Autor Tema: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.

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10 Abril, 2012, 04:18 pm
Respuesta #40

aureodd

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Hola el_manco,
como puedo encontrar las soluciones positivas de \( a_1 \) , \( a_2 \) con \( q>p \)
de \( q.a_1-p.a_2=1 \)?
Por ejemplo para
\( q=101 \) y \( p=97 \) utilizo el algoritmo de Euclides y obtengo
\( 25\cdot97-24\cdot101=1 \)
Necesitaría los valores positivos de \( a_1 \) , \( a_2 \) en
\( 101.a_1-97.a_2=1 \)
Como puedo encontrarlos?
Muchas gracias
Saludos

10 Abril, 2012, 05:16 pm
Respuesta #41

Luis Fuentes

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Hola

 La solución general en los enteros de una ecuación del tipo:

\(  qa_1-pa_2=1 \)

 es de la forma:

\(  (a_1,a_2)=(b_1,b_2)+k(p,q) \)

 siendo \( (b_1,b_2) \) una solución particular obtenida mediante el algorimo de Euclides.

 Sobre esa solución puedes imponer las condiciones que quieras para seleccionar las soluciones que te interesen. Por ejemplo si impones \( a_1,a_2 \) tienes que resolver el sistema de inecuaciones:

\(  b_1+kp>0,\qquad b_2+kq>0 \)

 En tu ejemplo la solución general en los enteros de \( 101a_1-97a_2=1 \) es:

\(  (a_1,a_2)=(-24,-25)+k(97,101) \)
 
 Si imponemos \( a_1,a_2>0  \) tenemos que:

\(  -24+97k>0\quad \Leftrightarrow{}\quad k>\dfrac{24}{97} \)

\(  -25+101k>0\quad \Leftrightarrow{}\quad k>\dfrac{25}{101} \)

 Por tanto todas las soluciones positivas enteras se obtienen como:

\(  (a_1,a_2)=(-24,-25)+k(97,101) \) con \( k\geq 1 \).

Saludos.

23 Abril, 2012, 11:30 am
Respuesta #42

aureodd

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Hola,
estoy queriendo probar que la siguiente ecuación
\( q^n-p^n-r^n=2.n.p.q.r \) (*) no tiene solución para números naturales con \( p \), \( q \) y  \( r \) coprimos positivos, no múltiplos de \( n \).

Para la siguiente ecuación (no es la misma que (*) ) 
\( q^n-p^n-r^n=n.p.q.r \) (**) existen soluciones cuando \( p+r=q \)
P.ej. para \( n=3 \),
\( 11^3-7^3-4^3=3\cdot11\cdot7\cdot4 \)
Se puede asegurar que estas son las únicas soluciones para (**)?
No se cumple p.ej
\( 11^3-7^3-5^3=863 \) que es primo

Muchas gracias!
Saludos

23 Abril, 2012, 12:48 pm
Respuesta #43

Luis Fuentes

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Hola

 Si es cierto que las únicas soluciones enteras de:

\(  q^3-p^3-r^3=3pqr \)

 son aquellas en las que \( q=p+r \). Para ello y utilizando análisis (derivadas, máximos y mínimos) basta comprobar que la función:

\(  f(x)=x^3-p^3-r^3-3prx \)

 tiene una única ráiz positiva.

Saludos.

23 Abril, 2012, 01:17 pm
Respuesta #44

aureodd

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Hola,
Si es cierto que las únicas soluciones enteras de:

\(  q^3-p^3-r^3=3pqr \)

 son aquellas en las que \( q=p+r \). Para ello y utilizando análisis (derivadas, máximos y mínimos) basta comprobar que la función:

\(  f(x)=x^3-p^3-r^3-3prx \)

 tiene una única ráiz positiva.

¿Luego es cierto también para el caso general \(  q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?
¿Y se podría utilizar de algún modo para probar que la primera ecuación \(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) (*) no tiene solución?
Muchas gracias!
Saludos

23 Abril, 2012, 04:50 pm
Respuesta #45

Luis Fuentes

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Hola

¿Luego es cierto también para el caso general \(  q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?

Es que para \( n>3 \), \( q=p+r \) nunca es solución de la ecuación. Lo que puede probarse tomando \( f(x)=x^n-p^n-r^n-nprx \), es que la ecuación \( f(x)=0 \) tiene una única solución positiva. Lo que no está tan claro es si puede ser entera.

Citar
¿Y se podría utilizar de algún modo para probar que la primera ecuación \(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) (*) no tiene solución?


Exactamente lo mismo de antes. Analítcamente se prueba que fijados \( p,r \) la solución es única. ¿Entera?. Eso es otra historia.

Saludos.

23 Abril, 2012, 05:51 pm
Respuesta #46

aureodd

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Hola

¿Luego es cierto también para el caso general \(  q^n-p^n-r^n=npqr \), que solo tiene solución para \( q=p+r \)?
Es que para \( n>3 \), \( q=p+r \) nunca es solución de la ecuación. Lo que puede probarse tomando \( f(x)=x^n-p^n-r^n-nprx \), es que la ecuación \( f(x)=0 \) tiene una única solución positiva. Lo que no está tan claro es si puede ser entera.

Sí, ha sido un lapsus. Quería decir  y he omitido que
para \( n>3 \), y \( q=p+r \)
\(  q^n-p^n-r^n \equiv 0 \mod (npqr) \)
de hecho con \( q=p+r \) 
\(  q^n-p^n-r^n > npqr \)
lo que busco entonces es que \( q < p+r \). Bajo estas condiciones:
1) \( q < p+r \)
2) \( p, q, r \) coprimos no múltiplos de \( n \)
No es trivial entonces probar que
\(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) no tiene soluciones enteras?
Muchas gracias!
Saludos

23 Abril, 2012, 06:13 pm
Respuesta #47

Luis Fuentes

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Hola

No es trivial entonces probar que
\(  q^n-p^n-r^n=2npqr \) no tiene soluciones enteras?

No me atrevo a afirma que no sea trivial.  ;)

A mi no se me ocurre una forma trivial ni no trivial (pero rápida) de probarlo.

Saludos.

14 Mayo, 2012, 04:55 pm
Respuesta #48

aureodd

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Hola,
como sumario de todo el desarrollo hecho en este Asunto, he llegado a las siguientes conclusiones y equivalencias con el UTF \( x^n=y^n+z^n \).

Lo que quisiera demostrar es que no puede darse para
\( p,q,r \) coprimos no múltiplos de \( n \) y \( n \) primo (*):

I) \( (p^n+r^n+npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)
con
\( x^n=(p^n+r^n+npqr)^n \)
\( y^n=(p^n+npqr)^n \)
\( z^n=(r^n+npqr)^n \)

También he encontrado otra equivalencia con el siguiente resultado:
II) \( (q^n-npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)

ahora si utilizo I) en II)
\( (p^n+r^n+npqr)^n=(q^n-npqr)^n \)
obtengo el resultado en III)

III) \( q^n= p^n+r^n+2npqr \)

Probando que I) o II) no tiene soluciones naturales con las condiciones de (*) probaría que el UTF tampoco las tiene. Me temo que esta prueba sea tan "imposible" como intentar la prueba del término general del UTF \( x^n=y^n+z^n \).

Probando que III) tampoco puede darse con las condiciones de (*) se llegaría a una contradicción y probaría también que el UTF tampoco las tiene. Sin embargo, encontrando soluciones a III) no se probaría nada (o quizás sí, si con esas soluciones se puede llegar a una contradicción en I) o II))

Agredecería cualquier idea, o mucho más cualquier prueba de que I), II) o III) no tienen solución.  ;)
Muchas gracias!
Saludos

 


14 Mayo, 2012, 05:13 pm
Respuesta #49

Luis Fuentes

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Hola

 A mi no se me ocurre nada. Sólo dos observaciones:

 I) ¿Qué te hace pensar que va a ser más fácil probar la imposibilidad de esas ecuaciones que de la original de Fermat? (pregunta que tu mismo te haces, creo).

 II) En esto soy reiterativo: en cualquier caso intenta centrar tus esfuerzos en el caso \( n=3 \).

Saludos.