[argentinator]

¿recuerdas el axioma de infinitud?

Cuando los teóricos han puesto ese axiomas en la teoría de conjuntos, ha sido con la intención concreta de que "exista algún conjunto con las propiedades de los números naturales".

Si en la teoría de conjuntos se cambia ese axioma por este otro:
"Existen N, 1, S que satisfacen los Axiomas de Peano",
entonces podríamos trabajar tan cómodamente como de costumbre.

O incluso este otro axiomas más general:
"Existe un conjunto infinito".

Con ese axioma, junto al axioma de elección (que en realidad es equivalena al de buena ordenación), es posible llevar a cabo la construcción de cierto conjunto que satisface los axiomas de Peano, o sea, un conjunto que tiene una propiedad de "inducción" (y las otras propiedades también).
Basta tomar el mínimo (\( \cap{} \)) conjunto bien ordenado que sea infinito y esté contenido en algún X infinito dado, que existe por axioma.

Así que no sé qué es primero, si el huevo o la gallina.

[Jabato]

Con tu definición hacen falta los axiomas de Peano más los de la TC.

Con la mía solo hacen falta los axiomas de la TC.

Decide tú que fué primero si el huevo ó la gallina. Para mí fué la gallina claro.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Fijate en el Axioma de Reemplazo de la lista de axiomas de MK, que distingue entre conjuntos y clases propios.
Te pongo en el enlace, que ya lo conocés, para que tengamos una referencia común:

Axiomas de Morse-Kelley (#3 de Axiomas de T. de C.)

Lo estoy usando junto con una demostración por contradicción.
Sea A la clase de equivalencia que contiene todos los conjuntos de un solo elemento: {x}, donde x es un "elemento" cualquiera posible (x debe ser un conjunto para poder pertenecer a {x}).
Sea U la clase universal, que es clase propia (no es conjunto).

Supongamos que A es un conjunto.
Sea \( f:A\to U \) la función que a cada elemento {x} de A, le asigna el elementito x.
Ciertamente, esa función es sobreyectiva, pues para cada \( x\in U \), el conjunto {x} está en la familia A, y vale f({x})=x, o sea, el x tiene preimagen por f.
Por el Axioma de Reemplazo, esto implica que U es un conjunto.

Pero sabemos que U, la clase universal, no es un conjunto, contradicción.
Luego A es una clase propia.

La clase A corresponde, según tu definición, al número 1.

Pero A no puede pertenecer a algún conjunto N, porque si esto ocurriera, A sería conjunto... lo de siempre.

Se puede definir 1=A, y se puede definir cada número natural como una clase de finitos biyectivos, pero no se puede formar un conjunto N que los contenga.

[argentinator]

Con tu definición hacen falta los axiomas de Peano más los de la TC.

Con la mía solo hacen falta los axiomas de la TC.

No: Con mi definición sólo se usan los axiomas de la TC "sin" el axioma del infinito, "más" el axioma: "Existe un conjunto que cumple los postulados de Peano".

Es la misma cantidad de Axiomas.

Mi otro sistema era: todos los axiomas de la TC "sin" el axioma del infinito, "más" el axioma: "existe un conjunto infinito".
Ese axioma "me parece" más simple de enunciar que el axioma del infinito, que postula un conjunto con elementos \( \emptyset,\{\emptyset\}, \) etc.

No estoy agregando axiomas, sino reemplazando el axioma del infinito, de la TC, por otros distintos, que llevan a teorías equivalentes.

Así que lo que está pasando es que estamos pateando el problema de los números naturales al "patio" de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Es todo parte de la misma disyuntiva filosófica de que los números naturales son un inconveniente teórico profundo, con el que hay que lidiar desde los mismos fundamentos.
Los Axiomas de la Teoría de Conjuntos también se pueden discutir.
Aunque voy a tratar de respetar que los axiomas que propongo sean equivalentes a aquellos que voy a "tocar", pero es posible cambiar cosas ahí.

De la misma manera que puedo reemplezar el Axioma de Elección y cambiarlo por el axioma que dice que todo conjunto admite un buen orden.

Entonces yo no veo ninguna ventaja en apelar al axioma del infinito, en vez de a los axiomas que yo he puesto, entre ellos, el de que existe un conjunto que cumple los postulados de Peano.

[Jabato]

¿Y que pasa si utilizamos la teoria de Zermelo y Fraenkel (ZF)?. No existen las clases propias. Solo hay conjuntos y relaciones de pertenencia ó de inclusión entre ellos, las clases de equivalencia son conjuntos y pueden a su vez pertenecer ó estar incluidas en otros conjuntos. De hecho el conjunto cociente no es más que una part¡ción del conjunto principal, definida mediante una determinada relación de equivalencia, y los elementos de una partición son conjuntos por definición, ¿ó no?.

¿Donde está el problema entonces?

Yo creo sinceramente que ambos procedimientos son perfectamente válidos, a ti te gustan los axiomas de Peano, y a mi las clases de equivalencia, pero creo que no encontraremos un argumento suficientemente sólido que descarte alguno de los métodos en beneficio del otro. Ambos conducen al mismo resultado y ambos son válidos.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

El problema está en que con la teoría de ZF esas clases que estás tratando de definir, no existirían.
Porque todo objeto que en ZF es un conjunto bien definido, tiene una contraparte en Mk que también es un conjunto.
Hay por ahí un Axioma equivalente al del reemplazo... hay que ver cómo trabaja.

Ahora, en ZF, no puedo simplemente decir: "el conjunto de los x tal que x ... ".
Tengo que escribir una fórmula del lenguaje de 1er orden \( \phi(x) \), y "demostrar" que existe un conjunto \( \{x:\phi(x)\} \) definido a partir de esa fórmula, a través del Axioma de Especificación.

Pero hay que fijarse cuidadosamente ahí, porque el Axioma de Especificación permite definir conjuntos a partir de fórmulas... sólo como subconjunto de algún otro conjunto X que ya se tenía de "antes", de alguna manera.

Si la clase "1" fuera un conjunto, de nuevo, se puede usar el Axioma de Reemplazo para probar, en este caso, que hay una función sobreyectiva de "1" en un conjunto U, el cual contiene a todos a todos los conjuntos.
Pero en ZF no puede haber objetos U que contengan a todos los conjuntos, porque eso genera la paradoja de Russell.

[Jabato]

Creo que en ZF tambien es posible construir conjuntos a base de añadir elementos, como ejemplo el clásico de la construcción de los naturales en dicha teoría. Así que las clases de equvalencia si existen y tienen al menos un conjunto cada una, pero cuando quieras te demuestro que cada clase tiene más de un conjunto.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Las clases de equivalencia, si van a contener a "todos" los conjuntos con n elementos, no existen en ZF, porque un objeto tal no puede pertenecer a la teoria, no es un conjunto.

¿Cuál sería la clase de equivalencia del "1"?
¿Es un conjunto en ZF?

Te voy a salir de nuevo con la demostración de que la aplicación que envía los elementos {x} de dicha clase de equivalencia de conjuntos unitarios en un conjunto U, no puede existir, porque U sería un conjunto universal, que no existe en ZF.

Hay que usar los axiomas de especificación y reemplazo correctamente.

[argentinator]

A lo mejor fue un error de planteo de mi parte ponerme a pensar si acaso las clases de equivalencia podía ser vacías o no.
Aceptemos que, de existir, son no vacías.

Lo que es realmente problemático es que no son conjuntos, o sea que son clases propias en MK, y directamente no existen en ZF.

[Jabato]

Pues algún fallo debe haber en tu razonamiento porque en ZF las clases de equivalencia existen y son familias de conjuntos, es decir, son conjuntos a su vez. Lo que me dice que en MK también existen y también son conjuntos. No veo el fallo pero ... parece que algo no está claro.

¿Podemos construir un conjunto de 7 elementos en ZF? ¿y uno de 60? Pues ahí tienes la respuesta. Las clases en ZF existen, son no vacías y son familias de conjuntos biyectivos entre sí, que forman a su vez un conjunto de familias (cada familia es una clase de equivalencia).

Y siento decepcionarte pero cualquier razonamiento que niegue tal cosa debe contener algún error.

Saludos, Jabato.