Hola
Buenos días, tengo el siguiente ejercicio:
Sea \( A \) una matriz sobre \( \mathbb{C} \) tal que \( chA=(x+1)^6(x-2)^3 \)y \( minA=(x+1)^3(x-2)^2 \). Listar las posibles FCJ para \( A \), y en cada caso escribir las correspondientes formas canónicas racional y racional primaria. Hacer lo mismo para \( chA=(x+1)^7(x-1)^4(x+2) \), \( minA=(x+1)^3(x-1)^2(x+2) \).
Quisiera saber si lo que he hecho estaría bien. Esto sería para el primer caso.
Caso 1.
El polinomio característico es \( p(x)=\color{red}(x+1)^2\color{black}(x-2)^3 \), con raíces \( x=-1 \) y \( x=2 \) y por tanto los valores propios serán \( \lambda_1=-1 \) y \( \lambda_2=2 \).
Como el polinomio mínimo es \( m(x)=(x+1)^3(x-2)^2 \), obtenemos la siguiente información:
Ahí tienes una errata. Supongo que querías poner \( p(x)=\color{red}(x+1)^6\color{black}(x-2)^3 \).
Para \( \lambda_1=-1 \):
\( m_a(-1)=6 \) y \( m_g(-1)=3 \). Entonces, la FCJ será una cadena de bloques de Jordan de tamaño 6, donde 3 bloques corresponden al valor propio \( -1 \). La forma canónica de Jordan primaria será similar a la FCJ.
No es cierto que la multiplicidad geométrica sea \( 3 \). El polinomio mínimo no da información directa sobre la multiplicidad geométrica, sino sobre el tamaño de la caja más grande asociada al correspondiente autovalor.
Lo que sabemos es que \( -1 \) tiene una caja de Jordan de tamaño \( 3 \). Dado que en total la multiplicidad algebraica de este autovalor es \( 6 \) las posibles descomposiciones en cajas de Jordan según tamaño son:
\( 3+1+1+1,3+2+1,3+3 \).
Y análogamente \( 2 \) tiene asociada una caja de Jordan de tamaño \( 2 \). Como la multiplicidad algebraica es \( 3 \) necesariamente tenemos una caja de Jordan de tamaño \( 2 \) y otra de tamaño \( 1 \).
Por tanto las posibles formas de Jordan serían \( 3 \):
\( \begin{pmatrix}
-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &0 &0 &0 \\
\hfill 0 & -1 &\hfill 1 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & -1 & \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 0 & \hfill 0&0 &0 &0 \\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & -\hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &2 &1 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &2 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &2\\
\end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix}
-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &0 &0 &0 \\
\hfill 0 & -1 &\hfill 1 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & -1 & \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 1 & \hfill 0&0 &0 &0 \\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & -\hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &2 &1 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &2 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &2\\
\end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix}
-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &0 &0 &0 \\
\hfill 0 & -1 &\hfill 1 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & -1 & \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 1 & \hfill 0&0 &0 &0 \\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & -\hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &2 &1 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &2 &0\\
\hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &2\\
\end{pmatrix} \)
Saludos.