Autor Tema: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.

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18 Octubre, 2011, 01:28 pm
Respuesta #20

aureodd

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Hola,
muchas gracias por tus comentarios. Siempre caigo en el mismo error disfrazado de distintas formas  :-[
De todos modos, no se si lo siguiente puede evitarlo:
Si \( A \mid a^n \) , \( Aq=a^n \) para algún \( q \). Sustituyendo en
\( a^n.C^n=A(A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1}) \)
\( Aq.C^n=A(A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1}) \)
\( q.C^n=A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1} \)
Esta igualdad módulo \( C \) queda
\( 0 \equiv -a^n.A^{n-1} \pmod C \)
y como \( A \),\( C \) son coprimos, entonces \( C \mid a^n=A.q \), como \( A \neq 1 \) entonces \( A \) y \( C \) tienen que tener factores comunes y contradice que \( A \)\( ,C \) sean coprimos?

Voy a modificar el enunciado del Lema 3.4.1.
Gracias 1/0 !!!

18 Octubre, 2011, 04:27 pm
Respuesta #21

Luis Fuentes

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Hola

 Que \( C \) divida a \( A\cdot q \) no quiere decir que \( C \) y \( A \) tengan factores comunes:

 \( 5|4\cdot 15 \) \( (C=5,\quad A=4,\quad q=15). \)

Saludos.

20 Octubre, 2011, 03:42 pm
Respuesta #22

aureodd

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Hola,
después de ver tu comentario me he dado cuenta que , aunque estaba bien escrito, estaba leyendo en todo momento \(  C =A.q \)  :banghead:
He estado viendo para el Corolario 1, que si \( A \mid a^n \) podemos poner \( A.q=a^n \) que sustituimos en
\( a^n.C^n=(A.C.k)^n-2.A.C.k.a^n-a^n.A^n \)
y dividimos por \( A \):
\( q.C^n=A^{n-1}.(C.k)^n-2.C.k.a^n-a^n.A^{n-1} \Rightarrow \)
\( 2.C.k.a^n+a^n.A^{n-1}=A^{n-1}.(C.k)^n-q.C^n \Rightarrow \)
\( a^n(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q) \)    (*)
Tenemos tres opciones:

1) \( q \) tiene divisor común con \( A \) y no con \( C \), y recordamos \( A \) y \( C \) coprimos.
En (*)  trabajamos módulo \( C \),
\( a^n.A^{n-1}=q.A^n \equiv 0 \pmod C \)
que no puede darse ya que \( q \) y \( A \) no tienen factor común con \( C \).
Nota: Si \( q \) no tiene factor común ni con \( A \) ni con \( C \) podemos utilizar este mismo argumento.

2) \( q \) tiene factor común con \( C \) y no con \( A \).
En (*) trabajamos módulo \( A \)
\( A.q(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q) \Rightarrow \)
\( 0\equiv -C^n.q \pmod A \)
que no puede darse ya que \( q \) y \( C \) no tienen factor común con \( A \).

3) \( q \) tiene factores comunes distintos con \( A \) y \( C \), (no común entre ellos ya que \( A \) y \( C \) son coprimos).
Sea \( u \) el factor común de \( A \) y \( q \), y \( a^n=(s.u.t)^n = A.q = s^n.u^{n-m}.t^n.u^m \)
con \( A= s^n.u^{n-m} \), \( q=t^n.u^m \), \( n > m\geq 1 \)
y \( t \) factor común de \( q \) y \( C=t.w \)
En (*)
\( a^n(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q)\Rightarrow  \)
\( A.q(2.C.k+A^{n-1})=C^n.A^{n-1}.k^n-q.C^n  \)    (**)
como \( q =t^n.u^m \mid C^n.A^{n-1}=(t.w)^n.(s^n.u^{n-m})^{n-1}=q.w^n.s^{n.(n-1)}.u^{(n-m).(n-1)-m} \)
si llamamos \( Q=w^n.s^{n.(n-1)}.u^{n^2-m.n-n} \)
escribimos entonces
\( C^n.A^{n-1}=q.Q \)
y sustituimos en (**)
\( A.q(2.C.k+A^{n-1})=q.Q-q.C^n \)
dividimos por \( q \)
\( A(2.C.k+A^{n-1})=Q-C^n \)
y trabajando módulo \( u \) donde \( u \mid A \) y \( u \mid Q \) nos queda
\( 0\equiv -C^n \pmod u \)
que no puede darse ya que \( u \) no es un factor de \( C \).

¿Esto terminaría de probar el Corolario 1?
Muchas gracias!!
Saludos

20 Octubre, 2011, 04:24 pm
Respuesta #23

Luis Fuentes

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Hola

 El caso (3) está escrito de manera confusa. No está claro a que estás llamando "el factor común" \( u \)" de \( A \) y \( q \). Si suponemos que \( u=m.c.d(A,q) \) (que parecería en un principio la interpretación más lógica) no es cierto que, si \( a^n=Aq \) entonces \( u \) tenga que ser factor de \( a \) y tampoco \( A,q \) se escribirían como dices.

 Parece que te refieres a otra cosa pero no se a que. Por ejemplo, si \( a=6^5,\quad A=2^2\cdot 3^3, q=2^3\cdot 3^2 \). ¿Qué sería \( u \)?.

Saludos.

20 Octubre, 2011, 05:44 pm
Respuesta #24

aureodd

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Hola,
lo que quiero ver para \( n=5 \) es:
\( a^5=3^5\cdot2^5= 2^3\cdot3^5\cdot2^2 \)
con \( A=2^3 \) y \( q=3^5\cdot2^2 \). Y con \( C=3 \).
Tenemos que \( u=2 \) y \( t=3 \) son divisores de \( A \) y \( C \) respectivamente y \( u=2 \) y \( t=3 \) son divisores también de \( q \).
Ahora sustituyendo en
\( a^n(2.C.k+A^{n-1})=C^n(A^{n-1}.k^n-q) \)
nos queda
\( (3\cdot2)^5(2\cdot3.k+(2^3)^{4})=3^5\cdot((2^3)^4.k^4-3^5\cdot2^2) \)
diviendo por \( q=3^5\cdot2^2 \) nos queda
\( 2^3(2\cdot3.k+(2^3)^4)=((2^{3\cdot4-2}.k^5-3^5) \)
si vemos estas igualdades módulo \( u=2 \) nos queda
\( 0 \equiv -3^5 \pmod 2 \)
que no es cierto.
Muchas gracias!
Saludos

20 Octubre, 2011, 05:48 pm
Respuesta #25

Luis Fuentes

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Hola

lo que quiero ver para \( n=5 \) es:
\( a^5=3^5\cdot2^5= 2^3\cdot3^5\cdot2^2 \)
con \( A=2^3 \) y \( q=3^5\cdot2^2 \).

¡Pero has cambiado mi ejemplo! Yo he tomado \( A=2^3\cdot 3^2 \) y \( q=3^3\cdot 2^2 \) y quiero que sea ahí dónde me aclares a que llamas \( u \). Insisto en que tal como lo has escrito no se entiende que denotas por \( u. \)

Saludos.

20 Octubre, 2011, 06:02 pm
Respuesta #26

aureodd

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Hola,
lo que quiero decir en (3) (ya lo he modificado más arriba en la respuesta #22) es que el caso donde \( q \) tiene factores comunes distintos con \( A \) y \( C \), (no común entre \( A \) y \( C \) que son coprimos), no puede darse.
Y en tu ejemplo me falta un divisor común de \( q \) y de \( C \) que lo llamo \( t \).
El factor común de \( q \) y de \( A \) en tu ejemplo valdría el 2 o el 3, pero me falta añadir lo que comento en la línea anterior.
Muchas gracias!!!
Saludos

21 Octubre, 2011, 10:30 am
Respuesta #27

Luis Fuentes

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Hola

 Entonces interpreto que \( u \) es un factor común primo de \( A,q \).

 (¿Por qué primo?, porque en otro caso no podemos afirmar que \( u^n \) divida a \( a^n \). En mi ejemplo tomando \( u=2^2\cdot 3^2 \), no es cierto que \( u^5 \) divida a \( a^5=6^5 \).)

 E interpreto que \( t \) es un factor común primo de \( C,q \).

 Pero entonces es falso que necesariamente podamos escribir \( q=t^n\cdot u^m \), porque \( q \) podría tener otros factores adicionales.

 Entonces para evitar estos problemas en tu demostración de (3), escribe claramente (más allá de ejemplos) como se elige el factor \( u \) y \( t \), de manera que de ahí pueda afirmarse con toda generalidad que las expresiones de \( a^n,A,q,C \) se pueden factorizar como indicas.

Saludos.

19 Noviembre, 2011, 12:05 am
Respuesta #28

aureodd

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Hola,
previo a la demostración del Corolario 1 del documento tenía:
\( E.a=A.C.k \)
pero \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos, entonces \( a=A.C \) y \( E=k \)
luego
\( (A^n+C^n+A.C.k)^n=(A^n+A.C.k)^n+(C^n+A.C.k)^n \) lo podemos poner como
\( (A^n+C^n+A.C.E)^n=(A^n+A.C.E)^n+(C^n+A.C.E)^n \)

Luego en el Corolario 2 se ve también que:
\( n.E.a=A.C.k \)
luego \( k=n.E \) y \( a=A.C \) ya que  \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos y \( n  \) no es factor de ninguno de ellos. Con esto se llega a
\( n^{n-1}.E^n=A^n+2.n.A.C.E.+C^n \)

y para el Corolario 3 se ve también que:
\( E.a=n.A.C.k \)
luego \( k=E \) y \( a=n.A.C \) ya que  \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos y \( n  \) no es factor de ninguno de ellos. Y con esto se llega a
\( E^n=n^{n-1}.A^n+2.n.A.C.E+C^n \)

En cada uno de los resultados anteriores a los que se llega en cada Corolario creo haber encontrado una contradicción para cada caso y con esto probar que
\( z^n=x^n-y^n \)
no tiene solución para números enteros.

El nuevo documento completo donde se incluyen estos resultados se encuentra en:
http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/

y como siempre, agradeceré cualquier comentario y opinión...
Muchas gracias!!





24 Noviembre, 2011, 06:19 pm
Respuesta #29

Luis Fuentes

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Hola

previo a la demostración del Corolario 1 del documento tenía:
\( E.a=A.C.k \)
pero \( E \), \( A \) y \( C \) son coprimos, entonces \( a=A.C \) y \( E=k \)

Bueno, comencé a leer y... ya encontré la primera crítica.  ;)

Lo que cito arriba es falso:

\( \underbrace{9}_E\cdot \underbrace{70}_{a}=\underbrace{2}_{A}\cdot \underbrace{7}_{C}\cdot \underbrace{45}_{k} \)

Saludos.

02 Diciembre, 2011, 01:47 am
Respuesta #30

aureodd

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Hola el_manco,
para justificar los resultados de mi mensaje anterior y evitar el error que comentas, he necesitado de 3 nuevos Lemas (Lema 6.2, Lema 7.2 y Lema 8.4) y por lo tanto he tenido que modificar los 3 Corolarios del documento para llegar, en cada uno de ellos, a la contradicción que creo haber encontrado.
Esta nueva versión se encuentra en http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/9/1/1/
¡¡¡¡¡Muchas gracias!!!!
Saludos


02 Diciembre, 2011, 10:31 am
Respuesta #31

Luis Fuentes

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Hola

 Página 9; demostración del Lema 6.2:

 Partiendo de que \( Ck=Ek_1 \) y del hecho de que \( C,E \) son coprimos concluyes que \( E=k \). ¡Exactamente el mismo error de antes!.

 Prácticamente el mismo contraejemplo lo desmiente:

\( \underbrace{9}_E\cdot \underbrace{70}_{k_1}=\underbrace{7}_{C}\cdot \underbrace{90}_{k} \)

 Comienzas afirmando que de la igualdad inicial y de la coprimalidad de \( C,E \) se deduce que \( k|E \) y \( k_1|C \). Eso ya es falso, como se ve en el ejemplo.

 Aureodd: creo que deberías de parar un momento, respirar profundamente, partir de cero, y revisar tu trabajo de nuevo con el mayor espíritu crítico. Me gustaría que en esa revisión, te decidieses a escribir tus ideas para el caso \( n=3 \). Estoy seguro de que al menos el trabajo se reduce a la mitad. Facilitarías la lectura del mismo a terceros, y además también sería más sencillo el encontrar posibles errores, no sólo para los demás, sino para ti mismo.

 Reconozco que a estas alturas, empieza a costarme entender el empecinamiento en no detenerse primero en ese caso particular. Parece que se huye de la sencillez y de la claridad, como si el "ruido" de escribir las cosas arrastrando un \( n \) general, diese más pomposidad o más validez a los resultados.
 
 Otra cosa más, desde hace unos días estoy algo apartado del foro y seguiré así durante un par de meses, así que probablemente no vuelva a contestar hasta entonces. Lo he hecho ahora por deferencia a ti  y al debate que mantenemos.

Saludos.

02 Diciembre, 2011, 10:44 am
Respuesta #32

aureodd

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Hola el_manco,
Citar
creo que deberías de parar un momento, respirar profundamente, partir de cero, y revisar tu trabajo de nuevo con el mayor espíritu crítico. Me gustaría que en esa revisión, te decidieses a escribir tus ideas para el caso \( n=3 \).
yo también lo creo... intentaré seguir tus consejos. gracias!!
Citar
desde hace unos días estoy algo apartado del foro y seguiré así durante un par de meses, así que probablemente no vuelva a contestar hasta entonces. Lo he hecho ahora por deferencia a ti  y al debate que mantenemos.
muchas gracias!! Estoy seguro que todos los que visitan el foro te echarán de menos, y yo particularmente. Espero que te vaya bien en estos meses y que vuelvas pronto.
Muchas gracias!!
Saludos

14 Marzo, 2012, 12:15 pm
Respuesta #33

aureodd

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Hola el_manco,
creo haber encontrado para \( n>3 \) que si \( g^n-p^n-r^n=2.n.p.q.r \) no tiene solución para números naturales con \( p \), \( q \) y  \( r \) coprimos positivos, entonces el término general del UTF, \( x^n=y^n+z^n \) tampoco tiene solución.
Para ver por ejemplo para \( n=5 \) que \( q^5-p^5-r^5=2.5.p.q.r \) (*) no tiene solución para números naturales, es fácil verificar que
\( (p+r)^5-p^5-r^5>2.5.p.(p+r).r \)
luego \( q<p+r \) que es lo mismo que poner  \( q=p+r-u \) para algún \( u \)
que sustituyendo en (*) nos queda
\( (p+r-u)^5-p^5-r^5=2.5.p.(p+r-u).r \)
haciendo el desarrollo se puede ver que \( u \) tiene que ser de la forma \( u=5.p.r.k \) para algún \( k>0 \) luego
\( (p+r-5.p.r.k)^5 -p^5-r^5=2.5.p.(p+r-5.p.r.k).r \)
pero  \( q=p+r-5.p.r.k <0 \). ¿Esto contradice realmente que  \( q^5-p^5-r^5=2.5.p.q.r \) no tiene solución para números naturales?
Muchas gracias!
Saludos

14 Marzo, 2012, 12:30 pm
Respuesta #34

Luis Fuentes

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Hola

 mmm.... alcárame este paso:

\( (p+r-u)^5-p^5-r^n=2.5.p.(p+r-u).r \)
haciendo el desarrollo se puede ver que \( u \) tiene que ser de la forma \( u=5.p.r.k \) para algún \( k>0 \) luego

Saludos.

14 Marzo, 2012, 08:17 pm
Respuesta #35

aureodd

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Hola,
además de tener que \( p \), \( q \) y \( r \) son coprimos, olvidé añadir también la hipótesis que \( p \), \( q \) y \( r \) no son múltiplos de \( 5 \).
Quiero probar que
\( u=5.p.r.k \) en la siguiente igualdad:
\( (p+r-u)^5-p^5-r^5=2.5.p.(p+r-u).r \) (1)
si llamo
\( r-u=t \) y sustituyo en (1)
\( (p+t)^5-p^5-r^5=2.5.p.(p+t).r \) (2)
Para que la parte izquierda de la igualdad en (2) sea múltiplo de \( 5 \), utilizamos el PTF  y nos queda que
\( t-r \equiv 0 \mod 5  \)
entonces \( r-5.k=t \) (3) y \( u \) es múltiplo de \( 5 \) (No utilizo \( r+5.k=t \) ya que hace que en (2) la parte izquierda de la igualdad sea mayor que la derecha)
Ahora para que la parte izquierda de la igualdad en (2) sea múltiplo de \( p \),
se tiene que dar que
\( t^5-r^5 \equiv 0 \mod p  \)
sustituimos el valor que tenemos de \( t \) en (3)
\( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \)
y como \( p \) y \( q \) son coprimos no múltiplos de \( 5 \), entonces \( k \) tiene que ser múltiplo de \( p \).
Luego \( u \) también es múltiplo de \( p \).
Se puede utilizar el mismo argumento para ver que \( u \) es múltiplo de \( r \).
Luego
\( (p+r-5.p.r.k)^5 -p^5-r^5=2.5.p.(p+r-5.p.r.k).r \)

¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

15 Marzo, 2012, 10:25 am
Respuesta #36

Luis Fuentes

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Hola

Ahora para que la parte izquierda de la igualdad en (2) sea múltiplo de \( p \),
se tiene que dar que
\( t^5-r^5 \equiv 0 \mod p  \)
sustituimos el valor que tenemos de \( t \) en (3)
\( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \)
y como \( p \) y \( q \) son coprimos no múltiplos de \( 5 \), entonces \( k \) tiene que ser múltiplo de \( p \).

Esto no lo veo claro. ¿Cómo deduces de \( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \) que \( k \) es múltiplo de \( p \)?.

Nota que NO es cierto que \( a^5\equiv 1\quad mod\quad p \quad \Rightarrow{}\quad a=1. \)

Por ejemplo \( 16^5\equiv 1\quad mod\quad 11 \). De ahí si tomamos \( p=11 \), \( r\equiv 1 \) mod \( 11 \), \( k\equiv -3  \) mod \( 11 \), se tiene que:

\( (r-5.k)^5-r^5\equiv (1+15)^5-1^5\equiv 16^5-1^5=0 \mod p  \)

pero sin embargo \( k\neq 0 \) mod \( p \).

Saludos.

15 Marzo, 2012, 12:06 pm
Respuesta #37

aureodd

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Hola,
sí, el error lo he cometido al hacer el desarrollo de \( (r-5.k)^5-r^5\equiv 0 \mod p  \)
\( \cancel{r^5}-5r^4(5.k)+10r^3.(5k)^2-10r^2.(5k)^3+5r.(5k)^4-(5k)^5-\cancel{r^5}\equiv 0 \mod p  \)
y de aquí deducir que como todos los términos son múltiplos de \( k \) entonces \( k \) es múltiplo de \( p \).
Muchas gracias por la respuesta y por el ejemplo.
Saludos

04 Abril, 2012, 09:50 am
Respuesta #38

aureodd

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Hola,
si no me he equivocado con los cálculos previos, estoy buscando soluciones a la siguiente ecuación
\( q.k_1-p.k_2-r.k_3 = 2.p.q.r \)
con \( q \), \( p \) y \( r \) coprimos, enteros positivos, y
\( k_1 \), \( k_2 \) y \( k_3 \) también enteros positivos.
Son soluciones por ejemplo
\( k_1=4.p.r \) , \( k_2=q.r \) , \( k_3=q.p \)
\( k_1=5.p.r \) , \( k_2=2.q.r \) , \( k_3=q.p \)
\( k_1=5.p.r \) , \( k_2=q.r \) , \( k_3=2.q.p \)
. . .

¿Como puedo encontrar todas las soluciones a esa ecuación bajo esas condiciones?
Muchas gracias!
Saludos

04 Abril, 2012, 10:46 am
Respuesta #39

Luis Fuentes

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Hola

 La solución general de:

\(  qk_1-pk_2-rk_3=2pqr \)

 puede obtenerse escribiendo la ecuación como:

\(  qk_1-pk_2=rk_3+2pqr \)

 y usando el método aquí descrito.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,26781.0.html

 Tal solución general se descompone una solución particular más la solución general de la homogéna asociada:

\(  qk_1-pk_2-rk_3=0 \)

 La solución general de esta última (hallada igualmente por el método descrito en el enlace es):

\(  (k_1,k_2,k_3)=t(a_1r,a_2r,1)+s(p,q,0) \)

 con \( s,t\in Z \) y \( a_1,a_2 \) tales que \( pa_1-qa_2=1 \).

 Por tanto la solución general de tu ecuación (usando alguna de tus soluciones particulares queda):

\(  (k_1,k_2,k_3)=(4pr,qr,qp)+t(a_1r,a_2r,1)+s(p,q,0) \)

 con \( s,t\in Z \) y \( a_1,a_2 \) tales que \( pa_1-qa_2=1 \).

 Nota que esas son todas las condiciones enteras; si quieres las naturales debes de imponer \( k_1,k_2,k_3>0 \).

Saludos.