Hola Luis.
He agrupado y ordenado todos los resultados; enunciados de proposiciones y sus demostraciones.
Espero sea más fácil su revisión y lectura.
Once upon a time....
Hola
Voy a tratar de escribir como reformulo yo tu trabajo y cómo la mayoría de tus demostraciones son así inmediatas. Excepto la del Lema 6, que es la que falla.
En primer lugar es cómodo escribir la ecuación de Fermat como \( x^3+y^3+z^3=0 \) en lugar de la manera clásica, permitiendo que las variables sean negativas. Esto evita tener que repetir argumentos para tus tres términos \( (x-y),(x-z)=(y-b),M=(y+z) \) que ahora con mi notación son simplemente \( (x+y),(x+z),(y+z) \). De forma que por simetría lo que probemos para uno, queda probado para los demás.
Entonces sean \( x,y,z \) tres enteros coprimos dos a dos verificando \( x^3+y^3+z^3=0. \)
1) \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \)
Prueba: Basta tener en cuenta que, \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \) y usar que estamos bajo el supuesto de que los tres números cumplen la ecuación de Fermat.
2) \( (x+y),(x+z),(y+z) \) son coprimos dos a dos.
Prueba: Basta tener en cuenta que por (1) cualquier divisor primo de uno de esos términos lo es de \( (x+y+z) \). Entonces si \( x+y,x+z \) son divisibles por \( p \),
\( z=(x+y+z)-(x+y) \) divisible por \( p \)
\( y=(x+y+z)-(x+z) \) divisible por \( p \)
Pero \( z,y \) son coprimos: contradicción.
3) Uno y sólo uno de los términos \( (x+y),(x+z),(y+z) \) es divisible por \( 3 \) (supondremos sin pérdida de generalidad, a partir de ahora, que tal término es \( y+z \)).
Prueba: Por (1), (\( x+y+z) \) es divisible por \( 3 \) y por tanto \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \) divisible por \( 3^3 \). Por tanto efecivamente alguno de los términos es divisible por tres. La unicidad es consecuencia de (2).
4) \( (y+z)=3^mE^3 \) con \( mcd(E,3)=1 \) y \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).
Prueba: Se tiene que \( -x^3=y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2) \). Como \( (y+z) \) es múltiplo de tres, también lo es \( x \). Como \( x,y,z \) son coprimos, \( y,z \) no son divsibles por tres. Por tanto:
\( (y+z)=3^mE^3,\qquad (y^2-yz+z^2)=3^{3k-m}F^3 \) con \( mcd(E,3)=mcd(F,3)=1 \).
Pero: \( 3yz=(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)=3^{2m}E^6-3^{3k-m}F^3 \). Como \( y,z \) no son divisibles por tres necesariamente \( 3k-m=1 \), es decir, \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).
5) Existen enteros \( p,q,r \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
\( y+z=3^mp^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
\( x+y=q^3\quad x+z=r^3\quad x+y+z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Prueba: Basta aplicar (2),(3),(4) a (1)
6) Existen enteros \( p,q,r \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
\( q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
Prueba: Basta tener en cuenta que por (5):
\( x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\( y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
\( x+y=q^3 \)
En tu Lema 6 pruebas que no existen números en las condiciones de (6) para \( m=2 \). Si lo probases para cualquier \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \), tendrías la prueba que buscas.
Saludos.
\( q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \) con \( m\equiv 2\mod(3) \)
Voy a cambiar la notación de los exponentes para las potencias de \( 3 \)
\( q^3=2\cdot 3^{m}pqr-3^{3m-1}p^3-r^3 \) con \( m \in{N} \)
y justifico con los resultados siguientes que la expresión anterior es equivalente a la del punto III) de más abajo
III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
Hola.
Voy a reagrupar, revisar y rescribir los resultados que hemos ido obteniendo hasta ahora, teniendo en cuenta que todas las variables utilizadas \( \in{N} \):
Hola.
Voy a utilizar los comentarios adjuntos donde mantenemos que todos las variables son positivas y que será necesario para el resultado final.
Hola,
El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.
Todo viene de la notación clásica del UTF
\( x^n=y^n+z^n \)
utilizando que \( x,y,z \) son enteros positivos
Con esto había llegado a los siguientes resultados:
I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
II) \( (q^3-3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
Utilizando I) en II)
\( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(q^3-3^{m}pqr)^n \)
obtengo el resultado en III)
III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
Y este último es el que utilizado en los desarrollos de los post anteriores con \( p,q,r \) positivos.
En el documento para \( n=3 \) en el enlace http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/
Nota: El enlace anterior está roto. Lo subí al foro como adjunto
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=29191.0;attach=14840
. . .
También estamos utilizando solo el caso particular donde \( x-z=3^{3m-1}p^3 \)
. . .
Sabíamos que uno de los términos \( x-z \), \( x-y \) o \( y+z \) es múltiplo de \( 3 \)
Voy a utilizar la ecuación III), caso particular \( x-z=3^{3m-1}p^3 \)
III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr\Rightarrow{} \)
IV) \( \boxed{q^3 - 3^{3m-1}p^3- r^3=2\cdot3^{m}pqr} \)
...
Entonces tenemos
\( q^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr-3^{3m-1}p^3\Rightarrow{} \)
\( q^3-r^3=3^{m}(2pqr-3^{2m-1}p^3) \)
Si \( q^3-r^3 \equiv{0 \pmod 3}\Rightarrow{}q-r \equiv{0 \pmod 3} \)
Como \( q^3 -r^3 =(q-r)(q^2+qr+r^2) \), y sabemos que \( q^2+qr+r^2 \) solo puede ser múltiplo de \( 3 \)
entonces \( q-r \) tiene que ser múltiplo de \( 3^{m-1} \)
Podemos poner \( 3^{m-1}P=(q-r) \) y
\( q^3 - (3^{m-1}P)^3-r^3=3\cdot 3^{m-1}Pqr=3^{m}Pqr \) con \( P \in \mathbb{N} \)
Tenemos entonces
V) \( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow{} q^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr + 3^{3m-1}p^3 \)
y
VI) \( q^3-3^{3m-3}P^3-r^3=3^{m}Pqr \Rightarrow{ } q^3-r^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3 \)
por lo tanto
\( 2\cdot 3^{m}pqr + 3^{3m-1}p^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3\Rightarrow{ } \)
\( 3^{3m-1}p^3 - 3^{3m-3}P^3 =3^{m}Pqr -2\cdot 3^{m}pqr \Rightarrow{} \)
VII) \( 3^{2m-3}(3^2p^3 - P^3) =(P -2p ) qr \)
Teniéndose que dar la igualdad anterior en VII)
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-P^3) =(P -2p ) qr \)
hacemos las siguientes proposiciones:
Prop1. Si \( \dfrac{P-2p}{3^{2m-3}}=\dfrac{3^2p^3-P^3}{qr}=a \) entonces \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \)
Prueba:
Si \( P-2p=3^{2m-3}a \)
\( P^3=(2p+3^{2m-3}a)^3\Rightarrow{} \)
\( P^3=(2p)^3+aK \) (I)
con \( K \) igual al desarrollo que falta.
También tenemos \( 3^2p^3-P^3=aqr \) (II)
Sustituyendo el valor anterior de \( P^3 \) en (I)
\( 3^2p^3-aqr=(2p)^3+aK\Rightarrow{} \)
\( 3^2p^3-(2p)^3=a(K+qr)\Rightarrow{} \)
\( p^3=a(K+qr) \)
entonces \( p^3 \) es múltiplo de \( a \) y en (II) \( P^3 \) también es múltiplo de \( a \)
Prop2.Si \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \) entonces \( p \) y \( P \) tienen algún factor común con \( a \).
Prueba:
Si \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \) podemos elegir algún \( p_1 \) en \( p^3=p_1.p_2 \), algún \( P_1 \) en \( P^3=P_1.P_2 \) y algún \( a_1 \) en \( a=a_1.a_2 \) de modo que
\( a_1=p_1=P_1 \) y distintos de \( 1 \)
Prop3. \( a=p_1^3 \), con \( p=p_1.p_2 \) y \( p_2 \) coprimo con \( a \).
Prueba:
Haciendo el desarrollo completo que tenemos en la Prop1
\( P-2p=3^{2m-3}a\Rightarrow{} \)
\( P=2p+3^{2m-3}a\Rightarrow{} \)
\( P^3=(2p+3^{2m-3}a)^3\Rightarrow{} \)
\( P^3=(2p)^3+3.(2p)^2.3^{2m-3}a+3.2p.(3^{2m-3}a)^2+(3^{2m-3}a)^3 \) (III)
También \( P^3-3^2p^3=aqr\Rightarrow{} \)
\( P^3=3^2p^3+aqr\Rightarrow{} \) sustituyendo en (III)
\( 3^2p^3+aqr=(2p)^3+3.(2p)^2.3^{2m-3}a+3.2p.(3^{2m-3}a)^2+(3^{2m-3}a)^3\Rightarrow{} \)
\( p^3=3.(2p)^2.3^{2m-3}a+3.2p.(3^{2m-3}a)^2+(3^{2m-3}a)^3-qra \)
\( \dfrac{p^3}{a}=3.(2p)^2.3^{2m-3}+3.2p.(3^{2m-3})^2.a+(3^{2m-3})^3.a^2-qr \) (IV)
Por la Prop2, si consideramos que el factor común o producto de factores comunes de \( a \) y \( p \) es \( p_1 \)
y tomamos que \( p=p_1.p_2 \)
Ya que \( p_1|a \) y \( a|p^3 \)
entonces se tiene que dar \( a=p_1^3 \) y \( \dfrac{p^3}{a}=p_2^3 \)
De otro modo tendríamos que \( \dfrac{p^3}{a} \) es múltiplo de \( p_1 \)
y en (IV)
\( \dfrac{p^3}{a}=3.(2p)^2.3^{2m-3}+3.2p.(3^{2m-3})^2.a+(3^{2m-3})^3.a^2-qr
\)
todos los términos serían múltiplos de \( p_1 \) excepto \( qr \). (Contradicción)
Por lo tanto
\( p_2^3=3.(2p)^2.3^{2m-3}+3.2p.(3^{2m-3})^2.a+(3^{2m-3})^3.a^2-qr \)
Si \( p_2 \) y \( a \) tienen algún factor común entonces, todos los sumandos tendrían algún factor común entre ellos excepto \( qr \).
Por lo que \( p_2 \) y \( a \) tienen que ser coprimos.
Prop4.
Si tomamos \( P=p_1P_2 \) y \( p=p_1p_2 \) entonces \( 3^2p_2^3-P_2^3=qr \)
Prueba:
Sustituyendo los valores de \( a \) y \( p \) que teníamos en la prop3
\( a=p_1^3 \), con \( p=p_1.p_2 \)
en la ecuación que teníamos en la prop1
\( \dfrac{3^2p^3-P_2^3}{qr}=a \)
Nos queda
\( \dfrac{(3^2(p_1p_2)^3-p_1P_2)^3}{qr}=p_1^3\Rightarrow{} \)
\( 3^2p_2^3-P_2^3=qr \)
Prop5.
\( P_2-2p_2=3^{2m-3}p_1^2 \)
Prueba.
Inmediato de la prop1, prop3 y prop4
\( \blacksquare \)
Prop6.
\( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( 3^mp_1p_2P_2 \)
luego lo podemos escribir como
\( q^3-r^3=3^mp_1p_2P_2k \) para algún \( k \) positivo.
Prueba.
Inmediato de V) y VI)
V) \( q^3-r^3=2\cdot 3^{m}pqr + 3^{3m-1}p^3 \)
y
VI) \( q^3-r^3=3^{m}Pqr + 3^{3m-3}P^3 \)
\( \blacksquare \)
Corolario La expresión \( k(P_2-p_2) = qr + 3^{2m-3}p_1^2 (3^2p_2^3-P_2^3) \) no puede darse para números enteros.
Prueba.
En la prop 4 tenemos
\( 3^2p_2^3 -P_2^3=qr \)
y por simplificar llamo \( A \) a los dos términos de la igualdad:
X) \( 3^2p_2^3 -P_2^3=qr=A \)
En la prop 5 tenemos
\( P_2-2p_2=3^{2m-3}p_1^2 \)
y por simplificar llamo \( B \) a los dos términos de la igualdad:
XI) \( P_2-2p_2=3^{2m-3}p_1^2 = B \)
En la prop 6 tenemos .
\( q^3-r^3=3^mp_1p_2P_2k \) para algún \( k \) positivo.
Susituyendo los valores de \( p \) y \( P \) que teníamos en la prop4, \( P=p_1P_2 \) y \( p=p_1p_2 \) entonces V) y VI) nos quedan:
V) \( 3^mp_1p_2P_2k=2\cdot 3^{m}p_1p_2qr + 3^{3m-1}(p_1p_2)^3 \)
y
VI) \( 3^mp_1p_2P_2k=3^{m}p1P_2qr + 3^{3m-3}(p_1P_2)^3 \)
y dividiendo V) por \( 3^mp_1p_2 \) y VI) por \( 3^mp_1P_2 \)
V) \( P_2k=2qr + 3^{2m-1}(p_1p_2)^2 \)
y
VI) \( p_2k=qr + 3^{2m-3}(p_1P_2)^2 \)
\( \Rightarrow{} \)
\( k(P_2-p_2)-3^{2m-3}p_1^2 (3^2p_2^2-P_2^2)=qr \Rightarrow{} \)
\( k(P_2-p_2) = qr + 3^{2m-3}p_1^2 (3^2p_2^2-P_2^2) \)
Sustituyendo los valores de \( A \) y \( B \) que tenemos en X) y XI) la expresión anterior queda
\( Bk=A+AB = A (B+1) \Rightarrow{} k=\dfrac{A}{B}\cdot \dfrac{B+1}{B} \)
Como uno de los valores de \( A=3^2p_2^3 -P_2^3 \) y otro de los valores de \( B=3^{2m-3}p_1^2 \)
no se puede dar que \( B|A \).
y tampoco que \( B | (B+1) \)
\( \blacksquare \)
Creo que está todo...
Espero pf y como siempre tus comentarios
¡Muchas gracias!
Saludos
