Hola

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Gracias. De todas formas no pierdas mucho tiempo en esto. Creo que tengo alternativas ... mmm ... quizá colocar enlaces a Lichess, y además así la gente puede mover las piezas para revisar las jugadas anteriores.

Pero no hay problema es subir imágenes. Simplemente hay que adjuntar el archivo y proceder como se indica aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=3659.msg14457#msg14457

Lo que se ha desactivado es un módulo que hacía ese proceso ligeramente más sencillo.

Saludos.

Hola

Me gustaría saber si se ha llegado a demostrar que todos los términos de la serie de Collatz son distintos entre sí (a excepción de la serie trivial 4, 2, 1.)

Que yo sepa no está demostrado. Hay trabajos que prueba que si existiese un ciclo debería de ser de longitud mayor que "tanto" (da igual el número).

Si uno bucea en internet buscando trabajos en inglés, encuentra alguno que DICE que lo ha probado; pero si uno indaga un poco más ve que no están publicados en ninguna revista (mínimante seria) y algunas además tienen un anexo donde ponen de manifiesto el error.

Saludos.

Hola

 Por completar voy a detallar como construir la isometría, mediante composición de varias isometrías.

 Supongamos que \( d(R_1,S_1)=d(R_2,S_2) \) y \( ang(R_1,S_1)=ang(R_2,S_2). \)

 Sean \( P_i\in R_i \) y \( Q_i\in S_i \) los únicos puntos en las rectas tales que d(R_i,S_i)=d(P_i,Q_i) (los puntos de las rectas a mínima distancia y por tanto dan la distancia entre ellas). Recordemos que el vector \( P_iQ_i \) es perpendicular a ambas rectas.

 1) Mediante una traslación podemos llevar \( P_1 \) en \( P_2 \).  En cada paso mantengo el nombre de los objetos transformados. De esta forma ahora \( P_1=P_2 \).
 2) Mediante un giro llevamos \( R_1 \) en \( R_2 \) manteniendo el punto \( P_1 \) fijo. Ahora \( R_1=R_2 \).
 3) Los vectores \( \vec{P_1Q_1} \) y \( \vec{P_2Q_2} \) son ambos perpendiculares a \( R_1=R_2 \) y de la misma longitud. Por tanto con un giro de eje \( R_1=R_2 \) podemos llevar \( Q_1 \) en \( Q_2, \) manteniendo el eje de giro fijo. Ahora \( Q_1=Q_2 \).
 4) Ahora las rectas \( S_1 \) y \( S_2 \) son ambas perpendicualres al vector  \( \vec{P_1Q_1}=\vec{P_2Q_2} \), es decir, están en el plano perpendicular a ese vector que pasa por el punto \( Q_1=Q_2. \) Como ambas rectas forman el mismo ángulo con \( R_1=R_2 \) o coinciden o bien una es simétrica de la otra respecto al plano que forman \( R_1=R_2 \) y  \( Q_1=Q_2 \). Con esto hemos terminado.

Saludos.

Hola

      Supongamos, por el contrario, que \( S_n \) es no vacío para todo \( n \). Demostraremos que esto lleva a una contradicción. Como \( S_n \) está acotado inferiormente ( \( a \) es una cota inferior), por completitud, \( S_n \) tiene una cota inferior mínima; llamémosla \( x_n \) (véase la Figura III.2). Evidentemente \( a\leq{x_n} \). Como \( f(x)>n \) en algún punto de \( [a,b] \) y \( f \) es continua en dicho punto, \( f(x)>n \) en algún intervalo contenido en \( [a,b] \). Se deduce entonces que \( \color{red}f(x)\color{black}\geq{n} \) (si \( f(x_n<n, \) entonces, por continuidad, \( f(x)<n \) para alguna distancia a la derecha de \( x_n \), y \( x_n \) no podría ser la máxima cota inferior de \( S_n \)).No entiendo esta frase.

Lo que he marcado en rojo debería de ser \( f(x_n) \). Te reformulo que hace ahí.

Toma \( x_n=inf\{x\in [a,b]|f(x)>n\} \). Primero es claro que \( x_n\geq a \).

Además \( x_n<b \). En caso contrario \( f(x)\leq n \) para todo \( x<x_n=b \) y la función estaría acotada superiormente, con lo cuál ya tendríamos probada la acotación buscada.

Ahora quiere probar que \( f(x_n)\geq n \). Lo hace por reducción al absurdo; en caso contrario si \( f(x_n)<n \), por continuidad existe un \( \delta>0 \) tal que si \( x\in (x_n,x_n+\epsilon)\subset [a,b] \) entonces \( |f(x)-f(x_n)|<n-f(x_n) \); pero entonces \( f(x)<n \) para todo \( x\in (x_n,x_n+\epsilon)\subset [a,b] \), lo cuál contradice la condición de ínfimo de \( x_n \).

Teorema 3

Si \( a\leq{x_n}\leq{b} \) para todo \( n \), y si \( \mbox{lim}\color{red}f(x_n)=f(L)\color{black} \), entonces \( a\leq{L}\leq{b} \).

Hay una errata ahí sobran las \( f. \)

Pero como \( f(x_n)\geq{n} \), \( \mbox{lim}f(x_n) \) no puede existir. Esta contradicción completa la demostración. Esto no lo entiendo

Pues una sucesión \( \{f(x_n)\} \) en cada término es mayor que \( n \), no puede converger diverge a infinito (el primer término es mayor que \( 1 \), el segundo mayor que \( 2 \), el tercero mayor que \( 3 \),...).

Saludos.

Hola

Hola, quiero saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
"Sean $$R_{1}$$, $$S_{1}$$, dos rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$, e igualmente $$R_{2}$$, $$S_{2}$$ otro par de rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$. Entonces existe una isometría $$f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow  \mathbb{R}^3$$, tal que $$f(R_{1})=R_{2}$$ y $$f(S_{1})=S_{2}$$."

Ten en cuenta que una isometría conserva distancias. ¿Qué ocurre si las rectas originales están a distinta distancia entre si que sus pretendidas imágenes?.

¿Podría alguien darme una pista o algún tipo de indicación para llegar a ver si es posible que esa isometría exista o, por el contrario, nunca existirá?

Ojo como formulas la pregunta; una cosa es que pueda existir (para ciertas posiciones particulares de las rectas) y otras que no exista nunca.

Saludos.

Hola

Pues a mí me pasa seguido en Chrome, que es donde tengo todas las cookies y demás cosas guardadas. Por ejemplo es molesto no poder renderizar las fórmulas cuando se previsualiza el mensaje.

Pero si no le pasa más gente, ¿será algún problema particular?. ¿Has probado a borrar las cookies?.

Saludos.

Hola

Hola, un ejercicio me pide que demuestre que si dos sucesos son independientes y sus prob son positivas entonces no son incompatibles.
Alguna idea de como puedo empezar la prueba.
Gracias

Son incompatibles si y sólo si la probabilidad de su intersección es nula.

Son independientes si y sólo si la probabilidad de su intersección es el producto de la probabilidad de cada uno de ellos.

Con eso y la hipótesis de probabilidades positivas sale de manera inmediata.

Saludos.

Hola

Normalmente, cuando se tiene una ecuación exponencial, se resuelve tomando logaritmos para deshacer la exponencial. En este caso, si tomamos logaritmos obtenemos la ecuación \( e*x=\displaystyle\frac{log(x+1)}{log(x)} \) que evidentemente tiene la solución x=0. La otra solución es x=1.26817 pero la he obtenido por métodos numéricos. Sigo pensando para ver si la obtengo por métodos analíticos.

No se muy bien si ha habido una errata por en medio; pero esa ecuación no corresponde a la original. Y tampoco \( x=0  \) es solución a la que has puesto, porque \( log(0) \) no está definido.

La ecuación original es:

\( \dfrac{e^x}{x^e}=x+1 \)

Tiene dos soluciones (obtenidas numéricamente):

\( x_1=1.15253005804048 \)
\( x_2=7.72240526160407 \)

Blancoynegrofil preguntaba si pueden calcularse explícitamente usando la función auxiliar W de Lambert que cumple:

\( xe^x=z\quad \Leftrightarrow{}\quad x=W(z)  \)

Saludos.

Hola

Me encontré lo siguiente en el libro de Docarmo geometría diferencial.  Sea \(  C \subset \mathbb{R}^3 \) una curva cuya parametrización es \( \alpha: (a,b) \rightarrow{\mathbb{R}^3} \) dada por \( \alpha(v) = (f(v),0,g(v)) \). Suponga que f(v) es positivo y \( C \) gira entorno al eje z, entonces la superficie de revolución resultante tiene parametrización:  \( x(u,v) = (f(v)cos(u), f(v)sen(u),g(v)). \)

Ver diferenciabilidad e inyectividad de \( dx_{(u_0,v_0)} \) no se me dificulta, la dificultad reside en probar inyectividad de esta función.  El autor dice: como \( (f(v), g(v)) \) es una parametrización de \( C \), entonces dados \( z \) y \( x^2+y^2 = [f(v)]^2 \) se puede establecer \( v \) con unicidad, asi \( x \) es inyectiva. Pero no comprendo la conclusión.

La verdad se me dificulta la prueba de inyectividad de funciones donde aparecen ángulos, como por ejemplo la esfera en coordenadas esféricas, el cilindro en coordenadas cilíndricas, si hubiera alguna sugerencia sobre este punto lo agradecería. Gracias.

 De manera concreta tienes que probar que:

\(  x(u,v)=x(u',v')\quad \Rightarrow{}\quad (u,v)=(u',v') \)

 Pero:

\(  x(u,v)=x(u',v')\quad \Rightarrow{}\quad (f(v)cos(v),f(u)sin(u),g(v))=(f(v')cos(u'),f(v')sin(u'),g(v')) \) (*)

 Por la igualdad de las dos primeras componentes:

\(  f(v)^2cos^2(u)+f(v)^2sin^2(u)= f(v')^2cos^2(u')+f(v')^2sin^2(u')\quad \Rightarrow{}\quad f(v)^2=f(v')^2\quad \Rightarrow{}\quad  f(v)=f(v') \)

 donde la última implicación es por ser \( f \) positiva.

 Entonces volviendo a las dos primeras componentes y dividiendo por \( f(v) \) tenemos que:

\(  (cos(u),sin(u))=(cos(u'),sin(u'))\quad \Rightarrow{}\quad u=u' \)

 donde usamos que un ángulo \( \alpha\in [0,2\pi) \) queda inequívocamente determinado por sus dos razones trigonométricas.

 Por último unimos la igualdad de la tercera componente de (*) tenemos que:

\(  (f(v),g(v))=(f(v'),g(v')) \)

 y como \(  \alpha(v) \) era una parametrización (inyectiva) \( v=v' \).

Saludos.

Hola

\( \dfrac{(x-1)\left(1+x-\sqrt[3]{x^{2}}\right)}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}} \)

No consigo simplificarlo a algo totalmente reducido, no estoy seguro de si no tiene solución o si en algo estoy fallando...

Para liberarse del "ruído" que hace la raíz cúbica, uno puede hacer el cambio \( t=\sqrt[3]{x} \), de forma que queda:

\( \dfrac{(t^3-1)(1+t^3-t^2)}{1+t+t^5} \)

Ahora habría dos formas de proceder:

1) Factorizar los polinomios; pero para el denominador no hay una forma obvia de hacerlo.
2) Multiplicar los polinomios del numerador y hacer la división polinómica del numerador entre el denominador, que no deja de ser un proceso mecánico (supongo que es al que se refería Carlos). Uno obtendría el cociente \( t-1 \).

Saludos.