Hola

hola, entonces para hallar la segunda derivada hay que hacer   

\( f''(x)=\displaystyle\sum_{k=2}^\infty{\displaystyle\frac{(k-1)(x-2)^{k-2}}{3}}=\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{(x-2)^3}{3}+\displaystyle\frac{(x-2)^4}{3}+... \)

\( f''(2)=\displaystyle\frac{1}{3} \)

si uso el mismo criterio la tercera derivada cuarta etc etc quedan igual ??

Si. El procedimiento es el mismo; pero no estoy seguro con qué quieres decir con "quedan" igual; lo que no da es el mismo valor para todas las derivadas.

Saludos.

Hola

Si suponemos que \(  d  \) es el número más grande para el que eso sucede, que existe y existe porque hemos supuesto que no existe ningún x que pertenezca a una cantidad infinita de los \(  A_{k}  \)

Pero ese es el matiz; que no exista ningún \( x \) que pertenezca a un cantidad infinita de conjuntos no quiere decir necesariamente que exista un máximo para el cuál no existen elementos \( x \) en más se \( d \) conjuntos.

Imagina que exista un \( x_1 \) en \( 1 \) conjunto.
Un \( x_2 \) en dos conjuntos.
Un \( x_3  \)en tres conjuntos.
Y así sucesivamente. Entonces no hay ningún \( x \) en un número infinito de conjuntos; pero sin embargo no está acotado el número máximo de conjuntos que puede contener a un conjunto.

Saludos.

Hola

Habría alguna manera de resolverlo utilitzando la notación de Landau (o pequeña, orden de contacto...)?

Si se puede.

Quiero decir partiendo del hecho que
$$f(x)-P_n(x) = o((x-a)^n)$$
y, respectivamente con $$g(x)$$
Es decir que $$P$$ y $$f$$ tienen orden de contacto $$n$$
A más sabemos que el polinomio de Taylor es el único que tiene orden de contacto n con la función

Teniendo en cuenta esto último, usa que:

\( f(x)=p_n(x)+o((x-a)^n) \)
\( g(x)=q_n(x)+o((x-a)^n) \)

y entonces:

\( f(x)g(x)=p_n(x)q_n(x)+\underbrace{p_n(x)o((x-a)^n)+q_n(x)o((x-a)^n)+o((x-a)^{2n})}_{o((x-a)^n)} \)

Saludos.

Hola

Buena noche para todos. Tengo el siguiente problema que creo que resolví, pero igual, les agradecería si me dicen si es correcta la demostración.
Mil gracias.
El problema es el siguiente
Sea \( A_{1}, A_{2}, A_{3}, ...  \) una secuencia de conjuntos medibles contenidos en la bola \(  B(0,1)\subset{\mathbb{R^{n}}} \)
Asuma, que para algún \(  \epsilon>0 \) pasa que \(  m(A_{k})\geq{\epsilon}  \) pruebe que existe algún punto que pertenece a infinitos de los \(  A_{k} \)
Mi intento de demostración:
Primero, los \(  A_{k}  \) no pueden ser todos disjuntos, si así fuese \(  m(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k})=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{m(A_{k})} \geq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\epsilon} }  \) y esa serie no converge.
Es más:
Teniendo en cuenta esto, sea N-1, la cantidad de estos conjuntos que pueden ser disjuntos dos a dos.
Ahora, sea \(  I=\left \{ N, N+1, ... \right \}  \) un conjunto de indices.

Me sigue haciendo falta más aclaración. ¿El conjunto \( I \) es simplemente los números de \( N \) en adelante?.

Ahora, tenemos que:
\(  A_{i}\cap{A_{j}}\neq \emptyset  \) para algún i diferente de j, ambos en I.

¿Qué quieres decir exactamente ahí?. Que para cada \( i\in I \), existe un \( j\in I \) tal que \( A_i\cap A_j\neq\emptyset \)?. ¿Qué cualquier par de conjuntos distintos \( A_i,A_j \) con \( i,j\in I \) se cortan?. ¿Por qué?.

Saludos.

P.D. He arreglado la cita de tu mensaje para que se vea más clara.

Hola

¿El interrogante (igual, mayor ó menor) entre estas dos fracciones:

\( \dfrac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}?\dfrac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

es el mismo que el que relaciona a estas otras dos fracciones:

\( \dfrac{x_0c^na^{n-1}+a^n}{b^{n-1}\cdot{}a^{n-1}}?\dfrac{y_0c^nb^{n-1}-b^n}{a^{n-1}\cdot{}b^{n-1}} \)?

Las dos fracciones de la izquierda son equivalentes. Y las dos de la derecha también.

Si, es el mismo.

Saludos.

Hola

 Pues efectivamente en el caso infinito es falso. Encontré un ejemplo por ahí. Lo transcribo:

 Si consideramos el espacio vectorial \( V \) de funciones \( f:\Bbb Z\to \Bbb R \) con soporte finito, tenemos la base canónica:

\( f_n:\Bbb Z\to \Bbb R,\quad f_n(m)=\begin{cases}{1}&\text{si}& n=m\\0 & \text{si}& n\neq m\end{cases} \)

 Si definimos:

\(  E_1(f_n)=\dfrac{n}{2}(f_n+f_{2-n}) \)

\(  E_2(f_n)=\dfrac{n}{2}(f_n-f_{2-n}) \)

\(  E_3(f_n)=-\dfrac{n}{2}(f_n+f_{-2-n}) \)

\(  E_4(f_n)=-\dfrac{n}{2}(f_n-f_{-2-n}) \)
\( E_5(f_n)=f_n \)

 es fácil ver que \( E_i^2=E_i \), \( E_1+E_2+E_3+E_4+E_5=Id \), pero claramente \( E_5E_i\neq 0 \) para \( i=1,2,3,4 \).

Saludos.

P.D. Si no me equivoco para \( k=2,3,4 \) el resultado si es cierto para dimensión infinita. Si puedo luego intento escribir una prueba. Si es así esto si cerraría por completo la cuestión.

Hola

Buena noche para todos. Tengo el siguiente problema que creo que resolví, pero igual, les agradecería si me dicen si es correcta la demostración.
Mil gracias.
El problema es el siguiente
Sea \( A_{1}, A_{2}, A_{3}, ...  \) una secuencia de conjuntos medibles contenidos en la bola \(  B(0,1)\subset{\mathbb{R^{n}}} \)
Asuma, que para algún \(  \epsilon>0 \) pasa que \(  m(A_{k})\geq{\epsilon}  \) pruebe que existe algún punto que pertenece a infinitos de los \(  A_{k} \)
Mi intento de demostración:
Primero, los \(  A_{k}  \) no pueden ser todos disjuntos, si así fuese \(  m(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k})=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{m(A_{k})} \geq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\epsilon} }  \) y esa serie no converge.
Es más:
Teniendo en cuenta esto, sea N-1, la cantidad de estos conjuntos que pueden ser disjuntos dos a dos.
Ahora, sea \(  I=\left \{ N, N+1, ... \right \}  \) un conjunto de indices.
Ahora, tenemos que:
\(  A_{i}\cap{A_{j}}\neq \emptyset  \) para algún i diferente de j, ambos en I.
Ahora, supongamos que no existe ningún \(  x  \) que pertenezca a infinitos \( A_{i}  \) con \(  i \in{I}  \)
Por * tenemos que, existe un número \(  d  \) tal que
\(  \displaystyle\sum_{i=N}^\infty{m(A_{i})} \leq{dm(\bigcup_{i=N}^{\infty} A_{i})}  \)

No entiendo muy bien como justificas eso. Dices por (*), pero no sé a que hace alusión ese asterisco.

Saludos.

Hola

Hola Buenas tardes, ¿me ayudan con este ejercicio?

 Sean \( S_1=<(1,0,-1)> \) y \( S_2=\{(x,y,z) \in{\mathbb{\mathbb{}R^3}}:x+y+2z=0\} \).

a) Determinar un subespacio \( T\subseteq{\mathbb{}R^3} \) tal que \( S_1\subseteq{T} \) y \( S_2^\perp{}\oplus{T} \).Expresar dicho dicho subespacio en ecuaciones implícitas y paramétricas.

En general si tienes un plano \( ax+by+cz=0 \) su ortogonal está generado por el vector \( (a,b,c) \).

Entonces \( S_2^\bot=\langle (1,1,2)\rangle. \) Un subespacio \( T \) suplementeario a \( S_2^\bot \) es por tanto un plano, es decir, un subespacio generado por dos vectores \( u_1,u_2 \) tales que \( \{(1,1,2),u_1,u_2\} \) sean independientes.

Como además queremos que \( S_1\subset T \), tomamos \( u_1=(1,0,-1). \) Así que sólo queda elegir un vector \( u_2 \) independiente de \( (1,1,2) \) y \( (1,0,-1) \).

b) Estudiar cual de las siguientes afirmaciones es correcta:

\( S_1^\perp{}\oplus{}S_2^\perp{} \) ó \( S_1^\perp{}\subseteq{S_2^\perp{}} \)

\( dim(S_1)=1 \) por tanto \( dim(S_1^\perp)=3-dim(S_1)=2 \).
\( dim(S_2)=2 \) por tanto \( dim(S_2^\perp)=3-dim(S_1)=1 \).

Por tanto es imposible que \( S_1^\perp{}\subseteq{S_2^\perp{}} \).

Comprueba que \( S_1^\perp{}\oplus{}S_2^\perp{} \).

c) Buscar matrices \( A,B \) tales que:

\( S_1=N(A) \) y \( S_2=CO(B) \)

\( S_1 \) está generado por el vector \( (1,0,-1) \).

Sus paramétricas son:

\( x=t \)
\( y=0 \)
\( z=-t \)

Eliminando parámetros sus implícitas quedan_

\( x+z=0 \)
\( y=0 \)

Matricialmente (tomando la matriz de coeficientes del sistema):

\( \begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\end{pmatrix} \)

Por tanto \( S_1=N\begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&0\\\end{pmatrix} \).

Para la segunda parte necesitas una matriz \( B \) cuyas columnas generen \( S_2 \). Simplemente a partir de la ecuación implícita de \( S_2 \) dada calcula las paramétricas y de ahí un par de generadores que formaran las columnas de la matriz pedida.

Saludos.

P.D. Si tienes alguna duda indica claramente que has intentado y que dificultad concreta encuentras.

Hola

A ver, te adjunto las imagenes con lo que yo he puesto. no se si está bien, y

Tiene que intentar escribir las cosas en el foro. Lo tiene bien plantead; no he comprobado las cuentas 100% al detalle, pero grosso modo esa es la idea.

luego los dos ultimos ejercicios, no se aplicar la fórmula para obtener el resultado. Tú me has puesto las fórmulas, pero hay me quedo, no se aplicarlas.

Perdona si soy pesado. ¿Exactamente qué no sabes?

¿Utilizáis una tabla para trabajar con la Normal?¿software?¿una calculadora?.

Aquí por ejemplo tienes una tabla:

https://www.um.es/documents/877924/4876701/Tabla+de+la+distribuci%C3%B3n+normal.pdf/c812f3b4-7780-46e0-abfa-8c7cd452e407

Te permite hallar \( P(Z\leq z) \) para \( z\geq 0 \).

Entonces por ejemplo:

\( P(Y<35)=P\left(\dfrac{Y-46}{7}<\dfrac{35-46}{7}\right)=P(Z<-11/7) \)

Y usando \( P(Z<z)=1-P(Z<-z) \)

\( P(Z<-11/7)=1-P(Z<11/7) \)

 y ya sólo es usar la tabla.

Saludos.

Hola

Ahí edité el enunciado como realmente es. ¿Cómo puede resolverse de esa manera? No he podido con la ayuda en rojo.

En general si tienes una función \( f:\Bbb R\to \Bbb R \) y una relación definida como. \( xRy \) si y sólo si \( f(x)=f(y) \), el cociente se puede escribir como:

\( \Bbb R/R=\{[a]|a\in \Bbb R\} \)

donde \( [a]=\{x\in \Bbb R|f(x)=f(a)\} \).

El único "problema" ahí si se considera como tal, es que para valores distintos de \( a \) pudieramos estar denotando la misma clase. Esto ocurre si la función no es inyectiva. Si \( f(a_1)=f(a_2) \) entonces \( [a_1]=[a_2] \).

 Si queremos un conjunto de índices para denotar las clases sin repetir ninguna, tenemos que escoger un subconjunto \( D\subset \Bbb R \) tal que \( f|_D \) sea inyectiva y también cumpliendo que \( Im(f)=Im(f|_D) \) (en otro caso nos dejaríamos clases fuera).

Con esa elección el conjunto cociente es:

\( \Bbb R/R=\{[a]|a\in D\} \) con \( [a]=\{x\in \Bbb R|f(x)=f(a)\} \).

La diferencia con el caso anterior es que ahora por cada elemento de \( D \) hay una y sólo una clase.

Ahora aplica eso a tu caso particular.

Saludos.