[aureodd]

Hola,
muchas gracias por tus comentarios. Siempre caigo en el mismo error disfrazado de distintas formas 
De todos modos, no se si lo siguiente puede evitarlo:
Si \( A \mid a^n \) , \( Aq=a^n \) para algún \( q \). Sustituyendo en
\( a^n.C^n=A(A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1}) \)
\( Aq.C^n=A(A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1}) \)
\( q.C^n=A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1} \)
Esta igualdad módulo \( C \) queda
\( 0 \equiv -a^n.A^{n-1} \pmod C \)
y como \( A \),\( C \) son coprimos, entonces \( C \mid a^n=A.q \), como \( A \neq 1 \) entonces \( A \) y \( C \) tienen que tener factores comunes y contradice que \( A \)\( ,C \) sean coprimos?

Voy a modificar el enunciado del Lema 3.4.1.
Gracias 1/0 !!!

[Luis Fuentes]

Hola

 Que \( C \) divida a \( A\cdot q \) no quiere decir que \( C \) y \( A \) tengan factores comunes:

 \( 5|4\cdot 15 \) \( (C=5,\quad A=4,\quad q=15). \)

Saludos.

[aureodd]

Hola,
después de ver tu comentario me he dado cuenta que , aunque estaba bien escrito, estaba leyendo en todo momento \(  C =A.q \) 
He estado viendo para el Corolario 1, que si \( A \mid a^n \) podemos poner \( A.q=a^n \) que sustituimos en
\( a^n.C^n=(A.C.k)^n-2.A.C.k.a^n-a^n.A^n \)
y dividimos por \( A \):
\( q.C^n=A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1} \Rightarrow \)
\( 2.C.k.a^n+a^n.A^{n-1}=A^{n-1}.(C.k)^n-q.C^n \Rightarrow \)
\( a^n(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q) \)    (*)
Tenemos tres opciones:

1) \( q \) tiene divisor común con \( A \) y no con \( C \), y recordamos \( A \) y \( C \) coprimos.
En (*)  trabajamos módulo \( C \),
\( a^n.A^{n-1}=q.A^n \equiv 0 \pmod C \)
que no puede darse ya que \( q \) y \( A \) no tienen factor común con \( C \).
Nota: Si \( q \) no tiene factor común ni con \( A \) ni con \( C \) podemos utilizar este mismo argumento.

2) \( q \) tiene factor común con \( C \) y no con \( A \).
En (*) trabajamos módulo \( A \)
\( A.q(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q) \Rightarrow \)
\( 0\equiv -C^n.q \pmod A \)
que no puede darse ya que \( q \) y \( C \) no tienen factor común con \( A \).

3) \( q \) tiene factores comunes distintos con \( A \) y \( C \), (no común entre ellos ya que \( A \) y \( C \) son coprimos).
Sea \( u \) el factor común de \( A \) y \( q \), y \( a^n=(s.u.t)^n = A.q = s^n.u^{n-m}.t^n.u^m \)
con \( A= s^n.u^{n-m} \), \( q=t^n.u^m \), \( n > m\geq 1 \)
y \( t \) factor común de \( q \) y \( C=t.w \)
En (*)
\( a^n(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q)\Rightarrow  \)
\( A.q(2.C.k+A^{n-1})=C^n.A^{n-1}.k^n-q.C^n  \)    (**)
como \( q =t^n.u^m \mid C^n.A^{n-1}=(t.w)^n.(s^n.u^{n-m})^{n-1}=q.w^n.s^{n.(n-1)}.u^{(n-m).(n-1)-m} \)
si llamamos \( Q=w^n.s^{n.(n-1)}.u^{n^2-m.n-n} \)
escribimos entonces
\( C^n.A^{n-1}=q.Q \)
y sustituimos en (**)
\( A.q(2.C.k+A^{n-1})=q.Q-q.C^n \)
dividimos por \( q \)
\( A(2.C.k+A^{n-1})=Q-C^n \)
y trabajando módulo \( u \) donde \( u \mid A \) y \( u \mid Q \) nos queda
\( 0\equiv -C^n \pmod u \)
que no puede darse ya que \( u \) no es un factor de \( C \).

¿Esto terminaría de probar el Corolario 1?
Muchas gracias!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 El caso (3) está escrito de manera confusa. No está claro a que estás llamando "el factor común" \( u \)" de \( A \) y \( q \). Si suponemos que \( u=m.c.d(A,q) \) (que parecería en un principio la interpretación más lógica) no es cierto que, si \( a^n=Aq \) entonces \( u \) tenga que ser factor de \( a \) y tampoco \( A,q \) se escribirían como dices.

 Parece que te refieres a otra cosa pero no se a que. Por ejemplo, si \( a=6^5,\quad A=2^2\cdot 3^3, q=2^3\cdot 3^2 \). ¿Qué sería \( u \)?.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
lo que quiero ver para \( n=5 \) es:
\( a^5=3^5\cdot2^5= 2^3\cdot3^5\cdot2^2 \)
con \( A=2^3 \) y \( q=3^5\cdot2^2 \). Y con \( C=3 \).
Tenemos que \( u=2 \) y \( t=3 \) son divisores de \( A \) y \( C \) respectivamente y \( u=2 \) y \( t=3 \) son divisores también de \( q \).
Ahora sustituyendo en
\( a^n(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q) \)
nos queda
\( (3\cdot2)^5(2\cdot3.k+(2^3)^{4})=3^5\cdot((2^3)^4.k^4-3^5\cdot2^2) \)
diviendo por \( q=3^5\cdot2^2 \) nos queda
\( 2^3(2\cdot3.k+(2^3)^4)=((2^{3\cdot4-2}.k^5-3^5) \)
si vemos estas igualdades módulo \( u=2 \) nos queda
\( 0 \equiv -3^5 \pmod 2 \)
que no es cierto.
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

lo que quiero ver para \( n=5 \) es:
\( a^5=3^5\cdot2^5= 2^3\cdot3^5\cdot2^2 \)
con \( A=2^3 \) y \( q=3^5\cdot2^2 \).

¡Pero has cambiado mi ejemplo! Yo he tomado \( A=2^3\cdot 3^2 \) y \( q=3^3\cdot 2^2 \) y quiero que sea ahí dónde me aclares a que llamas \( u \). Insisto en que tal como lo has escrito no se entiende que denotas por \( u. \)

Saludos.

[aureodd]

Hola,
lo que quiero decir en (3) (ya lo he modificado más arriba en la respuesta #22) es que el caso donde \( q \) tiene factores comunes distintos con \( A \) y \( C \), (no común entre \( A \) y \( C \) que son coprimos), no puede darse.
Y en tu ejemplo me falta un divisor común de \( q \) y de \( C \) que lo llamo \( t \).
El factor común de \( q \) y de \( A \) en tu ejemplo valdría el 2 o el 3, pero me falta añadir lo que comento en la línea anterior.
Muchas gracias!!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Entonces interpreto que \( u \) es un factor común primo de \( A,q \).

 (¿Por qué primo?, porque en otro caso no podemos afirmar que \( u^n \) divida a \( a^n \). En mi ejemplo tomando \( u=2^2\cdot 3^2 \), no es cierto que \( u^5 \) divida a \( a^5=6^5 \).)

 E interpreto que \( t \) es un factor común primo de \( C,q \).

 Pero entonces es falso que necesariamente podamos escribir \( q=t^n\cdot u^m \), porque \( q \) podría tener otros factores adicionales.

 Entonces para evitar estos problemas en tu demostración de (3), escribe claramente (más allá de ejemplos) como se elige el factor \( u \) y \( t \), de manera que de ahí pueda afirmarse con toda generalidad que las expresiones de \( a^n,A,q,C \) se pueden factorizar como indicas.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
previo a la demostración del Corolario 1 del documento tenía:
\( E.a=A.C.k \)
pero \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos, entonces \( a=A.C \) y \( E=k \)
luego
\( (A^n+C^n+A.C.k)^n=(A^n+A.C.k)^n+(C^n+A.C.k)^n \) lo podemos poner como
\( (A^n+C^n+A.C.E)^n=(A^n+A.C.E)^n+(C^n+A.C.E)^n \)

Luego en el Corolario 2 se ve también que:
\( n.E.a=A.C.k \)
luego \( k=n.E \) y \( a=A.C \) ya que  \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos y \( n  \) no es factor de ninguno de ellos. Con esto se llega a
\( n^{n-1}.E^n=A^n+2.n.A.C.E.+C^n \)

y para el Corolario 3 se ve también que:
\( E.a=n.A.C.k \)
luego \( k=E \) y \( a=n.A.C \) ya que  \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos y \( n  \) no es factor de ninguno de ellos. Y con esto se llega a
\( E^n=n^{n-1}.A^n+2.n.A.C.E+C^n \)

En cada uno de los resultados anteriores a los que se llega en cada Corolario creo haber encontrado una contradicción para cada caso y con esto probar que
\( z^n=x^n-y^n \)
no tiene solución para números enteros.

El nuevo documento completo donde se incluyen estos resultados se encuentra en:
http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/

y como siempre, agradeceré cualquier comentario y opinión...
Muchas gracias!!

[Luis Fuentes]

Hola

previo a la demostración del Corolario 1 del documento tenía:
\( E.a=A.C.k \)
pero \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos, entonces \( a=A.C \) y \( E=k \)

Bueno, comencé a leer y... ya encontré la primera crítica. 

Lo que cito arriba es falso:

\( \underbrace{9}_E\cdot \underbrace{70}_{a}=\underbrace{2}_{A}\cdot \underbrace{7}_{C}\cdot \underbrace{45}_{k} \)

Saludos.