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Mensajes - Luis Fuentes

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Probabilidad / Re: Ejercicios de probabilidad y estadística
« en: 24 Febrero, 2021, 05:18 pm »
Hola

La primera parte me ha quedado clara, pero la parte de las fórmulas no se como aplicarlas en este caso, me pierdo.

¿Dónde te pierdes?. Insisto en que concretes la duda.

Yo he escrito el valor de \( P(X_1),P(X_2) \), ¿sabes continuar escribiendo \( P(X_3),P(X_4),\ldots \)?.

Después también te he dado \( P(A|X_4),P(A|X_5) \), ¿sabes continuar con \( P(A|X_1),P(A|X_2),\ldots \)?

En ambos casos es información que tienes directamente en tus datos.

Una vez que tengas esos datos:

\( P(A)=\displaystyle\sum_{i=1}^8{}P(A|X_i)P(X_i)=P(A|X_1)P(X_1)+P(A|X_2)P(X_2)+P(A|X_3)P(X_3)+\ldots+P(A|X_8)P(X_8) \)

Inténtalo y si no eres capaz, indica donde está la dificultad.

Saludos.

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Probabilidad / Re: Ejercicios de probabilidad y estadística
« en: 24 Febrero, 2021, 03:54 pm »
Hola

Buenas, en el ejercicio me viene una infografía, pero básicamente es lo mismo que te puse, de todas formas te la paso. Los ejercicios están relacionados.

En cuanto al apartado a) y b), me parece muy sencillo para probabilidad que solo haya que calcular eso, normalmente hay que aplicar formulas pero no estoy seguro porque ya te digo que no tengo ni idea de como hacerlo.

Si, pues es como te dije.

Los "no tengo ni idea" son peligrosos; realmente si te dicen que un porcentaje de hogares que cumplen tal cosa y luego te dan el total de hogares, ¿no se te ocurre como calcular cuantos cumplen esa cosa?.

Tienes que intentar concretar las dudas; aunque sean muchas. Es como se aprende.

Si realmente no tuvieses ni idea, lo que tocaría no es este ejercicio, sino volver a estudiar la teoría e intentar identificar allí cuáles son tus dudas.

Entonces, a la vista de mis sugerencias para la solución, ¿qué dudas concretas te surgen?.

Saludos.

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Álgebra / Re: Ejercicio. Proyectores
« en: 24 Febrero, 2021, 12:21 pm »
Hola

Para ver esto, que \[ V \] es suma de las imágenes es inmediato de \[ E_1+\dots + E_k=I \]. Para ver que la suma es directa, vamos a ver que \[ \dim(im(E_1))+\dots + \dim(im(E_k))=\dim(V) \]. Para esto usamos que si \[ E \] es un proyector, se tiene que \[ \dim(im(E))=tr(E) \], donde \[ tr(E) \] es la traza (para ver esto, como \[ E^2=E \], el polinomio mínimo de \[ E \] es \[ x(x-1) \], con lo que \[ E \] es diagonalizable con valores propios \[ 0 \] y \[ 1 \]). Ahora, como \[ E_1+\dots+E_k=I \], \[ tr(E_1)+\dots + tr(E_k)=tr(I)=n \], de donde \[ \dim(im(E_1))+\dots + \dim(im(E_k))=\dim(V) \].


 :aplauso: Pues creo que ahora está bien. La verdad es que a mi se me escurría por algún detalle esta demostración, cada vez que la intenté.

Con el truquillo de traza igual a dimensión, la verdad es que queda muy elegante y extremadamente sencillo.

Citar
Y ahora que sabemos \[ V=im(E_1) \oplus \dots \oplus im(E_k) \] y que para cada \[ i \] se tiene \( V=im(E_i) \oplus ker(E_i) \) ya está, pues esto implica que si \[ i \neq j \] tienes \[ im(E_j) \subset ker(E_i) \] (para ver esto ten en cuenta que \[ E_i v \] es la componente de \[ v \] en \[ im(E_i) \] en ambas descomposiciones de \[ V \]), luego \[ E_iE_j=0 \].

Para concluir a mi me sale mas natural simplemente teniendo en cuenta que:

\( E_1v=E_1E_1v+E_2E_1v+\ldots E_kvE_1v=E_1v+E_2E_1v+\ldots E_kE_1v \)

y como la suma de imágenes es suma directa, por la unicidad de la descomposición todos los \( E_iE_1v=0 \) para \( i>1 \).

Lo análogo si cambiamos \( E_1 \) por los otros operadores.

Como cabo suelto ahí usamos que el espacio vectorial es de dimensión finita. ¿Y en dimensión infinita?.

Saludos.

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Álgebra / Re: Ejercicio. Proyectores
« en: 24 Febrero, 2021, 11:09 am »
Hola

El apartado b) es más complicado (o por lo menos yo no he sido capaz de ver una forma muy fácil de hacerlo). Puedes hacerlo de la siguiente manera. Como para cada \[ i \] tienes \[ E_i^2=E_i \], los \[ E_i \] son proyectores y tienes \[ V=im(E_i)\oplus ker(E_i) \].
Por otro lado, del hecho de que se cumple \[ E_1+\dots + E_k=I \] se tiene que \[ V=im(E_1)\oplus im(E_2) \dots \oplus im(E_k) \]. En efecto, que \[ V \] es suma de las imágenes es inmediato de \[ E_1+\dots + E_k=I \], y para ver que la suma es directa basta ver que \[ im(E_i) \cap \sum_{j \neq i} im(E_j)=0 \] para cada \[ i \]. Pero si tienes \[ v \in im(E_i) \cap \sum_{j \neq i} im(E_j) \], puedes escribir \[ v=\sum_{j \neq i} v_j \] donde cada \[ v_j \in im(E_j) \]. Por tanto \[ E_jv=v_j \] para todo \[ j \neq i \].

¿Lo qué he marcado en rojo es obvio? No lo veo ahora mismo.

Saludos.

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Probabilidad / Re: Ejercicios de probabilidad y estadística
« en: 24 Febrero, 2021, 10:05 am »
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no debes de repetir las mismas preguntas en distintos hilos.

Me dan estos datos:

- 21% de parejas sin hijos.
- 19% de parejas con 2 hijos.
- 17% de parejas con 1 hijo.
- 12% de persona sola de 65 o más años.
- 11% de personas sola de menos de 65 años.
- 8% de un adulto con hijos.
- 4% de pareja con 3 o más hijos.

Me pide que calcule:

a) Se estima que hay 3200000 hogares. ¿Cuántos corresponderían a parejas con 2 hijos?
b)¿Qué porcentaje representarían otros tipos de hogares no recogidos en la infografía anterior?

 ¿El enunciado es así tal cuál lo has escrito? ¿No falta nada?¿Algún gráfico?. Lo digo porque en los datos no me queda claro al 100% sobre que datos son esos porcentajes. ¿Sobre el número de hogares?.

 Es decir, 21% de parejas sin hijos, ¿significa qué el 21% de hogares tiene parejas sin hijos, o qué el 21% de las parejas no tienen hijos?.

 Mirando globalmente los datos supongo que todos los porcentajes están dados sobre el total de hogares.

 Por tanto si hay \( 3200000 \) hogares correspondería a parejas con dos hijos el 19%, es decir:

\( \dfrac{3200000\cdot 19}{100} \)

 Por otro lado el porcentaje de hogares no recogidos en los datos anteriores lo obtendrás restando de 100 el total de porcentajes que aparecen listados.

Citar
Para comprobar el efecto del confinamiento, el ayuntamiento de nuestra localidad ha realizado un estudio en los diferentes hogares. En la siguiente tabla están los resultados que indican el porcentaje de hogares que tienen algún miembro con anticuerpos. 

Persona sola mayor de 65 años 2%
Persona sola menor de 65 años 3%
Pareja sin hijos  5%
Pareja con 1 hijo 4%
Pareja con 2 hijos 4%
Pareja con 3 o más hijos 3%
Un adulto con hijos 3%
Otro tipo de hogar 4% 

Citar
a)Si elegimos un hogar al azar: ¿Qué probabilidad hay de que esté formado por 1 persona?

¿Pero es un ejercicio distinto del anterior o relacionado con el primero? Supongo que relacionado con el primero; porque aquí solo dicen datos sobre anticuerpos.

Una persona sola, entre las categorías listadas puede ser:

Persona sola mayor de 65 o más años 12%
Persona sola menor de 65 años 11%
Un adulto con hijos 8%

Por tanto son un \( 12+11+8=31 \)%. Y la probabilidad es \( \dfrac{31}{100}. \)

Citar
b)Volvemos a elegir otro hogar al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que algún miembro de ese hogar haya desarrollado anticuerpos?

Tienes que usar el Teorema de la probabilidades totales.

Si llamas:

\( X_1 \)=parejas sin hijos
\( X_2 \)=parejas con hijos
\( X_3 \)=parejas con un hijo
\( X_4 \)=persona sola con 65 o más años
\( X_5 \)=persona solo de menos de 65
\( X_6 \)=adulto con un hijo
\( X_7 \)=pareja con 3 o más hijos
\( X_8 \)=otro tipo de hogar

de la primera tabla sabes que \( P(X_1)=0.21,\quad P(X_2)=0.19,\quad \ldots  \)y así sucesivamente.

Si llamas \( A \) al suceso "el hogar tiene algún miembro con anticuerpos", de los dados dados después, tienes que:

\( P(A|X_4)=0.02 \) (tener anticuerpos sabiendo que es un hogar con una persona sola de 65 años o más).
\( P(A|X_5)=0.03 \) (tener anticuerpos sabiendo que es un hogar con una persona sola de menos de 65 años).

y así sucesivamente.

La probabilidad que te piden es entonces:

\( P(A)=\displaystyle\sum_{i=1}^8{}P(A|X_i)P(X_i) \)

Citar
Sabemos que las edades de las personas que viven solas y son menores de 65 años siguen una distribución normal de media 46 años y de desviación típica 7.

a)¿Cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, sea menor de 35?
b)¿Y de que tenga una edad comprendida entre 38 y 50 años?

Y esto es simplemente aplicar la distibución norrmal . Tienes una variable \( Y\in N(46,7) \). Te piden:

a) \( P(Y<35) \).

b) \( P(38<Y<50)=P(Y<50)-P(Y<38) \).

Te será útil estandarizar \( Z=\dfrac{Y-46}{7}\in N(0,1) \). Dependiendo de que tipo de tabla uses para hacer las cuentas también te puede ser útil que, si \( z<0 \) \( P(Z<z)=1-P(Z<-z) \).

Saludos.

46
Álgebra / Re: Hallar conjunto cociente de \(xRy\iff x^3-x=y^3-y\)
« en: 24 Febrero, 2021, 09:14 am »
Hola

Claro, pero entonces lo que te pide el problema es una representación gráfica del conjunto cociente. La gráfica de \( y=x^3-x \) la tienes aquí. Si trazas la recta horizontal \( y=a \), los puntos de corte con la gráfica \( (x_1,a),(x_2,a),\ldots \) satisfacen \( x_1^3-x_1=a^3-a, x_2^3-x_3=a^3-a,\ldots \) con lo cual \( x_1Rx_2,\ldots \) y para ciertos valores de \( a \) la clase es \( [a]=\{x_1,x_2,x_3\} \) (tres elementos), y esto ocurre cuando \( a \) está comprendido entre los extremos locales.

Para otros (fíjate en la tangente en cada extremo local) tenemos \( [a] \) con dos elementos, y para las rectas \( y=a \) por encima o por debajo de los extremos (i.e. la función es inyectiva), \( [a] \) contiene un único elemento.

¿No has mezclado ahí dos puntos de vista posibles para describir el conjunto cociente?.

 -  Una opción es como dices trazar las rectas \( y=a \), pero entonces los puntos de corte lo que satisfacen es \( x_i^3-x_i=a \) y no \( x_i^3-x_i=a^3-a \). Y esos tres puntos de corte no serían la clase de \( a \) sino la clase de un \( x \) verificando \( x^3-x=a \). La ventaja de esa representación es que \( a_{es} \) distintas representan clases distintas; el inconveniente es que explicitar los valores que cumplen \( x^3-x=a \) es feo.

- Otra opción es trazar las rectas \( y=a^3-a \) y entonces es el punto de vista que ponías en los mensajes anteriores. Entonces las soluciones de \( x^3-x=a^3-a \) si son los elementos de la clase de \( a \). El único inconveniente (si se considera como tal) es que distintos valores de \( a \) pueden representar la misma clase. Esto podría evitarse restringiendo los valores de \( a \). La ventaja es que las soluciones de \( x^3-x=a^3-a \) son más amables de escribir.

Saludos.

47
Matemáticas Generales / Re: Cono
« en: 24 Febrero, 2021, 08:59 am »
Hola

Alquien podría compartir conmigo al expresion para un cono con el vertice sobre el eje Z con la coordenada z > 0 y y que tenga la circunferencia o elipse sobre el plano X-Y?

Creo que es algo facíl pero no lo he encontrado por internet.

Por complementar todo lo que te han dicho.

Entiendo que el vértice sobre el eje \( Z \) con la coordenada \( z>0 \), significa que el vértice es un punto \( (0,0,z_0) \) con \( z_0>0 \).

En ese caso la ecuación podría escribirse como:

\( \dfrac{z_0^2x^2}{a^2}+\dfrac{z_0^2y^2}{b^2}=(z-z_0)^2 \)

donde \( a,b \) son los radios mayor y menor de la elipse sección del cono por el plano \( z=0 \) (el plano coordenado \( XY \)).

Saludos.

48
Foro general / Re: Matemáticas anti-racistas
« en: 23 Febrero, 2021, 11:08 am »
Hola
 
 Aquí puede verse el programa:

https://equitablemath.org/?utm_medium=email&utm_source=govdelivery

 Y los documentos. Y sí... ¡parece un disparate surrealista!.  ;D


La mayoría de "fakes" que circulan por la red son los que se dedican a denunciar "fakes" :).

Completamente de acuerdo.

 Pues yo para ser sincero, no entiendo bien la frase.

 Noticias falsas haberlas hailas; cuando circulan entre mis amistades y me llegan, me dedico dentro de lo razonable a investigarlas y si es el caso, tirarlas abajo. Entre ellas mucha pseudociencia, por cierto. Y me irritan bastante. Hacen daño algunas.

Saludos.

49
Álgebra / Re: Espacio vectorial (editado)
« en: 23 Febrero, 2021, 09:58 am »
Hola

Dados los vectores \( v_1,v_2,v_3, v_4 \) el espacio en \( \mathbb{R^3} \)
es posible afirmar que:
A. Forman un conjunto linealmente independiente
B.generan un subespacio de dimension 5
C.Forman un conjunto linealmente dependiente.
D.Ninguna de las otras respuestas es verdadera

Creo que la correcta es la D, porque no se puede forman un conjunto de 4 vectores en espacio \( \mathbb{R^3} \)

CORREGIDO

Cuando modifiques un mensaje, marca en rojo lo que has cambiado. Lo hemos hecho desde la administración.

Si una de ellas es que forman un conjunto LD, yo diría que sí... Siempre debería pasar porque la dimensión del espacio es 3 y te dieron 4 vectores, así que obligatoriamente uno de ellos es combinación lineal de los otros 3, pero no estoy muy seguro...

 Efectivamente; la dimensión de un espacio vectorial se puede interpretar como el máximo número de vectores formando un sistema linealmente independiente que puede haber; también como el mínimo número de vectores necesario para generarlo.

 Como \( \Bbb R^3 \) tiene dimensión \( 3 \), cuatro vectores nunca pueden ser linealmente independientes. Son siempre dependientes.

 Además cuatro vectores nunca pueden generar un espacio de dimensión cinco (a lo sumo generan uno de dimensión 4); luego B es falsa.

Saludos.

50
Optimización (Máximos y Mínimos) / Re: Óptimos de una función
« en: 22 Febrero, 2021, 07:36 pm »
Hola

Dije en un anterior comentario que abandonaba un foro en el que pueden modificar lo que has escrito y hacerte quedar como un ignorante o similar, pero cuando veo que alguien está confundido en conceptos básicos de matemáticas, no puedo menos que contestar para ver si puedo arreglar la situación. ¡¡ Es lo malo que tiene haber sido docente en la Universidad tantos años !!

Dices:

Lee otra vez, el desarrollo que tuve la paciencia de escribir y que adjunté a una de mis últimas intervenciones. En él, desarrollo en serie la diferencia \( f(x,y)-f(x_0,y_0) \) y concluyo que el signo de esta diferencia es el mismo que el de la forma cuadrática que forman las derivadas segundas si no todas son nulas. De aquí concluyo que la matriz Hessiana que forman estas debe ser una matriz cuya forma cuadrática asociada tenga siempre valor positivo o siempre valor negativo.

Veamos. Dada una función \( f(x,y) \) de clase dos, la matriz Hessiana en un punto \( (x_0,y_0) \) es:

\( H(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}{f_{xx}(x_0,y_0)}&{f_{xy}(x_0,y_0)}\\{f_{xy}(x_0,y_0)}&{f_{yy}(x_0,y_0)}\end{pmatrix} \)

donde \( f_{xx},f_{xy},f_{yy} \) son las segundas derivadas parciales de la función respecto a \( x \) dos veces, a \( x,y \) e \( y \) dos veces respectivamente.

 La matriz hessiana es la matriz asociada a la forma cuadrática de los factores de grado dos del desarrollo de Taylor en el punto \( (x_0,y_0) \), es decir, tales factores de grado dos se pueden escribir matricialmente como:

\( \color{red}\dfrac{1}{2}\color{black}\begin{pmatrix}x-x_0&y-y_0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{f_{xx}(x_0,y_0)}&{f_{xy}(x_0,y_0)}\\{f_{xy}(x_0,y_0)}&{f_{yy}(x_0,y_0)}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\\\end{pmatrix} \)

 ¿De acuerdo en esto?¿Algún matiz? Si quieres clarificar las cosas es bueno que indique exactamente qué cosas están mal de las que digo; porque te limitas a decir revisa esto o revisa aquello sin apuntar exactamente el supuesto error.

Citar
En el ejemplo \( x^2+y^4 \) se tiene \( f(x,y)-f(x_0,y_0)=(y-y_0)^2 \)

No. En el ejemplo \( f(x,y)=x^2+y^4 \) en el punto crítico \( (x_0,y_0)=(0,0) \) lo que se tiene es:

\( f(x,y)-f(x_0,y_0)=x^2+y^4-0^0-0^4=x^2+y^4=\color{blue}(x-0)^2\color{black}+(y-0)^4 \)

¿De acuerdo?. ¿Si?¿No? ¿Por qué?

Si lo que te refieres es a los términos de grado dos de ese desarollo que aproximan la función, entonces nos quedamos con la parte marcada en azul:

\( f(x,y)-f(x_0,y_0)\approx (x-0)^2=(x-x_0)^2 \)

Que efectivamente corresponde a la forma cuadrática que definie el Hessiano en este caso. En este caso, es decir, para \( f(x,y)=x^2+y^4 \) las parciales son:

\( f_{xx}=2 \)
\( f_{xy}=2x+4y^3 \)
\( f_{yy}=12y^2 \)

 Y evaluadas en el punto singular \( (0,0) \):

\( f_{xx}(0,0)=2 \)
\( f_{xy}(0,0)=0 \)
\( f_{yy}(0,0)=0 \)

 Por tanto la matriz hessiana en este caso es:

\( H(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}{f_{xx}(x_0,y_0)}&{f_{xy}(x_0,y_0)}\\{f_{xy}(x_0,y_0)}&{f_{yy}(x_0,y_0)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix} \)

 Que es semidefinida positiva. ¿De acuerdo? ¿Si?¿No?¿Exactamente con qué no estás de acuerdo de este desarollo?.

 Por tanto la matriz Hessiana en el punto \( (0,0) \) es semidefinida positiva.

 Sin embargo la función tiene un mínimo absoluto en tal punto ya que:

\(  f(x,y)=x^2+y^4\geq 0=f(0,0) \) para todo \( x,y\in \Bbb R^2 \)

Citar
En el ejemplo \( x^2+y^4 \) se tiene \( f(x,y)-f(x_0,y_0)=(y-y_0)^2 \) que es siempre positivo salvo en \( (x_0,y_0) \) y por tanto es definida positiva.  Creo recordar que una forma cuadrática es definida positiva cuando toma siempre valores positivos (salvo en (0,0) naturalmente)

Como te he dicho esa igualdad  \( f(x,y)-f(x_0,y_0)=(y-y_0)^2 \) está mal y lo he mostrado haciendo las cuentas. Pero incluso si estuviese bien no correspondería a una forma definida positiva. Porque se anula en todos los puntos de la forma \( (x,y_0) \), es decir, del la forma \( (x,0) \) y no sólo en el \( (0,0). \) La matriz asociada a esa forma cuadrática sería:

\( \begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix} \)

Spoiler
\( (y-y_0)^2=\begin{pmatrix}x-x_0&y-y_0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix} \)
[cerrar]

que de nuevo es semidefinida positiva y no definida positiva.

Citar
Creo recordar que una forma cuadrática es definida positiva cuando toma siempre valores positivos (salvo en (0,0) naturalmente)


 Correcto. Pero no es es el caso de la forma cuadrática cuya matriz asociada es:

\( \begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix} \) ó \( \begin{pmatrix}{2}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix} \)

 Como te he dicho la tanto la forma cuadrática que corresponde al Hessiano bien calculado, como la que tu has puesto (que está mal): ninguna de las dos es definida positiva.

Citar
y el hecho de que los menores de su matriz asociada sean + y 0 lo único que dice es que la forma es candidato a anularse en valores no nulos, por eso la etiqueta como semidefinida y deja su signo para un estudio posterior.

Aquí no sé muy bien que quieres decir. Cuando una forma cuadrática es semidefinida positiva toma siempre valores mayores o iguales que cero y para algún vector no nulo, el valor cero.

Citar
Vuelvo a incluir exactamente lo que escribí:
Si alguna de las derivadas segundas no se anula (En el ejemplo \( x^2y^2 \) se anulan todas) entonces el segundo sumando es el dominante para determinar el signo de f(x,y)-f(x0 ,y0 ), y así el signo y por tanto la existencia de extremo viene dada por el carácter de definida positiva o negativa de la forma cuadrática

Si; y el ejemplo anterior muestra que los términos de grado dos NO son una forma cuadrática definida y sin embargo hay un extremo.

En el otro ejemplo de Carlos \( f(x,y)=x^2-y^4 \) igualmente la correspondiente forma cuadrática no era definida y sin embarno no hay un extremo.

La conclusión es que tu afirmación es errónea: el carácter de definida positiva y negativa no caracteriza por completo la existencia de extremo.

En particular son una condición suficiente, pero no necesaria. Es decir si el Hessiano es definido positivo o negativo, entonces hay extremos. Pero puede haber extremo y sin embargo que el Hessiano no ser definido. Acabamos de ver un ejemplo.

Citar
El resto de tus comentarios no merecen ser contestados


¿Entiendo entonces que estás de acuerdo con todos?.

Citar
pero medita tus conceptos

Ya los he meditado.

Citar
y mira exactamente lo que afirmas.


Sería deseable, que indicases los errores CONCRETOS que ves en nuestras afirmaciones. Todavía no has dado una sola razón correcta que indique que nada de lo que hemos dicho sea falso (salvo mi error en mi primera elección el dejemplo). Y no solo eso, incluso te cuesta concretar el error que se supone que comete Fernando.

Citar
Comprendo que un foro en el que se hacen preguntas en relación con todos los campos de las matemáticas es algo muy amplio para los conocimientos de tan pocas personas que lo dirigen,


En este foro puede intervenir cualquiera, no sólo las personas que lo "dirigen".

Citar
pero es conveniente dejar que las opiniones o soluciones que exponemos puedan ser criticadas por un tercero

Cualquiera puede opinar y rebatir, mientras no falte al respeto.

Citar
'El que mucho abarca, poco aprieta'. No lo pongo en latín pues, aunque mis conocimientos tal vez me lo permitiesen (hace muchos años la asignatura era obligatoria en todos los cursos, 6, del bachillerato) no lo domino hasta ese punto.

Por una vez y sobre esto: sin comentarios.  :D

Saludos.

51
Optimización (Máximos y Mínimos) / Re: Óptimos de una función
« en: 22 Febrero, 2021, 09:21 am »
Hola

.......

1) La función a \( f(x,y)=x^2y^2 \) tiene un mínimo local en \( (0,0) \). En efecto:

\( f(x,y)=x^2y^2\geq 0=f(0,0) \) para todo \( x,y\in \Bbb R \) porque el cuadrado de números reales nunca es negativo.

Fernando no lo demuestra, porque es bastante evidente.
...

En 2) dices que la matriz Hessiana es nula. De acuerdo.
En 3) afirmas que no es definida positiva ni negativa
En 1) dices que vas a probar que en (0,0) tiene un mínimo local. ¿Dónde está probado?, ¿Es por 2)? ¿Es por 3)?

¡Pues lo tengo probado en (1)! Lo he marcado en rojo. Es esto:

\( f(x,y)=x^2y^2\geq 0=f(0,0) \) para todo \( x,y\in \Bbb R \) porque el cuadrado de números reales nunca es negativo

Ahí se prueba que en \( (0,0) \) hay un mínimo global y por tanto en particular local.

Si lees detenidamente el comentario de Fernando, en él afirma (sin hacer hincapié en que la matriz es 2x2) que como el determinante es negativo, no hay extremo relativo. Si uno interioriza esta frase y luego la aplica a funciones de 3 variables, está perdido.

Y si uno aplica esta técnica para funciones que no son de clase dos, no funciona... o si el punto crítico es frontera del dominio hay que tener en cuenta otros matices... ¡Claro, cada cosa hay que aplicarla en su contexto adecuado!.

De todas formas si era ese el matiz; pues con haber dicho "ojo, porque eso solo es cierto en dimensión dos" o algo análogo, nos hubiéramos ahorrado muchas líneas. Además ese matiz de que estamos con matrices \( 2\times 2 \) ya te lo había comentado antes; pero no lo has mencionado hasta ahora.

Citar
Es la misma historia del 1/0 = infinito, 0/0 = indeterminado que incluso muchos docentes tienen aprendida.

Esto no sé a que viene.

Citar
¿Te das cuenta que me acabas de poner una matriz semidefinida para rebatir que ser definida es condición necesaria y suficiente para existencia de extremo?

Tienes toda la razón. Me equivoqué con el ejemplo.

Un ejemplo que sí muestra que tu afirmación es falsa es el que puso después Carlos Ivorra. La función \( f(x,y)=x^2+y^4 \)  tiene un extremo relativo en el punto \( (0,0) \) (un mínimo), pero su matriz hessiana el tal punto es semidefinida positiva, es decir, NO es definida.

Por tanto ser definida NO es necesario para la existencia de extremo.

Efectivamente, has probado que en (0,0) hay un mínimo sin recurrir a derivadas posteriores ni anteriores. Lo malo es que los mínimos absolutos no se buscan con derivadas.

¿Cómo qué los mínimos absolutos no se buscan con derivadas? Las derivadas son una herramienta válida para buscar mínimos absolutos; no es la única herramienta; se puede complementar con otros argumentos. Obviamente cuando se den las hipótesis adecuadas para poder aplicarlas.

Spoiler
Por ejemplo, si quieres hallar los máximos y mínimos absolutos de la función \( f(x)=2x^3+3x^2-12x+2 \) en el intervalo \( [-3,2] \). Sabemos que existen porque la función es continua en un compacto. Los candidatos a óptimos son los puntos donde se anula la derivada y los extremos del intervalo.

La derivada es \( f'(x)=6x^2+6x-12=6(x-1)(x+2) \). Se anula en los puntos \( x=1 \) y \( x=-2 \).

Se tiene \( f(-3)=11,\quad (-2)=22,\quad f(1)=-5,\quad f(2)=6 \) y por tanto  el máximo absoluto se alcanza en \( x=-2 \) y el mínimo absoluto en \( x=1 \).

Y...¡oh!... he usado derivadas para buscar ese máximo y ese mínimo.
[cerrar]

Citar
Incluso pueden no existir derivadas y sí mínimos absolutos.

De acuerdo. Y pueden no existir derivadas y también existir mínimos locales. ¿Y qué tiene que ver eso con nada de lo qué te hemos dicho?.

Citar
Revisa la afirmación 'existe mínimo absoluto, y en consecuencia, local' si la palabra local se refiere a extremo relativo.

mmmmm.... aquí me entran dudas de que quieres decir. Porque esa afirmación es correcta: todo mínimo absoluto es en particular un mínimo local, un extremo relativo.

Entonces, ¿qué problema le ves a esa afirmación?.

Por alguna cosa que has dicho en otros mensajes he llegado a sospechar que dudas de que todo mínimo absoluto sea también relativo; pero no sé.. tu dirás.

Citar
La función \( \sqrt[ ]{x^2+y^2} \) tiene un mínimo local en (0,0) pero ni siquiera es derivable allí (es el vértice de un cono).

Si, eso es cierto.  ¿Y bien? ¿Qué tiene que ver con todo lo qué estamos diciendo?.

Saludos.

52
Hola


\( G \) es una función. \( G(x) \) es la función.



Perdonad mi insistencia. La forma más gráfica de ver una función es imaginar esta imagen





A esto llamo una función. Una "caja negra", como dice Wikipedia. Nada, hasta concretar la función.

No, Marcos. No sé si quieres dar a entender que en \( G \) aún no está definida la función y en \( G(x) \) si. Esto no tiene sentido. La función será una concreta cuando se haya explicitado que función es; pero eso no tiene nada que ver con que se escriba de una de las dos formas que indicas.

Sinceramente hasta que no contestes que opinas de esto (si lo entiendes; si no lo entiendes; si tienes alguna discrepancia;...) o aclares exactamente, con mucha precisión, que te lleva a esa confrontación entre las dos escrituras, no sé muy bien que más decir:

Reitero algunas ideas:

 1) Si uno tiene por ejemplo \( f:\Bbb R\to \Bbb R \), \( f(x)=x^2+1 \). Es usual hacer referencia a esa función diciendo cosas como:

 \( f(x) \) es continua.
 \( f \) es continua.
 \( f(x) \) es derivable.
 \( f \) es derivable
 \( f \) tiene mínimo.
 \( f(x) \) tiene mínimo.

 Cualquiera de esas notaciones es correcta y se usa: es decir \( f \) y \( f(x) \) son la MISMA FUNCIÓN.

 2) En el algunas ocasiones una hace referencia al valor de la función en un punto, escribiendo \( f(x) \). En ese caso \( f(x) \) es un número: la imagen de \( x \) por la función \( f \). Evidentemente en ese caso no podrías escribir sólo \( f \).

 Pero como ves la diferencia es muy gruesa en este caso y queda clara del contexo. \( f(x) \) es un número y \( f \) una función. Difícil confundirlas.

 3) Entonces la pregunta es. ¿Qué es lo que ha hecho pensar que \( G \) y \( G(x) \) son funciones distintas?. NO LO SON.

 4) Al principio pensé que era por la escritura \( \color{red}G\color{black}\circ \color{blue}G(x)\color{black} \) donde distinguías por un lado \( \color{red}G\color{black} \) y por otro  \( \color{blue}G(x)\color{black} \), como si compusieses dos funciones que son distintas. Pero no, eso es \( (G\circ G)(x) \) y estás componiendo la función \( G \) o la función \( G(x) \) (da igual) consigo misma.

Saludos.

P.D. Por cierto respecto a tus últimas intervenciones, feriva: no entiendo nada. Me parecen un galimatías. Me parece que confundes dominio e imagen con elemento del dominio y elemento de la imagen. Además de frases un poco extrañas como esta, a la que me cuesta dar un significado preciso:

Citar
Y si yo te digo lo siguiente: tenemos la función “x” y la función “x”, ¿quién es el dominio y quién la imagen?

53
Optimización (Máximos y Mínimos) / Re: Óptimos de una función
« en: 21 Febrero, 2021, 11:56 pm »
Hola

Yo no sé si sostienes estas ideas por ignorancia o por fastidiar,

¿Este es tu concepto de


Os adjunto fichero en el que podéis estudiar que no basta el signo del Hessiano sino el carácter de la matriz Hessiana para determinar la existencia de extremos relativos de una función de dos variables. Cuando defiendo mis ideas, me gusta razonarlas y no insultar o menospreciar al contrario como hacen otros.
?

Tenemos un concepto muy distinto de lo que es no insultar y menospreciar. Y de usar la razón para defender las ideas.

Citar
pero en el escrito que antes he adjuntado, que dices que es correcto, digo claramente que si la matriz Hessiana es nula, el estudio debe realizarse con derivadas posteriores (la matriz nula no es ni definida positiva ni negativa, simplemente es la matriz nula) y eso está en contradicción completa con lo que sostiene Fernando.

Insisto, eso no contradice lo dicho por Fernando.

Por ejemplo, para \( f(x,y)=x^2y^2 \) hay mínimo local en \( (0,0) \) y su matriz hessiana no es ni definida positiva ni definida negativa.

Dime que está mal:

1) La función a \( f(x,y)=x^2y^2 \) tiene un mínimo local en \( (0,0) \). En efecto:

\( f(x,y)=x^2y^2\geq 0=f(0,0) \) para todo \( x,y\in \Bbb R \) porque el cuadrado de números reales nunca es negativo.

Fernando no lo demuestra, porque es bastante evidente.

2) Su matriz Hessiana en \( (0,0) \) es la matriz nula, ya que:

\( f_{xx}=2y^2 \)
\( f_{xy}=4xy \)
\( f_{yy}=2y^2 \)

y esas segundas parciales se anula en el origen.

3) Su matriz Hessiana por ser la matriz nula no es ni definida positiva ni definida negativa.

Citar
En el ejemplo \( f(x,y)=x^3y^3-9x-9y \) dice Fernando que como el Hessiano es negativo eso significa que la matriz Hessiana no es definida ( ¡¡ Valiente afirmación !!)


Efectivamente. Si una matriz simétrica \( 2\times 2 \) es definida positiva o definida negativa su determinante es positivo. ¿De acuerdo en esto?. Basta tener en cuenta que en su forma diagonalizada tienes dos signos positivos o dos negativos, y el producto de ambos es positivo.

Por tanto si su determinante es negativo no puede ser definida.

Citar
y por tanto hay que hacer otro tipo de estudio (crece en una dirección y en la otra decrece). Deberíais mirar la ley de Silvester y la alternancia de signos de los menores que orlan la diagonal principal antes de decir que una matriz con determinante negativo no es definida.

Si; te lo he justificado antes. OJO, para matrices \( 2\times 2 \) que es el caso que nos ocupa.

Citar
Además, el archivo que adjunté prueba claramente que si la matriz Hessiana no es nula, es condición necesaria y suficiente que esta sea definida para la existencia de extremo relativo.

Esto no es así.

Por ejemplo si consideras la función \( f(x,y)=x^2+y^3 \), su matriz Hessiana en el origen es:

\( \begin{pmatrix}2&0\\0&0\\\end{pmatrix} \)

No es nula. Es semidefinida positiva y no llega para saber si hay o no extremo relativo. En este caso no lo hay y basta fijarse que en los puntos \( (0,y) \) la función toma el valor \( y^3 \) que es positivo o negativo según y tome valores positivos o negativos, tan próximos a cero como queramos.

Añadido: Pero este no es el ejemplo adecuado. Me confundí. Veáse los que puso Carlos Ivorra.

Citar
Si las soluciones que dais a los que os preguntan tienen este grado de erudición me extraña que el foro haya cumplido tantos años. Tal vez sea porque los usuarios del foro se renuevan constantemente abandonando en cuanto ven lo que se cuece en él. (salvo los incondicionales a los que les da lo mismo un ocho que un ochenta).

Quien crea que una respuesta es incorrecta es libre de debatir sobre ella. Pero sin faltar al respeto.

Termino mi intervención recalcando el inicio de la misma. Que cada cual juzgue lo que cada uno entiende por argumentar y razonar sin menospreciar:

Yo no sé si sostienes estas ideas por ignorancia o por fastidiar,


Os adjunto fichero en el que podéis estudiar que no basta el signo del Hessiano sino el carácter de la matriz Hessiana para determinar la existencia de extremos relativos de una función de dos variables. Cuando defiendo mis ideas, me gusta razonarlas y no insultar o menospreciar al contrario como hacen otros.
?

Saludos.

P.D. Gustosamente seguiré debatiendo la cuestión matemática que nos ocupa con argumentos. Mi paciencia para debatir sobre matemáticas, no sé si infinita, pero es muy amplia. Para otro tipo de cosas.. .no tanto.

CORREGIDO

54
Hola

Buenas tardes FORO! necesito de vuestra ayuda por favor con el siguiente ejercicio.
Sean los planos \( \pi_1:x-3y+kz=-2 \),  \( \pi_2: (k^2-9)y+(k-3)z=3k \), \( \pi_3: x+(k^2-12)y+(2k-3)z=3k-2 \) y \( \pi_4: (k^2-5k+6)z=k^2+k-6 \), analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando su respuesta.

Solución
Lo primero que hice fue hallar los valores de \( k \) para los cuales el sistema con los cuatro planos es un SCD, SCI, o S.Inc
Hallando
(1) \( \forall{k \in{\mathbb{R}}}-\{2,-3,3\} \Longrightarrow{} \) SCD La matriz es  \( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{k}&{|}&-2\\{0}&{1}&{\displaystyle\frac{1}{k+3}}&|&\displaystyle\frac{3k}{k^2-9}\\{0}&{0}&{0}&|&\displaystyle\frac{k+3}{k-3}\\{0}&{0}&{0}&|&0 \end{bmatrix} \)

A vuelapluma hay algo que no me cuadra.

La última ecuación correspondería a una fila de la matriz del tipo:

\( 0\qquad 0\qquad (k^2-5k+6)\qquad k^2+k-6 \)

Si \( k^2-5k+6\neq 0 \) al escalonar la matriz necesariamente debería de aparecer una fila del tipo:

\( 0\qquad 0\qquad cte_1\qquad cte_2 \)

 con las constantes quizá dependientes de \( k \), pero desde luego \( cte_1\neq 0 \).

Revisa las cuentas y también lo que yo he comentado. Quizá no estoy viendo algo.

Saludos.

55
Optimización (Máximos y Mínimos) / Re: Óptimos de una función
« en: 21 Febrero, 2021, 07:45 pm »
Hola

 Reafirmando lo que apunta Fernando.

Os adjunto fichero en el que podéis estudiar que no basta el signo del Hessiano sino el carácter de la matriz Hessiana para determinar la existencia de extremos relativos de una función de dos variables. Cuando defiendo mis ideas, me gusta razonarlas y no insultar o menospreciar al contrario como hacen otros.

Estoy de acuerdo con lo que has puesto en tu PDF. Pero es que nada de eso contradice lo que ha puesto Fernando.

1) En el ejemplo de \( f(x,y)=x^2y^2 \) lo único que dice Fernando es que en \( (0,0) \) hay un mínimo absoluto, y sin embargo el hessiano NO es definido positivo NI definido negativo. Pretende ser un ejemplo de que el hecho de el hessiano NO sea ni definido positivo ni definido negativo no llega para afirmar que NO hay extremo en ese punto.

2) En el caso de \( f(x,y)=x^3y^3-9x-9y \) lo que dice Fernando es que en el punto crítico el Hessiano es negativo (es decir el determinante de la matriz Hessiana). Eso significa que es una matriz indefinida (signatura \( (1,1)  \) en concreto) y eso SI llega para afirmar que NO hay extremo en ese punto, porque en una dirección crece y en otra decrece.

Sigo sin saber en cuál de estas dos cosas no estás de acuerdo o piensas que Fernando está equivocado. Porque ninguna contradice lo que has expuesto en el PDF.

Saludos.

56
Álgebra / Re: Resolver ecuación polinómica de grado alto
« en: 21 Febrero, 2021, 04:10 pm »
Hola

Posiblemente, intencionadamente o no, se haya modificado la frase

Espero que sirva esta explicación y no se alteren más mis mensajes para que digan lo que no quiero decir.

Por el respeto que yo si tengo, pero tu demuestras no tener, a la persona que tiene dudas matemáticas y se acerca al foro para buscar ayuda te respondo a esto aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115428.msg462695#msg462695

Saludos.

57
Dudas y sugerencias del foro / Re: Hilo intrascendente
« en: 21 Febrero, 2021, 04:03 pm »
Hola

Posiblemente, intencionadamente o no, se haya modificado la frase
 'Como \( f^{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f^{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.' que evidentemente es falsa y no escribiría ni un niño de primaria.

Nadie ha modificado esa frase. Y no te consiento que pongas eso en duda. El único que modificó tu mensaje fui yo. Y sólo quité las alusiones a Carlos Ivorra. PUNTO.

Tu mensaje original está intacto aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115428.msg462614#msg462614

Si crees eso, si dudas de que la administración modifique los mensajes hasta el punto que das a entender, pues directamente no participes en el foro. Nadie te obliga.

Por otra parte dices que "no escribiría ni un niño de primaria". Es decir que si alguien el el foro (curiosamente, ¡qué ironía!, esta vez has sido tu mismo, aunque lo niegues) escribiese esa frase una vez más lo menospreciarías.
,
Pues no: cualquiera puede equivocarse y escribir esa frase. No pasa nada. Yo me equivoco muchas veces; agradezco que me hagan ver los errores. A veces son erratas, despistes. Otras por cosas que no entendía bien. No hay problema.

Pero ese es el tipo de actitud que has tenido en el foro desde el principio, y que hemos intentado cortar. No puedes menospreciar a otros usuarios.

Saludos.

58
Optimización (Máximos y Mínimos) / Re: Óptimos de una función
« en: 21 Febrero, 2021, 03:49 pm »
Hola

Te digo lo mismo que le dije a Luis,

Me hablas como si fuera otra persona distinta de Luis, pero me has contestado a mi a, Luis Fuentes, (has citado mi mensaje). Supongo que quisiste poner "lo mismo que le dije a Fernando".

Citar
mira el enlace http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/segundo/Apuntes%20MII/Extremos_varias_variables.pdf que puede serte de utilidad.

Inisisto, ¿exactamente de mi último mensaje qué crees que está mal? ¿o del mensaje de Fernando?.

Citar
¡¡ Ah !!, me emociona tu frase: ' SI puede haber extremo relativo (en incluso absoluto) en ese punto', da a entender la supremacía de los extremos absolutos sobre los relativos e incluso sugiere derivar para obtenerlos. Incluso le falta una tilde al SI salvo que quieras que se lea como un condicional.

Gracias por la corrección ortográfica.

Lo que dices sobre los extremos no lo entiendo. No sé a que viene.

Saludos.

59
Hola

Creo que ya lo ha explicado Luís bastante mejor que yo, en general se puede usar tanto \( G \) como \( G(x) \) para referirse a una misma función, pero en este caso en concreto se usa \( G(x)  \)para referirse a la imagen (al valor de salida de la función si quieres), que NO es lo mismo que el dominio (valor de entrada) de la misma.

No me convence del todo como está dicho.

\( G(x) \) se refiere a la imagen del punto \( x \).

\( G(x) \) pertenece a la imagen (al conjunto imagen) de la función \( G \). Y en ese caso \( x \) tiene que pertenecer al dominio de \( G \).

Pero ni \( x \) ES el dominio; si \( G(x) \) ES la imagen. Son respectivamente elementos concretos del domino y de la imagen.

No sé si se entiende el matiz. En la misma línea:

\( G \) y \( G(x) \) hacen referencia a la misma función, pero en este caso concreto se usa \( G(x) \) para refererirse a la imagen (valor de salida) de \( G \).

\( G(x) \) no se refiere a la imagen de \( G \); se refiere a la imagen del elemento \( x \) por la función \( G \).

Saludos.

60
Hola

Luis: es un intento de prueba de un estudiante y antes de juzgarla quería tener motivos para decirle si en un examen se lo pondrán como bien o mal. En particular estoy de acuerdo con lo que dices.

Quizás simplemente pueda decir que sería más completo empezar nombrando explícitamente el antecedente de lo que queremos probar y luego arribar a ese primer paso que empieza la prueba alternativa. ¿Lo ven bien?

Si. De todas formas inevitablemente tiene algo de subjetivo.

No obstante no todo es bien o mal. Hay matices. La escritura alternativa que has propuesto, como he dicho, me parece que está incompleta. Ahora no es ningún disparate. A la hora de calificarla depende mucho de los criterios que se fijen; del nivel de exigencia; del contexto; no sé...

Saludos.

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