[aureodd]

Hola el_manco,
para justificar los resultados de mi mensaje anterior y evitar el error que comentas, he necesitado de 3 nuevos Lemas (Lema 6.2, Lema 7.2 y Lema 8.4) y por lo tanto he tenido que modificar los 3 Corolarios del documento para llegar, en cada uno de ellos, a la contradicción que creo haber encontrado.
Esta nueva versión se encuentra en http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/9/1/1/
¡¡¡¡¡Muchas gracias!!!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Página 9; demostración del Lema 6.2:

 Partiendo de que \( Ck=Ek_1 \) y del hecho de que \( C,E \) son coprimos concluyes que \( E=k \). ¡Exactamente el mismo error de antes!.

 Prácticamente el mismo contraejemplo lo desmiente:

\( \underbrace{9}_E\cdot \underbrace{70}_{k_1}=\underbrace{7}_{C}\cdot \underbrace{90}_{k} \)

 Comienzas afirmando que de la igualdad inicial y de la coprimalidad de \( C,E \) se deduce que \( k|E \) y \( k_1|C \). Eso ya es falso, como se ve en el ejemplo.

 Aureodd: creo que deberías de parar un momento, respirar profundamente, partir de cero, y revisar tu trabajo de nuevo con el mayor espíritu crítico. Me gustaría que en esa revisión, te decidieses a escribir tus ideas para el caso \( n=3 \). Estoy seguro de que al menos el trabajo se reduce a la mitad. Facilitarías la lectura del mismo a terceros, y además también sería más sencillo el encontrar posibles errores, no sólo para los demás, sino para ti mismo.

 Reconozco que a estas alturas, empieza a costarme entender el empecinamiento en no detenerse primero en ese caso particular. Parece que se huye de la sencillez y de la claridad, como si el "ruido" de escribir las cosas arrastrando un \( n \) general, diese más pomposidad o más validez a los resultados.
 
 Otra cosa más, desde hace unos días estoy algo apartado del foro y seguiré así durante un par de meses, así que probablemente no vuelva a contestar hasta entonces. Lo he hecho ahora por deferencia a ti  y al debate que mantenemos.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,

creo que deberías de parar un momento, respirar profundamente, partir de cero, y revisar tu trabajo de nuevo con el mayor espíritu crítico. Me gustaría que en esa revisión, te decidieses a escribir tus ideas para el caso \( n=3 \).

yo también lo creo... intentaré seguir tus consejos. gracias!!

desde hace unos días estoy algo apartado del foro y seguiré así durante un par de meses, así que probablemente no vuelva a contestar hasta entonces. Lo he hecho ahora por deferencia a ti  y al debate que mantenemos.

muchas gracias!! Estoy seguro que todos los que visitan el foro te echarán de menos, y yo particularmente. Espero que te vaya bien en estos meses y que vuelvas pronto.
Muchas gracias!!
Saludos

[aureodd]

Hola el_manco,
creo haber encontrado para \( n>3 \) que si \( g^n-p^n-r^n=2.n.p.q.r \) no tiene solución para números naturales con \( p \), \( q \) y  \( r \) coprimos positivos, entonces el término general del UTF, \( x^n=y^n+z^n \) tampoco tiene solución.
Para ver por ejemplo para \( n=5 \) que \( q^5-p^5-r^5=2.5.p.q.r \) (*) no tiene solución para números naturales, es fácil verificar que
\( (p+r)^5-p^5-r^5>2.5.p.(p+r).r \)
luego \( q<p+r \) que es lo mismo que poner  \( q=p+r-u \) para algún \( u \)
que sustituyendo en (*) nos queda
\( (p+r-u)^5-p^5-r^5=2.5.p.(p+r-u).r \)
haciendo el desarrollo se puede ver que \( u \) tiene que ser de la forma \( u=5.p.r.k \) para algún \( k>0 \) luego
\( (p+r-5.p.r.k)^5 -p^5-r^5=2.5.p.(p+r-5.p.r.k).r \)
pero  \( q=p+r-5.p.r.k <0 \). ¿Esto contradice realmente que  \( q^5-p^5-r^5=2.5.p.q.r \) no tiene solución para números naturales?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 mmm.... alcárame este paso:

\( (p+r-u)^5-p^5-r^n=2.5.p.(p+r-u).r \)
haciendo el desarrollo se puede ver que \( u \) tiene que ser de la forma \( u=5.p.r.k \) para algún \( k>0 \) luego

Saludos.

[aureodd]

Hola,
además de tener que \( p \), \( q \) y \( r \) son coprimos, olvidé añadir también la hipótesis que \( p \), \( q \) y \( r \) no son múltiplos de \( 5 \).
Quiero probar que
\( u=5.p.r.k \) en la siguiente igualdad:
\( (p+r-u)^5-p^5-r^5=2.5.p.(p+r-u).r \) (1)
si llamo
\( r-u=t \) y sustituyo en (1)
\( (p+t)^5-p^5-r^5=2.5.p.(p+t).r \) (2)
Para que la parte izquierda de la igualdad en (2) sea múltiplo de \( 5 \), utilizamos el PTF  y nos queda que
\( t-r \equiv 0 \mod 5  \)
entonces \( r-5.k=t \) (3) y \( u \) es múltiplo de \( 5 \) (No utilizo \( r+5.k=t \) ya que hace que en (2) la parte izquierda de la igualdad sea mayor que la derecha)
Ahora para que la parte izquierda de la igualdad en (2) sea múltiplo de \( p \),
se tiene que dar que
\( t^5-r^5 \equiv 0 \mod p  \)
sustituimos el valor que tenemos de \( t \) en (3)
\( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \)
y como \( p \) y \( q \) son coprimos no múltiplos de \( 5 \), entonces \( k \) tiene que ser múltiplo de \( p \).
Luego \( u \) también es múltiplo de \( p \).
Se puede utilizar el mismo argumento para ver que \( u \) es múltiplo de \( r \).
Luego
\( (p+r-5.p.r.k)^5 -p^5-r^5=2.5.p.(p+r-5.p.r.k).r \)

¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Ahora para que la parte izquierda de la igualdad en (2) sea múltiplo de \( p \),
se tiene que dar que
\( t^5-r^5 \equiv 0 \mod p  \)
sustituimos el valor que tenemos de \( t \) en (3)
\( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \)
y como \( p \) y \( q \) son coprimos no múltiplos de \( 5 \), entonces \( k \) tiene que ser múltiplo de \( p \).

Esto no lo veo claro. ¿Cómo deduces de \( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \) que \( k \) es múltiplo de \( p \)?.

Nota que NO es cierto que \( a^5\equiv 1\quad mod\quad p \quad \Rightarrow{}\quad a=1. \)

Por ejemplo \( 16^5\equiv 1\quad mod\quad 11 \). De ahí si tomamos \( p=11 \), \( r\equiv 1 \) mod \( 11 \), \( k\equiv -3  \) mod \( 11 \), se tiene que:

\( (r-5.k)^5-r^5\equiv (1+15)^5-1^5\equiv 16^5-1^5=0 \mod p  \)

pero sin embargo \( k\neq 0 \) mod \( p \).

Saludos.

[aureodd]

Hola,
sí, el error lo he cometido al hacer el desarrollo de \( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \)
\( \cancel{r^5}-5r^4(5.k)+10r^3.(5k)^2-10r^2.(5k)^3+5r.(5k)^4-(5k)^5-\cancel{r^5}\equiv 0 \mod p  \)
y de aquí deducir que como todos los términos son múltiplos de \( k \) entonces \( k \) es múltiplo de \( p \).
Muchas gracias por la respuesta y por el ejemplo.
Saludos

[aureodd]

Hola,
si no me he equivocado con los cálculos previos, estoy buscando soluciones a la siguiente ecuación
\( q.k_1-p.k_2-r.k_3 = 2.p.q.r \)
con \( q \), \( p \) y \( r \) coprimos, enteros positivos, y
\( k_1 \), \( k_2 \) y \( k_3 \) también enteros positivos.
Son soluciones por ejemplo
\( k_1=4.p.r \) , \( k_2=q.r \) , \( k_3=q.p \)
\( k_1=5.p.r \) , \( k_2=2.q.r \) , \( k_3=q.p \)
\( k_1=5.p.r \) , \( k_2=q.r \) , \( k_3=2.q.p \)
. . .

¿Como puedo encontrar todas las soluciones a esa ecuación bajo esas condiciones?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 La solución general de:

\(  qk_1-pk_2-rk_3=2pqr \)

 puede obtenerse escribiendo la ecuación como:

\(  qk_1-pk_2=rk_3+2pqr \)

 y usando el método aquí descrito.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,26781.0.html

 Tal solución general se descompone una solución particular más la solución general de la homogéna asociada:

\(  qk_1-pk_2-rk_3=0 \)

 La solución general de esta última (hallada igualmente por el método descrito en el enlace es):

\(  (k_1,k_2,k_3)=t(a_1r,a_2r,1)+s(p,q,0) \)

 con \( s,t\in Z \) y \( a_1,a_2 \) tales que \( pa_1-qa_2=1 \).

 Por tanto la solución general de tu ecuación (usando alguna de tus soluciones particulares queda):

\(  (k_1,k_2,k_3)=(4pr,qr,qp)+t(a_1r,a_2r,1)+s(p,q,0) \)

 con \( s,t\in Z \) y \( a_1,a_2 \) tales que \( pa_1-qa_2=1 \).

 Nota que esas son todas las condiciones enteras; si quieres las naturales debes de imponer \( k_1,k_2,k_3>0 \).

Saludos.