Rincón Matemático

Matemática => Teoría de números => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: aureodd en 25 Enero, 2010, 12:21 am

Título: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 25 Enero, 2010, 12:21 am
Hace ya casi dos años que me encontraba buscando material para añadir a mi web sobre matemáticas recreativas y recordé una ecuación de un libro sobre teoría de números relacionada con el Último Teorema de Fermat, y la anoté en un papel... pocas horas más tarde revisé esas anotaciones y pude escribir 5 lemas que llevaban a un resultado que me pareció muy interesante y no puede dejar de pensar si realmente sería una base para probar el UTF.

He estado desde ese momento trabajando en esos resultados…con avances, correcciones de todo tipo, incluido algún error que me hizo reescribir toda la prueba, de búsquedas de la contradicción en algún corolario que no llevaban a nada, otras veces...el vacío.

Hace ya varios meses que creo haber terminado ese trabajo... Aunque esta prueba se compone de 14 páginas, es una prueba sencilla… basada en el desarrollo de aquellos primeros 5 lemas.

Leí hace poco una cita que decía:
"Las matemáticas no son sino un equilibrio inestable entre prudencia y pasión, una mezcla
sutil de cautela y de afición vehemente, un diálogo a media voz hecho con templanza dialéctica y un afecto del ánimo profundamente embriagador y desordenado."

He intentado con la prueba ser prudente, ordenado y cauteloso pero es posible que haya puntos que no queden claros o que haya dado por obvio algo que no lo es…Esto en matemáticas es muy peligroso y cualquier descuido puede desmontar por completo todo un trabajo...

Agradeceré enormemente cualquier comentario u opinión que muestre algún hecho o error que haya podido pasar por alto y por lo tanto invalide la prueba o quizás que permita su corrección para seguir avanzando hacia el resultado de que el UTF es cierto.

Saludos

La prueba la podeis leer y descargar desde http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/9/1/1/
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Enero, 2010, 03:57 pm
Hola

 Es falso que:

 \( (a+b)^n \) múltilpo de \( a \) \( \quad \Longrightarrow{}\quad \) \( a+b \) múltiplo de \( a \)

 Lo utilizas en la página 14 en la demostración del lema 6, cuando dices que:

Citar
\( [(x-y)+nKK_2]^n-(x-y)^n \) tiene que ser múltiplo de \( (x-y) \), luego \( (x-y)+nKK_2 \) también tiene que ser mútiplo de \( (x-y) \).

 Incluso en los ejemplos que pones después (página 22) dices:

Citar
\( [2^8+7K(2^2)]^7 \) tiene que ser múltiplo de \( 2^8  \), luego \( 2^8+7K(2^2) \) también tiene que ser mútiplo de \( 2^8 \).

 FALSO. De hecho:

\( [2^8+7K(2^2)]^7=2^{14}(2^6+7K)^7  \)

 luego siempre es mútiplo de \( 2^8 \) si necesidad de imponer que \( 2^8+7K(2^2) \) lo sea.

 Por otra parte, fíjate que ni siquiera existe una demostración sencilla (si complicada, por supueso) para el caso \( n=3 \). Por tanto si uno cree tener una demostración simple para el caso general es bueno escribirla específicamente para el caso \( n=3 \). Si funciona ya es un gran avance; en otro caso es mucho más fácil encontrar el error.

 En tu caso para \( n=3 \), la mayor parte de tus lemas previos son trivialidades y los argumentos claves (y el error) se resumen apenas en una carilla.

Saludos.
 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 27 Enero, 2010, 03:20 pm
Hola
lo primero agradecerte el_manco tu revisión y rápida respuesta. Quiero aprovechar también para reconocer y admirar enormemente tu capacidad para seguir y comentar los temas que se tratan en el foro...
En cuanto a la prueba, no hay nada como un contraejemplo para mostrar el error... no se si habrá alguna si habrá alguna forma de poder avanzar teniendo en cuenta que:
Citar
\(  (a+b)^n \) múltiplo de \( a  \) \( \nRightarrow a+b  \) múltiplo de \( a \)
???
¿El resto de la prueba tuviste oportunidad de revisarlo para descartar que no haya más errores? ¿O viste el error rapidamente en una primera lectura?
 
Te agradezco también el consejo sobre haber intentado escribir antes la prueba para el caso \( n=3 \) pero cuando me encontré con los resultados de los primeros lemas que se cumplían para \( n \) primo, me resultó más cómodo continuar escribiéndolo para el caso general (aunque en la mayoría de los ejemplos de la prueba utilizo \( n=5 \)). Sin embargo lo que realmente me animó a intentar avanzar despúes fue el resultado que utilizo en la demostración del corolario 5.3:
Citar
Si \( n \) es primo entonces se cumple \( (x^n-y^n) -(x-y)^{n}=nxy.B(x,y).(x-y) \)
Desconozco si es un resultado trivial y si se puede llegar a él de una forma mas sencilla. Me gustaría conocer si tú o alguien del foro tiene alguna referencia de este resultado.
Muchas gracias.

Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Enero, 2010, 06:01 pm
Hola

Citar
¿El resto de la prueba tuviste oportunidad de revisarlo para descartar que no haya más errores? ¿O viste el error rapidamente en una primera lectura?

Para ser sincero, mi lectura del texto fue ir directamente a encontar el error. Es decir no me planteé la posibilidad de que fuese correcta, porque no creo que exista una prueba sencilla del UFT. Por supuesto pese a ese prejuicio, sólo me guiaron y me guían criterios matemáticos; si todo estuviese bien, pues me "bajaría de la burra" y chapeau. Entonces comencé a leer los primeros resultados convencido de que el error aparecería en seguida: no fue así. Entonces cambié de estrategia y fui del final al hacia atrás. Además particularicé para el caso \( n=3 \)  y entonces si rápidamente encontré el error y me paré ahí. De todas formas el resto creo que está bien.
 
Citar
Citar
Si \( n \) es primo entonces se cumple \( (x^n-y^n) -(x-y)^{n}=nxy.B(x,y).(x-y) \)
Desconozco si es un resultado trivial y si se puede llegar a él de una forma mas sencilla. Me gustaría conocer si tú o alguien del foro tiene alguna referencia de este resultado.

La trivialidad del resultado es relativa.

1) Que \( (x^n-y^n)-(x-y)^n \) es múltiplo de \( n \) es consecuencia directa del pequeño teorema de Fermat. Trabajando módulo \( n \):

 \( (x^n-y^n)-(x-y)^n\equiv x-y-(x-y)\equiv 0 \)

 2) Que el polinomio \( xy(x-y) \) divide a \( (x^n-y^n)-(x-y)^n \) es inmediato sin más dividir el término de la derecha por \( x-y \) y observar que se cancelan los términos donde aparecen \( x^{n-1} \) e \( y^{n-1} \).

Entonces podría considerarse como un ejercicio de teoría de números.

En general de todas formas tu trabajo me parece bien fundamentado, con pruebas muy detalladas (algunas en exceso  ;)).

Por ejemplo, algunas simplificaciones:

- El Lema 2 es inmediato si tomas \( A_2=(x-y)^n \) y \( A_1=z \).

- El corolario 5.1 es inmediato teniendo en cuenta que la suma de los coeficientes de un polinomio \( f(x,y) \) se obtienen evaluando \( f(1,1). \)

Saludos.

P.D. También estuve echando un vistazo a tu WEB. ¡Muy buena!.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 28 Marzo, 2011, 03:10 am
Hola,
después de modificar el Lema 6 y partiendo del resultado al que se llega,
\( (x^n-y^n) = [(x-y)+b]^n  \) con \( b=nKK_2 \)
y después de añadir algunos detalles importantes que aunque se estaban utilizando no se citaban, por ejemplo en el Lema 2 que \( A_2 < (x-y) \), se llega a que
\( (x-y).(y-b) \) divide a \( b^n \).
Si escribimos entonces que \( (x-y).(y-b).M=b^n \) y teniendo en cuenta que se puede utilizar que \( (x-y) \) e \( (y-b) \) no tienen factores comunes se llegará a que tanto si \( M \) tiene algún factor común con \( (x-y) \) o con \( (y-b) \) como si no lo tiene, el UTF no puede tener soluciones enteras.

Agradeceré enormemente como la vez anterior cualquier comentario u opinión que muestre algún hecho o error que haya pasado por alto y que invalide la prueba ...

El documento lo podeis leer y descargar de http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/
He incluido al final ejemplos que espero sirvan para hacer más fácil la lectura de la prueba.

Muchas gracias!
Saludos
Eduardo
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Marzo, 2011, 01:51 pm
Hola

 Antes de nada te recuerdo un comentario que te hice en tu intento anterior.

Citar
Por otra parte, fíjate que ni siquiera existe una demostración sencilla (si complicada, por supueso) para el caso \( n=3 \). Por tanto si uno cree tener una demostración simple para el caso general es bueno escribirla específicamente para el caso \( n=3 \). Si funciona ya es un gran avance; en otro caso es mucho más fácil encontrar el error.

 En tu caso para \( n=3 \), la mayor parte de tus lemas previos son trivialidades y los argumentos claves (y el error) se resumen apenas en una carilla.

 Sería bueno que rescribieses la demostración particularizada para \( n=3 \). Te quedaría mucho más corta y fácil de verificar (si está bien) o de encontrar el error (si está mal). Luego, se pude avanzar y estudiar el caso general.

 Algunos comentarios de menor a mayor importancia:

 1) Haces un uso del término corolario confuso: un coroloario es un resultado que se deduce casi directamente de algo que has probado antes. En tu caso llamas corolario a resultados auxiliares; este detalle (aunque nimio) dificulta un poco la compresión global del camino que sigues. Sería mejor que en vez de corolario pusisese lema o proposición.

 2) La nota 3 de la página 11, es discutible o al menos poco clara. Si \( (x-y) \) y \( A_2 \) son múltiplos de \( n \) es cierto que tu expresión del Lema 2 queda:

\(  z^n=\dfrac{(x-y)(x-y)^{n-1}A_1^n}{A_2^n}=\dfrac{(k_1)^nA_1^n}{k_2^n} \)

 pero eso no sustituye la expresión inicial, es decir, no podemos afirmar que:

 \( z^n=\dfrac{(x'-y')(x'-y')^{n-1}A_1^n}{A_2'^n} \)

 con \( x'-y',A_2' \) no múltiplos de \( n \).

 3) El enunciado del corolario 5.3 es inexacto. Lo que pruebas es que si el UFT es cierto para \( x-y\neq 1 \) entonces también lo es para \( x-y=1 \). El motivo (sin usar ninguno de tus resultados previos) simplemente es que si tenemos una tripleta \( a\geq b\geq c \) verificando el teorema de Fermat, es inmediato comprobar que no puede haber dos términos iguales y uno entonces siempre puedes escoger \( x=a, y=c \) con \( x-y\geq 2 \).

 4) Vamos con un error troncal.

 4.1)  Como indicación previa señalar que los resultados claves y fundamentales son los Coroloarios 7.1, 7.2 (correctos) y sobre todo el Lema 7.1 y el Lema 7.2. Desde mi punto de vista curiosamente apenas se apoyan en todo el resto del artículo. La igualdad (7) a partir de la cual prácticamente se hace todo lo demás es consecuencia directa del punto de partida:

 \( x^n-y^n=z^n \)

 y que por el pequeño teorema de Fermat \( z-(x-y) \) es múltiplo de \( n \).

 4.2) Error troncal en el Lema 7.2. Tienes que:

\(  (x-y)(y-nuv)M=n^nu^nv^n \)

 Como supones que los factores del término de la izquierda son primos entre si los igualas a los de la derecha. La cuestión es,

 ¿Qué te permite afirmar que siempre \( n^n \) va a ser igual a \( y-nuv \) ó a \( M \)?.

 Es decir lo general sería:

\(  (x-y)(y-pqr)M=p^nq^nr^n \)

 con \( p,q,r \) primos entre si,  \( n \) dividiendo a \( p \) y entonces asignar \( p,q,r \) a los tres factores de los términos de la izquierada. Pero insisto en que, sin más aclaración, nada te permite afirmar que uno de esos factores va a ser exactamente \( n^n \).

 4.3) El lema 7.1 no lo he verificado en detalle.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Marzo, 2011, 10:58 am
Hola

 Concreto un poco más las lagunas y particularizo al caso \( n=3 \).

 Nota que es inmediato comprobar que:

\(  x^3-y^3-z^3=3(x-y)(x-z)(z+y)-(z+y-x)^3 \)

 Por tanto si partimos de que \( x^3-y^3=z^3 \) con \( (x,y,z) \) coprimos (supuesto (1)) entonces:

\(  (x-y)\underbrace{(x-z)}_{y-b}\underbrace{3(z+y)}_M={\underbrace{(z+y-x)}_b}^3 \)  (*)

 Con tu notación \( b=z+y-x,\quad M=3(z+y)=3(x+b),\quad x-z=y-b \).

 Entonces de ahí y siempre bajo el supuesto (1):

 - El corolario 7.1 es inmediato de (*): \( (x-y)(y-b) \) divide a \( b^3 \).

 - El corolario 7.2 es también inmediato: si \( (x-y),(y-b) \) tienen un factor común \( p \), trabajando módulo \( p \) se tiene que \( x\equiv y,y\equiv b \) y por (*) \( b\equiv  0 \) y entonces \( x=y=b=0 \), es decir, \( x,y \) son múltiplos de \( p \).

 Ahora empiezan los problemas.

 - La demostración del lema 7.1 no me queda clara.

 -- Por ejemplo la afirmación i) de la página 18 donde dices que \( M_{u_1}=1 \), no la veo suficientemente justificada. Sea como sea si es fácil ver que si \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \) ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \) tienen un dividor común distinto de \( 3 \), entonces \( x,y,z \) tienen divisiores comunes (pero suponemos que son coprimos, luego no puede ser). Basta hacer lo mismo que en la prueba que indiqué antes para el coroloario 7.2.

 -- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \) ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \).

   - La demostración del lema 7.2 tiene el error (troncal) que te indiqué en el post anterior.

 Tienes:

\(  (x-y)(x-z)3(z+y)=(z+y-x)^3 \)

 y tu presupones que si \( (z+y-x)^3=3^3u^3v^3 \), con \( u,v \) coprimos,  entonces necesariamente \( 3(z+y)=3^3 \) ó \( (x-z)=3^3 \): esto no tiene porqué ser cierto. No al menos sin alguna buena explicación.

Te rogaría encarecidamente que si crees que puedes arreglar esos problemas, "reparar" o clarificar las demostraciones en los pasos que indico, lo hicieses para \( n=3 \) (CASO N IGUAL A TRES). Fíjate que eso simplifica mucho, muchísimo, las cosas porque, por ejemplo, el \( M \) que utilzas en tus pruebas es simplemente \( M=3(z+y)=(x+b)=3((x-y)+(y+b)) \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 03 Abril, 2011, 07:35 pm
Hola, muchas gracias por tu revisión y comentarios:

Citar
2) La nota 3 de la página 11, es discutible o al menos poco clara. Si  y  son múltiplos de  es cierto que tu expresión del Lema 2 queda:

\(  z^n=\dfrac{(x-y)(x-y)^{n-1}A_1^n}{A_2^n}=\dfrac{(k_1)^nA_1^n}{k_2^n} \)
pero eso no sustituye la expresión inicial, es decir, no podemos afirmar que:

\( z^n=\dfrac{(x'-y')(x'-y')^{n-1}A_1^n}{A_2'^n} \)

con \( x'-y',A_2' \) no múltiplos de \( n \)
Estoy de acuerdo contigo, pero creo que podemos considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)
ya que en caso de que lo fuera \( (x-y)=a.n \),\( x=a.n+y \)  y partiendo de que \( (x,y,z) \) sean coprimos, podemos poner el término
general del UTF como \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
y para el caso particular de \( n=3 \) nos queda \( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2+y^3-y^3 \) luego \( 3 \)
divide a \( z^3 \) y a \( z \). Poniendo \( z=3.k \) nos queda \( z^3=(3.k)^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2 \)
y esto implica que \( y^2 \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \) y contradice que \( z \) sea coprimo con \( y \). ¿Es correcto?
Citar
La demostración del lema 7.1 no me queda clara.

 -- Por ejemplo la afirmación i) de la página 18 donde dices que , no la veo suficientemente justificada.
 -- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \)  ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \).
Al final de la página 17 se ve que \( M \) tiene que ser múltiplo de \( n \) y en \( M=n.M_{u_1} \) considero
3 casos según los divisores de \( M_{u_1} \):

En iii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( y \)

En ii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( x-z=y-b \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( (x-y) \)
Citar
- La demostración del lema 7.2 tiene el error (troncal) que te indiqué en el post anterior.
Sí, como dices hay que considerar \( (x-y).(y-n.p.q.r).M=n^n.p^{n}.q^n.r^n \). Como \( M \) es múltiplo de \( n \)
podemos poner
\(
(y-n.p.q.r)=p^n \)
\( M=n^n.q^{n}
 \)
\(
(x-y)=r^n
 \) y llegar a
\( (r^n+p^n+n.p.q.r)^n-(p^n+n.p.q.r)^n -(r^n+n.p.q.r)^n=0 \) y el Corolario 7.3 no se puede aplicar ya que
\( (r^n+p^n+n.p.q.r)^n-(p^n+n.p.q.r)^n -(r^n+n.p.q.r) \) puede ser mayor o menor que cero dependiendo del valor de \( q \) (...)
Sin embargo para el caso particular \( n=3 \) tenemos que \( M=3^3.q^{3}
 \) tiene que ser igual a
\( M=3((x-y)+(y+b))=3(x+b)
 \). Como \( x=r^3+p^3+b
 \), y \( b
 \) tiene a \( q
 \) como divisor, tenemos que encontrar
\( r \),\( p \) de modo que \( 3.(r^3+p^3) \) sea múltiplo de \( 3^3 \) y ¿Esto no es posible por la misma explicación
que he dado antes para considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)?
Ahora para \( n=5 \) tenemos que
\( M=5.(a^3+2.a^2.(y+b)+2.a.(y^2+yb+b^2)+(y^3+y^2.b+y.b^2+b^3))=5^5.q^5 \)
con \( a=(x-y)=r^5 \),\( y=p^5+b \)
Pero no tengo explicación para esto :(

Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Abril, 2011, 10:35 am
Hola

Citar
Estoy de acuerdo contigo, pero creo que podemos considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)
ya que en caso de que lo fuera \( (x-y)=a.n \),\( x=a.n+y \)  y partiendo de que \( (x,y,z) \) sean coprimos, podemos poner el término
general del UTF como \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
y para el caso particular de \( n=3 \) nos queda \( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2+y^3-y^3 \) luego \( 3 \)
divide a \( z^3 \) y a \( z \). Poniendo \( z=3.k \) nos queda \( z^3=(3.k)^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2 \)
y esto implica que \( y^2 \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \) y contradice que \( z \) sea coprimo con \( y \). ¿Es correcto?

Te has comido un término. Sería:

 \( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.\color{red}a\color{black}y^2+y^3-y^3 \)

de donde:

\( z^3=(3.k)^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.\color{red}a\color{black}y^2 \)

 y de ahí no se deduce necesariamente que \( y \) sea múltiplo de \( 3 \), sino que \( ay^2 \) es múltiplo de \( 3 \).

Citar
En iii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( y \)

En ii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( x-z=y-b \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( (x-y) \)


Pero lo que no veo claro no es que \( M_{u_1} \) no pueda ser múltiplo de \( 3 \). Sino que \( 3 \) no pueda ser divisor  común de \( M, (x-y) \) o de \( M,(x-z) \). Como de hecho \( 3 \) es divisor de \( M \), lo que no veo claro es como justificar que ni \( (x-y) \) ni \( (x-z) \) pueden ser múltiplos de tres.

Citar
¿Esto no es posible por la misma explicación
que he dado antes para considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)?

Es que como te he indicado arriba esa explicación es incorrecta (al menos incompleta).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 07 Abril, 2011, 02:31 am
Hola,
Si suponemos que \( (x-y) \) es múltiplo de \( n \), \( (x-y)=a.n \Rightarrow x=an+y \) y partiendo
que \( (x,y,z) \) sean coprimos, el término general del UTF quedaría \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
que para el caso particular de \( n=3 \) se puede deducir
que \( z \) es múltiplo de \( 3 \)?
Citar

\( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.\color{red}a\color{black}y^2 \)
Si es así podemos poner \( z=3.k \) y sustituyendo en el resultado del lema 2
\(  z^3=(3k)^3=\dfrac{(x-y)^{3}A_1^3}{A_2^3}=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \Rightarrow (3k)^3=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \)
que es igual a \( k^3=\dfrac{a^3.A_1^3}{A'_2^3} \) equivalente al resultado del lema 2.
para algunos \( x' \) e \( y' \) con \( a=x'-y' \) y algún \( A'_2<(x'-y') \)
¿Podemos buscar soluciones del tipo \( k^n=x'^n-y'^n \) e imponer que \( (x'-y') \) no sea múltiplo de \( n \)?
Citar

Como de hecho \( 3 \) es divisor de \( M \), lo que no veo claro es como justificar que ni \( (x-y) \) ni \( (x-z) \)
pueden ser múltiplos de tres.
En efecto no se puede justificar que \( (x-y) \) ni \( (x-z)=(y-b) \) puedan ser múltiplos de tres, pero se llega siempre a una
contradicción independientemente de los divisores de \( M_{u_1} \), con \( M=3.M_{u_1} \)
Por ejemplo para el caso que\( (y-b) \) sea múltiplo de \( 3 \) escribimos \( (y-b)=3v \Rightarrow y=3v+b \) con \( v \) sin factores comunes con \( (x-y)=u \),
tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)]=3[u+3v+b+b]=3.M_{u_1} \) y ahora tenemos 3 opciones distintas dependiendo de los divisores de \( M_{u_1} \)
que llevan cada una a una contradicción:
i)\( M_{u_1}=1\Rightarrow M=3[u+3v+b+b]=3 \Rightarrow u+3v+b+b=1 \), que no es posible
ii)\( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (y-b)=u \), sea \( u_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (x-y)=v \).
Podemos poner \( M=3.\dot{u_1}=3[\dot{u_1}+3v] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( u_1 \)
iii) \( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (x-y)=v \), sea \( v_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (y-b)=u \).
Podemos poner \( M=3.\dot{v_1}=3[u+\dot{v_1}] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( v_1 \)

Para el caso que \( (x-y) \) sea múltiplo de \( 3 \) no lo he considerado en el documento ya que partía de la suposición que
\( (x-y) \) no es múltiplo de \( 3 \) y que he intentado justificar antes.
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Abril, 2011, 09:30 am
Hola

Citar
Si suponemos que \( (x-y) \) es múltiplo de \( n \), \( (x-y)=a.n \Rightarrow x=an+y \) y partiendo
que \( (x,y,z) \) sean coprimos, el término general del UTF quedaría \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
que para el caso particular de \( n=3 \) se puede deducir
que \( z \) es múltiplo de \( 3 \)?

Correcto. Como tu mismo hiciste en tu trabajo, si suponemos que \( z^n=x^n-y^n \), entonces  \( z^n \) es múltiplo de \( x-y \). Por tanto cualquier divisor primo de \( x-y \) lo es de \( z \). En particular si \( x-y \) es múltiplo de \( 3 \), \( z \) también.

Citar
Si es así podemos poner \( z=3.k \) y sustituyendo en el resultado del lema 2
\(  z^3=(3k)^3=\dfrac{(x-y)^{3}A_1^3}{A_2^3}=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \Rightarrow (3k)^3=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \)
que es igual a \( k^3=\dfrac{a^3.A_1^3}{A'_2^3} \) equivalente al resultado del lema 2.
para algunos \( x' \) e \( y' \) con \( a=x'-y' \) y algún \( A'_2<(x'-y') \)
¿Podemos buscar soluciones del tipo \( k^n=x'^n-y'^n \) e imponer que \( (x'-y') \) no sea múltiplo de \( n \)?

Nada nos asegura, a priori, que existan númerox \( x',y' \) tales que \( a=x'-y' \) y al mismo tiempo \( k^n=x'^n-y'^n \). Eso nos impide (de momento) completar el argumento que nos permitiría afirmar que podemos suponer \( x-y \) no múltiplo de \( n \).

Citar
En efecto no se puede justificar que \( (x-y) \) ni \( (x-z)=(y-b) \) puedan ser múltiplos de tres, pero se llega siempre a una
contradicción independientemente de los divisores de \( M_{u_1} \), con \( M=3.M_{u_1} \)
Por ejemplo para el caso que\( (y-b) \) sea múltiplo de \( 3 \) escribimos \( (y-b)=3v \Rightarrow y=3v+b \) con \( v \) sin factores comunes con \( (x-y)=u \),
tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)]=3[u+3v+b+b]=3.M_{u_1} \) y ahora tenemos 3 opciones distintas dependiendo de los divisores de \( M_{u_1} \)
que llevan cada una a una contradicción:
i)\( M_{u_1}=1\Rightarrow M=3[u+3v+b+b]=3 \Rightarrow u+3v+b+b=1 \), que no es posible
ii)\( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (y-b)=u \), sea \( u_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (x-y)=v \).
Podemos poner \( M=3.\dot{u_1}=3[\dot{u_1}+3v] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( u_1 \)
iii) \( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (x-y)=v \), sea \( v_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (y-b)=u \).
Podemos poner \( M=3.\dot{v_1}=3[u+\dot{v_1}] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( v_1 \)

Es que si relees mis anteriores post, mi única crítica en este punto es que:

Citar
-- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \) ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \).

Que \( M_{u_1} \) no tenga divisores comues con \( x-y,x-z \) si me lo creo.

Citar
Para el caso que \( (x-y) \) sea múltiplo de \( 3 \) no lo he considerado en el documento ya que partía de la suposición que
\( (x-y) \) no es múltiplo de \( 3 \) y que he intentado justificar antes.

Pero... hemos visto que no está bien justificado. ¿De acuerdo en esto?.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 08 Abril, 2011, 12:11 am
Hola,
Comentas que
Citar
Nada nos asegura, a priori, que existan números \( x',y' \) tales que \( a=x'-y' \) y al mismo tiempo \( k^n=x'^n-y'^n \)
Sí, tienes toda la razón...
Citar
Eso nos impide (de momento) completar el argumento que nos permitiría afirmar que podemos suponer \( x-y \) no múltiplo de \( n \).
Te puedo preguntar por que dices "de momento"? Crees que realmente hay alguna forma de poder afirmar que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \) con algún resultado previo al Lema 7.1?  De todos modos crees que será necesario en algún momento? Y más después de ver que has llegado al mismo resultado del lema 6 en
Citar
Concreto un poco más las lagunas y particularizo al caso \( n=3 \) .
 Nota que es inmediato comprobar que:
\(  x^3-y^3-z^3=3(x-y)(x-z)(z+y)-(z+y-x)^3 \)
y donde no te ha hecho falta que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \)?

Ahora para
Citar
-- Queda por probar que  \( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).
(considero ahora solamente el caso para \( M \) y \( (y-b) \))
lo que había comprobado para \( n=3 \) es que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)] \) donde
\( (x-y).(y-b).M=3^3.u^3.v^3 \), supuse por ejemplo \( b=3.u.v=3\cdot2\cdot5 \) y vi con los siguientes ejemplos que se podía generalizar y afirmar (lema 7.1) que si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tiene factores comunes entre ellos pero alguno de ellos sí tienen algún factor común con \( M \), entonces el UTF no tiene solución. En estos ejemplos que indico se ve en todos que
\( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y en todos se llega a igualdades que no son posibles, luego
Citar
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).
Ejemplos:
i)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3 \)
Aquí se ve que la parte izquierda de la igualdad es mayor que la derecha
ii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^2\cdot3^2\\
M=3\cdot5\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot3 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
ii) Otro ejemplo
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3\\
M=3^2\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3^2 \)
Aquí también se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
iii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\cdot2\\
(x-y)=2^2
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^2}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot2 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 2 \) excepto \( 3^2\cdot5^3 \), luego la igualdad no es posible.

No se en que momento, al pasar de estos ejemplos e intentar generalizar en el Lema 7.1, no queda claro que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \) se llega siempre a una contradicción, luego
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).
Gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Abril, 2011, 12:24 pm
Hola

Citar
Te puedo preguntar por que dices "de momento"? Crees que realmente hay alguna forma de poder afirmar que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \) con algún resultado previo al Lema 7.1?  De todos modos crees que será necesario en algún momento? Y más después de ver que has llegado al mismo resultado del lema 6 en
Citar
Concreto un poco más las lagunas y particularizo al caso \( n=3 \) .
 Nota que es inmediato comprobar que:
\(  x^3-y^3-z^3=3(x-y)(x-z)(z+y)-(z+y-x)^3 \)
y donde no te ha hecho falta que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \)?


Es que ese resultado son puras cuentas; no influyen los divisores de tal o cual término.

Digo de momento porque es muy osado afirmar que algo "no se puede probar" (quizá simplemente no se te/me/nos/les ha ocurrido cómo). De hecho claro que es cierto que \( x-y \) no es múltiplo de \( n \), porque como el Teorema de Fermat es cierto sabemos que no pueden exisitir números en esas condiciones, ni con \( x-y \) múltiplo de \( n \) ni sin serlo.

Lo que no creo es que haya ninguna forma "sencilla" de probar el Teorema de Fermat. Ni tan siquiera para el caso \( n=3 \).

Citar
(considero ahora solamente el caso para \( M \) y \( (y-b) \))
lo que había comprobado para \( n=3 \) es que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)] \) donde
\( (x-y).(y-b).M=3^3.u^3.v^3 \), supuse por ejemplo \( b=3.u.v=3\cdot2\cdot5 \) y vi con los siguientes ejemplos que se podía generalizar y afirmar (lema 7.1) que si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tiene factores comunes entre ellos pero alguno de ellos sí tienen algún factor común con \( M \), entonces el UTF no tiene solución. En estos ejemplos que indico se ve en todos que
\( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y en todos se llega a igualdades que no son posibles, luego
Citar
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).
Ejemplos:
i)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3 \)
Aquí se ve que la parte izquierda de la igualdad es mayor que la derecha
ii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^2\cdot3^2\\
M=3\cdot5\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot3 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
ii) Otro ejemplo
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3\\
M=3^2\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3^2 \)
Aquí también se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
iii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\cdot2\\
(x-y)=2^2
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^2}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot2 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 2 \) excepto \( 3^2\cdot5^3 \), luego la igualdad no es posible

No se en que momento, al pasar de estos ejemplos e intentar generalizar en el Lema 7.1, no queda claro que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \) se llega siempre a una contradicción, luego
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).

Si crees que puedes demostrarlo no me pongas ejemplos (o ponlos, pero no me llegan): estos valen para clarificar ideas pero no prueba nada. Además los ejemplos son muy tamposos en el caso del Teorema de Fermat: como este es cierto, obviamente no podemos encontrar grupos de números que cumplan la relación de Fermat y las relaciones que se derivan de ellas. Es decir, no podemos encontrar contrajemplos a tus argumentos.

Insisto en que escribas la demostración para \( n=3 \) de que \( 3 \) no es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y veremos si es correcta. Debería de ser mucho más clara y sencilla que lo que has escrito en la página 18 (allí al hacerlo para el caso genral se complican las cuentas). Hasta ahora no lo has hecho. Lo que probaste es que lo que llamas \( M_{u_1} \) no tienen divisores comunes con \( (y-b) \): correcto. Pero no es eso lo que falta.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 20 Julio, 2011, 03:17 pm
Hola,
creo haber encontrado y solucionado el error troncal que tenía en el Corolario 7.2,
y lo he incluido esta vez en un nuevo Lema 3, donde creo que se demuestra que
"\( (e+f-b)^n=e^n+f^n  \) no tiene solución para números enteros. "
y que luego se utilizará en el Corolario 1.4:
"Si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tienen factores comunes entre ellos y ninguno de ellos los tiene con \( M \), entonces el UTF no tiene solución."
He modificado y creado un nuevo documento, espero más sencillo, y mucho más reducido, donde comienza con 2 lemas,
uno de ellos, el Lema 2, utiliza un resultado del documento anterior:
"Si \( x \) e \( y \) son soluciones del UTF, entonces se cumple \( (x^n-y^n) = [(x-y)+nk]^n \) para algun \( k \)."
que se puede demostrar de una forma más fácil, como apuntaba el_manco en sus comentarios.
He hecho también una pequeña modificación en el enunciado del nuevo Corolario 1.1:
"Si \( (x^n-y^n) = [(x-y)+b]^n \Rightarrow n.(x-y).(y-b) \) divide a \(  b^n \)"
que hará que el Corolario 1.3:
"Si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tienen factores comunes entre ellos entonces tampoco pueden tenerlos con \( M \)."
sea mas sencillo de demostrar o al menos de una forma más clara, ya que esta vez he utilizado
\( M=a^{n-2}+c'_2.a^{n-3}.R_2(y,b)+\cdots+R_{n-1}(y,b) \)
Y por último, he incluido en el nuevo documento, el Corolario 1.2:
"Si\( (x-y) \) y \( (y-b) \) tiene factores comunes, entonces \( x \) e \( y \) también los tienen."

En este nuevo documento he quitado todos los ejemplos que había incluido en versiones anteriores creyendo que con las últimas modificaciones es muy sencillo de seguir y verificar donde pueden encontrarse los posibles errores que he podido pasar por alto. Por el mismo motivo tampoco he seguido el consejo o indicación de el_manco (te pido mil disculpas) de intentar escribir el documento para \( n=3 \), pero creo sinceramente que con tus comentarios y sugerencias han quedado las demostraciones de los nuevos Lemas y Corolarios muy fáciles de seguir.
El nuevo documento lo podeis leer y descargar de http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/

Agradeceré enormemente y como siempre, cualquier comentario u opinión...

Muchas gracias!
Saludos
Eduardo
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 21 Julio, 2011, 01:04 pm
Hola

 La demostración del Lema 3 está mal. Lo transcribo e indico el error:

Lema 3:

 \( (e+f-b)^n=e^n+f^n \)                               (8)

 no tiene solución para números naturales (tu pones enteros, pero te refieres a naturales).

 (se supone \( n \) impar)

 Demostración: Sea \( b\neq 0 \). Como:

\(  e^n+f^n=(e+f)(e^{n-1}-e^{n-2}f+\ldots -ef^{n-1}+f^n) \)
 
 lo sustituimos en (8):

\(  (e+f-b)^n=e^n+f^n=(e+f)(e^{n-1}-e^{n-2}f+\ldots -ef^{n-1}+f^n) \)

 pero \( \color{red}(e+f)\not | (e+f-b)\color{black} \) luego \( \color{red}(e+f)\not | (e+f-b)^n\color{black} \), entonces (8) no tiene solución para números enteros como se quería demostrar.


 Lo que está en rojo es lo que está mal. Es falso que:

\(  a\not |b\quad \Rightarrow{}\quad a\not |b^n \)

 Por ejemplo:
 
 \( 12\not |30 \) pero \( 12 |900=12\cdot 75 \)

Saludos.

P.D. En realidad el Lema 3 es precisamente el Teorema de Fermat, sin más que llamar \( e+f-b=g \). Si logras probarlo estarías demostrando que la ecuación:

\( g^n=e^n+f^n \)

no tienes soluciones enteras.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 13 Octubre, 2011, 12:25 am
Hola,
teniendo en cuenta resultados a los que había llegado en las versiones anteriores del documento, he utilizado otra linea distinta de desarrollo, por lo que el documento final es completamente distinto, pero curisomente se llega a los mismos resultados que en el trabajo anterior. A partir de estos resultados y utilizando unos lemas nuevos, he creado 3 corolarios que me gustaría por favor pudierais revisar para encontrar cualquier posible error.
Creo que esta nueva linea aporta mas claridad al documento y espero que sea aún mas sencillo de seguir y verificar que con el desarrollo anterior, y vuelvo a pedir disculpas a el_manco por haber escrito el documento para el término general y no para \( n=3 \).
El nuevo documento lo podeis leer y descargar de http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/

Agradeceré enormemente y como siempre, cualquier comentario u opinión...

Saludos
Eduardo
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Octubre, 2011, 06:47 pm
Hola

 Ando bastante apurado esta temporada y no tengo mucho tiempo para leer tu artículo en detalle. He mirado por encima "creyéndome" las cuentas y fijándome más bien en los argumentos.

 En es vistazo me chocó la demostración del Lema 3.4.1 (página 7).
 
 Llegas a que:

\(  R(y,z)\equiv n\cdot y^{n-1}\quad mod\quad n \) (1)

 Pero de ahí, no veo que se deduzca que \( R(y,z) \) no pueda ser, por ejemplo, múltiplo de \( n^2 \).

 En realidad la única información útil que da (1) es que \( R(y,z) \) es múltiplo de \( n \). Fíjate (1) se deduce que:

\(  R(y,z)=ny^{n-1}+kn=n(k+y^{n-1}) \)

 donde \( k+y^{n-1} \) puede ser cualquier número. Por tanto lo que tenemos es que \( R(y,z) \) es múltiplo de \( n \).

 ¿Cómo deduces que no puede ser múltiplo por ejemplo de \( n^2 \)?.

 Tu en tu artículo escribes después de (1):

\(  R(y,z)\equiv n\cdot y^{n-1}\quad mod\quad n^m \) (2)

 Pero (2) no se deduce de (1), así no sé muy bien a que viene esa expresión.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 13 Octubre, 2011, 11:16 pm
Hola,
creo que el Lema 3.4.1 (y el Lema 4) son correctos, pero es cierto que la demostración es incompleta y no lo prueba.
Voy a intentar corregirlo y subo de nuevo el documento con las modificaciones.
Muchas gracias por tu atención y por tu tiempo.
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 16 Octubre, 2011, 10:08 pm
Hola,
ya he modificado la demostración del Lema 3.4.1 y creo que esta vez si lo prueba; he añadido de todos modos al final del documento un apartado con la misma prueba del Lema 3.4.1 pero para \( n=3 \). He modificado también algunos enunciados con la intención de dejar más claro los pasos que se siguen en cada momento en el documento. Aunque el artículo se compone de tres corolarios, cada uno de ellos utiliza sus propios lemas, y las demostraciones, aunque siguen los mismos razonamientos, son totalmente independientes.
 
El nuevo documento está en http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/
Muchas gracias
Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Octubre, 2011, 10:24 am
Hola

 Creo que ahora la demostración del Lema 3.4.1 es correcta (aunque algún matiz en la redacción debiera de ser corregido). No estoy seguro de si queda claro de como está enunciado que si puede darse que \( E \) sea múltiplo de \( n \). También cuando escribes "Luego podemos poner...", esa afirmación sólo se sustenta depués de haber probado todo lo demás.

 Pero olvidemos por el momento ese Lema. He encontrado otro error que creo si es más troncal; es común a los tres corolarios que pretenden concluir la demostración del UFT.

 En la demostración del Corolario 1, página 7, tienes:

\(  a^nC^n=A(A^{n-1}(Ck)^n-2Cka^n-a^nA^{n-1}) \)

 y dices: "Cómo \( \color{red}C\not | A \) a entonces \( \color{red}a|A \) ...".

 Esto es falso; efectivamente se tiene que \( A \) y \( C \) son coprimos pero de ahí no se deduce necesariamente que \( a|A \), sino, al revés que \( A|a^n \). Por ejemplo:

\(  14^3\cdot 3^3=4\cdot (2\cdot 7^3\cdot 3^3) \)

 con \( a=14,\, C=3,\, A=4 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 18 Octubre, 2011, 01:28 pm
Hola,
muchas gracias por tus comentarios. Siempre caigo en el mismo error disfrazado de distintas formas  :-[
De todos modos, no se si lo siguiente puede evitarlo:
Si \( A \mid a^n \) , \( Aq=a^n \) para algún \( q \). Sustituyendo en
\( a^n.C^n=A(A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1}) \)
\( Aq.C^n=A(A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1}) \)
\( q.C^n=A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1} \)
Esta igualdad módulo \( C \) queda
\( 0 \equiv -a^n.A^{n-1} \pmod C \)
y como \( A \),\( C \) son coprimos, entonces \( C \mid a^n=A.q \), como \( A \neq 1 \) entonces \( A \) y \( C \) tienen que tener factores comunes y contradice que \( A \)\( ,C \) sean coprimos?

Voy a modificar el enunciado del Lema 3.4.1.
Gracias 1/0 !!!
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Octubre, 2011, 04:27 pm
Hola

 Que \( C \) divida a \( A\cdot q \) no quiere decir que \( C \) y \( A \) tengan factores comunes:

 \( 5|4\cdot 15 \) \( (C=5,\quad A=4,\quad q=15). \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 20 Octubre, 2011, 03:42 pm
Hola,
después de ver tu comentario me he dado cuenta que , aunque estaba bien escrito, estaba leyendo en todo momento \(  C =A.q \)  :banghead:
He estado viendo para el Corolario 1, que si \( A \mid a^n \) podemos poner \( A.q=a^n \) que sustituimos en
\( a^n.C^n=(A.C.k)^n-2.A.C.k.a^n-a^n.A^n \)
y dividimos por \( A \):
\( q.C^n=A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1} \Rightarrow \)
\( 2.C.k.a^n+a^n.A^{n-1}=A^{n-1}.(C.k)^n-q.C^n \Rightarrow \)
\( a^n(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q) \)    (*)
Tenemos tres opciones:

1) \( q \) tiene divisor común con \( A \) y no con \( C \), y recordamos \( A \) y \( C \) coprimos.
En (*)  trabajamos módulo \( C \),
\( a^n.A^{n-1}=q.A^n \equiv 0 \pmod C \)
que no puede darse ya que \( q \) y \( A \) no tienen factor común con \( C \).
Nota: Si \( q \) no tiene factor común ni con \( A \) ni con \( C \) podemos utilizar este mismo argumento.

2) \( q \) tiene factor común con \( C \) y no con \( A \).
En (*) trabajamos módulo \( A \)
\( A.q(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q) \Rightarrow \)
\( 0\equiv -C^n.q \pmod A \)
que no puede darse ya que \( q \) y \( C \) no tienen factor común con \( A \).

3) \( q \) tiene factores comunes distintos con \( A \) y \( C \), (no común entre ellos ya que \( A \) y \( C \) son coprimos).
Sea \( u \) el factor común de \( A \) y \( q \), y \( a^n=(s.u.t)^n = A.q = s^n.u^{n-m}.t^n.u^m \)
con \( A= s^n.u^{n-m} \), \( q=t^n.u^m \), \( n > m\geq 1 \)
y \( t \) factor común de \( q \) y \( C=t.w \)
En (*)
\( a^n(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q)\Rightarrow  \)
\( A.q(2.C.k+A^{n-1})=C^n.A^{n-1}.k^n-q.C^n  \)    (**)
como \( q =t^n.u^m \mid C^n.A^{n-1}=(t.w)^n.(s^n.u^{n-m})^{n-1}=q.w^n.s^{n.(n-1)}.u^{(n-m).(n-1)-m} \)
si llamamos \( Q=w^n.s^{n.(n-1)}.u^{n^2-m.n-n} \)
escribimos entonces
\( C^n.A^{n-1}=q.Q \)
y sustituimos en (**)
\( A.q(2.C.k+A^{n-1})=q.Q-q.C^n \)
dividimos por \( q \)
\( A(2.C.k+A^{n-1})=Q-C^n \)
y trabajando módulo \( u \) donde \( u \mid A \) y \( u \mid Q \) nos queda
\( 0\equiv -C^n \pmod u \)
que no puede darse ya que \( u \) no es un factor de \( C \).

¿Esto terminaría de probar el Corolario 1?
Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Octubre, 2011, 04:24 pm
Hola

 El caso (3) está escrito de manera confusa. No está claro a que estás llamando "el factor común" \( u \)" de \( A \) y \( q \). Si suponemos que \( u=m.c.d(A,q) \) (que parecería en un principio la interpretación más lógica) no es cierto que, si \( a^n=Aq \) entonces \( u \) tenga que ser factor de \( a \) y tampoco \( A,q \) se escribirían como dices.

 Parece que te refieres a otra cosa pero no se a que. Por ejemplo, si \( a=6^5,\quad A=2^2\cdot 3^3, q=2^3\cdot 3^2 \). ¿Qué sería \( u \)?.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 20 Octubre, 2011, 05:44 pm
Hola,
lo que quiero ver para \( n=5 \) es:
\( a^5=3^5\cdot2^5= 2^3\cdot3^5\cdot2^2 \)
con \( A=2^3 \) y \( q=3^5\cdot2^2 \). Y con \( C=3 \).
Tenemos que \( u=2 \) y \( t=3 \) son divisores de \( A \) y \( C \) respectivamente y \( u=2 \) y \( t=3 \) son divisores también de \( q \).
Ahora sustituyendo en
\( a^n(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q) \)
nos queda
\( (3\cdot2)^5(2\cdot3.k+(2^3)^{4})=3^5\cdot((2^3)^4.k^4-3^5\cdot2^2) \)
diviendo por \( q=3^5\cdot2^2 \) nos queda
\( 2^3(2\cdot3.k+(2^3)^4)=((2^{3\cdot4-2}.k^5-3^5) \)
si vemos estas igualdades módulo \( u=2 \) nos queda
\( 0 \equiv -3^5 \pmod 2 \)
que no es cierto.
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Octubre, 2011, 05:48 pm
Hola

lo que quiero ver para \( n=5 \) es:
\( a^5=3^5\cdot2^5= 2^3\cdot3^5\cdot2^2 \)
con \( A=2^3 \) y \( q=3^5\cdot2^2 \).

¡Pero has cambiado mi ejemplo! Yo he tomado \( A=2^3\cdot 3^2 \) y \( q=3^3\cdot 2^2 \) y quiero que sea ahí dónde me aclares a que llamas \( u \). Insisto en que tal como lo has escrito no se entiende que denotas por \( u. \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 20 Octubre, 2011, 06:02 pm
Hola,
lo que quiero decir en (3) (ya lo he modificado más arriba en la respuesta #22) es que el caso donde \( q \) tiene factores comunes distintos con \( A \) y \( C \), (no común entre \( A \) y \( C \) que son coprimos), no puede darse.
Y en tu ejemplo me falta un divisor común de \( q \) y de \( C \) que lo llamo \( t \).
El factor común de \( q \) y de \( A \) en tu ejemplo valdría el 2 o el 3, pero me falta añadir lo que comento en la línea anterior.
Muchas gracias!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 21 Octubre, 2011, 10:30 am
Hola

 Entonces interpreto que \( u \) es un factor común primo de \( A,q \).

 (¿Por qué primo?, porque en otro caso no podemos afirmar que \( u^n \) divida a \( a^n \). En mi ejemplo tomando \( u=2^2\cdot 3^2 \), no es cierto que \( u^5 \) divida a \( a^5=6^5 \).)

 E interpreto que \( t \) es un factor común primo de \( C,q \).

 Pero entonces es falso que necesariamente podamos escribir \( q=t^n\cdot u^m \), porque \( q \) podría tener otros factores adicionales.

 Entonces para evitar estos problemas en tu demostración de (3), escribe claramente (más allá de ejemplos) como se elige el factor \( u \) y \( t \), de manera que de ahí pueda afirmarse con toda generalidad que las expresiones de \( a^n,A,q,C \) se pueden factorizar como indicas.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 19 Noviembre, 2011, 12:05 am
Hola,
previo a la demostración del Corolario 1 del documento tenía:
\( E.a=A.C.k \)
pero \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos, entonces \( a=A.C \) y \( E=k \)
luego
\( (A^n+C^n+A.C.k)^n=(A^n+A.C.k)^n+(C^n+A.C.k)^n \) lo podemos poner como
\( (A^n+C^n+A.C.E)^n=(A^n+A.C.E)^n+(C^n+A.C.E)^n \)

Luego en el Corolario 2 se ve también que:
\( n.E.a=A.C.k \)
luego \( k=n.E \) y \( a=A.C \) ya que  \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos y \( n  \) no es factor de ninguno de ellos. Con esto se llega a
\( n^{n-1}.E^n=A^n+2.n.A.C.E.+C^n \)

y para el Corolario 3 se ve también que:
\( E.a=n.A.C.k \)
luego \( k=E \) y \( a=n.A.C \) ya que  \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos y \( n  \) no es factor de ninguno de ellos. Y con esto se llega a
\( E^n=n^{n-1}.A^n+2.n.A.C.E+C^n \)

En cada uno de los resultados anteriores a los que se llega en cada Corolario creo haber encontrado una contradicción para cada caso y con esto probar que
\( z^n=x^n-y^n \)
no tiene solución para números enteros.

El nuevo documento completo donde se incluyen estos resultados se encuentra en:
http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/

y como siempre, agradeceré cualquier comentario y opinión...
Muchas gracias!!




Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Noviembre, 2011, 06:19 pm
Hola

previo a la demostración del Corolario 1 del documento tenía:
\( E.a=A.C.k \)
pero \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos, entonces \( a=A.C \) y \( E=k \)

Bueno, comencé a leer y... ya encontré la primera crítica.  ;)

Lo que cito arriba es falso:

\( \underbrace{9}_E\cdot \underbrace{70}_{a}=\underbrace{2}_{A}\cdot \underbrace{7}_{C}\cdot \underbrace{45}_{k} \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 02 Diciembre, 2011, 01:47 am
Hola el_manco,
para justificar los resultados de mi mensaje anterior y evitar el error que comentas, he necesitado de 3 nuevos Lemas (Lema 6.2, Lema 7.2 y Lema 8.4) y por lo tanto he tenido que modificar los 3 Corolarios del documento para llegar, en cada uno de ellos, a la contradicción que creo haber encontrado.
Esta nueva versión se encuentra en http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/9/1/1/
¡¡¡¡¡Muchas gracias!!!!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Diciembre, 2011, 10:31 am
Hola

 Página 9; demostración del Lema 6.2:

 Partiendo de que \( Ck=Ek_1 \) y del hecho de que \( C,E \) son coprimos concluyes que \( E=k \). ¡Exactamente el mismo error de antes!.

 Prácticamente el mismo contraejemplo lo desmiente:

\( \underbrace{9}_E\cdot \underbrace{70}_{k_1}=\underbrace{7}_{C}\cdot \underbrace{90}_{k} \)

 Comienzas afirmando que de la igualdad inicial y de la coprimalidad de \( C,E \) se deduce que \( k|E \) y \( k_1|C \). Eso ya es falso, como se ve en el ejemplo.

 Aureodd: creo que deberías de parar un momento, respirar profundamente, partir de cero, y revisar tu trabajo de nuevo con el mayor espíritu crítico. Me gustaría que en esa revisión, te decidieses a escribir tus ideas para el caso \( n=3 \). Estoy seguro de que al menos el trabajo se reduce a la mitad. Facilitarías la lectura del mismo a terceros, y además también sería más sencillo el encontrar posibles errores, no sólo para los demás, sino para ti mismo.

 Reconozco que a estas alturas, empieza a costarme entender el empecinamiento en no detenerse primero en ese caso particular. Parece que se huye de la sencillez y de la claridad, como si el "ruido" de escribir las cosas arrastrando un \( n \) general, diese más pomposidad o más validez a los resultados.
 
 Otra cosa más, desde hace unos días estoy algo apartado del foro y seguiré así durante un par de meses, así que probablemente no vuelva a contestar hasta entonces. Lo he hecho ahora por deferencia a ti  y al debate que mantenemos.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 02 Diciembre, 2011, 10:44 am
Hola el_manco,
Citar
creo que deberías de parar un momento, respirar profundamente, partir de cero, y revisar tu trabajo de nuevo con el mayor espíritu crítico. Me gustaría que en esa revisión, te decidieses a escribir tus ideas para el caso \( n=3 \).
yo también lo creo... intentaré seguir tus consejos. gracias!!
Citar
desde hace unos días estoy algo apartado del foro y seguiré así durante un par de meses, así que probablemente no vuelva a contestar hasta entonces. Lo he hecho ahora por deferencia a ti  y al debate que mantenemos.
muchas gracias!! Estoy seguro que todos los que visitan el foro te echarán de menos, y yo particularmente. Espero que te vaya bien en estos meses y que vuelvas pronto.
Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Marzo, 2012, 12:15 pm
Hola el_manco,
creo haber encontrado para \( n>3 \) que si \( g^n-p^n-r^n=2.n.p.q.r \) no tiene solución para números naturales con \( p \), \( q \) y  \( r \) coprimos positivos, entonces el término general del UTF, \( x^n=y^n+z^n \) tampoco tiene solución.
Para ver por ejemplo para \( n=5 \) que \( q^5-p^5-r^5=2.5.p.q.r \) (*) no tiene solución para números naturales, es fácil verificar que
\( (p+r)^5-p^5-r^5>2.5.p.(p+r).r \)
luego \( q<p+r \) que es lo mismo que poner  \( q=p+r-u \) para algún \( u \)
que sustituyendo en (*) nos queda
\( (p+r-u)^5-p^5-r^5=2.5.p.(p+r-u).r \)
haciendo el desarrollo se puede ver que \( u \) tiene que ser de la forma \( u=5.p.r.k \) para algún \( k>0 \) luego
\( (p+r-5.p.r.k)^5 -p^5-r^5=2.5.p.(p+r-5.p.r.k).r \)
pero  \( q=p+r-5.p.r.k <0 \). ¿Esto contradice realmente que  \( q^5-p^5-r^5=2.5.p.q.r \) no tiene solución para números naturales?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Marzo, 2012, 12:30 pm
Hola

 mmm.... alcárame este paso:

\( (p+r-u)^5-p^5-r^n=2.5.p.(p+r-u).r \)
haciendo el desarrollo se puede ver que \( u \) tiene que ser de la forma \( u=5.p.r.k \) para algún \( k>0 \) luego

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Marzo, 2012, 08:17 pm
Hola,
además de tener que \( p \), \( q \) y \( r \) son coprimos, olvidé añadir también la hipótesis que \( p \), \( q \) y \( r \) no son múltiplos de \( 5 \).
Quiero probar que
\( u=5.p.r.k \) en la siguiente igualdad:
\( (p+r-u)^5-p^5-r^5=2.5.p.(p+r-u).r \) (1)
si llamo
\( r-u=t \) y sustituyo en (1)
\( (p+t)^5-p^5-r^5=2.5.p.(p+t).r \) (2)
Para que la parte izquierda de la igualdad en (2) sea múltiplo de \( 5 \), utilizamos el PTF  y nos queda que
\( t-r \equiv 0 \mod 5  \)
entonces \( r-5.k=t \) (3) y \( u \) es múltiplo de \( 5 \) (No utilizo \( r+5.k=t \) ya que hace que en (2) la parte izquierda de la igualdad sea mayor que la derecha)
Ahora para que la parte izquierda de la igualdad en (2) sea múltiplo de \( p \),
se tiene que dar que
\( t^5-r^5 \equiv 0 \mod p  \)
sustituimos el valor que tenemos de \( t \) en (3)
\( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \)
y como \( p \) y \( q \) son coprimos no múltiplos de \( 5 \), entonces \( k \) tiene que ser múltiplo de \( p \).
Luego \( u \) también es múltiplo de \( p \).
Se puede utilizar el mismo argumento para ver que \( u \) es múltiplo de \( r \).
Luego
\( (p+r-5.p.r.k)^5 -p^5-r^5=2.5.p.(p+r-5.p.r.k).r \)

¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Marzo, 2012, 10:25 am
Hola

Ahora para que la parte izquierda de la igualdad en (2) sea múltiplo de \( p \),
se tiene que dar que
\( t^5-r^5 \equiv 0 \mod p  \)
sustituimos el valor que tenemos de \( t \) en (3)
\( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \)
y como \( p \) y \( q \) son coprimos no múltiplos de \( 5 \), entonces \( k \) tiene que ser múltiplo de \( p \).

Esto no lo veo claro. ¿Cómo deduces de \( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \) que \( k \) es múltiplo de \( p \)?.

Nota que NO es cierto que \( a^5\equiv 1\quad mod\quad p \quad \Rightarrow{}\quad a=1. \)

Por ejemplo \( 16^5\equiv 1\quad mod\quad 11 \). De ahí si tomamos \( p=11 \), \( r\equiv 1 \) mod \( 11 \), \( k\equiv -3  \) mod \( 11 \), se tiene que:

\( (r-5.k)^5-r^5\equiv (1+15)^5-1^5\equiv 16^5-1^5=0 \mod p  \)

pero sin embargo \( k\neq 0 \) mod \( p \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 15 Marzo, 2012, 12:06 pm
Hola,
sí, el error lo he cometido al hacer el desarrollo de \( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \)
\( \cancel{r^5}-5r^4(5.k)+10r^3.(5k)^2-10r^2.(5k)^3+5r.(5k)^4-(5k)^5-\cancel{r^5}\equiv 0 \mod p  \)
y de aquí deducir que como todos los términos son múltiplos de \( k \) entonces \( k \) es múltiplo de \( p \).
Muchas gracias por la respuesta y por el ejemplo.
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 04 Abril, 2012, 09:50 am
Hola,
si no me he equivocado con los cálculos previos, estoy buscando soluciones a la siguiente ecuación
\( q.k_1-p.k_2-r.k_3 = 2.p.q.r \)
con \( q \), \( p \) y \( r \) coprimos, enteros positivos, y
\( k_1 \), \( k_2 \) y \( k_3 \) también enteros positivos.
Son soluciones por ejemplo
\( k_1=4.p.r \) , \( k_2=q.r \) , \( k_3=q.p \)
\( k_1=5.p.r \) , \( k_2=2.q.r \) , \( k_3=q.p \)
\( k_1=5.p.r \) , \( k_2=q.r \) , \( k_3=2.q.p \)
. . .

¿Como puedo encontrar todas las soluciones a esa ecuación bajo esas condiciones?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Abril, 2012, 10:46 am
Hola

 La solución general de:

\(  qk_1-pk_2-rk_3=2pqr \)

 puede obtenerse escribiendo la ecuación como:

\(  qk_1-pk_2=rk_3+2pqr \)

 y usando el método aquí descrito.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,26781.0.html

 Tal solución general se descompone una solución particular más la solución general de la homogéna asociada:

\(  qk_1-pk_2-rk_3=0 \)

 La solución general de esta última (hallada igualmente por el método descrito en el enlace es):

\(  (k_1,k_2,k_3)=t(a_1r,a_2r,1)+s(p,q,0) \)

 con \( s,t\in Z \) y \( a_1,a_2 \) tales que \( pa_1-qa_2=1 \).

 Por tanto la solución general de tu ecuación (usando alguna de tus soluciones particulares queda):

\(  (k_1,k_2,k_3)=(4pr,qr,qp)+t(a_1r,a_2r,1)+s(p,q,0) \)

 con \( s,t\in Z \) y \( a_1,a_2 \) tales que \( pa_1-qa_2=1 \).

 Nota que esas son todas las condiciones enteras; si quieres las naturales debes de imponer \( k_1,k_2,k_3>0 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 10 Abril, 2012, 04:18 pm
Hola el_manco,
como puedo encontrar las soluciones positivas de \( a_1 \) , \( a_2 \) con \( q>p \)
de \( q.a_1-p.a_2=1 \)?
Por ejemplo para
\( q=101 \) y \( p=97 \) utilizo el algoritmo de Euclides y obtengo
\( 25\cdot97-24\cdot101=1 \)
Necesitaría los valores positivos de \( a_1 \) , \( a_2 \) en
\( 101.a_1-97.a_2=1 \)
Como puedo encontrarlos?
Muchas gracias
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Abril, 2012, 05:16 pm
Hola

 La solución general en los enteros de una ecuación del tipo:

\(  qa_1-pa_2=1 \)

 es de la forma:

\(  (a_1,a_2)=(b_1,b_2)+k(p,q) \)

 siendo \( (b_1,b_2) \) una solución particular obtenida mediante el algorimo de Euclides.

 Sobre esa solución puedes imponer las condiciones que quieras para seleccionar las soluciones que te interesen. Por ejemplo si impones \( a_1,a_2 \) tienes que resolver el sistema de inecuaciones:

\(  b_1+kp>0,\qquad b_2+kq>0 \)

 En tu ejemplo la solución general en los enteros de \( 101a_1-97a_2=1 \) es:

\(  (a_1,a_2)=(-24,-25)+k(97,101) \)
 
 Si imponemos \( a_1,a_2>0  \) tenemos que:

\(  -24+97k>0\quad \Leftrightarrow{}\quad k>\dfrac{24}{97} \)

\(  -25+101k>0\quad \Leftrightarrow{}\quad k>\dfrac{25}{101} \)

 Por tanto todas las soluciones positivas enteras se obtienen como:

\(  (a_1,a_2)=(-24,-25)+k(97,101) \) con \( k\geq 1 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 23 Abril, 2012, 11:30 am
Hola,
estoy queriendo probar que la siguiente ecuación
\( q^n-p^n-r^n=2.n.p.q.r \) (*) no tiene solución para números naturales con \( p \), \( q \) y  \( r \) coprimos positivos, no múltiplos de \( n \).

Para la siguiente ecuación (no es la misma que (*) ) 
\( q^n-p^n-r^n=n.p.q.r \) (**) existen soluciones cuando \( p+r=q \)
P.ej. para \( n=3 \),
\( 11^3-7^3-4^3=3\cdot11\cdot7\cdot4 \)
Se puede asegurar que estas son las únicas soluciones para (**)?
No se cumple p.ej
\( 11^3-7^3-5^3=863 \) que es primo

Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Abril, 2012, 12:48 pm
Hola

 Si es cierto que las únicas soluciones enteras de:

\(  q^3-p^3-r^3=3pqr \)

 son aquellas en las que \( q=p+r \). Para ello y utilizando análisis (derivadas, máximos y mínimos) basta comprobar que la función:

\(  f(x)=x^3-p^3-r^3-3prx \)

 tiene una única ráiz positiva.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 23 Abril, 2012, 01:17 pm
Hola,
Si es cierto que las únicas soluciones enteras de:

\(  q^3-p^3-r^3=3pqr \)

 son aquellas en las que \( q=p+r \). Para ello y utilizando análisis (derivadas, máximos y mínimos) basta comprobar que la función:

\(  f(x)=x^3-p^3-r^3-3prx \)

 tiene una única ráiz positiva.

¿Luego es cierto también para el caso general \(  q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?
¿Y se podría utilizar de algún modo para probar que la primera ecuación \(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) (*) no tiene solución?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Abril, 2012, 04:50 pm
Hola

¿Luego es cierto también para el caso general \(  q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?

Es que para \( n>3 \), \( q=p+r \) nunca es solución de la ecuación. Lo que puede probarse tomando \( f(x)=x^n-p^n-r^n-nprx \), es que la ecuación \( f(x)=0 \) tiene una única solución positiva. Lo que no está tan claro es si puede ser entera.

Citar
¿Y se podría utilizar de algún modo para probar que la primera ecuación \(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) (*) no tiene solución?


Exactamente lo mismo de antes. Analítcamente se prueba que fijados \( p,r \) la solución es única. ¿Entera?. Eso es otra historia.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 23 Abril, 2012, 05:51 pm
Hola

¿Luego es cierto también para el caso general \(  q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?
Es que para \( n>3 \), \( q=p+r \) nunca es solución de la ecuación. Lo que puede probarse tomando \( f(x)=x^n-p^n-r^n-nprx \), es que la ecuación \( f(x)=0 \) tiene una única solución positiva. Lo que no está tan claro es si puede ser entera.

Sí, ha sido un lapsus. Quería decir  y he omitido que
para \( n>3 \), y \( q=p+r \)
\(  q^n-p^n-r^n \equiv 0 \mod (npqr) \)
de hecho con \( q=p+r \) 
\(  q^n-p^n-r^n > npqr \)
lo que busco entonces es que \( q < p+r \). Bajo estas condiciones:
1) \( q < p+r \)
2) \( p, q, r \) coprimos no múltiplos de \( n \)
No es trivial entonces probar que
\(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) no tiene soluciones enteras?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Abril, 2012, 06:13 pm
Hola

No es trivial entonces probar que
\(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) no tiene soluciones enteras?

No me atrevo a afirma que no sea trivial.  ;)

A mi no se me ocurre una forma trivial ni no trivial (pero rápida) de probarlo.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Mayo, 2012, 04:55 pm
Hola,
como sumario de todo el desarrollo hecho en este Asunto, he llegado a las siguientes conclusiones y equivalencias con el UTF \( x^n=y^n+z^n \).

Lo que quisiera demostrar es que no puede darse para
\( p,q,r \) coprimos no múltiplos de \( n \) y \( n \) primo (*):

I) \( (p^n+r^n+npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)
con
\( x^n=(p^n+r^n+npqr)^n \)
\( y^n=(p^n+npqr)^n \)
\( z^n=(r^n+npqr)^n \)

También he encontrado otra equivalencia con el siguiente resultado:
II) \( (q^n-npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)

ahora si utilizo I) en II)
\( (p^n+r^n+npqr)^n=(q^n-npqr)^n \)
obtengo el resultado en III)

III) \( q^n= p^n+r^n+2npqr \)

Probando que I) o II) no tiene soluciones naturales con las condiciones de (*) probaría que el UTF tampoco las tiene. Me temo que esta prueba sea tan "imposible" como intentar la prueba del término general del UTF \( x^n=y^n+z^n \).

Probando que III) tampoco puede darse con las condiciones de (*) se llegaría a una contradicción y probaría también que el UTF tampoco las tiene. Sin embargo, encontrando soluciones a III) no se probaría nada (o quizás sí, si con esas soluciones se puede llegar a una contradicción en I) o II))

Agredecería cualquier idea, o mucho más cualquier prueba de que I), II) o III) no tienen solución.  ;)
Muchas gracias!
Saludos

 

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Mayo, 2012, 05:13 pm
Hola

 A mi no se me ocurre nada. Sólo dos observaciones:

 I) ¿Qué te hace pensar que va a ser más fácil probar la imposibilidad de esas ecuaciones que de la original de Fermat? (pregunta que tu mismo te haces, creo).

 II) En esto soy reiterativo: en cualquier caso intenta centrar tus esfuerzos en el caso \( n=3 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 15 Mayo, 2012, 02:22 am
Hola,
teniendo en cuenta que
\( p,q,r \) coprimos no múltiplos de \( n \) y \( n \) primo (*)
quiero probar
I) \( (p^n+r^n+npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)
con
\( x^n=(p^n+r^n+npqr)^n \)
\( y^n=(p^n+npqr)^n \)
\( z^n=(r^n+npqr)^n \)

no tiene soluciones enteras para \( n=3 \).

\( (p^3+r^3+3pqr)^3=(p^3+3pqr)^3+(r^3+3pqr)^3 \)
lo podemos escribir como
\( (a+b+c)^3=(a+c)^3+(b+c)^3 \) con  \( a=p^3 \) , \( b=r^3 \) , \( c=3pqr \)
Haciendo el desarrollo nos queda
\( 3a^2((b+c)-c)+3a((b+c)^2-c^2)=c^3 \Rightarrow 3ab[a+b+c+c]=c^3 \Rightarrow \)
\( 3ab(a+b+2c)=c^3 \Rightarrow 3p^3r^3(p^3+r^3+2\cdot3pqr)=3^3.p^3q^3r^3\Rightarrow \)
\( p^3+r^3+2\cdot3pqr=3^2q^3 \Rightarrow p^3+r^3=3^2q^3-2\cdot3pqr \) (1)
y esto implica que \( p^3+r^3 \) sea múltiplo de \( 3 \), luego \( p+r \) también es múltiplo de \( 3 \). Sea \( p+r=3k \) para algún \( k \).
Por otro lado podemos escribir
\( (p^3+r^3)-(p+r)^3=3pr(p+r)B(p,r) \) para algún \( B(p,r) \)
\( (p^3+r^3)=3pr(p+r)B(p,r)+(p+r)^3 \) (2)
Sustituyendo (1) en (2) y \( p+r=3k \)
\( 3^2q^3-2\cdot3pqr=3pr(3k)B(p,r)+(3k)^3 \)
Todos los términos son múltipos de \( 3^2 \) excepto \( 2\cdot3pqr \). Luego esta igualdad no puede darse. Con las hipótesis de las que partiamos se llega efectivamente a una contradicción para el caso \( n=3 \)?
Aún siendo correcto, creo que el mismo desarrollo no sirve para \( n>3 \)
...
Muchas gracias!!
Saludos



Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Mayo, 2012, 06:36 pm
Hola

 Creo que está bien. Entiendo que afirmas entonces que tienes una demostración del Teorema de Fermat para \( n=3 \). Si es así, yo, escépico, no me lo creo. Es decir pienso que tienes algún error.

 Escribéla completa. Pero por favor, para el caso \( n=3 \).

 Creo que no das suficientemente valor al hecho de encontrar una demostración de ese caso. No se conoce ninguna demostración del caso \( n=3 \), con matemáticas razonablemente elementales. Entonces si efectivamente la has encontrado tiene un gran valor. Como poco, sería publicable en una revista de matemáticas de primer nivel.

Saludos.

P.D. Continuamente tienes en tu cabeza el caso general. En serio, dedica unas horas de tu vida al caso n=3. Se nota que siempre estás pensando en la generalidad cuando escribes cosas como:

\( (p^3+r^3)-(p+r)^3=3pr(p+r)B(p,r) \) para algún \( B(p,r) \)

En realidad sin más que hacer cuentas:

\( (p^3+r^3)-(p+r)^3=-3pr(p+r) \)

... más sencillo... más claro... más bonito  ;)

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 16 Mayo, 2012, 01:32 pm
Hola el_manco,
ya he subido el documento para \( n=3 \)
http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/
Creo que ya habías revisado gran parte del documento para el término general. Lo nuevo de esta última versión para \( n=3 \) es el Lema 3.3 y el Lema 6
Espero como siempre tus comentarios.
Muchas gracias!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Mayo, 2012, 09:49 am
Hola

 No tengo tiempo de escribir todos los comentarios que he anotado (lo haré en otro momento). Pero de momento vamos con las críticas más troncales.

 En el Lema 4.1 no entiendo porque no podría darse que:

\(  (y+z)=3^mE^3,\qquad R(x,y)=3F^3 \)

 con \( 2m+1 \) múltipo de tres.

 En la demostración tu partes de suponer que si \( (y+z)=3^mE^3 \) entonces \( R(x,y)=3^{3-m}F^3 \). Pero en esa suposición ya estás obviando la posibilida de que:

\( (y+z)=3^mE^3 \)

\( R(x,y)=3^{\color{red}3N\color{black}-m}F^3 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 18 Mayo, 2012, 01:46 pm
Hola el_manco,
creo que tienes razón cuando dices
En la demostración tu partes de suponer que si \( (y+z)=3^mE^3 \) entonces \( R(x,y)=3^{3-m}F^3 \). Pero en esa suposición ya estás obviando la posibilida de que:

\( (y+z)=3^mE^3 \)

\( R(x,y)=3^{\color{red}3N\color{black}-m}F^3 \).

Creo que no hay problema en modificar el Lema 4.1 y el resto del doc. sustituyendo donde pone
\( R(x,y)=3^2F^3 \).
por
\( R(x,y)=3^{\color{red}3N\color{black}-m}F^3 \).
sin alterar la conclusión final.
El Lema 4.1 con este cambio estaría entonces correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Mayo, 2012, 03:01 pm
Hola

 Si, el lema 4.1 estaría correcto. Pero el problema es que con ese cambio, se estropea el razonamiento del Lema 6, que es la clave de todo.

 Allí el término \( 3pqr \) pasaría a \( 3^{\frac{2m+1}{3}} \) y el término \( 3^2p^3 \) pasaría a \( 3^{2m}p^3 \).

 Esto hace desaparecer la contradicción con la que concluye la prueba del Lema 6.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 18 Mayo, 2012, 04:57 pm
Hola,
estaba revisando el doc. y en la pag. 4 aparece
\( (x-y)(y-b)M=3^2.k^3 \)
luego
\( (x-y) \), \( (y-b)=(x-z) \), (*)
en caso de ser múltiplos de alguna potencia de \( 3 \), como mucho sería de \( 3^2 \)?
Luego modificando el enunciado del Lema 4.1 sería correcta la prueba de este lema? O quizás no sería necesario incluirlo en el doc. y bastaría con un proposición equivalente utilzando el argumento anterior?

(*) No esta incluido en el doc. pero lo mismo valdría para \( (y+z) \).
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Mayo, 2012, 09:25 pm
Hola

 Pero es que en esa página no se dice, ni se utiliza, ni se necesita, que \( k \) no sea divisible por tres.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Mayo, 2012, 09:57 pm
Hola

 Voy a tratar de escribir como reformulo yo tu trabajo y cómo la mayoría de tus demostraciones son así inmediatas. Excepto la del Lema 6, que es la que falla.

 En primer lugar es cómodo escribir la ecuación de Fermat como \( x^3+y^3+z^3=0 \) en lugar de la manera clásica, permitiendo que las variables sean negativas. Esto evita tener que repetir argumentos para tus tres términos \( (x-y),(x-z)=(y-b),M=(y+z) \) que ahora con mi notación son simplemente \( (x+y),(x+z),(y+z) \). De forma que por simetría lo que probemos para uno, queda probado para los demás.

 Entonces sean \( x,y,z \) tres enteros coprimos dos a dos verificando \( x^3+y^3+z^3=0. \)

 1) \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \)

 Prueba: Basta tener en cuenta que, \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \) y usar que estamos bajo el supuesto de que los tres números cumplen la ecuación de Fermat.

 2) \( (x+y),(x+z),(y+z) \) son coprimos dos a dos.

 Prueba: Basta tener en cuenta que por (1) cualquier divisor primo de uno de esos términos lo es de \( (x+y+z) \). Entonces si \( x+y,x+z \) son divisibles por \( p \),

 \( z=(x+y+z)-(x+y) \) divisible por \( p \)
 \( y=(x+y+z)-(x+z) \) divisible por \( p \)

 Pero \( z,y \) son coprimos: contradicción.

 3) Uno y sólo uno de los términos \( (x+y),(x+z),(y+z) \) es divisible por \( 3 \) (supondremos sin pérdida de generalidad, a partir de ahora, que tal término es \( y+z \)).

 Prueba: Por (1), (\( x+y+z) \) es divisible por \( 3 \) y por tanto \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \) divisible por \( 3^3 \). Por tanto efecivamente alguno de los términos es divisible por tres. La unicidad es consecuencia de (2).

 4) \( (y+z)=3^mE^3 \) con \( mcd(E,3)=1 \) y \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).

 Prueba: Se tiene que \(  -x^3=y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2)  \). Como \( (y+z) \) es múltiplo de tres, también lo es \( x \). Como \( x,y,z \) son coprimos, \( y,z \) no son divsibles por tres. Por tanto:

\( (y+z)=3^mE^3,\qquad (y^2-yz+z^2)=3^{3k-m}F^3 \) con \( mcd(E,3)=mcd(F,3)=1 \).

 Pero: \( 3yz=(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)=3^{2m}E^6-3^{3k-m}F^3 \). Como \( y,z \) no son divisibles por tres necesariamente \( 3k-m=1 \), es decir, \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).

 5) Existen enteros \( p,q,r  \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
 
\( y+z=3^mp^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
\( x+y=q^3\quad x+z=r^3\quad x+y+z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)

 Prueba: Basta aplicar (2),(3),(4) a (1)

 6) Existen enteros \( p,q,r  \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:

\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)

 Prueba: Basta tener en cuenta que por (5):

\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
\(  x+y=q^3 \)

 

 En tu Lema 6 pruebas que no existen números en las condiciones de (6) para \( m=2 \). Si lo probases para cualquier  \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \), tendrías la prueba que buscas.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 20 Mayo, 2012, 10:02 pm
Hola
Hola

 Voy a tratar de escribir como reformulo yo tu trabajo y cómo la mayoría de tus demostraciones son así inmediatas. Excepto la del Lema 6, que es la que falla.

Aunque me resulta "complicado" adaptarme a tu cambio de notación, me parece absolutamente genial la simplicidad con la que has reformulado todo el trabajo.
Lo revisaré con detalle...

 En tu Lema 6 pruebas que no existen números en las condiciones de (6) para \( m=2 \). Si lo probases para cualquier  \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \), tendrías la prueba que buscas.

Saludos.
... y pensaré el caso para  \( m\equiv 2 \pmod 3  \)
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 24 Mayo, 2012, 12:14 am
Hola el_manco,
si teníamos
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \)
lo podemos escribir como
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{j-1}pqr-3^{2j-1}p^3 \) (1)
para \( j>1 \) y \( j\in \mathbb{N} \)
luego \( q^3+r^3\equiv0\pmod3 \Rightarrow q+r\equiv0\pmod3 \)
Entonces \( q^3+r^3=(q+r)(q^2-qr+r^2) \equiv0\pmod{3^k} \) únicamente si \( k=2 \)
y podemos poner
\( q^3+r^3=3^2t=2\cdot 3^{j-1}pqr-3^{2j-1}p^3 \) para algún \( t \)
Y esta igualdad no puede darse para \( j=2,4,5,... \)
Si es correcto, sólo quedaría probar que (1) no puede darse para \( j=3 \)?
Muchas gracias!!
Saludos
 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Mayo, 2012, 10:12 am
Hola

 Dos problemas:

 1) Aquí tienes una errata:

si teníamos
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \)
lo podemos escribir como
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{j-1}pqr-3^{2j-1}p^3 \) (1)
para \( j>1 \) y \( j\in \mathbb{N} \)

Si \( \dfrac{m+1}{3}=j-1 \) entonces \( m=\color{red}3\color{black}j+2 \)

2) Y aquí error repetido:

Citar
luego \( q^3+r^3\equiv0\pmod3 \Rightarrow q+r\equiv0\pmod3 \)
Entonces \( q^3+r^3=(q+r)(q^2-qr+r^2) \equiv0\pmod{3^k} \) únicamente si \( k=2 \)

O se me escapa algo, o lo que deduce es que \( q+r\equiv 0 \) mod \( 3^k \) con \( k\equiv 2 \) mod \( 3 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Mayo, 2012, 12:42 pm
Hola el_manco,
efectivamente hay una errata... pero volviendo a lo que teníamos:
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \Rightarrow  \)
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \) (I)
luego
\( q^3+r^3\equiv0\pmod{3^k} \) para algún \( k \)
y podemos escribir \( q^3+r^3 = 3^k.j \) para algún \( j \) no múltiplo de \( 3 \).
Nos queda (I) como
\( 3^k.j=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)

Si \(  k<\frac{m+1}{3}  \) entonces el lado izquierdo de la igualdad en (I) no es múltiplo  de 3 y el derecho si lo es. Luego esta situación no puede darse.
Si  \(  k>\frac{m+1}{3}  \) el lado izquierdo de la igualdad en (I) es múltiplo  de \( 3 \) y el derecho no lo es ya que \( p,q,r \) no son múltiplos de \( 3 \). Luego esta situación tampoco puede darse.

Buscamos entonces soluciones para \(  k=\frac{m+1}{3}  \).
Si 
\( q+r \equiv 0 \pmod 3 \)
y
\( q^3+r^3=(q+r)(q^2-qr+r^2) \)
\( (q^2-qr+r^2) \equiv 0 \pmod {3^s}  \) únicamente si \( s=1 \)
Luego
\( (q+r)=3^{k-1}t \) para algún \( t \)
Como también
[Corregido]
\( q^3+r^3=(q+r)^3-3qr \color{red}(q+r)\color{black}\Rightarrow q^3+r^3=(3^{k-1}t)^3-3qr(3^{k-1}t)  \)
Sustituyendo en (I)
\( (3^{k-1}t)^3-3qr(3^{k-1}t)=2\cdot 3^{k}pqr-3^{3k-1}p^3 \)
y dividiendo por \( 3^k \) nos queda
\( 3^{2k-3}t^3-qrt=2pqr-3^{2k-1}p^3 \Rightarrow  \) (II)
\( 3^{2k-3}t^3+3^{2k-1}p^3=2pqr+qrt=qr(2p+t)  \)
entonces \( 3^{2k-3}|(2p+t) \) luego
\( t=3^{2k-3}u-2p \) para algún \( u \)
Sutituyendo \( t \) en (II)
\( 3^{2k-3}(3^{2k-3}u-2p)^3-qr(3^{2k-3}u-2p)=2pqr-3^{2k-1}p^3 \)
y haciendo el desarrollo queda que todos los sumando son múltiplos de \( 3 \) excepto   
\( (2p)^3  \) ya que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \).
Sí es correcto esto contradice que para el caso \( n=3 \) el UTF es cierto?
Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Mayo, 2012, 01:03 pm
Hola

Hola el_manco,
efectivamente hay una errata... pero volviendo a lo que teníamos:
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \Rightarrow  \)
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \) (I)
luego
\( q^3+r^3\equiv0\pmod{3^k} \) para algún \( k \)
y podemos escribir \( q^3+r^3 = 3^k.j \) para algún \( j \) no múltiplo de \( 3 \).
Nos queda (I) como
\( 3^k.j=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)

Si \(  k<\frac{m+1}{3}  \) entonces el lado izquierdo de la igualdad en (I) no es múltiplo  de 3 y el derecho si lo es. Luego esta situación no puede darse.
Si  \(  k>\frac{m+1}{3}  \) el lado izquierdo de la igualdad en (I) es múltiplo  de \( 3 \) y el derecho no lo es ya que \( p,q,r \) no son múltiplos de \( 3 \). Luego esta situación tampoco puede darse.

Buscamos entonces soluciones para \(  k=\frac{m+1}{3}  \).

Correcto. Todo eso se sintetiza si aquí:

\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \) (I)

dices que llamarás \( \frac{m+1}{3}=k \) y por tanto:

\( q^3+r^3=2\cdot 3^{k}pqr-3^{3k-1}p^3=3^k(2pqr-3^{2k-1}p^3) \)

Pero donde me pierdo es aquí:

Citar
Como también
\( q^3+r^3=(q+r)^3-\color{red}3pr(p+r)\color{black} \Rightarrow q^3+r^3=(3^{k-1}t)^3-3pr(3^{k-1}t)  \)

¿No sería:

\( q^3+r^3=(q+r)^3-\color{red}3qr(q+r)\color{black} \) ?

(es decir \( q \) en lugar de \( p \)).

Saludos.

P.D. La otra noche tras poner el chupete a mi hija, me vino la luz y dos años después comprendí (entre otras cosas) creo que completamente tu nick.  ;)
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Mayo, 2012, 01:39 pm
Hola,
sí, ya lo he corregido, creo que no se me ha escapado nada y me parece que no afecta a la conclusión final...

PD. El nick? Ya lo utilicé en el cuento/acertijo matemático: C3PO, R2D2 y un reparto justo
http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/187/111/1/4/

Es curioso, como dices, como viene la luz de repente para cosas que ni siquiera se habían planteado de forma consciente...  :D
Esto me recuerda lo que le ocurrió a un lector de Pingüinos alrededor de un agujero (un clásico de la revista Cacumen)
 http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/93/111/1/0/
cuando leyó la siguiente nota:
"Los juegos de ingenio, son generalmente los más dificiles de resolver ya que no se podemos aplicar ningun conocimiento previamente adquirido, matematico, lógico, etc y nos tenemos que proveer de nuestra intuicion, memoria, suerte (?), ingenio...por eso, hay juegos que resolveremos en unos segundos, otros nos llevará meses  - como el de JASON"
y le "iluminó" la solución del de JASON ....

(*) El de JASON es otro clásico y dice: ¿Qué letra sigue a la serie J,A,S,O,N?

Disculpad la intromisión de este par de acertijos ;)

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Mayo, 2012, 04:52 pm
Hola

 Debí de darme cuenta que la errata no influía en el desarrollo. Perdona.

 Ahora esto:

Citar
\( 3^{2k-3}(3^{2k-3}u-2p)^3-qr(3^{2k-3}u-2p)=2pqr-3^{2k-1}p^3 \)
y haciendo el desarrollo queda que todos los sumando son múltiplos de \( 3 \) excepto   
\( (2p)^3  \) ya que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \).

 no lo veo. Queda:

\(  3^{2k-3}(3^{2k-3}u-2p)^3-3^{2k-3}qru=-3^{2k-1}p^3 \)

 Dividiendo por \( 3^{2k-3} \):

\(  (3^{2k-3}u-2p)^3-qru=-9p^3 \)

 Entonces al desarrollar quedará que \( -(2p)^3-qru \) tiene que ser múltiplo de tres.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Mayo, 2012, 05:58 pm
Hola,
sí, es correcto tu apunte. No me dí cuenta que faltaba dividir \(  3^{2k-3}qru \)
por \( 3^{2k-3} \).
muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 13 Junio, 2012, 11:02 am
Hola,
si teníamos
\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
Además
\(  z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-q^3 \)
Sustituyendo en los valores de \( x,y,z \) anteriores en el término general del UTF
\( x^3=y^3+z^3 \)
nos queda
\( (3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3)^3=(3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3)^3+(3^{\frac{m+1}{3}}pqr-p^3)^3 \) (I)

Por otro lado teníamos
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \Rightarrow  q^3+3^mp^3+r^3 =2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Luego
\( \frac{ q^3+3^mp^3+r^3}{2}=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Sustituyendo en (I) y multiplicando todo por \( 2^3 \)
\( (q^3+r^3-3^mp^3)^3=(q^3-r^3+3^mp^3)^3+(-q^3+r^3+3^mp^3)^3 \)
Tenemos entonces que si el UTF tiene solución para \( x^3=y^3+z^3 \)
también lo tiene para \( X^3=Y^3+Z^3 \)
con \( (\underbrace{q^3+r^3-3^mp^3}_X)^3=(\underbrace{q^3-r^3+3^mp^3}_Y)^3+(\underbrace{-q^3+r^3+3^mp^3}_Z)^3 \)
luego \( Y+Z=2\cdot3^mp^3 \) es múltiplo de \( 3 \) (II)
pero en un resultado previo vimos que si \( Y,Z \) son soluciones del UTF e \( Y+Z \) son múltiplos de \( 3 \)
entonces \( Y+Z \) tiene que ser de la forma \( 3^jP^3 \) con \( j\equiv 2 \pmod 3 \) (III)
nos queda entonces de (II) y (III)
 \( Y+Z=2\cdot3^mp^3=3^jP^3 \)
¿Esta igualdad puede darse? Creo que no ya que en el caso de que \( p \) fuera múltiplo de \( 2 \) tendríamos que \( Y+Z \), por un lado es múltiplo de \( 2^{3k+1} \) para algún \( k \) y por el otro, en el caso de que \( P \) fuera múltiplo de \( 3 \), que   \( Y+Z \) es multiplo de \( 2^{3t} \) para algún \( t \). Es decir, \( Y+Z \) no puede ser a la vez multiplo de \( 2^{3k+1} \) y \( 2^{3t} \). Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Junio, 2012, 11:10 am
Hola

Hola,
si teníamos
\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
Además
\(  z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-q^3 \)
Sustituyendo en los valores de \( x,y,z \) anteriores en el término general del UTF
\( x^3=y^3+z^3 \)

En realidad con mi notación: \( x^3+y^3+z^3=0 \). Pero esto es secundario.

Citar
pero en un resultado previo vimos que si \( Y,Z \) son soluciones del UTF e \( Y+Z \) son múltiplos de \( 3 \)
entonces \( Y+Z \) tiene que ser de la forma \( 3^jP^3 \) con \( j\equiv 2 \pmod 3 \) (III)

Pero esos resultados se obtuivieron bajo el supuesto de \( X,Y,Z \) coprimos. En este caso \( X,Y,Z \) son múltiplos de dos.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 12 Julio, 2012, 12:04 pm
Hola el_manco,
Pero esos resultados se obtuvieron bajo el supuesto de \( X,Y,Z \) coprimos. En este caso \( X,Y,Z \) son múltiplos de dos.
totalmente de acuerdo, muchas gracias por el apunte.
Siguiendo mi notación para intentar no perderme con los signos, teníamos
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)(1)
De aquí se puede deducir:
I) \( q-r<3^mp \)
Prueba:
Si ponemos \( q-r \geq 3^mp \)
se puede comprobar que la igualdad en (1) no puede darse (lado izquierdo de la igualdad mayor que el lado derecho), luego \( q-r<3^mp \)
II) \( q-r \equiv 0 \pmod 3 \)
Prueba:
Utilizando el PTF en (1)

Ahora quiero ver si \( q-r \equiv 0 \pmod p \)
De I) y II)
\( q-r =3^mp -3u  \) para algún \( u \) (2)
Como \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \), sustituimos en (1)
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
y utilizando (2) nos queda
\( (3^mp-3u)^3+3qr(3^mp-3u)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
donde todos los términos son múltiplos de \( p \) excepto
\( -(3u)^3-3^2uqr=-3^2u(3u^2+qr) \)
Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\(  p|u \)?
Si es correcto, entonces podemos poner \( u=sp \) para algún \( s \)
y (2) nos queda
 \( q-r =3^mp -3sp \) ?

Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Julio, 2012, 12:29 pm
Hola

Siguiendo mi notación para intentar no perderme con los signos, teníamos
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)(1)
De aquí se puede deducir:
I) \( q-r<3^mp \)
Prueba:
Si ponemos \( q-r \geq 3^mp \)
se puede comprobar que la igualdad en (1) no puede darse (lado izquierdo de la igualdad mayor que el lado derecho), luego \( q-r<3^mp \)

No lo he comprobado  :D. Pero me lo creo. Digamos que de momento no me interesan demasiado las desigualdades, ya que salvo que cambies radicalmente los argumentos en que vas a basarte después son esencialmente relativos a la divisibilidad. Y esto no depende del signo.

Citar
II) \( q-r \equiv 0 \pmod 3 \)
Prueba:
Utilizando el PTF en (1)

Correcto.

Citar
Ahora quiero ver si \( q-r \equiv 0 \pmod p \)
De I) y II)
\( q-r =3^mp -3u  \) para algún \( u \) (2)
Como \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \), sustituimos en (1)
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
y utilizando (2) nos queda
\( (3^mp-3u)^3+3qr(3^mp-3u)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
donde todos los términos son múltiplos de \( p \) excepto
\( -(3u)^3-3^2uqr=-3^2u(3u^2+qr) \)

Correcto.

Citar
Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\(  p|u \)?


¡No!. Puede ocurrir que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Y en ese caso \( u \) no lo sería.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 13 Julio, 2012, 12:49 pm
Hola el_manco,

Citar
Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\(  p|u \)?


¡No!. Puede ocurrir que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Y en ese caso \( u \) no lo sería.

totalmente de acuerdo. De hecho creo que si las cuentas son correctas, si \(  p|u \) se llega a una contradicción, luego necesariamente se tiene que dar que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Lo revisaré...
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 17 Julio, 2012, 01:10 pm
Hola el_manco,
parto de la ecuación a la que habíamos llegado en un post anterior (#69):
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
la voy a escribir (para clarificar la notación) utilizando \(  m=2 \)
Considero 2 casos:
I) \( (q-r)^3-3^{5}p^3 >0 \)
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{5}p^3=2\cdot3^2pqr \)
\( (q-r)^3-3^{5}p^3=2\cdot3^2pqr-3qr(q-r)=3qr(2\cdot3p-(q-r)) \)
\( (q-r)^3-3^{5}p^3=3qr(2\cdot3p-(q-r)) \) (1)
Como \( q-r\equiv 0 \pmod 3 \) implica que el lado izquierdo de la ecuación anterior tienen que ser múltiplo de \( 3^3 \)
luego podemos poner
\( (q-r)^3-3^{5}p^3=3qr\cdot3^2k \) para algún \( k>0 \)
y
\( 2\cdot3p-3^2k=q-r \)
Entonces
\( (2\cdot3p-3^2k)^3-3^{5}p^3=3qr\cdot3^2k \)
\( (2p-3k)^3-3^{2}p^3=qrk \)
pero \( (2p-3k)^3<3^{2}p^3 \)
luego el lado izquierdo de la igualdad es negativo, por lo tanto este caso no puede darse.
II) \( 3^{5}p^3 - (q-r)^3>0 \)
escribimos (1) como
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr((q-r)-2\cdot3p) \)
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr\cdot3^2k \) para algún \( k>0 \)
y
\( 2\cdot3p+3^2k=q-r \)
Entonces
\( 3^{5}p^3-(2\cdot3p+3^2k)^3=3qr\cdot3^2k \)
\( 3^{2}p^3-(2p+3k)^3=qrk \)
¿De aquí se puede deducir que \( k|p^3 \) ?
El resto es todo correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Julio, 2012, 10:52 pm
Hola

\( 3^{2}p^3-(2p+3k)^3=qrk \)
¿De aquí se puede deducir que \( k|p^3 \) ?

Si. Si hacemos cuentas queda:

\( p^3=qrk+36p^2k+54pk^2+27k^3=k(qr+36p^2+54pk+72k^2) \)

Citar
El resto es todo correcto?

Si, creo que si. Aunque nota que en todo esto es indiferente el signo de \( k \). Es decir, una vez más no veo demasiado interesante pararse a analizar las desigualdades.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 18 Julio, 2012, 10:33 am
Hola el_manco,
analizando las desigualdades quería ver para que rango de valores se tiene que dar la igualdad inicial. Creo como dices que más allá de esto no tiene demasiada relevancia.
Entonces si \(  k|p^3  \) se puede deducir en
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr\cdot3^2k \)
que \(  k|(q-r)^3  \) ?

Muchas gracias!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Julio, 2012, 11:07 am
Hola

Entonces si \(  k|p^3  \) se puede deducir en
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr\cdot3^2k \)
que \(  k|(q-r)^3  \) ?

Si, claro.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 25 Julio, 2012, 01:08 pm
Hola el_manco,
volviendo a la ecuación
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)
donde \( p,q \) y \( r \) son coprimos, no múltiplos de \( 3 \).
Todos los términos son múltiplos de \( 3^m \) excepto \( q^3-r^3 \). Si consideramos que \( m\geq{3} \)
para que \( q^3-r^3 \) sea múltiplo de \( 3^m \), \( q \) tiene que se múltiplo de \( 3 \) (también \( r \) es múltiplo de \( 3 \)), y hemos supuesto que \( q \) no lo es. Es correcto?
Muchas gracias!!

Saludos



 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Julio, 2012, 09:09 am
Hola

volviendo a la ecuación
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)
donde \( p,q \) y \( r \) son coprimos, no múltiplos de \( 3 \).
Todos los términos son múltiplos de \( 3^m \) excepto \( q^3-r^3 \). Si consideramos que \( m\geq{3} \)
para que \( q^3-r^3 \) sea múltiplo de \( 3^m \), \( q \) tiene que se múltiplo de \( 3 \) (también \( r \) es múltiplo de \( 3 \)), y hemos supuesto que \( q \) no lo es. Es correcto?

No entiendo de todo la pregunta. Si \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( 3^m \) con \( m\geq 3 \).

- Sin más hipótesis no veo que pueda deducirse de ahí ni que \( q \) ni que \( r \) sean múltiplos de tres.
- Lo que si es cierto es que si uno de los dos es múltiplo de tres (\( q \) o \( r \)) el otro también lo es. Pero nuestras hipótesis entiendo que son que ninguno de los dos son múltiplos de tres.

Por tanto no veo que de esto se saque nada en limpio.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 11 Septiembre, 2012, 11:44 am
Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?
Podemos poner entonces
\( q^3-r^3=(3^{m-1}k+r)^3-r^3 \Rightarrow q^3-r^3 =(3^{m-1}k)^3+3qr\cdot3^{m-1}k= \)
\( =(3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k \)
que al sustituir en (1)
\( (3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow \)
\( 3^mqr(k-2p)=3^{3m-1}p^3-(3^{m-1}k)^3=3^{3m-1}p^3-3^{3m-3}k^3\Rightrrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}k^3=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3)\Rightarrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)
Ahora para que la igualdad anterior se cumpla, \( k-2p>0 \)
Si llamamos \(  k-2p=u \Rightarrow k=2p+u \)
sustituimos en (2)
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
Ahora para que el miembro derecho de la igualdad sea múltiplo de \( u \)
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) tiene que ser múltiplo de \( u \)?
Muchas gracias!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Septiembre, 2012, 04:38 pm
Hola

Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?

Correcto.

Spoiler
Tenemos:

\( q^3-r^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^m pqr=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)

Si \( 3^m \) divide a \( q^3-r^3 \), divide a \( (q-r)(q^2+qr+r^2) \). Dado que

\( (q-r)^2=(q^2+qr+r^2)-3qr \)

y \( q,r \) son coprimos con \( 3 \), se deduce que necesariamente la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( q^2+qr+r^2 \) es \( 3^1 \) y así \( 3^{m-1} \) divide a \( q-r \).
[cerrar]

Citar
Podemos poner entonces
\( q^3-r^3=(3^{m-1}k+r)^3-r^3 \Rightarrow q^3-r^3 =(3^{m-1}k)^3+3qr\cdot3^{m-1}k= \)
\( =(3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k \)
que al sustituir en (1)
\( (3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow \)
\( 3^mqr(k-2p)=3^{3m-1}p^3-(3^{m-1}k)^3=3^{3m-1}p^3-3^{3m-3}k^3\Rightrrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}k^3=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3)\Rightarrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)

Correcto. Son cuentas y si no me he equivocado al revisarlas están bien hechas.

Citar
Ahora para que la igualdad anterior se cumpla, \( k-2p>0 \)

No veo porqué. ¿No podrían ser los dos términos negativos?. Sea como sea, en principio es intrascendente para lo que sigues haciendo. Solo te preocupas de la divisibilidad por \( u \) y eso es independiente del signo que tome.

Citar
Si llamamos \(  k-2p=u \Rightarrow k=2p+u \)
sustituimos en (2)
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
Ahora para que el miembro derecho de la igualdad sea múltiplo de \( u \)
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) tiene que ser múltiplo de \( u \)?

Correcto. Ya que tendríamos:

\( qru=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}(2p)^3-u(3^{2m-2}\cdot (2p)^2+3^{2m-2}\ccdot (2p)\cdot u+3^{2m-3}u^2) \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 12 Septiembre, 2012, 11:55 am
Hola el_manco,
entonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r  \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \(  k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?

Por otro lado teniamos
\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)
con
\(  k=2p+u \)
(Si \( k<2p \) el lado izq. en (2) sería negativo y el derecho positivo.
También \( k<3p \) ya que si \( k>3p \) el lado izq. en (2) sería positivo y el derecho negativo.)
Sutituyendo ahora el valor de \( k \) de (1) en (2)
\( qr\cdot3^{2m-3}=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3)\Rightarrow \)
\( qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \) (3)
Como \(  k=2p+3^{2m-3} <3p \Rightarrow 3^{2m-3}<p \)
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.
Prueba:
Supongamos \( 3^{2m-3}=p \) y lo sustituimos en (3)
\( qr=3^2(3^{2m-3})^3-(2(3^{2m-3})+3^{2m-3})^3 \Rightarrow \)
\( qr=3^2(3^{2m-3})^3-((2+1).(3^{2m-3})^3 \Rightarrow \)
\( qr=(3^{2m-3})^3(3^2-3^3) \)
¿Es correcto?

Como siempre, muchas gracias por tus respuestas y comentarios.
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Septiembre, 2012, 01:29 pm
Hola

entonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r  \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \(  k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?

Está bien. Aunque el razonamiento no es del todo correcto. Que \( qru \) sea múltiplo de \( u^3 \) no quiere decir ni que \( q \) ni que \( r \) sean necesariamente múltiplos de \( u \); si que tengan factores primos comunes. Eso esta imposiblitado por la coprimalidad de \( q,r,p \) y el supuesto de \( p=ut \).

Además lo que razonas así es que \( p \) no es múltipo de \( u \); pero eso no excluye que \( u,p \) pudieran tener factores primos comunes. Es decir de lo que has hecho no se deduce necesariamante que \( u=3^{2m-3} \). Lo que debes de hacer es lo mismo que has hecho con \( u \), pero con un factor primo común de mayor exponente posible  del \( m.c.d.(p,u) \).


Citar
Por otro lado teniamos
\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)
con
\(  k=2p+u \)
(Si \( k<2p \) el lado izq. en (2) sería negativo y el derecho positivo.
También \( k<3p \) ya que si \( k>3p \) el lado izq. en (2) sería positivo y el derecho negativo.)
Sutituyendo ahora el valor de \( k \) de (1) en (2)
\( qr\cdot3^{2m-3}=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3)\Rightarrow \)
\( qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \) (3)
Como \(  k=2p+3^{2m-3} <3p \Rightarrow 3^{2m-3}<p \)
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.
Prueba:
Supongamos \( 3^{2m-3}=p \) y lo sustituimos en (3)
\( qr=3^2(3^{2m-3})^3-(2(3^{2m-3})+3^{2m-3})^3 \Rightarrow \)
\( qr=3^2(3^{2m-3})^3-((2+1).(3^{2m-3})^3 \Rightarrow \)
\( qr=(3^{2m-3})^3(3^2-3^3) \)
¿Es correcto?

El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas. En el razonamiento que yo había sintetizado de los tuyos:


Spoiler
Citar
En primer lugar es cómodo escribir la ecuación de Fermat como \( x^3+y^3+z^3=0 \) en lugar de la manera clásica, permitiendo que las variables sean negativas. Esto evita tener que repetir argumentos para tus tres términos \( (x-y),(x-z)=(y-b),M=(y+z) \) que ahora con mi notación son simplemente \( (x+y),(x+z),(y+z) \). De forma que por simetría lo que probemos para uno, queda probado para los demás.

 Entonces sean \( x,y,z \) tres enteros coprimos dos a dos verificando \( x^3+y^3+z^3=0. \)

 1) \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \)

 Prueba: Basta tener en cuenta que, \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \) y usar que estamos bajo el supuesto de que los tres números cumplen la ecuación de Fermat.

 2) \( (x+y),(x+z),(y+z) \) son coprimos dos a dos.

 Prueba: Basta tener en cuenta que por (1) cualquier divisor primo de uno de esos términos lo es de \( (x+y+z) \). Entonces si \( x+y,x+z \) son divisibles por \( p \),

 \( z=(x+y+z)-(x+y) \) divisible por \( p \)
 \( y=(x+y+z)-(x+z) \) divisible por \( p \)

 Pero \( z,y \) son coprimos: contradicción.

 3) Uno y sólo uno de los términos \( (x+y),(x+z),(y+z) \) es divisible por \( 3 \) (supondremos sin pérdida de generalidad, a partir de ahora, que tal término es \( y+z \)).

 Prueba: Por (1), (\( x+y+z) \) es divisible por \( 3 \) y por tanto \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \) divisible por \( 3^3 \). Por tanto efecivamente alguno de los términos es divisible por tres. La unicidad es consecuencia de (2).

 4) \( (y+z)=3^mE^3 \) con \( mcd(E,3)=1 \) y \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).

 Prueba: Se tiene que \(  -x^3=y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2)  \). Como \( (y+z) \) es múltiplo de tres, también lo es \( x \). Como \( x,y,z \) son coprimos, \( y,z \) no son divsibles por tres. Por tanto:

\( (y+z)=3^mE^3,\qquad (y^2-yz+z^2)=3^{3k-m}F^3 \) con \( mcd(E,3)=mcd(F,3)=1 \).

 Pero: \( 3yz=(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)=3^{2m}E^6-3^{3k-m}F^3 \). Como \( y,z \) no son divisibles por tres necesariamente \( 3k-m=1 \), es decir, \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).

 5) Existen enteros \( p,q,r  \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
 
\( y+z=3^mp^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
\( x+y=q^3\quad x+z=r^3\quad x+y+z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)

 Prueba: Basta aplicar (2),(3),(4) a (1)

 6) Existen enteros \( p,q,r  \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:

\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)

 Prueba: Basta tener en cuenta que por (5):

\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
\(  x+y=q^3 \)
[cerrar]

 \( p,q,r \), eran enteros pero no necesariamente positivos.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Septiembre, 2012, 01:05 am
Hola,
Citar
El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.
Todo viene de la notación clásica del UTF
\( x^n=y^n+z^n \)
utilizando que \( x,y,z \) son enteros positivos
Con esto había llegado a los siguientes resultados:

I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

II) \( (q^3-3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

Utilizando I) en II)
\( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(q^3-3^{m}pqr)^n \)
obtengo el resultado en III)

III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
Y este último es el que utilizado en los desarrollos de los post anteriores con \( p,q,r \) positivos.

En el documento para \( n=3 \) en el enlace http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/
se puede seguir la línea del desarrollo pero modificando según comentaste:
 

 Allí el término \( 3pqr \) pasaría a \( 3^{\frac{2m+1}{3}} \) y el término \( 3^2p^3 \) pasaría a \( 3^{2m}p^3 \).

 Esto hace desaparecer la contradicción con la que concluye la prueba del Lema 6.

Es equivalente a III) haciendo el cambio de variable \( \frac{2m+1}{3}=j \Rightarrow 3j-1=2m \)

Hola

entonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r  \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \(  k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?

Está bien. Aunque el razonamiento no es del todo correcto. Que \( qru \) sea múltiplo de \( u^3 \) no quiere decir ni que \( q \) ni que \( r \) sean necesariamente múltiplos de \( u \); si que tengan factores primos comunes. Eso esta imposiblitado por la coprimalidad de \( q,r,p \) y el supuesto de \( p=ut \).

Además lo que razonas así es que \( p \) no es múltipo de \( u \); pero eso no excluye que \( u,p \) pudieran tener factores primos comunes. Es decir de lo que has hecho no se deduce necesariamante que \( u=3^{2m-3} \). Lo que debes de hacer es lo mismo que has hecho con \( u \), pero con un factor primo común de mayor exponente posible  del \( m.c.d.(p,u) \).


Si \( u,p \) tienen factores comunes, para que sea posible que \( u|3^{2m-3}p^3 \) se tiene que dar que \( u>p \)?
Por ejemplo para \( m=3 \) tomo:
\( u=3^3\cdot5^3 \)
\( p=5 \)
Y se cumple también lo que teníamos en
\( qr=3^2p^3-(2p+u)^3 \) (3)
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.
Es correcto?
Muchas gracias!!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Septiembre, 2012, 11:00 am
Hola

Si \( u,p \) tienen factores comunes, para que sea posible que \( u|3^{2m-3}p^3 \) se tiene que dar que \( u>p \)?
Por ejemplo para \( m=3 \) tomo:
\( u=3^3\cdot5^3 \)
\( p=5 \)

No entiendo muy bien que quieres decir con esto. En principio para que \( u|3^{2m-3}p^3 \) no veo porque \( u>p \). En el mismo ejemplo que pones tu \( p \) podría ser \( 5\cdot 1231243212345145145 \).

De todas formas aunque maticé la prueba que hiciste, es correcto concluir que \( u=2^{2m-3} \)-

Citar
\( qr=3^2p^3-(2p+u)^3 \) (3)
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.
Es correcto?
[/quote]

No estoy seguro de que me estás preguntando aquí:

- Si \( u>p \) entonces es cierto que el lado derecho de la igualdad es negativo (pero como dije antes no veo como probar que \( u>p \)).

- Si como en tu anterior intervención suponemos \( u=2^{2m-3} \) y suponemos \( p>3^{2m-3}=u \), no es cierto que el lado derecho de la igualdad tenga que ser negativo.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 25 Septiembre, 2012, 11:13 am
Hola el_manco,
es correcto lo que comentas:
Si \( p>3^{2m-3}=u \), no es cierto que el lado derecho de la igualdad tenga que ser negativo.
y de momento no creo que sirva de mucho...

Teníamos entonces
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)
y que
\( u=3^{2m-3} \)
\(  k=2p+3^{2m-3} \)
Luego \( q-r=3^{m-1}(2p+3^{2m-3}) \) (1)
También teníamos
\( qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \) (2)
Luego tenemos el siguiente sistema
\(  \left\{ \begin{array}{c}q-r= 3^{m-1}(2p+3^{2m-3}) \\ qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \end{array}\right  \)
De (1)
\( q=3^{m-1}(2p+3^{2m-3})+r \)
Lo sustituimos en (2)
\( (3^{m-1}(2p+3^{2m-3})+r)r=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \)
\( r^2+3^{m-1}(2p+3^{2m-3})r-(3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3)=0 \)
Si llamo \( A=2p+3^{2m-3} \)
\( r^2+3^{m-1}Ar-(3^2p^3-A^3)=0 \)
Podemos buscar soluciones para la ecuación anterior de segundo grado para \( r \):
\( r = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{2a} \)

\( r = \dfrac{{3^{m-1}A \pm \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

donde \( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \)
tiene que ser un cuadrado.
¿Es correcto hasta aquí?
Muchas gracias!!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Septiembre, 2012, 12:51 pm
Hola

 Correcto.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 26 Septiembre, 2012, 10:46 am
Hola el_manco,
entonces si
\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \)
tiene que ser un cuadrado, con \( A=2p+3^{2m-3} \), y esto es equivalente (si no me he equivocado con las cuentas...) a
\( 4\cdot3^2p^3=4A^3+k^3\cdot3^{m-1}A \) para algún \( k \)
¿Se puede dar que \( A=2p+3^{2m-3} \) divida a \( 4\cdot3^2p^3 \), con \( p \) no múltiplo de \( 3 \)?
Muchas gracias!!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 26 Septiembre, 2012, 12:06 pm
Hola,
las cuentas que faltaban en la respuesta anterior:
Como \( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \)
es un cuadrado mayor que \( (3^{m-1}A)^2 \), lo llamo \( s \),
lo podemos poner como \( (3^{m-1}A)^2+k\cdot3^{m-1}A.k^2 \) para algún \( k \)
es decir,
\( (3^{m-1}A)^2+k^3\cdot3^{m-1}A=s^2 \)
luego
\( k^3\cdot3^{m-1}A=4(3^2p^3-A^3) \)
que es el resultado de la respuesta anterior
..y esto es equivalente (si no me he equivocado con las cuentas...) a
\( 4\cdot3^2p^3=4A^3+k^3\cdot3^{m-1}A \) para algún \( k \)
y sobre el que había planteado la cuestión

¿Se puede dar que \( A=2p+3^{2m-3} \) divida a \( 4\cdot3^2p^3 \), con \( p \) no múltiplo de \( 3 \)?

Muchas gracias de nuevo!!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Septiembre, 2012, 12:58 pm
Hola

 No entiendo bien las cuentas que haces aquí:

Hola,
las cuentas que faltaban en la respuesta anterior:
Como \( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \)
es un cuadrado mayor que \( (3^{m-1}A)^2 \), lo llamo \( s \),

¿A quién llamas \( s \)? ¿ \( s=3^{m-1}A^2+4(3^2p^3-A^3) \) ?

Citar
lo podemos poner como \( (3^{m-1}A)^2+k\cdot3^{m-1}A.k^2 \) para algún \( k \)
es decir,
\( (3^{m-1}A)^2+k^3\cdot3^{m-1}A=s^2 \)

Y aquí me perdí por completo. ¿De dónde sale esa \( k \)?.

En cualquier caso y respecto a esto:

¿Se puede dar que \( A=2p+3^{2m-3} \) divida a \( 4\cdot3^2p^3 \), con \( p \) no múltiplo de \( 3 \)?

¿Por qué no podría darse?. Podria ocurrir:

\( (2p+3^{2m-3})w=4\cdot 3^2p^3 \)

con \( w \) múltilpo de \( 3^2 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 26 Septiembre, 2012, 02:08 pm
Hola el_manco,
sí, yo también me he perdido con las cuentas :banghead: mil perdones!!!
Todas mal!
He llamado \( s^2=(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \) al cuadrado mayor que \( (3^{m-1}A)^2 \)
y lo tenía que haber escrito como
\( s^2=(3^{m-1}A+k)^2=(3^{m-1}A)^2+2\cdot3^{m-1}A.k+k^2 \)
luego
\( 2\cdot3^{m-1}A.k+k^2=4(3^2p^3-A^3) \)
y no se llega a ningún sitio :(
Disculpa otra vez por la falta de rigurosidad... La próxima vez leeré de alguna lista los primeros 1000 primos y lo volveré a revisar con mas detalle antes de publicarlo ;)
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 27 Septiembre, 2012, 02:07 pm
Hola el_manco,
después del lío que tuve ayer y antes de seguir con ninguna demostración para encontrar que
\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \) (1)
tiene que ser un cuadrado, estuve pasando esta fórmula a excel para ver como se comportaba para cada \( p \) y creé una hoja para
\( m=2,3,4,5 \) y luego una para un \( m \) que se puede ir variando...
Lo que se aprecia en este fichero excel (adjunto) es que (1) siempre es menor que cero, excepto para \( m=2 \).
Pero para \( m=2 \) ya habíamos visto:
En tu Lema 6 pruebas que no existen números en las condiciones de (6) para \( m=2 \). Si lo probases para cualquier  \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \), tendrías la prueba que buscas.
En un primer vistazo, creo que no es dificil probar que para \( m>2 \), (1) es negativo.
Reviso las cuentas para subirlo luego...
Si tienes algun comentario, será como siempre muy bienvenido.
Muchas gracias!!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Septiembre, 2012, 06:21 pm
Hola

 Veamos. Tenemos:

\(  A=(2p+3^{2m-3}) \)

 Entonces:

\(  (3^{m-1}A)^2+4(3^2p^3-A^3)=3^{2m-2}(2p+3^{2m-3})^2+4(9p^3-(2p+3^{2m-3})^3) \)

 Como polinomio en \( p \) es un polinomio de grado tres. El coeficiente de \( p^3 \) en ese polinomio es:

\( 0+4(9p^3-8p^3)=4p^3 \)

 Por tanto para \( p \) suficientemente grande ese polinomio toma valores positivos.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 27 Septiembre, 2012, 07:22 pm
Hola,
oops! Muchas gracias por la puntualización/corrección.
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 02 Octubre, 2012, 11:39 am
Hola el_manco,
teníamos el siguiente sistema
Citar
\(  \left\{ \begin{array}{c}q-r= 3^{m-1}(2p+3^{2m-3}) \\ qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \end{array}\right  \)
que nos lleva a la siguiente ecuación de segundo grado
Si llamo \( A=2p+3^{2m-3} \)
\( r^2+3^{m-1}Ar-(3^2p^3-A^3)=0 \)
Podemos buscar soluciones para la ecuación anterior de segundo grado para \( r \):
\( r = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{2a} \)
\( r = \dfrac{{-3^{m-1}A \pm \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)
(en el mensaje original me faltaba un signo menos que he añadido ahora)
Y las dos soluciones que obtenemos son \( q \) y  \( r \).
Es decir:
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}A - \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)
\( q= \dfrac{{-3^{m-1}A + \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)
Luego uno de ellos tiene que ser negativo?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Octubre, 2012, 02:26 pm
Hola

 No. Tu estás pensando (creo) en sistemas del tipo:

\(  q+r=W,\qquad qr=U \)

 pero aquí tenemos:

\(  \color{red}q-r\color{black}=W,\qquad qr=U \)

 En particular si:

\( r= \dfrac{{-3^{m-1}A - \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

 entonces:

\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}A - \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 02 Octubre, 2012, 02:58 pm
Hola,
lo que quería decir es que uno de ellos ( \( q \) o \( r \)) tiene que ser negativo.
En el caso particular que indicas, ¿\( r \) es negativo?
En particular si:
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}A - \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Octubre, 2012, 04:35 pm
Hola

 Si, en el caso que puse \( r \) es negativo. Pero la otra solución es:

\( r= \dfrac{{-3^{m-1}A + \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

 entonces:

\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}A + \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

 Pueden ser entonces ambas positivas.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 01 Febrero, 2013, 01:02 pm
Hola el_manco,
conoces de alguna referencia donde se muestre la resolución de ecuaciones diofánticas de grado 2 del tipo \( ax^2+by^2=z^2 \)?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Febrero, 2013, 11:13 pm
Hola

 Mira por aquí por ejemplo:

http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 04 Febrero, 2013, 12:01 pm
Hola el_manco,
muchas gracias por el enlace, lo miró con detalle.
La pregunta estaba relacionada con la solución a la ec. de segundo grado en la que me había quedado:
\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}A + \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)
y por tanto en intentar encontrar soluciónes a
\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }=T^2  \) para algún \( T>0 \)
Salvo errores en las cuentas creo que es equivalente a
\( (2p)^2p-(6p+t)^2t=T^2 \) con \( t=3^{2m-3} \)
y que se podría poner como
\( a^2p-b^2t=T^2 \) (*)
con \( a=2p \) y  \( b=6p+t \)
Si \( p \) no es múltiplo de \( 3 \) como habíamos visto ¿\( a \) y \( b \) son coprimos?
¿Crees que se podría aplicar aquí el th. de Legendre para demostrar que no hay soluciones?
Tenemos también que (*) es equivalente a
\( (a/T)^2p-(b/T)^2t=1  \) (**)
que es una ecuación diofántica de grado 1 con coeficientes racionales, luego las soluciones para \( p \) y \( t \) son racionales? En este caso bajo que condiciones \( T \) hace que (**) tenga soluciones enteras (si las tuviera)?
Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Febrero, 2013, 11:56 am
Hola

 Creo que son correctas las cuentas que expones. Pero no estoy seguro de que el Teorema de Legrende permita concluir que:

\( a^2p-b^2t=T^2 \)

 no tenga solución. Habría que probar que NO ocurre que \( p \) es un cuadrado módulo \( t \) y viceversa. Pero no sé si es cierto ni veo claro como "hincarle el diente".

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 08 Febrero, 2013, 01:07 pm
Hola,
teníamos que
\( t=3^{2m-3} \)
y que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \).

Luego es cierto que
NO ocurre que \( p \) es un cuadrado módulo \( t \) y viceversa.
Te refieres a eso?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 13 Febrero, 2013, 02:35 pm
Hola el_manco,
en los últimos resultados que habíamos tenido estaba intentado demostrar que no hay soluciones enteras para
\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }=T^2  \) para algún \( T>0 \)
Y según habías verificado se podía poner como
\( pX^2-tY^2=T^2 \) (*)
con \( X=2p \) , \( Y=6p+t \) , \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no múltiplo de \( 3 \). (**)

He revisado el documento que indicabas http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf
y creo que la proposición a la que hacías referencia era:

Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, then
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \(  t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \(  - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).

Los puntos ii),iii) y iv) de la proposición anterior no se cumplen con las condiciones que tenemos en (**) además de que \( p \) y \( t \) son coprimos (\( d=MCD(p,t)=1 \)).
Podemos decir entonces que (*)
\( pX^2-tY^2=T^2 \) no tiene soluciones enteras no triviales?
Muchas gracias!
Saludos




Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Febrero, 2013, 05:08 pm
Hola

He revisado el documento que indicabas http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf
y creo que la proposición a la que hacías referencia era:

Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, then
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \(  t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \(  - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).

Si, exacto, me refiero a ese resultado.

Citar
Los puntos ii),iii) y iv) de la proposición anterior no se cumplen con las condiciones que tenemos en (**) además de que \( p \) y \( t \) son coprimos (\( d=MCD(p,t)=1 \)).


Pero es que no veo claro que no se cumplan ii) y iii). Y iv) SI se cumple. Creo que no estás interpretando correctamente la condición que impone el teorema.

Recuerda que \( A \) es un cuadrado módulo \( B \) si \( A=k^2\mod B \), es decir, si \( A=k^2+nB \) para ciertos enteros \( n,k \).

Entonces en cuanto a la condición (iv) \( d=mcd(p,t)=1 \) y cualquier número \( N=0^2+N \) es trivialemente un cuadrado módulo \( 1 \).

Por otra parte en (ii) habría que comprobar si existen enteros \( n,k \) tales que:

\(  p=k^2+3^{2m-3}n \)

 y en (iii)  si existen enteros \( n,k \) tales que:

\(  3^{2m-3}=k^2+np \)

 No veo obvias ninguna de las dos cosas.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 26 Febrero, 2013, 11:25 am
Hola el_manco,
en efecto no estaba interpretando bien la condición:
\( A \) es un cuadrado módulo \( B \) si \( A=k^2\mod B \), es decir, si \( A=k^2+nB \) para ciertos enteros \( n,k \).
Utilizando esto en
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \(  t \) is a square modulo \( |p| \),
¿Podemos considerar como indicabas (con \( t=3^{2m-3}) \) los diferentes casos para
\( p=k^2\pm{tn} \)
\( t=s^2\pm{pu} \)
y utilizar sólo enteros positivos?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 26 Febrero, 2013, 04:26 pm
Hola el_manco,
Si es así, entonces podríamos considerar para
\( p=k^2\pm{tn} \)
\( t=s^2\pm{pu} \)
los siguientes casos?

CASO I - Los dos positivos
I)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2+{tn} \\ t=s^2+{pu} \end{array}\right  \)
Sustituyendo el valor de \( t \) en \( p \):
\( t(1-un)=s^2+uk^2 \), donde el lado izq. de la igualdad es negativo y el der. positivo.
Luego este caso no es posible?

CASO II - uno positivo y otro negativo
II)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{tn} \\ t=s^2+{pu} \end{array}\right  \)
Sustituyendo el valor de \( t  \) en \( p \):
\( p(1+un)=k^2-ns^2 \)
y susituyendo el valor de  \( p \) en \( t \):
\( t(1+un)=s^2+uk^2 \)
Despejando en ambas igualdades \( (1+un) \) e igualándolas:
\( p(s^2+uk^2)=t(k^2-ns^2) \)
pero \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no es múltiplo de \( 3 \), luego
\( p=k^2-ns^2 \)
\( t=s^2+uk^2 \)
Susituyendo \( p=k^2-ns^2 \) en el valor de \( p \) en II) tenemos que \( t=s^2 \) pero \( t=3^{2m-3} \) no puede ser un cuadrado.
Luego este caso tampoco puede darse?
Nota: Se llega al mismo resultado si ponemos II) como
\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2+{tn} \\ t=s^2-{pu} \end{array}\right  \)

CASO III - los dos negativos
IIIa)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{tn} \\ t=s^2-{pu} \end{array}\right  \)
Si hacemos como en el caso II) donde sustituiamos los valores de \( p \) y \( t \), cambiando de signo a todo y despejando \( (un-1) \) llegamos a
IIIb)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=ns^2-k^2 \\ t=uk^2-s^2 \end{array}\right  \)
Sumando y restando las igualdades de estos sistemas llegamos a:
 i)  \( 2k^2=n(s^2+t) \Rightarrow n|2k^2 \)
ii)  \( 2s^2=u(k^2+p) \Rightarrow u|2s^2 \)
iii) \( 2p=n(s^2-t) \Rightarrow n|2p \)
iv) \( 2t=u(k^2-p) \Rightarrow u|2t \)

Ahora creo que para los casos \( n=2 \) y \( u\neq2 \) he encontrado una contradicción:

El caso \( \bold{n=2} \) no puede darse ya que en i) \( k^2-s^2=t \Rightarrow (k-s)(k+s)=3^{2m-3} \)
que solo podría darse si \( k \)  y \( t \) son múltiplos de \( 3 \) luego \( p \) en IIIa) tendría que ser múltiplo de \( 3 \), y hemos supuesto que no lo es.

Para el caso \( \bold{u\neq2} \)
en iv) tenemos \( 2t=u(k^2-p) \Rightarrow u|t=3^{2m-3} \) luego en IIIa) \( s|t \) y en iii) \( 2p=n(s^2-t) \)
luego \( s^2-t \equiv0\pmod3 \) entonces \( 3|p \) y hemos supuesto que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \). Este caso entonces no puede darse.

Sin embargo no he encontrado nada para los siguientes casos \( u=2 \) y \( n\neq2 \):
Caso \( \bold{u=2} \) tenemos en iv) \( t=k^2-p\Rightarrow p=k^2-t  \) luego de IIIa) nos queda que \( n=1  \). Sustuyendo entonces en IIIa) que \( u=2 \) y \( n=1 \)
IIIa)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{t} \\ t=s^2-2p \end{array}\right  \)
Y ahí me he quedado....

Quedaría ver también el caso \( \bold{n\neq2} \)

No se si hasta donde he llegado es correcto y si (seguro que sí) se puede simplificar en un desarrollo mas sencillo ;)

Cualquier comentario como siempre será muy bienvenido.
Muchas gracias!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 27 Febrero, 2013, 01:59 pm
Hola
para el caso \( \bold{u=2} \) (\( n=1 \)) tenemos
i) \( 2k^2=(s^2+t) \Rightarrow 2k^2-s^2=t \equiv 0 \) mod \( (3) \)
sólo tiene solucion si \( k \) y \( s \) son múltiplos de \( 3 \)
y hace que en IIIa) \( p \) tenga que ser múltiplo de \( 3 \), que es una contradicción.
Queda entonces sólo que \( \bold{n\neq2} \).
No se si voy bien o estoy pasando algo por alto...
Gracias.
Saludos


Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 27 Febrero, 2013, 02:34 pm
Hola otra vez,
teníamos
CASO III - los dos negativos
IIIa)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{tn} \\ t=s^2-{pu} \end{array}\right  \)
Si hacemos como en el caso II) donde sustituiamos los valores de \( p \) y \( t \), cambiando de signo a todo y despejando \( (un-1) \) llegamos a
IIIb)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=ns^2-k^2 \\ t=uk^2-s^2 \end{array}\right  \)
Repasando el desarrollo para llegar de IIIa) a IIIb):
Si \( t=s^2-{pu} \) al sustituirlo en \(  p=k^2-{tn} \Rightarrow p=k^2-n(s^2 -pu) \Rightarrow \)
(*) \( p(un-1)=ns^2-k^2 \Rightarrow (un-1)=\dfrac{ns^2-k^2}{p} \)
y haciendo lo mismo con el valor de \( p=k^2-{tn} \) al sustituirlo en \( t=s^2-{pu} \) nos queda
\( t(un-1)=uk^2-s^2 \Rightarrow (un-1)= \dfrac{uk^2-s^2}{t} \)
Entonces \( \dfrac{ns^2-k^2}{p}=\dfrac{uk^2-s^2}{t} \Rightarrow t(ns^2-k^2)=p(uk^2-s^2)
 \) como \( p \) no es múltiplo de \( 3 \) tenemos el resultado de IIIb)
pero si \( p=ns^2-k^2 \) entonces en (*) \( un-1=1 \) luego \( un=2 \) que para enteros positivos es sólo posible si
\( u=1 \) y \( n=2  \)
o
\( u=2 \) y \( n=1 \)
que en los desarrollos anteriores se ha visto que no era posible.
Es correcto? Luego no haría falta considerar los casos donce \( u\neq2 \) y \( n\neq2 \)?
Faltaría o me he saltado alguna cosa?
Muchas gracias!!!
Saludos
 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 03 Marzo, 2013, 01:13 am
Hola,
en los mensajes anteriores hay un error troncal en:
CASO III - los dos negativos
IIIa)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{tn} \\ t=s^2-{pu} \end{array}\right  \)
Si hacemos como en el caso II) donde sustituiamos los valores de \( p \) y \( t \), cambiando de signo a todo y despejando \( (un-1) \) llegamos a
IIIb)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=ns^2-k^2 \\ t=uk^2-s^2 \end{array}\right  \)
Entonces \( \dfrac{ns^2-k^2}{p}=\dfrac{uk^2-s^2}{t} \Rightarrow t(ns^2-k^2)=p(uk^2-s^2)  \)
como \( p \) no es múltiplo de \( 3 \) tenemos el resultado de IIIb)
No es cierto que de \(  t(ns^2-k^2)=p(uk^2-s^2) \) se tenga que dar
\(  \left\{ \begin{array}{c}p=ns^2-k^2 \\ t=uk^2-s^2 \end{array}\right  \)
Por ejemplo: \( \underbrace{3}_t\cdot\underbrace{20}_{ns^2-k^2}=\underbrace{5}_p\cdot\underbrace{12}_{uk^2-s^2} \)

De todos modos si el CASO I) estuviera bien no se vería afectado por el error anterior:

CASO I - Los dos positivos
I)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2+{tn} \\ t=s^2+{pu} \end{array}\right  \)
Sustituyendo el valor de \( t \) en \( p \):
\( t(1-un)=s^2+uk^2 \), donde el lado izq. de la igualdad es negativo y el der. positivo.
Luego este caso no es posible?
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 10 Junio, 2013, 08:41 pm
Hola,
revisando notas anteriores:
I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
y poniendo:
\( a=3^{3m-1}p \)
\( b=r^3 \)
\( c=3^{m}pqr \)
entonces el término general del UTF:
\( \underbrace{(a+b+c)^3}_{x^3}=\underbrace{(a+c)^3}_{y^3}+\underbrace{(b+c)^3}_{z^3} \) (*)
Si \( c=2d \) con \( d \in \mathbb{Q} \), \( A=a+d \) y  \( B=b+d \)
(*) nos queda como
\( (A+B)^3=(A+d)^3+(B+d)^3\Rightarrow \)
\( 3AB(A+B)= d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)+2d^3 \)
Luego \( (A+B) \) tiene que dividir a \( 2d^3 \)
pero
\( d^3=(\frac{3^{m}pqr}{2})^3 \)
es múltiplo de \( p \)
pero \( A+B \) no lo es ya que \( p \) y \( q \) son coprimos
\( A+B=3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr \)
¿Es correcto?
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 11 Junio, 2013, 10:45 am
Hola,
hay un error en
\( 3AB(A+B)= d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)+2d^3 \)
He supuesto que \( A+B \) divide a \( A^2+B^2 \) y no es cierto... pero...
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Junio, 2013, 10:59 am
Hola

He estado alejado del foro por un tiempo y estoy un poco desconectado de tus últimas propuestas.

Hola,
hay un error en
\( 3AB(A+B)= d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)+2d^3 \)
He supuesto que \( A+B \) divide a \( A^2+B^2 \) y no es cierto... pero...
Saludos

Entiendo que has encontrado tu mismo un error en el argumento, o ¿todavía queda algo que revisar?.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 11 Junio, 2013, 11:28 am
Hola el_manco,
no te has perdido mucho en mis ultimas propuestas ;)
de momento no hay nada pendiente :). Quiero revisar unas cuentas antes de subirlas...
muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Junio, 2013, 12:24 am
Hola el_manco,
me había quedado en
\( (A+B)^3=(A+d)^3+(B+d)^3\Rightarrow \)
\( 3AB(A+B)= d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)+2d^3 \)
y la última igualdad es equivalente a
\( 3AB(A+B)= 3d(A+B)^2+d^2(3A+3B)+2d^3-2\cdot3dAB \)
y vemos ahora los distintos sumandos módulo \( 3^3 \):
\( 2d^3\equiv 0 (3^3) \)
\( -3\cdot2dAB\equiv 0(3^3) \)
\( 3AB(A+b)\equiv 0(3^3) \)
pero los sumandos que nos queda evaluar módulo \( 3^3 \) son
\( 3d(A+B)^2+3d^2(A+B)=3d(A+B)((A+B)+d) \not\equiv 0(3^3) \)
¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 18 Junio, 2013, 12:24 am
Hola,
\( a=3^{3m-1}p \)
\( b=r^3 \)
\( c=3^{m}pqr \)
entonces el término general del UTF:
\( \underbrace{(a+b+c)^3}_{x^3}=\underbrace{(a+c)^3}_{y^3}+\underbrace{(b+c)^3}_{z^3} \) (*)
Si \( c=2d \) con \( d \in \mathbb{Q} \), \( A=a+d \) y  \( B=b+d \)
(*) nos queda como
\( (A+B)^3=(A+d)^3+(B+d)^3\Rightarrow \)
\( 3AB(A+B)= d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)+2d^3 \)
y la última igualdad es equivalente a
\( 3AB(A+B)= 3d(A+B)^2+d^2(3A+3B)+2d^3-3\cdot2dAB \)
y vemos ahora los distintos sumandos módulo \( 3^3 \):
No es cierta la afirmación de que todos son múltiplos de \( 3^3 \) excepto uno. Si hacemos el desarrollo podemos ver cual es la potencia mínima de 3.
\( \underbrace{3AB(A+B)}_{III)}= \underbrace{d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)}_{IV)}+\underbrace{2d^3}_{I)}-\underbrace{3\cdot2dAB}_{II)} \)

I) \( 2d^3=2(\frac{3^{m}pqr}{2})^3\equiv 0 \mathbf{(3^{3m})} \)

II) \( -3\cdot2dAB=-3\cdot2d.(a+d)(b+d)= \)
\( -3\cdot2d(3^{3m-1}p+\frac{3^{m}pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})= \)
\( -3\cdot2(\frac{3^{m}pqr}{2})3^{m}(3^{2m-1}p+\frac{pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})\equiv 0\mathbf{(3^{2m+1})} \)

III) \( 3AB(A+B)=3(3^{3m-1}p+\frac{3^{m}pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})(3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)\equiv 0\mathbf{(3^{m+1})} \)

los sumandos que nos queda evaluar son

IV) \( 3d(A+B)^2+3d^2(A+B)=3d(A+B)((A+B)+d)= \)
\( 3(\frac{3^{m}pqr}{2})(3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)((3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)+(\frac{3^{m}pqr}{2})) \equiv 0\mathbf{(3^{m+1})} \)

Y en III) y IV) tenemos la misma potencia de 3... creo que esto no sirve de mucho :(
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Junio, 2013, 11:28 am
Hola

No es cierta la afirmación de que todos son múltiplos de \( 3^3 \) excepto uno. Si hacemos el desarrollo podemos ver cual es la potencia mínima de 3.
\( \underbrace{3AB(A+B)}_{III)}= \underbrace{d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)}_{IV)}+\underbrace{2d^3}_{I)}-\underbrace{3\cdot2dAB}_{II)} \)

I) \( 2d^3=2(\frac{3^{m}pqr}{2})^3\equiv 0 \mathbf{(3^{3m})} \)

II) \( -3\cdot2dAB=-3\cdot2d.(a+d)(b+d)= \)
\( -3\cdot2d(3^{3m-1}p+\frac{3^{m}pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})= \)
\( -3\cdot2(\frac{3^{m}pqr}{2})3^{m}(3^{2m-1}p+\frac{pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})\equiv 0\mathbf{(3^{2m+1})} \)

III) \( 3AB(A+B)=3(3^{3m-1}p+\frac{3^{m}pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})(3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)\equiv 0\mathbf{(3^{m+1})} \)

los sumandos que nos queda evaluar son

IV) \( 3d(A+B)^2+3d^2(A+B)=3d(A+B)((A+B)+d)= \)
\( 3(\frac{3^{m}pqr}{2})(3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)((3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)+(\frac{3^{m}pqr}{2})) \equiv 0\mathbf{(3^{m+1})} \)

Y en III) y IV) tenemos la misma potencia de 3... creo que esto no sirve de mucho :(

Correcto.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 25 Junio, 2013, 11:50 am
Hola el_manco,
Siguiendo mi notación para intentar no perderme con los signos, teníamos
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)
equivalente a
\( q^3-r^3 =3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^{m}pqr  \)(1)
tenemos también
\( q^3-r^3 =3qr(q-r)+(q-r)^3 \) (2)
además
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}u+r \) para algún \( u \)
equivalente a
\( q-r=3^{m-1}u \) (3)
De (1) y (2)
\(  3qr(q-r)+(q-r)^3 = 3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^{m}pqr \)
sustituyendo (3)
\(  3qr\cdot3^{m-1}u+(3^{m-1}u)^3 = 3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^{m}pqr\Rightarrow \)
\(  qr\cdot3^{m}u+(3^{m-1}u)^3 = 3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^{m}pqr\Rightarrow \)
\(  (3^{m-1}u)^3 - 3^{3m-1}p^3= 2\cdot 3^{m}pqr-qr\cdot3^{m}u \)
diviendo por \( 3^{m} \)
\( 3^{2m-3}u^3-3^{2m-1}p^3=qr(2p-u) \)
luego
\( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \)
Como ambas partes de la igualdad tienen que tener el mismo signo,
tenemos que si \( 2p-u>0 \)
\( (u^3-3^2p^3) \) es menor que cero?
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Junio, 2013, 12:06 pm
Hola

\( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \)
Como ambas partes de la igualdad tienen que tener el mismo signo,
tenemos que si \( 2p-u>0 \)
\( (u^3-3^2p^3) \) es menor que cero?
Saludos

Creo que las cuentas están bien; pero no me queda claro la conclusión final. Dices que si \( 2p-u \) es positivo el término de la izquierda es negativo? ¿Acaso sabemos que \( qr \) es negativo?.

Saludos.

P.D. Como te dije en otras ocasiones soy muy escéptico con el hecho de que los signos puedan aportar algo para la demostración, ya que uno puede trabajar con el teorema de Fermat con enteros en lugar de con naturales y sigue siendo cierto.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 26 Junio, 2013, 01:17 pm
Hola el_manco,
Creo que las cuentas están bien; pero no me queda claro la conclusión final. Dices que si \( 2p-u \) es positivo el término de la izquierda es negativo?
Sí, eso es lo que quiero decir. Es correcto?
Citar
¿Acaso sabemos que \( qr \) es negativo?.

En todo mi desarrollo he utilizado siempre naturales, los mismo para \( p, q \) y \( r \), luego  \( qr >0 \)
Citar
P.D. Como te dije en otras ocasiones soy muy escéptico con el hecho de que los signos puedan aportar algo para la demostración, ya que uno puede trabajar con el teorema de Fermat con enteros en lugar de con naturales y sigue siendo cierto.
Desde el principio, el término general que he utilizado \( x^n-y^n=z^n \)
que es equivalente a \( z^n=(x-y)(x^{n-1}+...+y^{n-1}) \)
Si utilizo enteros en esta igualdad me pierdo con la notación,  por eso he utilizado siempre positivos....espero que el signo aporte algo esta vez ;)
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Junio, 2013, 01:24 pm
Hola

Hola el_manco,
Creo que las cuentas están bien; pero no me queda claro la conclusión final. Dices que si \( 2p-u \) es positivo el término de la izquierda es negativo?
Sí, eso es lo que quiero decir. Es correcto?
Citar
¿Acaso sabemos que \( qr \) es negativo?.

En todo mi desarrollo he utilizado siempre naturales, los mismo para \( p, q \) y \( r \), luego  \( qr >0 \)

Esto tiene que ser una confusión tonta por parte de alguno de los dos. De la igualdad que citabas yo veo que los dos términos que indicas \( 2p-u \) y \( u^3-3^2p^3 \) deben de tener el mismo signo. Pero después dices que si uno es positivo el otro es negativo. Y eso es lo que no entiendo.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 26 Junio, 2013, 01:40 pm
Hola,
si las cuentas están bien llegamos entonces a
\( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \)
el signo tiene que ser el mismo para ambas partes de la igualdad, sino estaríamos en una contradicción.
Evaluo los signos suponiendo que \( 2p-u>0 \) ¿En este caso que ocurre con el signo de \( (u^3-3^2p^3) \)?
Para un caso particular, \( 2p=8 \) y \( u=7 \)
\( (u^3-3^2p^3)=7^3-9\cdot4^3 <0 \)?
Es cierto para el caso general?
Muchas gracias!!!!!!!!
saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Junio, 2013, 01:55 pm
Hola

 ¡Ah!.

 Veamos:

 \( 2p-u>0 \) si y sólo si \( u<2p \)
 \( u^3-9p^3>0 \) si y sólo si \( u>\sqrt[3]{9}p \)

 Por tanto hay compatbilidad de signos siempre que:

 \( \sqrt[3]{9}p<u<2p \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 26 Junio, 2013, 03:11 pm
Hola,
Por tanto hay compatbilidad de signos siempre que:
 \( \sqrt[3]{9}p<u<2p \)
Saludos.
Pero \( \sqrt[3]{9}p \sim{2,08p}<u<2p \)
no existe un natural \( u  \) mayor que \( 2,08  \) y menor que \( 2 \), no?
;)
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Junio, 2013, 09:46 am
Hola

Pero \( \sqrt[3]{9}p \sim{2,08p}<u<2p \)
no existe un natural \( u  \) mayor que \( 2,08  \) y menor que \( 2 \), no?
;)

¡Ah! Estoy tonto no me di cuenta que \( \sqrt[3]{9}>2 \).

Pero entonces tenemos igualmente compatibilida de signos si:

\( 2p-u<0 \), equivalentemente, \( u>2p \).

\( u^3-9p^3<0 \), equivalentemente, \( u<\sqrt[3]{9}p \)

Es decir si:

 \( 2p<u<\sqrt[3]{9}p \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 07 Julio, 2013, 11:25 pm
Hola el_manco,
teníamos entonces
si las cuentas están bien llegamos entonces a
\( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \) (1)
y además
Pero entonces tenemos igualmente compatibilida de signos si:
\( 2p-u<0 \), equivalentemente, \( u>2p \).
\( u^3-9p^3<0 \), equivalentemente, \( u<\sqrt[3]{9}p \)
Aunque el signo, como bien decías, no va a aportar nada en lo que sigue, escribo (1) como
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-u^3)=qr(u-2p) \) (1a)
creo que para que esta igualdad se cumpla se tiene que dar que \( p \equiv 0 \mod (3)  \), lo cual es una contradicción con la hipotesis de que \( p, q, r \) no son múltiplos de \( 3 \).
Prueba: Supongo \( t \) factor común de
\( 3^2p^3-u^3 \) (2)
y
\( u-2p \) (3)
luego \( u \equiv 2p \mod (t) \), sustituyendo en (2)
\( 3^2p^3-(2p)^3 \equiv 0 \mod (t) \Rightarrow p^3 \equiv 0 \mod (t)  \) (4)
Como de (1a) tenemos que \( u-2p \equiv 0 \mod (3) \) entonces de (4) tenemos que  \( t=3 | p^3 \). ¿Es correcto?
Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Julio, 2013, 09:50 am
Hola

Aunque el signo, como bien decías, no va a aportar nada en lo que sigue, escribo (1) como
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-u^3)=qr(u-2p) \) (1a)
creo que para que esta igualdad se cumpla se tiene que dar que \( p \equiv 0 \mod (3)  \), lo cual es una contradicción con la hipotesis de que \( p, q, r \) no son múltiplos de \( 3 \).
Prueba: Supongo \( t \) factor común de
\( 3^2p^3-u^3 \) (2)
y
\( u-2p \) (3)
luego \( u \equiv 2p \mod (t) \), sustituyendo en (2)
\( 3^2p^3-(2p)^3 \equiv 0 \mod (t) \Rightarrow p^3 \equiv 0 \mod (t)  \) (4)
Como de (1a) tenemos que \( u-2p \equiv 0 \mod (3) \) entonces de (4) tenemos que  \( t=3 | p^3 \). ¿Es correcto?

Para que el argumento funcione partes de un factor \( t \) común a \( 3^2p^3-u^3 \) y \( u-2p \).

Entonces para \( t=3 \) debiera de ocurrir que \( 3 \) fuese un divisor \( 3^2p^3-u^3 \); pero eso si no me equivoco no lo tenemos garantizado. Se cumpliría si \( u \) fuese mútliplo de \( 3 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 08 Julio, 2013, 10:32 am
Hola,
\( u-2p \) divide a \( 3^{2m-3}(3^2p^3-u^3) \) y \( q, r \) no son múltiplos de \( 3 \), luego \( u-2p \) es múltiplo de \( 3 \).
En la prueba de mi respuesta anterior quería probar que cualquier \( t \) que divide a \( u-2p \) también divide a \( 3^2p^3-u^3 \) luego \( 3 \) tiene que dividir a \( 3^2p^3-u^3 \) y de aquí se llega a que \( 3|p^3 \)?

También habíamos elegido \( q-r=3^{m-1}u \) de modo que \( u \) no sea múltiplo de \( 3 \)
Hola
Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?

Correcto.

Spoiler
Tenemos:

\( q^3-r^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^m pqr=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)

Si \( 3^m \) divide a \( q^3-r^3 \), divide a \( (q-r)(q^2+qr+r^2) \). Dado que

\( (q-r)^2=(q^2+qr+r^2)-3qr \)

y \( q,r \) son coprimos con \( 3 \), se deduce que necesariamente la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( q^2+qr+r^2 \) es \( 3^1 \) y así \( 3^{m-1} \) divide a \( q-r \).
[cerrar]
No se si estoy dejando de considerar algo...
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Julio, 2013, 10:44 am
Hola

En la prueba de mi respuesta anterior quería probar que cualquier \( t \) que divide a \( u-2p \) también divide a \( 3^2p^3-u^3 \) luego \( 3 \) tiene que dividir a \( 3^2p^3-u^3 \) y de aquí se llega a que \( 3|p^3 \)?

Pero es que eso es falso, precisamente cuando \( t=3 \). Es decir, de la igualdad:

\( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \)

- Es cierto que se deduce que \( 2p-u \) es mútliplo de \( 3 \).
- Es FALSO que se deduzca que \( u^3-3^2p^3 \) sea múltiplo de \( 3 \).

En todo el argumento que haces en tu mensaje tu tomas como hipótesis que \( t \) divide a \( u^3-3^2p^3 \) (no lo pruebas sino que lo tomas como hipótesis).

Si sigues pensando que no es así, indica de manera clara (o repítemelo resaltando los argumentos claves) como justificas que \( u^3-3^2p^3 \) es múltiplo de \( t=3 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 08 Julio, 2013, 10:59 am
Hola,
entonces si \( 3^2p^3-u^3 \) y  \( 2p-u \) tienen un factor común \( t \) se llega a una contradicción?
Luego se tiene que dar \( 3^2p^3-u^3=qr \)
y
\( 3^{2m-3}=(2p-u) \)?
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Julio, 2013, 11:14 am
Hola

Hola,
entonces si \( 3^2p^3-u^3 \) y  \( 2p-u \) tienen un factor común \( t \) se llega a una contradicción?
Luego se tiene que dar \( 3^2p^3-u^3=qr \)
y
\( 3^{2m-3}=(2p-u) \)?
Saludos

No. Se llegaría una contradicción si el factor común fuese \( t=3 \). Pero en otro caso, no veo tal contradicción (indícamela si tu la ves).

En resumen. De \( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \) y del hecho de que \( q,p,r \) sean coprimos y no múltipos de \( 3 \) lo que se dedude es que:

 \( 3^{2m-3} \) divide a \( 2p-u \)

y por tanto:

\( u^3-3^2p^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \)

 Pero NO tiene porque cumplirse que: \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right)=1 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 08 Julio, 2013, 03:28 pm
Hola,
\( 3^{2m-3} \) divide a \( 2p-u \)

y por tanto:

\( u^3-3^2p^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \)

 Pero NO tiene porque cumplirse que: \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right)=1 \).

Saludos.
entonces para el caso \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \neq 1 \), sea \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \)
Tenemos que \( s | u^3-3^2p^3 \) luego \( s | p^3 \) ?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Julio, 2013, 04:36 pm
Hola

entonces para el caso \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \neq 1 \), sea \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \)
Tenemos que \( s | u^3-3^2p^3 \) luego \( s | p^3 \) ?
Muchas gracias!
Saludos

Si, eso si es correcto.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 09 Julio, 2013, 12:32 pm
Hola,
Hola

entonces para el caso \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \neq 1 \), sea \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \)
Tenemos que \( s | u^3-3^2p^3 \) luego \( s | p^3 \) ?
Muchas gracias!
Saludos

Si, eso si es correcto.

Saludos.
\( p  \) y \( s \) tienen algún factor común entonces?
Tenemos \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \Rightarrow 2p-3^{2m-3}s=u \)
Si sustituimos el valor de \( u  \) en \( 3^2p^3-u^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \)
\( 3^2p^3 - (2p-3^{2m-3}s)^3= qrs  \)
\( 3^2p^3 - (2p)^3 + 3\cdot(2p)^2\cdot3^{2m-3}s - 3\cdot(2p)\cdot(3^{2m-3}s)^2+(3^{2m-3}s)^3 = qrs  \)
\( p^3 + 3\cdot(2p)^2\cdot3^{2m-3}s - 3\cdot(2p)\cdot(3^{2m-3}s)^2+(3^{2m-3}s)^3 = qrs  \)
\( \dfrac{p^3}{s} + 3\cdot(2p)^2\cdot3^{2m-3} - 3\cdot(2p)\cdot(3^{2m-3})^2\cdot s+(3^{2m-3})^3\cdot s^2 = qr  \)
Si \( p \) y \( s \) tienen un factor común, que conclusión podemos obtener para que se cumpla la igualdad anterior, donde ese factor común de \( p \) y \( s \) no puede dividir a \( q \) y \( r \) coprimos con \( p \)?
Muchas gracias!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Julio, 2013, 02:07 pm
Hola

\( p  \) y \( s \) tienen algún factor común entonces?

Si.

De hecho como \( s \) divide a \( p^3 \), cualquier factor primo de \( s \) lo es de \( p \).

Tenemos \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \Rightarrow 2p-3^{2m-3}s=u \)
Si sustituimos el valor de \( u  \) en \( 3^2p^3-u^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \)
\( 3^2p^3 - (2p-3^{2m-3}s)^3= qrs  \)
\( 3^2p^3 - (2p)^3 + 3\cdot(2p)^2\cdot3^{2m-3}s - 3\cdot(2p)\cdot(3^{2m-3}s)^2+(3^{2m-3}s)^3 = qrs  \)
\( p^3 + 3\cdot(2p)^2\cdot3^{2m-3}s - 3\cdot(2p)\cdot(3^{2m-3}s)^2+(3^{2m-3}s)^3 = qrs  \)
\( \dfrac{p^3}{s} + 3\cdot(2p)^2\cdot3^{2m-3} - 3\cdot(2p)\cdot(3^{2m-3})^2\cdot s+(3^{2m-3})^3\cdot s^2 = qr  \)
Si \( p \) y \( s \) tienen un factor común, que conclusión podemos obtener para que se cumpla la igualdad anterior, donde ese factor común de \( p \) y \( s \) no puede dividir a \( q \) y \( r \) coprimos con \( p \)?

Fíjate que en el lado izquierdo de la igualdad:

\( \dfrac{p^3}{s} + 3\cdot(2p)^2\cdot3^{2m-3} - 3\cdot(2p)\cdot(3^{2m-3})^2\cdot s+(3^{2m-3})^3\cdot s^2 = qr  \)

Dado cualquier divisor primo \( \alpha \) factor común de \( p,s \), divide a todos los términos de la izquierda excepto quizá a \( p^3/s \). Si también dividiese a \( p^3/s \) entonces dividiría a \( q,r \). Pero eso contradice la coprimalidad de \( q,r,p \).

Por tanto \( p^3/s \) es coprimo con \( \alpha \) y por tanto aparece con grado múltiplo de tres en la descomposición en factores primos de \( s \). Conlcusión:

- \( s=s'^3 \) es un cubo perfecto.
- \( p/s' \) es coprimo con \( s' \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Julio, 2013, 07:58 pm
Hola el_manco,
Hola

\( p  \) y \( s \) tienen algún factor común entonces?

Si.

De hecho como \( s \) divide a \( p^3 \), cualquier factor primo de \( s \) lo es de \( p \).

Tenemos \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \Rightarrow 2p-3^{2m-3}s=u \)
Si sustituimos el valor de \( u  \) en \( 3^2p^3-u^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \)
. . .
Conlcusión:

- \( s=s'^3 \) es un cubo perfecto.
- \( p/s' \) es coprimo con \( s' \).

Saludos.
Voy a cambiar tu notación en lo anterior para que me quede lo siguiente

Citar
Tenemos \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s' \Rightarrow 2p-3^{2m-3}s'=u \) (1)
Si sustituimos el valor de \( u  \) en \( 3^2p^3-u^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \) (2)
y reescribo las conclusiones:

- \( s'=s^3 \) es un cubo perfecto.
- \( p/s \) es coprimo con \( s \).

Podemos poner \( p=st \) para algún \( t \) coprimo con \( s \)

Utilizando el valor de \( u \) de (1) en (2) y el valor de \( p \) anterior:
\( \underbrace{3^2(st)^3}_{3^2p^3}-\underbrace{(2st-3^{2m-3}s^3)^3}_{u^3}=qrs^3 \Rightarrow \)
\( 3^2t^3- \left(\dfrac{u}{s}}\right)^3=qr \) (3)

También habíamos elegido \( q-r=3^{m-1}u \) de modo que \( u \) no sea múltiplo de \( 3 \)
Hola
Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?

Correcto.

Spoiler
Tenemos:

\( q^3-r^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^m pqr=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)

Si \( 3^m \) divide a \( q^3-r^3 \), divide a \( (q-r)(q^2+qr+r^2) \). Dado que

\( (q-r)^2=(q^2+qr+r^2)-3qr \)

y \( q,r \) son coprimos con \( 3 \), se deduce que necesariamente la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( q^2+qr+r^2 \) es \( 3^1 \) y así \( 3^{m-1} \) divide a \( q-r \).
[cerrar]
Utilizo
\( q=3^{m-1}u+r \Rightarrow q-r=3^{m-1}u \)  (el mismo \( u \) utilizado hasta ahora)
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow q^3-r^3 =3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^{m}pqr  \) (4)
\( q^3-r^3 =(q-r)(q^2+qr+r^2) \) (5)
y sustituyo el valor de \( p=st \) y el de \( qr \) de (3) en (4), y el de \( q^3-r^3 \) de (5) en (4)
(4) nos queda entonces:
\( (q-r)(q^2+qr+r^2)=3^{3m-1}s^3t^3+2\cdot3^mst\underbrace{(3^2t^3- \left(\dfrac{u}{s}\right)^3}_{qr})\Rightarrow \)
\( (3^{m-1}u)(q^2+qr+r^2)=3^{m+2}t^3(2st+3^{2m-3}s^3)-2\cdot3^mst \left(\dfrac{u}{s}\right)^3 \)
Si teniamos que \(  2p-3^{2m-3}s'= 2st-3^{2m-3}s^3=u \)
¿Todos los términos son múltiplos de \( u \) excepto \( 3^{m+2}t^3(2st+3^{2m-3}s^3) \)?
Gracias
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Julio, 2013, 10:05 am
Hola

\( (3^{m-1}u)(q^2+qr+r^2)=3^{m+2}t^3(2st+3^{2m-3}s^3)-2\cdot3^mst \left(\dfrac{u}{s}\right)^3 \)
Si teniamos que \(  2p-3^{2m-3}s'= 2st-3^{2m-3}s^3=u \)
¿Todos los términos son múltiplos de \( u \) excepto \( 3^{m+2}t^3(2st+3^{2m-3}s^3) \)?

Es cierto que todos los términos que indicas son múltiplos de \( u \). Es más claro si escribes así la expresión:

\( (3^{m-1}u)(q^2+qr+r^2)=3^{m+2}t^3(2st+3^{2m-3}s^3)-2\cdot3^mut \left(\dfrac{u}{s}\right)^2 \)

¿Pero por qué afirmas que  \( 3^{m+2}t^3(2st+3^{2m-3}s^3) \) no lo es?. No lo veo obvio.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 15 Julio, 2013, 10:21 am
Hola el_manco,
si llamo \( a =2st \) y \(  b =3^{2m-3}s^3 \)
entonces \(  u=a-b \) y el término que digo que no es múltiplo de \( u \)
\( 3^{m+2}t^3(a+b) \)
Bajo que condiciones \( a-b \) tiene que dividir a \( a+b \)?
Se cumplen estan condiciones con las hipotesis que hemos utilizado?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Julio, 2013, 10:57 am
Hola

Hola el_manco,
si llamo \( a =2st \) y \(  b =3^{2m-3}s^3 \)
entonces \(  u=a-b \) y el término que digo que no es múltiplo de \( u \)
\( 3^{m+2}t^3(a+b) \)
Bajo que condiciones \( a-b \) tiene que dividir a \( a+b \)?
Se cumplen estan condiciones con las hipotesis que hemos utilizado?

Tiene que ocurrir que:

\( a+b=k(a-b) \) equivalentemente \( (k-1)a=(k+1)b \)

En nuestro caso:

\( 2st(k-1)=(k+1)3^{2m-3}s^3 \)

Simplificando:

\( 2t(k-1)=(k+1)3^{2m-3}s^2 \)

Si mal no recuerdo \( p=st \) no es múltiplo de \( 3 \) y por tanto \( t \) tampoco. Entonces:

\( k-1=3^{2m-3}K \)

Tendríamos:

\( 2tK=(3^{2m-3}K+2)s^2 \)

Como \( s \) y \( t \) son coprimos \( 2K=Ms^2 \); sustituyendo y simplificando:

\( Mt=3^{2m-3}Ms^2/2+2 \)

Ahora:

 - Si \( M \) es par, entonces \( 2 \) debe de ser divisible por \( M/2 \), es decir, \( M=2 \) ó \( M=4 \).

 - Si \( M \) es impar, entonces \( 2 \) debe de ser divisible por \( M \), es decir, \( M=1 \). Pero en ese caso tendríamos que:

\( t=3^{2m-3}s^2/2+2 \)

Por tanto \( s \) tendría que ser par y \( t \) también. Pero no es posible porque son coprimos.

En definitiva \( M=2 \) ó \( 4 \). Esto te va llevar a dos posibles relaciones entre \( s \) y \( t \):

\( 2t=3^{2m-3}s^2+2 \) (en ese caso \( s \) es par)

\( 2t=3^{2m-3}s^2+1 \) (en ese caso \( s \) es impar)

 ...mmmmm....no sé. Revisa lo que he hecho e intenta seguir tirando del hilo...

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 18 Julio, 2013, 02:05 am
Hola,

\( 2t=3^{2m-3}s^2+2 \) (en ese caso \( s \) es par) (I)

\( 2t=3^{2m-3}s^2+1 \) (en ese caso \( s \) es impar) (II)

 ...mmmmm....no sé. Revisa lo que he hecho e intenta seguir tirando del hilo...

entonces si \( s \) es par \( t \) tiene que ser impar (inmediato si ponemos \( s=2s' \) en (I) )
Y también tenemos que si \( s \) es impar \( t \) tiene que ser par.
Prueba: De (II) \( 2t=3^{2m-3}(2k+1)^2+1 \) para algún \( k \) y \( s=2k+1  \)
haciendo el desarrollo
\( 2t=3^{2m-3}((2k)^2+2\cdot2k+1)+1 \)
como todos los términos del lado derecho de la igualdad son múltiplos de 4, además de \( 3^{2m-3}+1 \), entonces \( t \) tiene que ser par.
Es correcto hasta aquí?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Julio, 2013, 09:30 am
Hola

entonces si \( s \) es par \( t \) tiene que ser impar (inmediato si ponemos \( s=2s' \) en (I) )
Y también tenemos que si \( s \) es impar \( t \) tiene que ser par.
Prueba: De (II) \( 2t=3^{2m-3}(2k+1)^2+1 \) para algún \( k \) y \( s=2k+1  \)
haciendo el desarrollo
\( 2t=3^{2m-3}((2k)^2+2\cdot2k+1)+1 \)
como todos los términos del lado derecho de la igualdad son múltiplos de 4, además de \( 3^{2m-3}+1 \), entonces \( t \) tiene que ser par.
Es correcto hasta aquí?

Correcto.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 18 Julio, 2013, 11:01 am
Hola,
entonces como alguno de \( s,t \) es par \( p=st \) es par, y \( q,r \) son impares ya que son coprimos con \( p \), luego \( q-r \) es par. pero teníamos

También habíamos elegido \( q-r=3^{m-1}u \) de modo que \( u \) no sea múltiplo de \( 3 \)
Luego \( u \) tiene que ser par y esto no es cierto si \( s \) impar, ya que haría que \( u \) sea impar en
. . .teníamos que \(  2st-3^{2m-3}s^3=u \)
Ahora para el caso en que \( s \) es par, teníamos
\( 3^2t^3- \left(\dfrac{u}{s}}\right)^3=qr \) (3)
\( 3^2t^3- \left(\dfrac{2ts-3^{2m-3}s^3}{s}\right)^3=qr\Rightarrow \)
\( 3^2t^3- (2t-3^{2m-3}s^2)^3=qr \)
en la igualdad anterior si \( s \) par, hace que \( qr \) sea par, pero esto tampoco es cierto ya que \( q,r \) son impares.
Si todo está bien, hemos encontrado la contradicción que estamos buscando?
Muchas gracias!
Saludos
 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Julio, 2013, 11:16 am
Hola

Hola,
entonces como alguno de \( s,t \) es par \( p=st \) es par, y \( q,r \) son impares ya que son coprimos con \( p \), luego \( q-r \) es par. pero teníamos

También habíamos elegido \( q-r=3^{m-1}u \) de modo que \( u \) no sea múltiplo de \( 3 \)
Luego \( u \) tiene que ser par y esto no es cierto si \( s \) impar, ya que haría que \( u \) sea impar en
. . .teníamos que \(  2st-3^{2m-3}s^3=u \)
Ahora para el caso en que \( s \) es par, teníamos
\( 3^2t^3- \left(\dfrac{u}{s}}\right)^3=qr \) (3)
\( 3^2t^3- \left(\dfrac{2ts-3^{2m-3}s^3}{s}\right)^3=qr\Rightarrow \)
\( 3^2t^3- (2t-3^{2m-3}s^2)^3=qr \)
en la igualdad anterior si \( s \) par, hace que \( qr \) sea par, pero esto tampoco es cierto ya que \( q,r \) son impares.
Si todo está bien, hemos encontrado la contradicción que estamos buscando?

Creo que si. Pero yo, como Santo Tomás, todaví soy excéptico: hemos usado muchas letras auxiliares; hay que revisar con cuidado que no se han mezclado papeles o significados distintos de una misma letra. Y que realmente no hemos metido la pata en ningún argumento.

Es decir, creo que es hora de recapitular y hacer en limpio de un tirón el argumento completo.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Julio, 2013, 01:45 pm
Hola

¡Ah, perdón pasé por alto un error!

Ahora para el caso en que \( s \) es par, teníamos
\( 3^2t^3- \left(\dfrac{u}{s}}\right)^3=qr \) (3)
\( 3^2t^3- \left(\dfrac{2ts-3^{2m-3}s^3}{s}\right)^3=qr\Rightarrow \)
\( 3^2t^3- (2t-3^{2m-3}s^2)^3=qr \)
en la igualdad anterior si \( s \) par, hace que \( qr \) sea par, pero esto tampoco es cierto ya que \( q,r \) son impares.

En la igualdad:

\( 3^2t^3- (2t-3^{2m-3}s^2)^3=qr \)

Si \( s \) es par, entonces \( 2t-3^{2m-3}s^2 \) es par y \( 3^2t^3 \) impar. Impar menos par=impar. Así que no es cierto que haga que \( qr \) sea par.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 23 Julio, 2013, 01:45 am
Hola el_manco,
muchas gracias por el apunte. Entonces si no hay contradicción con \( s \) par y \( t \) impar.
tenemos
\( 2t=3^{2m-3}s^2+2 \) (en ese caso \( s \) es par) (I)
Por otro lado teníamos
\(  u=2st-3^{2m-3}s^3 \) que por (I) \( u=2s \)
sustituyendo
\( qr=3^2t^3- \left(\dfrac{u}{s}}\right)^3=3^2t^3-2^3 \) (II)
Teníamos también
\( q-r=3^{m-1}u \) entonces \( q-r=3^{m-1}2s \) (III)
de (II) y (III) obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado
\( r^2+3^{m-1}2sr-(3^2t^3-2^3)=0 \)


\( r = \dfrac{{-3^{m-1}2s \pm \sqrt {(3^{m-1}2s)^2 +4(3^2t^3-2^3)} }}{2} \)

De (I) escribo \( s^2=\dfrac{2t-2}{3^{2m-3}} \) y \( r \) nos queda

\( r = \dfrac{{-3^{m-1}2s \pm \sqrt {(3\cdot4(2t-2) +4(3^2t^3-2^3)} }}{2}= \)
\( = \dfrac{{-3^{m-1}2s \pm 2\sqrt {(3\cdot(2t-2) +(3^2t^3-2^3)} }}{2} \)
\( = \dfrac{{-3^{m-1}2s \pm 2\sqrt {3^2t^3+6t-14} }}{2} \)

Y ahora, \( 3^2t^3+6t-14 \) puede ser el cuadrado de un número natural? (*)
Gracias!
Saludos

(*) si \( t=1 \) en I) nos queda \( s=0 \Rigtharrow  \) y por aquí sale la solución trivial al UTF.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Julio, 2013, 12:58 pm
Hola

 De acuerdo en las cuentas.

Y ahora, \( 3^2t^3+6t-14 \) puede ser el cuadrado de un número natural? (*)
Gracias!

 Yo diría que no, que no puede serlo (comprobado "a lo bruto" por ordenador no lo es para \( t\leq 10^6 \)); la cuestión es como probarlo.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Julio, 2013, 10:33 pm
Hola

 De acuerdo en las cuentas.

Y ahora, \( 3^2t^3+6t-14 \) puede ser el cuadrado de un número natural? (*)
Gracias!

 Yo diría que no, que no puede serlo (comprobado "a lo bruto" por ordenador no lo es para \( t\leq 10^6 \)); la cuestión es como probarlo.

Saludos.
Prueba:
Si \( 3^2t^3+6t-14=a^{2} \) para algún \( a \), y ya que \( 14 \equiv{2} \pmod {3} \) se tiene que dar que:
I)\( a \equiv {1} \pmod {3} \)
o
II)\( a \equiv {2} \pmod {3} \)

CASO I) \( a \equiv {1} \pmod {3} \)
podemos poner \( a=3k+1 \) para algún \( k \).
Entonces \( 3^2t^3+6t-14=(3k+1)^{2}=9k^2+6k+1 \Rightarrow \)
\( 3^2t^3+6t=9k^2+6k+15  \Rightarrow 3t^3+2t=3k^2+2k+5 \)
Y la igualdad anterior la podemos poner como
\( 3(t^3-1)+2(t-1)=3k^2+2k \Rightarrow \)
\( 3(t^3-1-k^2)=2(k-t+1) \)
Vamos a suponer:
\( \left\{\begin{array}{c}3=k-t+1 \\ 2=t^3-1-k^2 \end{array}\right \Rightarrow \)
\( k=2+t \) sustituyendo en \( 2=t^3-1-k^2 \)
\( 2=t^3-1-(2+t)^2 \Rightarrow t(t^2-t-4)=7 \)
Entonces
\( t=1 \), y la igualdad anterior nos queda \( -4=7 \)
o
\( t=7 \Rightarrow 38=1 \)
Entonces se tiene que dar en
\( 3(t^3-1-k^2)=2(k-t+1) \) que
\( \left\{\begin{array}{c}0=k-t+1 \\ 0=t^3-1-k^2 \end{array}\right \Rightarrow \)
\( k=0 \) y \( t=1 \)
Entonces la única solución para  que \( 3^2t^3+6t-14 \) sea un cuadrado de la forma \( 3k+1 \) es para \( t=1 \) ?
donde
(*) si \( t=1 \) en I) nos queda \( s=0 \Rigtharrow  \) y por aquí sale la solución trivial al UTF.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Julio, 2013, 11:00 pm
CASO II)\( a \equiv {2} \pmod {3} \)
podemos poner \( a=3k+2 \) para algún \( k \).
Entonces \( 3^2t^3+6t-14=(3k+2)^{2}=9k^2+12k+4 \Rightarrow \)
\( 3^2t^3+6t=9k^2+12k+18  \Rightarrow 3t^3+2t=3k^2+4k+6 \)
Y la igualdad anterior la podemos poner como
\( 3(t^3-k^2)=2(2k-t+3) \)
Vamos a suponer:
\( \left\{\begin{array}{c}3=2k-t+3 \\ 2=t^3-k^2 \end{array}\right \Rightarrow \)
\( 2k=t \) sustituyendo en \( 2=t^3-k^2 \)
\( 2=(2k)^3-k^2 \Rightarrow k^2(8k-1)=2 \)
que no puede darse  para \( k \) natural

Entonces se tiene que dar en
\( 3(t^3-k^2)=2(2k-t+3) \) que
\( \left\{\begin{array}{c}0=2k-t+3 \\ 0=t^3-k^2 \end{array}\right \Rightarrow \)
\( 2k+3=t \) y \( (2k+3)^3-k^2=0 \)
Pero la última igualdad no puede darse para números naturales, ya que \( (2k+3)^3-k^2>0 \)
Entonces el CASO II) no puede darse? Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 31 Julio, 2013, 09:54 am
Hola

 En ambos casos estás suponiendo que si:

 \( 3A=2B  \)

 entonces o bien

(i) \( A=2 \) y \( B=3 \)

 o bien

(ii) \( A=B=0 \).

 Pero esto no es así. Sin más argumentos y sin introducir nuevas incógnitas no hay manera de obtener dos ecuaciones de una sola.

 Simplemente lo que tienes es que \( A=2B/3 \). Dala valores a \( B \) mútliplos de \( 3 \) y tienes ejemplos donde no se cumple ni (i) ni (ii).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 16 Septiembre, 2013, 11:56 am
Hola el_manco,
totalmente de acuerdo con tu afirmación, y me quedo antes del error:
Hola

 De acuerdo en las cuentas.

Y ahora, \( 3^2t^3+6t-14 \) puede ser el cuadrado de un número natural? (*)
Gracias!

 Yo diría que no, que no puede serlo (comprobado "a lo bruto" por ordenador no lo es para \( t\leq 10^6 \)); la cuestión es como probarlo.

Saludos.
Prueba:
Si \( 3^2t^3+6t-14=a^{2} \) para algún \( a \), y ya que \( 14 \equiv{2} \pmod {3} \) se tiene que dar que:
I)\( a \equiv {1} \pmod {3} \)
o
II)\( a \equiv {2} \pmod {3} \)

CASO I) \( a \equiv {1} \pmod {3} \)
podemos poner \( a=3k+1 \) para algún \( k \).
Entonces \( 3^2t^3+6t-14=(3k+1)^{2}=9k^2+6k+1 \Rightarrow \)
\( 3^2t^3+6t=9k^2+6k+15  \Rightarrow 3t^3+2t=3k^2+2k+5 \)
Y la igualdad anterior la podemos poner como
\( 3(t^3-1)+2(t-1)=3k^2+2k \Rightarrow \)
\( 3(t^3-1-k^2)=2(k-t+1) \)
Y esto último es igual a
\( 3(t^3-k^2-1)-2(t-k-1)=0 \) (*)
Teniendo en cuenta que \( t  \) y \( k \) son positivos podemos considerar que \( t^3>k^ \)2, luego \( t<k \)
Pero con estas condiciones creo que la igualdad anterior no puede darse:
Tomo \(  t  \) y \(  k \) de forma que \( t^3-k^2=0 \)
que tienen que ser de la forma \(  t=(2a)^2 \) y \( k=(2a)^3 \) para algún \( a \)
pero entonces \( t^3-k^2-1 < 0 \) y (*) también sería \( <0 \). Entonces voy a considerar que
\( t>(2a)^2 \), sea \( t=(2a)^2+1 \) con \( k=(2a)^3 \) (teníamos \( t \) impar y\(  k \) par)
por lo tanto \( t^3=((2a)^2)^3+3((2a)^2)^2+3(2a)^2+1 \)
y \( t^3-k^2-1=((2a)^2)^3+3((2a)^2)^2+3(2a)^2+1-((2a)^3)^2-1 \Rightarrow \)
\( t^3-k^2-1=3(2a)^4+3(2a)^2=3(2a)^2[(2a)^2+1] \)
que es mayor que \( t-k-1=(2a)^2+1-(2a)^3-1)=(2a)^2(1-2a) \)
Luego la igualdad anterior \( 3(t^3-k^2-1)-2(t-k-1)=0 \)
no puede darse?
Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Septiembre, 2013, 12:32 pm
Hola

 Me pierdo.

Y esto último es igual a
\( 3(t^3-k^2-1)-2(t-k-1)=0 \) (*)
Teniendo en cuenta que \( t  \) y \( k \) son positivos podemos considerar que \( t^3>k^ \)2, luego \( t<k \)

Hasta aquí de acuerdo.

Citar
Pero con estas condiciones creo que la igualdad anterior no puede darse:
Tomo \(  t  \) y \(  k \) de forma que \( t^3-k^2=0 \)
que tienen que ser de la forma \(  t=(2a)^2 \) y \( k=(2a)^3 \) para algún \( a \)
pero entonces \( t^3-k^2-1 < 0 \) y (*) también sería \( <0 \).


Aquí parece que estás descartando el caso en el que \( t^3-k^2=0 \). De acuerdo.

Citar
Entonces voy a considerar que
\( t>(2a)^2 \), sea \( t=(2a)^2+1 \) con \( k=(2a)^3 \) (teníamos \( t \) impar y\(  k \) par)
por lo tanto \( t^3=((2a)^2)^3+3((2a)^2)^2+3(2a)^2+1 \)
y \( t^3-k^2-1=((2a)^2)^3+3((2a)^2)^2+3(2a)^2+1-((2a)^3)^2-1 \Rightarrow \)
\( t^3-k^2-1=3(2a)^4+3(2a)^2=3(2a)^2[(2a)^2+1] \)
que es mayor que \( t-k-1=(2a)^2+1-(2a)^3-1)=(2a)^2(1-2a) \)
Luego la igualdad anterior \( 3(t^3-k^2-1)-2(t-k-1)=0 \)
no puede darse?

En esto último es donde me perdí. En primer lugar cuando dices \( k=(2a)^3 \). ¿Por qué iba a ser \( k \) un cubo perfecto?. Luego dices que \( t=(2a)^2+1 \). ¿Por qué iba a tomar exactamente ese valor?.

Por otra parte esencialmente usas argumentos comparativos "tal término es mayor que tal otro" y no veo que uses de manera esencial números enteros. Esto es mala señal porque obviamente si existen números no enteros cumpliendo:

\( 3^2t^3+6t-14=a^{2} \)

y siempre vamos a poder tomar \( a=3k+1 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 16 Septiembre, 2013, 03:47 pm
Hola,
en la siguiente igualdad hay un error en un signo
Hola

 Me pierdo.

Y esto último es igual a
\( 3(t^3-k^2-1)-2(t-k-1)=0 \) (*)
Teniendo en cuenta que \( t  \) y \( k \) son positivos podemos considerar que \( t^3>k^ \)2, luego \( t<k \)

Hasta aquí de acuerdo.

Lo correcto es \( 3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1)=0 \) (*)
Lo que quería decir ( y que no expuesto bien) es que si tomamos \(  t  \) y \( k  \) lo suficentemente próximos,
para que la diferencia entre \( t^3  \) y \( k^2 \) sea pequeña pero positiva, hace que esa diferencia sea siempre mayor que \( t-k-1 \), entonces (*) será siempre mayor que cero.
Para verlo lo re-escribo de este modo:
Busco los valores de \( k \) para que \( t^3-k^2>0 \)
Con \( k=t\sqrt{t} \) tenemos que (*) es negativo, luego miro si el siguiente entero mayor a \( t \) , \( t+1 \), hace que (*) pueda ser igual a cero, además voy a considerar tan solo \( t^3-k^2-1  \) para ver que es mayor que \( t-k-1 \)
(y por lo tanto (*) no puede ser igual a cero).
Es decir, si \( k=t\sqrt{t} \) voy a ver que relación hay entre el siguiente entero mayor que \(  t \), \( t+1 \)
en \( t^3-k^2-1 \), (con \( k^2=t^3 \)). Escribo \( (t+1)^3-t^3-1 =3t^2+3t = t(3t+1)  \) (**)
Y lo mismo en \( t-k-1 \) para el siguiente entero mayor que \( t \) que es \( t+1 \), nos queda \( (t+1)-k-1 =t-k=t-t\sqrt{t}=t(\sqrt{t}-1) \) (***)
Con esto vemos que (**) es mayor que (***), \( t(3t+1) > t(\sqrt{t}-1) \) ?
Entonces no se cumple para enteros positivo que \( 3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1)=0 \) ?
Muchas gracias!
Saludos


Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Septiembre, 2013, 06:08 pm
Hola

 Lo siento. ¡No lo entiendo!.

 Yo veo que trabajas con \( k=t'\sqrt{t'} \) (que en principio no tiene ni porque se entero) y analizas la igualdad para \( t=t'+1 \). Pero no veo como de ahí deduces que en general esa igualdad es imposible.

 Mi sensación es que independientemente de que esté bien o mal tu idea, todavía no la estás expresando formalmente de manera correcta.

 Intenta escribirla con más detalle y rigurosidad.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 17 Septiembre, 2013, 10:13 am
Hola el_manco,
lo que quiero probar es que
\( 3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1)=0 \) no puede darse para números enteros:
Voy a llamar
\( A=3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1) \)
y voy a ver el signo de \( A \) para un \( t' \) determinado.
Si para ese \( t' \) tomo \( k'=t'\sqrt{t'} \), haciendo las cuentas obtenemos que \( A<0 \), miro entonces el valor de \( A \) para el siguiente entero mayor que \( t' \), sea \(  t''=t'+1 \)
y para el mismo \( k'=t'\sqrt{t'} \) para ver si \( A \) puede ser igual a \( 0 \)
Voy a ver que haciendo las cuentas en \( A=3(t''^3-k'^2-1)+2(t''-k'-1) \) obtenemos que \( A>0 \).
Además se ve más claro para \( A'=(t''^3-k'^2-1)+(t''-k'-1) \) que \( A'>0 \). La cuentas:
\( A'=(t'+1)^3-(t'\sqrt{t'})^2-1+(t'+1-t'\sqrt{t'}-1)= \)
\( =3t'^2+3t'+t'-t'\sqrt{t'} \) y esto es mayor que cero para \( t'>0 \) como estabamos considerando.
En resumen, si para un \( t' \) tomo \( k'=t'\sqrt{t'} \) entonces \( A<0 \) y si tomo \( t''=t'+1 \), el siguiente entero positivo mayor que \( t' \) para el mismo \(  k' \) entonces \( A>0 \).
Muchas gracias!
Saludos


Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Septiembre, 2013, 10:46 am
Hola

 Veamos. Sea:

\(  f(k,t)=3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1) \)

 Lo que pruebas es:

 - Dado \( t_0\in N \) y tomando \( k_0=t_0\sqrt{t_0} \) se cumple que:

 i) \( f(k_0,t_0)<0 \)
ii) \( f(k_0,t)>0 \) para todo \( t\in N \), \( t>t_0 \)

 Así lo que se demuestra es que \( f(k,t)=0 \) no tiene solución para \( t \) entero y para \( k=t_0\sqrt{t_0} \) con \( t_0 \) entero.

 Equivalentemente se demuestra que \( f(k,t)=0 \) no tiene solución para \( t \) entero y para \( k^2 \) el cubo de un entero (ya que \( k=t_0\sqrt{t_0}\quad \Leftrightarrow{}\quad k^2=t_0^3 \)).

Pero no veo que se pruebe que \( f(k,t)=0 \) no pueda tener solución con \( t \) entero y \( k \) también entero.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 17 Septiembre, 2013, 11:45 am
Hola,
creo entender entonces que habría que probar que para \(  k_1  \), el entero mayor que \( k_0 \) (*)
\( f(k_1,t)=0 \) no tiene solución?

(*) si es menor entonces es claro que \( f(k_1,t)>0 \)?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Septiembre, 2013, 11:56 am
Hola

 Fíjate que la función \( f(k,t) \) es decreciente en \( k \) (para \( k \) positivo) ya que la derivada parcial:

 \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial k}}(k,t)=-6k-2<0 \)

 Por tanto:

 - Dado que \( f(k_0,t_0)<0 \) en principio pudiera ocurrir que para \( k<k_0 \) se diese \( f(k,t_0)=0 \).
 
 - Dado que \( f(k_0,t)>0 \) con \( t>t_0 \) puede ocurrir para \( k>k_0 \) se diese que \( f(k,t_0)=0 \).

 Entonces esos son los casos que están abiertos.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 23 Septiembre, 2013, 01:02 pm
Hola el_manco,
no me dí cuenta del resto de casos... Muchas gracias!
Saludos
Nota: He corregido en la siguiente cita
En resumen, si para un \( t' \) tomo \( k'=t'\sqrt{t'} \) entonces \( A<0 \) y si tomo \( t''=t'+1 \), el siguiente entero positivo mayor que \( t' \) para el mismo \(  k' \) entonces \( A<0 \).
por
En resumen, si para un \( t' \) tomo \( k'=t'\sqrt{t'} \) entonces \( A<0 \) y si tomo \( t''=t'+1 \), el siguiente entero positivo mayor que \( t' \) para el mismo \(  k' \) entonces \( \color{red}A>0 \).

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 24 Septiembre, 2013, 05:30 pm
Hola,
estaba revisando UTF "apuntando alto" http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=67444.0 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=67444.0) de mente oscura. He visto que trata el tema de la paridad de los términos del UTF \( x,y,z \) ...  He vuelto a un post anterior:
Hola,
Citar
El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.
Todo viene de la notación clásica del UTF
\( x^n=y^n+z^n \)
utilizando que \( x,y,z \) son enteros positivos
Con esto había llegado a los siguientes resultados:

I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

II) \( (q^3-3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

Utilizando I) en II)
\( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(q^3-3^{m}pqr)^n \)
obtengo el resultado en III)

III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
para ver como tiene que ser \( x,y,z \) ¿Es correcto pensar que 1) uno de ellos tiene que ser par y los otro dos impares o 2) los tres tienen que ser pares?

Voy a considerar que \( x \) es par, luego 1) \( y,z \) son impares o 2) \( y,z \) son pares.
Para el caso 1) \( y,z \) son impares
Si \( y=3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr \) es impar se tiene que dar que \( q \) tiene que ser par  (\( r \) no puede serlo ya que \( z=r^3+3^{m}pqr \) sería par). Como  \( p,q,r \) son coprimos \( p,r \) son impares
pero \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \), entonces \( q^3 \) como mínimo es \( \equiv {0} \pmod {8} \) pero \( 2\cdot3^{m}pqr \equiv {0} \pmod {4} \). Este caso entonces no puede darse?
Para el caso 2) \( y,z \) son pares
En este caso \(  p,q,r \) tienen que ser impares (si \( p \) es par, y \( x \) es par \( x=3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr \), \( r \) tendría que ser par, que no puede ser ya que \( p,r \) son coprimos. Lo mismo ocurre si \( r \) par \(  \Rightarrow p \) par, o si \( q \) par \( \Rightarrow p \) par).
pero \( x \) sería impar, que contradice la hipótesis inicial.

Es correcto?
Muchas gracias!!
Saludos

 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Septiembre, 2013, 10:31 pm
Hola

para ver como tiene que ser \( x,y,z \) ¿Es correcto pensar que 1) uno de ellos tiene que ser par y los otro dos impares o 2) los tres tienen que ser pares?

El caso de los tres pares puedes ahorrártelo, porque sin pérdida de generalidad puede suponerse \( x,y,z \) coprimos.

Citar
Para el caso 1) \( y,z \) son impares
Si \( y=3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr \) es impar se tiene que dar que \( q \) tiene que ser par  (\( r \) no puede serlo ya que \( z=r^3+3^{m}pqr \) sería par). Como  \( p,q,r \) son coprimos \( p,r \) son impares
pero \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \), entonces \( q^3 \) como mínimo es \( \equiv {0} \pmod {8} \) pero \( 2\cdot3^{m}pqr \equiv {0} \pmod {4} \). Este caso entonces no puede darse?

No veo porqué no va a poder darse. En:

\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)

lo que se deduce es que \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) es divisible por \( q \) (y por tanto por la mayor potencia de dos que divida a \( q \)).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 27 Septiembre, 2013, 12:49 am
Hola
El caso de los tres pares puedes ahorrártelo, porque sin pérdida de generalidad puede suponerse \( x,y,z \) coprimos.
Vaya! no me dí cuenta...
Citar
Para el caso 1) \( y,z \) son impares
Si \( y=3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr \) es impar se tiene que dar que \( q \) tiene que ser par  (\( r \) no puede serlo ya que \( z=r^3+3^{m}pqr \) sería par). Como  \( p,q,r \) son coprimos \( p,r \) son impares
pero \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \), entonces \( q^3 \) como mínimo es \( \equiv {0} \pmod {8} \) pero \( 2\cdot3^{m}pqr \equiv {0} \pmod {4} \). Este caso entonces no puede darse?

No veo porqué no va a poder darse. En:

\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)

lo que se deduce es que \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) es divisible por \( q \) (y por tanto por la mayor potencia de dos que divida a \( q \)).

Saludos.
De acuerdo.

Por cierto, he estado esta tarde con un amigo hablando, entre otras cosas, de matemáticas ...y una de las cosas que hemos comentado referente a las líneas de desarrollo de cualquier idea es tener bien documentado tanto aquellas sobre las que se produce algún avance, como aquellas que se cierran y que no lleven a ningún sitio, de ese modo no volveremos a recorrer un camino equivocado...
Volviendo a
\( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^{m}pqr \) (I)
he recordado y es fácil de ver hacieno las cuentas que la siguiente igualdad
\( q^3-r^3-p^3=3pqr \) (II)
tiene solución si \( p=q-r \), entonces (II) nos queda
\( q^3-r^3-(q-r)^3=3qr(q-r) \) (III)
Supongamos que (I) tiene solución para unos \( q_1 \) y \(  r_1 \) y buscamos el valor de \( p \).
Entonces utilizando estos  \( q_1 \) y \(  r_1 \)  en (I)
\( q_{1}^3-r_1^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pq_{1}r_{1} \) (IV)
y en (III)
\( q_1^3-r_1^3=(q_1-r_1)^3+3q_{1}r_{1}(q_1-r_1) \)
Sustituyendo el valor de \( q_1^3-r_1^3 \) en (IV)
\( (q_1-r_1)^3+3q_{1}r_{1}(q_1-r_1)=3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pq_{1}r_{1} \)
Entonces \( (q_1-r_1)^3 \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \)?
Y entonces \( (q_1-r_1) \) también tiene que ser múltiplo de 3?
Si \( m>2 \) entonces (IV) bajo que condiciones tiene solución con \( q_1, r_1, p \) coprimos no múltiplos de 3?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Septiembre, 2013, 11:48 am
Hola

Citar
Por cierto, he estado esta tarde con un amigo hablando, entre otras cosas, de matemáticas ...y una de las cosas que hemos comentado referente a las líneas de desarrollo de cualquier idea es tener bien documentado tanto aquellas sobre las que se produce algún avance, como aquellas que se cierran y que no lleven a ningún sitio, de ese modo no volveremos a recorrer un camino equivocado...

 ¡Qué gran verdad!

 Respecto a tus cuentas, son correctas, creo. No sé porque cambias las \( p,q,r \) por otras con subíndices, Directamente de:

\(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)

\(  q^3-r^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr \)

 Por otra parte \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \). Igualando con lo anterior:

\( (q-r)^3+3qr(q-r)=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr \)

 De ahí se deduce que \( (q-r) \) es mútliplo de \( 3 \). En particular si \( (q-r)=3^kW \) con \( W \) coprimo con \( 3 \) se tiene que:

\(  3^{3k}W^3+3^{k+1}qrW=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)  (*)

 Si \( p,q,r \) con comprimos con \( 3 \) entonces \( 3^{2m-1}p^3+2pqr \) es coprimo con \( 3 \).

 Entonce de (*) se deduce que \( m=k+1 \). Es decir la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( (q-r) \) es \( 3^{m-1}. \)

 Y ya no sé que más añadir...  ;). Es decir realmente no sé contestar con más precisión a:

Citar
Si \( m>2 \) entonces (IV) bajo que condiciones tiene solución con \( q_1, r_1, p \) coprimos no múltiplos de 3?

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 27 Septiembre, 2013, 02:40 pm
Hola
Hola

Citar
Por cierto, he estado esta tarde con un amigo hablando, entre otras cosas, de matemáticas ...y una de las cosas que hemos comentado referente a las líneas de desarrollo de cualquier idea es tener bien documentado tanto aquellas sobre las que se produce algún avance, como aquellas que se cierran y que no lleven a ningún sitio, de ese modo no volveremos a recorrer un camino equivocado...

 ¡Qué gran verdad!

...y olvidé añadir que el foro es un buen sitio para hacerlo... para compartir y aprender, para ser escuchado y sobre todo para obtener respuesta a dudas, problemas, inquietudes... No tengo palabras para agradecer la labor de este foro y de todos los que colaborar en él. Sinceramente, muchas gracias!!!

Citar
\( (q-r)^3+3qr(q-r)=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr \)


 De ahí se deduce que \( (q-r) \) es mútliplo de \( 3 \). En particular si \( (q-r)=3^kW \) con \( W \) coprimo con \( 3 \) se tiene que:

\(  3^{3k}W^3+3^{k+1}qrW=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)  (*)

 Si \( p,q,r \) con comprimos con \( 3 \) entonces \( 3^{2m-1}p^3+2pqr \) es coprimo con \( 3 \).

 Entonce de (*) se deduce que \( m=k+1 \). Es decir la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( (q-r) \) es \( 3^{m-1}. \)

 Y ya no sé que más añadir...  ;). Es decir realmente no sé contestar con más precisión a:

Citar
Si \( m>2 \) entonces (IV) bajo que condiciones tiene solución con \( q_1, r_1, p \) coprimos no múltiplos de 3?

Saludos.
Entonces, si sustituimos \( m=k+1 \) en (*)
\(  3^{3k}W^3+3^{k+1}qrW=3^{k+1}(3^{2k}p^3+2pqr)\Rightarrow \)
\(  3^{2k-1}W^3+qrW=3^{2k}p^3+2pqr\Rightarrow \)
\(  3^{2k-1}(W^3-3p^3)=qr(2p-W)\Rightarrow \)
\( qr|(W^3-3p^3) \) y \( 3^{2k-1}|(2p-W) \)
Va bien hasta aquí?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Septiembre, 2013, 03:12 pm
Hola

Entonces, si sustituimos \( m=k+1 \) en (*)
\(  3^{3k}W^3+3^{k+1}qrW=3^{k+1}(3^{2k}p^3+2pqr)\Rightarrow \)
\(  3^{2k-1}W^3+qrW=3^{2k}p^3+2pqr\Rightarrow \)
\(  3^{2k-1}(W^3-3p^3)=qr(2p-W)\Rightarrow \)
\( qr|(W^3-3p^3) \) y \( 3^{2k-1}|(2p-W) \)
Va bien hasta aquí?

Correcto.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 04 Octubre, 2013, 11:23 am
Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( p_2 \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {p_{2}} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)
entonces \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \) (factor de \( p \)) luego \( q^3  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Octubre, 2013, 11:42 am
Hola

¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( p_2 \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {p_{2}} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)

Hasta aquí de acuerdo. Pero luego sigues:

Citar
entonces \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \) (factor de \( p \)) luego \( q^3  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.

¿Cómo deduces que \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \)? No lo veo.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 04 Octubre, 2013, 12:58 pm
Hola
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( p_2 \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {p_{2}} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)

Hasta aquí de acuerdo. Pero luego sigues:

Citar
entonces \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \) (factor de \( p \)) luego \( q^3  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.

¿Cómo deduces que \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \)? No lo veo.

Saludos.
Si \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \(  p_1 \) y \( p \) (además de \( 3^m \)) podemos poner
\( q^3-r^3=3^{m-1}p_1\cdot3pp_3 \)
con \( q^2+qr+r^2 =3pp_3 \)?
Si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {p_{2}} \)
entonces \( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)
luego \( 3pp_3 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)
\( p_2  \) divide a \( p  \) pero \( p_2  \) no puede dividir a \( q^3 \)...entonces \( p_1 \) y \( p \) son coprimos?

No se si queda mas claro pensar que \( q-r \) y \( q^2+qr+r^2 \) son coprimos para ver que también lo son \( p_1 \) y \( p \):
si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_2} \) entonces \( q^2+qr+r^2\equiv 3q^3 \pmod {p_2} \). Como \( q^3 \) no puede ser múltiplo de \( p_2 \) (divisor de \( p \)), entonces \( q^2+qr+r^2 \) tampoco.

Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Octubre, 2013, 04:53 pm
Hola

 Sigo sin verlo:

Si \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \(  p_1 \) y \( p \) (además de \( 3^m \)) podemos poner
\( q^3-r^3=3^{m-1}p_1\cdot3pp_3 \)

 Esto en principio ya no tiene porque ser así. Por ejemplo \( 12 \) es múltiplo de \( 3 \) y de \( 6 \) pero no es múltiplo de \( 3\cdot 6 \).

 Por otra parte supongo que donde pones:

Citar
entonces \( q^2+qr+r^2\equiv 3q^3 \pmod {p_2} \)

 Sería:

"entonces \( q^2+qr+r^2\equiv  \color{red}3q^2\color{black} \pmod {p_2} \) "

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 04 Octubre, 2013, 05:56 pm
Hola

 Por otra parte supongo que donde pones:

Citar
entonces \( q^2+qr+r^2\equiv 3q^3 \pmod {p_2} \)

 Sería:

"entonces \( q^2+qr+r^2\equiv  {3q^2} \pmod {p_2} \) "

Saludos.
Sí, es como dices \( q^2+qr+r^2\equiv  {3q^2} \pmod {p_2} \)

Para el otro tema:
Si \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
¿\( (q-r)  \) y \( (q^2+qr+r^2) \) pueden tener algún divisor común? Si lo tienen puede ser divisor de \( p \)?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Octubre, 2013, 06:08 pm
Hola

 El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:

\(  (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)

 y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 07 Octubre, 2013, 12:55 am
Hola
Hola

 El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:

\(  (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)

 y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).

Saludos.
me he liado con este hecho e intentado ver si había relación entre \( p \) y \( p_1 \).

De todos modos creo que estoy pasando algo por alto:

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
De I) y II) tenemos entonces
\( 3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr = \)
\( 3^{3m-3}p_1^3+3qr\cdot3^{m-1}p_1 \Rightarrow \)
\( 3^{2m-3}(p_1^3-3^2p^3)=qr(2p-p_1) \)
Entonces ¿Cómo tienen que ser \( p \) y  \( p_1 \), positivos, para que los dos miembros de la igualdad anterior tengan el mismo signo?
(si \( q \) y \( r  \) son positivos sería equivalente a encontrar \( p \) y  \( p_1 \) de modo que \( p_1^3-3^2p^3 \) y \( 2p-p_1 \) tengan el mismo signo?)
Muchas gracias!!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Octubre, 2013, 10:24 am
Hola

De I) y II) tenemos entonces
\( 3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr = \)
\( 3^{3m-3}p_1^3+3qr\cdot3^{m-1}p_1 \Rightarrow \)
\( 3^{2m-3}(p_1^3-3^2p^3)=qr(2p-p_1) \)
Entonces ¿Cómo tienen que ser \( p \) y  \( p_1 \), positivos, para que los dos miembros de la igualdad anterior tengan el mismo signo?
(si \( q \) y \( r  \) son positivos sería equivalente a encontrar \( p \) y  \( p_1 \) de modo que \( p_1^3-3^2p^3 \) y \( 2p-p_1 \) tengan el mismo signo?)

Pues:

\( 2p\leq p_1\leq \sqrt[3]{9}p \)

Saludos.

P.D. En principio no es previsible que los signos nos ayuden. Para números reales la ecuación de Fermat y todas sus "transformadas" tienen solución; por tanto no es previsible que el estudio de los signos permita concluir.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 07 Octubre, 2013, 10:50 am
Hola el_manco,
estoy de acuerdo en que el terreno de los signos es farragoso (y cada vez que he entrado no ha servido para nada) y el UTF para reales tiene solución...
Citar
\( 2p\leq p_1\leq \sqrt[3]{9}p \)

Sin embargo no hay número natural \( p1 \) que cumpla
\( 2p\leq p_1\leq \sqrt[3]{9}p=2,08p \) ?

Muchas gracias!!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Octubre, 2013, 11:07 am
Hola

 Si lo hay. Por ejemplo si \( p=100 \):

\(  200\leq p_1\leq 208 \)

Saludos.

P.D. Estoy seguro de que (quizá con otras letras) exactamente está misma duda ya la habías preguntado.  ;)
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 07 Octubre, 2013, 12:10 pm
Hola,
es verdad que ya habíamos visto esto y creo luego me perdí en otra línea... ;)
En el ejemplo que tomas \( p=100 \)
para que \( 2p-p_1 >0 \Rightarrow p_1 < 200 \)
pero con \( p_1=200 \) hace que \( p_1^3-3^2p^3 =200^3-9\cdot100^3 <0  \)

Luego los dos miembros de la igualdad \( 3^{2m-3}(p_1^3-3^2p^3)=qr(2p-p_1) \)
no tienen el mismo signo, es correcto?
Muchas gracias!!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Octubre, 2013, 05:05 pm
Hola

Hola,
es verdad que ya habíamos visto esto y creo luego me perdí en otra línea... ;)
En el ejemplo que tomas \( p=100 \)
para que \( 2p-p_1 >0 \Rightarrow p_1 < 200 \)
pero con \( p_1=200 \) hace que \( p_1^3-3^2p^3 =200^3-9\cdot100^3 <0  \)

Luego los dos miembros de la igualdad \( 3^{2m-3}(p_1^3-3^2p^3)=qr(2p-p_1) \)
no tienen el mismo signo, es correcto?

Es correcto lo que dices. Pero no sé porque escoges esas condiciones.

Es decir \( p=100 \) se consigue que \( 2p-p_1 \) y \( p_1-3^2p^3 \) tengan el mismo signo (negativo) para cualquier \( p_1 \) en el rango:

\( 200<p_1\leq 208 \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 07 Octubre, 2013, 05:35 pm
Hola,

Es correcto lo que dices. Pero no sé porque escoges esas condiciones.

Es decir \( p=100 \) se consigue que \( 2p-p_1 \) y \( p_1-3^2p^3 \) tengan el mismo signo (negativo) para cualquier \( p_1 \) en el rango:

\( 200<p_1\leq 208 \)

Saludos.
Está claro.... no ví el caso que comentas ;)
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 09 Octubre, 2013, 11:43 pm
Hola el_manco,
De todos modos creo que estoy pasando algo por alto:

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
De I) y II) tenemos entonces
\( 3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr = \)
\( 3^{3m-3}p_1^3+3qr\cdot3^{m-1}p_1 \Rightarrow \)
\( 3^{2m-3}(p_1^3-3^2p^3)=qr(2p-p_1) \)
Pero esto ya lo habíamos visto donde poníamos la igualdad anterior como
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-p_1^3)=qr(p_1-2p) \) (*)
y con la notación de entonces tenemos
\( p_1-2p = u= 3^{2m-3} \)
y
\( k=p_1 \)
Hola

entonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r  \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \(  k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?

Está bien. Aunque el razonamiento no es del todo correcto. Que \( qru \) sea múltiplo de \( u^3 \) no quiere decir ni que \( q \) ni que \( r \) sean necesariamente múltiplos de \( u \); si que tengan factores primos comunes. Eso esta imposiblitado por la coprimalidad de \( q,r,p \) y el supuesto de \( p=ut \).

Además lo que razonas así es que \( p \) no es múltipo de \( u \); pero eso no excluye que \( u,p \) pudieran tener factores primos comunes. Es decir de lo que has hecho no se deduce necesariamante que \( u=3^{2m-3} \). Lo que debes de hacer es lo mismo que has hecho con \( u \), pero con un factor primo común de mayor exponente posible  del \( m.c.d.(p,u) \).
Hay que hacer la cuentas (... no las incluyo ahora) pero concluiste

De todas formas aunque maticé la prueba que hiciste, es correcto concluir que \( u=3^{2m-3} \) (lo he corregido ya que pusiste \( u=2^{2m-3} \))

Nos queda (*) como
\( \left\{ \begin{array}{c}3^{2m-3}=p_1-2p\\ 3^2p^3-p_1^3=qr \end{array}\right \Rightarrow \)

\( \displaystyle\frac {p_1-3^{2m-3}}{2} =p \)
\( 3^2(\displaystyle\frac {p_1-3^{2m-3}}{2})^3-p_1^3=qr \Rightarrow \)
\( 2^3(qr+p_1^3)=3^2(p_1-3^{2m-3})^3 \) (**)
Como \( 2^3 |(p_1-3^{2m-3})^3 \) podemos poner
\( 2^3t^3=(p_1-3^{2m-3})^3  \) para algún \( t \), luego
\( 3^2t^3=qr-p_1^3 \) donde sustituimos el valor que teníamos de \(  qr=3^2p^3-p_1^3 \) y nos queda
\( 3^2t^3=3^2p^3-p_1^3-p_1^3 \Rightarrow  \)
\( 2p_1^3=3^2(p^3-t^3) \) que no puede darse ya que \( 3 \) no divide a \( p_1 \).
Si esto es correcto entonces de (**) nos queda
\( 3^2=qr+p_1^3 \) (***)
y
\( 2=p_1-3^{2m-3} \)
entonces \( (2+3^{2m-3})^3=p_1^3 \)
sustituyendo en (***)
\( 3^2=qr+(2+3^{2m-3})^3 \) que para \( qr  \) positivos no puede darse?
Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Octubre, 2013, 10:34 am
Hola

 Vas a matarme pero ahora no veo claro que uno pueda concluir que \( u=3^{2m-3} \).

 He estado revisando el hilo y no encuentro donde se probó eso. Te comenté que tu argumento no era correcto, pero que aun así modificándolo si podía llegarse a esa conclusión. Pero no veo que en ningún sitio ni tu ni yo llegásemos a escribir la prueba. ¿Me la he pasado por alto?.

 Entonces conviene que revisemos ese argumento.

 La cosa venía de la igualdad:

\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)  (*)

 donde:

\(  u=p_1-2p,\quad q-r=3^{m-1}p_1 \)

 y dado que \( qr \) es coprimo con \( 3 \), \( u \) es múltiplo de \( 3^{2m-3} \).

 Entonces (*) puede escribirse como:

\( qru=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}(2p)^3-u(3^{2m-2}\cdot (2p)^2+3^{2m-2}\ccdot (2p)\cdot u+3^{2m-3}u^2) \)

\( qru=3^{2m-3}p^3-u(3^{2m-2}\cdot (2p)^2+3^{2m-2}\ccdot (2p)\cdot u+3^{2m-3}u^2) \)

 De ahí se deduce que \( u \) divide a \( 3^{2m-3}p^3 \). Y dado que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \), que \( u=3^{2m-3}t \) donde \( t \) es coprimo con \( 3 \).

 Ahora se supone que de ahí deberíamos de probar que \( t \) es uno y no veo como.

 Puede ocurrir que \( t=w^3 \) con \( w \) divisor de \( p \), sin que yo detecte ninguna contradicción en las igualdades anteriores.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 10 Octubre, 2013, 10:59 am
Hola

 Vas a matarme pero ahora no veo claro que uno pueda concluir que \( u=3^{2m-3} \).

... ;)
Citar
He estado revisando el hilo y no encuentro donde se probó eso. Te comenté que tu argumento no era correcto, pero que aun así modificándolo si podía llegarse a esa conclusión. Pero no veo que en ningún sitio ni tu ni yo llegásemos a escribir la prueba. ¿Me la he pasado por alto?.
No, es cierto que no está incluida...
Citar
Entonces conviene que revisemos ese argumento.

 La cosa venía de la igualdad:

\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)  (*)

 donde:

\(  u=p_1-2p,\quad q-r=3^{m-1}p_1 \)

 y dado que \( qr \) es coprimo con \( 3 \), \( u \) es múltiplo de \( 3^{2m-3} \).

 Entonces (*) puede escribirse como:

\( qru=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}(2p)^3-u(3^{2m-2}\cdot (2p)^2+3^{2m-2}\ccdot (2p)\cdot u+3^{2m-3}u^2) \)

\( qru=3^{2m-3}p^3-u(3^{2m-2}\cdot (2p)^2+3^{2m-2}\ccdot (2p)\cdot u+3^{2m-3}u^2) \)

 De ahí se deduce que \( u \) divide a \( 3^{2m-3}p^3 \). Y dado que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \), que \( u=3^{2m-3}t \) donde \( t \) es coprimo con \( 3 \).

 Ahora se supone que de ahí deberíamos de probar que \( t \) es uno y no veo como.

 Puede ocurrir que \( t=w^3 \) con \( w \) divisor de \( p \), sin que yo detecte ninguna contradicción en las igualdades anteriores.

Saludos.
Entonces hasta aquí hemos probado que \( u \not| p \)?
Lo que quedaría es que si \( p_2=m.c.d(p,u) \), luego\(  p \) y\(  u \) tienen algún factor común, llegamos a una contradicción?
Y esto querría decir que \( t=1 \)?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Octubre, 2013, 11:04 am
Hola

Entonces hasta aquí hemos probado que \( u \not| p \)?
Lo que quedaría es que si \( p_2=m.c.d(p,u) \), luego\(  p \) y\(  u \) tienen algún factor común, llegamos a una contradicción?
Y esto querría decir que \( t=1 \)?

Si; pero precisamente el problema es que no veo que lleguemos a ninguna contradicción.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 10 Octubre, 2013, 11:26 am
Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
entonces \( p=p_2p_3 \) y \( u=p_2u_1 \), con \( u_1 \) y \(  p_3 \) coprimos
Sutituyendo en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3)\Rightarrow \)
\( qru_1p_2=3^{2m-3}(3^2(p_2p_3)^3-(u_1p_2+2p_2p_3)^3)\Rightarrow \)
\( qru_1=3^{2m-3}p_2^2(3^2p_3^3-(u_1+2p_3)^3) \)
entonces \( p_2^2 \) tiene que dividir a \(  qru_1 \) que no es posible ya que \( u_1 \) no es divisor de \(  p_2 \) y además como \(  p_2 \) divide a \(  p \), entonces \( p_2 \) no puede dividir a \( qr \).
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Octubre, 2013, 11:51 am
Hola

Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
entonces \( p=p_2p_3 \) y \( u=p_2u_1 \), con \( u_1 \) y \(  p_3 \) coprimos
Sutituyendo en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3)\Rightarrow \)
\( qru_1p_2=3^{2m-3}(3^2(p_2p_3)^3-(u_1p_2+2p_2p_3)^3)\Rightarrow \)
\( qru_1=3^{2m-3}p_2^2(3^2p_3^3-(u_1+2p_3)^3) \)

Bien.

Citar
entonces \( p_2^2 \) tiene que dividir a \(  qru_1 \) que no es posible ya que \( u_1 \) no es divisor de \(  p_2 \)

¿Por qué no va a ser posible que \( p_2^2 \) divida a \( u_1 \)?.

Por ejemplo supón con tu notación \( p_3=1 \) y \( u_1=p_2^2 \), es decir, desde el principio:

\( p=p_2\cdot 1 \) y \( u=p_2\cdot p_2^2 \)

Susituye en la ecuación y verás como no se obtiene nada contradictorio.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 10 Octubre, 2013, 12:32 pm
Hola,
si \( u=p_2^3 \) y  \( p=p_2 \) en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p_2+u)^3)\Rightarrow \)
\( qrp_2^3=3^{2m-3}(3^2p_2^3-(2p_2+p_2^3)^3)\Rightarrow \)
\( qr=3^{2m-3}(3^2p_2^3-(2+p_2^2)^2)\Rightarrow \)
pero entonces
\( 3^{2m-3} | qr \) donde \( q,r \) hemos supuesto no múltiplos de \( 3 \).
Es correcto?
Saludos


Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Octubre, 2013, 12:35 pm
Hola

 Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_1,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 10 Octubre, 2013, 05:23 pm
Hola

 Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_1,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)

Saludos.
Ok, de acuerdo con tu ejemplo. (cambio \( p_1 \) por \( p_3 \) ya que lo utilicé en \( q-r=3^{m-1}p_1 \))
Si tenemos entonces
\(  p=p_2\cdot p_3  \)
\(  u=p_2^3\cdot 3^{2m-3} \)
además de \( p_1=2p+u \Rightarrow p_1=2p_2\cdot p_3+p_2^3\cdot 3^{2m-3}=p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Por otro lado
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3)\Rightarrow \)
\( qrp_2^3\cdot 3^{2m-3}=3^{2m-3}(3^2(p_2p_3)^3-(2p_2p_3+p_2^3\cdot 3^{2m-3})^3)\Rightarrow \)
\( qr=3^2p_3^3-(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})^3 \)
También teníamos
\( q-r=3^{m-1}p_1= \)
\( =3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Mas cosas:
De todos modos creo que estoy pasando algo por alto:

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
De I y II) tenemos \( p_1 | q^3-r^3 \) y \( p_2p_3=p| q^3-r^3 \)
que \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y que \( 3 \) es el único divisor común de  \( (q-r) \) y \(  (q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \(  (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)
Hasta aquí estás de acuerdo?
Muchas gracias!
Saludos
 
 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Octubre, 2013, 05:37 pm
Hola

 Bufff... es fácil perderse con tanta variable auxiliar.

 Pero veamos

De I y II) tenemos \( p_1 | q^3-r^3 \) y \( p_2p_3=p| q^3-r^3 \)
que \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y que \( 3 \) es el único divisor común de  \( (q-r) \) y \(  (q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \(  (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)

  Varias cosas:

 1) ¿Afirmas qué \( q-r \) no es múltiplo de \( p_3 \) o simplementes dices que si no lo fuese pasaría tal cosa?. ¿Si lo afirmas por qué?.

 2) No es lo mismo que \( q-r \) no sea múltiplo de \( p_3 \) que que sea coprimo con \( p_3 \). De lo segundo se se decuce dado que \( p_3 \) es divisor de \( q^3-r^3 \) que \( (q^2+qr-r^2) \) es múltiplo de \( p_3 \). De lo primero, pudiera ocurrir que \( p_3 \) repartiese sus factores entre \( q-r \) y \( (q^2+qr-r^2) \).

 3) \( p=p_2\cdot p_3 \) y \( u=p_2^3\cdot 3^{2m-3} \) fue un ejemplo. Pero todavía no estoy seguro que tenga que ser así.

 4) Aunque fuese así (y no sé si lo estás usando en algún sitio) \( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen porque ser coprimos.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 10 Octubre, 2013, 05:47 pm
...pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \(  (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)
Como \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
en \( (q-r)^2 \) todos los términos son múltiplos de \( p_3 \) excepto
\( (p_2^2\cdot3^{2m-3})^2 \)
Ahora para \( qr=3^2p_3^3-(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})^3 \)
todos los términos son múltiplos de \( p_3 \) excepto
\( (p_2^2\cdot3^{2m-3})^3 \)
Tenemos entonces que para que \( (q-r)^2+3qr \)
sea múltiplo de \( p_3 \)
la siguiente suma también tiene que serlo
\( (p_2^2\cdot3^{2m-3})^2 \)
+
\( (p_2^2\cdot3^{2m-3})^3 \)
Y al escribir esto me he dado cuenta  :banghead: que el resultado de la suma es 
\( (p_2^2\cdot3^{2m-3})^2(1+(p_2^2\cdot3^{2m-3})) \)
Entonces no veo contradicción en que
\( (1+(p_2^2\cdot3^{2m-3}) ) \) sea múltiplo de \( p_3 \) :(
No se si las cuentas hasta aquí estám bien  y si el resultado final sirve para algo.
Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 10 Octubre, 2013, 06:05 pm
Hola

 Bufff... es fácil perderse con tanta variable auxiliar.

 Pero veamos

De I y II) tenemos \( p_1 | q^3-r^3 \) y \( p_2p_3=p| q^3-r^3 \)
que \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y que \( 3 \) es el único divisor común de  \( (q-r) \) y \(  (q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \(  (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)

  Varias cosas:

 1) ¿Afirmas qué \( q-r \) no es múltiplo de \( p_3 \) o simplementes dices que si no lo fuese pasaría tal cosa?. ¿Si lo afirmas por qué?.
Esa afirmación viene de
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)

Citar
2) No es lo mismo que \( q-r \) no sea múltiplo de \( p_3 \) que que sea coprimo con \( p_3 \). De lo segundo se se decuce dado que \( p_3 \) es divisor de \( q^3-r^3 \) que \( (q^2+qr-r^2) \) es múltiplo de \( p_3 \). De lo primero, pudiera ocurrir que \( p_3 \) repartiese sus factores entre \( q-r \) y \( (q^2+qr-r^2) \).
 3) \( p=p_2\cdot p_3 \) y \( u=p_2^3\cdot 3^{2m-3} \) fue un ejemplo. Pero todavía no estoy seguro que tenga que ser así.

 4) Aunque fuese así (y no sé si lo estás usando en algún sitio) \( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen porque ser coprimos.

uhmm...

De todos modo me adelanté a tu respuesta y publiqué la continuación, en la que me dí cuenta al final que no llegaba a nada.
Revisaré entonces los puntos 2), 3) y 4) anteriores que indicas.

Muchas gracias por seguir con tanta dedicación y detalle mis respuestas ;)
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 11 Octubre, 2013, 12:51 pm
Hola
Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
. . .
y
Hola

 Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)

Saludos.
\( p_2  \) y \( p_3 \) no tienen que ser coprimos?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Octubre, 2013, 01:44 pm
Hola

Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
. . .
y
Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)
\( p_2  \) y \( p_3 \) no tienen que ser coprimos?

Bueno en ese ejemplo particular si. Pero es bueno entender por que. En general si:

\( p_2=mcd(p,u) \)

se tiene

\( p_1=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot u_1 \)

con \( u_1 \) y \( p_3 \) coprimos. Pero \( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen porque serlo.

Ahora en mi ejemplo \( u_1=p_2^2\cdot 3^{2m-3} \) y por tanto si \( u_1 \) es coprimo con \( p_3 \) también \( p_2 \) es coprimo com \( p_3 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 20 Octubre, 2013, 10:40 pm
Hola el_manco,
Hola

Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
. . .
y
Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)
\( p_2  \) y \( p_3 \) no tienen que ser coprimos?

Bueno en ese ejemplo particular si. Pero es bueno entender por que. En general si:

\( p_2=mcd(p,u) \)

se tiene

\( p_1=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot u_1 \)

con \( u_1 \) y \( p_3 \) coprimos. Pero \( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen porque serlo.

Ahora en mi ejemplo \( u_1=p_2^2\cdot 3^{2m-3} \) y por tanto si \( u_1 \) es coprimo con \( p_3 \) también \( p_2 \) es coprimo com \( p_3 \).

Saludos.
creo que tu ejemplo es el que tiene que cumplirse y que por lo tanto \( p \) y \( u \) tienen que ser de la forma que indicas
\(  p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2^3\cdot 3^{2m-3} \)

Si \( u \) fuera de la forma
\( u=p_2^3\cdot 3^{2m-3}.p_4 \) para algún \( p_4 \) coprimo con \( p_2 \)
y lo utilizamos en
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-p_1^3)=qr(p_1-2p) \) (*)
donde teníamos que \( u=p_1-2p \)
luego \( p_1=p_2^3\cdot3^{2m-3}p_4+2p_2p_3 \)
entonces (*) nos queda
\( \displaystyle\frac {3^{2m-3}(3^2p^3-p_1^3)}{(p_1-2p)} =qr \Rightarrow \)
\( \displaystyle\frac {3^{2m-3}(3^2p_2^3p_3^3-(p_2^3\cdot3^{2m-3}p_4+2p_2p_3)^3}{p_2^3\cdot3^{2m-3}p_4} =qr \Rightarrow \)
\( \displaystyle\frac {3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}p_4+2p_3)^3}{p_4} =qr \)
todos los términos del numerador son múltiplos de \( p_4 \) excepto \( 3^2p_3^3-(2p_3)^3 = p_3^3 \)
entonces \( p_4 \) tiene que dividir a \( p_3^3 \) luego \( p_4 \) y \( p_3 \) no son coprimos
pero esto contradice que \( p_2=m.c.d(p,u)=m.c.d(p_2\cdot p_3,p_2^3\cdot3^{2m-3}\cdot p_4) \).
Estás de acuerdo?
Muchas gracias!!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 21 Octubre, 2013, 11:05 am
Hola

 De acuerdo.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 11 Noviembre, 2013, 09:44 pm
Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Noviembre, 2013, 11:20 am
Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 12 Noviembre, 2013, 10:35 pm
Hola,
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Lo podemos poner como
\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \(  A,B,C,D \) enteros
Para encontrar soluciones a las dos ecuaciones anteriores podemos buscar las soluciones de
\( 1=Ap_3-Bp_2 \)
\( 1=Cp_3-Dp_2 \)
que sabemos que existen ya que que \( p_2 \) y \( p_3 \) son coprimos?
Entonces las soluciones para I) y II) harían que \( qr \) y \( q-r \) tuvieran que tener algún divisor común?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Noviembre, 2013, 11:09 pm
Hola

\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \(  A,B,C,D \) enteros
Para encontrar soluciones a las dos ecuaciones anteriores podemos buscar las soluciones de
\( 1=Ap_3-Bp_2 \)
\( 1=Cp_3-Dp_2 \)
que sabemos que existen ya que que \( p_2 \) y \( p_3 \) son coprimos?
Entonces las soluciones para I) y II) harían que \( qr \) y \( q-r \) tuvieran que tener algún divisor común?

No veo como deducir de todo esto que \( qr \) y \( q-r \) tengan que tener algún divisor común. Fíajte que si \( p_3 \) y \( p_2 \) son coprimos la ecuación diofántica:

\( k=Ap_3+Bp_2 \)

tiene solución para cualquier \( k \). En particular para dos valores de \( k \) primos entre si.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 24 Noviembre, 2013, 01:31 pm
Hola,

No veo como deducir de todo esto que \( qr \) y \( q-r \) tengan que tener algún divisor común. Fíajte que si \( p_3 \) y \( p_2 \) son coprimos la ecuación diofántica:

\( k=Ap_3+Bp_2 \)

tiene solución para cualquier \( k \). En particular para dos valores de \( k \) primos entre si.

Saludos.
Sí, totalmente de acuerdo.
Volviendo a
\( 1=Ap_3-Bp_2 \)
todas las soluciones \( A,B \) de esta ecuación tiene que ser de la forma
\( 1=p_3(p_2k_1+a)-p_2(p_3k_1+b) \) (*) para algún \( a,b \) y cualquier \( k_1 \)
Por otro lado tenemos
Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
. . .
que podemos poner como
\( qr=Cp_3-Dp_2 \) para algunos \( C,D \)
Como \( q,r,p_2,p_3 \) son coprimos
la ecuación de (*) la podemos escribir como 
\( qr=qrp_3(p_2k_1+a)-qrp_2(p_3k_1+b) \) 
Entonces podemos decir que \( C \) y \(  D  \) tienen que ser de la forma
\( C=qr(p_2k_1+a) \)
y
\( D=qr(p_3k_1+b) \)
?
Muchas gracias!!
Saludos






Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Noviembre, 2013, 03:36 pm
Hola

Volviendo a
\( 1=Ap_3-Bp_2 \)
todas las soluciones \( A,B \) de esta ecuación tiene que ser de la forma
\( 1=p_3(p_2k_1+a)-p_2(p_3k_1+b) \) (*) para algún \( a,b \) y cualquier \( k_1 \)
Por otro lado tenemos
Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
. . .
que podemos poner como
\( qr=Cp_3-Dp_2 \) para algunos \( C,D \)
Como \( q,r,p_2,p_3 \) son coprimos
la ecuación de (*) la podemos escribir como 
\( qr=qrp_3(p_2k_1+a)-qrp_2(p_3k_1+b) \) 
Entonces podemos decir que \( C \) y \(  D  \) tienen que ser de la forma
\( C=qr(p_2k_1+a) \)
y
\( D=qr(p_3k_1+b) \)
?

Si, correcto.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 24 Noviembre, 2013, 06:34 pm
Hola,
entonces si
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3\Rightarrow \)
\( qr=(3^2-2^3)p_3.p_3^2-Dp_2 \) para algún \( D \) y \( C=p_3^2 \)
y si
\( C=qr(p_2k_1+a) \)
nos queda
\( C=p_3^2=qr(p_2k_1+a) \)
pero \( q,r,p_3 \) son coprimos.
¿Qué hemos pasado por alto?
Muchas gracias
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Noviembre, 2013, 12:31 pm
Hola

¿Qué hemos pasado por alto?
Muchas gracias

¡Perdón! Efectivamente pasé por alto un detalle en el mensaje anterior.

Citar
todas las soluciones \( A,B \) de esta ecuación tiene que ser de la forma
\( 1=p_3(p_2k_1+a)-p_2(p_3k_1+b) \) (*) para algún \( a,b \) y cualquier \( k_1 \)
Por otro lado tenemos
Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
. . .
que podemos poner como
\( qr=Cp_3-Dp_2 \) para algunos \( C,D \)
Como \( q,r,p_2,p_3 \) son coprimos
la ecuación de (*) la podemos escribir como 
\( qr=qrp_3(p_2k_1+a)-qrp_2(p_3k_1+b) \) 
Entonces podemos decir que \( C \) y \(  D  \) tienen que ser de la forma
\( C=qr(p_2k_1+a) \)
y
\( D=qr(p_3k_1+b) \)

Todas las soluciones de:

\( qr=Cp_3-DP_2 \)

no son producto por \( qr \) de las soluciones de:

\( 1=Ap_3-Bp_2. \)

Si la solución general de esta última es:

\( (A,B)=(a,b)+k_1(p_2,p_3) \)

La solución general de:

\( qr=Cp_3-DP_2 \)

sería:

\( (C,D)=(qra,qrb)+k_2(p_2,p_3) \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 25 Noviembre, 2013, 09:49 pm
Hola.
Entonces si tenemos
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3= \)
\( =p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-3(p_2^2\cdot3^{2m-3})^2\cdot2p_3 -3(p_2^2\cdot3^{2m-3})\cdot(2p_3)^2 \)
que podemos poner como
\( qr=Cp_3-Dp_2 \)
con \( D=p_2^5\cdot3^{6m-9}+k_3p_3 \) para algún \( k_3 \) (*)
Y tenemos también
La solución general de:
\( qr=Cp_3-DP_2 \)
sería:
\( (C,D)=(qra,qrb)+k_2(p_2,p_3) \)
Saludos.
con \( D=qrb+k_2p_3 \) (para cualquier \( k_2 \))
y tomamos para \( k_3 \) de (*) (\( k_3 \) es un valor particular) en la igualdad anterior (solución general)
\( D=qrb+k_3p_3 \)
¿Podemos igualar los dos valores de \( D \) anteriores?
\( D=p_2^5\cdot3^{6m-9}+k_3p_3=qrb+k_3p_3 \)
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Noviembre, 2013, 10:17 am
Hola

¿Podemos igualar los dos valores de \( D \) anteriores?
\( D=p_2^5\cdot3^{6m-9}+k_3p_3=qrb+k_3p_3 \)

No con el mismo \( k_3 \). Es decir lo que puedes asegurar es que:

\( p_2^5\cdot 3^{6m-9}-qrb=Kp_3 \)

En general dos soluciones distintas de la ecuación diofántica:

\( qr=Cp_3-Dp_2 \) (*)

difieren en una solución de la ecuación homogénea asociada:

\( 0=Cp_3-Dp_2 \)

O dicho de otra forma, si \( (C,D) \) y \( (C',D') \) son soluciones de (*) entonces;

\( (C,D)-(C',D')=K(p_2,p_3) \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 02 Enero, 2014, 10:11 pm
Hola
Si teníamos
Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.
Entonces
\( qr=(3^2-2^3)p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-\cdots \)
Si \( qr>0  \) ¿Podemos considerar entonces que \( p_3 > p_2 \)?
Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Enero, 2014, 10:23 pm
Hola

Entonces
\( qr=(3^2-2^3)p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-\cdots \)
Si \( qr>0  \) ¿Podemos considerar entonces que \( p_3 > p_2 \)?

Si.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 04 Enero, 2014, 01:12 am
Hola,
entonces existen algunos \(  a,b \) positivos donde se cumpla
\( 1=ap_3-bp_2 \) ?
En caso afirmativo,
todas las soluciones para
\( qr=Ap_3 - Bp_2 \)
tienen que ser de la forma
\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \) ?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Enero, 2014, 03:08 pm
Hola

entonces existen algunos \(  a,b \) positivos donde se cumpla
\( 1=ap_3-bp_2 \) ?

Si \( p_2,p_3 \) son coprimos (y creo que teníamos que si lo eran) si. Fíjate que dada una solución particular de esa ecuación \( (a_0,b_0) \) (que siempre existe por ser coprimos) también es solución:

\( (a,b)=(a_0,b_0)+k(p_2,p_3) \)

Tomando \( k \) suficientemente alto tenemos asegurado que \( a,b \) son positivos.

Citar
En caso afirmativo,
todas las soluciones para
\( qr=Ap_3 - Bp_2 \)
tienen que ser de la forma
\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \) ?

Todas las soluciones enteras son de esa forma con \( k \) entero.

Pero no todas las soluciones positivas son de esa forma con \( k \) positivo (algunos valores de k negativos pudieran hacer igualmente que \( aqr+kp_2,bqr+kp_3>0 \).)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 05 Enero, 2014, 06:20 pm
Hola

Hola

Citar
En caso afirmativo,
todas las soluciones para
\( qr=Ap_3 - Bp_2 \)
tienen que ser de la forma
\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \) ?

Todas las soluciones enteras son de esa forma con \( k \) entero.

Pero no todas las soluciones positivas son de esa forma con \( k \) positivo (algunos valores de k negativos pudieran hacer igualmente que \( aqr+kp_2,bqr+kp_3>0 \).)

Saludos.
De hecho \( k \) tiene que ser negativo:

Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3= \)
\( =p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-3(p_2^2\cdot3^{2m-3})^2\cdot2p_3-3(p_2^2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2\Rightarrow  \)
\( qr=Ap_3-Bp_2 \)
con
\( A=p_3^2 \)
y
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2 \)
como
Citar
\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \)
\( A=p_3^2=aqr+kp_2 \)
y
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2=bqr+kp_3 \)
De aquí \( A<B \) luego \( aqr+kp_2<bqr+kp_3 \)
Si teníamos que \( p_3 > p_2 \)
Hola

Entonces
\( qr=(3^2-2^3)p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-\cdots \)
Si \( qr>0  \) ¿Podemos considerar entonces que \( p_3 > p_2 \)?

Si.

Saludos.
y
Citar
\( 1=ap_3-bp_2 \)
Entonces \( b>a \) y
\( aqr+kp_2<bqr+kp_3 \Rightarrow (a-b)qr <k(p_3-p_2) \)
como \( qr \) son positivos entonces \( k<0 \).
Es correcto?
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Enero, 2014, 12:05 pm
Hola

Entonces \( b>a \) y
\( aqr+kp_2<bqr+kp_3 \Rightarrow (a-b)qr <k(p_3-p_2) \)
como \( qr \) son positivos entonces \( k<0 \).
Es correcto?

No veo la conclusión final. Tendrías que:

\( k(p_3-p_2)>(a-b)qr \)

de donde:

\( k>\dfrac{(a-b)qr}{p_3-p_2} \)

siendo \( \dfrac{(a-b)qr}{p_3-p_2} \) negativo.

Es decir tenemos que \( k \) es mayor que un número negativo, pero no que necesariamente sea negativo.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 08 Enero, 2014, 03:55 pm
Hola,
ok. No considero el signo de \( k \), \( k \in \matbb{Z} \).
Si tenemos
\( A=p_3^2=aqr+kp_2 \)
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2=bqr+kp_3 \)
luego
\( A<B \)
y además
\( 1=ap_3-bp_2 \)
como \( p3>p2 \) entonces \( b>a \)
Ahora si hacemos las cuentas para \( B-A = bqr+kp_3 - (aqr+kp_2) \Rightarrow (b-a)qr + (p_3-p_2)k \)
pero
\( B-A=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2 - p_3^2 \)
que es mayor que \( A \)
es decir
\( (b-a)qr + (p_3-p_2)k > aqr+p_2k \Rightarrow (b-2a)qr - (p_3-2p_2)k >0 \)
¿Es correcto hasta aquí?
Muchas gracias!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Enero, 2014, 10:49 am
Hola

Si tenemos
\( A=p_3^2=aqr+kp_2 \)
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2=bqr+kp_3 \)
luego
\( A<B \)
y además
\( 1=ap_3-bp_2 \)
como \( p3>p2 \) entonces \( b>a \)
Ahora si hacemos las cuentas para \( B-A = bqr+kp_3 - (aqr+kp_2) \Rightarrow (b-a)qr + (p_3-p_2)k \)
pero
\( B-A=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2 - p_3^2 \)
que es mayor que \( A \)
es decir
\( (b-a)qr + (p_3-p_2)k > aqr+p_2k \Rightarrow (b-2a)qr - (p_3-2p_2)k >0 \)
¿Es correcto hasta aquí?

Si, está bien.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 29 Enero, 2014, 01:05 am
Hola,
no se si me estoy perdiendo con las desigualdades y con los signos...
Si tenemos
\( ap_3-bp_2=1 \)
entonces todas las soluciones a esta ecuación son de la forma
\( a(p_3 +p_2k_1)-p_2(b+ak_1)=1 \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
pero también lo podemos poner como
\( b(-p_2+p_3k_2)+p_3(a-bk_2)=1 \) para cualquier \( k_2 \in \matbb{Z} \)
Entonces todas las soluciones para \( A=aqr+kp_2 \) tienen que ser de la forma
\( a(p_3A+p_2k_1)-p_2(bA+ak_1)=A \)
con \( A=p_3^2 \)
y todas las soluciones para \( B=bqr+kp_3 \) tienen que ser de la forma
\( b(-p_2B+p_3k_2)+p_3(aB-bk_2)=B \)
con \( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2 \)
Es correcto?
Muchas gracias!!!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Enero, 2014, 09:58 am
Hola

 ¡Me perdí!.

 
Si tenemos
\( ap_3-bp_2=1 \)
entonces todas las soluciones a esta ecuación son de la forma
\( a(p_3 +p_2k_1)-p_2(b+ak_1)=1 \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)

 Ahí no estás escribiendo (o no lo veo al menos) una familia de soluciones, sino una ecuación equivalente a la primera en la que has sumado y restado \( ap_2k_1 \).

Citar
pero también lo podemos poner como
\( b(-p_2+p_3k_2)+p_3(a-bk_2)=1 \) para cualquier \( k_2 \in \matbb{Z} \)

 Aquí lo mismo; es una reescrtiura de la ecuación inicial.

Citar
Entonces todas las soluciones para \( A=aqr+kp_2 \) tienen que ser de la forma
\( a(p_3A+p_2k_1)-p_2(bA+ak_1)=A \) con \( A=p_3^2 \)


 Ahí me perdí completamente no sé de donde sale esa forma y porque luego dices que \( A=p_3^2. \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 29 Enero, 2014, 11:37 am
Hola,
Hola

 ¡Me perdí!.

 
Si tenemos
\( ap_3-bp_2=1 \)
entonces todas las soluciones a esta ecuación son de la forma
\( a(p_3 +p_2k_1)-p_2(b+ak_1)=1 \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)

 Ahí no estás escribiendo (o no lo veo al menos) una familia de soluciones, sino una ecuación equivalente a la primera en la que has sumado y restado \( ap_2k_1 \).
Si fijamos \( a,p_2 \) y buscamos las todas las soluciones para
\( ap_3-bp_2=1 \)
¿Tienen que ser de esta forma:
\( a(p_3 +p_2k_1)-p_2(b+ak_1)=1 \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
?
Citar
Citar
pero también lo podemos poner como
\( b(-p_2+p_3k_2)+p_3(a-bk_2)=1 \) para cualquier \( k_2 \in \matbb{Z} \)

Citar
Aquí lo mismo; es una reescrtiura de la ecuación inicial.

Esto es lo mismo de antes, fijando \( b,p_3 \) como constantes y buscando todas las soluciones para
\( ap_3-bp_2=1 \)
¿Tienen que ser de esta forma:
\( b(-p_2+p_3k_2)+p_3(a-bk_2)=1 \) para cualquier \( k_2 \in \matbb{Z} \)[/quote]
?
Citar
Citar
Entonces todas las soluciones para \( A=aqr+kp_2 \) tienen que ser de la forma
\( a(p_3A+p_2k_1)-p_2(bA+ak_1)=A \) con \( A=p_3^2 \)


 Ahí me perdí completamente no sé de donde sale esa forma y porque luego dices que \( A=p_3^2. \)

Saludos.


Esto viene de
Hola

Si tenemos
\( A=p_3^2=aqr+kp_2 \)
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2=bqr+kp_3 \)
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Enero, 2014, 12:43 pm
Hola

Si fijamos \( a,p_2 \) y buscamos las todas las soluciones para
\( ap_3-bp_2=1 \)
¿Tienen que ser de esta forma:
\( a(p_3 +p_2k_1)-p_2(b+ak_1)=1 \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
?

Pero estamos en lo mismo. "Esa forma" no es una familia de soluciones sino una reescritura de la ecuación.

Es decir si tenemos la ecuación \( ap_3-bp_2=1 \) y fijas \( a,p_2 \) entiendo que consideras como incógnitas entonces \( p_3 \) y \( b \). Entonces la solución general de esa ecuación es:

\( (p_3,b)=(\hat p_3,\hat b)+k_1(p_2,a) \)

Donde \( \hat p_3,\hat b \) es una solución particular de la ecuación.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 29 Enero, 2014, 03:34 pm
Hola,
creo que no estoy describiendo bien lo que busco...
Lo que estoy buscando son unos \( qr,k \) para 
\( A=aqr+kp_2 \)
\( B=bqr+kp_3 \)
donde se cumple que
\( 1=ap_3-bp_2 \)
¿Entonces todas las soluciones para \( 1=bqr+kp_3 \) son de la forma
\( (qr,k)=(p_3,b)+k_1(p_2,a) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
y entonces para
\( B=bqr+kp_3 \) todas las soluciones son de la forma
\( (qr,k)=(Bp_3,Bb)+k_1(p_2,a) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
?
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Enero, 2014, 05:38 pm
Hola

donde se cumple que
\( 1=ap_3-bp_2 \)
¿Entonces todas las soluciones para \( 1=bqr+kp_3 \) son de la forma
\( (qr,k)=(p_3,b)+k_1(p_2,a) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)

No sé si hay alguna errata en algo que has escrito, pero no. Por ejemplo si \( k_1=0 \) tendrías:

\( (qr,k)=(p_3,b) \)

Entonces:

\( bqr+kp_3=bp_3+bp_3=2pb_3 \)

Creo que querías escribir otra cosa.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 29 Enero, 2014, 11:36 pm
Hola,
sí, creo que me han "bailado" las letras:

Hola

donde se cumple que
\( 1=ap_3-bp_2 \)
¿Entonces todas las soluciones para \( 1=bqr+kp_3 \) son de la forma
\( (qr,k)=(p_3,b)+k_1(p_2,a) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)

No sé si hay alguna errata en algo que has escrito, pero no. Por ejemplo si \( k_1=0 \) tendrías:

\( (qr,k)=(p_3,b) \)

Entonces:

\( bqr+kp_3=bp_3+bp_3=2pb_3 \)

Creo que querías escribir otra cosa.

Saludos.

Sería
\( (qr,k)=(-p_2,a)+k_1(p_3,b) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
Entonces para \( k_1=0 \)
\( (qr,k)=(-p_2,a) \)
luego
\( bqr+kp_3=-p_2b+ap_3=1 \)
Entonces todas las soluciones para
\( B=bqr+kp_3 \)
serían
\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,b) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
?
Muchas gracias!
Saludos


Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Enero, 2014, 10:03 am
Hola

Sería
\( (qr,k)=(-p_2,a)+k_1(p_3,b) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
Entonces para \( k_1=0 \)
\( (qr,k)=(-p_2,a) \)
luego
\( bqr+kp_3=-p_2b+ap_3=1 \)
Entonces todas las soluciones para
\( B=bqr+kp_3 \)
serían
\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,b) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)

Está casi bien. Te has comido un signo menos. Sería:

Para la ecuación \( 1=bqr+kp_3 \):

\( (qr,k)=(-p_2,a)+k_1(p_3,\color{red}-b\color{black}) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)

y para \( B=bqr+kp_3 \):

\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,\color{red}-b\color{black}) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Enero, 2014, 09:52 pm
Hola, muchas gracias el_manco por la corrección:
Para la ecuación \( 1=bqr+kp_3 \):

\( (qr,k)=(-p_2,a)+k_1(p_3,\color{red}-b\color{black}) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)

y para \( B=bqr+kp_3 \):

\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,\color{red}-b\color{black}) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)

Saludos.
Entonces para el otro caso \( A=aqr+kp_2 \)
Lo que estoy buscando son unos \( qr,k \) para 
\( A=aqr+kp_2 \)
\( B=bqr+kp_3 \)
donde se cumple que
\( 1=ap_3-bp_2 \)
¿Todas la soluciones serían:
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+k_2(-p_2,a) \) para cualquier \( k_2 \in \matbb{Z} \)
?
Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Enero, 2014, 10:09 pm
Hola

 Está bien.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Enero, 2014, 11:09 pm
Hola,
tenemos entonces
\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,-b) \)
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+k_2(-p_2,a) \)
luego
\( qr=-p_2B+k_1p_3=Ap_3-k_2p_2 \Rightarrow p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \)
\( k=aB-k_1b=-bA+k_2a\Rightarrow a(B-k_2)=b(k_1-A) \)
pero teníamos que \( p_2,p_3 \) son coprimos
luego de
\( 1=ap_3-bp_2 \) tenemos que \( a,b \) tienen que ser coprimos entre ellos, y también con \( p_2,p_3 \)?
Si es así, se pueden dar las siguientes igualdades
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A) \)
?
Es decir,
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \Rightarrow p_2 =(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)  \Rightarrow a=(k_1-A) \)
Luego\(  p_2=-a \) ?

Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Enero, 2014, 11:17 pm
Hola

Hola,
tenemos entonces
\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,-b) \)
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+k_2(-p_2,a) \)
luego
\( qr=-p_2B+k_1p_3=Ap_3-k_2p_2 \Rightarrow p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \)
\( k=aB-k_1b=-bA+k_2a\Rightarrow a(B-k_2)=b(k_1-A) \)
pero teníamos que \( p_2,p_3 \) son coprimos
luego de
\( 1=ap_3-bp_2 \) tenemos que \( a,b \) tienen que ser coprimos entre ellos, y también con \( p_2,p_3 \)?

De \( 1=ap_3-bp_2 \) se deduce que los pares de coprimos son \( (a,b),(a,p_2),(p_3,b),(p_3,p_2). \)

Por otro lado ese pero que he marcado en rojo, no estoy seguro de si indica que crees que hay algo chocante o contradictorio ahí. Yo creo que no lo hay.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Enero, 2014, 11:26 pm
Hola el_manco,
por error he publicado incompleto mi respuesta anterior y la he modificado mientras respondías...

De \( 1=ap_3-bp_2 \) se deduce que los pares de coprimos son \( (a,b),(a,p_2),(p_3,b),(p_3,p_2). \)

Por otro lado ese pero que he marcado en rojo, no estoy seguro de si indica que crees que hay algo chocante o contradictorio ahí. Yo creo que no lo hay.

Saludos.

creo que en lo que no llegaste a leer respondo a lo anterior:

. . . pero teníamos que \( p_2,p_3 \) son coprimos
luego de
\( 1=ap_3-bp_2 \) tenemos que \( a,b \) tienen que ser coprimos entre ellos, y también con \( p_2,p_3 \)?
Si es así, se pueden dar las siguientes igualdades
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A) \)
?
Es decir,
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)\Rightarrow p_2 =(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow a=(k_1-A) \)
Luego\(  p_2=-a \) ?

Muchas gracias!
Saludos



Mil disculpas.

Muchas gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 31 Enero, 2014, 12:03 am
Hola,
revisando
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)\Rightarrow p_2 =(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow a=(k_1-A) \)
Luego\(  p_2=-a \) ?
hay un error en \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)\Rightarrow p_2 =(A-k_1) \) (también en \( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow a=(k_1-A) \))
de \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)  \) lo que podemos deducir es que
\( k_2-B=Cp_3 \) para algún \( C \)
y
\( A-k_1=Cp_2 \)
pero entonces
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow -ap_3C=-bp_2C \Rightarrow ap_3=bp_2 \Rightarrow  \)
\( a=p_2 \) y \( b=p_3 \)
¿Esto contradice lo que indicabas en:
De \( 1=ap_3-bp_2 \) se deduce que los pares de coprimos son \( (a,b),(a,p_2),(p_3,b),(p_3,p_2). \)
?
Muchas gracias!!
Saludos



Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 31 Enero, 2014, 10:36 am
Hola

 El último razonamiento que haces creo que está bien, y efectivamente sería una contradicción con la coprimalidad que yo apuntaba.

 Pero entonces...¡tiene qué haber algún error previo!. Hay un tufillo de circularidad en todo el argumento. El punto de partida si echamos la vista atrás es que:

\(  1=ap_3-bp_2 \)

 y de ahí deducimos que la solución de:

\(  qr=Ap_3-Bp_2  \)

 es:

\(  A=aqr+kp_2,\qquad B=bqr+kp_3 \)

 No hay nada contradictorio en esas ecuaciones (no al menos sin hacer intervenir quien era \( q,r \), etcétera... cosa que no estamos haciendo). El sabor a circularidad está en que reutilizamos y reutilizamos esas ecuaciones cambiando el punto de vista de "que cosa" tomamos como incógnita.

 Entonces si no me equivoco el fallo está en que hemos usado:

¿Entonces todas las soluciones para \( 1=bqr+kp_3 \) son de la forma

 ¡Pero de dónde nos sacamos que \( 1=bqr+kp_3 \)!. Lo que realmente se tiene es que \( B=bqr+kp_3 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 31 Enero, 2014, 11:27 am
Hola,


 ¡Pero de dónde nos sacamos que \( 1=bqr+kp_3 \)!. Lo que realmente se tiene es que \( B=bqr+kp_3 \).

Saludos.
En efecto lo que se tiene, es \( B=bqr+kp_3 \). ¿Como encontramos las soluciones de esta ecuación diofántica para \( qr,k \) con \( b,p_3 \) coprimos? Encontrando como hemos hecho las soluciones para  \( 1=bqr+kp_3 \)?
Es cierto que hay cierta circularidad en el argumento... el origen es la ecuación
\(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) con \( pq,r \) coprimos.
Luego vimos que \( p=p_2p_3 \)  también coprimos...
y concluyendo

Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.
Después creo que lo mas "interesante" es el hecho de que \(  qr  \) y \( q-r \)
Lo podemos poner como
\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \(  A,B,C,D \) enteros
Para encontrar soluciones a las dos ecuaciones anteriores podemos buscar las soluciones de
\( 1=Ap_3-Bp_2 \)
\( 1=Cp_3-Dp_2 \)
Los últimos resultados son consecuencia de tratar de encontrar las soluciones para (I)...

Si no ves nada "raro" en todo esto, como te parece que podemos continuar?
Muchas gracias como siempre por tu atenta lectura y comentarios en este hilo.
;)
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 31 Enero, 2014, 12:01 pm
Hola

Hola,


 ¡Pero de dónde nos sacamos que \( 1=bqr+kp_3 \)!. Lo que realmente se tiene es que \( B=bqr+kp_3 \).

Saludos.
En efecto lo que se tiene, es \( B=bqr+kp_3 \). ¿Como encontramos las soluciones de esta ecuación diofántica para \( qr,k \) con \( b,p_3 \) coprimos? Encontrando como hemos hecho las soluciones para  \( 1=bqr+kp_3 \)?

Si, tienes razón, es correcto como lo has usado. No obstante hay que tener un poco de cuidado con ese tipo de argumentos, cuando tratamos como incógnitas generales, variables que en realidad se consideran fijas en el contexto general de nuestro desarrollo. Digo esto por que es claro que el \( (qr,k) \) solución de \( 1=bqr+kp_3 \) no es el mismo que el \( (qr,k) \) solución de \( B=bqr+kp_3 \) (a no ser que \( B=1 \)). Pensé que el error iba por ahí, pero ciertamente no es así.

¡El error es otro! (ahora si lo encontré  ;D )

de \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)  \) lo que podemos deducir es que
\( k_2-B=Cp_3 \) para algún \( C \)
y
\( A-k_1=Cp_2 \)
pero entonces
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow -ap_3C=-bp_2C \Rightarrow ap_3=bp_2 \Rightarrow  \)

El problema es que ese \( C \) puede ser cero y por tanto no puedes simplificarlo. De hecho \( C=0 \) y por tanto \( A=k_1 \) y \( B=k_2 \), lo cuál si deshacemos la madeja era una obviedad (visto ahora) desde el principio si tenemos en cuenta que partimos de:

\(  qr=Ap_3-Bp_2  \)

Por tanto:

\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+\color{red}A\color{black}(p_3,-b) \)
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+\color{red}B\color{black}(-p_2,a) \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 02 Febrero, 2014, 01:38 am
¡El error es otro! (ahora si lo encontré  ;D )
>:D (es broma ;)  )
Citar
de \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)  \) lo que podemos deducir es que
\( k_2-B=Cp_3 \) para algún \( C \)
y
\( A-k_1=Cp_2 \)
pero entonces
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow -ap_3C=-bp_2C \Rightarrow ap_3=bp_2 \Rightarrow  \)

El problema es que ese \( C \) puede ser cero y por tanto no puedes simplificarlo. De hecho \( C=0 \) y por tanto \( A=k_1 \) y \( B=k_2 \), lo cuál si deshacemos la madeja era una obviedad (visto ahora) desde el principio si tenemos en cuenta que partimos de:

\(  qr=Ap_3-Bp_2  \)

Por tanto:

\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+\color{red}A\color{black}(p_3,-b) \)
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+\color{red}B\color{black}(-p_2,a) \)

Saludos.
Esta vez no se me habría ocurrido que el error estuviera en una división por cero... :o
Muchas gracias!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: elcristo en 02 Febrero, 2014, 01:54 am
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=71265.0

 ::)
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 08 Febrero, 2014, 11:37 pm
Hola,
El subir esta respuesta al foro es únicamente para verificar que los cuentas y resultados son correctos. No se llega al final a ninguna contradicción por lo que creo no aporta nada a este asunto. Lo pongo como spoiler
. . .
Spoiler

Entonces si teníamos (\( C \) no es el mismo que hemos utilizado en las cuentas anteriores donde \( C=0 \))
\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \(  A,B,C,D \) enteros
Repitiendo las cuentas que hemos hecho para \( qr=Ap_3-Bp_2 \) tenemos que todas las soluciones para
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \)
son de la forma
\( q-r=\underbrace{(a(q-r)+sp_2)}_{C}p_3- \underbrace{(b(q-r)+sp_3)}_{D}p_2 \) para cuaquier \( s \)
donde \(  1=ap_3-bp_2 \)
Y del mismo modo que hicimos para \( k \) se tiene que dar que
\( s=aD-bC \)
Por otro lado teníamos
Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
\( q-r=(3^{m-1}.p_2\cdot2)p_3 + (p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})p_2 \)
luego si todas las soluciones para \( q-r \) son de la forma
\( q-r=\underbrace{(a(q-r)+sp_2)}_{C}p_3- \underbrace{(b(q-r)+sp_3)}_{D}p_2 \)
entonces
\( C=3^{m-1}.p_2\cdot2 \)
\( D=-p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1} \)
Sustituyendo los valores de anteriores \( q-r, s, C \) en
\( a(q-r)+sp_2=C \)
\( a\cdot\underbrace{3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})}_{q-r}+\underbrace{(aD-bC)}_{s}p_2=\underbrace{3^{m-1}.p_2\cdot2}_{C} \Rightarrow \)
\( a\cdot3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+ap_2\underbrace{(-p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})}_{D}-bp_2\underbrace{(3^{m-1}.p_2\cdot2)}_{C}= \)
\( =3^{m-1}.p_2\cdot2 \)
diviendo todo por \( 3^{m-1}.p_2 \)
\( a(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+a(-p_2^2\cdot3^{2m-3})-2bp_2=2 \)
\( a2p_3-b2p_2=2 \Rightarrow ap_3-bp_2=1  \)
[cerrar]
. . .

Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 11 Febrero, 2014, 01:34 pm
Hola,
Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.
Si llamamos
\( A=2p_3+3^{2m-3}p_2^2 \)
entonces
\( q=3^{m-1}.p_2A + r \)
\( qr=3^2p_3^3-A^3=3^{m-1}.p_2Ar + r^2 \)
\( 3^{m-1}.p_2Ar + r^2- (3^2p_3^3-A^3)=0 \)
Luego
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
 entonces:
\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?

 
Hola,
Citar
El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.
Todo viene de la notación clásica del UTF
\( x^n=y^n+z^n \)
utilizando que \( x,y,z \) son enteros positivos
Con esto había llegado a los siguientes resultados:

I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

II) \( (q^3-3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

Utilizando I) en II)
\( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(q^3-3^{m}pqr)^n \)
obtengo el resultado en III)

III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
Si \( q,r \) son impares ¿Entonces \( q-r \) tiene que ser par? Sí es así, de
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) tenemos que \( p_2 \) es par y \( p_3 \) impar (teníamos que \( p=p_2p_3 \) con \( p_2,p_3 \) coprimos)?
Muchas gracias!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Febrero, 2014, 11:15 am
Hola,
si no hay errores en que \( q,r \) son impares y \( p \) par (\( p=p_2p_3 \) con \( p_2 \) par y \( p_3  \) impar)
entonces en
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( q^3-r^3= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( \underbrace{(q-r)}_{par}\underbrace{(q^2+qr+r^2)}_{impar}= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
entonces
la potencia mínima de \( 2 \) que divide a \( q-r \) es \( 2 \) es decir \( q-r \equiv 0 \pmod { 2^2} \) (*)
pero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)
pero entonces tendríamos \( 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr  \equiv 0 \pmod {2^3}  \)
y esto contradice la suposición de (*).
No veo que esta mal :(
Saludos





Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Febrero, 2014, 11:38 am
Hola

Hola,
El subir esta respuesta al foro es únicamente para verificar que los cuentas y resultados son correctos. No se llega al final a ninguna contradicción por lo que creo no aporta nada a este asunto. Lo pongo como spoiler
. . .
Spoiler

Entonces si teníamos (\( C \) no es el mismo que hemos utilizado en las cuentas anteriores donde \( C=0 \))
\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \(  A,B,C,D \) enteros
Repitiendo las cuentas que hemos hecho para \( qr=Ap_3-Bp_2 \) tenemos que todas las soluciones para
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \)
son de la forma
\( q-r=\underbrace{(a(q-r)+sp_2)}_{C}p_3- \underbrace{(b(q-r)+sp_3)}_{D}p_2 \) para cuaquier \( s \)
donde \(  1=ap_3-bp_2 \)
Y del mismo modo que hicimos para \( k \) se tiene que dar que
\( s=aD-bC \)
Por otro lado teníamos
Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
\( q-r=(3^{m-1}.p_2\cdot2)p_3 + (p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})p_2 \)
luego si todas las soluciones para \( q-r \) son de la forma
\( q-r=\underbrace{(a(q-r)+sp_2)}_{C}p_3- \underbrace{(b(q-r)+sp_3)}_{D}p_2 \)
entonces
\( C=3^{m-1}.p_2\cdot2 \)
\( D=-p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1} \)
Sustituyendo los valores de anteriores \( q-r, s, C \) en
\( a(q-r)+sp_2=C \)
\( a\cdot\underbrace{3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})}_{q-r}+\underbrace{(aD-bC)}_{s}p_2=\underbrace{3^{m-1}.p_2\cdot2}_{C} \Rightarrow \)
\( a\cdot3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+ap_2\underbrace{(-p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})}_{D}-bp_2\underbrace{(3^{m-1}.p_2\cdot2)}_{C}= \)
\( =3^{m-1}.p_2\cdot2 \)
diviendo todo por \( 3^{m-1}.p_2 \)
\( a(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+a(-p_2^2\cdot3^{2m-3})-2bp_2=2 \)
\( a2p_3-b2p_2=2 \Rightarrow ap_3-bp_2=1  \)
[cerrar]

Si, creo que están bien. Me reservo el derecho a haber cometido algún error en la revisión; y es que me cuesta concentrarme al 100% en las cuentas si no sé a donde quieren ir a parar. Lo que me llama la antención del desarrollo del Spoiler es que al final terminas con un:

\( a2p_3-b2p_2=2 \Rightarrow ap_3-bp_2=1  \)

Pero \( ap_3-bp_2=1 \) es precisamente una de las suposiciones que usamos en el comienzo; las cuentas en ese sentido me parecen coherentes, pero con un gran tufillo de circularidad.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Febrero, 2014, 11:40 am
Hola

 Vamos por partes.

Si llamamos
\( A=2p_3+3^{2m-3}p_2^2 \)
entonces
\( q=3^{m-1}.p_2A + r \)
\( qr=3^2p_3^3-A^3=3^{m-1}.p_2Ar + r^2 \)
\( 3^{m-1}.p_2Ar + r^2- (3^2p_3^3-A^3)=0 \)
Luego
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
 entonces:
\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?

No veo como de ahí deduces que \( q \) y \( r \) son los dos impares.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Febrero, 2014, 12:09 pm
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
 entonces:
\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?

No veo como de ahí deduces que \( q \) y \( r \) son los dos impares.

Saludos.

 \( q,r \) no pueden ser los dos pares a la vez ya que son coprimos. Se tiene que \( q,r \) son de la forma
\( q=\dfrac{-a+b}{2} \qquad r=\dfrac{a+b}{2} \)
\( q+r=b \) par
\( q-r=a \) par
si uno de ellos es par entonces el otro tambien?
Luego los dos son impares?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Febrero, 2014, 12:18 pm
Hola

\( q,r \) no pueden ser los dos pares a la vez ya que son coprimos. Se tiene que \( q,r \) son de la forma
\( q=\dfrac{-a+b}{2} \qquad r=\dfrac{a+b}{2} \)
\( q+r=b \) par
\( q-r=a \) par
si uno de ellos es par entonces el otro tambien?
Luego los dos son impares?
Muchas gracias!
Saludos

Ahí estarías suponiendo que \( 3^{m-1}Ap_2 \) es par. Si sabemos eso no hace falta complicarse tanto, desde el principio tendríamos \( q-r=3^{m-1}Ap_2 \) par y por tanto \( q \) y \( r \) tendrían la misma paridad.

Pero... ¿lo sabemos?...¿es \( 3^{m-1}Ap_2 \) es par?.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Febrero, 2014, 01:37 pm
Hola,
Ok, he revisado mis notas y veo que he partido del supuesto de que \( p \) es par, luego \( q,r \) son impares. (me quedaría ver el caso para el que\(  q \) o \( r \) es alguno de ellos par con \( p \) impar)

Entonces para este supuesto que \( p \) sea par con \( p=p_2.p_3 \) solo se puede dar que \( p_2 \) par y \( p_3 \) impar:
Si \( q,r \) impares \( q-r \) par, luego \( p_2 \) par por \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Entonces si \( p_2 \) par,\(  p_3 \) tiene que ser impar:
Como \( qr \) es impar, y \(  p_2 \) par
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
entonces \( p_3 \) impar (después de escribir esto he recordado que \( p_2 \) y \( p_3 \) eran coprimos  :-\).
Es correcto hasta aquí?
Si es así podemos seguir con este supuesto (he incorporado algunas modificaciones en rojo:

Hola,
si no hay errores en que \( q,r \) son impares y \( p \) par (\( p=p_2p_3 \) con \( p_2 \) par y \( p_3  \) impar)
entonces en
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( q^3-r^3= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( \underbrace{(q-r)}_{par}\underbrace{(q^2+qr+r^2)}_{impar}= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
entonces supongamos que
la potencia mínima máxima de \( 2 \) que divide a \( q-r \) es \( 2 \) es decir \( q-r \equiv 0 \pmod { 2^2} \) (*)
pero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)
pero entonces tendríamos \( 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr  \equiv 0 \pmod {2^3}  \)
y esto contradice la suposición de (*).
No veo que esta mal :(
Saludos
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Febrero, 2014, 04:11 pm
Hola

Hola,
Ok, he revisado mis notas y veo que he partido del supuesto de que \( p \) es par, luego \( q,r \) son impares. (me quedaría ver el caso para el que\(  q \) o \( r \) es alguno de ellos par con \( p \) impar)

Entonces para este supuesto que \( p \) sea par con \( p=p_2.p_3 \) solo se puede dar que \( p_2 \) par y \( p_3 \) impar:
Si \( q,r \) impares \( q-r \) par, luego \( p_2 \) par por \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Entonces si \( p_2 \) par,\(  p_3 \) tiene que ser impar:
Como \( qr \) es impar, y \(  p_2 \) par
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
entonces \( p_3 \) impar (después de escribir esto he recordado que \( p_2 \) y \( p_3 \) eran coprimos  :-\).
Es correcto hasta aquí?

Si, creo que si.

Hola,
si no hay errores en que \( q,r \) son impares y \( p \) par (\( p=p_2p_3 \) con \( p_2 \) par y \( p_3  \) impar)
entonces en
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( q^3-r^3= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( \underbrace{(q-r)}_{par}\underbrace{(q^2+qr+r^2)}_{impar}= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
entonces supongamos que
la potencia mínima máxima de \( 2 \) que divide a \( q-r \) es \( 2 \) es decir \( q-r \equiv 0 \pmod { 2^2} \) (*)
pero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)

No necesariamente, podría ocurrir \( p_2\equiv 2 \pmod { 2^2} \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Febrero, 2014, 07:30 pm
Hola,
Citar
pero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)

No necesariamente, podría ocurrir \( p_2\equiv 2 \pmod { 2^2} \).

Saludos.
Ok
Spoiler
Si \( p_2\equiv 2 \pmod { 2^2} \). entonces podemos poner \( p_2=2(2k+1) \) para algún \( k \)
sustituyendo en
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})= \)
\( =3^{m-1}\cdot2(2k+1)(2p_3+(2(2k+1))^2\cdot3^{2m-3})= \)
\( =3^{m-1}\cdot4(2k+1)(p_3+2(2k+1)^2\cdot3^{2m-3}) \)
Y esto no contradice la suposición
\( q-r \equiv 0 \pmod { 2^2} \)
[cerrar]

Muchas gracias
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 17 Febrero, 2014, 01:38 am
Hola,
para lo siguiente voy a necesitar: Pensaba que llegaba a una contradicción en la proposición 5. Como no ha sido así, por el error, el resto de proposiciones son simplemente cuentas
Proposición 1: \( p_3  \) es impar
Spoiler
Voy a suponer \( p_3 \) par. Como es coprimo con \( p_2,q,r \) entonces estos son impares y \( q-r \) es entonces par.
Como \( q-r=\underbrace{3^{m-1}.p_2}_{impar}\underbrace{(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})}_{impar} \)
Luego \( p_3 \) tiene que se impar
[cerrar]
Proposición 2: \( \dfrac{q-r}{3^{m-1}p_2} = 2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3} \)
Spoiler
Viene de \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
[cerrar]
Proposición 3: \( \dfrac{q^2+qr+r^2}{3p_3} =p_3^2-8Ap_3-2A^2 \)
con \( A=p_2^2\cdot3^{2m-3} \)
Spoiler
\( q^2+qr+r^2=(q-r)^2+3qr \)
Sustitimos los valores de \( qr,q-r \) que teníamos
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3= \)
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
con \( A=p_2^2\cdot3^{2m-3} \) nos quedan
\( qr=3^2p_3^3-(A+2p_3)^3 \)
\( q-r=3^{m-1}.p_2(A+2p_3) \)
entonces
\( 3qr=3^3p_3^3-3(A+2p_3)^3=3^3p_3^3-(3A^3+3^2A^2\cdot2p_3+3^2A(2p_3)^2+3(2p_3)^3)= \)
\( \qquad=3p_3^3-3A^3-18A^2p_3-36Ap_3^2 \)

\( (q-r)^2=3^{2m-2}.p_2^2(A+2p_3)^2=3A(A^2+4Ap_3+4p_3^2)= \)
\( \qquad=3A^3+12A^2p_3+12Ap_3^2 \)

Luego
\( q^2+qr+r^2=(q-r)^2+3qr=3p_3(p_3^2-8Ap_3-2A^2) \)
y
\( \dfrac{q^2+qr+r^2}{3p_3} =p_3^2-8Ap_3-2A^2 \)
como queríamos demostrar.
[cerrar]
Proposición 4: \( \dfrac{q^2+qr+r^2}{3p_3}. \dfrac{q-r}{3^{m-1}p_2}=3^{2m-1}p^2+2qr \)
Spoiler
Teníamos
\( q^3-r^3= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr\Rightarrow \)
\( (q-r)(q^2+qr+r^2)= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr=3^mp_2p_3(3^{2m-1}p^2+2qr) \) (teníamos que \( p=p_2p_3 \))
Entonces
\( \dfrac{q^2+qr+r^2}{3p_3}. \dfrac{q-r}{3^{m-1}p_2}=3^{2m-1}p^2+2qr \)
qed
[cerrar]
Proposición 5: La siguiente igualdad no puede darse para números enteros:
\( (2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})(p_3^2-8Ap_3-2A^2)-2qr=3^{2m-1}p^2 \)
Spoiler
La igualdad es consecuencia de la proposiciones anteriores. Los únicos términos que no son múltiplos de \( 3 \) son
\( 2p_3p_3^2 \)  y \( 2qr=2(3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3)\equiv 2\cdot(2p_3)^3 \pmod 3 \)
Entonces \( 2p_3p_3^2-2qr \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \)
\( 2p_3p_3^2 - 2\cdot(2p_3)^3 = 2p_3(p_3^2-8) \equiv 0 \pmod 3  \) (*)
\( \color{red}2p_3p_3^2 - 2\cdot(2p_3)^3 = 2p_3^3(1+8) \equiv 0 \pmod 3\color{black}  \) Corregido
como \( p_3  \) no es múltiplo de \( 3 \)
se tiene que dar se da que \( \color{red}1+\color{black}8 \equiv 0 \pmod 3 \) que no es posible para \( p_3 \) entero.
[cerrar]
Creo que las cuentas de las primeras proposiciones son correctas. No veo el error en la quinta...Como siempre cualquier comentario será muy bien recibido.
Muchas gracias!
Saludos
Revisando después he visto que el error está en (*)...(ya está corregido)
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Febrero, 2014, 11:52 am
Hola

Proposición 5: La siguiente igualdad no puede darse para números enteros:
\( (2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})(p_3^2-8Ap_3-2A^2)-2qr=3^{2m-1}p^2 \)
Spoiler
La igualdad es consecuencia de la proposiciones anteriores. Los únicos términos que no son múltiplos de \( 3 \) son
\( 2p_3p_3^2 \)  y \( 2qr=2(3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3)\equiv 2\cdot(2p_3)^3 \pmod 3 \)
Entonces \( 2p_3p_3^2-2qr \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \)
\( 2p_3p_3^2 - 2\cdot(2p_3)^3 = 2p_3(p_3^2-8) \equiv 0 \pmod 3  \) (*)
\( \color{red}2p_3p_3^2 - 2\cdot(2p_3)^3 = 2p_3^3(1+8) \equiv 0 \pmod 3\color{black}  \) Corregido
como \( p_3  \) no es múltiplo de \( 3 \)
se tiene que dar se da que \( \color{red}1+\color{black}8 \equiv 0 \pmod 3 \) que no es posible para \( p_3 \) entero.
[cerrar]
Creo que las cuentas de las primeras proposiciones son correctas. No veo el error en la quinta...Como siempre cualquier comentario será muy bien recibido.
Muchas gracias!
Saludos
Revisando después he visto que el error está en (*)...(ya está corregido)


Si, porque en realidad \( 2qr\equiv \color{red}-2(2p_3)^3\color{black},\quad mod\quad 3 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 17 Febrero, 2014, 12:14 pm
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
 entonces:
\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?

No veo como de ahí deduces que \( q \) y \( r \) son los dos impares.

Saludos.

Vuelvo otra vez a esto ya que creo que \( p_2 \) si tiene que ser par.
Supongamos que no lo es, entonces (teníamos \( A=2p_3+3^{2m-3}p_2^2 \))
\( r=\dfrac{impar+\sqrt{impar}}{2}=\dfrac{impar+impar}{2}=\dfrac{-(2a+1)+(2b+1)}{2}=-a+b \) para algunos \( a,b \)
y del mismo modo tenemos que \( q=a+b \)
pero si \( p=p_2p_3 \) es impar, alguno de \( q,r \) tiene que se par, y esto hace que el otro también lo sea (no posible ya que \( q,r \) son coprimos)  \( r=-a+b \quad q=a+b \)
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Febrero, 2014, 12:31 pm
Hola

Vuelvo otra vez a esto ya que creo que \( p_2 \) si tiene que ser par.
Supongamos que no lo es, entonces (teníamos \( A=2p_3+3^{2m-3}p_2^2 \))
\( r=\dfrac{impar+\sqrt{impar}}{2}=\dfrac{impar+impar}{2}=\dfrac{-(2a+1)+(2b+1)}{2}=-a+b \) para algunos \( a,b \)
y del mismo modo tenemos que \( q=a+b \)

No. Del mismo modo tenemos que \( q=a+b+1 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 17 Febrero, 2014, 01:35 pm
Hola el_manco,
Ok. Me comí un uno. muchas gracias!
La proposición 1 anterior tuviste oportunidad de revisarla? Estás de acuerdo con que \( p_3 \) tiene que ser impar? 
Muchas gracias como siempre por la revisión de todas las respuestas. Pido disculpas a ti y a todos los que siguen este hilo por la "stupid storming" que estoy enviando últimamente...tanta notación, signos,... hace que se comentan estos errores tan absurdos... (incluso después de haberlos revisado y transcribirlos de nuevo al subirlos al foro).
Es cierto como dices que en las últimas respuestas hay circularidad, me han servido para corregir errores y encontrar que las cuentas son correctas.
Muchas gracias de nuevo!!
Saludos
 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Febrero, 2014, 05:21 pm
Hola

La proposición 1 anterior tuviste oportunidad de revisarla? Estás de acuerdo con que \( p_3 \) tiene que ser impar?

Si, correcto.
 
Citar
Muchas gracias como siempre por la revisión de todas las respuestas. Pido disculpas a ti y a todos los que siguen este hilo por la "stupid storming" que estoy enviando últimamente...tanta notación, signos,... hace que se comentan estos errores tan absurdos... (incluso después de haberlos revisado y transcribirlos de nuevo al subirlos al foro).

Bueno a veces se dan palos de ciego. Es cierto que la notación se hace algo mareante. Por otra parte y con la racha que llevamos en Galicia ya no nos austa ningún tipo de tormenta.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 07 Marzo, 2014, 12:19 am
Hola el_manco,
me gustaría revisar las paridades de \( p,q,r \)  para ver si puede darse la ecuación:
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
donde se tiene que dar que uno y solo uno de \( p,q,r \) es par.
Voy a suponer \( p,r \) impares y \( q \) es par. Y suponer además que la potencia mínima máxima de \( 2 \) que divide a \( q \) es \( 1 \), es decir, \( q=2q_1 \) para algún \( q_1 \) impar.
La ecuación anterior nos queda:
\( 8q_1^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+4\cdot3^{m}pq_1r \)
donde \( pq_1r \) es impar.
Para que el lado derecho de la igualdad anterior sea múltiplo de \( 8 \) entonces \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) tiene que se de la forma \( 4(2t+1) \) para algún \( t \)?
Si \( p,r \) impares se pueden poner como \( p=2p_1+1 \) , \( r=2r_1+1 \) para algunos \( p_1,r_1 \):
\( 3^{3m-1}p^3=3^{3m-1}(2p_1+1)^3=3^{3m-1}(8p_1^3+3\cdot4p_1^2+3\cdot2p_1+1) \)
\( r^3=(2r_1+1)^3=8r_1^3+3\cdot4r_1^2+3\cdot2r_1+1 \)
entonces
\( 3^{3m-1}p^3+r^3= \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
Es correcto?
Tenemos también y es fácil verificar que
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \)  si m es par
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4  \) si m es impar.
y
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 8 \)  si m es par impar
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 4 \pmod 8  \) si m es impar par.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos



Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Marzo, 2014, 10:41 am
Hola

Voy a suponer \( p,r \) impares y \( q \) es par. Y suponer además que la potencia mínima de \( 2 \) que divide a \( q \) es \( 1 \), es decir, \( q=2q_1 \) para algún \( q_1 \) impar.

Ahí creo que querías decir la potencia máxima.

Citar
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 8 \)  si m es par
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 4 \pmod 8  \) si m es impar.

Al revés.

Lo demás bien.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 07 Marzo, 2014, 11:16 am
Hola el_manco,
muchas gracias por las correcciones, ya lo he corregido...

Ahora en relación a la paridad de
\( 3^{3m-1}p^3+r^3= \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
¿La paridad de \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) y es la misma que \( 3^{3m-1}p_1^3+r_1^3 \) y \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \)?
Muchas gracias otra vez.
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Marzo, 2014, 11:28 am
Hola

Ahora en relación a la paridad de
\( 3^{3m-1}p^3+r^3= \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
¿La paridad de \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) y es la misma que \( 3^{3m-1}p_1^3+r_1^3 \) y \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \)?
Muchas gracias otra vez.
Saludos

Si, porque \( x^2\equiv x \) módulo \( 2 \).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 07 Marzo, 2014, 12:06 pm
Hola

Ahora en relación a la paridad de
\( 3^{3m-1}p^3+r^3= \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
¿La paridad de \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) y es la misma que \( 3^{3m-1}p_1^3+r_1^3 \) y \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \)?
Muchas gracias otra vez.
Saludos

Si, porque \( x^2\equiv x \) módulo \( 2 \).

Saludos.
Ok,
entonces para ver si se cumple
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) tiene que ser de la forma \( 4(2t+1) \) para algún \( t \)
consideramos
I) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) par.
Tenemos
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 = \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
entonces
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 2 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4 \) (\( m \) impar)
Luego no es posible ponerlo como  \( 4(2t+1) \) para algún \( t \) ?

II)  \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) impar (lo podemo poner como \( 2u+1 \) para algún u).
Para este caso si queremos ver si \( 3^{3m-1}p^3+r^3  \) es de la forma  \( 4(2t+1) \) y ya que
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8  \)
Sería suficiente con ver si \( 3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \) es de la forma \( 4(2t'+1) \) para algún \( t' \)?

Muchas Gracias!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Marzo, 2014, 10:06 pm
Hola

Ok,
entonces para ver si se cumple
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) tiene que ser de la forma \( 4(2t+1) \) para algún \( t \)
consideramos
I) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) par.
Tenemos
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 = \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
entonces
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 2 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4 \) (\( m \) impar)
Luego no es posible ponerlo como  \( 4(2t+1) \) para algún \( t \) ?

No veo claro porque dices que no es posible. ¿No puede darse esto?:

\(  3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)

Citar
II)  \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) impar (lo podemo poner como \( 2u+1 \) para algún u).
Para este caso si queremos ver si \( 3^{3m-1}p^3+r^3  \) es de la forma  \( 4(2t+1) \) y ya que
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8  \)

Pero si \( 3^{3,-1}p_1+r_1 \) es impar entonces, módulo \( 8 \):

\( 3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)=4\cdot impar\not\equiv 0 \)

Entonces no veo porque dices:

\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8  \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para
Publicado por: aureodd en 09 Marzo, 2014, 07:59 pm
Hola el_manco.
Como siempre disculpas por los errores y mil gracias por los comentarios/correcciones/etc...
No se me ocurre una manera más rápida/simple de exponer lo que sigue... Es muy fácil, aunque lo reviso antes de subirlo al foro, comenter errores...
No se si al final se llegará a alguna conclusión "interesante" y libre de errores... Muchas gracias!
 

Hola

Ok,
entonces para ver si se cumple
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) tiene que ser de la forma \( 4(2t+1) \) para algún \( t \)
consideramos
I) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) par.
Tenemos
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 = \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
entonces
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 2 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4 \) (\( m \) impar)
Luego no es posible ponerlo como  \( 4(2t+1) \) para algún \( t \) ?

No veo claro porque dices que no es posible. ¿No puede darse esto?:

\(  3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)

Sí. Tienes razón...hago la modifcación después de la siguiente cita:

Citar
I) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) par.
Tenemos
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 = \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
entonces
podemos poner
\( 3^{3m-1}p_1+r_1 = 2u \)
como \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \) y  \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \) tienen la misma paridad que \( 3^{3m-1}p_1+r_1 = 2u \)
entonces
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \equiv \) (**)
\( \equiv 8\cdot 2u + 3\cdot4\cdot2.u+3\cdot2\cdot2u+3^{3m-1}+1 \pmod 2 =4\cdot13u+3^{3m-1}+1 \) (*)
Ahora tenemos dos casos dependiendo de la paridad de \( m \):

i) \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) (\( m \) par)
\( 3^{3m-1}+1 = 4t \) para algún \( t \) impar (vimos que \( 3^{3m-1}+1 \) no puede ser múltiplo de \( 8 \)) (***)
(*) nos queda \(  3^{3m-1}p^3+r^3 =4(13u+t) \) y buscamos que  \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) sea de la forma \( 4.impar \)
luego \( 13u+t \) impar, con \( t \) impar hace que \( 13u \) tenga que ser par, luego \( u \) par.
pero entonces si teníamos que \( q \equiv 0 \pmod 8 \) y \( u \) es par (\( 3^{3m-1}+1  \) múltiplo de \( 4 \))
en (**) todos los sumando son múltipos de \( 8 \) excepto \( 3^{3m-1}+1  \) (***)
es correcto  ??? En caso afirmativo, este punto i) no puede darse ?

ii)  \( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4 \) (\( m \) par)
 \( 3^{3m-1}+1 = 4t+2 \)
(*) nos queda \(  3^{3m-1}p^3+r^3 =4(13u+t)+2 \) que no es mútliplo de \( 4 \) y buscabamos que fuera \( 4\cdot impar \)
Luego este caso tampoco puede darse?

Citar
II)  \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) impar (lo podemo poner como \( 2u+1 \) para algún u).
Para este caso si queremos ver si \( 3^{3m-1}p^3+r^3  \) es de la forma  \( 4(2t+1) \) y ya que
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8  \)

Pero si \( 3^{3,-1}p_1+r_1 \) es impar entonces, módulo \( 8 \):

\( 3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)=4\cdot impar\not\equiv 0 \)

Entonces no veo porque dices:

\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8  \)

Saludos.
Si los casos anteriores tienen algún error prefiero continuar con este caso en otro momento .... :-[

Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Marzo, 2014, 10:44 pm
Hola

i) \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) (\( m \) par)
\( 3^{3m-1}+1 = 4t \) para algún \( t \) impar (vimos que \( 3^{3m-1}+1 \) no puede ser múltiplo de \( 8 \)) (***)
(*) nos queda \(  3^{3m-1}p^3+r^3 =4(13u+t) \) y buscamos que  \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) sea de la forma \( 4.impar \)
luego \( 13u+t \) impar, con \( t \) impar hace que \( 13u \) tenga que ser par, luego \( u \) par.
pero entonces si teníamos que \( q \equiv 0 \pmod 8 \) y \( u \) es par (\( 3^{3m-1}+1  \) múltiplo de \( 4 \))
en (**) todos los sumando son múltipos de \( 8 \) excepto \( 3^{3m-1}+1  \) (***)
es correcto  ??? En caso afirmativo, este punto i) no puede darse ?

Hay algo que no me convence en el argumento. Si trabajas módulo \( 2 \) pierdes información. Es decir lo que obtendrías es:

\(  3^{3m-1}p^3+r^3\equiv 4(13u+t) \) módulo \( 2 \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 10 Marzo, 2014, 08:29 pm
Hola,

Hay algo que no me convence en el argumento. Si trabajas módulo \( 2 \) pierdes información. Es decir lo que obtendrías es:

\(  3^{3m-1}p^3+r^3\equiv 4(13u+t) \) módulo \( 2 \)

Saludos.
Esto último que indicas es equivalente a \( 3^{3m-1}p^3+r^3=4(13u+t)+2s \) para algún \( s \)?
Para que \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) sea \( 4.impar \) entonces \( s \) tiene que ser par?

Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Marzo, 2014, 11:32 am
Hola

Esto último que indicas es equivalente a \( 3^{3m-1}p^3+r^3=4(13u+t)+2s \) para algún \( s \)?
Para que \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) sea \( 4.impar \) entonces \( s \) tiene que ser par?

Si, si \( u \) es par y \( t \) impar, si.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 18 Marzo, 2014, 11:28 am
Hola,
creo, como ya me ocurrió otras vez, que la línea de encontrar un absurdo en la cuestión de paridades es en sí misma absurda, y no lleva a ningún sitio...
En en estos casos y para evitar perder el tiempo en erróneas intuiciones creo que es bueno construirse una tabla como la que adjunto para estudiar el comportamiento de las funciones sobre las que estamos trabajando.
Muchas gracias
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 19 Marzo, 2014, 09:59 am
Hola,
volviendo a la ecuación que teníamos
\(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) con \( pq,r \) coprimos.
Luego vimos que \( p=p_2p_3 \)  también coprimos...
es inmediato haciendo las cuentas que
\(  q^3-r^3-3^{3(m-1)}p_1^3=3\cdot3^{m-1}mp_1qr \)
para cualquier \( p_1 \) donde \( q-r=3^{m-1}p_1 \)
Por otro lado teníamos
Hola,
Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.
¿Podemos decir entonces que si \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
tiene solución para \(  q,r \) enteros, existe un \( p_1 \)
donde
\( q-r=3^{m-1}p_1 \)
y si
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces \( p_2 \) divide a \( p_1 \)?
Muchas gracias!!!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Marzo, 2014, 10:38 am
Hola

\(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) con \( pq,r \) coprimos.
Luego vimos que \( p=p_2p_3 \)  también coprimos...
es inmediato haciendo las cuentas que
\(  q^3-r^3-3^{3(m-1)}p_1^3=3\cdot3^{m-1}mp_1qr \)
para cualquier \( p_1 \) donde \( q-r=3^{m-1}p_1 \)

Me perdí ya ahí. No veo que cuentas estás haciendo para llegar a esa expresión.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 19 Marzo, 2014, 10:47 am
Hola,
vienen de \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \) con \( q-r=3^{m-1}p_1 \)
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Marzo, 2014, 11:02 am
Hola

vienen de \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \) con \( q-r=3^{m-1}p_1 \)

¡Ah, vale, no me daba cuenta!. Está bien.

Por otro lado teníamos
Hola,
Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.
¿Podemos decir entonces que si \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
tiene solución para \(  q,r \) enteros, existe un \( p_1 \)
donde
\( q-r=3^{m-1}p_1 \)
y si
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces \( p_2 \) divide a \( p_1 \)?

Aquí tengo un pequeño lío. Es decir no sé exactamente de que igualdades estamos partiendo. Con todo lo que hemos viajado desde la fórmula de Fermat para \( n=3 \), ¿hemos llegado a que si existen enteros que la cumplen, entonces existen otros entero verificando:

1) \( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)

2) \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)

3) \( q-r=3^{m-1}p_1 \)

?

No sé si se entiende la pregunta (evidentemente podría revisar todo el camino, pero supongo que lo tienes más fresco).

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 19 Marzo, 2014, 11:41 am
Hola,
Aquí tengo un pequeño lío. Es decir no sé exactamente de que igualdades estamos partiendo. Con todo lo que hemos viajado desde la fórmula de Fermat para \( n=3 \), ¿hemos llegado a que si existen enteros que la cumplen, entonces existen otros entero verificando:

1) \( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)

2) \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)

3) \( q-r=3^{m-1}p_1 \)

?

No sé si se entiende la pregunta (evidentemente podría revisar todo el camino, pero supongo que lo tienes más fresco).

Saludos.
Es correcto. Desde la fórmula original del UTF para \( n=3 \) llegamos a \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) (*)
con \( p,q,r \) coprimos no múltiplos de\(  3 \), también \( p=p_2.p_3 \)  con \( p2,p3 \) coprimos.
La duda es que si (*) tiene soluciones, es decir existen,\(  p=p_2p_3,q,r \) se tiene que dar que p_2 sea múltiplo de algún \( p_1 \) donde \( q-r=3^{m-1}p_1 \)?
Gracias
Saludos

 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Marzo, 2014, 11:50 am
Hola

Hola,
Aquí tengo un pequeño lío. Es decir no sé exactamente de que igualdades estamos partiendo. Con todo lo que hemos viajado desde la fórmula de Fermat para \( n=3 \), ¿hemos llegado a que si existen enteros que la cumplen, entonces existen otros entero verificando:

1) \( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)

2) \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)

3) \( q-r=3^{m-1}p_1 \)

?

No sé si se entiende la pregunta (evidentemente podría revisar todo el camino, pero supongo que lo tienes más fresco).

Saludos.
Es correcto. Desde la fórmula original del UTF para \( n=3 \) llegamos a \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) (*)
con \( p,q,r \) coprimos no múltiplos de\(  3 \), también \( p=p_2.p_3 \)  con \( p2,p3 \) coprimos.
La duda es que si (*) tiene soluciones, es decir existen,\(  p=p_2p_3,q,r \) se tiene que dar que p_2 sea múltiplo de algún \( p_1 \) donde \( q-r=3^{m-1}p_1 \)?

Perdona que insista porque aun no me quedó al 100% claro. La ecuacion ¿(3) la tenemos también?¿quien es ese \( p_1 \)?. ¿Se llega independientemente de las anteriores? Digo esto porque es obvio que la ecuación (3) se tiene de la (2) tomando:

\( p_1=p_2(2p_3+p_2^2\cdot 3^{2m-3}) \)

¿Es así como la estás obteniendo?.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 19 Marzo, 2014, 12:13 pm
Hola
Hola

Hola,
Aquí tengo un pequeño lío. Es decir no sé exactamente de que igualdades estamos partiendo. Con todo lo que hemos viajado desde la fórmula de Fermat para \( n=3 \), ¿hemos llegado a que si existen enteros que la cumplen, entonces existen otros entero verificando:

1) \( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)

2) \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)

3) \( q-r=3^{m-1}p_1 \)

?

No sé si se entiende la pregunta (evidentemente podría revisar todo el camino, pero supongo que lo tienes más fresco).

Saludos.
Es correcto. Desde la fórmula original del UTF para \( n=3 \) llegamos a \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) (*)
con \( p,q,r \) coprimos no múltiplos de\(  3 \), también \( p=p_2.p_3 \)  con \( p2,p3 \) coprimos.
La duda es que si (*) tiene soluciones, es decir existen,\(  p=p_2p_3,q,r \) se tiene que dar que p_2 sea múltiplo de algún \( p_1 \) donde \( q-r=3^{m-1}p_1 \)?

Perdona que insista porque aun no me quedó al 100% claro. La ecuacion ¿(3) la tenemos también?¿quien es ese \( p_1 \)?. ¿Se llega independientemente de las anteriores? Digo esto porque es obvio que la ecuación (3) se tiene de la (2) tomando:

\( p_1=p_2(2p_3+p_2^2\cdot 3^{2m-3}) \)

¿Es así como la estás obteniendo?.

Saludos.
Sí. Es así. Lo que quiero decir es que de (2) tenemos que \(  q-r \) es múltiplo de \( 3^{m-1}.p_2 \), entonces podemos encontrar algún \( p_1 \) que cumpla (3) [ya que (3) se cumple para cualquier \( p_1 \)].
Estás de acuerdo hasta aquí?
Entonces podríamos sustituir el valor de \( p_1=p_2(2p_3+p_2^2\cdot 3^{2m-3}) \) en
\(  q^3-r^3-3^{3(m-1)}p_1^3=3\cdot3^{m-1}mp_1qr \)
?
y por otro lado tenemos
\(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \).
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Marzo, 2014, 12:58 pm
Hola

Sí. Es así. Lo que quiero decir es que de (2) tenemos que \(  q-r \) es múltiplo de \( 3^{m-1}.p_2 \), entonces podemos encontrar algún \( p_1 \) que cumpla (3) [ya que (3) se cumple para cualquier \( p_1 \)].
Estás de acuerdo hasta aquí?

No entiendo muy bien que quieres decir con que (3) se cumple para cualquier \( p_1 \). El valor de \( p_1 \) depende de \( q,r,m \) que bienen prefijados por los iniciales tres números que estamos suponiendo que cumplen la ecuación de Fermat.

Te resumo como veo el asunto. Por todas las cuentas hechas hasta aquí sabemos que:

\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)

\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)

Llamando \( p_1=p_2(2p_3+p_2^2\cdot 3^{2m-3}) \) se tiene que \( q-r=3^{m-1}p_1 \) y por tanto:

\(  q^3-r^3-3^{3(m-1)}p_1^3=3\cdot3^{m-1}mp_1qr \)

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 31 Marzo, 2014, 02:45 pm
Hola el_manco,

Te resumo como veo el asunto. Por todas las cuentas hechas hasta aquí sabemos que:

\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \) (*)

\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)

Llamando \( p_1=p_2(2p_3+p_2^2\cdot 3^{2m-3}) \) se tiene que \( q-r=3^{m-1}p_1 \) y por tanto:

\(  q^3-r^3-3^{3(m-1)}p_1^3=3\cdot3^{m-1}mp_1qr \)

Saludos.
De acuerdo con tu visión. Voy a volver a un desarrollo anterior de todo este asunto:
\( q=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+r \) que sustituyendo en (*)
nos queda
\( r.(3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+r) =3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
Tenemos una ecuación de segundo grado con \( r \) como incógnita
\( r\cdot3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+r^2 -3^2p_3^3+(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3=0 \)
Después de todas las vueltas que hemos dado me he atascado y no he avanzado en intentar encontrar que el discriminatante de la ecuación anterior es entero.
Llamando \( a=p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3 \) el discriminante de la ecuación sería
\( 3^{2m-2}.p_2^2.a^2+4(3^2p_3^3-a^3)=s^2 \) para algún \( s \) (es fácil ver que además \( s=q+r \))

\( a^2(3^{2m-2}p_2^2-4a)+4\cdot3^2p_3^3\Rightarrow \)
\( a^2(3^{2m-2}p_2^2-4(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3))+4\cdot3^2p_3^3\Rightarrow \)
\( a^2(p_2^2\cdot3^{2m-3}(3-4)-4\cdot2.p_3)+4\cdot3^2p_3^3=s^2 \)
Ahora llamo \( b=3^{2m-3}p_2^2 \)
\( 4\cdot3^2p_3^3-(2p_3+b)^2(8p_3+b)\Rightarrow \)
\( 4\cdot3^2p_3^3-(4p_3^2+4p_3b+b^2)(8p_3+b\Rightarrow \)
\( 4\cdot3^2p_3^3-(32p_3^3+36p_3^2b+12p_3b^2+b^3)\Rightarrow \)
\( 4p_3^3-(36p_3^2b+12p_3b^2+b^3)\Rightarrow \)
\( (2p_3)^2(p_3-9b)-b^2(12p_3+b)=s^2 \) (**)
Ecuación diofántica de grado 2 para \( b, p_3, s \)
Ya me apuntaste un doc
Hola

 Mira por aquí por ejemplo:

http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf

Saludos.
Y la proposición a la que hacías referencia:
Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, then
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \( t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \(  - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).
He encontrado que los siguientes pares de números \( (p_3,b)=\{(190,15), (57,2), (228,8), (310,31), ... \} \) son solución a la ecuación (**)
\( (2p_3)^2(p_3-9b)-b^2(12p_3+b)=s^2 \)
pero \( b=3^{2m-3}p_2^2 \) y \( p_3 \) son coprimos y además \( p_3 \) tiene que se impar (ya hemos visto esto en esta larga "historia")
luego en un principio la única solución de las encontradas podría ser  \( (p_3,b)=\{(57,2)\} \)
que además cumple la proposición anterior
(ii) \( p_3=57  \) lo podemos poner como un cuadrado módulo \( b=2 \) \( \Rightarrow 57-4\cdot2=7^2 \)
(iii) \( b=2  \) lo podemos poner como un cuadrado módulo \( p_3=57 \) \( \Rightarrow -2 +11\cdot57=25^2 \)
pero \( b=2 \neq{3^{2m-3}p_2^2 } \) tampoco puede ser solución....
En resumen, sabiendo que (**) tiene solución, ¿Sabes si existe alguna forma/algoritmo de encontrar todas las soluciones de (**)?
Esto nos servirá para ver (no se si de forma fácil) que esas soluciones no cumplen, como hemos visto en el pequeño conjunto de soluciones anteriores, que
 \( b=3^{2m-3}p_2^2 \) y \( p_3 \) tienen que ser coprimos y además \( p_3 \) impar.

Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Abril, 2014, 12:22 pm
Hola

\( (2p_3)^2(p_3-9b)-b^2(12p_3+b)=s^2 \) (**)
Ecuación diofántica de grado 2 para \( b, p_3, s \)

En realidad es una ecuación de grado \( 3 \), aunque tu la estés escribiendo para poder aplicarle la teoría referente a ecuaciones del tipo \( T^2 = pX^2 + tY^2 \). No está mal hacer eso. Pero no deja de ser una ecuación de grado tres. Esto no me hace ser muy optimista. Nuestra ecuación de partida (la de Fermat) ya era de grado tres. Ahora tenemos otra de grado \( 3 \) y aparentemente más complicada.

Por supuesto yo no puedo afirmarte categóricamente que no se pueda sacar algo en limpio de ahí; pero no veo como.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 22 Enero, 2015, 02:04 pm
Hola,
en las ecuaciónes que teníamos:
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Si llamamos
\( A=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y
\( B=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces
\( q=B+r \)
\( (B+r)r=A \)
Tenemos una ecuación de segundo grando en \( r \)
\( r^2+Br-A=0 \)
la question es que
\( \sqrt{B^2+4A} \)
tendría que ser entero para tener las soluciones al UTF, además es fácil ver que \( \sqrt{B^2+4A}=q+r \).
Creo que en este punto y habiendo llegado a que \( qr \) y \( q-r \), enteros, son de la forma que hemos visto más arriba, no es "sencillo" probar "con cuentas" que \( q+r \notin \math {Z} \) y que es necesario "pegar un salto" a otro nivel...
Cualquier comentario será muy bien recibido.
Gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Proyecto en 22 Enero, 2015, 03:27 pm
Hola,

Cualquier comentario será muy bien recibido.

Me atrevo a contestar por eso que has puesto arriba. En fin, yo tengo todas las cartas boca arriba y está claro hasta dónde llego y sobre todo hasta dónde NO llego, así que toma con cautela lo que te voy a decir.

Leído literalmente lo que pones en tu última respuesta y sin tener en cuenta el fondo de la cuestión, que solamente he seguido a trozos, no desde el principio, yo te diría lo siguiente:

De  \( q+r \notin \math {Z} \)  la consecuencia inmediata es que naturalmente no tiene solución aritméticamente hablando. Ó  " \( q \) "  ó  " \( r \) "  ó ambos está claro que son irracionales. Una cosa que a mí me ha "ayudado" -entre comillas eh-, es que tras un desarrollo de la cuestión suficientemente amplio, tratar de determinar qué variable debe ser seguro o casi seguro irracional y cuál puede pasar perfectamente siendo racional , concentrando entonces el fuego, metafóricamente hablando, en ese punto.

No sé si te he ayudado. A lo mejor en un futuro soy competidor tuyo en el caso n = 3 -ojalá-, pero eso no quita que te desee suerte y que termines por conseguirlo más antes que después.

Un saludo,
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Enero, 2015, 09:59 am
Hola Proyecto.
Al final los resultados muestran que aunque \( q-r \) y \( qr \) son enteros, debería probar que  \( q \) y \( r \) sin irracionales, o que \( q+r \) también lo es...Creo que no llego por aquí a nada...
Muchas gracias por tu respuesta.
Saludos
 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Enero, 2015, 10:05 am
Hola el_manco.
"Volviendo al pasado", a tu reformulación del trabajo al que habíamos llegado:

Hola

 Voy a tratar de escribir como reformulo yo tu trabajo y cómo la mayoría de tus demostraciones son así inmediatas. Excepto la del Lema 6, que es la que falla.

 En primer lugar es cómodo escribir la ecuación de Fermat como \( x^3+y^3+z^3=0 \) en lugar de la manera clásica, permitiendo que las variables sean negativas. Esto evita tener que repetir argumentos para tus tres términos \( (x-y),(x-z)=(y-b),M=(y+z) \) que ahora con mi notación son simplemente \( (x+y),(x+z),(y+z) \). De forma que por simetría lo que probemos para uno, queda probado para los demás.

 Entonces sean \( x,y,z \) tres enteros coprimos dos a dos verificando \( x^3+y^3+z^3=0. \)

 1) \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \)

 Prueba: Basta tener en cuenta que, \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \) y usar que estamos bajo el supuesto de que los tres números cumplen la ecuación de Fermat.

 2) \( (x+y),(x+z),(y+z) \) son coprimos dos a dos.

 Prueba: Basta tener en cuenta que por (1) cualquier divisor primo de uno de esos términos lo es de \( (x+y+z) \). Entonces si \( x+y,x+z \) son divisibles por \( p \),

 \( z=(x+y+z)-(x+y) \) divisible por \( p \)
 \( y=(x+y+z)-(x+z) \) divisible por \( p \)

 Pero \( z,y \) son coprimos: contradicción.

 3) Uno y sólo uno de los términos \( (x+y),(x+z),(y+z) \) es divisible por \( 3 \) (supondremos sin pérdida de generalidad, a partir de ahora, que tal término es \( y+z \)).

 Prueba: Por (1), (\( x+y+z) \) es divisible por \( 3 \) y por tanto \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \) divisible por \( 3^3 \). Por tanto efecivamente alguno de los términos es divisible por tres. La unicidad es consecuencia de (2).

 4) \( (y+z)=3^mE^3 \) con \( mcd(E,3)=1 \) y \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).

 Prueba: Se tiene que \(  -x^3=y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2)  \). Como \( (y+z) \) es múltiplo de tres, también lo es \( x \). Como \( x,y,z \) son coprimos, \( y,z \) no son divsibles por tres. Por tanto:

\( (y+z)=3^mE^3,\qquad (y^2-yz+z^2)=3^{3k-m}F^3 \) con \( mcd(E,3)=mcd(F,3)=1 \).

 Pero: \( 3yz=(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)=3^{2m}E^6-3^{3k-m}F^3 \). Como \( y,z \) no son divisibles por tres necesariamente \( 3k-m=1 \), es decir, \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).

 5) Existen enteros \( p,q,r  \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
 
\( y+z=3^mp^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
\( x+y=q^3\quad x+z=r^3\quad x+y+z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)

 Prueba: Basta aplicar (2),(3),(4) a (1)

 6) Existen enteros \( p,q,r  \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:

\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)

 Prueba: Basta tener en cuenta que por (5):

\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
\(  x+y=q^3 \)

 

 En tu Lema 6 pruebas que no existen números en las condiciones de (6) para \( m=2 \). Si lo probases para cualquier  \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \), tendrías la prueba que buscas.

Saludos.
¿Valdría el mismo resultado para \( n=5 \)?
Es decir, para \( x^5=y^5+z^5  \)¿Se cumple también que
\(  x=(x+y+z)-(y+z)=5^{\frac{m+1}{5}}pqr-5^mp^5 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=5^{\frac{m+1}{5}}pqr-r^5 \)
\(  x+y=q^5 \)
?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Enero, 2015, 10:32 am
Hola

¿Valdría el mismo resultado para \( n=5 \)?
Es decir, para \( x^5=y^5+z^5  \)¿Se cumple también que
\(  x=(x+y+z)-(y+z)=5^{\frac{m+1}{5}}pqr-5^mp^5 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=5^{\frac{m+1}{5}}pqr-r^5 \)
\(  x+y=q^5 \)
?

Pues intenta seguir los pasos; probablemente se cumpla algo parecido. Cuando tenga tiempo lo miro yo. La diferencia esta en que ahora la factorización inicial es:

\( (x+y+z)^5=5(x+y)(x+z)(y+z)((x+y+z)^2-xy-xz-yz) \)

Es decir aparece un nuevo factor; para que te hagas una idea de como gestionarlo, echa un vistazo a este hilo que escribí para "entender" a mente_oscura; él manea mucho ese tipo de factorizaciones. En el hilo está descrito el caso \( n=7  \) pero es totalmente análgo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70714.0

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 30 Enero, 2015, 03:39 pm
Hola el_manco,
el doc adjunto que utilicé para \( n=3 \) (faltaría incluir según apuntaste \( m\equiv 2 \pmod 3 \) y no sólo para \( m=2 \) como está actualmente) es una adaptación del doc para el caso general donde se cumple:
\( n(x+y)(x+z)M=b^n \)
donde uno de ellos tiene que ser múltiplo de \( n \) luego se puede poner
\( x+y=q^n \)
\( x+z=r^n \)
y
\( M=n^{m-1}p^n \) con \( m\equiv 0\pmod n \)
Entonces \( b=npqr \)
En definitiva son los mismos resultados que tienes en tu desarrollo en 4), 5) y 6) y que el nuevo factor que indicas queda dentro de \( M \).
Espero como siempre tus comentarios.
Muchas gracias!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 05 Febrero, 2015, 01:52 pm
Hola el_manco,
siguiendo mi notación y línea de trabajo para \( n=3 \) tenía
\( b=3^mpqr \)
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( (x-y)=r^3 \)
\( y-b=3^{3m-1}p^3 \Rightarrow y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr  \)
entonces \( x=r^3+y \Rightarrow x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
(además \(  M=q^3 \))
ya que \( (y+z-x)^3=b^3 \) entonces \( y+z-x=b \Rightarrow z=r^3+3^mpqr \)

Un pequeño inciso para comparar con lo que tenías en tu desarrollo (he cambiado los signos, ya que consideras enteros y yo he mantenido solo enteros positivos; creo no afecta...):
\( 3(x-y)(x-z)(y+z)=(3^mpqr)^3 \)
que es igual según mi desarrollo a
\( 3(x-y)(y-b)M=(3^mpqr)^3 \)
con \( (y-b)=(x-z) \)
y \( M=(y+z)=q^3 \)
(esto último es equivalente a poner \( y+z=x-b \Rightarrow x=q^3-3^mpqr \))

Podemos hacer entonces el mismo desarrollo que he utilizado más arriba y escribir para \( n=5 \) (sin tener en cuenta M)

\( x=r^5+5^{5m-1}p^3 +5^mpqr \)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqr \)
\( z=r^5+5^mpqr \)

¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Febrero, 2015, 12:04 pm
Hola

Hola el_manco,
el doc adjunto que utilicé para \( n=3 \) (faltaría incluir según apuntaste \( m\equiv 2 \pmod 3 \) y no sólo para \( m=2 \) como está actualmente) es una adaptación del doc para el caso general donde se cumple:
\( n(x+y)(x+z)M=b^n \)
donde uno de ellos tiene que ser múltiplo de \( n \) luego se puede poner
\( x+y=q^n \)
\( x+z=r^n \)
y
\( M=n^{m-1}p^n \) con \( m\equiv 0\pmod n \)
Entonces \( b=npqr \)
En definitiva son los mismos resultados que tienes en tu desarrollo en 4), 5) y 6) y que el nuevo factor que indicas queda dentro de \( M \).
Espero como siempre tus comentarios.

Estoy un poco confundido y quizá un poco perzoso  :P. Veamos, del documento que adjuntas. ¿Qué hay nuevo? ¿Quieres qué lo vuelva a revisar por completo?. ¿O me estás preguntando sólo sobre la posible extensión del argumento a \( n=5 \)?.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 06 Febrero, 2015, 12:36 pm
Hola,

Estoy un poco confundido y quizá un poco perzoso  :P. Veamos, del documento que adjuntas. ¿Qué hay nuevo? ¿Quieres qué lo vuelva a revisar por completo?. ¿O me estás preguntando sólo sobre la posible extensión del argumento a \( n=5 \)?.
Saludos.

El doc, es una versión antigua que ya revisaste, además no está completa, falta incluir según viste un caso mas general \( m\equiv 2 \pmod 3 \).
La he subido porque estaba alojada en otro servidor (y eso incumple las reglas de este foro ;) ), además se ve como llegar al siguiente resultado:

Hola el_manco,
siguiendo mi notación y línea de trabajo para \( n=3 \) tenía
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( b=3^mpqr \)

Según tus cálculos habías llegado a:

\( x=q^3-3^mpqr \)
\( y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( z=r^3+3^mpqr \)

Y según lo siguiente
...tenía
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( b=3^mpqr \)
Entonces podemos tomar
\( (x-y)=r^3 \).
\( y-b=3^{3m-1}p^3 \Rightarrow y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr  \)
por lo tanto \( x=r^3+y \Rightarrow x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
(además \(  M=q^3 \))
ya que \( (y+z-x)^3=b^3 \) entonces \( y+z-x=b \Rightarrow z=r^3+3^mpqr \)
(Aquí sí he corregido el resultado del doc que subí en otra respuesta y he incluido el caso \( m\equiv 2 \pmod 3 \), pero aplicando un cambio de variable donde los exponentes son \( m \) y \( 3m-1 \)). Copio los valores de\(  x, y, z \) anteriores:

\( x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( z=r^3+3^mpqr \)

Son correctas la cuentas y en efecto es equivalente esto último a tu resultado?

En ese caso, ¿Se puede extender para \( n=5 \)
 
\( x=r^5+5^{5m-1}p^5 +5^mpqr \)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqr \)
\( z=r^5+5^mpqr \)

?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Febrero, 2015, 01:15 pm
Hola

Según tus cálculos habías llegado a:

\( x=q^3-3^mpqr \)
\( y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( z=r^3+3^mpqr \)

Y según lo siguiente
...tenía
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( b=3^mpqr \)
Entonces podemos tomar
\( (x-y)=r^3 \).
\( y-b=3^{3m-1}p^3 \Rightarrow y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr  \)
por lo tanto \( x=r^3+y \Rightarrow x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
(además \(  M=q^3 \))
ya que \( (y+z-x)^3=b^3 \) entonces \( y+z-x=b \Rightarrow z=r^3+3^mpqr \)
(Aquí sí he corregido el resultado del doc que subí en otra respuesta y he incluido el caso \( m\equiv 2 \pmod 3 \), pero aplicando un cambio de variable donde los exponentes son \( m \) y \( 3m-1 \)). Copio los valores de\(  x, y, z \) anteriores:

\( x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( z=r^3+3^mpqr \)

Son correctas la cuentas y en efecto es equivalente esto último a tu resultado?

Son correctas y es equivalente a mi resultado; lo que pasa que hay que tener un poco de cuidado y "ahorcarse a algún palo con la notación". Porque además en el cambio del signo de \( x \), tampoco hemos usado con la misma función las variables \( p,q,r \). Al final son tres números coprimos que se distribuirán entre los tres factores; entonces dependiendo de que nombre asignemos a cada factor variará la notación.

Digo que hay que ahoracarse a algún palo, por miedo en que el algún momento se mezclen las dos notaciones y venga algún "lío".

Saludos.

P.D. Me falta mirar lo de \( n=5. \)
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 19 Febrero, 2015, 10:41 am
Hola el_manco
Pues intenta seguir los pasos; probablemente se cumpla algo parecido. Cuando tenga tiempo lo miro yo. La diferencia esta en que ahora la factorización inicial es:

\( (x+y+z)^5=5(x+y)(x+z)(y+z)((x+y+z)^2-xy-xz-yz) \) (*)

Es decir aparece un nuevo factor; para que te hagas una idea de como gestionarlo, echa un vistazo a este hilo que escribí para "entender" a mente_oscura; él manea mucho ese tipo de factorizaciones. En el hilo está descrito el caso \( n=7  \) pero es totalmente análgo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70714.0

Saludos.
Si me permites prefiero utilizar la notación solo para naturales y expresar la fórmula  de (*) como
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \) (**) con \( k_2 \) el nuevo factor que aparece en los casos para \( n>3 \)
entonces si es correcto que
\( x=r^5+5^{5m-1}p^5 +5^mpqr \)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqr \)
\( z=r^5+5^mpqr \)
sustituyendo en (**) tenemos que
\( (5^mpqr )^5=5\cdot r^5 \cdot 5^{5m-1}p^5.(y+z).k_2 \) luego
\( q^5=(y+z).k_2 \)
como sabemos que \( y+z \) tiene que ser de la forma \( E^5 \) Entonces \( k_2 \) también tiene que ser de la forma \( F^5 \)
luego \( q=EF \). Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 14 Abril, 2015, 05:03 pm
Hola. He estado revisando  lo siguiente:
Hola el_manco,
en los últimos resultados que habíamos tenido estaba intentado demostrar que no hay soluciones enteras para
\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }=T^2  \) para algún \( T>0 \)
Y según habías verificado se podía poner como
\( pX^2-tY^2=T^2 \) (*)
con \( X=2p \) , \( Y=6p+t \) , \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no múltiplo de \( 3 \). (**)

He revisado el documento que indicabas http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf
y creo que la proposición a la que hacías referencia era:

Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, then
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \(  t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \(  - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).
entonces si
\( pX^2-tY^2=T^2 \) (*)
con \( X=2p \) , \( Y=6p+t \) , \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no múltiplo de \( 3 \). La ecuación de (*) la puedo reescribir como
\( 4p(p)^2-3(3^{m-2}Y)^2=T^2 \Rightarrow 4pX_1^2-3Y_1^2=T^2 \)
con \( p = X_1 \) y  \( 3^{m-2}Y=Y_1 \)
Pero según la proposición anterior existe un \( C \) de modo que
\( 3 \equiv C^2 \pmod {4p} \)
¿Esto último es posible?, es decir ¿\( C^2-3 \) puede ser múltiplo de \( 4 \) para algún \( C \)?
Muchas gracias!
Saludos
 
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Abril, 2015, 11:52 am
Hola

entonces si
\( pX^2-tY^2=T^2 \) (*)
con \( X=2p \) , \( Y=6p+t \) , \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no múltiplo de \( 3 \). La ecuación de (*) la puedo reescribir como
\( 4p(p)^2-3(3^{m-2}Y)^2=T^2 \Rightarrow 4pX_1^2-3Y_1^2=T^2 \)
con \( p = X_1 \) y  \( 3^{m-2}Y=Y_1 \)
Pero según la proposición anterior existe un \( C \) de modo que
\( 3 \equiv C^2 \pmod {4p} \)
¿Esto último es posible?, es decir ¿\( C^2-3 \) puede ser múltiplo de \( 4 \) para algún \( C \)?

Pero según la proposición \( -3 \) (y no \( +3 \)) debería de ser un cuadrado módulo \( 4p \), y \( C^2+3 \) si puedes ser múltiplo de cuatro.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 01 Septiembre, 2016, 11:08 pm
Hola.
El mes de junio pasado tuve oportunidad de asistir a la conferencia de Nuno Frías sobre Las curvas elípticas y el último teorema de Fermat
http://www.fbbva.es/TLFU/tlfu/esp/agenda/eventos/fichaconfe/index.jsp?codigo=1339 (http://www.fbbva.es/TLFU/tlfu/esp/agenda/eventos/fichaconfe/index.jsp?codigo=1339). Mis pretensiones no llegaban más allá que las que pueda tener un profano sobre este tema al que le fascinan las matemáticas. La exposición de la conferencia me pareció bastante divulgativa y amena a pesar de mi carencia de conocimientos...No recuerdo en que momento se trato una proposición que se suponía cierta cuando \( n\geq{5} \)....
Desde casi el principio de este hilo/historia hemos estado tratando el caso \( n=3 \) pero quisiera hacer una incursión en el caso donde \( n\geq{5} \) para ver si el nuevo factor puede llevarnos a encontrar alguna contradicción.
Extraigo la siguiente ecuación de la cita
. . .
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \) con \( k_2 \) el nuevo factor que aparece en los casos para \( n>3 \)
. . .

Creo que podemos considerar dos casos distintos:
1) \( k_2 \) es mútiplo de \(  5  \)
2) \( k_2 \) NO es mútiplo de \(  5  \)

Si escribimos
\( y+z-x=5^{m}pqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)

y para el caso 2) donde suponemos,por ejemplo, que \( x-z \) es múltiplo de \( 5 \)
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=5^{5m-1}p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=t^5 \)
nos queda entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (**)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(**) equivalente \( x=5^{5m-1}p^5+r^5+5^mpqrt \)

¿Podemos considerar estos dos casos con los valores para \( x \) , \( y \)  y \( z \) según se ha indicado?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Septiembre, 2016, 02:04 pm
Hola

Creo que podemos considerar dos casos distintos:
1) \( k_2 \) es mútiplo de \(  5  \)
2) \( k_2 \) NO es mútiplo de \(  5  \)

Si escribimos
\( y+z-x=5^{m}pqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)

y para el caso 2) donde suponemos,por ejemplo, que \( x-z \) es múltiplo de \( 5 \)
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=5^{5m-1}p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=t^5 \)
nos queda entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (**)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(**) equivalente \( x=5^{5m-1}p^5+r^5+5^mpqrt \)

¿Podemos considerar estos dos casos con los valores para \( x \) , \( y \)  y \( z \) según se ha indicado?

Si creo que todo lo que pones está bien.

Al respecto te puede interesar este hilo para \( n=7 \):

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70714.0

Y este otro:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=84274.0

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 20 Septiembre, 2016, 12:52 pm
Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).

Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).
Voy a utilizar la siguiente notación
\( a=x-y=r^5 \)
y
\( b=5^mpqrt \).
Podemos sustituir en \( x^5-y^5=z^5 \)
el valor que teníamos de
\( z=x-y+b=a+b \)
y
\( x=a+y \)
Escribimos entonces
\( (a+y)^5-y^5=(a+b)^5 \)
El desarrollo quedaría
\( a^5+5a^4y+10a^3y^2+10a^2y^3+5ay^4+y^5-y^5= \)
\( a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \Rightarrow \)
\( 5a^4(y-b)+10a^3(y^2-b^2)+10a^2(y^3-b^3)+5a(y^4-b^4)=b^5 \)
Todos los terminos son múltiplos de \( 5 \), \( y-b \) y \( a \). Entonces la igualdad anterior nos queda
\( 5a(y-b)[a^3+2a^2(y+b)+2a(y^2+yb+b^2)+(y^3+y^2b+yb^2+b^3)]=b^5=(5^mpqrt)^5 \)
diviendo por \( 5a(y-b) \)
\( a^3+2a^2(y+b)+2a(y^2+yb+b^2)+(y^3+y^2b+yb^2+b^3)=5^{5m-1}q^5t^5 \)
Todos los términos de la igualdad son múltiplos de \( t_1 \) salvo quizás \( a^3=(x-y)^3 \) pero \( y \) es múltiplo de \( t_1 \) y para que \( x-y=a \) fuera múltiplo de \( t_1 \) también \( x \) tendría que ser múltiplo de \( t_1 \) que no es posible por la coprimalidad de \( x \) e \( y \). (vale también para  \( t_1=5 \))

Para el caso donde alguno de \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \) fuera múltiplo de \( 5 \) creo que podríamos utilizar el mismo argumento.

¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Septiembre, 2016, 01:11 pm
Hola

Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).

Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).

No me convence el comienzo; si todavía no sabes que \( x-z \) y \( k_2 \) son coprimos, ¿cómo sabes que \( x-z \) es una quinta potencia de algo?. Para afirmar eso hay que basarse (creo) en la coprimalidad de los cuatro factores \( x-y,x-z,y-z,k_2 \).

En realidad puedes razonar directamente. Fíjate que en tu caso:

\( k_2=x^2 - x y + y^2 - x z + y z + z^2=(x-y)^2+xy-xz+yz-z^2 \) (*)

Si, por ejemplo, \( x-y \) tuviese a \( t_1 \) como divisor primo común primo  \( k_2 \), entonces \( t_1 \) también divide a \( z=(y+z-x)+(x-y) \). Entonces en (*) tendrías que \( xy \) es múltiplo de \( k_2 \), lo cuál contradice el ehcho de que \( x,y,z \) son coprimos.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 20 Septiembre, 2016, 04:43 pm
Hola
Hola

Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).

Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).

No me convence el comienzo; si todavía no sabes que \( x-z \) y \( k_2 \) son coprimos, ¿cómo sabes que \( x-z \) es una quinta potencia de algo?. Para afirmar eso hay que basarse (creo) en la coprimalidad de los cuatro factores \( x-y,x-z,y-z,k_2 \).

Estoy suponiendo como cierto que \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \) son coprimos y estoy en el caso 1) de:


...
Si escribimos
\( y+z-x=5^mpqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)
...
¿No es correcto dar por cierto todo lo de esta última cita?
Gracias!
Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Septiembre, 2016, 06:02 pm
Hola


...
Si escribimos
\( y+z-x=5^mpqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)
...
¿No es correcto dar por cierto todo lo de esta última cita?

Quizá no fui claro cuando lo di por bueno. Lo que se afirma ahí es cierto; pero hay que demostrarlo. En particular para poder afirmar que los términos \( x-y,x-z,y+z \) son quintas potencias no veo otra forma de justificarlo sin previamente demostrar que esos factores (y el cuarto \( k_2 \)) son coprimos. En otro caso podría haber un factor primo que, estuviese en el producto elevado a la quinta, pero que se repartiese por ejemplo en un factor elevado al cubo y en el otro al cuadrado.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: manooooh en 13 Octubre, 2018, 10:20 am
Hola a todos

Sólo quería comentar que este hilo es un EXCELENTE ejemplo de superación y avance ante un monstruo como es el UTF :aplauso:. Felicitaciones a aureodd y Luis Fuentes por los aportes de ambos, que con más de 15 bloques y varios años debatiendo, desmintiendo, probando, publicando y, sobre todo, aprendiendo, de varios mensajes han demostrado su capacidad intelectual para llevar a cabo esta discusión. También mis felicitaciones a otros grandes usuarios del foro que también participaron y siguen participando de una prueba más fundamental del UTF y otros.

Esto claramente es un off-topic, así que lo pondré en un spoiler para no obstruir la bella discusión mantenida aquí hasta hace uno dos años:

Spoiler
Soy un completo noob ante teoría de números. Me parece fascinante tratar de abordar este tema con la menor complejidad posible, ya que sólo he visto desigualdades, ecuaciones no tan complicadas y ¡mucho cambio de variables!

Me gustaría confesar que he leído por encima cada uno de los argumentos. He observado que primero aureodd intentó utilizar argumentos para el caso general, pero luego Luis le ha recomendado particularizar, así la notación era más clara y concisa.

Entre observaciones no vistas ;) y las que han surgido de golpe, me quedé asombrado con este pequeño entrevero del señor Luis que encontré en mi lectura fugaz:

P.D. La otra noche tras poner el chupete a mi hija, me vino la luz y dos años después comprendí (entre otras cosas) creo que completamente tu nick.  ;)

OWWW ¡qué tierno! :laugh:. No sabía que tenías una pequeña hijita, qué alegría :). Bueno... en 2018 de "pequeña" tiene poco :laugh:, aunque algunos padres sostienen que los hijos siempre serán recordados de pequeños ("¿Recordás cuando te babeabas, cuando fuiste a la escuela, cuando te daba de comer, ...?").

Me imagino que tu hija forma parte de alguna que otra charla de matemáticas dictadas por su padre, por lo menos, eh :laugh: (ahora los hijos tenemos más independencia, por lo que decir "Tu hija debe ser matemática" queda mal visto). Espero que sea un poco más apasionada por las matemáticas que el resto y no como a mi que no me enseñaron a verla como la veo ahora, sino hubiera sido por el rinconmatematico.

Algo que me soprende es que en ciertos mensajes aparezcan expresiones matemáticas que son erróneas, como por ejemplo escribir \( \matbb \). ¿Esto hace varios años atrás era válido y en los mensajes se veía bien, o ustedes lo dejaban pasar? ¡Y esto se relaciona directamente con

manooooh definitivamente tienes un problema/virtud (todo depende del punto de vista) con la rigurosidad/flexibilidad de las notaciones. :D :D

¡Todavía tengo pendiente pensar algo con qué contestarte :laugh:!
[cerrar]

Gracias por encender una mecha de pasión por las matemáticas.

Saludos
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 26 Diciembre, 2018, 10:41 am
Hola Luis.
En las páginas 9 y 10 de este hilo contienen varias proposiciones que creo llegan a una contradicción:
I) Esta primera cita la reescribo ya que contenía una errata. También cambio el nombre de la variable \( p_2 \) por \( a \).
La cuestión principal y la que perseguimos es confirmar que
PROP 1: \( p_1 \) y \( p \) no pueden tener algún factor común.

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que \( q-r \) lo podemos poner de la forma siguiente
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( a \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {a} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^2} \pmod {a} \)
entonces \( q^2 \) es múltiplo de \( a \) (factor de \( p \)) luego \( q^2  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos


Después de una pequeña discusión llegamos a que :

Si \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
¿\( (q-r)  \) y \( (q^2+qr+r^2) \) pueden tener algún divisor común? Si lo tienen puede ser divisor de \( p \)?
Muchas gracias!
Saludos

Hola

 El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:

\(  (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)

 y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).

Saludos.
Hasta aquí no se si queda claro que \( p_1 \) y \( p \) no tienen algún factor común.

II) Para la siguiente proposición habíamos utilizado que (donde pone \( p_3 \) ponía \( p_1 \) pero lo cambiamos ya que \( p_1 \) se ha utilizado en la proposición 1):
Hola

 Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)

Saludos.

Después de una larga discusión llegamos a esta segunda proposición:

Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.

Si \( q-r=3^{m-1}\cdot{p_2}A \) donde \( A=2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3} \)
si
\(  p=p_2\cdot p_3 \)
y si
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
entonces
\( p_1=p_2\cdot{A} \)
luego \( p \) y \( p_1 \) tienen a \( p_2 \) como factor común. ¿Esto contradice la PROP 1: \( p_1 \) y \( p \) no pueden tener algún factor común. ?
Muchas gracias!
Saludos


Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Diciembre, 2018, 12:15 pm
Hola

Hola Luis.

Hola. ¡Cuánto tiempo!.

Básicamente el principal problema que sigo sin ver como de todo esto:

Citar
I) Esta primera cita la reescribo ya que contenía una errata. También cambio el nombre de la variable \( p_2 \) por \( a \).
La cuestión principal y la que perseguimos es confirmar que
PROP 1: \( p_1 \) y \( p \) no pueden tener algún factor común.

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que \( q-r \) lo podemos poner de la forma siguiente
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( a \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {a} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^2} \pmod {a} \)
entonces \( q^2 \) es múltiplo de \( a \) (factor de \( p \)) luego \( q^2  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos


Después de una pequeña discusión llegamos a que :

Si \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
¿\( (q-r)  \) y \( (q^2+qr+r^2) \) pueden tener algún divisor común? Si lo tienen puede ser divisor de \( p \)?
Muchas gracias!
Saludos

Hola

 El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:

\(  (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)

 y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).

Saludos.
Hasta aquí no se si queda claro que \( p_1 \) y \( p \) no tienen algún factor común.

Se deduce que \( p_1 \) y \( p \) no tienen factor común. No se si me pierdo algo pero no lo veo.

Saludos.
Título: Re: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.
Publicado por: aureodd en 09 Enero, 2019, 11:08 am
Hola.
En efecto, las proposiciones utilizadas no demuestran que \( p \) y \( p_1 \) no puedan tener algún factor común.
De hecho los resultados que tenemos son
\( q-r=3^{m-1}\cdot{p_2}A \) donde \( A=2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3} \)
si
\(  p=p_2\cdot p_3 \)
y si
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
entonces
\( p_1=p_2\cdot{A} \)
Luego \( p_2 \) es el factor común de \( p \) y \( p_1 \).
Muchas gracias!
Saludos