Pero \( m \) no funciona como secuencia para \( K \). Los intervalos de \( m \) en el término multiplicativo tiene intervalo de 1, mientras que para \( K \) los intervalos son dispersos.
En mi humilde opinión, puesto que esto se encuentra ligado a la imposibilidad de ciclos no triviales, la solución no depende tanto de la función de acarreo sino a cómo se compone el acarreo mismo dentro del comportamiento de las iteraciones en general respecto a \( n \), o sea es un problema lógico más que aritmético, puesto que \( n \) tendría que regresar a \( n \) luego de incrementos y disminuciones sin patrones generales para que pueda existir un ciclo no trivial que nadie estima que exista.
No conozco forma de demostrar que no existe algo que no existe, supongo que requiere algo más allá de soluciones matemáticas.
Ahhh! En cuanto a los ciclos te referís? Eso surge de otra cosa, todavía no pude darle un cierre como demostración, pero hay algo que fuerza que los ciclos deban tener al menos un elemento pequeño. Para esto si estoy buscando como armar la cota correcta. Pero ahora solo lo tengo como intuición con validación empírica. Pero de esa misma ecuación que te puse sale algo que ya mencioné en este hilo, y es la ecuación de ciclos, si tomás:
\[n_m = \frac{3^m n_0 + C_m}{2^{K_m}} \]
Con algunos pasajes:
\[2^{K_m} n_m = 3^m n_0 + C_m\]
Si tomás una vuelta completa a un ciclo, $$n_0=n_m$$ reemplazando:
\[2^{K_m} n_0 = 3^m n_0 + C_m\]
Y con algunos pasajes más te queda:
\[(2^{K_m}-3^m) n_0 = C_m\]
Pero de todas formas $$m$$ es la cantidad de pasos desde $$n_0$$ a $$n_m$$, entonces si considerás una vuelta de ciclo, $$m$$ es la cantidad de pasos que el ciclo tarda en volver al mismo punto, por lo tanto, $$m$$ es la longitud del ciclo. En mi notación $$K_m$$ es la acumulación de los $$k_j$$ locales.
si reemplazamos $$C_m$$
\[(2^{K_m}-3^m) n_0 = \sum_{j=1}^{m} 3^{m-j} 2^{K_{j-1}} \]
Y de acá ya podés analizar cosas para un ciclo. Por ejemplo, sabemos que el lado derecho de la ecuación es positivo, por lo tanto
\[2^{K_m}>3^m\]
Luego:
\[2^{K_m}-3^m=\frac{\sum_{j=1}^{m} 3^{m-j} 2^{K_{j-1}}}{n_0}\]
Ahora fijate, en un ciclo, podés tomar cualquier elemento e iterar $$T(n)$$ por $$m$$ pasos y volverías al mismo valor, el lado izquierdo es igual para todo $$n$$ ya que $$m$$ es la cantidad de iteraciones que haría que cualquier valor vuelva a si mismo, y la acumulación de las potencias de $$2$$ es igual sin importar desde que elemento arranques, porque estamos imponiendo que das una vuelta completa. Ahora, en el segundo término cambia el valor de $$n_0$$, pero también cambia el valor de $$C_m$$, ya que aunque las potencias de $$3$$ siguen exactamente el mismo orden, no pasa lo mismo con las de $$2$$ con la cual el peso de cada sumando se ve alterado según el orden de la acumulación de las potencias de $$2$$. Pero aún así esa ecuación se cumple para todo $$n$$ del ciclo.
Por un lado tenés que $$n_i\mid C_m^{(i)}$$.
Y si lo llevamos más allá, esto se cumple para multiples revoluciones en el ciclo, siempre y cuando consideres revolución completa. Entonces, se transforma así:
\[(2^{\alpha K_m}-3^{\alpha m}) n_0 = C_{\alpha m}\]
Como tenés que volver al mismo punto, debe cumplirse que:
\[K_m=\lceil m \log_2(3) \rceil\]
Y acá tenés un posible ataque a ciclos.
¿Qué surge de esto?
Dado $$m$$, que es la longitud de ciclo, la potencia acumulada $$K_m$$ queda determinada por $$m$$, pero $$m$$ es también la cantidad de elementos distintos en el ciclo. Y acá salen cosas interesantes respecto de los $$k_i$$, como por ejemplo que no pueden tener valuaciones que formen subperiodos respecto de $$m$$. Pero también el límite que cada uno puede tomar.
Si lo que digo no te cierra, podemos usar el laboratorio del mapa $$5n+1$$, que sigue la misma dinámica:
\[2^{K_m} - 5^m\]
$$m$$ determina las valuaciones acumuladas de un ciclo de longitud $$m$$, no son para nada arbitrarias:
Tomemos $$m=3$$
\[2^{K_m}-5^3=2^{K_m}-125\]
Lo que tenemos que hacer es buscar valor de $$K_m$$ que haga de esa diferencia el menor valor positivo, en este caso es $$K_m=7$$
\[2^7-5^3=128-125=3\]
Entonces ya sabemos que los $$k_i$$ de un ciclo de longitud 3, sumarán $$7$$. Y usé este mapa a propósito, pues hay 2 ciclos de longitud 3.
$$13\to33\to83\to13\to\dots$$
$$17\to43\to27\to17\to\dots$$
En ambos, y no importa desde donde empieces, la potencia de 2 acumulada es $$2^7$$, y la ecuación de ciclos se cumple desde cualquier elemento como inicial.
si todavia no es suficiente, podes tomar un ciclo de longitud 2, por lo que
\[2^{K_m}-5^2=2^{K_m}-25 \Rightarrow K_m=5\]
El testigo es el ciclo $$1\to3\to1\to\dots$$
Entonces
\[K_m = \lceil m \log_2(5) \rceil\]
A partir de esto, es que armé un programa que me muestra esto. Y vi como se fuerza de alguna manera que los $$n$$ sean pequeños. Pero si tenés en cuenta que Collatz esta verificada hasta $$2.95\times10^{20}$$ pequeño puede significar bajo ese umbral tranquilamente.
Luego, la ecuación que debe cumplirse tiene que cumplir la condición de que el cociente entre $$C_m^{(i)}$$ y $$n_i$$ sea entero. Curiosamente, si para un elemento se cumple, esto se propaga a todos. En otras palabras, si un cociente es entero, todos lo son. Esto tiene una demostración muy linda.
En esto se basa la forma de atacar ciclos que tengo. Pero bueno, me falta el punto que demuestre que eso se fuerza para cualquier longitud de ciclo, o al menos que logre un valor o cota en función de la longitud que haga imposible que supere el umbral verificado al menos. Eso cerraría el problema sin dudas.
