[feriva]

Entonces, si no me equivoco, siempre se debe dar que:

$$x^2=a+xy$$

Siempre que sean enteros “a” y  “xy”, coprimos, cosa que no son, es hipótesis. Al final, a lo que llegas, implica que no pueden ser enteros, pero me parece que no demuestras si pueden ser o no racionales no enteros. No estoy seguro, lo mismo me estoy liando (mejor que te lo revise otra persona).

...

$$x^{{\color{red}y}}=a+x^{2}+x(y-x)$$, que si tomamos $$\pm{z}=a+x(y-x)$$ ...

Hola feriva, bueno, como doy por supuesto que ya se sabe que en la expresión \( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b} \), $$a,b$$ son coprimos, no lo he puesto. Luego, como $$b=xy$$, se deduce que $$xy$$ será corpimo con $$a$$.

En todo caso lo acabo de indicar en el post para que quede más claro.

Vale, supongo que puede servir como demostración (comprende que no me atrevo a validar nada o casi nada, para eso están los matemáticos).

Pero, en cualquier caso, eso no quiere decir \( \sqrt{2}\pm k=\sqrt{2} \) ni nada parecido, quiere decir que has supuesto como verdadera una cosa que es falsa para así hacer una demostración por reducción al absurdo. Tiene que quedar claro que sí que existen números, finitos e infinitos (si les quitas la coma a los finitos) tales que a/b da raíz de 2, lo que pasa es que no son enteros.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Con todo el cariño y respeto RDC la colección de sinsentidos es grande. Siento si mi mensaje va sonar algo caústico. Voy a lo troncal:

Premisa 1: presuponemos que \( \sqrt[ ]{2} \) no tiene un valor preciso y determinado

Ya es gracioso que tomes eso como premisa; en ese caso no es que tu defiendas que raíz de dos no tiene un valor preciso sino que lo tomas como axioma.

Lo que sonó en mi cabeza al leer eso (perdona la crudeza): "voy a tomar una premisa sin fundamento y que no sirve para nada"

Visto esto, parece ser que \( \sqrt[ ]{2} \) no deba definirse como un hipotético valor puntual, atómico, transitivo; sino como un intervalo:

\( \sqrt[ ]{2}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \)

No entiendo la definición. ¿Exactamente que intervalo defines como \( \sqrt{2} \)?. ¿Qué valores le das a \( a,b \)?¿o no les das valores? ¿qué es eso entonces?.

¿Valdría  \( (\displaystyle\frac{1}{1},\displaystyle\frac{1+2}{1+1})=(1,3/2) \)?
¿Pero también \( (\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1+4}{1+2})=(1/2,5/3) \)?

Entonces afirmar \( \sqrt[ ]{2}\pm{y}=\sqrt[ ]{2} \) no es más que afirmar que:

\( (\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})\pm{y}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \).

Y esta expresión ya no sabe directamente tan absurda. Ahora depende de como la tratemos.

Si exacto, depende de como la tratemos.

Esto es como si digo "las piedras comen tornillos y así vomitan"; y luego digo para mi piedras va a significar ovejas, tornillos va a significar hierba y vomitar va a significar crecer. ¿A qué ahora ya no es tan absurdo?.

Ciertamente, para hacer esa suma o resta es necesario dotar al intervalo de un valor puntual.

Vaya por Dios. Tanto esfuerzo por escapar del valor puntual y...

Y a bote pronto pienso que se puede tomar como valor puntual del intervalo a su punto medio, que además nos da la distancia que hay entre él los extremos del intervalo. Aunque quizás se podrían probar otras estrategias.

Así pues:

Punto medio del intervalo:

\( pm=\displaystyle\frac{a}{b}\pm{\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)}} \), mientras que la distancia del punto medio con los extremos es, precisamente \( \displaystyle\frac{1}{2b(a+b)} \)

Así pues, para cualquier racional y (que siempre serán infinitos) tales que:

\( y<\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)} \)

puede considerarse que se encuentra dentro del intervalo, y por tanto del valor de \( \sqrt[ ]{2} \)

CONCLUSIÓN

Ahora parece tomar sentido y deja de ser absurdo la expresión:

\( \sqrt[ ]{2}\pm{y}=\sqrt[ ]{2} \), si comprendemos que \( \sqrt[ ]{2}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \), con \( y<\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)} \)

Si: has cambiado el significado de \( \sqrt{2} \), el significado de sumar y el significado de igual y con eso, que guay, ahora ya no es absurda la expresión.   

Significados nada compatibles con los habituales. Si la suma se pareciese algo a la normal. Tendríamos:

\( \sqrt[ ]{2}+2y=\sqrt{2}+y=\sqrt[ ]{2} \)

Pero es que el \( y \) puede estar en la cota que dijiste, pero el \( 2y \) salirse.. ¿y entonces?.

También puede ser que me digas que esa suma tiene propiedades que NADA tengan que ver con las conocidas. ¿Para qué vale entonces?

Mi resumen es:

- Creas un problema donde no lo había.
- Construyes nuevas definiciones que nada tienen que ver con las usuales, para vía forceps, conseguir que una igualdad que era un disparate se cumpla porque ¡si!.
- ¿Utilidad? Mis alumnos futuros ingenieros espero que si en el cálculo de una estructura le aparecen raíces cuadradas las usen de la forma habitual y no como pretendes; no sea que pongan \( \sqrt{2}\approx 26 \) y luego.. yo no paso por ese puente desde luego.
- A alguien le podría apetecer que los números racionales que no tienen una expresión decimal finita como \( \dfrac{1}{3} \)..¡tampoco valen! y hacer otra definición absurda como \( 1/3=(3/10,4/10) \) y cosas así.

Saludos.

[DaniM]

lo racional es lo que, de algún modo atañe a la unidad, lo que tiene característica de entidad, y por consiguiente sigue los principios básicos de la lógica

Esto no significa nada hasta que no definas qué entiendes por "unidad", que especifiques qué caracteriza una "entidad" y por qué las cosas que no son "unidades" o que no tengan características de "entidades" no son racionales, no en el sentido matemático, sino en el sentido del significado de diccionario de la palabra, que es lo que parece que planteas. Pero que lo definas bien para que se entienda, no introduciendo más palabros cuya interpretación dejas a la inspiración subjetiva de cada uno para que haya que pedirte nuevas aclaraciones.

Además, parece que porque los números irracionales se llamen "irracionales" ya automáticamente les asocias los demás significados de "irracional", en particular, a que no tienen ningún sentido o a que hablar sobre ellos sea lo mismo que hablar de un "silencio ensordecedor" o de una "oscuridad luminosa".

Me pregunto si también consideras que los números negativos se llaman así porque son pesimistas, si las funciones monótonas son aburridas o si la desigualdad triangular es una injusticia social en el mundo de los triángulos que hay que solventar. 🤷‍♂️

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Una cosa más, respecto a las supuestas demostraciones que haces de que \( \sqrt{2} \) no es racional. No están bien.

 Más allá de algún detalle que no está claro como lo has justificado, voy a lo principal.

(*) $$x^2=a+xy$$ , y recordar que a, \( xy \) son corpimos.

Entonces tenemos 2 casos posibles:

Caso A) x>y

$$x^2=a+x^2+x(y-x)$$, que si tomamos $$\pm{z}=a+x(y-x)$$, obtenemos:

$$x^2=x^2\pm{z}= contradicción: \emptyset$$

No hay ninguna contradicción ahí. Simplemente \( z=a+x(y-x)=a+xy-x^2=0 \), porque es eso lo que estás suponiendo (*). Lo que haces es tienes:

\( x^2=a+xy \)

y a la derecha sumas y restas \( x^2 \). No puedes presuponer que \( z\neq 0 \) porque en todo caso es lo que querrías probar y aún no lo sabes.

Caso B) x<y:

$$x^2=a+x^2+x(y-1)$$, que si tomamos $$\pm{z}=a+x(y-1)$$, obtenemos:

$$x^2=x^2\pm{z}= contradicción: \emptyset$$

IDEM.

En cuanto a la otra opción, exactamente el mismo problema:

\( 2=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}\longrightarrow{a^2-2b^2=0} \)

\( (a^2-2b^2)^2=0 \)

\( (a^4+4b^4-4(ab)^2=0 \)

\( a^4=4(ab)^2-4b^4 \)

\( a^4=a^4\pm{a^2(4b^2-a^2)}-4b^4 \), y tomamos \( \pm{z}=\pm{a^2(4b^2-a^2)}-4b^4 \)

\( a^4=a^4\pm{z}= contradicción: \emptyset \)

[/quote]

No hay ninguna contradicción en principio porque estás suponiendo que \( a^2-2b^2=0 \) y por tanto que \( z=-(a^2-2b^2)=0 \). Entonces no hay ninguna contradicción si \( z=0 \) en que \( a^4=a^4+z. \)

De hecho fíjate que lo que haces valdría igual si tomas \( \sqrt{4} \) en lugar de \( \sqrt{2} \):

\( 4=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}\longrightarrow{a^2-4b^2=0} \)

\( (a^2-4b^2)^2=0 \)

\( (a^4+16b^4-8(ab)^2=0 \)

\( a^4=8(ab)^2-16b^4 \)

\( a^4=a^4\pm{a^2(8b^2-a^2)}-16b^4 \), y tomamos \( \pm{z}=\pm{a^2(8b^2-a^2)}-16b^4 \)

\( a^4=a^4\pm{z}= contradicción: \emptyset \)[/quote]

¿Se supone qué eso probaría que \( \sqrt{4} \) no es racional?.

En mi opinión todos tus errores nacen en que te empeñas en que ciertas afirmaciones que se te han metido en la cabeza sean ciertas, y retuerces cuanto argumento, definición o razonamiento sea necesario para que se cumplan. En este caso estás empeñado en llegar a \( algo=algo\pm z \).

Saludos.

[RDC]

Hola

 Con todo el cariño y respeto RDC la colección de sinsentidos es grande. Siento si mi mensaje va sonar algo caústico. Voy a lo troncal:

Hola Luís, no hay problema; faltaría más. vamos a lo troncal pues.

Premisa 1: presuponemos que \( \sqrt[ ]{2} \) no tiene un valor preciso y determinado

Ya es gracioso que tomes eso como premisa; en ese caso no es que tu defiendas que raíz de dos no tiene un valor preciso sino que lo tomas como axioma.

Lo que sonó en mi cabeza al leer eso (perdona la crudeza): "voy a tomar una premisa sin fundamento y que no sirve para nada"

Pues me sorprende este comentario por 3 motivos:

1) No se puede tomar como premisa el presuponer que \( \sqrt[ ]{2} \) no tiene un valor concreto y atómico y por tanto, inmedible, pero si se puede partir de la premisa implícita de que sí tiene una solución precisa, atómica, acaso en el infinito. Porque ambas opciones son puras premisas. ¿Me equivoco?

A fin de cuentas, no tenemos el supuesto valor \( \sqrt[ ]{2} \), porque no lo podemos relacionar con la unidad; es decir, con \( \displaystyle\frac{a}{a} \), para cualquier valor racional de a.

Un ejemplo de lo que digo: el valor de 5/6 es medible: tomamos 5 unidades (de lo que sea) y hacemos 6 partes. Por tanto su valor es claro, concreto y preciso: racional. Pues un número no es más que lo que se relaciona con la unidad, pues es una medida, una cantidad, etc. 

Ahora bien, ¿cómo mido o calculo el supuesto valor de \( \sqrt[ ]{2} \)? Todos sabemos que no se puede, aunque nos hemos acostumbrado a imaginar que al infinito DEBERÍA de haber uno. Pero eso es tomar como premisa inicial una presuposición; la contraria que la mía. ¿O me equivoco?

2) "Que esta premisa no está fundamentada". Pienso que está más fundamentada que su contraria, la que presupone que al llevar los racionales al infinito la operación \( \sqrt[ ]{2} \) tiene solución concreta, y por tanto se relacionaría de algún modo trascendental con la unidad, con lo cual tendría una medida precisa metarracional, y por tanto, desconocida para nosotros. Pero esto no es más que idealismo, muy típico del siglo sXIX (¿no fue entonces cuando se estableció como canon que estas operaciones irracionales daban números puntuales al infinito?).

3) "Que esta premisa no sirve para nada". Mmmm.... pues no sé si sirve o no para nada. Quizás no, como bien avanzas. Pero ni idea. Habría que comprobarlo.

Visto esto, parece ser que \( \sqrt[ ]{2} \) no deba definirse como un hipotético valor puntual, atómico, transitivo; sino como un intervalo:

\( \sqrt[ ]{2}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \)

No entiendo la definición. ¿Exactamente que intervalo defines como \( \sqrt{2} \)?. ¿Qué valores le das a \( a,b \)?¿o no les das valores? ¿qué es eso entonces?.

¿Valdría  \( (\displaystyle\frac{1}{1},\displaystyle\frac{1+2}{1+1})=(1,3/2) \)?
¿Pero también \( (\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1+4}{1+2})=(1/2,5/3) \)?

El intervalo \( (\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \) está definido por dos variables $$a,b$$. Nada más. Y sí, nada prohíbe que estas dos variables adquieran cualquier valor. ¿Qué lo impide?

Como dije, soy consciente de que eso quizás choque. Al presuponer que \( \sqrt[ ]{2} \) tiene un valor, obviamente lo buscamos. Para buscarlo no podemos sino usar números de verdad, es decir, racionales. Con lo cual lo racionalizamos mediante  ecuaciones con solución racional, como \( \displaystyle\frac{a}{b} \), o bien \( \displaystyle\frac{a+2b}{a+b} \), por ejemplo.

Como es falso decir que \( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{a+2b}{a+b} \), entonces hay que buscar otra expresión. Y al presuponer que \( \sqrt[ ]{2} \) sí tiene un valor concreto más allá de los racionales se dice que cualquier racionalización que hagamos será una APROXIMACIÓN a tal hipotético valor.

Ahora bien, si no presuponemos que existe un hipotético valor suprarracional para \( \sqrt[ ]{2} \), entonces decir que una racionalización, acaso \( \displaystyle\frac{7}{5} \) es una aproximación no tiene sentido. Eso está claro. Hay que interpretarlo de otra forma. Es lo que tanteo, y visto así pienso que tiene cierto fundamento tanteárselo, ¿no?

Si no presuponemos, pues, un hipotético valor puntual para \( \sqrt[ ]{2} \) más allá de los racionales, signifique lo que signifique eso, entonces, ¿cómo podemos interpretar estas racionalizaciones? La opción presentada es tomar estas racionalizaciones como intervalos, y estos intervalos como números o valores continuos. ¿por qué?

En particular planteo definir la operación \( \sqrt[ ]{2}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \), con \( \displaystyle\frac{a}{b} \) cualquier número racional. Por ejemplo podemos emplear como racional a la supuesta "aproximación" más acurada que tengamos, si queremos. Ahora, pero, como ya no lo interpretamos como una aproximación sino como un intervalo  \( (\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \), entonces hay infinitos valores racionales $$q$$, dentro del intervalo, que son numéricamente indistinguibles para el propio intervalo, con lo cual todos se pueden considerar que son \( \sqrt[ ]{2} \). Con lo cual se justifica que:

Es cierto, que entonces podemos redefinir este intervalo tomando \( a+2b=a_2 \) y \( a+b=b_2 \), de modo que obtenemos el nuevo intervalo: \( (\displaystyle\frac{a_2}{b_2},\displaystyle\frac{a_2+2b_2}{a_2+b_2} \).

Es cierto que ahora habrán infinitos elementos $$q$$ que pertenecían al primer intervalo que quedan fuera de este segundo. Sin embargo, continúan existiendo infinitos $$q_2$$ que pertenecen a este nuevo intervalo y por tanto son indistinguibles dentro de tal intervalo.

Soy consciente de que esto que digo es completamente distinto a lo que razonó Dedekind con sus cortes, por ejemplo. Aunque no lo dijo, parece clarísimo que partió de la premisa de que \( \sqrt[ ]{2} \) es un número concreto, y que como tal se distinguiría de cualquier otro número como un punto singular en la recta del continuo. Para demostrar eso afirma que la definición de este punto irracional (o suprarracional a su entender) se puede lograr definiéndolo como "el punto de corte al infinito entre los infinitos racionales que son mayores que \( \sqrt[ ]{2} \), y los que son menores". Pero esto genera, como mínimo dos dudas:

a) ¿Cómo puedes cortar para separar en dos algo que, como los racionales, no se puede llegar al fondo porque precisamente, por definición, no tiene fondo?

b) Dice que el corte al infinito define el punto (el valor de \( \sqrt[ ]{2} \)), y sin embargo necesita presuponer la existencia de tal punto al infinito para definir exactamente el corte que llegue a tal punto. ¿Petición de principio?

Visto así, quizás lo de Dedekind para definir los irracionales como puntos de la recta de los reales tampoco tiene mucho fundamento, ¿no?

Y nunca podrá dejar de ser ese intervalo. Con lo cual, nunca será un valor puntual, concreto y átomico.

Entonces afirmar \( \sqrt[ ]{2}\pm{y}=\sqrt[ ]{2} \) no es más que afirmar que:

\( (\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})\pm{y}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \).

Y esta expresión ya no sabe directamente tan absurda. Ahora depende de como la tratemos.

Si exacto, depende de como la tratemos.

Esto es como si digo "las piedras comen tornillos y así vomitan"; y luego digo para mi piedras va a significar ovejas, tornillos va a significar hierba y vomitar va a significar crecer. ¿A qué ahora ya no es tan absurdo?.

Ciertamente, para hacer esa suma o resta es necesario dotar al intervalo de un valor puntual.

Vaya por Dios. Tanto esfuerzo por escapar del valor puntual y...

No me parece justa esta crítica. ¿No podría uno burlarse de la misma forma con la interpretación normal, según la cual se presupone que \( \sqrt[ ]{2} \) aunque no sea un racional lo hacemos relacionar imaginariamente con racionales mientras lo consideramos puntual?

Cuando escribimos: \(  \sqrt[ ]{2}+1 \) nos pensamos que estamos sumando dos números, pero no sumamos nada, porque no conocemos ningún valor para \( \sqrt[ ]{2} \),a no ser que emplemeos racionalizaciones. Por tanto, para darle algún sentido a tal operación necesitamos racionalizar \( \sqrt[ ]{2} \) de algún modo.  En fin, que hacemos algo parecido a lo que digo. Por tanto, no le veo diferencia.

Así pues, del mismo modo que podemos discutir con qué tipo de racional substituímos \( \sqrt[ ]{2} \) para que la operación \( \sqrt[ ]{2}+1 \) tenga algún sentido manejable para nosotros, acaso cogemos \( 7/5 \), o \( 99/70 \), etc, del mismo modo podemos valorar qué racional escojemos para representar el intervalo y poder usarlo para operar con otro racional y cualquiera en la operación:

\( (\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})\pm{y} \), siendo $$y$$ un racional cualquiera.

Ciertamente, tan falso es hacer una cosa como la otra, simplemente porque empleamos un pseudovalor para poder usar \( \sqrt[ ]{2} \) de forma operativa con otros números.

En fin, no lo veo tan absurdo, sino muy similar a lo que ya se hace.

Y a bote pronto pienso que se puede tomar como valor puntual del intervalo a su punto medio, que además nos da la distancia que hay entre él los extremos del intervalo. Aunque quizás se podrían probar otras estrategias.

Así pues:

Punto medio del intervalo:

\( pm=\displaystyle\frac{a}{b}\pm{\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)}} \), mientras que la distancia del punto medio con los extremos es, precisamente \( \displaystyle\frac{1}{2b(a+b)} \)

Así pues, para cualquier racional y (que siempre serán infinitos) tales que:

\( y<\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)} \)

puede considerarse que se encuentra dentro del intervalo, y por tanto del valor de \( \sqrt[ ]{2} \)

CONCLUSIÓN

Ahora parece tomar sentido y deja de ser absurdo la expresión:

\( \sqrt[ ]{2}\pm{y}=\sqrt[ ]{2} \), si comprendemos que \( \sqrt[ ]{2}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \), con \( y<\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)} \)

Si: has cambiado el significado de \( \sqrt{2} \), el significado de sumar y el significado de igual y con eso, que guay, ahora ya no es absurda la expresión.   

Significados nada compatibles con los habituales. Si la suma se pareciese algo a la normal. Tendríamos:

\( \sqrt[ ]{2}+2y=\sqrt{2}+y=\sqrt[ ]{2} \)

Pero es que el \( y \) puede estar en la cota que dijiste, pero el \( 2y \) salirse.. ¿y entonces?.

También puede ser que me digas que esa suma tiene propiedades que NADA tengan que ver con las conocidas. ¿Para qué vale entonces?

Entonces nada, \( \sqrt[ ]{2} \), siempre representa un intervalo con lo cual siempre existen infinitos $$q$$ que no se distinguen en él. Porque la expresión de \( \sqrt[ ]{2} \) no es un número, dado que no puede ser, sino en todo caso \( \sqrt[ ]{2}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \), para cualquier número racional $$a,b$$.

Mi resumen es:

- Creas un problema donde no lo había.

Un problema?? Mmmm, quizás sea una oportunidad. no sé.

- Construyes nuevas definiciones que nada tienen que ver con las usuales, para vía forceps, conseguir que una igualdad que era un disparate se cumpla porque ¡si!.

¿Qué nuevas definiciones?

que \( \displaystyle\frac{a}{b}\sim{\sqrt[ ]{2}}\sim{\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}} \), es el fundamento de la escalrea de Eudoxo. De hace 2500 años.

la idea de intervalo, tampoco es nueva. 

Otra cosa es que lo use para tantear una opción no idealista de los irracionales. Y esto sí sepa no usual.

- ¿Utilidad? Mis alumnos futuros ingenieros espero que si en el cálculo de una estructura le aparecen raíces cuadradas las usen de la forma habitual y no como pretendes; no sea que pongan \( \sqrt{2}\approx 26 \) y luego.. yo no paso por ese puente desde luego.

Sé más positivo, Luís  . Precisamente, si son ingenieros les puedes decir:

-Si necesitáis emplear un valor de \( \sqrt[ ]{2} \) que sea efectivo para algunos cálculos podéis hacer lo siguiente:

1) Tomáis la fórmula \( \displaystyle\frac{a}{b} \), con $$a=3,b=2$$ y aplicáis la fórmula:

- \( \displaystyle\frac{a+2b}{a+b} \) (1). Que para vuestro caso será: \( \displaystyle\frac{7}{5} \).

Luego buscáis el puntomedio aplicando la fórmula \( \displaystyle\frac{a}{b}\pm{\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)}} \), según sea el caso. En el vuestro será: 

\( \displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{1}{2·2(3+2)}=\displaystyle\frac{29}{20} \)

Esto os dará un error máximo de \( \pm{\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)}} \), en vuestro caso: \( \pm{\displaystyle\frac{1}{20}} \)

Si queréis menos error, entonces cogéis \( \displaystyle\frac{7}{5}=\displaystyle\frac{a_2}{b_2} \), y volvéis a aplicar fórmula (1). En vuestro caso:

\( \displaystyle\frac{7}{5}\longrightarrow{\displaystyle\frac{17}{12}} \).

Y buscáis puntomedio: \( \displaystyle\frac{7}{5}+\displaystyle\frac{1}{2·5(7+5)}=\displaystyle\frac{13^2}{120} \)

Esto os dará un error máximo de: \( \pm{\displaystyle\frac{1}{120}} \)

Y vais iterando hasta donde os interese tener un error controlado.

- A alguien le podría apetecer que los números racionales que no tienen una expresión decimal finita como \( \dfrac{1}{3} \)..¡tampoco valen! y hacer otra definición absurda como \( 1/3=(3/10,4/10) \) y cosas así.

No he empleado ningún decimal. de hecho, el uso de decimales en gran medida responde al prejuicio de que \( \sqrt[ ]{2} \) es un número concreto y que cuantos más decimales obtenemos más nos aproximamos a él. Pero eso es absurdo, dado que al ir al infinito no nos aproximamos a ningún sitio. Vaya, eso pienso.


Un saludo

[Juan Pablo Sancho]

La raíz de dos respecto la unidad:

Es como decir que \( 0.333333333.... = 0.\bar{3}  \) no es un número por tener infinitos decimales y necesito ir al infinito para que sea verdad, diras no es que \( 0.\bar{3} \) se puede poner como \( \dfrac{1}{3}  \), pero en este caso te digo que \( 1.41421... \) lo puedes ponner como \( \sqrt{2} \) los dos tienen infinitos decimales en su expresión, ¿un infinito es más importante que el otro?.
Editado
Veo que Luis uso el mismo ejemplo \( \dfrac{1}{3} \) para refutar, entonces nada.

No he empleado ningún decimal. de hecho, el uso de decimales en gran medida responde al prejuicio de que \( \sqrt[ ]{2} \) es un número concreto y que cuantos más decimales obtenemos más nos aproximamos a él. Pero eso es absurdo, dado que al ir al infinito no nos aproximamos a ningún sitio. Vaya, eso pienso.


Un saludo

Justo ese razonamiento dice que \( \dfrac{1}{3} \)  no se aproxima a nada.

Que raíz de dos es un numero está más que superado, puedes tomar que si una sucesión tiene límite este límite es un número real.
Tomamos \( a_1 = 1.4142 \) y luego \( a_n = \dfrac{1}{2} \cdot (a_{n-1} + \dfrac{2}{a_{n-1}})  \) y tenemos que raíz de dos es su límite.

Por un lado hay un error de bulto, si supones que \( \sqrt{2} \) no es un número por que usar fórmulas para aproximarlo, no puedes usar una sucesión de números para aproximar un número si no existe ese número, si dices que una fórmula se acerca a un número es que es un número.

Por otro lado si tomas un numero sea el que sea a primera yo diría que es más normal que los decimales puedan tomar qualquier valor y que esperar que a partir de algún momento se repitan sus decimales no es lo más normal y es lo que ocurre, hay inmensamente más irracionales que racionales.

[RDC]

Hola
 
 Una cosa más, respecto a las supuestas demostraciones que haces de que \( \sqrt{2} \) no es racional. No están bien.

 Más allá de algún detalle que no está claro como lo has justificado, voy a lo principal.

(*) $$x^2=a+xy$$ , y recordar que a, \( xy \) son corpimos.

Entonces tenemos 2 casos posibles:

Caso A) x>y

$$x^2=a+x^2+x(y-x)$$, que si tomamos $$\pm{z}=a+x(y-x)$$, obtenemos:

$$x^2=x^2\pm{z}= contradicción: \emptyset$$

No hay ninguna contradicción ahí. Simplemente \( z=a+x(y-x)=a+xy-x^2=0 \), porque es eso lo que estás suponiendo (*). Lo que haces es tienes:

\( x^2=a+xy \)

y a la derecha sumas y restas \( x^2 \). No puedes presuponer que \( z\neq 0 \) porque en todo caso es lo que querrías probar y aún no lo sabes.

Caso B) x<y:

$$x^2=a+x^2+x(y-1)$$, que si tomamos $$\pm{z}=a+x(y-1)$$, obtenemos:

$$x^2=x^2\pm{z}= contradicción: \emptyset$$

IDEM.

En cuanto a la otra opción, exactamente el mismo problema:

\( 2=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}\longrightarrow{a^2-2b^2=0} \)

\( (a^2-2b^2)^2=0 \)

\( (a^4+4b^4-4(ab)^2=0 \)

\( a^4=4(ab)^2-4b^4 \)

\( a^4=a^4\pm{a^2(4b^2-a^2)}-4b^4 \), y tomamos \( \pm{z}=\pm{a^2(4b^2-a^2)}-4b^4 \)

\( a^4=a^4\pm{z}= contradicción: \emptyset \)

No hay ninguna contradicción en principio porque estás suponiendo que \( a^2-2b^2=0 \) y por tanto que \( z=-(a^2-2b^2)=0 \). Entonces no hay ninguna contradicción si \( z=0 \) en que \( a^4=a^4+z. \)

De hecho fíjate que lo que haces valdría igual si tomas \( \sqrt{4} \) en lugar de \( \sqrt{2} \):

\( 4=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}\longrightarrow{a^2-4b^2=0} \)

\( (a^2-4b^2)^2=0 \)

\( (a^4+16b^4-8(ab)^2=0 \)

\( a^4=8(ab)^2-16b^4 \)

\( a^4=a^4\pm{a^2(8b^2-a^2)}-16b^4 \), y tomamos \( \pm{z}=\pm{a^2(8b^2-a^2)}-16b^4 \)

\( a^4=a^4\pm{z}= contradicción: \emptyset \)

¿Se supone qué eso probaría que \( \sqrt{4} \) no es racional?.

En mi opinión todos tus errores nacen en que te empeñas en que ciertas afirmaciones que se te han metido en la cabeza sean ciertas, y retuerces cuanto argumento, definición o razonamiento sea necesario para que se cumplan. En este caso estás empeñado en llegar a \( algo=algo\pm z \).

Saludos.

Gracias por esta observación Luís, me parece muy pertinente.

Tienes razón, estrictamente lo que demuestro, por así decirlo, es que la ecuación \( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{xy}\Leftrightarrow{a^2-2(xy)^2=0} \), siendo \( a,xy \) coprimos, se fundamenta en la ecuación:

\( x^2=x\pm{z} \), con $$\pm{z}=a+x(y-x)$$

La cual es, precisamente, equivalente a esta: \( x=x\pm{y} \).

Lo que falta es demostrar que \( z\neq 0 \), del mismo modo que al tener \( x=x\pm{y} \), ésta sólo es contradicción cuando \( y\neq 0 \); en caso contrario tenemos una simple identidad, que define precisamente a un valor puntual y concreto.

Por tanto, es verdad Luís, tenía que haber puntualizado lo que dices, si bien lo daba por hecho al considerar des del principio que $$a, x$$ son coprimos, con lo cual salta a la vista que \( a\neq x(y-x) \), con lo cual la expresión es, entonces, siempre una contradicción.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Pues me sorprende este comentario por 3 motivos:

1) No se puede tomar como premisa el presuponer que \( \sqrt[ ]{2} \) no tiene un valor concreto y atómico y por tanto, inmedible, pero si se puede partir de la premisa implícita de que sí tiene una solución precisa, atómica, acaso en el infinito. Porque ambas opciones son puras premisas. ¿Me equivoco?

Depende del enfoque; pero en mi opinión te equivocas.

En primer lugar olvídate de relacionar \( \sqrt{2} \) con el el infinito. Confundes su expresión decimal, con el número en si. También \( 1/3 \) tiene infinitos decimales. Pero eso es otro asunto. No es esa la esencia de \( \sqrt{2} \)

Su esencia es: la definición de \( \sqrt{2} \): es un número positivo (o una cosa) que tiene que cumplir que elevada al cuadrado de dos. Por que es exactamente eso y no otra cosa lo que significa la raíz cuadrada.
¿De acuerdo en esto?

Es decir \( x=\sqrt{2} \) significa por definición que \( x^2=2 \).

Supongamos que hay dos números positivos cumpliendo eso:

\( y^2=x^2=2 \)

Entonces \( x^2-y^2=0 \) y \( (x-y)(x+y)=0 \) y por tanto \( x=y \) ó \( x=-y \). Como queremos que sean positivos, necesariamente \( x=y \).

Es decir hay un único número cumpliendo esa propiedad.

Me podrías decir que lo estoy tratando ya como número al hacer esas cuentas. Pero lo lógico por puro principio de simplicidad es presuponer, intentar, que las cuentas que hacemos para los números racionales se extiendan de manera natural a números irracionales. Es decir no forzar la excepción cuando la regla funciona como un guante.

Un ejemplo de lo que digo: el valor de 5/6 es medible: tomamos 5 unidades (de lo que sea) y hacemos 6 partes. Por tanto su valor es claro, concreto y preciso: racional. Pues un número no es más que lo que se relaciona con la unidad, pues es una medida, una cantidad, etc. 

Todo eso es muy relativo. La \( \sqrt{2} \) geométricamente surge de manera natural como la diagonal de un cuadrado de lado unidad. No se con que criterio das por hecho que se puede dividir en dos la unidad, pero no tomar la diagonal del cuadrado unidad.

Ahora bien, ¿cómo mido o calculo el supuesto valor de \( \sqrt[ ]{2} \)? Todos sabemos que no se puede,

¿Exactamente  a qué te refieres con medir? Lo que no se puede es poner como cociente de fracciones. Punto.

Por lo demás se puede operar de manera exacta con el. Si llamas \( x=\sqrt{2} \) se puede ver de manera exacta que por ejemplo:

\( \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{1-x}=-2
 \)

Se puede hacer cualquier cuenta con él.

aunque nos hemos acostumbrado a imaginar que al infinito DEBERÍA de haber uno.

Nada eso eres tu que estás obsesionado con su expresión decimal.

Pero eso es tomar como premisa inicial una presuposición; la contraria que la mía. ¿O me equivoco?

Ya te expliqué que se trata de, si se puede, buscarle el encaje más natural; no forzar excepciones donde la regla funciona.

2) "Que esta premisa no está fundamentada". Pienso que está más fundamentada que su contraria, la que presupone que al llevar los racionales al infinito la operación \( \sqrt[ ]{2} \) tiene solución concreta, y por tanto se relacionaría de algún modo trascendental con la unidad, con lo cual tendría una medida precisa metarracional, y por tanto, desconocida para nosotros. Pero esto no es más que idealismo, muy típico del siglo sXIX (¿no fue entonces cuando se estableció como canon que estas operaciones irracionales daban números puntuales al infinito?).

Pues suerte con tu opinión.

3) "Que esta premisa no sirve para nada". Mmmm.... pues no sé si sirve o no para nada. Quizás no, como bien avanzas. Pero ni idea. Habría que comprobarlo.

Pero este tipo de argumentos son falaces; aplicables a cualquier idea peregrina que se le ocurra a cualquiera sobre cualquier cosa y por que no tener fundamento ni visos de servir para nada, ya nadie ni se la ha planteado.

Exageradamente: es como decir, voy a lamer una bombilla a ver si me cura el COVID. Oye.. quien sabe...

El intervalo \( (\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \) está definido por dos variables $$a,b$$. Nada más. Y sí, nada prohíbe que estas dos variables adquieran cualquier valor. ¿Qué lo impide?

Tu sabrás. Te estoy preguntando como lo defines. Es tu definición.

Como dije, soy consciente de que eso quizás choque.

Ahora ya no estoy en que choque o no choque; estoy jugando a tu juego y viendo si es coherente.

Como es falso decir que \( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{a+2b}{a+b} \), entonces hay que buscar otra expresión.

Porque insistes en estar anclado veintipico siglos atrás y sino hay fracción de enteros no te vale.

Y al presuponer que \( \sqrt[ ]{2} \) sí tiene un valor concreto más allá de los racionales se dice que cualquier racionalización que hagamos será una APROXIMACIÓN a tal hipotético valor.

Desde luego. Cualquier cociente de enteros sólo se podrá acercar a [tes]\sqrt{2}[/tex].

Ahora bien, si no presuponemos que existe un hipotético valor suprarracional para \( \sqrt[ ]{2} \), entonces decir que una racionalización, acaso \( \displaystyle\frac{7}{5} \) es una aproximación no tiene sentido.

No. Una aproximación tiene todo el sentido del mundo si se define bien. De hecho todo en ciencia, incluso los resultados que son fracciones de enteras, al llevarlo a la práctica se aproxima; se trabaja con una cierta precisión, no con precisión infinita.

Por eso en notación científica se usa una cota de error.

Es cierto que ahora habrán infinitos elementos $$q$$ que pertenecían al primer intervalo que quedan fuera de este segundo. Sin embargo, continúan existiendo infinitos $$q_2$$ que pertenecen a este nuevo intervalo y por tanto son indistinguibles dentro de tal intervalo.

Soy consciente de que esto que digo es completamente distinto a lo que razonó Dedekind con sus cortes, por ejemplo.

No tanto. Yo creo que si sigues desarrollando el tema, te darás cuenta que la única forma de que tenga sentido lo que dices es definir \( \sqrt{2} \) como la intersección de todos los intervalos de racionales que lo contienen.... Eso te salvaría del lado oscuro.

No me parece justa esta crítica. ¿No podría uno burlarse de la misma forma con la interpretación normal, según la cual se presupone que \( \sqrt[ ]{2} \) aunque no sea un racional lo hacemos relacionar imaginariamente con racionales mientras lo consideramos puntual?

¿"Lo hacemos relacionar imaginariamente con racionales"? Esa cosa rara la harás tu.

Cuando escribimos: \(  \sqrt[ ]{2}+1 \) nos pensamos que estamos sumando dos números, pero no sumamos nada, porque no conocemos ningún valor para \( \sqrt[ ]{2} \),a no ser que emplemeos racionalizaciones. Por tanto, para darle algún sentido a tal operación necesitamos racionalizar \( \sqrt[ ]{2} \) de algún modo.  En fin, que hacemos algo parecido a lo que digo. Por tanto, no le veo diferencia.

Tenemos la oportunidad de manejar a \( \sqrt{2} \) como un número con todos lo derechos operativos de los demás (racionales) y resulta que todo encaja bien. Podemos operar con él y como te dije NO hace falta para ello trabajar con su expresión decimal. Y todo encaja.

La diferencia, de nuevo, es crear una excepción donde funciona la regla.

Así pues, del mismo modo que podemos discutir con qué tipo de racional substituímos \( \sqrt[ ]{2} \) para que la operación \( \sqrt[ ]{2}+1 \) tenga algún sentido manejable para nosotros, acaso cogemos \( 7/5 \), o \( 99/70 \), etc, del mismo modo podemos valorar qué racional escojemos para representar el intervalo y poder usarlo para operar con otro racional y cualquiera en la operación:

No se si te entiendo bien. Pero vuelvo a repetirte que no hace falta la expresión decimal de \( \sqrt{2} \) para operar con \( \sqrt{2} \).

Ciertamente, tan falso es hacer una cosa como la otra, simplemente porque empleamos un pseudovalor para poder usar \( \sqrt[ ]{2} \) de forma operativa con otros números.

FALSO.

Significados nada compatibles con los habituales. Si la suma se pareciese algo a la normal. Tendríamos:

\( \sqrt[ ]{2}+2y=\sqrt{2}+y=\sqrt[ ]{2} \)

Pero es que el \( y \) puede estar en la cota que dijiste, pero el \( 2y \) salirse.. ¿y entonces?.

También puede ser que me digas que esa suma tiene propiedades que NADA tengan que ver con las conocidas. ¿Para qué vale entonces?

Entonces nada, \( \sqrt[ ]{2} \), siempre representa un intervalo con lo cual siempre existen infinitos $$q$$ que no se distinguen en él. Porque la expresión de \( \sqrt[ ]{2} \) no es un número, dado que no puede ser, sino en todo caso \( \sqrt[ ]{2}=(\displaystyle\frac{a}{b},\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}) \), para cualquier número racional $$a,b$$.

O sea que da igual que \( \sqrt[ ]{2}+k\cdot y=\sqrt[ ]{2} \) para cualquier \( k \); por tanto esa cota que dabas de \( y \) es papel mojado; y básicamente podrías igualar \( \sqrt{2} \) con cualquier cosa.

Mi resumen es:

- Creas un problema donde no lo había.

Un problema?? Mmmm, quizás sea una oportunidad. no sé.

Otra vez aludiendo al "nunca se sabe".

- Construyes nuevas definiciones que nada tienen que ver con las usuales, para vía forceps, conseguir que una igualdad que era un disparate se cumpla porque ¡si!.

¿Qué nuevas definiciones?

que \( \displaystyle\frac{a}{b}\sim{\sqrt[ ]{2}}\sim{\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}} \), es el fundamento de la escalrea de Eudoxo. De hace 2500 años.

Y que tiene que ver. Yo no hablo de las escaleras de Eudoxo o cualquier método de aproximación de un número. Hablo de tu definición de \( \sqrt{2} \).

la idea de intervalo, tampoco es nueva. 

Mas de lo mismo. Yo hablo de tu definición precisa.

Sé más positivo, Luís  . Precisamente, si son ingenieros les puedes decir:

-Si necesitáis emplear un valor de \( \sqrt[ ]{2} \) que sea efectivo para algunos cálculos podéis hacer lo siguiente:

1) Tomáis la fórmula \( \displaystyle\frac{a}{b} \), con $$a=3,b=2$$ y aplicáis la fórmula:

- \( \displaystyle\frac{a+2b}{a+b} \) (1). Que para vuestro caso será: \( \displaystyle\frac{7}{5} \).

Luego buscáis el puntomedio aplicando la fórmula \( \displaystyle\frac{a}{b}\pm{\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)}} \), según sea el caso. En el vuestro será: 

\( \displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{1}{2·2(3+2)}=\displaystyle\frac{29}{20} \)

Esto os dará un error máximo de \( \pm{\displaystyle\frac{1}{2b(a+b)}} \), en vuestro caso: \( \pm{\displaystyle\frac{1}{20}} \)

Si queréis menos error, entonces cogéis \( \displaystyle\frac{7}{5}=\displaystyle\frac{a_2}{b_2} \), y volvéis a aplicar fórmula (1). En vuestro caso:

\( \displaystyle\frac{7}{5}\longrightarrow{\displaystyle\frac{17}{12}} \).

Y buscáis puntomedio: \( \displaystyle\frac{7}{5}+\displaystyle\frac{1}{2·5(7+5)}=\displaystyle\frac{13^2}{120} \)

Esto os dará un error máximo de: \( \pm{\displaystyle\frac{1}{120}} \)

Y vais iterando hasta donde os interese tener un error controlado.

Los ingenieros ya estudian montones de métodos numéricos para resolver ecuaciones. Aunque para \( x^2=k \) usarían la calculadora/ordenador. Otra cosa es que está bien que conozcan el método que dices y otros como cultura matemáticos.

No he empleado ningún decimal. de hecho, el uso de decimales en gran medida responde al prejuicio de que \( \sqrt[ ]{2} \) es un número concreto y que cuantos más decimales obtenemos más nos aproximamos a él. Pero eso es absurdo, dado que al ir al infinito no nos aproximamos a ningún sitio. Vaya, eso pienso.

Lo parece en muchos momentos, cuando dices que no se le puede dar ningún valor exacto si no es en el infinito.

Tu dame un número racional \( x \) de los que a si te valen y yo se decir EXACTAMENTE si \( x>\sqrt{2} \) o no. Y no hay nada que tenga que ver con el infinito para esa comprobación.

Lo que falta es demostrar que \( z\neq 0 \), del mismo modo que al tener \( x=x\pm{y} \), ésta sólo es contradicción cuando \( y\neq 0 \); en caso contrario tenemos una simple identidad, que define precisamente a un valor puntual y concreto.

No. No es que falte probar eso. Es que es lo único que tienes que probar. Pero no te confundas. Si \( z\neq 0 \) ya no es cierto que \( x^2=x^2+z \) y esas cosas que pones. Porque al revés eso es cierto porque estás presuponiendo que \( z=0 \).

Creo que deberías de pensar especialmente en el último intento y como todo lo que haces vale para \( \sqrt{4}=2 \).

Saludos.

[RDC]

La raíz de dos respecto la unidad:

Es como decir que \( 0.333333333.... = 0.\bar{3}  \) no es un número por tener infinitos decimales y necesito ir al infinito para que sea verdad, diras no es que \( 0.\bar{3} \) se puede poner como \( \dfrac{1}{3}  \), pero en este caso te digo que \( 1.41421... \) lo puedes ponner como \( \sqrt{2} \) los dos tienen infinitos decimales en su expresión, ¿un infinito es más importante que el otro?.
Editado
Veo que Luis uso el mismo ejemplo \( \dfrac{1}{3} \) para refutar, entonces nada.

No he empleado ningún decimal. de hecho, el uso de decimales en gran medida responde al prejuicio de que \( \sqrt[ ]{2} \) es un número concreto y que cuantos más decimales obtenemos más nos aproximamos a él. Pero eso es absurdo, dado que al ir al infinito no nos aproximamos a ningún sitio. Vaya, eso pienso.


Un saludo

Justo ese razonamiento dice que \( \dfrac{1}{3} \)  no se aproxima a nada.

Que raíz de dos es un numero está más que superado, puedes tomar que si una sucesión tiene límite este límite es un número real.
Tomamos \( a_1 = 1.4142 \) y luego \( a_n = \dfrac{1}{2} \cdot (a_{n-1} + \dfrac{2}{a_{n-1}})  \) y tenemos que raíz de dos es su límite.

Por un lado hay un error de bulto, si supones que \( \sqrt{2} \) no es un número por que usar fórmulas para aproximarlo, no puedes usar una sucesión de números para aproximar un número si no existe ese número, si dices que una fórmula se acerca a un número es que es un número.

Por otro lado si tomas un numero sea el que sea a primera yo diría que es más normal que los decimales puedan tomar qualquier valor y que esperar que a partir de algún momento se repitan sus decimales no es lo más normal y es lo que ocurre, hay inmensamente más irracionales que racionales.

Hola Juan Pablo,

Precisamente, es lo que he dicho, o al menos he querido decir: que si dejamos de presuponer, como hacemos ahora, que \( \sqrt[ ]{2} \) sea un número CONCRETO Y PUNTUAL tampoco podemos estar presuponiendo que nos aproximamos a nada concreto cuando hacemos operaciones racionales como las que muestro, o simplemente cuando desarrollamos la raíz cuadrada de 2 con el método de la escuela.

Mi postura no es que \( \sqrt[ ]{2} \) no sea un número, lo que digo es que no es un punto concreto más allá de los racionales y por ello, de la unidad, como postuló Dedekind ¿Acaso significa algo estar más allá de la unidad y por ello los racionales? ¿Qué significa que un número no sea racional a nivel de operatividad?

En tal sentido, he tanteado la posibilidad de considerarlo un número continuo, dado que rompe la transitividad racional, por así decirlo, mediante la idea de intervalo. Es decir, tanteo la posibilidad de concebir \( \sqrt[ ]{2} \) como un intervalo de racionales. Nada más.

un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

En tal sentido, he tanteado la posibilidad de considerarlo un número continuo, dado que rompe la transitividad racional, por así decirlo, mediante la idea de intervalo. Es decir, tanteo la posibilidad de concebir \( \sqrt[ ]{2} \) como un intervalo de racionales. Nada más.

Esto es un buen ejemplo de lo que quiero decir cuando afirmo que CREAS excepciones que no había.

Lo que tu llamas transitividad es:

Esta expresión, a su vez, expresa el principio de transitividad, es decir, de no continuidad, dado que permite distinguir de forma clara y diferenciada tres puntos:

\( x-y\neq x \neq x+y \), hecho que posibilita poder destacar que \( x-y< x < x+y \). Es decir, dado un $$x,y$$ este principio permite establecer un orden claro para distinguir $$ x$$ de $$x-y$$ y, ambos, de $$x+y$$

Bueno pues con el tratamiento y definición usual de raíz de dos, no rompe nada de eso. Como te dije dado \( \sqrt{2} \) y otro número uno tiene un criterio claro para compararlos.

Es decir no es que tal como está definido no cumpla eso que dices, y eso sea un problema y haya que buscar alternativas. NO.

Todas esas propiedades se cumplen para los irracionales con la definición aceptada; pero tu los redefines para que NO las cumplan y luego das a entender que toda tu idea fue para solucionar ese problema, cuando es justo al revés. Tus nuevas definiciones crean el problema.

Saludos.