Supongamos que definimos la clase de equivalencia del número 7.
Eso quiere decir, la clase de todos aquellos conjuntos biyectivos entre sí, y que, "intuitivamente" tienen 7 elementos.
¿Esa clase es vacía?
Si fuera vacía, no existiría la clase del 7, y según tu definición, no existiría el número natural 7.
Pero bueno.
Vamos a suponer que existen conjuntos (que los hay) de todos los cardinales n finitos ...
Un conjunto se dice finito si es imposible biyectarlo con una parte propia.
Lo defino así para evitar referirme a la noción de "finito" como "biyectivo con un segmento inicial de naturales", porque resulta que los naturales aún los estamos definiendo...
Así que no los tenemos, y por eso uso esa otra definición abstracta.
Dado un conjunto finito F denoto [F] a la clase de todos los conjuntos biyectivos con F.
Eso determinaría, para cada cardinal finito posible, una clase que contiene a todos los conjuntos con un mismo cardinal finito.
En efecto es posible decir que cada una de estas clases "sería" un número natural.
Pero esta definición no permite formar el conjunto N de los números naturales.
Supongamos la clase del cardinal "1", o sea 1 = [{x}], para algún x.
Tendría que ocurrir que 1 es un elemento del conjunto N.
Pero eso no es posible, porque si 1 perteneciera a N, entonces 1 sería un "conjunto".
Recordemos que en teoría de conjuntos tenemos clases que son conjuntos, y otras que no, que se llaman clases propias.
La clase "1" no puede ser un conjunto, es una clase propia.
En efecto, la aplicación f({u}) = u, para todo conjunto u, define una aplicación biyectiva con dominio "1" e imagen la clase universal U, que no es un conjunto, como sabemos.
Pero los axiomas de la teoría de conjuntos nos dicen que una aplicación como esa sólo es posible si el dominio tampoco es un conjunto.
Esa es una contradicción que veo yo en el uso de clases.
Así que lo que habría que hacer es usar representantes de esas clases, para poder formar un conjunto N de números naturales.
Pero estos representantes ya serían lo bastante arbitrarios como para perder la "sensación" de unicidad del concepto de número natural.
Además, hay otra cuestión, y es que los números naturales no son sólo cardinales.
También son ordinales, y entonces identificar a los naturales con cardinales haría que se pierda la oportunidad de estudiar los números transfinitos desdel el punto de vista ordinal, que es un campo mucho más amplio que el de los cardinales.
Así que ahí hay otra ambigüedad en los naturales: cardinal/ordinal. Para ellos es lo mismo, pero al generalizar a transfinitos, la cosa se bifurca.
A mí lo que me parece es que, en vez de buscar establecer "por decreto" la definición que a uno más le gusta, lo conveniente es estudiar a fondo todas las propiedades de los números naturales, para ver por qué aprendemos de ellos.
Cuando te estás refiriendo a "los matemáticos", quizá te refieras a algunos, aquellos que meditan sobre el concepto de número.
Hay muchos matemáticos que trabajan con los números como si fueran una sola cosa ya dada. Una secuencia que se comporta como uno espera.
Pero cuando uno se pone a estudiar en serio este tema, es necesario abordarlo con honestidad intelectual. Preferir una definición a otra, es cosa muy arbitraria.
La matemática no funciona así.
En cambio, darse cuenta que hay una estructura estable y común a muchos sistemas diferentes, eso sí que aporta claridad conceptual.
Los Axiomas de Peano son muy fuertes. Ellos permite "construir" la suma, el producto y el orden de N, prácticamente de la nada, gracias a un Teorema de Recurrencia, que anda por ahí...
