Hola,
como sumario de todo el desarrollo hecho en este Asunto, he llegado a las siguientes conclusiones y equivalencias con el UTF \( x^n=y^n+z^n \).
Lo que quisiera demostrar es que no puede darse para
\( p,q,r \) coprimos no múltiplos de \( n \) y \( n \) primo (*):
I) \( (p^n+r^n+npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)
con
\( x^n=(p^n+r^n+npqr)^n \)
\( y^n=(p^n+npqr)^n \)
\( z^n=(r^n+npqr)^n \)
También he encontrado otra equivalencia con el siguiente resultado:
II) \( (q^n-npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)
ahora si utilizo I) en II)
\( (p^n+r^n+npqr)^n=(q^n-npqr)^n \)
obtengo el resultado en III)
III) \( q^n= p^n+r^n+2npqr \)
Probando que I) o II) no tiene soluciones naturales con las condiciones de (*) probaría que el UTF tampoco las tiene. Me temo que esta prueba sea tan "imposible" como intentar la prueba del término general del UTF \( x^n=y^n+z^n \).
Probando que III) tampoco puede darse con las condiciones de (*) se llegaría a una contradicción y probaría también que el UTF tampoco las tiene. Sin embargo, encontrando soluciones a III) no se probaría nada (o quizás sí, si con esas soluciones se puede llegar a una contradicción en I) o II))
Agredecería cualquier idea, o mucho más cualquier prueba de que I), II) o III) no tienen solución.

Muchas gracias!
Saludos