece?

Yo le daré alguna vuelta a los ordinales a ver si se me ocurre algo.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Bueno.

Tema aparte: la conversación se ha desviado del asunto original. Convendría separarla en dos hilos diferentes, aunque con enlaces entre ellos, claro.

[Jabato]

Pues esta vez voy a discrepar, argentinator, creo que el debate constituye un todo bastante coherente, en el que principalmente se trata de las diversas forma de construir los naturales, con alguna ramificación hacia el tema de los cardinales infinitos, pero que en mi opinión está muy relacionado con el asunto, así que yo no lo dividiría en absoluto. Tu eres moderador y tienes la potestad de hacerlo, sin que yo pueda impedirlo, pero debo manifestar mi opinión en el sentido de mantener el debate tal como está.

Saludos, Jabato.