[aureodd]

Hola el_manco,
como puedo encontrar las soluciones positivas de \( a_1 \) , \( a_2 \) con \( q>p \)
de \( q.a_1-p.a_2=1 \)?
Por ejemplo para
\( q=101 \) y \( p=97 \) utilizo el algoritmo de Euclides y obtengo
\( 25\cdot97-24\cdot101=1 \)
Necesitaría los valores positivos de \( a_1 \) , \( a_2 \) en
\( 101.a_1-97.a_2=1 \)
Como puedo encontrarlos?
Muchas gracias
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 La solución general en los enteros de una ecuación del tipo:

\(  qa_1-pa_2=1 \)

 es de la forma:

\(  (a_1,a_2)=(b_1,b_2)+k(p,q) \)

 siendo \( (b_1,b_2) \) una solución particular obtenida mediante el algorimo de Euclides.

 Sobre esa solución puedes imponer las condiciones que quieras para seleccionar las soluciones que te interesen. Por ejemplo si impones \( a_1,a_2 \) tienes que resolver el sistema de inecuaciones:

\(  b_1+kp>0,\qquad b_2+kq>0 \)

 En tu ejemplo la solución general en los enteros de \( 101a_1-97a_2=1 \) es:

\(  (a_1,a_2)=(-24,-25)+k(97,101) \)
 
 Si imponemos \( a_1,a_2>0  \) tenemos que:

\(  -24+97k>0\quad \Leftrightarrow{}\quad k>\dfrac{24}{97} \)

\(  -25+101k>0\quad \Leftrightarrow{}\quad k>\dfrac{25}{101} \)

 Por tanto todas las soluciones positivas enteras se obtienen como:

\(  (a_1,a_2)=(-24,-25)+k(97,101) \) con \( k\geq 1 \).

Saludos.

[aureodd]

Hola,
estoy queriendo probar que la siguiente ecuación
\( q^n-p^n-r^n=2.n.p.q.r \) (*) no tiene solución para números naturales con \( p \), \( q \) y  \( r \) coprimos positivos, no múltiplos de \( n \).

Para la siguiente ecuación (no es la misma que (*) ) 
\( q^n-p^n-r^n=n.p.q.r \) (**) existen soluciones cuando \( p+r=q \)
P.ej. para \( n=3 \),
\( 11^3-7^3-4^3=3\cdot11\cdot7\cdot4 \)
Se puede asegurar que estas son las únicas soluciones para (**)?
No se cumple p.ej
\( 11^3-7^3-5^3=863 \) que es primo

Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Si es cierto que las únicas soluciones enteras de:

\(  q^3-p^3-r^3=3pqr \)

 son aquellas en las que \( q=p+r \). Para ello y utilizando análisis (derivadas, máximos y mínimos) basta comprobar que la función:

\(  f(x)=x^3-p^3-r^3-3prx \)

 tiene una única ráiz positiva.

Saludos.

[aureodd]

Hola,

Si es cierto que las únicas soluciones enteras de:

\(  q^3-p^3-r^3=3pqr \)

 son aquellas en las que \( q=p+r \). Para ello y utilizando análisis (derivadas, máximos y mínimos) basta comprobar que la función:

\(  f(x)=x^3-p^3-r^3-3prx \)

 tiene una única ráiz positiva.

¿Luego es cierto también para el caso general \(  q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?
¿Y se podría utilizar de algún modo para probar que la primera ecuación \(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) (*) no tiene solución?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿Luego es cierto también para el caso general \(  q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?

Es que para \( n>3 \), \( q=p+r \) nunca es solución de la ecuación. Lo que puede probarse tomando \( f(x)=x^n-p^n-r^n-nprx \), es que la ecuación \( f(x)=0 \) tiene una única solución positiva. Lo que no está tan claro es si puede ser entera.

¿Y se podría utilizar de algún modo para probar que la primera ecuación \(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) (*) no tiene solución?

Exactamente lo mismo de antes. Analítcamente se prueba que fijados \( p,r \) la solución es única. ¿Entera?. Eso es otra historia.

Saludos.

[aureodd]

Hola

¿Luego es cierto también para el caso general \(  q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?

Es que para \( n>3 \), \( q=p+r \) nunca es solución de la ecuación. Lo que puede probarse tomando \( f(x)=x^n-p^n-r^n-nprx \), es que la ecuación \( f(x)=0 \) tiene una única solución positiva. Lo que no está tan claro es si puede ser entera.

Sí, ha sido un lapsus. Quería decir  y he omitido que
para \( n>3 \), y \( q=p+r \)
\(  q^n-p^n-r^n \equiv 0 \mod (npqr) \)
de hecho con \( q=p+r \) 
\(  q^n-p^n-r^n > npqr \)
lo que busco entonces es que \( q < p+r \). Bajo estas condiciones:
1) \( q < p+r \)
2) \( p, q, r \) coprimos no múltiplos de \( n \)
No es trivial entonces probar que
\(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) no tiene soluciones enteras?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

No es trivial entonces probar que
\(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) no tiene soluciones enteras?

No me atrevo a afirma que no sea trivial. 

A mi no se me ocurre una forma trivial ni no trivial (pero rápida) de probarlo.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
como sumario de todo el desarrollo hecho en este Asunto, he llegado a las siguientes conclusiones y equivalencias con el UTF \( x^n=y^n+z^n \).

Lo que quisiera demostrar es que no puede darse para
\( p,q,r \) coprimos no múltiplos de \( n \) y \( n \) primo (*):

I) \( (p^n+r^n+npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)
con
\( x^n=(p^n+r^n+npqr)^n \)
\( y^n=(p^n+npqr)^n \)
\( z^n=(r^n+npqr)^n \)

También he encontrado otra equivalencia con el siguiente resultado:
II) \( (q^n-npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)

ahora si utilizo I) en II)
\( (p^n+r^n+npqr)^n=(q^n-npqr)^n \)
obtengo el resultado en III)

III) \( q^n= p^n+r^n+2npqr \)

Probando que I) o II) no tiene soluciones naturales con las condiciones de (*) probaría que el UTF tampoco las tiene. Me temo que esta prueba sea tan "imposible" como intentar la prueba del término general del UTF \( x^n=y^n+z^n \).

Probando que III) tampoco puede darse con las condiciones de (*) se llegaría a una contradicción y probaría también que el UTF tampoco las tiene. Sin embargo, encontrando soluciones a III) no se probaría nada (o quizás sí, si con esas soluciones se puede llegar a una contradicción en I) o II))

Agredecería cualquier idea, o mucho más cualquier prueba de que I), II) o III) no tienen solución. 
Muchas gracias!
Saludos

 

[Luis Fuentes]

Hola

 A mi no se me ocurre nada. Sólo dos observaciones:

 I) ¿Qué te hace pensar que va a ser más fácil probar la imposibilidad de esas ecuaciones que de la original de Fermat? (pregunta que tu mismo te haces, creo).

 II) En esto soy reiterativo: en cualquier caso intenta centrar tus esfuerzos en el caso \( n=3 \).

Saludos.