Hola,
Supongamos que \( a^3+b^3+c^3=0 \) , para \( a,b,c \) enteros y coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( abc \) ; puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , tendremos que \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Lo que no puede ser.
Luego \( 3 \) debe dividir á \( abc \) . Y no perdemos generalidad si suponemos que \( 3^k \) , para \( k\in{\mathbb{N}} \) , divide á \( c \) .
Entonces:
\( -b^3=a^3+c^3 \) \( \Rightarrow \) \( -1=\left(\dfrac{a}{b}\right)^3+\left(\dfrac{c}{b}\right)^3 \) \( \Rightarrow \) \( -1-\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\left(\dfrac{c}{b}\right)^3 \) -y- \( 1+\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=-\left(\dfrac{c}{b}\right)^3 \) .
Como en el anillo \( \mathbb{Z}(\omega=(-1+\sqrt{-3})/2) \) de los enteros de Eisenstein: \( 1=\omega^3 \) ; tendremos:
\( \omega^3+\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=-\left(\dfrac{c}{b}\right)^3 \) .
Y :
\( \left(\omega+\dfrac{a}{b}\right)\left(\omega^2-\omega\dfrac{a}{b}+\dfrac{a^2}{b^2}\right)=-\left(\dfrac{c}{b}\right)^3 \) \( \Rightarrow \)
\( \left(\dfrac{a}{b}+\omega\right)\left(-1+\dfrac{a^2}{b^2}-\omega\dfrac{a}{b}-\omega\right)=-\left(\dfrac{c}{b}\right)^3 \) \( \Rightarrow \)
\( \left(\dfrac{a}{b}+\omega\right)\left(\dfrac{a^2-b^2}{b^2}-\dfrac{a+b}{b}\omega\right)=-\left(\dfrac{c}{b}\right)^3 \) .
Como: \( -c^3=a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) . Y : \( a+b \) -y- \( (a+b)^2-3ab \) son coprimos y terceras potencias salvo por \( 3 \) ; puesto que \( 3^k \) , que divide á \( c \) , debe dividir á \( a+b \) . Entonces \( 3^{3k-1} \) dividirá á \( a+b \) -y- sólo \( 3 \) á \( (a+b)^2-3ab \) .
De esta manera, si pasamos la última ecuación a módulo \( 3^{3k} \) , será que:
\( \left(\dfrac{a}{b}+\omega\right)\left(\dfrac{a^2-b^2}{b^2}-3^{3k-1}\omega\right)\equiv 0 \) mod \( 3^{3k} \) .
- ó - :
\( \left(\dfrac{a}{b}+\omega\right)\left(\dfrac{a^2-b^2}{b^2}-2\cdot 3^{3k-1}\omega\right)\equiv 0 \) mod \( 3^{3k} \) .
Si analizamos con detenimiento estas ecuaciones, llegamos a la conclusión que únicamente tendrían solución si quedaran como:
\( (-1+\omega)3^{3k-1}(1-\omega)\equiv 0 \) mod \( 3^{3k} \) -ó- \( (-1+\omega)2\cdot 3^{3k-1}(1-\omega)\equiv 0 \) mod \( 3^{3k} \) .
Es decir, si \( \dfrac{a^2-b^2}{b^2} \) es congruente con \( 3^{3k-1} \) módulo \( 3^{3k} \) -ó- con \( 2\cdot 3^{3k-1} \) módulo \( 3^{3k} \) . Pero esto no puede suceder, porque si \( \dfrac{a}{b}\equiv -1 \) mod \( 3^{3k} \) ; entonces \( \dfrac{a^2-b^2}{b^2}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-1\equiv 1-1=0 \) mod \( 3^{3k} \) . Y en este último caso: \( (-1+\omega)(0-3^{3k-1}\omega)\not\equiv 0 \) mod \( 3^{3k} \) .
La generalización de este razonamiento a otros casos es sencilla. La podemos ver sucintamente en el caso del UTF5:
Si \( a^5+b^5+c^5=0 \) , para \( a,b,c \) enteros, coprimos entre sí -y- \( 5^k \) divide á \( c \) .
Entonces:
\( -b^5=a^5+c^5 \) \( \Rightarrow \) \( -1=\left(\dfrac{a}{b}\right)^5+\left(\dfrac{c}{b}\right)^5 \) \( \Rightarrow \) \( -1-\left(\dfrac{a}{b}\right)^5=\left(\dfrac{c}{b}\right)^5 \) -y- \( 1+\left(\dfrac{a}{b}\right)^5=-\left(\dfrac{c}{b}\right)^1 \) .
Como en el anillo \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) , para \( \zeta_5 \) la raíz primitiva quinta de la unidad: \( 1=\zeta^5 \) ; tendremos:
\( \zeta^5+\left(\dfrac{a}{b}\right)^5=-\left(\dfrac{c}{b}\right)^5 \) .
Y :
\( \left(\zeta+\dfrac{a}{b}\right)\left(\zeta^4-\dfrac{a}{b}\zeta^3+\dfrac{a^2}{b^2}\zeta^2-\dfrac{a^3}{b^3}\zeta+\dfrac{a^4}{b^4}\right)=-\left(\dfrac{c}{b}\right)^5 \) \( \Rightarrow \)
\( \left(\dfrac{a}{b}+\zeta\right)\left(\dfrac{a^4}{b^4}-1-\left(\dfrac{a}{b}+1\right)\zeta^3+\left(\dfrac{a^2}{b^2}-1\right)\zeta^2-\left(\dfrac{a^3}{b^3}+1\right)\zeta\right)=-\left(\dfrac{c}{b}\right)^5 \) \( \Rightarrow \)
\( \left(\dfrac{a}{b}+\zeta\right)\left(\dfrac{a^4-b^4}{b^4}-\left(\dfrac{a+b}{b}\right)\zeta^3+\left(\dfrac{a^2-b^2}{b^2}\right)\zeta^2-\left(\dfrac{a^3+b^3}{b^3}\right)\zeta\right)=-\left(\dfrac{c}{b}\right)^5 \) \( \Rightarrow \)
Como: \( -c^5=a^5+b^5=(a+b)((a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab)) \) . Donde: \( a+b \) -y- \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab) \) son coprimos y quintas potencias salvo por \( 5 \) ; puesto que \( 5^k \) , que divide á \( c \) , debe dividir á \( a+b \) . Entonces \( 5^{5k-1} \) dividirá á \( a+b \) -y- sólo \( 5 \) á \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab) \) .
De esta manera, si pasamos la última ecuación a módulo \( 5^{5k} \) , será que:
\( \left(\dfrac{a}{b}+\zeta\right)\left(\dfrac{a^4-b^4}{b^4}-r_1\cdot 5^{5k-1}\zeta^3+\left(\dfrac{a^2-b^2}{b^2}\right)\zeta^2-r_2\cdot 5^{5k-1}\zeta\right)\equiv 0 \) mod \( 5^{5k} \)
, para \( r_1,r_2\in\{1,2,3,4\} \) .
Y si suponemos que \( a^2\equiv b^2 \) mod \( 5^{5k} \) . Entonces:
\( \left(\dfrac{a}{b}+\zeta\right)\left(0-r_1\cdot 5^{5k-1}\zeta^3+\left(0\right)\zeta^2-r_2\cdot 5^{5k-1}\zeta\right)\equiv 0 \) mod \( 5^{5k} \) \( \Rightarrow \)
\( \left(\dfrac{a}{b}+\zeta\right)\left(-r_1\zeta^2-r_2 \right)5^{5k-1}\zeta\equiv 0 \) mod \( 5^{5k} \) .
Pero ni: \( \dfrac{a}{b}+\zeta\equiv 0 \) mod \( 5^{5k} \) , ni: \( -r_1\zeta^2-r_2 \equiv 0 \) mod \( 5^{5k} \) . Y si \( \dfrac{a}{b}+\zeta\equiv -1+\zeta \) mod \( 5^{5k} \) , no puede darse que \( -r_1\zeta^2-r_2 \) -ó- \( -r_1\zeta^3-r_2\zeta \) fuera también equivalente á \( (\zeta^3-\zeta-1)(1-\zeta)^3=4+3\zeta+2\zeta^2+\zeta^3 \) ; -debido a que en este anillo \( 5=(\zeta^3-\zeta-1)(1-\zeta)^4 \) - ; -y- esto es lo único que haría que la ecuación fuera cierta.
Un saludo,