Autor Tema: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.

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25 Enero, 2010, 12:21 am
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aureodd

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Hace ya casi dos años que me encontraba buscando material para añadir a mi web sobre matemáticas recreativas y recordé una ecuación de un libro sobre teoría de números relacionada con el Último Teorema de Fermat, y la anoté en un papel... pocas horas más tarde revisé esas anotaciones y pude escribir 5 lemas que llevaban a un resultado que me pareció muy interesante y no puede dejar de pensar si realmente sería una base para probar el UTF.

He estado desde ese momento trabajando en esos resultados…con avances, correcciones de todo tipo, incluido algún error que me hizo reescribir toda la prueba, de búsquedas de la contradicción en algún corolario que no llevaban a nada, otras veces...el vacío.

Hace ya varios meses que creo haber terminado ese trabajo... Aunque esta prueba se compone de 14 páginas, es una prueba sencilla… basada en el desarrollo de aquellos primeros 5 lemas.

Leí hace poco una cita que decía:
"Las matemáticas no son sino un equilibrio inestable entre prudencia y pasión, una mezcla
sutil de cautela y de afición vehemente, un diálogo a media voz hecho con templanza dialéctica y un afecto del ánimo profundamente embriagador y desordenado."

He intentado con la prueba ser prudente, ordenado y cauteloso pero es posible que haya puntos que no queden claros o que haya dado por obvio algo que no lo es…Esto en matemáticas es muy peligroso y cualquier descuido puede desmontar por completo todo un trabajo...

Agradeceré enormemente cualquier comentario u opinión que muestre algún hecho o error que haya podido pasar por alto y por lo tanto invalide la prueba o quizás que permita su corrección para seguir avanzando hacia el resultado de que el UTF es cierto.

Saludos

La prueba la podeis leer y descargar desde http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/9/1/1/

25 Enero, 2010, 03:57 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Es falso que:

 \( (a+b)^n \) múltilpo de \( a \) \( \quad \Longrightarrow{}\quad \) \( a+b \) múltiplo de \( a \)

 Lo utilizas en la página 14 en la demostración del lema 6, cuando dices que:

Citar
\( [(x-y)+nKK_2]^n-(x-y)^n \) tiene que ser múltiplo de \( (x-y) \), luego \( (x-y)+nKK_2 \) también tiene que ser mútiplo de \( (x-y) \).

 Incluso en los ejemplos que pones después (página 22) dices:

Citar
\( [2^8+7K(2^2)]^7 \) tiene que ser múltiplo de \( 2^8  \), luego \( 2^8+7K(2^2) \) también tiene que ser mútiplo de \( 2^8 \).

 FALSO. De hecho:

\( [2^8+7K(2^2)]^7=2^{14}(2^6+7K)^7  \)

 luego siempre es mútiplo de \( 2^8 \) si necesidad de imponer que \( 2^8+7K(2^2) \) lo sea.

 Por otra parte, fíjate que ni siquiera existe una demostración sencilla (si complicada, por supueso) para el caso \( n=3 \). Por tanto si uno cree tener una demostración simple para el caso general es bueno escribirla específicamente para el caso \( n=3 \). Si funciona ya es un gran avance; en otro caso es mucho más fácil encontrar el error.

 En tu caso para \( n=3 \), la mayor parte de tus lemas previos son trivialidades y los argumentos claves (y el error) se resumen apenas en una carilla.

Saludos.
 

27 Enero, 2010, 03:20 pm
Respuesta #2

aureodd

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Hola
lo primero agradecerte el_manco tu revisión y rápida respuesta. Quiero aprovechar también para reconocer y admirar enormemente tu capacidad para seguir y comentar los temas que se tratan en el foro...
En cuanto a la prueba, no hay nada como un contraejemplo para mostrar el error... no se si habrá alguna si habrá alguna forma de poder avanzar teniendo en cuenta que:
Citar
\(  (a+b)^n \) múltiplo de \( a  \) \( \nRightarrow a+b  \) múltiplo de \( a \)
???
¿El resto de la prueba tuviste oportunidad de revisarlo para descartar que no haya más errores? ¿O viste el error rapidamente en una primera lectura?
 
Te agradezco también el consejo sobre haber intentado escribir antes la prueba para el caso \( n=3 \) pero cuando me encontré con los resultados de los primeros lemas que se cumplían para \( n \) primo, me resultó más cómodo continuar escribiéndolo para el caso general (aunque en la mayoría de los ejemplos de la prueba utilizo \( n=5 \)). Sin embargo lo que realmente me animó a intentar avanzar despúes fue el resultado que utilizo en la demostración del corolario 5.3:
Citar
Si \( n \) es primo entonces se cumple \( (x^n-y^n) -(x-y)^{n}=nxy.B(x,y).(x-y) \)
Desconozco si es un resultado trivial y si se puede llegar a él de una forma mas sencilla. Me gustaría conocer si tú o alguien del foro tiene alguna referencia de este resultado.
Muchas gracias.

Saludos

27 Enero, 2010, 06:01 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Citar
¿El resto de la prueba tuviste oportunidad de revisarlo para descartar que no haya más errores? ¿O viste el error rapidamente en una primera lectura?

Para ser sincero, mi lectura del texto fue ir directamente a encontar el error. Es decir no me planteé la posibilidad de que fuese correcta, porque no creo que exista una prueba sencilla del UFT. Por supuesto pese a ese prejuicio, sólo me guiaron y me guían criterios matemáticos; si todo estuviese bien, pues me "bajaría de la burra" y chapeau. Entonces comencé a leer los primeros resultados convencido de que el error aparecería en seguida: no fue así. Entonces cambié de estrategia y fui del final al hacia atrás. Además particularicé para el caso \( n=3 \)  y entonces si rápidamente encontré el error y me paré ahí. De todas formas el resto creo que está bien.
 
Citar
Citar
Si \( n \) es primo entonces se cumple \( (x^n-y^n) -(x-y)^{n}=nxy.B(x,y).(x-y) \)
Desconozco si es un resultado trivial y si se puede llegar a él de una forma mas sencilla. Me gustaría conocer si tú o alguien del foro tiene alguna referencia de este resultado.

La trivialidad del resultado es relativa.

1) Que \( (x^n-y^n)-(x-y)^n \) es múltiplo de \( n \) es consecuencia directa del pequeño teorema de Fermat. Trabajando módulo \( n \):

 \( (x^n-y^n)-(x-y)^n\equiv x-y-(x-y)\equiv 0 \)

 2) Que el polinomio \( xy(x-y) \) divide a \( (x^n-y^n)-(x-y)^n \) es inmediato sin más dividir el término de la derecha por \( x-y \) y observar que se cancelan los términos donde aparecen \( x^{n-1} \) e \( y^{n-1} \).

Entonces podría considerarse como un ejercicio de teoría de números.

En general de todas formas tu trabajo me parece bien fundamentado, con pruebas muy detalladas (algunas en exceso  ;)).

Por ejemplo, algunas simplificaciones:

- El Lema 2 es inmediato si tomas \( A_2=(x-y)^n \) y \( A_1=z \).

- El corolario 5.1 es inmediato teniendo en cuenta que la suma de los coeficientes de un polinomio \( f(x,y) \) se obtienen evaluando \( f(1,1). \)

Saludos.

P.D. También estuve echando un vistazo a tu WEB. ¡Muy buena!.

28 Marzo, 2011, 03:10 am
Respuesta #4

aureodd

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Hola,
después de modificar el Lema 6 y partiendo del resultado al que se llega,
\( (x^n-y^n) = [(x-y)+b]^n  \) con \( b=nKK_2 \)
y después de añadir algunos detalles importantes que aunque se estaban utilizando no se citaban, por ejemplo en el Lema 2 que \( A_2 < (x-y) \), se llega a que
\( (x-y).(y-b) \) divide a \( b^n \).
Si escribimos entonces que \( (x-y).(y-b).M=b^n \) y teniendo en cuenta que se puede utilizar que \( (x-y) \) e \( (y-b) \) no tienen factores comunes se llegará a que tanto si \( M \) tiene algún factor común con \( (x-y) \) o con \( (y-b) \) como si no lo tiene, el UTF no puede tener soluciones enteras.

Agradeceré enormemente como la vez anterior cualquier comentario u opinión que muestre algún hecho o error que haya pasado por alto y que invalide la prueba ...

El documento lo podeis leer y descargar de http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/
He incluido al final ejemplos que espero sirvan para hacer más fácil la lectura de la prueba.

Muchas gracias!
Saludos
Eduardo

28 Marzo, 2011, 01:51 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Antes de nada te recuerdo un comentario que te hice en tu intento anterior.

Citar
Por otra parte, fíjate que ni siquiera existe una demostración sencilla (si complicada, por supueso) para el caso \( n=3 \). Por tanto si uno cree tener una demostración simple para el caso general es bueno escribirla específicamente para el caso \( n=3 \). Si funciona ya es un gran avance; en otro caso es mucho más fácil encontrar el error.

 En tu caso para \( n=3 \), la mayor parte de tus lemas previos son trivialidades y los argumentos claves (y el error) se resumen apenas en una carilla.

 Sería bueno que rescribieses la demostración particularizada para \( n=3 \). Te quedaría mucho más corta y fácil de verificar (si está bien) o de encontrar el error (si está mal). Luego, se pude avanzar y estudiar el caso general.

 Algunos comentarios de menor a mayor importancia:

 1) Haces un uso del término corolario confuso: un coroloario es un resultado que se deduce casi directamente de algo que has probado antes. En tu caso llamas corolario a resultados auxiliares; este detalle (aunque nimio) dificulta un poco la compresión global del camino que sigues. Sería mejor que en vez de corolario pusisese lema o proposición.

 2) La nota 3 de la página 11, es discutible o al menos poco clara. Si \( (x-y) \) y \( A_2 \) son múltiplos de \( n \) es cierto que tu expresión del Lema 2 queda:

\(  z^n=\dfrac{(x-y)(x-y)^{n-1}A_1^n}{A_2^n}=\dfrac{(k_1)^nA_1^n}{k_2^n} \)

 pero eso no sustituye la expresión inicial, es decir, no podemos afirmar que:

 \( z^n=\dfrac{(x'-y')(x'-y')^{n-1}A_1^n}{A_2'^n} \)

 con \( x'-y',A_2' \) no múltiplos de \( n \).

 3) El enunciado del corolario 5.3 es inexacto. Lo que pruebas es que si el UFT es cierto para \( x-y\neq 1 \) entonces también lo es para \( x-y=1 \). El motivo (sin usar ninguno de tus resultados previos) simplemente es que si tenemos una tripleta \( a\geq b\geq c \) verificando el teorema de Fermat, es inmediato comprobar que no puede haber dos términos iguales y uno entonces siempre puedes escoger \( x=a, y=c \) con \( x-y\geq 2 \).

 4) Vamos con un error troncal.

 4.1)  Como indicación previa señalar que los resultados claves y fundamentales son los Coroloarios 7.1, 7.2 (correctos) y sobre todo el Lema 7.1 y el Lema 7.2. Desde mi punto de vista curiosamente apenas se apoyan en todo el resto del artículo. La igualdad (7) a partir de la cual prácticamente se hace todo lo demás es consecuencia directa del punto de partida:

 \( x^n-y^n=z^n \)

 y que por el pequeño teorema de Fermat \( z-(x-y) \) es múltiplo de \( n \).

 4.2) Error troncal en el Lema 7.2. Tienes que:

\(  (x-y)(y-nuv)M=n^nu^nv^n \)

 Como supones que los factores del término de la izquierda son primos entre si los igualas a los de la derecha. La cuestión es,

 ¿Qué te permite afirmar que siempre \( n^n \) va a ser igual a \( y-nuv \) ó a \( M \)?.

 Es decir lo general sería:

\(  (x-y)(y-pqr)M=p^nq^nr^n \)

 con \( p,q,r \) primos entre si,  \( n \) dividiendo a \( p \) y entonces asignar \( p,q,r \) a los tres factores de los términos de la izquierada. Pero insisto en que, sin más aclaración, nada te permite afirmar que uno de esos factores va a ser exactamente \( n^n \).

 4.3) El lema 7.1 no lo he verificado en detalle.

Saludos.

30 Marzo, 2011, 10:58 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 Concreto un poco más las lagunas y particularizo al caso \( n=3 \).

 Nota que es inmediato comprobar que:

\(  x^3-y^3-z^3=3(x-y)(x-z)(z+y)-(z+y-x)^3 \)

 Por tanto si partimos de que \( x^3-y^3=z^3 \) con \( (x,y,z) \) coprimos (supuesto (1)) entonces:

\(  (x-y)\underbrace{(x-z)}_{y-b}\underbrace{3(z+y)}_M={\underbrace{(z+y-x)}_b}^3 \)  (*)

 Con tu notación \( b=z+y-x,\quad M=3(z+y)=3(x+b),\quad x-z=y-b \).

 Entonces de ahí y siempre bajo el supuesto (1):

 - El corolario 7.1 es inmediato de (*): \( (x-y)(y-b) \) divide a \( b^3 \).

 - El corolario 7.2 es también inmediato: si \( (x-y),(y-b) \) tienen un factor común \( p \), trabajando módulo \( p \) se tiene que \( x\equiv y,y\equiv b \) y por (*) \( b\equiv  0 \) y entonces \( x=y=b=0 \), es decir, \( x,y \) son múltiplos de \( p \).

 Ahora empiezan los problemas.

 - La demostración del lema 7.1 no me queda clara.

 -- Por ejemplo la afirmación i) de la página 18 donde dices que \( M_{u_1}=1 \), no la veo suficientemente justificada. Sea como sea si es fácil ver que si \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \) ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \) tienen un dividor común distinto de \( 3 \), entonces \( x,y,z \) tienen divisiores comunes (pero suponemos que son coprimos, luego no puede ser). Basta hacer lo mismo que en la prueba que indiqué antes para el coroloario 7.2.

 -- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \) ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \).

   - La demostración del lema 7.2 tiene el error (troncal) que te indiqué en el post anterior.

 Tienes:

\(  (x-y)(x-z)3(z+y)=(z+y-x)^3 \)

 y tu presupones que si \( (z+y-x)^3=3^3u^3v^3 \), con \( u,v \) coprimos,  entonces necesariamente \( 3(z+y)=3^3 \) ó \( (x-z)=3^3 \): esto no tiene porqué ser cierto. No al menos sin alguna buena explicación.

Te rogaría encarecidamente que si crees que puedes arreglar esos problemas, "reparar" o clarificar las demostraciones en los pasos que indico, lo hicieses para \( n=3 \) (CASO N IGUAL A TRES). Fíjate que eso simplifica mucho, muchísimo, las cosas porque, por ejemplo, el \( M \) que utilzas en tus pruebas es simplemente \( M=3(z+y)=(x+b)=3((x-y)+(y+b)) \).

Saludos.

03 Abril, 2011, 07:35 pm
Respuesta #7

aureodd

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Hola, muchas gracias por tu revisión y comentarios:

Citar
2) La nota 3 de la página 11, es discutible o al menos poco clara. Si  y  son múltiplos de  es cierto que tu expresión del Lema 2 queda:

\(  z^n=\dfrac{(x-y)(x-y)^{n-1}A_1^n}{A_2^n}=\dfrac{(k_1)^nA_1^n}{k_2^n} \)
pero eso no sustituye la expresión inicial, es decir, no podemos afirmar que:

\( z^n=\dfrac{(x'-y')(x'-y')^{n-1}A_1^n}{A_2'^n} \)

con \( x'-y',A_2' \) no múltiplos de \( n \)
Estoy de acuerdo contigo, pero creo que podemos considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)
ya que en caso de que lo fuera \( (x-y)=a.n \),\( x=a.n+y \)  y partiendo de que \( (x,y,z) \) sean coprimos, podemos poner el término
general del UTF como \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
y para el caso particular de \( n=3 \) nos queda \( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2+y^3-y^3 \) luego \( 3 \)
divide a \( z^3 \) y a \( z \). Poniendo \( z=3.k \) nos queda \( z^3=(3.k)^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2 \)
y esto implica que \( y^2 \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \) y contradice que \( z \) sea coprimo con \( y \). ¿Es correcto?
Citar
La demostración del lema 7.1 no me queda clara.

 -- Por ejemplo la afirmación i) de la página 18 donde dices que , no la veo suficientemente justificada.
 -- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \)  ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \).
Al final de la página 17 se ve que \( M \) tiene que ser múltiplo de \( n \) y en \( M=n.M_{u_1} \) considero
3 casos según los divisores de \( M_{u_1} \):

En iii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( y \)

En ii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( x-z=y-b \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( (x-y) \)
Citar
- La demostración del lema 7.2 tiene el error (troncal) que te indiqué en el post anterior.
Sí, como dices hay que considerar \( (x-y).(y-n.p.q.r).M=n^n.p^{n}.q^n.r^n \). Como \( M \) es múltiplo de \( n \)
podemos poner
\(
(y-n.p.q.r)=p^n \)
\( M=n^n.q^{n}
 \)
\(
(x-y)=r^n
 \) y llegar a
\( (r^n+p^n+n.p.q.r)^n-(p^n+n.p.q.r)^n -(r^n+n.p.q.r)^n=0 \) y el Corolario 7.3 no se puede aplicar ya que
\( (r^n+p^n+n.p.q.r)^n-(p^n+n.p.q.r)^n -(r^n+n.p.q.r) \) puede ser mayor o menor que cero dependiendo del valor de \( q \) (...)
Sin embargo para el caso particular \( n=3 \) tenemos que \( M=3^3.q^{3}
 \) tiene que ser igual a
\( M=3((x-y)+(y+b))=3(x+b)
 \). Como \( x=r^3+p^3+b
 \), y \( b
 \) tiene a \( q
 \) como divisor, tenemos que encontrar
\( r \),\( p \) de modo que \( 3.(r^3+p^3) \) sea múltiplo de \( 3^3 \) y ¿Esto no es posible por la misma explicación
que he dado antes para considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)?
Ahora para \( n=5 \) tenemos que
\( M=5.(a^3+2.a^2.(y+b)+2.a.(y^2+yb+b^2)+(y^3+y^2.b+y.b^2+b^3))=5^5.q^5 \)
con \( a=(x-y)=r^5 \),\( y=p^5+b \)
Pero no tengo explicación para esto :(

Saludos

04 Abril, 2011, 10:35 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Citar
Estoy de acuerdo contigo, pero creo que podemos considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)
ya que en caso de que lo fuera \( (x-y)=a.n \),\( x=a.n+y \)  y partiendo de que \( (x,y,z) \) sean coprimos, podemos poner el término
general del UTF como \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
y para el caso particular de \( n=3 \) nos queda \( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2+y^3-y^3 \) luego \( 3 \)
divide a \( z^3 \) y a \( z \). Poniendo \( z=3.k \) nos queda \( z^3=(3.k)^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2 \)
y esto implica que \( y^2 \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \) y contradice que \( z \) sea coprimo con \( y \). ¿Es correcto?

Te has comido un término. Sería:

 \( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.\color{red}a\color{black}y^2+y^3-y^3 \)

de donde:

\( z^3=(3.k)^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.\color{red}a\color{black}y^2 \)

 y de ahí no se deduce necesariamente que \( y \) sea múltiplo de \( 3 \), sino que \( ay^2 \) es múltiplo de \( 3 \).

Citar
En iii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( y \)

En ii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( x-z=y-b \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( (x-y) \)


Pero lo que no veo claro no es que \( M_{u_1} \) no pueda ser múltiplo de \( 3 \). Sino que \( 3 \) no pueda ser divisor  común de \( M, (x-y) \) o de \( M,(x-z) \). Como de hecho \( 3 \) es divisor de \( M \), lo que no veo claro es como justificar que ni \( (x-y) \) ni \( (x-z) \) pueden ser múltiplos de tres.

Citar
¿Esto no es posible por la misma explicación
que he dado antes para considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)?

Es que como te he indicado arriba esa explicación es incorrecta (al menos incompleta).

Saludos.

07 Abril, 2011, 02:31 am
Respuesta #9

aureodd

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Hola,
Si suponemos que \( (x-y) \) es múltiplo de \( n \), \( (x-y)=a.n \Rightarrow x=an+y \) y partiendo
que \( (x,y,z) \) sean coprimos, el término general del UTF quedaría \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
que para el caso particular de \( n=3 \) se puede deducir
que \( z \) es múltiplo de \( 3 \)?
Citar

\( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.\color{red}a\color{black}y^2 \)
Si es así podemos poner \( z=3.k \) y sustituyendo en el resultado del lema 2
\(  z^3=(3k)^3=\dfrac{(x-y)^{3}A_1^3}{A_2^3}=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \Rightarrow (3k)^3=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \)
que es igual a \( k^3=\dfrac{a^3.A_1^3}{A'_2^3} \) equivalente al resultado del lema 2.
para algunos \( x' \) e \( y' \) con \( a=x'-y' \) y algún \( A'_2<(x'-y') \)
¿Podemos buscar soluciones del tipo \( k^n=x'^n-y'^n \) e imponer que \( (x'-y') \) no sea múltiplo de \( n \)?
Citar

Como de hecho \( 3 \) es divisor de \( M \), lo que no veo claro es como justificar que ni \( (x-y) \) ni \( (x-z) \)
pueden ser múltiplos de tres.
En efecto no se puede justificar que \( (x-y) \) ni \( (x-z)=(y-b) \) puedan ser múltiplos de tres, pero se llega siempre a una
contradicción independientemente de los divisores de \( M_{u_1} \), con \( M=3.M_{u_1} \)
Por ejemplo para el caso que\( (y-b) \) sea múltiplo de \( 3 \) escribimos \( (y-b)=3v \Rightarrow y=3v+b \) con \( v \) sin factores comunes con \( (x-y)=u \),
tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)]=3[u+3v+b+b]=3.M_{u_1} \) y ahora tenemos 3 opciones distintas dependiendo de los divisores de \( M_{u_1} \)
que llevan cada una a una contradicción:
i)\( M_{u_1}=1\Rightarrow M=3[u+3v+b+b]=3 \Rightarrow u+3v+b+b=1 \), que no es posible
ii)\( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (y-b)=u \), sea \( u_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (x-y)=v \).
Podemos poner \( M=3.\dot{u_1}=3[\dot{u_1}+3v] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( u_1 \)
iii) \( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (x-y)=v \), sea \( v_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (y-b)=u \).
Podemos poner \( M=3.\dot{v_1}=3[u+\dot{v_1}] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( v_1 \)

Para el caso que \( (x-y) \) sea múltiplo de \( 3 \) no lo he considerado en el documento ya que partía de la suposición que
\( (x-y) \) no es múltiplo de \( 3 \) y que he intentado justificar antes.
Saludos

07 Abril, 2011, 09:30 am
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Citar
Si suponemos que \( (x-y) \) es múltiplo de \( n \), \( (x-y)=a.n \Rightarrow x=an+y \) y partiendo
que \( (x,y,z) \) sean coprimos, el término general del UTF quedaría \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
que para el caso particular de \( n=3 \) se puede deducir
que \( z \) es múltiplo de \( 3 \)?

Correcto. Como tu mismo hiciste en tu trabajo, si suponemos que \( z^n=x^n-y^n \), entonces  \( z^n \) es múltiplo de \( x-y \). Por tanto cualquier divisor primo de \( x-y \) lo es de \( z \). En particular si \( x-y \) es múltiplo de \( 3 \), \( z \) también.

Citar
Si es así podemos poner \( z=3.k \) y sustituyendo en el resultado del lema 2
\(  z^3=(3k)^3=\dfrac{(x-y)^{3}A_1^3}{A_2^3}=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \Rightarrow (3k)^3=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \)
que es igual a \( k^3=\dfrac{a^3.A_1^3}{A'_2^3} \) equivalente al resultado del lema 2.
para algunos \( x' \) e \( y' \) con \( a=x'-y' \) y algún \( A'_2<(x'-y') \)
¿Podemos buscar soluciones del tipo \( k^n=x'^n-y'^n \) e imponer que \( (x'-y') \) no sea múltiplo de \( n \)?

Nada nos asegura, a priori, que existan númerox \( x',y' \) tales que \( a=x'-y' \) y al mismo tiempo \( k^n=x'^n-y'^n \). Eso nos impide (de momento) completar el argumento que nos permitiría afirmar que podemos suponer \( x-y \) no múltiplo de \( n \).

Citar
En efecto no se puede justificar que \( (x-y) \) ni \( (x-z)=(y-b) \) puedan ser múltiplos de tres, pero se llega siempre a una
contradicción independientemente de los divisores de \( M_{u_1} \), con \( M=3.M_{u_1} \)
Por ejemplo para el caso que\( (y-b) \) sea múltiplo de \( 3 \) escribimos \( (y-b)=3v \Rightarrow y=3v+b \) con \( v \) sin factores comunes con \( (x-y)=u \),
tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)]=3[u+3v+b+b]=3.M_{u_1} \) y ahora tenemos 3 opciones distintas dependiendo de los divisores de \( M_{u_1} \)
que llevan cada una a una contradicción:
i)\( M_{u_1}=1\Rightarrow M=3[u+3v+b+b]=3 \Rightarrow u+3v+b+b=1 \), que no es posible
ii)\( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (y-b)=u \), sea \( u_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (x-y)=v \).
Podemos poner \( M=3.\dot{u_1}=3[\dot{u_1}+3v] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( u_1 \)
iii) \( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (x-y)=v \), sea \( v_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (y-b)=u \).
Podemos poner \( M=3.\dot{v_1}=3[u+\dot{v_1}] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( v_1 \)

Es que si relees mis anteriores post, mi única crítica en este punto es que:

Citar
-- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \) ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \).

Que \( M_{u_1} \) no tenga divisores comues con \( x-y,x-z \) si me lo creo.

Citar
Para el caso que \( (x-y) \) sea múltiplo de \( 3 \) no lo he considerado en el documento ya que partía de la suposición que
\( (x-y) \) no es múltiplo de \( 3 \) y que he intentado justificar antes.

Pero... hemos visto que no está bien justificado. ¿De acuerdo en esto?.

Saludos.

08 Abril, 2011, 12:11 am
Respuesta #11

aureodd

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Hola,
Comentas que
Citar
Nada nos asegura, a priori, que existan números \( x',y' \) tales que \( a=x'-y' \) y al mismo tiempo \( k^n=x'^n-y'^n \)
Sí, tienes toda la razón...
Citar
Eso nos impide (de momento) completar el argumento que nos permitiría afirmar que podemos suponer \( x-y \) no múltiplo de \( n \).
Te puedo preguntar por que dices "de momento"? Crees que realmente hay alguna forma de poder afirmar que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \) con algún resultado previo al Lema 7.1?  De todos modos crees que será necesario en algún momento? Y más después de ver que has llegado al mismo resultado del lema 6 en
Citar
Concreto un poco más las lagunas y particularizo al caso \( n=3 \) .
 Nota que es inmediato comprobar que:
\(  x^3-y^3-z^3=3(x-y)(x-z)(z+y)-(z+y-x)^3 \)
y donde no te ha hecho falta que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \)?

Ahora para
Citar
-- Queda por probar que  \( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).
(considero ahora solamente el caso para \( M \) y \( (y-b) \))
lo que había comprobado para \( n=3 \) es que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)] \) donde
\( (x-y).(y-b).M=3^3.u^3.v^3 \), supuse por ejemplo \( b=3.u.v=3\cdot2\cdot5 \) y vi con los siguientes ejemplos que se podía generalizar y afirmar (lema 7.1) que si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tiene factores comunes entre ellos pero alguno de ellos sí tienen algún factor común con \( M \), entonces el UTF no tiene solución. En estos ejemplos que indico se ve en todos que
\( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y en todos se llega a igualdades que no son posibles, luego
Citar
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).
Ejemplos:
i)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3 \)
Aquí se ve que la parte izquierda de la igualdad es mayor que la derecha
ii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^2\cdot3^2\\
M=3\cdot5\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot3 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
ii) Otro ejemplo
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3\\
M=3^2\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3^2 \)
Aquí también se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
iii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\cdot2\\
(x-y)=2^2
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^2}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot2 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 2 \) excepto \( 3^2\cdot5^3 \), luego la igualdad no es posible.

No se en que momento, al pasar de estos ejemplos e intentar generalizar en el Lema 7.1, no queda claro que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \) se llega siempre a una contradicción, luego
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).
Gracias!!
Saludos

12 Abril, 2011, 12:24 pm
Respuesta #12

Luis Fuentes

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Hola

Citar
Te puedo preguntar por que dices "de momento"? Crees que realmente hay alguna forma de poder afirmar que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \) con algún resultado previo al Lema 7.1?  De todos modos crees que será necesario en algún momento? Y más después de ver que has llegado al mismo resultado del lema 6 en
Citar
Concreto un poco más las lagunas y particularizo al caso \( n=3 \) .
 Nota que es inmediato comprobar que:
\(  x^3-y^3-z^3=3(x-y)(x-z)(z+y)-(z+y-x)^3 \)
y donde no te ha hecho falta que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \)?


Es que ese resultado son puras cuentas; no influyen los divisores de tal o cual término.

Digo de momento porque es muy osado afirmar que algo "no se puede probar" (quizá simplemente no se te/me/nos/les ha ocurrido cómo). De hecho claro que es cierto que \( x-y \) no es múltiplo de \( n \), porque como el Teorema de Fermat es cierto sabemos que no pueden exisitir números en esas condiciones, ni con \( x-y \) múltiplo de \( n \) ni sin serlo.

Lo que no creo es que haya ninguna forma "sencilla" de probar el Teorema de Fermat. Ni tan siquiera para el caso \( n=3 \).

Citar
(considero ahora solamente el caso para \( M \) y \( (y-b) \))
lo que había comprobado para \( n=3 \) es que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)] \) donde
\( (x-y).(y-b).M=3^3.u^3.v^3 \), supuse por ejemplo \( b=3.u.v=3\cdot2\cdot5 \) y vi con los siguientes ejemplos que se podía generalizar y afirmar (lema 7.1) que si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tiene factores comunes entre ellos pero alguno de ellos sí tienen algún factor común con \( M \), entonces el UTF no tiene solución. En estos ejemplos que indico se ve en todos que
\( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y en todos se llega a igualdades que no son posibles, luego
Citar
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).
Ejemplos:
i)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3 \)
Aquí se ve que la parte izquierda de la igualdad es mayor que la derecha
ii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^2\cdot3^2\\
M=3\cdot5\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot3 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
ii) Otro ejemplo
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3\\
M=3^2\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3^2 \)
Aquí también se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
iii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\cdot2\\
(x-y)=2^2
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^2}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot2 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 2 \) excepto \( 3^2\cdot5^3 \), luego la igualdad no es posible

No se en que momento, al pasar de estos ejemplos e intentar generalizar en el Lema 7.1, no queda claro que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \) se llega siempre a una contradicción, luego
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).

Si crees que puedes demostrarlo no me pongas ejemplos (o ponlos, pero no me llegan): estos valen para clarificar ideas pero no prueba nada. Además los ejemplos son muy tamposos en el caso del Teorema de Fermat: como este es cierto, obviamente no podemos encontrar grupos de números que cumplan la relación de Fermat y las relaciones que se derivan de ellas. Es decir, no podemos encontrar contrajemplos a tus argumentos.

Insisto en que escribas la demostración para \( n=3 \) de que \( 3 \) no es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y veremos si es correcta. Debería de ser mucho más clara y sencilla que lo que has escrito en la página 18 (allí al hacerlo para el caso genral se complican las cuentas). Hasta ahora no lo has hecho. Lo que probaste es que lo que llamas \( M_{u_1} \) no tienen divisores comunes con \( (y-b) \): correcto. Pero no es eso lo que falta.

Saludos.

20 Julio, 2011, 03:17 pm
Respuesta #13

aureodd

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Hola,
creo haber encontrado y solucionado el error troncal que tenía en el Corolario 7.2,
y lo he incluido esta vez en un nuevo Lema 3, donde creo que se demuestra que
"\( (e+f-b)^n=e^n+f^n  \) no tiene solución para números enteros. "
y que luego se utilizará en el Corolario 1.4:
"Si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tienen factores comunes entre ellos y ninguno de ellos los tiene con \( M \), entonces el UTF no tiene solución."
He modificado y creado un nuevo documento, espero más sencillo, y mucho más reducido, donde comienza con 2 lemas,
uno de ellos, el Lema 2, utiliza un resultado del documento anterior:
"Si \( x \) e \( y \) son soluciones del UTF, entonces se cumple \( (x^n-y^n) = [(x-y)+nk]^n \) para algun \( k \)."
que se puede demostrar de una forma más fácil, como apuntaba el_manco en sus comentarios.
He hecho también una pequeña modificación en el enunciado del nuevo Corolario 1.1:
"Si \( (x^n-y^n) = [(x-y)+b]^n \Rightarrow n.(x-y).(y-b) \) divide a \(  b^n \)"
que hará que el Corolario 1.3:
"Si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tienen factores comunes entre ellos entonces tampoco pueden tenerlos con \( M \)."
sea mas sencillo de demostrar o al menos de una forma más clara, ya que esta vez he utilizado
\( M=a^{n-2}+c'_2.a^{n-3}.R_2(y,b)+\cdots+R_{n-1}(y,b) \)
Y por último, he incluido en el nuevo documento, el Corolario 1.2:
"Si\( (x-y) \) y \( (y-b) \) tiene factores comunes, entonces \( x \) e \( y \) también los tienen."

En este nuevo documento he quitado todos los ejemplos que había incluido en versiones anteriores creyendo que con las últimas modificaciones es muy sencillo de seguir y verificar donde pueden encontrarse los posibles errores que he podido pasar por alto. Por el mismo motivo tampoco he seguido el consejo o indicación de el_manco (te pido mil disculpas) de intentar escribir el documento para \( n=3 \), pero creo sinceramente que con tus comentarios y sugerencias han quedado las demostraciones de los nuevos Lemas y Corolarios muy fáciles de seguir.
El nuevo documento lo podeis leer y descargar de http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/

Agradeceré enormemente y como siempre, cualquier comentario u opinión...

Muchas gracias!
Saludos
Eduardo

21 Julio, 2011, 01:04 pm
Respuesta #14

Luis Fuentes

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Hola

 La demostración del Lema 3 está mal. Lo transcribo e indico el error:

Lema 3:

 \( (e+f-b)^n=e^n+f^n \)                               (8)

 no tiene solución para números naturales (tu pones enteros, pero te refieres a naturales).

 (se supone \( n \) impar)

 Demostración: Sea \( b\neq 0 \). Como:

\(  e^n+f^n=(e+f)(e^{n-1}-e^{n-2}f+\ldots -ef^{n-1}+f^n) \)
 
 lo sustituimos en (8):

\(  (e+f-b)^n=e^n+f^n=(e+f)(e^{n-1}-e^{n-2}f+\ldots -ef^{n-1}+f^n) \)

 pero \( \color{red}(e+f)\not | (e+f-b)\color{black} \) luego \( \color{red}(e+f)\not | (e+f-b)^n\color{black} \), entonces (8) no tiene solución para números enteros como se quería demostrar.


 Lo que está en rojo es lo que está mal. Es falso que:

\(  a\not |b\quad \Rightarrow{}\quad a\not |b^n \)

 Por ejemplo:
 
 \( 12\not |30 \) pero \( 12 |900=12\cdot 75 \)

Saludos.

P.D. En realidad el Lema 3 es precisamente el Teorema de Fermat, sin más que llamar \( e+f-b=g \). Si logras probarlo estarías demostrando que la ecuación:

\( g^n=e^n+f^n \)

no tienes soluciones enteras.

13 Octubre, 2011, 12:25 am
Respuesta #15

aureodd

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Hola,
teniendo en cuenta resultados a los que había llegado en las versiones anteriores del documento, he utilizado otra linea distinta de desarrollo, por lo que el documento final es completamente distinto, pero curisomente se llega a los mismos resultados que en el trabajo anterior. A partir de estos resultados y utilizando unos lemas nuevos, he creado 3 corolarios que me gustaría por favor pudierais revisar para encontrar cualquier posible error.
Creo que esta nueva linea aporta mas claridad al documento y espero que sea aún mas sencillo de seguir y verificar que con el desarrollo anterior, y vuelvo a pedir disculpas a el_manco por haber escrito el documento para el término general y no para \( n=3 \).
El nuevo documento lo podeis leer y descargar de http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/

Agradeceré enormemente y como siempre, cualquier comentario u opinión...

Saludos
Eduardo

13 Octubre, 2011, 06:47 pm
Respuesta #16

Luis Fuentes

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Hola

 Ando bastante apurado esta temporada y no tengo mucho tiempo para leer tu artículo en detalle. He mirado por encima "creyéndome" las cuentas y fijándome más bien en los argumentos.

 En es vistazo me chocó la demostración del Lema 3.4.1 (página 7).
 
 Llegas a que:

\(  R(y,z)\equiv n\cdot y^{n-1}\quad mod\quad n \) (1)

 Pero de ahí, no veo que se deduzca que \( R(y,z) \) no pueda ser, por ejemplo, múltiplo de \( n^2 \).

 En realidad la única información útil que da (1) es que \( R(y,z) \) es múltiplo de \( n \). Fíjate (1) se deduce que:

\(  R(y,z)=ny^{n-1}+kn=n(k+y^{n-1}) \)

 donde \( k+y^{n-1} \) puede ser cualquier número. Por tanto lo que tenemos es que \( R(y,z) \) es múltiplo de \( n \).

 ¿Cómo deduces que no puede ser múltiplo por ejemplo de \( n^2 \)?.

 Tu en tu artículo escribes después de (1):

\(  R(y,z)\equiv n\cdot y^{n-1}\quad mod\quad n^m \) (2)

 Pero (2) no se deduce de (1), así no sé muy bien a que viene esa expresión.

Saludos.

13 Octubre, 2011, 11:16 pm
Respuesta #17

aureodd

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Hola,
creo que el Lema 3.4.1 (y el Lema 4) son correctos, pero es cierto que la demostración es incompleta y no lo prueba.
Voy a intentar corregirlo y subo de nuevo el documento con las modificaciones.
Muchas gracias por tu atención y por tu tiempo.
Saludos

16 Octubre, 2011, 10:08 pm
Respuesta #18

aureodd

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Hola,
ya he modificado la demostración del Lema 3.4.1 y creo que esta vez si lo prueba; he añadido de todos modos al final del documento un apartado con la misma prueba del Lema 3.4.1 pero para \( n=3 \). He modificado también algunos enunciados con la intención de dejar más claro los pasos que se siguen en cada momento en el documento. Aunque el artículo se compone de tres corolarios, cada uno de ellos utiliza sus propios lemas, y las demostraciones, aunque siguen los mismos razonamientos, son totalmente independientes.
 
El nuevo documento está en http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/
Muchas gracias
Saludos.

18 Octubre, 2011, 10:24 am
Respuesta #19

Luis Fuentes

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Hola

 Creo que ahora la demostración del Lema 3.4.1 es correcta (aunque algún matiz en la redacción debiera de ser corregido). No estoy seguro de si queda claro de como está enunciado que si puede darse que \( E \) sea múltiplo de \( n \). También cuando escribes "Luego podemos poner...", esa afirmación sólo se sustenta depués de haber probado todo lo demás.

 Pero olvidemos por el momento ese Lema. He encontrado otro error que creo si es más troncal; es común a los tres corolarios que pretenden concluir la demostración del UFT.

 En la demostración del Corolario 1, página 7, tienes:

\(  a^nC^n=A(A^{n-1}(Ck)^n-2Cka^n-a^nA^{n-1}) \)

 y dices: "Cómo \( \color{red}C\not | A \) a entonces \( \color{red}a|A \) ...".

 Esto es falso; efectivamente se tiene que \( A \) y \( C \) son coprimos pero de ahí no se deduce necesariamente que \( a|A \), sino, al revés que \( A|a^n \). Por ejemplo:

\(  14^3\cdot 3^3=4\cdot (2\cdot 7^3\cdot 3^3) \)

 con \( a=14,\, C=3,\, A=4 \).

Saludos.