Autor Tema: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.

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24 Mayo, 2012, 12:14 am
Respuesta #60

aureodd

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Hola el_manco,
si teníamos
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \)
lo podemos escribir como
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{j-1}pqr-3^{2j-1}p^3 \) (1)
para \( j>1 \) y \( j\in \mathbb{N} \)
luego \( q^3+r^3\equiv0\pmod3 \Rightarrow q+r\equiv0\pmod3 \)
Entonces \( q^3+r^3=(q+r)(q^2-qr+r^2) \equiv0\pmod{3^k} \) únicamente si \( k=2 \)
y podemos poner
\( q^3+r^3=3^2t=2\cdot 3^{j-1}pqr-3^{2j-1}p^3 \) para algún \( t \)
Y esta igualdad no puede darse para \( j=2,4,5,... \)
Si es correcto, sólo quedaría probar que (1) no puede darse para \( j=3 \)?
Muchas gracias!!
Saludos
 

24 Mayo, 2012, 10:12 am
Respuesta #61

Luis Fuentes

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Hola

 Dos problemas:

 1) Aquí tienes una errata:

si teníamos
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \)
lo podemos escribir como
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{j-1}pqr-3^{2j-1}p^3 \) (1)
para \( j>1 \) y \( j\in \mathbb{N} \)

Si \( \dfrac{m+1}{3}=j-1 \) entonces \( m=\color{red}3\color{black}j+2 \)

2) Y aquí error repetido:

Citar
luego \( q^3+r^3\equiv0\pmod3 \Rightarrow q+r\equiv0\pmod3 \)
Entonces \( q^3+r^3=(q+r)(q^2-qr+r^2) \equiv0\pmod{3^k} \) únicamente si \( k=2 \)

O se me escapa algo, o lo que deduce es que \( q+r\equiv 0 \) mod \( 3^k \) con \( k\equiv 2 \) mod \( 3 \).

Saludos.

30 Mayo, 2012, 12:42 pm
Respuesta #62

aureodd

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Hola el_manco,
efectivamente hay una errata... pero volviendo a lo que teníamos:
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \Rightarrow  \)
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \) (I)
luego
\( q^3+r^3\equiv0\pmod{3^k} \) para algún \( k \)
y podemos escribir \( q^3+r^3 = 3^k.j \) para algún \( j \) no múltiplo de \( 3 \).
Nos queda (I) como
\( 3^k.j=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)

Si \(  k<\frac{m+1}{3}  \) entonces el lado izquierdo de la igualdad en (I) no es múltiplo  de 3 y el derecho si lo es. Luego esta situación no puede darse.
Si  \(  k>\frac{m+1}{3}  \) el lado izquierdo de la igualdad en (I) es múltiplo  de \( 3 \) y el derecho no lo es ya que \( p,q,r \) no son múltiplos de \( 3 \). Luego esta situación tampoco puede darse.

Buscamos entonces soluciones para \(  k=\frac{m+1}{3}  \).
Si 
\( q+r \equiv 0 \pmod 3 \)
y
\( q^3+r^3=(q+r)(q^2-qr+r^2) \)
\( (q^2-qr+r^2) \equiv 0 \pmod {3^s}  \) únicamente si \( s=1 \)
Luego
\( (q+r)=3^{k-1}t \) para algún \( t \)
Como también
[Corregido]
\( q^3+r^3=(q+r)^3-3qr \color{red}(q+r)\color{black}\Rightarrow q^3+r^3=(3^{k-1}t)^3-3qr(3^{k-1}t)  \)
Sustituyendo en (I)
\( (3^{k-1}t)^3-3qr(3^{k-1}t)=2\cdot 3^{k}pqr-3^{3k-1}p^3 \)
y dividiendo por \( 3^k \) nos queda
\( 3^{2k-3}t^3-qrt=2pqr-3^{2k-1}p^3 \Rightarrow  \) (II)
\( 3^{2k-3}t^3+3^{2k-1}p^3=2pqr+qrt=qr(2p+t)  \)
entonces \( 3^{2k-3}|(2p+t) \) luego
\( t=3^{2k-3}u-2p \) para algún \( u \)
Sutituyendo \( t \) en (II)
\( 3^{2k-3}(3^{2k-3}u-2p)^3-qr(3^{2k-3}u-2p)=2pqr-3^{2k-1}p^3 \)
y haciendo el desarrollo queda que todos los sumando son múltiplos de \( 3 \) excepto   
\( (2p)^3  \) ya que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \).
Sí es correcto esto contradice que para el caso \( n=3 \) el UTF es cierto?
Muchas gracias!!
Saludos

30 Mayo, 2012, 01:03 pm
Respuesta #63

Luis Fuentes

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Hola

Hola el_manco,
efectivamente hay una errata... pero volviendo a lo que teníamos:
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \Rightarrow  \)
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \) (I)
luego
\( q^3+r^3\equiv0\pmod{3^k} \) para algún \( k \)
y podemos escribir \( q^3+r^3 = 3^k.j \) para algún \( j \) no múltiplo de \( 3 \).
Nos queda (I) como
\( 3^k.j=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)

Si \(  k<\frac{m+1}{3}  \) entonces el lado izquierdo de la igualdad en (I) no es múltiplo  de 3 y el derecho si lo es. Luego esta situación no puede darse.
Si  \(  k>\frac{m+1}{3}  \) el lado izquierdo de la igualdad en (I) es múltiplo  de \( 3 \) y el derecho no lo es ya que \( p,q,r \) no son múltiplos de \( 3 \). Luego esta situación tampoco puede darse.

Buscamos entonces soluciones para \(  k=\frac{m+1}{3}  \).

Correcto. Todo eso se sintetiza si aquí:

\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \) (I)

dices que llamarás \( \frac{m+1}{3}=k \) y por tanto:

\( q^3+r^3=2\cdot 3^{k}pqr-3^{3k-1}p^3=3^k(2pqr-3^{2k-1}p^3) \)

Pero donde me pierdo es aquí:

Citar
Como también
\( q^3+r^3=(q+r)^3-\color{red}3pr(p+r)\color{black} \Rightarrow q^3+r^3=(3^{k-1}t)^3-3pr(3^{k-1}t)  \)

¿No sería:

\( q^3+r^3=(q+r)^3-\color{red}3qr(q+r)\color{black} \) ?

(es decir \( q \) en lugar de \( p \)).

Saludos.

P.D. La otra noche tras poner el chupete a mi hija, me vino la luz y dos años después comprendí (entre otras cosas) creo que completamente tu nick.  ;)

30 Mayo, 2012, 01:39 pm
Respuesta #64

aureodd

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Hola,
sí, ya lo he corregido, creo que no se me ha escapado nada y me parece que no afecta a la conclusión final...

PD. El nick? Ya lo utilicé en el cuento/acertijo matemático: C3PO, R2D2 y un reparto justo
http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/187/111/1/4/

Es curioso, como dices, como viene la luz de repente para cosas que ni siquiera se habían planteado de forma consciente...  :D
Esto me recuerda lo que le ocurrió a un lector de Pingüinos alrededor de un agujero (un clásico de la revista Cacumen)
 http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/93/111/1/0/
cuando leyó la siguiente nota:
"Los juegos de ingenio, son generalmente los más dificiles de resolver ya que no se podemos aplicar ningun conocimiento previamente adquirido, matematico, lógico, etc y nos tenemos que proveer de nuestra intuicion, memoria, suerte (?), ingenio...por eso, hay juegos que resolveremos en unos segundos, otros nos llevará meses  - como el de JASON"
y le "iluminó" la solución del de JASON ....

(*) El de JASON es otro clásico y dice: ¿Qué letra sigue a la serie J,A,S,O,N?

Disculpad la intromisión de este par de acertijos ;)


30 Mayo, 2012, 04:52 pm
Respuesta #65

Luis Fuentes

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Hola

 Debí de darme cuenta que la errata no influía en el desarrollo. Perdona.

 Ahora esto:

Citar
\( 3^{2k-3}(3^{2k-3}u-2p)^3-qr(3^{2k-3}u-2p)=2pqr-3^{2k-1}p^3 \)
y haciendo el desarrollo queda que todos los sumando son múltiplos de \( 3 \) excepto   
\( (2p)^3  \) ya que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \).

 no lo veo. Queda:

\(  3^{2k-3}(3^{2k-3}u-2p)^3-3^{2k-3}qru=-3^{2k-1}p^3 \)

 Dividiendo por \( 3^{2k-3} \):

\(  (3^{2k-3}u-2p)^3-qru=-9p^3 \)

 Entonces al desarrollar quedará que \( -(2p)^3-qru \) tiene que ser múltiplo de tres.

Saludos.

30 Mayo, 2012, 05:58 pm
Respuesta #66

aureodd

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Hola,
sí, es correcto tu apunte. No me dí cuenta que faltaba dividir \(  3^{2k-3}qru \)
por \( 3^{2k-3} \).
muchas gracias!
Saludos

13 Junio, 2012, 11:02 am
Respuesta #67

aureodd

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Hola,
si teníamos
\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
Además
\(  z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-q^3 \)
Sustituyendo en los valores de \( x,y,z \) anteriores en el término general del UTF
\( x^3=y^3+z^3 \)
nos queda
\( (3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3)^3=(3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3)^3+(3^{\frac{m+1}{3}}pqr-p^3)^3 \) (I)

Por otro lado teníamos
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \Rightarrow  q^3+3^mp^3+r^3 =2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Luego
\( \frac{ q^3+3^mp^3+r^3}{2}=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Sustituyendo en (I) y multiplicando todo por \( 2^3 \)
\( (q^3+r^3-3^mp^3)^3=(q^3-r^3+3^mp^3)^3+(-q^3+r^3+3^mp^3)^3 \)
Tenemos entonces que si el UTF tiene solución para \( x^3=y^3+z^3 \)
también lo tiene para \( X^3=Y^3+Z^3 \)
con \( (\underbrace{q^3+r^3-3^mp^3}_X)^3=(\underbrace{q^3-r^3+3^mp^3}_Y)^3+(\underbrace{-q^3+r^3+3^mp^3}_Z)^3 \)
luego \( Y+Z=2\cdot3^mp^3 \) es múltiplo de \( 3 \) (II)
pero en un resultado previo vimos que si \( Y,Z \) son soluciones del UTF e \( Y+Z \) son múltiplos de \( 3 \)
entonces \( Y+Z \) tiene que ser de la forma \( 3^jP^3 \) con \( j\equiv 2 \pmod 3 \) (III)
nos queda entonces de (II) y (III)
 \( Y+Z=2\cdot3^mp^3=3^jP^3 \)
¿Esta igualdad puede darse? Creo que no ya que en el caso de que \( p \) fuera múltiplo de \( 2 \) tendríamos que \( Y+Z \), por un lado es múltiplo de \( 2^{3k+1} \) para algún \( k \) y por el otro, en el caso de que \( P \) fuera múltiplo de \( 3 \), que   \( Y+Z \) es multiplo de \( 2^{3t} \) para algún \( t \). Es decir, \( Y+Z \) no puede ser a la vez multiplo de \( 2^{3k+1} \) y \( 2^{3t} \). Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

14 Junio, 2012, 11:10 am
Respuesta #68

Luis Fuentes

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Hola

Hola,
si teníamos
\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
Además
\(  z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-q^3 \)
Sustituyendo en los valores de \( x,y,z \) anteriores en el término general del UTF
\( x^3=y^3+z^3 \)

En realidad con mi notación: \( x^3+y^3+z^3=0 \). Pero esto es secundario.

Citar
pero en un resultado previo vimos que si \( Y,Z \) son soluciones del UTF e \( Y+Z \) son múltiplos de \( 3 \)
entonces \( Y+Z \) tiene que ser de la forma \( 3^jP^3 \) con \( j\equiv 2 \pmod 3 \) (III)

Pero esos resultados se obtuivieron bajo el supuesto de \( X,Y,Z \) coprimos. En este caso \( X,Y,Z \) son múltiplos de dos.

Saludos.

12 Julio, 2012, 12:04 pm
Respuesta #69

aureodd

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Hola el_manco,
Pero esos resultados se obtuvieron bajo el supuesto de \( X,Y,Z \) coprimos. En este caso \( X,Y,Z \) son múltiplos de dos.
totalmente de acuerdo, muchas gracias por el apunte.
Siguiendo mi notación para intentar no perderme con los signos, teníamos
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)(1)
De aquí se puede deducir:
I) \( q-r<3^mp \)
Prueba:
Si ponemos \( q-r \geq 3^mp \)
se puede comprobar que la igualdad en (1) no puede darse (lado izquierdo de la igualdad mayor que el lado derecho), luego \( q-r<3^mp \)
II) \( q-r \equiv 0 \pmod 3 \)
Prueba:
Utilizando el PTF en (1)

Ahora quiero ver si \( q-r \equiv 0 \pmod p \)
De I) y II)
\( q-r =3^mp -3u  \) para algún \( u \) (2)
Como \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \), sustituimos en (1)
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
y utilizando (2) nos queda
\( (3^mp-3u)^3+3qr(3^mp-3u)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
donde todos los términos son múltiplos de \( p \) excepto
\( -(3u)^3-3^2uqr=-3^2u(3u^2+qr) \)
Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\(  p|u \)?
Si es correcto, entonces podemos poner \( u=sp \) para algún \( s \)
y (2) nos queda
 \( q-r =3^mp -3sp \) ?

Muchas gracias!
Saludos

13 Julio, 2012, 12:29 pm
Respuesta #70

Luis Fuentes

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Hola

Siguiendo mi notación para intentar no perderme con los signos, teníamos
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)(1)
De aquí se puede deducir:
I) \( q-r<3^mp \)
Prueba:
Si ponemos \( q-r \geq 3^mp \)
se puede comprobar que la igualdad en (1) no puede darse (lado izquierdo de la igualdad mayor que el lado derecho), luego \( q-r<3^mp \)

No lo he comprobado  :D. Pero me lo creo. Digamos que de momento no me interesan demasiado las desigualdades, ya que salvo que cambies radicalmente los argumentos en que vas a basarte después son esencialmente relativos a la divisibilidad. Y esto no depende del signo.

Citar
II) \( q-r \equiv 0 \pmod 3 \)
Prueba:
Utilizando el PTF en (1)

Correcto.

Citar
Ahora quiero ver si \( q-r \equiv 0 \pmod p \)
De I) y II)
\( q-r =3^mp -3u  \) para algún \( u \) (2)
Como \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \), sustituimos en (1)
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
y utilizando (2) nos queda
\( (3^mp-3u)^3+3qr(3^mp-3u)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
donde todos los términos son múltiplos de \( p \) excepto
\( -(3u)^3-3^2uqr=-3^2u(3u^2+qr) \)

Correcto.

Citar
Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\(  p|u \)?


¡No!. Puede ocurrir que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Y en ese caso \( u \) no lo sería.

Saludos.

13 Julio, 2012, 12:49 pm
Respuesta #71

aureodd

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Hola el_manco,

Citar
Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\(  p|u \)?


¡No!. Puede ocurrir que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Y en ese caso \( u \) no lo sería.

totalmente de acuerdo. De hecho creo que si las cuentas son correctas, si \(  p|u \) se llega a una contradicción, luego necesariamente se tiene que dar que \( (3u^2+qr) \) sea divisible por \( p \). Lo revisaré...
Muchas gracias!
Saludos

17 Julio, 2012, 01:10 pm
Respuesta #72

aureodd

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Hola el_manco,
parto de la ecuación a la que habíamos llegado en un post anterior (#69):
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
la voy a escribir (para clarificar la notación) utilizando \(  m=2 \)
Considero 2 casos:
I) \( (q-r)^3-3^{5}p^3 >0 \)
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{5}p^3=2\cdot3^2pqr \)
\( (q-r)^3-3^{5}p^3=2\cdot3^2pqr-3qr(q-r)=3qr(2\cdot3p-(q-r)) \)
\( (q-r)^3-3^{5}p^3=3qr(2\cdot3p-(q-r)) \) (1)
Como \( q-r\equiv 0 \pmod 3 \) implica que el lado izquierdo de la ecuación anterior tienen que ser múltiplo de \( 3^3 \)
luego podemos poner
\( (q-r)^3-3^{5}p^3=3qr\cdot3^2k \) para algún \( k>0 \)
y
\( 2\cdot3p-3^2k=q-r \)
Entonces
\( (2\cdot3p-3^2k)^3-3^{5}p^3=3qr\cdot3^2k \)
\( (2p-3k)^3-3^{2}p^3=qrk \)
pero \( (2p-3k)^3<3^{2}p^3 \)
luego el lado izquierdo de la igualdad es negativo, por lo tanto este caso no puede darse.
II) \( 3^{5}p^3 - (q-r)^3>0 \)
escribimos (1) como
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr((q-r)-2\cdot3p) \)
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr\cdot3^2k \) para algún \( k>0 \)
y
\( 2\cdot3p+3^2k=q-r \)
Entonces
\( 3^{5}p^3-(2\cdot3p+3^2k)^3=3qr\cdot3^2k \)
\( 3^{2}p^3-(2p+3k)^3=qrk \)
¿De aquí se puede deducir que \( k|p^3 \) ?
El resto es todo correcto?
Muchas gracias!
Saludos

17 Julio, 2012, 10:52 pm
Respuesta #73

Luis Fuentes

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Hola

\( 3^{2}p^3-(2p+3k)^3=qrk \)
¿De aquí se puede deducir que \( k|p^3 \) ?

Si. Si hacemos cuentas queda:

\( p^3=qrk+36p^2k+54pk^2+27k^3=k(qr+36p^2+54pk+72k^2) \)

Citar
El resto es todo correcto?

Si, creo que si. Aunque nota que en todo esto es indiferente el signo de \( k \). Es decir, una vez más no veo demasiado interesante pararse a analizar las desigualdades.

Saludos.

18 Julio, 2012, 10:33 am
Respuesta #74

aureodd

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Hola el_manco,
analizando las desigualdades quería ver para que rango de valores se tiene que dar la igualdad inicial. Creo como dices que más allá de esto no tiene demasiada relevancia.
Entonces si \(  k|p^3  \) se puede deducir en
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr\cdot3^2k \)
que \(  k|(q-r)^3  \) ?

Muchas gracias!
Saludos


18 Julio, 2012, 11:07 am
Respuesta #75

Luis Fuentes

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Hola

Entonces si \(  k|p^3  \) se puede deducir en
\( 3^{5}p^3-(q-r)^3=3qr\cdot3^2k \)
que \(  k|(q-r)^3  \) ?

Si, claro.

Saludos.

25 Julio, 2012, 01:08 pm
Respuesta #76

aureodd

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Hola el_manco,
volviendo a la ecuación
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)
donde \( p,q \) y \( r \) son coprimos, no múltiplos de \( 3 \).
Todos los términos son múltiplos de \( 3^m \) excepto \( q^3-r^3 \). Si consideramos que \( m\geq{3} \)
para que \( q^3-r^3 \) sea múltiplo de \( 3^m \), \( q \) tiene que se múltiplo de \( 3 \) (también \( r \) es múltiplo de \( 3 \)), y hemos supuesto que \( q \) no lo es. Es correcto?
Muchas gracias!!

Saludos



 

26 Julio, 2012, 09:09 am
Respuesta #77

Luis Fuentes

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Hola

volviendo a la ecuación
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)
donde \( p,q \) y \( r \) son coprimos, no múltiplos de \( 3 \).
Todos los términos son múltiplos de \( 3^m \) excepto \( q^3-r^3 \). Si consideramos que \( m\geq{3} \)
para que \( q^3-r^3 \) sea múltiplo de \( 3^m \), \( q \) tiene que se múltiplo de \( 3 \) (también \( r \) es múltiplo de \( 3 \)), y hemos supuesto que \( q \) no lo es. Es correcto?

No entiendo de todo la pregunta. Si \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( 3^m \) con \( m\geq 3 \).

- Sin más hipótesis no veo que pueda deducirse de ahí ni que \( q \) ni que \( r \) sean múltiplos de tres.
- Lo que si es cierto es que si uno de los dos es múltiplo de tres (\( q \) o \( r \)) el otro también lo es. Pero nuestras hipótesis entiendo que son que ninguno de los dos son múltiplos de tres.

Por tanto no veo que de esto se saque nada en limpio.

Saludos.

11 Septiembre, 2012, 11:44 am
Respuesta #78

aureodd

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Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?
Podemos poner entonces
\( q^3-r^3=(3^{m-1}k+r)^3-r^3 \Rightarrow q^3-r^3 =(3^{m-1}k)^3+3qr\cdot3^{m-1}k= \)
\( =(3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k \)
que al sustituir en (1)
\( (3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow \)
\( 3^mqr(k-2p)=3^{3m-1}p^3-(3^{m-1}k)^3=3^{3m-1}p^3-3^{3m-3}k^3\Rightrrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}k^3=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3)\Rightarrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)
Ahora para que la igualdad anterior se cumpla, \( k-2p>0 \)
Si llamamos \(  k-2p=u \Rightarrow k=2p+u \)
sustituimos en (2)
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
Ahora para que el miembro derecho de la igualdad sea múltiplo de \( u \)
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) tiene que ser múltiplo de \( u \)?
Muchas gracias!
Saludos


11 Septiembre, 2012, 04:38 pm
Respuesta #79

Luis Fuentes

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Hola

Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?

Correcto.

Spoiler
Tenemos:

\( q^3-r^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^m pqr=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)

Si \( 3^m \) divide a \( q^3-r^3 \), divide a \( (q-r)(q^2+qr+r^2) \). Dado que

\( (q-r)^2=(q^2+qr+r^2)-3qr \)

y \( q,r \) son coprimos con \( 3 \), se deduce que necesariamente la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( q^2+qr+r^2 \) es \( 3^1 \) y así \( 3^{m-1} \) divide a \( q-r \).
[cerrar]

Citar
Podemos poner entonces
\( q^3-r^3=(3^{m-1}k+r)^3-r^3 \Rightarrow q^3-r^3 =(3^{m-1}k)^3+3qr\cdot3^{m-1}k= \)
\( =(3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k \)
que al sustituir en (1)
\( (3^{m-1}k)^3+qr\cdot3^{m}k-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow \)
\( 3^mqr(k-2p)=3^{3m-1}p^3-(3^{m-1}k)^3=3^{3m-1}p^3-3^{3m-3}k^3\Rightrrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}k^3=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3)\Rightarrow \)
\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)

Correcto. Son cuentas y si no me he equivocado al revisarlas están bien hechas.

Citar
Ahora para que la igualdad anterior se cumpla, \( k-2p>0 \)

No veo porqué. ¿No podrían ser los dos términos negativos?. Sea como sea, en principio es intrascendente para lo que sigues haciendo. Solo te preocupas de la divisibilidad por \( u \) y eso es independiente del signo que tome.

Citar
Si llamamos \(  k-2p=u \Rightarrow k=2p+u \)
sustituimos en (2)
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
Ahora para que el miembro derecho de la igualdad sea múltiplo de \( u \)
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) tiene que ser múltiplo de \( u \)?

Correcto. Ya que tendríamos:

\( qru=3^{2m-1}p^3-3^{2m-3}(2p)^3-u(3^{2m-2}\cdot (2p)^2+3^{2m-2}\ccdot (2p)\cdot u+3^{2m-3}u^2) \)

Saludos.