Ahí voy de nuevo:
Supongamos que existe la clase \( C_1 \) de equivalencia de todos los conjuntos de 1 elemento en ZF.
Esto quiere decir que: \( \forall{x};\{x\}\in C_1 \).
"Para todo x" quiere decir, "todo objeto x de la teoría ZF", o sea "todo conjunto x".
El "operador" \( \bigcup x \) recordemos que significa \( \bigcup_{a\in x} a \), o sea, la unión de todos los elementos que están en x.
Dicha unión es unívoca, o sea, el resultado de aplicar el operador \( \bigcup x \) da un y sólo un conjunto \( y \) determinado.
Ahora consideremos una fórmula de lenguaje de primer orden \( \phi(x,y) \) que dice esto:
\( \phi(x,y)\equiv{[\bigcup x = y]} \).
Esa "correspondencia", por llamarla de algún modo, es "unívoca".
En efecto, dados \( y_1,y_2 \) tales que \( \phi(x,y_1) \) y \( \phi(x,y_2) \) son "verdaderas" al mismo tiempo, entonces \( y_1=\bigcup x =y_2 \).
Ahora bien, vayamos al
Axioma de Reemplazo de ZF, visible en esta dirección:
Axiomas de ZF(recomiendo ver la explicación detallada en el spoiler, que incluso tiene la forma exacta en síimbolos de lo que está ocurriendo)
La fórmula \( \phi(x,y) \) antes definida satisface los requisitos de dicho Axioma.
Por lo tanto, para cualquier conjunto A, existe un conjunto B, y una función \( f:A\to B \), tales que \( y = f(x)\in B \), para todo \( x\in A \), y más aún, la función \( f \) es
sobreyectiva.
Más aún, la función \( f \) satisface que \( \phi(x,f(x)) \) es cierta.
Pero entonces \( f(x)=\bigcup x \), por unicidad de la imagen.
Ahora bien, consideremos nuestro "hipotético" conjunto \( C_1 \).
Si en el párrafo anterior escribo \( A = C_1 \), va a existir un conjunto B, y una
función sobreyectiva \( f:A\to B \), tales que \( f(x)=\bigcup x \), para todo \( x\in A \).
En particular, extraigo el hecho de que B es un
conjunto.
Ahora tomo un objeto \( x \) cualquiera de la teoría de conjuntos.
Formamos el conjunto unitario \( \{x\} \).
Por definición de la clase \( C_1 \), es claro que \( \{x\}\in C_1 \).
O sea, el conjunto \( E=\{x\} \) pertenece al "conjunto" \( C_1 \).
Pero ahora calculo
\( y=f(E)=\bigcup E=\bigcup_{a\in E} a=\bigcup_{a\in \{x\}} a=x. \)
Esto prueba que \( x\in B \).
En resumen, he probado que, para todo objeto \( x \) de la teoría ZF, o sea,
todo conjunto \( x \), tengo que \( x \) es un elemento del
conjunto B.
Pero eso quiere decir que B es un conjunto que contiene a todos los conjuntos.
Esto es absurdo, porque no existe un conjunto así en ZF.
La contradicción provino de suponer que existía un conjunto \( C_1 \) con las propiedades especificadas.
