\( [(x-y)+nKK_2]^n-(x-y)^n \) tiene que ser múltiplo de \( (x-y) \), luego \( (x-y)+nKK_2 \) también tiene que ser mútiplo de \( (x-y) \).
\( [2^8+7K(2^2)]^7 \) tiene que ser múltiplo de \( 2^8 \), luego \( 2^8+7K(2^2) \) también tiene que ser mútiplo de \( 2^8 \).
\( (a+b)^n \) múltiplo de \( a \) \( \nRightarrow a+b \) múltiplo de \( a \)???
Si \( n \) es primo entonces se cumple \( (x^n-y^n) -(x-y)^{n}=nxy.B(x,y).(x-y) \)Desconozco si es un resultado trivial y si se puede llegar a él de una forma mas sencilla. Me gustaría conocer si tú o alguien del foro tiene alguna referencia de este resultado.
¿El resto de la prueba tuviste oportunidad de revisarlo para descartar que no haya más errores? ¿O viste el error rapidamente en una primera lectura?
CitarSi \( n \) es primo entonces se cumple \( (x^n-y^n) -(x-y)^{n}=nxy.B(x,y).(x-y) \)Desconozco si es un resultado trivial y si se puede llegar a él de una forma mas sencilla. Me gustaría conocer si tú o alguien del foro tiene alguna referencia de este resultado.
Por otra parte, fíjate que ni siquiera existe una demostración sencilla (si complicada, por supueso) para el caso \( n=3 \). Por tanto si uno cree tener una demostración simple para el caso general es bueno escribirla específicamente para el caso \( n=3 \). Si funciona ya es un gran avance; en otro caso es mucho más fácil encontrar el error.
En tu caso para \( n=3 \), la mayor parte de tus lemas previos son trivialidades y los argumentos claves (y el error) se resumen apenas en una carilla.
2) La nota 3 de la página 11, es discutible o al menos poco clara. Si y son múltiplos de es cierto que tu expresión del Lema 2 queda:Estoy de acuerdo contigo, pero creo que podemos considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)
\( z^n=\dfrac{(x-y)(x-y)^{n-1}A_1^n}{A_2^n}=\dfrac{(k_1)^nA_1^n}{k_2^n} \)
pero eso no sustituye la expresión inicial, es decir, no podemos afirmar que:
\( z^n=\dfrac{(x'-y')(x'-y')^{n-1}A_1^n}{A_2'^n} \)
con \( x'-y',A_2' \) no múltiplos de \( n \)
La demostración del lema 7.1 no me queda clara.Al final de la página 17 se ve que \( M \) tiene que ser múltiplo de \( n \) y en \( M=n.M_{u_1} \) considero
-- Por ejemplo la afirmación i) de la página 18 donde dices que , no la veo suficientemente justificada.
-- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \) ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \).
- La demostración del lema 7.2 tiene el error (troncal) que te indiqué en el post anterior.Sí, como dices hay que considerar \( (x-y).(y-n.p.q.r).M=n^n.p^{n}.q^n.r^n \). Como \( M \) es múltiplo de \( n \)
Estoy de acuerdo contigo, pero creo que podemos considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)
ya que en caso de que lo fuera \( (x-y)=a.n \),\( x=a.n+y \) y partiendo de que \( (x,y,z) \) sean coprimos, podemos poner el término
general del UTF como \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
y para el caso particular de \( n=3 \) nos queda \( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2+y^3-y^3 \) luego \( 3 \)
divide a \( z^3 \) y a \( z \). Poniendo \( z=3.k \) nos queda \( z^3=(3.k)^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2 \)
y esto implica que \( y^2 \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \) y contradice que \( z \) sea coprimo con \( y \). ¿Es correcto?
En iii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( y \)
En ii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( x-z=y-b \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( (x-y) \)
¿Esto no es posible por la misma explicación
que he dado antes para considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)?
Si es así podemos poner \( z=3.k \) y sustituyendo en el resultado del lema 2
\( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.\color{red}a\color{black}y^2 \)
En efecto no se puede justificar que \( (x-y) \) ni \( (x-z)=(y-b) \) puedan ser múltiplos de tres, pero se llega siempre a una
Como de hecho \( 3 \) es divisor de \( M \), lo que no veo claro es como justificar que ni \( (x-y) \) ni \( (x-z) \)
pueden ser múltiplos de tres.
Si suponemos que \( (x-y) \) es múltiplo de \( n \), \( (x-y)=a.n \Rightarrow x=an+y \) y partiendo
que \( (x,y,z) \) sean coprimos, el término general del UTF quedaría \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
que para el caso particular de \( n=3 \) se puede deducir
que \( z \) es múltiplo de \( 3 \)?
Si es así podemos poner \( z=3.k \) y sustituyendo en el resultado del lema 2
\( z^3=(3k)^3=\dfrac{(x-y)^{3}A_1^3}{A_2^3}=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \Rightarrow (3k)^3=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \)
que es igual a \( k^3=\dfrac{a^3.A_1^3}{A'_2^3} \) equivalente al resultado del lema 2.
para algunos \( x' \) e \( y' \) con \( a=x'-y' \) y algún \( A'_2<(x'-y') \)
¿Podemos buscar soluciones del tipo \( k^n=x'^n-y'^n \) e imponer que \( (x'-y') \) no sea múltiplo de \( n \)?
En efecto no se puede justificar que \( (x-y) \) ni \( (x-z)=(y-b) \) puedan ser múltiplos de tres, pero se llega siempre a una
contradicción independientemente de los divisores de \( M_{u_1} \), con \( M=3.M_{u_1} \)
Por ejemplo para el caso que\( (y-b) \) sea múltiplo de \( 3 \) escribimos \( (y-b)=3v \Rightarrow y=3v+b \) con \( v \) sin factores comunes con \( (x-y)=u \),
tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)]=3[u+3v+b+b]=3.M_{u_1} \) y ahora tenemos 3 opciones distintas dependiendo de los divisores de \( M_{u_1} \)
que llevan cada una a una contradicción:
i)\( M_{u_1}=1\Rightarrow M=3[u+3v+b+b]=3 \Rightarrow u+3v+b+b=1 \), que no es posible
ii)\( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (y-b)=u \), sea \( u_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (x-y)=v \).
Podemos poner \( M=3.\dot{u_1}=3[\dot{u_1}+3v] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( u_1 \)
iii) \( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (x-y)=v \), sea \( v_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (y-b)=u \).
Podemos poner \( M=3.\dot{v_1}=3[u+\dot{v_1}] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( v_1 \)
-- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \) ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \).
Para el caso que \( (x-y) \) sea múltiplo de \( 3 \) no lo he considerado en el documento ya que partía de la suposición que
\( (x-y) \) no es múltiplo de \( 3 \) y que he intentado justificar antes.
Nada nos asegura, a priori, que existan números \( x',y' \) tales que \( a=x'-y' \) y al mismo tiempo \( k^n=x'^n-y'^n \)Sí, tienes toda la razón...
Eso nos impide (de momento) completar el argumento que nos permitiría afirmar que podemos suponer \( x-y \) no múltiplo de \( n \).Te puedo preguntar por que dices "de momento"? Crees que realmente hay alguna forma de poder afirmar que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \) con algún resultado previo al Lema 7.1? De todos modos crees que será necesario en algún momento? Y más después de ver que has llegado al mismo resultado del lema 6 en
Concreto un poco más las lagunas y particularizo al caso \( n=3 \) .y donde no te ha hecho falta que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \)?
Nota que es inmediato comprobar que:
\( x^3-y^3-z^3=3(x-y)(x-z)(z+y)-(z+y-x)^3 \)
-- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).(considero ahora solamente el caso para \( M \) y \( (y-b) \))
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).Ejemplos:
Te puedo preguntar por que dices "de momento"? Crees que realmente hay alguna forma de poder afirmar que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \) con algún resultado previo al Lema 7.1? De todos modos crees que será necesario en algún momento? Y más después de ver que has llegado al mismo resultado del lema 6 enCitarConcreto un poco más las lagunas y particularizo al caso \( n=3 \) .y donde no te ha hecho falta que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \)?
Nota que es inmediato comprobar que:
\( x^3-y^3-z^3=3(x-y)(x-z)(z+y)-(z+y-x)^3 \)
(considero ahora solamente el caso para \( M \) y \( (y-b) \))
lo que había comprobado para \( n=3 \) es que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)] \) donde
\( (x-y).(y-b).M=3^3.u^3.v^3 \), supuse por ejemplo \( b=3.u.v=3\cdot2\cdot5 \) y vi con los siguientes ejemplos que se podía generalizar y afirmar (lema 7.1) que si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tiene factores comunes entre ellos pero alguno de ellos sí tienen algún factor común con \( M \), entonces el UTF no tiene solución. En estos ejemplos que indico se ve en todos que
\( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y en todos se llega a igualdades que no son posibles, luegoCitar\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).Ejemplos:
i)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
\)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3 \)
Aquí se ve que la parte izquierda de la igualdad es mayor que la derecha
ii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^2\cdot3^2\\
M=3\cdot5\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
\)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot3 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
ii) Otro ejemplo
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3\\
M=3^2\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5
\)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3^2 \)
Aquí también se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
iii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\cdot2\\
(x-y)=2^2
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
\)
\( M=3[\underbrace{2^2}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot2 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 2 \) excepto \( 3^2\cdot5^3 \), luego la igualdad no es posible
No se en que momento, al pasar de estos ejemplos e intentar generalizar en el Lema 7.1, no queda claro que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \) se llega siempre a una contradicción, luego
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).
lo que quiero ver para \( n=5 \) es:
\( a^5=3^5\cdot2^5= 2^3\cdot3^5\cdot2^2 \)
con \( A=2^3 \) y \( q=3^5\cdot2^2 \).
previo a la demostración del Corolario 1 del documento tenía:
\( E.a=A.C.k \)
pero \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos, entonces \( a=A.C \) y \( E=k \)
creo que deberías de parar un momento, respirar profundamente, partir de cero, y revisar tu trabajo de nuevo con el mayor espíritu crítico. Me gustaría que en esa revisión, te decidieses a escribir tus ideas para el caso \( n=3 \).yo también lo creo... intentaré seguir tus consejos. gracias!!
desde hace unos días estoy algo apartado del foro y seguiré así durante un par de meses, así que probablemente no vuelva a contestar hasta entonces. Lo he hecho ahora por deferencia a ti y al debate que mantenemos.muchas gracias!! Estoy seguro que todos los que visitan el foro te echarán de menos, y yo particularmente. Espero que te vaya bien en estos meses y que vuelvas pronto.
\( (p+r-u)^5-p^5-r^n=2.5.p.(p+r-u).r \)
haciendo el desarrollo se puede ver que \( u \) tiene que ser de la forma \( u=5.p.r.k \) para algún \( k>0 \) luego
Ahora para que la parte izquierda de la igualdad en (2) sea múltiplo de \( p \),
se tiene que dar que
\( t^5-r^5 \equiv 0 \mod p \)
sustituimos el valor que tenemos de \( t \) en (3)
\( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p \)
y como \( p \) y \( q \) son coprimos no múltiplos de \( 5 \), entonces \( k \) tiene que ser múltiplo de \( p \).
Si es cierto que las únicas soluciones enteras de:¿Luego es cierto también para el caso general \( q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?
\( q^3-p^3-r^3=3pqr \)
son aquellas en las que \( q=p+r \). Para ello y utilizando análisis (derivadas, máximos y mínimos) basta comprobar que la función:
\( f(x)=x^3-p^3-r^3-3prx \)
tiene una única ráiz positiva.
¿Luego es cierto también para el caso general \( q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?
¿Y se podría utilizar de algún modo para probar que la primera ecuación \( q^n-p^n-r^n=2npqr \) (*) no tiene solución?
¿Luego es cierto también para el caso general \( q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?
Es que para \( n>3 \), \( q=p+r \) nunca es solución de la ecuación. Lo que puede probarse tomando \( f(x)=x^n-p^n-r^n-nprx \), es que la ecuación \( f(x)=0 \) tiene una única solución positiva. Lo que no está tan claro es si puede ser entera.
No es trivial entonces probar que
\( q^n-p^n-r^n=2npqr \) no tiene soluciones enteras?
\( p,q,r \) coprimos no múltiplos de \( n \) y \( n \) primo (*)quiero probar
I) \( (p^n+r^n+npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)no tiene soluciones enteras para \( n=3 \).
con
\( x^n=(p^n+r^n+npqr)^n \)
\( y^n=(p^n+npqr)^n \)
\( z^n=(r^n+npqr)^n \)
En la demostración tu partes de suponer que si \( (y+z)=3^mE^3 \) entonces \( R(x,y)=3^{3-m}F^3 \). Pero en esa suposición ya estás obviando la posibilida de que:Creo que no hay problema en modificar el Lema 4.1 y el resto del doc. sustituyendo donde pone
\( (y+z)=3^mE^3 \)
\( R(x,y)=3^{\color{red}3N\color{black}-m}F^3 \).
HolaAunque me resulta "complicado" adaptarme a tu cambio de notación, me parece absolutamente genial la simplicidad con la que has reformulado todo el trabajo.
Voy a tratar de escribir como reformulo yo tu trabajo y cómo la mayoría de tus demostraciones son así inmediatas. Excepto la del Lema 6, que es la que falla.
... y pensaré el caso para \( m\equiv 2 \pmod 3 \)
En tu Lema 6 pruebas que no existen números en las condiciones de (6) para \( m=2 \). Si lo probases para cualquier \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \), tendrías la prueba que buscas.
Saludos.
si teníamos
\( q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \)
lo podemos escribir como
\( q^3+r^3=2\cdot 3^{j-1}pqr-3^{2j-1}p^3 \) (1)
para \( j>1 \) y \( j\in \mathbb{N} \)
luego \( q^3+r^3\equiv0\pmod3 \Rightarrow q+r\equiv0\pmod3 \)
Entonces \( q^3+r^3=(q+r)(q^2-qr+r^2) \equiv0\pmod{3^k} \) únicamente si \( k=2 \)
Hola el_manco,
efectivamente hay una errata... pero volviendo a lo que teníamos:
\( q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \Rightarrow \)
\( q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \) (I)
luego
\( q^3+r^3\equiv0\pmod{3^k} \) para algún \( k \)
y podemos escribir \( q^3+r^3 = 3^k.j \) para algún \( j \) no múltiplo de \( 3 \).
Nos queda (I) como
\( 3^k.j=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
Si \( k<\frac{m+1}{3} \) entonces el lado izquierdo de la igualdad en (I) no es múltiplo de 3 y el derecho si lo es. Luego esta situación no puede darse.
Si \( k>\frac{m+1}{3} \) el lado izquierdo de la igualdad en (I) es múltiplo de \( 3 \) y el derecho no lo es ya que \( p,q,r \) no son múltiplos de \( 3 \). Luego esta situación tampoco puede darse.
Buscamos entonces soluciones para \( k=\frac{m+1}{3} \).
Como también
\( q^3+r^3=(q+r)^3-\color{red}3pr(p+r)\color{black} \Rightarrow q^3+r^3=(3^{k-1}t)^3-3pr(3^{k-1}t) \)
\( 3^{2k-3}(3^{2k-3}u-2p)^3-qr(3^{2k-3}u-2p)=2pqr-3^{2k-1}p^3 \)
y haciendo el desarrollo queda que todos los sumando son múltiplos de \( 3 \) excepto
\( (2p)^3 \) ya que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \).
\( x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)Además
\( y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
Hola,
si teníamos\( x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)Además
\( y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
\( z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-q^3 \)
Sustituyendo en los valores de \( x,y,z \) anteriores en el término general del UTF
\( x^3=y^3+z^3 \)
pero en un resultado previo vimos que si \( Y,Z \) son soluciones del UTF e \( Y+Z \) son múltiplos de \( 3 \)
entonces \( Y+Z \) tiene que ser de la forma \( 3^jP^3 \) con \( j\equiv 2 \pmod 3 \) (III)
Pero esos resultados se obtuvieron bajo el supuesto de \( X,Y,Z \) coprimos. En este caso \( X,Y,Z \) son múltiplos de dos.totalmente de acuerdo, muchas gracias por el apunte.
Siguiendo mi notación para intentar no perderme con los signos, teníamos
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr \)(1)
De aquí se puede deducir:
I) \( q-r<3^mp \)
Prueba:
Si ponemos \( q-r \geq 3^mp \)
se puede comprobar que la igualdad en (1) no puede darse (lado izquierdo de la igualdad mayor que el lado derecho), luego \( q-r<3^mp \)
II) \( q-r \equiv 0 \pmod 3 \)
Prueba:
Utilizando el PTF en (1)
Ahora quiero ver si \( q-r \equiv 0 \pmod p \)
De I) y II)
\( q-r =3^mp -3u \) para algún \( u \) (2)
Como \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \), sustituimos en (1)
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
y utilizando (2) nos queda
\( (3^mp-3u)^3+3qr(3^mp-3u)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
donde todos los términos son múltiplos de \( p \) excepto
\( -(3u)^3-3^2uqr=-3^2u(3u^2+qr) \)
Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\( p|u \)?
Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\( p|u \)?totalmente de acuerdo. De hecho creo que si las cuentas son correctas, si \( p|u \) se llega a una contradicción, luego necesariamente se tiene que dar que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Lo revisaré...
¡No!. Puede ocurrir que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Y en ese caso \( u \) no lo sería.
\( 3^{2}p^3-(2p+3k)^3=qrk \)
¿De aquí se puede deducir que \( k|p^3 \) ?
El resto es todo correcto?
Entonces si \( k|p^3 \) se puede deducir en
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr\cdot3^2k \)
que \( k|(q-r)^3 \) ?
volviendo a la ecuación
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr \)
donde \( p,q \) y \( r \) son coprimos, no múltiplos de \( 3 \).
Todos los términos son múltiplos de \( 3^m \) excepto \( q^3-r^3 \). Si consideramos que \( m\geq{3} \)
para que \( q^3-r^3 \) sea múltiplo de \( 3^m \), \( q \) tiene que se múltiplo de \( 3 \) (también \( r \) es múltiplo de \( 3 \)), y hemos supuesto que \( q \) no lo es. Es correcto?
Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?
Podemos poner entonces
\( q^3-r^3=(3^{m-1}k+r)^3-r^3 \Rightarrow q^3-r^3 =(3^{m-1}k)^3+3qr\cdot3^{m-1}k= \)
\( =(3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k \)
que al sustituir en (1)
\( (3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow \)
\( 3^mqr(k-2p)=3^{3m-1}p^3-(3^{m-1}k)^3=3^{3m-1}p^3-3^{3m-3}k^3\Rightrrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}k^3=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3)\Rightarrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)
Ahora para que la igualdad anterior se cumpla, \( k-2p>0 \)
Si llamamos \( k-2p=u \Rightarrow k=2p+u \)
sustituimos en (2)
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
Ahora para que el miembro derecho de la igualdad sea múltiplo de \( u \)
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) tiene que ser múltiplo de \( u \)?
\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)con
entonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \( k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?
Por otro lado teniamos\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)con
\( k=2p+u \)
(Si \( k<2p \) el lado izq. en (2) sería negativo y el derecho positivo.
También \( k<3p \) ya que si \( k>3p \) el lado izq. en (2) sería positivo y el derecho negativo.)
Sutituyendo ahora el valor de \( k \) de (1) en (2)
\( qr\cdot3^{2m-3}=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3)\Rightarrow \)
\( qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \) (3)
Como \( k=2p+3^{2m-3} <3p \Rightarrow 3^{2m-3}<p \)
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.
Prueba:
Supongamos \( 3^{2m-3}=p \) y lo sustituimos en (3)
\( qr=3^2(3^{2m-3})^3-(2(3^{2m-3})+3^{2m-3})^3 \Rightarrow \)
\( qr=3^2(3^{2m-3})^3-((2+1).(3^{2m-3})^3 \Rightarrow \)
\( qr=(3^{2m-3})^3(3^2-3^3) \)
¿Es correcto?
En primer lugar es cómodo escribir la ecuación de Fermat como \( x^3+y^3+z^3=0 \) en lugar de la manera clásica, permitiendo que las variables sean negativas. Esto evita tener que repetir argumentos para tus tres términos \( (x-y),(x-z)=(y-b),M=(y+z) \) que ahora con mi notación son simplemente \( (x+y),(x+z),(y+z) \). De forma que por simetría lo que probemos para uno, queda probado para los demás.
Entonces sean \( x,y,z \) tres enteros coprimos dos a dos verificando \( x^3+y^3+z^3=0. \)
1) \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \)
Prueba: Basta tener en cuenta que, \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \) y usar que estamos bajo el supuesto de que los tres números cumplen la ecuación de Fermat.
2) \( (x+y),(x+z),(y+z) \) son coprimos dos a dos.
Prueba: Basta tener en cuenta que por (1) cualquier divisor primo de uno de esos términos lo es de \( (x+y+z) \). Entonces si \( x+y,x+z \) son divisibles por \( p \),
\( z=(x+y+z)-(x+y) \) divisible por \( p \)
\( y=(x+y+z)-(x+z) \) divisible por \( p \)
Pero \( z,y \) son coprimos: contradicción.
3) Uno y sólo uno de los términos \( (x+y),(x+z),(y+z) \) es divisible por \( 3 \) (supondremos sin pérdida de generalidad, a partir de ahora, que tal término es \( y+z \)).
Prueba: Por (1), (\( x+y+z) \) es divisible por \( 3 \) y por tanto \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \) divisible por \( 3^3 \). Por tanto efecivamente alguno de los términos es divisible por tres. La unicidad es consecuencia de (2).
4) \( (y+z)=3^mE^3 \) con \( mcd(E,3)=1 \) y \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).
Prueba: Se tiene que \( -x^3=y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2) \). Como \( (y+z) \) es múltiplo de tres, también lo es \( x \). Como \( x,y,z \) son coprimos, \( y,z \) no son divsibles por tres. Por tanto:
\( (y+z)=3^mE^3,\qquad (y^2-yz+z^2)=3^{3k-m}F^3 \) con \( mcd(E,3)=mcd(F,3)=1 \).
Pero: \( 3yz=(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)=3^{2m}E^6-3^{3k-m}F^3 \). Como \( y,z \) no son divisibles por tres necesariamente \( 3k-m=1 \), es decir, \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).
5) Existen enteros \( p,q,r \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
\( y+z=3^mp^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
\( x+y=q^3\quad x+z=r^3\quad x+y+z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Prueba: Basta aplicar (2),(3),(4) a (1)
6) Existen enteros \( p,q,r \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
\( q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
Prueba: Basta tener en cuenta que por (5):
\( x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\( y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
\( x+y=q^3 \)
El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.Todo viene de la notación clásica del UTF
Es equivalente a III) haciendo el cambio de variable \( \frac{2m+1}{3}=j \Rightarrow 3j-1=2m \)
Allí el término \( 3pqr \) pasaría a \( 3^{\frac{2m+1}{3}} \) y el término \( 3^2p^3 \) pasaría a \( 3^{2m}p^3 \).
Esto hace desaparecer la contradicción con la que concluye la prueba del Lema 6.
Holaentonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \( k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?
Está bien. Aunque el razonamiento no es del todo correcto. Que \( qru \) sea múltiplo de \( u^3 \) no quiere decir ni que \( q \) ni que \( r \) sean necesariamente múltiplos de \( u \); si que tengan factores primos comunes. Eso esta imposiblitado por la coprimalidad de \( q,r,p \) y el supuesto de \( p=ut \).
Además lo que razonas así es que \( p \) no es múltipo de \( u \); pero eso no excluye que \( u,p \) pudieran tener factores primos comunes. Es decir de lo que has hecho no se deduce necesariamante que \( u=3^{2m-3} \). Lo que debes de hacer es lo mismo que has hecho con \( u \), pero con un factor primo común de mayor exponente posible del \( m.c.d.(p,u) \).
\( qr=3^2p^3-(2p+u)^3 \) (3)Es correcto?
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.
Si \( u,p \) tienen factores comunes, para que sea posible que \( u|3^{2m-3}p^3 \) se tiene que dar que \( u>p \)?
Por ejemplo para \( m=3 \) tomo:
\( u=3^3\cdot5^3 \)
\( p=5 \)
[/quote]\( qr=3^2p^3-(2p+u)^3 \) (3)Es correcto?
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.
Si \( p>3^{2m-3}=u \), no es cierto que el lado derecho de la igualdad tenga que ser negativo.y de momento no creo que sirva de mucho...
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)y que
..y esto es equivalente (si no me he equivocado con las cuentas...) ay sobre el que había planteado la cuestión
\( 4\cdot3^2p^3=4A^3+k^3\cdot3^{m-1}A \) para algún \( k \)
¿Se puede dar que \( A=2p+3^{2m-3} \) divida a \( 4\cdot3^2p^3 \), con \( p \) no múltiplo de \( 3 \)?
Hola,
las cuentas que faltaban en la respuesta anterior:
Como \( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \)
es un cuadrado mayor que \( (3^{m-1}A)^2 \), lo llamo \( s \),
lo podemos poner como \( (3^{m-1}A)^2+k\cdot3^{m-1}A.k^2 \) para algún \( k \)
es decir,
\( (3^{m-1}A)^2+k^3\cdot3^{m-1}A=s^2 \)
¿Se puede dar que \( A=2p+3^{2m-3} \) divida a \( 4\cdot3^2p^3 \), con \( p \) no múltiplo de \( 3 \)?
En tu Lema 6 pruebas que no existen números en las condiciones de (6) para \( m=2 \). Si lo probases para cualquier \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \), tendrías la prueba que buscas.En un primer vistazo, creo que no es dificil probar que para \( m>2 \), (1) es negativo.
\( \left\{ \begin{array}{c}q-r= 3^{m-1}(2p+3^{2m-3}) \\ qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \end{array}\right \)que nos lleva a la siguiente ecuación de segundo grado
Si llamo \( A=2p+3^{2m-3} \)Y las dos soluciones que obtenemos son \( q \) y \( r \).
\( r^2+3^{m-1}Ar-(3^2p^3-A^3)=0 \)
Podemos buscar soluciones para la ecuación anterior de segundo grado para \( r \):
\( r = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{2a} \)
\( r = \dfrac{{-3^{m-1}A \pm \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)
(en el mensaje original me faltaba un signo menos que he añadido ahora)
En particular si:Muchas gracias!
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}A - \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)
\( q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}A + \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)y por tanto en intentar encontrar soluciónes a
NO ocurre que \( p \) es un cuadrado módulo \( t \) y viceversa.Te refieres a eso?
\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }=T^2 \) para algún \( T>0 \)Y según habías verificado se podía poner como
He revisado el documento que indicabas http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf
y creo que la proposición a la que hacías referencia era:
Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, then
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \( t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \( - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).
Los puntos ii),iii) y iv) de la proposición anterior no se cumplen con las condiciones que tenemos en (**) además de que \( p \) y \( t \) son coprimos (\( d=MCD(p,t)=1 \)).
\( A \) es un cuadrado módulo \( B \) si \( A=k^2\mod B \), es decir, si \( A=k^2+nB \) para ciertos enteros \( n,k \).Utilizando esto en
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),¿Podemos considerar como indicabas (con \( t=3^{2m-3}) \) los diferentes casos para
(iii) \( t \) is a square modulo \( |p| \),
CASO III - los dos negativosRepasando el desarrollo para llegar de IIIa) a IIIb):
IIIa)\( \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{tn} \\ t=s^2-{pu} \end{array}\right \)
Si hacemos como en el caso II) donde sustituiamos los valores de \( p \) y \( t \), cambiando de signo a todo y despejando \( (un-1) \) llegamos a
IIIb)\( \left\{ \begin{array}{c}p=ns^2-k^2 \\ t=uk^2-s^2 \end{array}\right \)
No es cierto que de \( t(ns^2-k^2)=p(uk^2-s^2) \) se tenga que darCASO III - los dos negativosEntonces \( \dfrac{ns^2-k^2}{p}=\dfrac{uk^2-s^2}{t} \Rightarrow t(ns^2-k^2)=p(uk^2-s^2) \)
IIIa)\( \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{tn} \\ t=s^2-{pu} \end{array}\right \)
Si hacemos como en el caso II) donde sustituiamos los valores de \( p \) y \( t \), cambiando de signo a todo y despejando \( (un-1) \) llegamos a
IIIb)\( \left\{ \begin{array}{c}p=ns^2-k^2 \\ t=uk^2-s^2 \end{array}\right \)
como \( p \) no es múltiplo de \( 3 \) tenemos el resultado de IIIb)
Saludos
CASO I - Los dos positivos
I)\( \left\{ \begin{array}{c}p=k^2+{tn} \\ t=s^2+{pu} \end{array}\right \)
Sustituyendo el valor de \( t \) en \( p \):
\( t(1-un)=s^2+uk^2 \), donde el lado izq. de la igualdad es negativo y el der. positivo.
Luego este caso no es posible?
I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)y poniendo:
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
Hola,
hay un error en
\( 3AB(A+B)= d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)+2d^3 \)
He supuesto que \( A+B \) divide a \( A^2+B^2 \) y no es cierto... pero...
Saludos
\( (A+B)^3=(A+d)^3+(B+d)^3\Rightarrow \)y la última igualdad es equivalente a
\( 3AB(A+B)= d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)+2d^3 \)
\( a=3^{3m-1}p \)
\( b=r^3 \)
\( c=3^{m}pqr \)
entonces el término general del UTF:
\( \underbrace{(a+b+c)^3}_{x^3}=\underbrace{(a+c)^3}_{y^3}+\underbrace{(b+c)^3}_{z^3} \) (*)
Si \( c=2d \) con \( d \in \mathbb{Q} \), \( A=a+d \) y \( B=b+d \)
(*) nos queda como
\( (A+B)^3=(A+d)^3+(B+d)^3\Rightarrow \)
\( 3AB(A+B)= d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)+2d^3 \)
y la última igualdad es equivalente aNo es cierta la afirmación de que todos son múltiplos de \( 3^3 \) excepto uno. Si hacemos el desarrollo podemos ver cual es la potencia mínima de 3.
\( 3AB(A+B)= 3d(A+B)^2+d^2(3A+3B)+2d^3-3\cdot2dAB \)
y vemos ahora los distintos sumandos módulo \( 3^3 \):
No es cierta la afirmación de que todos son múltiplos de \( 3^3 \) excepto uno. Si hacemos el desarrollo podemos ver cual es la potencia mínima de 3.
\( \underbrace{3AB(A+B)}_{III)}= \underbrace{d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)}_{IV)}+\underbrace{2d^3}_{I)}-\underbrace{3\cdot2dAB}_{II)} \)
I) \( 2d^3=2(\frac{3^{m}pqr}{2})^3\equiv 0 \mathbf{(3^{3m})} \)
II) \( -3\cdot2dAB=-3\cdot2d.(a+d)(b+d)= \)
\( -3\cdot2d(3^{3m-1}p+\frac{3^{m}pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})= \)
\( -3\cdot2(\frac{3^{m}pqr}{2})3^{m}(3^{2m-1}p+\frac{pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})\equiv 0\mathbf{(3^{2m+1})} \)
III) \( 3AB(A+B)=3(3^{3m-1}p+\frac{3^{m}pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})(3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)\equiv 0\mathbf{(3^{m+1})} \)
los sumandos que nos queda evaluar son
IV) \( 3d(A+B)^2+3d^2(A+B)=3d(A+B)((A+B)+d)= \)
\( 3(\frac{3^{m}pqr}{2})(3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)((3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)+(\frac{3^{m}pqr}{2})) \equiv 0\mathbf{(3^{m+1})} \)
Y en III) y IV) tenemos la misma potencia de 3... creo que esto no sirve de mucho :(
Siguiendo mi notación para intentar no perderme con los signos, teníamosequivalente a
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr \)
se tiene que dar queequivalente a
\( q=3^{m-1}u+r \) para algún \( u \)
\( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \)
Como ambas partes de la igualdad tienen que tener el mismo signo,
tenemos que si \( 2p-u>0 \)
\( (u^3-3^2p^3) \) es menor que cero?
Saludos
Creo que las cuentas están bien; pero no me queda claro la conclusión final. Dices que si \( 2p-u \) es positivo el término de la izquierda es negativo?Sí, eso es lo que quiero decir. Es correcto?
¿Acaso sabemos que \( qr \) es negativo?.
P.D. Como te dije en otras ocasiones soy muy escéptico con el hecho de que los signos puedan aportar algo para la demostración, ya que uno puede trabajar con el teorema de Fermat con enteros en lugar de con naturales y sigue siendo cierto.Desde el principio, el término general que he utilizado \( x^n-y^n=z^n \)
Hola el_manco,Creo que las cuentas están bien; pero no me queda claro la conclusión final. Dices que si \( 2p-u \) es positivo el término de la izquierda es negativo?Sí, eso es lo que quiero decir. Es correcto?Citar¿Acaso sabemos que \( qr \) es negativo?.
En todo mi desarrollo he utilizado siempre naturales, los mismo para \( p, q \) y \( r \), luego \( qr >0 \)
Por tanto hay compatbilidad de signos siempre que:Pero \( \sqrt[3]{9}p \sim{2,08p}<u<2p \)
\( \sqrt[3]{9}p<u<2p \)
Saludos.
Pero \( \sqrt[3]{9}p \sim{2,08p}<u<2p \)
no existe un natural \( u \) mayor que \( 2,08 \) y menor que \( 2 \), no?
;)
si las cuentas están bien llegamos entonces ay además
\( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \) (1)
Pero entonces tenemos igualmente compatibilida de signos si:Aunque el signo, como bien decías, no va a aportar nada en lo que sigue, escribo (1) como
\( 2p-u<0 \), equivalentemente, \( u>2p \).
\( u^3-9p^3<0 \), equivalentemente, \( u<\sqrt[3]{9}p \)
Aunque el signo, como bien decías, no va a aportar nada en lo que sigue, escribo (1) como
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-u^3)=qr(u-2p) \) (1a)
creo que para que esta igualdad se cumpla se tiene que dar que \( p \equiv 0 \mod (3) \), lo cual es una contradicción con la hipotesis de que \( p, q, r \) no son múltiplos de \( 3 \).
Prueba: Supongo \( t \) factor común de
\( 3^2p^3-u^3 \) (2)
y
\( u-2p \) (3)
luego \( u \equiv 2p \mod (t) \), sustituyendo en (2)
\( 3^2p^3-(2p)^3 \equiv 0 \mod (t) \Rightarrow p^3 \equiv 0 \mod (t) \) (4)
Como de (1a) tenemos que \( u-2p \equiv 0 \mod (3) \) entonces de (4) tenemos que \( t=3 | p^3 \). ¿Es correcto?
HolaNo se si estoy dejando de considerar algo...Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?
Correcto.SpoilerTenemos:
\( q^3-r^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^m pqr=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)
Si \( 3^m \) divide a \( q^3-r^3 \), divide a \( (q-r)(q^2+qr+r^2) \). Dado que
\( (q-r)^2=(q^2+qr+r^2)-3qr \)
y \( q,r \) son coprimos con \( 3 \), se deduce que necesariamente la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( q^2+qr+r^2 \) es \( 3^1 \) y así \( 3^{m-1} \) divide a \( q-r \).[cerrar]
En la prueba de mi respuesta anterior quería probar que cualquier \( t \) que divide a \( u-2p \) también divide a \( 3^2p^3-u^3 \) luego \( 3 \) tiene que dividir a \( 3^2p^3-u^3 \) y de aquí se llega a que \( 3|p^3 \)?
Hola,
entonces si \( 3^2p^3-u^3 \) y \( 2p-u \) tienen un factor común \( t \) se llega a una contradicción?
Luego se tiene que dar \( 3^2p^3-u^3=qr \)
y
\( 3^{2m-3}=(2p-u) \)?
Saludos
\( 3^{2m-3} \) divide a \( 2p-u \)entonces para el caso \( \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \neq 1 \), sea \( \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \)
y por tanto:
\( u^3-3^2p^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \)
Pero NO tiene porque cumplirse que: \( \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right)=1 \).
Saludos.
entonces para el caso \( \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \neq 1 \), sea \( \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \)
Tenemos que \( s | u^3-3^2p^3 \) luego \( s | p^3 \) ?
Muchas gracias!
Saludos
Hola\( p \) y \( s \) tienen algún factor común entonces?entonces para el caso \( \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \neq 1 \), sea \( \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \)
Tenemos que \( s | u^3-3^2p^3 \) luego \( s | p^3 \) ?
Muchas gracias!
Saludos
Si, eso si es correcto.
Saludos.
\( p \) y \( s \) tienen algún factor común entonces?
Tenemos \( \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \Rightarrow 2p-3^{2m-3}s=u \)
Si sustituimos el valor de \( u \) en \( 3^2p^3-u^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \)
\( 3^2p^3 - (2p-3^{2m-3}s)^3= qrs \)
\( 3^2p^3 - (2p)^3 + 3\cdot(2p)^2\cdot3^{2m-3}s - 3\cdot(2p)\cdot(3^{2m-3}s)^2+(3^{2m-3}s)^3 = qrs \)
\( p^3 + 3\cdot(2p)^2\cdot3^{2m-3}s - 3\cdot(2p)\cdot(3^{2m-3}s)^2+(3^{2m-3}s)^3 = qrs \)
\( \dfrac{p^3}{s} + 3\cdot(2p)^2\cdot3^{2m-3} - 3\cdot(2p)\cdot(3^{2m-3})^2\cdot s+(3^{2m-3})^3\cdot s^2 = qr \)
Si \( p \) y \( s \) tienen un factor común, que conclusión podemos obtener para que se cumpla la igualdad anterior, donde ese factor común de \( p \) y \( s \) no puede dividir a \( q \) y \( r \) coprimos con \( p \)?
HolaVoy a cambiar tu notación en lo anterior para que me quede lo siguiente\( p \) y \( s \) tienen algún factor común entonces?
Si.
De hecho como \( s \) divide a \( p^3 \), cualquier factor primo de \( s \) lo es de \( p \).Tenemos \( \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s \Rightarrow 2p-3^{2m-3}s=u \)Conlcusión:
Si sustituimos el valor de \( u \) en \( 3^2p^3-u^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \)
. . .
- \( s=s'^3 \) es un cubo perfecto.
- \( p/s' \) es coprimo con \( s' \).
Saludos.
Tenemos \( \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) = s' \Rightarrow 2p-3^{2m-3}s'=u \) (1)y reescribo las conclusiones:
Si sustituimos el valor de \( u \) en \( 3^2p^3-u^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \) (2)
También habíamos elegido \( q-r=3^{m-1}u \) de modo que \( u \) no sea múltiplo de \( 3 \)UtilizoHolaHola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?
Correcto.SpoilerTenemos:
\( q^3-r^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^m pqr=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)
Si \( 3^m \) divide a \( q^3-r^3 \), divide a \( (q-r)(q^2+qr+r^2) \). Dado que
\( (q-r)^2=(q^2+qr+r^2)-3qr \)
y \( q,r \) son coprimos con \( 3 \), se deduce que necesariamente la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( q^2+qr+r^2 \) es \( 3^1 \) y así \( 3^{m-1} \) divide a \( q-r \).[cerrar]
\( (3^{m-1}u)(q^2+qr+r^2)=3^{m+2}t^3(2st+3^{2m-3}s^3)-2\cdot3^mst \left(\dfrac{u}{s}\right)^3 \)
Si teniamos que \( 2p-3^{2m-3}s'= 2st-3^{2m-3}s^3=u \)
¿Todos los términos son múltiplos de \( u \) excepto \( 3^{m+2}t^3(2st+3^{2m-3}s^3) \)?
Hola el_manco,
si llamo \( a =2st \) y \( b =3^{2m-3}s^3 \)
entonces \( u=a-b \) y el término que digo que no es múltiplo de \( u \)
\( 3^{m+2}t^3(a+b) \)
Bajo que condiciones \( a-b \) tiene que dividir a \( a+b \)?
Se cumplen estan condiciones con las hipotesis que hemos utilizado?
entonces si \( s \) es par \( t \) tiene que ser impar (inmediato si ponemos \( s=2s' \) en (I) )
\( 2t=3^{2m-3}s^2+2 \) (en ese caso \( s \) es par) (I)
\( 2t=3^{2m-3}s^2+1 \) (en ese caso \( s \) es impar) (II)
...mmmmm....no sé. Revisa lo que he hecho e intenta seguir tirando del hilo...
entonces si \( s \) es par \( t \) tiene que ser impar (inmediato si ponemos \( s=2s' \) en (I) )
Y también tenemos que si \( s \) es impar \( t \) tiene que ser par.
Prueba: De (II) \( 2t=3^{2m-3}(2k+1)^2+1 \) para algún \( k \) y \( s=2k+1 \)
haciendo el desarrollo
\( 2t=3^{2m-3}((2k)^2+2\cdot2k+1)+1 \)
como todos los términos del lado derecho de la igualdad son múltiplos de 4, además de \( 3^{2m-3}+1 \), entonces \( t \) tiene que ser par.
Es correcto hasta aquí?
También habíamos elegido \( q-r=3^{m-1}u \) de modo que \( u \) no sea múltiplo de \( 3 \)Luego \( u \) tiene que ser par y esto no es cierto si \( s \) impar, ya que haría que \( u \) sea impar en
. . .teníamos que \( 2st-3^{2m-3}s^3=u \)Ahora para el caso en que \( s \) es par, teníamos
\( 3^2t^3- \left(\dfrac{u}{s}}\right)^3=qr \) (3)\( 3^2t^3- \left(\dfrac{2ts-3^{2m-3}s^3}{s}\right)^3=qr\Rightarrow \)
Hola,
entonces como alguno de \( s,t \) es par \( p=st \) es par, y \( q,r \) son impares ya que son coprimos con \( p \), luego \( q-r \) es par. pero teníamosTambién habíamos elegido \( q-r=3^{m-1}u \) de modo que \( u \) no sea múltiplo de \( 3 \)Luego \( u \) tiene que ser par y esto no es cierto si \( s \) impar, ya que haría que \( u \) sea impar en. . .teníamos que \( 2st-3^{2m-3}s^3=u \)Ahora para el caso en que \( s \) es par, teníamos\( 3^2t^3- \left(\dfrac{u}{s}}\right)^3=qr \) (3)\( 3^2t^3- \left(\dfrac{2ts-3^{2m-3}s^3}{s}\right)^3=qr\Rightarrow \)
\( 3^2t^3- (2t-3^{2m-3}s^2)^3=qr \)
en la igualdad anterior si \( s \) par, hace que \( qr \) sea par, pero esto tampoco es cierto ya que \( q,r \) son impares.
Si todo está bien, hemos encontrado la contradicción que estamos buscando?
Ahora para el caso en que \( s \) es par, teníamos\( 3^2t^3- \left(\dfrac{u}{s}}\right)^3=qr \) (3)\( 3^2t^3- \left(\dfrac{2ts-3^{2m-3}s^3}{s}\right)^3=qr\Rightarrow \)
\( 3^2t^3- (2t-3^{2m-3}s^2)^3=qr \)
en la igualdad anterior si \( s \) par, hace que \( qr \) sea par, pero esto tampoco es cierto ya que \( q,r \) son impares.
\( 2t=3^{2m-3}s^2+2 \) (en ese caso \( s \) es par) (I)Por otro lado teníamos
Y ahora, \( 3^2t^3+6t-14 \) puede ser el cuadrado de un número natural? (*)
Gracias!
HolaPrueba:
De acuerdo en las cuentas.Y ahora, \( 3^2t^3+6t-14 \) puede ser el cuadrado de un número natural? (*)
Gracias!
Yo diría que no, que no puede serlo (comprobado "a lo bruto" por ordenador no lo es para \( t\leq 10^6 \)); la cuestión es como probarlo.
Saludos.
(*) si \( t=1 \) en I) nos queda \( s=0 \Rigtharrow \) y por aquí sale la solución trivial al UTF.Es correcto?
Y esto último es igual aHolaPrueba:
De acuerdo en las cuentas.Y ahora, \( 3^2t^3+6t-14 \) puede ser el cuadrado de un número natural? (*)
Gracias!
Yo diría que no, que no puede serlo (comprobado "a lo bruto" por ordenador no lo es para \( t\leq 10^6 \)); la cuestión es como probarlo.
Saludos.
Si \( 3^2t^3+6t-14=a^{2} \) para algún \( a \), y ya que \( 14 \equiv{2} \pmod {3} \) se tiene que dar que:
I)\( a \equiv {1} \pmod {3} \)
o
II)\( a \equiv {2} \pmod {3} \)
CASO I) \( a \equiv {1} \pmod {3} \)
podemos poner \( a=3k+1 \) para algún \( k \).
Entonces \( 3^2t^3+6t-14=(3k+1)^{2}=9k^2+6k+1 \Rightarrow \)
\( 3^2t^3+6t=9k^2+6k+15 \Rightarrow 3t^3+2t=3k^2+2k+5 \)
Y la igualdad anterior la podemos poner como
\( 3(t^3-1)+2(t-1)=3k^2+2k \Rightarrow \)
\( 3(t^3-1-k^2)=2(k-t+1) \)
Y esto último es igual a
\( 3(t^3-k^2-1)-2(t-k-1)=0 \) (*)
Teniendo en cuenta que \( t \) y \( k \) son positivos podemos considerar que \( t^3>k^ \)2, luego \( t<k \)
Pero con estas condiciones creo que la igualdad anterior no puede darse:
Tomo \( t \) y \( k \) de forma que \( t^3-k^2=0 \)
que tienen que ser de la forma \( t=(2a)^2 \) y \( k=(2a)^3 \) para algún \( a \)
pero entonces \( t^3-k^2-1 < 0 \) y (*) también sería \( <0 \).
Entonces voy a considerar que
\( t>(2a)^2 \), sea \( t=(2a)^2+1 \) con \( k=(2a)^3 \) (teníamos \( t \) impar y\( k \) par)
por lo tanto \( t^3=((2a)^2)^3+3((2a)^2)^2+3(2a)^2+1 \)
y \( t^3-k^2-1=((2a)^2)^3+3((2a)^2)^2+3(2a)^2+1-((2a)^3)^2-1 \Rightarrow \)
\( t^3-k^2-1=3(2a)^4+3(2a)^2=3(2a)^2[(2a)^2+1] \)
que es mayor que \( t-k-1=(2a)^2+1-(2a)^3-1)=(2a)^2(1-2a) \)
Luego la igualdad anterior \( 3(t^3-k^2-1)-2(t-k-1)=0 \)
no puede darse?
HolaLo correcto es \( 3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1)=0 \) (*)
Me pierdo.Y esto último es igual a
\( 3(t^3-k^2-1)-2(t-k-1)=0 \) (*)
Teniendo en cuenta que \( t \) y \( k \) son positivos podemos considerar que \( t^3>k^ \)2, luego \( t<k \)
Hasta aquí de acuerdo.
En resumen, si para un \( t' \) tomo \( k'=t'\sqrt{t'} \) entonces \( A<0 \) y si tomo \( t''=t'+1 \), el siguiente entero positivo mayor que \( t' \) para el mismo \( k' \) entonces \( A<0 \).por
En resumen, si para un \( t' \) tomo \( k'=t'\sqrt{t'} \) entonces \( A<0 \) y si tomo \( t''=t'+1 \), el siguiente entero positivo mayor que \( t' \) para el mismo \( k' \) entonces \( \color{red}A>0 \).
Hola,para ver como tiene que ser \( x,y,z \) ¿Es correcto pensar que 1) uno de ellos tiene que ser par y los otro dos impares o 2) los tres tienen que ser pares?CitarEl problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.Todo viene de la notación clásica del UTF
\( x^n=y^n+z^n \)
utilizando que \( x,y,z \) son enteros positivos
Con esto había llegado a los siguientes resultados:
I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
II) \( (q^3-3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
Utilizando I) en II)
\( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(q^3-3^{m}pqr)^n \)
obtengo el resultado en III)
III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
para ver como tiene que ser \( x,y,z \) ¿Es correcto pensar que 1) uno de ellos tiene que ser par y los otro dos impares o 2) los tres tienen que ser pares?
Para el caso 1) \( y,z \) son impares
Si \( y=3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr \) es impar se tiene que dar que \( q \) tiene que ser par (\( r \) no puede serlo ya que \( z=r^3+3^{m}pqr \) sería par). Como \( p,q,r \) son coprimos \( p,r \) son impares
pero \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \), entonces \( q^3 \) como mínimo es \( \equiv {0} \pmod {8} \) pero \( 2\cdot3^{m}pqr \equiv {0} \pmod {4} \). Este caso entonces no puede darse?
El caso de los tres pares puedes ahorrártelo, porque sin pérdida de generalidad puede suponerse \( x,y,z \) coprimos.Vaya! no me dí cuenta...
De acuerdo.CitarPara el caso 1) \( y,z \) son impares
Si \( y=3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr \) es impar se tiene que dar que \( q \) tiene que ser par (\( r \) no puede serlo ya que \( z=r^3+3^{m}pqr \) sería par). Como \( p,q,r \) son coprimos \( p,r \) son impares
pero \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \), entonces \( q^3 \) como mínimo es \( \equiv {0} \pmod {8} \) pero \( 2\cdot3^{m}pqr \equiv {0} \pmod {4} \). Este caso entonces no puede darse?
No veo porqué no va a poder darse. En:
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
lo que se deduce es que \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) es divisible por \( q \) (y por tanto por la mayor potencia de dos que divida a \( q \)).
Saludos.
Por cierto, he estado esta tarde con un amigo hablando, entre otras cosas, de matemáticas ...y una de las cosas que hemos comentado referente a las líneas de desarrollo de cualquier idea es tener bien documentado tanto aquellas sobre las que se produce algún avance, como aquellas que se cierran y que no lleven a ningún sitio, de ese modo no volveremos a recorrer un camino equivocado...
Si \( m>2 \) entonces (IV) bajo que condiciones tiene solución con \( q_1, r_1, p \) coprimos no múltiplos de 3?
Hola...y olvidé añadir que el foro es un buen sitio para hacerlo... para compartir y aprender, para ser escuchado y sobre todo para obtener respuesta a dudas, problemas, inquietudes... No tengo palabras para agradecer la labor de este foro y de todos los que colaborar en él. Sinceramente, muchas gracias!!!CitarPor cierto, he estado esta tarde con un amigo hablando, entre otras cosas, de matemáticas ...y una de las cosas que hemos comentado referente a las líneas de desarrollo de cualquier idea es tener bien documentado tanto aquellas sobre las que se produce algún avance, como aquellas que se cierran y que no lleven a ningún sitio, de ese modo no volveremos a recorrer un camino equivocado...
¡Qué gran verdad!
\( (q-r)^3+3qr(q-r)=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr \)Entonces, si sustituimos \( m=k+1 \) en (*)
De ahí se deduce que \( (q-r) \) es mútliplo de \( 3 \). En particular si \( (q-r)=3^kW \) con \( W \) coprimo con \( 3 \) se tiene que:
\( 3^{3k}W^3+3^{k+1}qrW=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \) (*)
Si \( p,q,r \) con comprimos con \( 3 \) entonces \( 3^{2m-1}p^3+2pqr \) es coprimo con \( 3 \).
Entonce de (*) se deduce que \( m=k+1 \). Es decir la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( (q-r) \) es \( 3^{m-1}. \)
Y ya no sé que más añadir... ;). Es decir realmente no sé contestar con más precisión a:CitarSi \( m>2 \) entonces (IV) bajo que condiciones tiene solución con \( q_1, r_1, p \) coprimos no múltiplos de 3?
Saludos.
Entonces, si sustituimos \( m=k+1 \) en (*)
\( 3^{3k}W^3+3^{k+1}qrW=3^{k+1}(3^{2k}p^3+2pqr)\Rightarrow \)
\( 3^{2k-1}W^3+qrW=3^{2k}p^3+2pqr\Rightarrow \)
\( 3^{2k-1}(W^3-3p^3)=qr(2p-W)\Rightarrow \)
\( qr|(W^3-3p^3) \) y \( 3^{2k-1}|(2p-W) \)
Va bien hasta aquí?
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( p_2 \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {p_{2}} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)
entonces \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \) (factor de \( p \)) luego \( q^3 \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
HolaSi \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p_1 \) y \( p \) (además de \( 3^m \)) podemos poner¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( p_2 \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {p_{2}} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)
Hasta aquí de acuerdo. Pero luego sigues:Citarentonces \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \) (factor de \( p \)) luego \( q^3 \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
¿Cómo deduces que \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \)? No lo veo.
Saludos.
Si \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p_1 \) y \( p \) (además de \( 3^m \)) podemos poner
\( q^3-r^3=3^{m-1}p_1\cdot3pp_3 \)
entonces \( q^2+qr+r^2\equiv 3q^3 \pmod {p_2} \)
Sí, es como dices \( q^2+qr+r^2\equiv {3q^2} \pmod {p_2} \)
Por otra parte supongo que donde pones:Citarentonces \( q^2+qr+r^2\equiv 3q^3 \pmod {p_2} \)
Sería:
"entonces \( q^2+qr+r^2\equiv {3q^2} \pmod {p_2} \) "
Saludos.
Holame he liado con este hecho e intentado ver si había relación entre \( p \) y \( p_1 \).
El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:
\( (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)
y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).
Saludos.
Hola el_manco,De I) y II) tenemos entonces
voy a volver un momento a
I) \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y \( p_1 \)
De I) y II) tenemos entonces
\( 3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr = \)
\( 3^{3m-3}p_1^3+3qr\cdot3^{m-1}p_1 \Rightarrow \)
\( 3^{2m-3}(p_1^3-3^2p^3)=qr(2p-p_1) \)
Entonces ¿Cómo tienen que ser \( p \) y \( p_1 \), positivos, para que los dos miembros de la igualdad anterior tengan el mismo signo?
(si \( q \) y \( r \) son positivos sería equivalente a encontrar \( p \) y \( p_1 \) de modo que \( p_1^3-3^2p^3 \) y \( 2p-p_1 \) tengan el mismo signo?)
\( 2p\leq p_1\leq \sqrt[3]{9}p \)Sin embargo no hay número natural \( p1 \) que cumpla
Hola,
es verdad que ya habíamos visto esto y creo luego me perdí en otra línea... ;)
En el ejemplo que tomas \( p=100 \)
para que \( 2p-p_1 >0 \Rightarrow p_1 < 200 \)
pero con \( p_1=200 \) hace que \( p_1^3-3^2p^3 =200^3-9\cdot100^3 <0 \)
Luego los dos miembros de la igualdad \( 3^{2m-3}(p_1^3-3^2p^3)=qr(2p-p_1) \)
no tienen el mismo signo, es correcto?
Está claro.... no ví el caso que comentas ;)
Es correcto lo que dices. Pero no sé porque escoges esas condiciones.
Es decir \( p=100 \) se consigue que \( 2p-p_1 \) y \( p_1-3^2p^3 \) tengan el mismo signo (negativo) para cualquier \( p_1 \) en el rango:
\( 200<p_1\leq 208 \)
Saludos.
De todos modos creo que estoy pasando algo por alto:Pero esto ya lo habíamos visto donde poníamos la igualdad anterior comoHola el_manco,De I) y II) tenemos entonces
voy a volver un momento a
I) \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y \( p_1 \)
\( 3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr = \)
\( 3^{3m-3}p_1^3+3qr\cdot3^{m-1}p_1 \Rightarrow \)
\( 3^{2m-3}(p_1^3-3^2p^3)=qr(2p-p_1) \)
HolaHay que hacer la cuentas (... no las incluyo ahora) pero concluisteentonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \( k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?
Está bien. Aunque el razonamiento no es del todo correcto. Que \( qru \) sea múltiplo de \( u^3 \) no quiere decir ni que \( q \) ni que \( r \) sean necesariamente múltiplos de \( u \); si que tengan factores primos comunes. Eso esta imposiblitado por la coprimalidad de \( q,r,p \) y el supuesto de \( p=ut \).
Además lo que razonas así es que \( p \) no es múltipo de \( u \); pero eso no excluye que \( u,p \) pudieran tener factores primos comunes. Es decir de lo que has hecho no se deduce necesariamante que \( u=3^{2m-3} \). Lo que debes de hacer es lo mismo que has hecho con \( u \), pero con un factor primo común de mayor exponente posible del \( m.c.d.(p,u) \).
Nos queda (*) como
De todas formas aunque maticé la prueba que hiciste, es correcto concluir que \( u=3^{2m-3} \) (lo he corregido ya que pusiste \( u=2^{2m-3} \))
Hola... ;)
Vas a matarme pero ahora no veo claro que uno pueda concluir que \( u=3^{2m-3} \).
He estado revisando el hilo y no encuentro donde se probó eso. Te comenté que tu argumento no era correcto, pero que aun así modificándolo si podía llegarse a esa conclusión. Pero no veo que en ningún sitio ni tu ni yo llegásemos a escribir la prueba. ¿Me la he pasado por alto?.No, es cierto que no está incluida...
Entonces conviene que revisemos ese argumento.Entonces hasta aquí hemos probado que \( u \not| p \)?
La cosa venía de la igualdad:
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \) (*)
donde:
\( u=p_1-2p,\quad q-r=3^{m-1}p_1 \)
y dado que \( qr \) es coprimo con \( 3 \), \( u \) es múltiplo de \( 3^{2m-3} \).
Entonces (*) puede escribirse como:
\( qru=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}(2p)^3-u(3^{2m-2}\cdot (2p)^2+3^{2m-2}\ccdot (2p)\cdot u+3^{2m-3}u^2) \)
\( qru=3^{2m-3}p^3-u(3^{2m-2}\cdot (2p)^2+3^{2m-2}\ccdot (2p)\cdot u+3^{2m-3}u^2) \)
De ahí se deduce que \( u \) divide a \( 3^{2m-3}p^3 \). Y dado que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \), que \( u=3^{2m-3}t \) donde \( t \) es coprimo con \( 3 \).
Ahora se supone que de ahí deberíamos de probar que \( t \) es uno y no veo como.
Puede ocurrir que \( t=w^3 \) con \( w \) divisor de \( p \), sin que yo detecte ninguna contradicción en las igualdades anteriores.
Saludos.
Entonces hasta aquí hemos probado que \( u \not| p \)?
Lo que quedaría es que si \( p_2=m.c.d(p,u) \), luego\( p \) y\( u \) tienen algún factor común, llegamos a una contradicción?
Y esto querría decir que \( t=1 \)?
Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
entonces \( p=p_2p_3 \) y \( u=p_2u_1 \), con \( u_1 \) y \( p_3 \) coprimos
Sutituyendo en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3)\Rightarrow \)
\( qru_1p_2=3^{2m-3}(3^2(p_2p_3)^3-(u_1p_2+2p_2p_3)^3)\Rightarrow \)
\( qru_1=3^{2m-3}p_2^2(3^2p_3^3-(u_1+2p_3)^3) \)
entonces \( p_2^2 \) tiene que dividir a \( qru_1 \) que no es posible ya que \( u_1 \) no es divisor de \( p_2 \)
HolaOk, de acuerdo con tu ejemplo. (cambio \( p_1 \) por \( p_3 \) ya que lo utilicé en \( q-r=3^{m-1}p_1 \))
Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:
\( p=p_2\cdot p_1,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)
Saludos.
De todos modos creo que estoy pasando algo por alto:De I y II) tenemos \( p_1 | q^3-r^3 \) y \( p_2p_3=p| q^3-r^3 \)Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y \( p_1 \)
De I y II) tenemos \( p_1 | q^3-r^3 \) y \( p_2p_3=p| q^3-r^3 \)
que \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y que \( 3 \) es el único divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \( (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)
...pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)Como \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \( (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)
HolaEsa afirmación viene de
Bufff... es fácil perderse con tanta variable auxiliar.
Pero veamosDe I y II) tenemos \( p_1 | q^3-r^3 \) y \( p_2p_3=p| q^3-r^3 \)
que \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y que \( 3 \) es el único divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \( (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)
Varias cosas:
1) ¿Afirmas qué \( q-r \) no es múltiplo de \( p_3 \) o simplementes dices que si no lo fuese pasaría tal cosa?. ¿Si lo afirmas por qué?.
2) No es lo mismo que \( q-r \) no sea múltiplo de \( p_3 \) que que sea coprimo con \( p_3 \). De lo segundo se se decuce dado que \( p_3 \) es divisor de \( q^3-r^3 \) que \( (q^2+qr-r^2) \) es múltiplo de \( p_3 \). De lo primero, pudiera ocurrir que \( p_3 \) repartiese sus factores entre \( q-r \) y \( (q^2+qr-r^2) \).
3) \( p=p_2\cdot p_3 \) y \( u=p_2^3\cdot 3^{2m-3} \) fue un ejemplo. Pero todavía no estoy seguro que tenga que ser así.
4) Aunque fuese así (y no sé si lo estás usando en algún sitio) \( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen porque ser coprimos.
Hola,y
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
. . .
Hola\( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen que ser coprimos?
Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:
\( p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)
Saludos.
Hola,y
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
. . .Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:\( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen que ser coprimos?
\( p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)
Holacreo que tu ejemplo es el que tiene que cumplirse y que por lo tanto \( p \) y \( u \) tienen que ser de la forma que indicasHola,y
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
. . .Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:\( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen que ser coprimos?
\( p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)
Bueno en ese ejemplo particular si. Pero es bueno entender por que. En general si:
\( p_2=mcd(p,u) \)
se tiene
\( p_1=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot u_1 \)
con \( u_1 \) y \( p_3 \) coprimos. Pero \( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen porque serlo.
Ahora en mi ejemplo \( u_1=p_2^2\cdot 3^{2m-3} \) y por tanto si \( u_1 \) es coprimo con \( p_3 \) también \( p_2 \) es coprimo com \( p_3 \).
Saludos.
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-p_1^3)=qr(p_1-2p) \) (*)donde teníamos que \( u=p_1-2p \)
Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)Lo podemos poner como
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \( A,B,C,D \) enteros
Para encontrar soluciones a las dos ecuaciones anteriores podemos buscar las soluciones de
\( 1=Ap_3-Bp_2 \)
\( 1=Cp_3-Dp_2 \)
que sabemos que existen ya que que \( p_2 \) y \( p_3 \) son coprimos?
Entonces las soluciones para I) y II) harían que \( qr \) y \( q-r \) tuvieran que tener algún divisor común?
Sí, totalmente de acuerdo.
No veo como deducir de todo esto que \( qr \) y \( q-r \) tengan que tener algún divisor común. Fíajte que si \( p_3 \) y \( p_2 \) son coprimos la ecuación diofántica:
\( k=Ap_3+Bp_2 \)
tiene solución para cualquier \( k \). En particular para dos valores de \( k \) primos entre si.
Saludos.
\( 1=Ap_3-Bp_2 \)todas las soluciones \( A,B \) de esta ecuación tiene que ser de la forma
Hola,que podemos poner como
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
. . .
Volviendo a\( 1=Ap_3-Bp_2 \)todas las soluciones \( A,B \) de esta ecuación tiene que ser de la forma
\( 1=p_3(p_2k_1+a)-p_2(p_3k_1+b) \) (*) para algún \( a,b \) y cualquier \( k_1 \)
Por otro lado tenemosHola,que podemos poner como
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
. . .
\( qr=Cp_3-Dp_2 \) para algunos \( C,D \)
Como \( q,r,p_2,p_3 \) son coprimos
la ecuación de (*) la podemos escribir como
\( qr=qrp_3(p_2k_1+a)-qrp_2(p_3k_1+b) \)
Entonces podemos decir que \( C \) y \( D \) tienen que ser de la forma
\( C=qr(p_2k_1+a) \)
y
\( D=qr(p_3k_1+b) \)
?
\( C=qr(p_2k_1+a) \)nos queda
¿Qué hemos pasado por alto?
Muchas gracias
todas las soluciones \( A,B \) de esta ecuación tiene que ser de la forma
\( 1=p_3(p_2k_1+a)-p_2(p_3k_1+b) \) (*) para algún \( a,b \) y cualquier \( k_1 \)
Por otro lado tenemosHola,que podemos poner como
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
. . .
\( qr=Cp_3-Dp_2 \) para algunos \( C,D \)
Como \( q,r,p_2,p_3 \) son coprimos
la ecuación de (*) la podemos escribir como
\( qr=qrp_3(p_2k_1+a)-qrp_2(p_3k_1+b) \)
Entonces podemos decir que \( C \) y \( D \) tienen que ser de la forma
\( C=qr(p_2k_1+a) \)
y
\( D=qr(p_3k_1+b) \)
La solución general de:con \( D=qrb+k_2p_3 \) (para cualquier \( k_2 \))
\( qr=Cp_3-DP_2 \)
sería:
\( (C,D)=(qra,qrb)+k_2(p_2,p_3) \)
Saludos.
¿Podemos igualar los dos valores de \( D \) anteriores?
\( D=p_2^5\cdot3^{6m-9}+k_3p_3=qrb+k_3p_3 \)
HolaEntoncesHola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!
Si.
Saludos.
Entonces
\( qr=(3^2-2^3)p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-\cdots \)
Si \( qr>0 \) ¿Podemos considerar entonces que \( p_3 > p_2 \)?
entonces existen algunos \( a,b \) positivos donde se cumpla
\( 1=ap_3-bp_2 \) ?
En caso afirmativo,
todas las soluciones para
\( qr=Ap_3 - Bp_2 \)
tienen que ser de la forma
\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \) ?
HolaDe hecho \( k \) tiene que ser negativo:CitarEn caso afirmativo,
todas las soluciones para
\( qr=Ap_3 - Bp_2 \)
tienen que ser de la forma
\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \) ?
Todas las soluciones enteras son de esa forma con \( k \) entero.
Pero no todas las soluciones positivas son de esa forma con \( k \) positivo (algunos valores de k negativos pudieran hacer igualmente que \( aqr+kp_2,bqr+kp_3>0 \).)
Saludos.
Hola\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3= \)Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!
Si.
Saludos.
\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \)\( A=p_3^2=aqr+kp_2 \)
HolayEntonces
\( qr=(3^2-2^3)p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-\cdots \)
Si \( qr>0 \) ¿Podemos considerar entonces que \( p_3 > p_2 \)?
Si.
Saludos.
\( 1=ap_3-bp_2 \)Entonces \( b>a \) y
Entonces \( b>a \) y
\( aqr+kp_2<bqr+kp_3 \Rightarrow (a-b)qr <k(p_3-p_2) \)
como \( qr \) son positivos entonces \( k<0 \).
Es correcto?
Si tenemos
\( A=p_3^2=aqr+kp_2 \)
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2=bqr+kp_3 \)
luego
\( A<B \)
y además
\( 1=ap_3-bp_2 \)
como \( p3>p2 \) entonces \( b>a \)
Ahora si hacemos las cuentas para \( B-A = bqr+kp_3 - (aqr+kp_2) \Rightarrow (b-a)qr + (p_3-p_2)k \)
pero
\( B-A=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2 - p_3^2 \)
que es mayor que \( A \)
es decir
\( (b-a)qr + (p_3-p_2)k > aqr+p_2k \Rightarrow (b-2a)qr - (p_3-2p_2)k >0 \)
¿Es correcto hasta aquí?
Si tenemos
\( ap_3-bp_2=1 \)
entonces todas las soluciones a esta ecuación son de la forma
\( a(p_3 +p_2k_1)-p_2(b+ak_1)=1 \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
pero también lo podemos poner como
\( b(-p_2+p_3k_2)+p_3(a-bk_2)=1 \) para cualquier \( k_2 \in \matbb{Z} \)
Entonces todas las soluciones para \( A=aqr+kp_2 \) tienen que ser de la forma
\( a(p_3A+p_2k_1)-p_2(bA+ak_1)=A \) con \( A=p_3^2 \)
HolaSi fijamos \( a,p_2 \) y buscamos las todas las soluciones para
¡Me perdí!.
Si tenemos
\( ap_3-bp_2=1 \)
entonces todas las soluciones a esta ecuación son de la forma
\( a(p_3 +p_2k_1)-p_2(b+ak_1)=1 \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
Ahí no estás escribiendo (o no lo veo al menos) una familia de soluciones, sino una ecuación equivalente a la primera en la que has sumado y restado \( ap_2k_1 \).
Citarpero también lo podemos poner como
\( b(-p_2+p_3k_2)+p_3(a-bk_2)=1 \) para cualquier \( k_2 \in \matbb{Z} \)CitarAquí lo mismo; es una reescrtiura de la ecuación inicial.
CitarEntonces todas las soluciones para \( A=aqr+kp_2 \) tienen que ser de la forma
\( a(p_3A+p_2k_1)-p_2(bA+ak_1)=A \) con \( A=p_3^2 \)
Ahí me perdí completamente no sé de donde sale esa forma y porque luego dices que \( A=p_3^2. \)
Saludos.
HolaSi tenemosMuchas gracias!
\( A=p_3^2=aqr+kp_2 \)
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2=bqr+kp_3 \)
Saludos
Si fijamos \( a,p_2 \) y buscamos las todas las soluciones para
\( ap_3-bp_2=1 \)
¿Tienen que ser de esta forma:
\( a(p_3 +p_2k_1)-p_2(b+ak_1)=1 \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
?
\( A=aqr+kp_2 \)donde se cumple que
\( B=bqr+kp_3 \)
donde se cumple que
\( 1=ap_3-bp_2 \)
¿Entonces todas las soluciones para \( 1=bqr+kp_3 \) son de la forma
\( (qr,k)=(p_3,b)+k_1(p_2,a) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
HolaSeríadonde se cumple que
\( 1=ap_3-bp_2 \)
¿Entonces todas las soluciones para \( 1=bqr+kp_3 \) son de la forma
\( (qr,k)=(p_3,b)+k_1(p_2,a) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
No sé si hay alguna errata en algo que has escrito, pero no. Por ejemplo si \( k_1=0 \) tendrías:
\( (qr,k)=(p_3,b) \)
Entonces:
\( bqr+kp_3=bp_3+bp_3=2pb_3 \)
Creo que querías escribir otra cosa.
Saludos.
Sería
\( (qr,k)=(-p_2,a)+k_1(p_3,b) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
Entonces para \( k_1=0 \)
\( (qr,k)=(-p_2,a) \)
luego
\( bqr+kp_3=-p_2b+ap_3=1 \)
Entonces todas las soluciones para
\( B=bqr+kp_3 \)
serían
\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,b) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
Para la ecuación \( 1=bqr+kp_3 \):Entonces para el otro caso \( A=aqr+kp_2 \)
\( (qr,k)=(-p_2,a)+k_1(p_3,\color{red}-b\color{black}) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
y para \( B=bqr+kp_3 \):
\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,\color{red}-b\color{black}) \) para cualquier \( k_1 \in \matbb{Z} \)
Saludos.
Lo que estoy buscando son unos \( qr,k \) para¿Todas la soluciones serían:\( A=aqr+kp_2 \)donde se cumple que
\( B=bqr+kp_3 \)
\( 1=ap_3-bp_2 \)
Hola,
tenemos entonces
\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,-b) \)
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+k_2(-p_2,a) \)
luego
\( qr=-p_2B+k_1p_3=Ap_3-k_2p_2 \Rightarrow p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \)
\( k=aB-k_1b=-bA+k_2a\Rightarrow a(B-k_2)=b(k_1-A) \)
pero teníamos que \( p_2,p_3 \) son coprimos
luego de
\( 1=ap_3-bp_2 \) tenemos que \( a,b \) tienen que ser coprimos entre ellos, y también con \( p_2,p_3 \)?
De \( 1=ap_3-bp_2 \) se deduce que los pares de coprimos son \( (a,b),(a,p_2),(p_3,b),(p_3,p_2). \)
Por otro lado ese pero que he marcado en rojo, no estoy seguro de si indica que crees que hay algo chocante o contradictorio ahí. Yo creo que no lo hay.
Saludos.
. . . pero teníamos que \( p_2,p_3 \) son coprimos
luego de
\( 1=ap_3-bp_2 \) tenemos que \( a,b \) tienen que ser coprimos entre ellos, y también con \( p_2,p_3 \)?
Si es así, se pueden dar las siguientes igualdades
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A) \)
?
Es decir,
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)\Rightarrow p_2 =(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow a=(k_1-A) \)
Luego\( p_2=-a \) ?
Muchas gracias!
Saludos
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)\Rightarrow p_2 =(A-k_1) \)hay un error en \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)\Rightarrow p_2 =(A-k_1) \) (también en \( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow a=(k_1-A) \))
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow a=(k_1-A) \)
Luego\( p_2=-a \) ?
De \( 1=ap_3-bp_2 \) se deduce que los pares de coprimos son \( (a,b),(a,p_2),(p_3,b),(p_3,p_2). \)?
¿Entonces todas las soluciones para \( 1=bqr+kp_3 \) son de la forma
En efecto lo que se tiene, es \( B=bqr+kp_3 \). ¿Como encontramos las soluciones de esta ecuación diofántica para \( qr,k \) con \( b,p_3 \) coprimos? Encontrando como hemos hecho las soluciones para \( 1=bqr+kp_3 \)?
¡Pero de dónde nos sacamos que \( 1=bqr+kp_3 \)!. Lo que realmente se tiene es que \( B=bqr+kp_3 \).
Saludos.
HolaDespués creo que lo mas "interesante" es el hecho de que \( qr \) y \( q-r \)Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!
Si.
Saludos.
Lo podemos poner comoLos últimos resultados son consecuencia de tratar de encontrar las soluciones para (I)...
\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \( A,B,C,D \) enteros
Para encontrar soluciones a las dos ecuaciones anteriores podemos buscar las soluciones de
\( 1=Ap_3-Bp_2 \)
\( 1=Cp_3-Dp_2 \)
Hola,En efecto lo que se tiene, es \( B=bqr+kp_3 \). ¿Como encontramos las soluciones de esta ecuación diofántica para \( qr,k \) con \( b,p_3 \) coprimos? Encontrando como hemos hecho las soluciones para \( 1=bqr+kp_3 \)?
¡Pero de dónde nos sacamos que \( 1=bqr+kp_3 \)!. Lo que realmente se tiene es que \( B=bqr+kp_3 \).
Saludos.
de \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \) lo que podemos deducir es que
\( k_2-B=Cp_3 \) para algún \( C \)
y
\( A-k_1=Cp_2 \)
pero entonces
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow -ap_3C=-bp_2C \Rightarrow ap_3=bp_2 \Rightarrow \)
¡El error es otro! (ahora si lo encontré ;D )>:D (es broma ;) )
Esta vez no se me habría ocurrido que el error estuviera en una división por cero... :ode \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \) lo que podemos deducir es que
\( k_2-B=Cp_3 \) para algún \( C \)
y
\( A-k_1=Cp_2 \)
pero entonces
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow -ap_3C=-bp_2C \Rightarrow ap_3=bp_2 \Rightarrow \)
El problema es que ese \( C \) puede ser cero y por tanto no puedes simplificarlo. De hecho \( C=0 \) y por tanto \( A=k_1 \) y \( B=k_2 \), lo cuál si deshacemos la madeja era una obviedad (visto ahora) desde el principio si tenemos en cuenta que partimos de:
\( qr=Ap_3-Bp_2 \)
Por tanto:
\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+\color{red}A\color{black}(p_3,-b) \)
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+\color{red}B\color{black}(-p_2,a) \)
Saludos.
\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)Repitiendo las cuentas que hemos hecho para \( qr=Ap_3-Bp_2 \) tenemos que todas las soluciones para
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \( A,B,C,D \) enteros
Hola,\( q-r=(3^{m-1}.p_2\cdot2)p_3 + (p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})p_2 \)
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
HolaSi llamamosHola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!
Si.
Saludos.
Hola,Si \( q,r \) son impares ¿Entonces \( q-r \) tiene que ser par? Sí es así, deCitarEl problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.Todo viene de la notación clásica del UTF
\( x^n=y^n+z^n \)
utilizando que \( x,y,z \) son enteros positivos
Con esto había llegado a los siguientes resultados:
I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
II) \( (q^3-3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
Utilizando I) en II)
\( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(q^3-3^{m}pqr)^n \)
obtengo el resultado en III)
III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
Hola,
El subir esta respuesta al foro es únicamente para verificar que los cuentas y resultados son correctos. No se llega al final a ninguna contradicción por lo que creo no aporta nada a este asunto. Lo pongo como spoiler
. . .Spoiler
Entonces si teníamos (\( C \) no es el mismo que hemos utilizado en las cuentas anteriores donde \( C=0 \))\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)Repitiendo las cuentas que hemos hecho para \( qr=Ap_3-Bp_2 \) tenemos que todas las soluciones para
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \( A,B,C,D \) enteros
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \)
son de la forma
\( q-r=\underbrace{(a(q-r)+sp_2)}_{C}p_3- \underbrace{(b(q-r)+sp_3)}_{D}p_2 \) para cuaquier \( s \)
donde \( 1=ap_3-bp_2 \)
Y del mismo modo que hicimos para \( k \) se tiene que dar que
\( s=aD-bC \)
Por otro lado teníamosHola,\( q-r=(3^{m-1}.p_2\cdot2)p_3 + (p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})p_2 \)
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
luego si todas las soluciones para \( q-r \) son de la forma
\( q-r=\underbrace{(a(q-r)+sp_2)}_{C}p_3- \underbrace{(b(q-r)+sp_3)}_{D}p_2 \)
entonces
\( C=3^{m-1}.p_2\cdot2 \)
\( D=-p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1} \)
Sustituyendo los valores de anteriores \( q-r, s, C \) en
\( a(q-r)+sp_2=C \)
\( a\cdot\underbrace{3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})}_{q-r}+\underbrace{(aD-bC)}_{s}p_2=\underbrace{3^{m-1}.p_2\cdot2}_{C} \Rightarrow \)
\( a\cdot3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+ap_2\underbrace{(-p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})}_{D}-bp_2\underbrace{(3^{m-1}.p_2\cdot2)}_{C}= \)
\( =3^{m-1}.p_2\cdot2 \)
diviendo todo por \( 3^{m-1}.p_2 \)
\( a(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+a(-p_2^2\cdot3^{2m-3})-2bp_2=2 \)
\( a2p_3-b2p_2=2 \Rightarrow ap_3-bp_2=1 \)[cerrar]
Si llamamos
\( A=2p_3+3^{2m-3}p_2^2 \)
entonces
\( q=3^{m-1}.p_2A + r \)
\( qr=3^2p_3^3-A^3=3^{m-1}.p_2Ar + r^2 \)
\( 3^{m-1}.p_2Ar + r^2- (3^2p_3^3-A^3)=0 \)
Luego
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
entonces:
\( q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
entonces:
\( q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?
No veo como de ahí deduces que \( q \) y \( r \) son los dos impares.
Saludos.
\( q,r \) no pueden ser los dos pares a la vez ya que son coprimos. Se tiene que \( q,r \) son de la forma
\( q=\dfrac{-a+b}{2} \qquad r=\dfrac{a+b}{2} \)
\( q+r=b \) par
\( q-r=a \) par
si uno de ellos es par entonces el otro tambien?
Luego los dos son impares?
Muchas gracias!
Saludos
Hola,Muchas gracias!
sino hay errores en que\( q,r \) son impares y \( p \) par (\( p=p_2p_3 \) con \( p_2 \) par y \( p_3 \) impar)
entonces en
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( q^3-r^3= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( \underbrace{(q-r)}_{par}\underbrace{(q^2+qr+r^2)}_{impar}= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
entonces supongamos que
la potenciamínimamáxima de \( 2 \) que divide a \( q-r \) es \( 2 \) es decir \( q-r \equiv 0 \pmod { 2^2} \) (*)
pero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)
pero entonces tendríamos \( 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \equiv 0 \pmod {2^3} \)
y esto contradice la suposición de (*).
No veo que esta mal :(
Saludos
Hola,
Ok, he revisado mis notas y veo que he partido del supuesto de que \( p \) es par, luego \( q,r \) son impares. (me quedaría ver el caso para el que\( q \) o \( r \) es alguno de ellos par con \( p \) impar)
Entonces para este supuesto que \( p \) sea par con \( p=p_2.p_3 \) solo se puede dar que \( p_2 \) par y \( p_3 \) impar:
Si \( q,r \) impares \( q-r \) par, luego \( p_2 \) par por \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Entonces si \( p_2 \) par,\( p_3 \) tiene que ser impar:
Como \( qr \) es impar, y \( p_2 \) par
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
entonces \( p_3 \) impar (después de escribir esto he recordado que \( p_2 \) y \( p_3 \) eran coprimos :-\).
Es correcto hasta aquí?
Hola,
sino hay errores en que\( q,r \) son impares y \( p \) par (\( p=p_2p_3 \) con \( p_2 \) par y \( p_3 \) impar)
entonces en
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( q^3-r^3= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( \underbrace{(q-r)}_{par}\underbrace{(q^2+qr+r^2)}_{impar}= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
entonces supongamos que
la potenciamínimamáxima de \( 2 \) que divide a \( q-r \) es \( 2 \) es decir \( q-r \equiv 0 \pmod { 2^2} \) (*)
pero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)
OkCitarpero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)
No necesariamente, podría ocurrir \( p_2\equiv 2 \pmod { 2^2} \).
Saludos.
Proposición 5:La siguiente igualdad no puede darse para números enteros:
\( (2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})(p_3^2-8Ap_3-2A^2)-2qr=3^{2m-1}p^2 \)Creo que las cuentas de las primeras proposiciones son correctas. No veo el error en la quinta...Como siempre cualquier comentario será muy bien recibido.SpoilerLa igualdad es consecuencia de la proposiciones anteriores. Los únicos términos que no son múltiplos de \( 3 \) son
\( 2p_3p_3^2 \) y \( 2qr=2(3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3)\equiv 2\cdot(2p_3)^3 \pmod 3 \)
Entonces \( 2p_3p_3^2-2qr \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \)
\( 2p_3p_3^2 - 2\cdot(2p_3)^3 = 2p_3(p_3^2-8) \equiv 0 \pmod 3 \) (*)
\( \color{red}2p_3p_3^2 - 2\cdot(2p_3)^3 = 2p_3^3(1+8) \equiv 0 \pmod 3\color{black} \) Corregido
como \( p_3 \) no es múltiplo de \( 3 \)se tiene que darse da que \( \color{red}1+\color{black}8 \equiv 0 \pmod 3 \)que no es posible para \( p_3 \) entero.[cerrar]
Muchas gracias!
Saludos
Revisando después he visto que el error está en (*)...(ya está corregido)
Vuelvo otra vez a esto ya que creo que \( p_2 \) si tiene que ser par.\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
entonces:
\( q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?
No veo como de ahí deduces que \( q \) y \( r \) son los dos impares.
Saludos.
Vuelvo otra vez a esto ya que creo que \( p_2 \) si tiene que ser par.
Supongamos que no lo es, entonces (teníamos \( A=2p_3+3^{2m-3}p_2^2 \))
\( r=\dfrac{impar+\sqrt{impar}}{2}=\dfrac{impar+impar}{2}=\dfrac{-(2a+1)+(2b+1)}{2}=-a+b \) para algunos \( a,b \)
y del mismo modo tenemos que \( q=a+b \)
La proposición 1 anterior tuviste oportunidad de revisarla? Estás de acuerdo con que \( p_3 \) tiene que ser impar?
Muchas gracias como siempre por la revisión de todas las respuestas. Pido disculpas a ti y a todos los que siguen este hilo por la "stupid storming" que estoy enviando últimamente...tanta notación, signos,... hace que se comentan estos errores tan absurdos... (incluso después de haberlos revisado y transcribirlos de nuevo al subirlos al foro).
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)donde se tiene que dar que uno y solo uno de \( p,q,r \) es par.
Voy a suponer \( p,r \) impares y \( q \) es par. Y suponer además que la potencia mínima de \( 2 \) que divide a \( q \) es \( 1 \), es decir, \( q=2q_1 \) para algún \( q_1 \) impar.
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 8 \) si m es par
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 4 \pmod 8 \) si m es impar.
Ahora en relación a la paridad de
\( 3^{3m-1}p^3+r^3= \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
¿La paridad de \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) y es la misma que \( 3^{3m-1}p_1^3+r_1^3 \) y \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \)?
Muchas gracias otra vez.
Saludos
HolaOk,Ahora en relación a la paridad de
\( 3^{3m-1}p^3+r^3= \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
¿La paridad de \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) y es la misma que \( 3^{3m-1}p_1^3+r_1^3 \) y \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \)?
Muchas gracias otra vez.
Saludos
Si, porque \( x^2\equiv x \) módulo \( 2 \).
Saludos.
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) tiene que ser de la forma \( 4(2t+1) \) para algún \( t \)consideramos
Ok,
entonces para ver si se cumple\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) tiene que ser de la forma \( 4(2t+1) \) para algún \( t \)consideramos
I) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) par.
Tenemos
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 = \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
entonces
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 2 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4 \) (\( m \) impar)
Luego no es posible ponerlo como \( 4(2t+1) \) para algún \( t \) ?
II) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) impar (lo podemo poner como \( 2u+1 \) para algún u).
Para este caso si queremos ver si \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) es de la forma \( 4(2t+1) \) y ya que
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8 \)
HolaSí. Tienes razón...hago la modifcación después de la siguiente cita:Ok,
entonces para ver si se cumple\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) tiene que ser de la forma \( 4(2t+1) \) para algún \( t \)consideramos
I) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) par.
Tenemos
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 = \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
entonces
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 2 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4 \) (\( m \) impar)
Luego no es posible ponerlo como \( 4(2t+1) \) para algún \( t \) ?
No veo claro porque dices que no es posible. ¿No puede darse esto?:
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)
I) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) par.podemos poner
Tenemos
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 = \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
entonces
Si los casos anteriores tienen algún error prefiero continuar con este caso en otro momento .... :-[CitarII) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) impar (lo podemo poner como \( 2u+1 \) para algún u).
Para este caso si queremos ver si \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) es de la forma \( 4(2t+1) \) y ya que
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8 \)
Pero si \( 3^{3,-1}p_1+r_1 \) es impar entonces, módulo \( 8 \):
\( 3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)=4\cdot impar\not\equiv 0 \)
Entonces no veo porque dices:
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8 \)
Saludos.
i) \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) (\( m \) par)
\( 3^{3m-1}+1 = 4t \) para algún \( t \) impar (vimos que \( 3^{3m-1}+1 \) no puede ser múltiplo de \( 8 \)) (***)
(*) nos queda \( 3^{3m-1}p^3+r^3 =4(13u+t) \) y buscamos que \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) sea de la forma \( 4.impar \)
luego \( 13u+t \) impar, con \( t \) impar hace que \( 13u \) tenga que ser par, luego \( u \) par.
pero entonces si teníamos que \( q \equiv 0 \pmod 8 \) y \( u \) es par (\( 3^{3m-1}+1 \) múltiplo de \( 4 \))
en (**) todos los sumando son múltipos de \( 8 \) excepto \( 3^{3m-1}+1 \) (***)
es correcto ??? En caso afirmativo, este punto i) no puede darse ?
Esto último que indicas es equivalente a \( 3^{3m-1}p^3+r^3=4(13u+t)+2s \) para algún \( s \)?
Hay algo que no me convence en el argumento. Si trabajas módulo \( 2 \) pierdes información. Es decir lo que obtendrías es:
\( 3^{3m-1}p^3+r^3\equiv 4(13u+t) \) módulo \( 2 \)
Saludos.
Esto último que indicas es equivalente a \( 3^{3m-1}p^3+r^3=4(13u+t)+2s \) para algún \( s \)?
Para que \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) sea \( 4.impar \) entonces \( s \) tiene que ser par?
\( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) con \( pq,r \) coprimos.es inmediato haciendo las cuentas que
Luego vimos que \( p=p_2p_3 \) también coprimos...
Hola,¿Podemos decir entonces que si \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)HolaHola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!
Si.
Saludos.
\( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) con \( pq,r \) coprimos.es inmediato haciendo las cuentas que
Luego vimos que \( p=p_2p_3 \) también coprimos...
\( q^3-r^3-3^{3(m-1)}p_1^3=3\cdot3^{m-1}mp_1qr \)
para cualquier \( p_1 \) donde \( q-r=3^{m-1}p_1 \)
vienen de \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \) con \( q-r=3^{m-1}p_1 \)
Por otro lado teníamosHola,¿Podemos decir entonces que si \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)HolaHola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!
Si.
Saludos.
tiene solución para \( q,r \) enteros, existe un \( p_1 \)
donde
\( q-r=3^{m-1}p_1 \)
y si
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces \( p_2 \) divide a \( p_1 \)?
Aquí tengo un pequeño lío. Es decir no sé exactamente de que igualdades estamos partiendo. Con todo lo que hemos viajado desde la fórmula de Fermat para \( n=3 \), ¿hemos llegado a que si existen enteros que la cumplen, entonces existen otros entero verificando:Es correcto. Desde la fórmula original del UTF para \( n=3 \) llegamos a \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) (*)
1) \( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
2) \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
3) \( q-r=3^{m-1}p_1 \)
?
No sé si se entiende la pregunta (evidentemente podría revisar todo el camino, pero supongo que lo tienes más fresco).
Saludos.
Hola,Aquí tengo un pequeño lío. Es decir no sé exactamente de que igualdades estamos partiendo. Con todo lo que hemos viajado desde la fórmula de Fermat para \( n=3 \), ¿hemos llegado a que si existen enteros que la cumplen, entonces existen otros entero verificando:Es correcto. Desde la fórmula original del UTF para \( n=3 \) llegamos a \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) (*)
1) \( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
2) \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
3) \( q-r=3^{m-1}p_1 \)
?
No sé si se entiende la pregunta (evidentemente podría revisar todo el camino, pero supongo que lo tienes más fresco).
Saludos.
con \( p,q,r \) coprimos no múltiplos de\( 3 \), también \( p=p_2.p_3 \) con \( p2,p3 \) coprimos.
La duda es que si (*) tiene soluciones, es decir existen,\( p=p_2p_3,q,r \) se tiene que dar que p_2 sea múltiplo de algún \( p_1 \) donde \( q-r=3^{m-1}p_1 \)?
HolaSí. Es así. Lo que quiero decir es que de (2) tenemos que \( q-r \) es múltiplo de \( 3^{m-1}.p_2 \), entonces podemos encontrar algún \( p_1 \) que cumpla (3) [ya que (3) se cumple para cualquier \( p_1 \)].Hola,Aquí tengo un pequeño lío. Es decir no sé exactamente de que igualdades estamos partiendo. Con todo lo que hemos viajado desde la fórmula de Fermat para \( n=3 \), ¿hemos llegado a que si existen enteros que la cumplen, entonces existen otros entero verificando:Es correcto. Desde la fórmula original del UTF para \( n=3 \) llegamos a \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) (*)
1) \( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
2) \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
3) \( q-r=3^{m-1}p_1 \)
?
No sé si se entiende la pregunta (evidentemente podría revisar todo el camino, pero supongo que lo tienes más fresco).
Saludos.
con \( p,q,r \) coprimos no múltiplos de\( 3 \), también \( p=p_2.p_3 \) con \( p2,p3 \) coprimos.
La duda es que si (*) tiene soluciones, es decir existen,\( p=p_2p_3,q,r \) se tiene que dar que p_2 sea múltiplo de algún \( p_1 \) donde \( q-r=3^{m-1}p_1 \)?
Perdona que insista porque aun no me quedó al 100% claro. La ecuacion ¿(3) la tenemos también?¿quien es ese \( p_1 \)?. ¿Se llega independientemente de las anteriores? Digo esto porque es obvio que la ecuación (3) se tiene de la (2) tomando:
\( p_1=p_2(2p_3+p_2^2\cdot 3^{2m-3}) \)
¿Es así como la estás obteniendo?.
Saludos.
Sí. Es así. Lo que quiero decir es que de (2) tenemos que \( q-r \) es múltiplo de \( 3^{m-1}.p_2 \), entonces podemos encontrar algún \( p_1 \) que cumpla (3) [ya que (3) se cumple para cualquier \( p_1 \)].
Estás de acuerdo hasta aquí?
De acuerdo con tu visión. Voy a volver a un desarrollo anterior de todo este asunto:
Te resumo como veo el asunto. Por todas las cuentas hechas hasta aquí sabemos que:
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \) (*)
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Llamando \( p_1=p_2(2p_3+p_2^2\cdot 3^{2m-3}) \) se tiene que \( q-r=3^{m-1}p_1 \) y por tanto:
\( q^3-r^3-3^{3(m-1)}p_1^3=3\cdot3^{m-1}mp_1qr \)
Saludos.
HolaY la proposición a la que hacías referencia:
Mira por aquí por ejemplo:
http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf
Saludos.
Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, thenHe encontrado que los siguientes pares de números \( (p_3,b)=\{(190,15), (57,2), (228,8), (310,31), ... \} \) son solución a la ecuación (**)
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \( t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \( - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).
\( (2p_3)^2(p_3-9b)-b^2(12p_3+b)=s^2 \) (**)
Ecuación diofántica de grado 2 para \( b, p_3, s \)
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)Si llamamos
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Cualquier comentario será muy bien recibido.
Hola¿Valdría el mismo resultado para \( n=5 \)?
Voy a tratar de escribir como reformulo yo tu trabajo y cómo la mayoría de tus demostraciones son así inmediatas. Excepto la del Lema 6, que es la que falla.
En primer lugar es cómodo escribir la ecuación de Fermat como \( x^3+y^3+z^3=0 \) en lugar de la manera clásica, permitiendo que las variables sean negativas. Esto evita tener que repetir argumentos para tus tres términos \( (x-y),(x-z)=(y-b),M=(y+z) \) que ahora con mi notación son simplemente \( (x+y),(x+z),(y+z) \). De forma que por simetría lo que probemos para uno, queda probado para los demás.
Entonces sean \( x,y,z \) tres enteros coprimos dos a dos verificando \( x^3+y^3+z^3=0. \)
1) \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \)
Prueba: Basta tener en cuenta que, \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \) y usar que estamos bajo el supuesto de que los tres números cumplen la ecuación de Fermat.
2) \( (x+y),(x+z),(y+z) \) son coprimos dos a dos.
Prueba: Basta tener en cuenta que por (1) cualquier divisor primo de uno de esos términos lo es de \( (x+y+z) \). Entonces si \( x+y,x+z \) son divisibles por \( p \),
\( z=(x+y+z)-(x+y) \) divisible por \( p \)
\( y=(x+y+z)-(x+z) \) divisible por \( p \)
Pero \( z,y \) son coprimos: contradicción.
3) Uno y sólo uno de los términos \( (x+y),(x+z),(y+z) \) es divisible por \( 3 \) (supondremos sin pérdida de generalidad, a partir de ahora, que tal término es \( y+z \)).
Prueba: Por (1), (\( x+y+z) \) es divisible por \( 3 \) y por tanto \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \) divisible por \( 3^3 \). Por tanto efecivamente alguno de los términos es divisible por tres. La unicidad es consecuencia de (2).
4) \( (y+z)=3^mE^3 \) con \( mcd(E,3)=1 \) y \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).
Prueba: Se tiene que \( -x^3=y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2) \). Como \( (y+z) \) es múltiplo de tres, también lo es \( x \). Como \( x,y,z \) son coprimos, \( y,z \) no son divsibles por tres. Por tanto:
\( (y+z)=3^mE^3,\qquad (y^2-yz+z^2)=3^{3k-m}F^3 \) con \( mcd(E,3)=mcd(F,3)=1 \).
Pero: \( 3yz=(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)=3^{2m}E^6-3^{3k-m}F^3 \). Como \( y,z \) no son divisibles por tres necesariamente \( 3k-m=1 \), es decir, \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).
5) Existen enteros \( p,q,r \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
\( y+z=3^mp^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
\( x+y=q^3\quad x+z=r^3\quad x+y+z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Prueba: Basta aplicar (2),(3),(4) a (1)
6) Existen enteros \( p,q,r \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
\( q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
Prueba: Basta tener en cuenta que por (5):
\( x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\( y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
\( x+y=q^3 \)
En tu Lema 6 pruebas que no existen números en las condiciones de (6) para \( m=2 \). Si lo probases para cualquier \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \), tendrías la prueba que buscas.
Saludos.
¿Valdría el mismo resultado para \( n=5 \)?
Es decir, para \( x^5=y^5+z^5 \)¿Se cumple también que
\( x=(x+y+z)-(y+z)=5^{\frac{m+1}{5}}pqr-5^mp^5 \)
\( y=(x+y+z)-(x+z)=5^{\frac{m+1}{5}}pqr-r^5 \)
\( x+y=q^5 \)
?
Hola el_manco,
el doc adjunto que utilicé para \( n=3 \) (faltaría incluir según apuntaste \( m\equiv 2 \pmod 3 \) y no sólo para \( m=2 \) como está actualmente) es una adaptación del doc para el caso general donde se cumple:
\( n(x+y)(x+z)M=b^n \)
donde uno de ellos tiene que ser múltiplo de \( n \) luego se puede poner
\( x+y=q^n \)
\( x+z=r^n \)
y
\( M=n^{m-1}p^n \) con \( m\equiv 0\pmod n \)
Entonces \( b=npqr \)
En definitiva son los mismos resultados que tienes en tu desarrollo en 4), 5) y 6) y que el nuevo factor que indicas queda dentro de \( M \).
Espero como siempre tus comentarios.
Estoy un poco confundido y quizá un poco perzoso :P. Veamos, del documento que adjuntas. ¿Qué hay nuevo? ¿Quieres qué lo vuelva a revisar por completo?. ¿O me estás preguntando sólo sobre la posible extensión del argumento a \( n=5 \)?.
Saludos.
Hola el_manco,
siguiendo mi notación y línea de trabajo para \( n=3 \) tenía
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( b=3^mpqr \)
...tenía(Aquí sí he corregido el resultado del doc que subí en otra respuesta y he incluido el caso \( m\equiv 2 \pmod 3 \), pero aplicando un cambio de variable donde los exponentes son \( m \) y \( 3m-1 \)). Copio los valores de\( x, y, z \) anteriores:
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( b=3^mpqr \)
Entonces podemos tomar
\( (x-y)=r^3 \).
\( y-b=3^{3m-1}p^3 \Rightarrow y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
por lo tanto \( x=r^3+y \Rightarrow x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
(además \( M=q^3 \))
ya que \( (y+z-x)^3=b^3 \) entonces \( y+z-x=b \Rightarrow z=r^3+3^mpqr \)
Según tus cálculos habías llegado a:
\( x=q^3-3^mpqr \)
\( y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( z=r^3+3^mpqr \)
Y según lo siguiente...tenía(Aquí sí he corregido el resultado del doc que subí en otra respuesta y he incluido el caso \( m\equiv 2 \pmod 3 \), pero aplicando un cambio de variable donde los exponentes son \( m \) y \( 3m-1 \)). Copio los valores de\( x, y, z \) anteriores:
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( b=3^mpqr \)
Entonces podemos tomar
\( (x-y)=r^3 \).
\( y-b=3^{3m-1}p^3 \Rightarrow y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
por lo tanto \( x=r^3+y \Rightarrow x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
(además \( M=q^3 \))
ya que \( (y+z-x)^3=b^3 \) entonces \( y+z-x=b \Rightarrow z=r^3+3^mpqr \)
\( x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( z=r^3+3^mpqr \)
Son correctas la cuentas y en efecto es equivalente esto último a tu resultado?
Pues intenta seguir los pasos; probablemente se cumpla algo parecido. Cuando tenga tiempo lo miro yo. La diferencia esta en que ahora la factorización inicial es:Si me permites prefiero utilizar la notación solo para naturales y expresar la fórmula de (*) como
\( (x+y+z)^5=5(x+y)(x+z)(y+z)((x+y+z)^2-xy-xz-yz) \) (*)
Es decir aparece un nuevo factor; para que te hagas una idea de como gestionarlo, echa un vistazo a este hilo que escribí para "entender" a mente_oscura; él manea mucho ese tipo de factorizaciones. En el hilo está descrito el caso \( n=7 \) pero es totalmente análgo:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70714.0
Saludos.
Hola el_manco,entonces si
en los últimos resultados que habíamos tenido estaba intentado demostrar que no hay soluciones enteras para\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }=T^2 \) para algún \( T>0 \)Y según habías verificado se podía poner como
\( pX^2-tY^2=T^2 \) (*)
con \( X=2p \) , \( Y=6p+t \) , \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no múltiplo de \( 3 \). (**)
He revisado el documento que indicabas http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf
y creo que la proposición a la que hacías referencia era:
Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, then
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \( t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \( - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).
entonces si
\( pX^2-tY^2=T^2 \) (*)
con \( X=2p \) , \( Y=6p+t \) , \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no múltiplo de \( 3 \). La ecuación de (*) la puedo reescribir como
\( 4p(p)^2-3(3^{m-2}Y)^2=T^2 \Rightarrow 4pX_1^2-3Y_1^2=T^2 \)
con \( p = X_1 \) y \( 3^{m-2}Y=Y_1 \)
Pero según la proposición anterior existe un \( C \) de modo que
\( 3 \equiv C^2 \pmod {4p} \)
¿Esto último es posible?, es decir ¿\( C^2-3 \) puede ser múltiplo de \( 4 \) para algún \( C \)?
. . .
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \) con \( k_2 \) el nuevo factor que aparece en los casos para \( n>3 \)
. . .
Creo que podemos considerar dos casos distintos:
1) \( k_2 \) es mútiplo de \( 5 \)
2) \( k_2 \) NO es mútiplo de \( 5 \)
Si escribimos
\( y+z-x=5^{m}pqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)
para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)
(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)
y para el caso 2) donde suponemos,por ejemplo, que \( x-z \) es múltiplo de \( 5 \)
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=5^{5m-1}p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=t^5 \)
nos queda entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (**)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)
(**) equivalente \( x=5^{5m-1}p^5+r^5+5^mpqrt \)
¿Podemos considerar estos dos casos con los valores para \( x \) , \( y \) y \( z \) según se ha indicado?
Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).
Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).
HolaEstoy suponiendo como cierto que \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \) son coprimos y estoy en el caso 1) de:Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).
Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).
No me convence el comienzo; si todavía no sabes que \( x-z \) y \( k_2 \) son coprimos, ¿cómo sabes que \( x-z \) es una quinta potencia de algo?. Para afirmar eso hay que basarse (creo) en la coprimalidad de los cuatro factores \( x-y,x-z,y-z,k_2 \).
¿No es correcto dar por cierto todo lo de esta última cita?
...
Si escribimos
\( y+z-x=5^mpqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)
para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)
(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)
...
¿No es correcto dar por cierto todo lo de esta última cita?
...
Si escribimos
\( y+z-x=5^mpqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)
para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)
(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)
...
P.D. La otra noche tras poner el chupete a mi hija, me vino la luz y dos años después comprendí (entre otras cosas) creo que completamente tu nick. ;)
manooooh definitivamente tienes un problema/virtud (todo depende del punto de vista) con la rigurosidad/flexibilidad de las notaciones. :D :D
Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que \( q-r \) lo podemos poner de la forma siguiente
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y \( p_1 \)
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( a \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {a} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^2} \pmod {a} \)
entonces \( q^2 \) es múltiplo de \( a \) (factor de \( p \)) luego \( q^2 \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Si \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
¿\( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) pueden tener algún divisor común? Si lo tienen puede ser divisor de \( p \)?
Muchas gracias!
Saludos
HolaHasta aquí no se si queda claro que \( p_1 \) y \( p \) no tienen algún factor común.
El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:
\( (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)
y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).
Saludos.
Hola
Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:
\( p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)
Saludos.
HolaHola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!
Si.
Saludos.
Hola Luis.
I) Esta primera cita la reescribo ya que contenía una errata. También cambio el nombre de la variable \( p_2 \) por \( a \).
La cuestión principal y la que perseguimos es confirmar que
PROP 1: \( p_1 \) y \( p \) no pueden tener algún factor común.Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que \( q-r \) lo podemos poner de la forma siguiente
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y \( p_1 \)
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( a \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {a} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^2} \pmod {a} \)
entonces \( q^2 \) es múltiplo de \( a \) (factor de \( p \)) luego \( q^2 \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
Después de una pequeña discusión llegamos a que :
Si \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
¿\( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) pueden tener algún divisor común? Si lo tienen puede ser divisor de \( p \)?
Muchas gracias!
SaludosHolaHasta aquí no se si queda claro que \( p_1 \) y \( p \) no tienen algún factor común.
El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:
\( (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)
y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).
Saludos.