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Mensajes - Luis Fuentes

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1
Hola

Un par de preguntas mas:
 \( 1. \)¿Este espacio vectorial esta definido sobre \( \mathbb{R} \)?

Si.

\( [tex]2. \) Para probar la independencia lineal de esta base: ¿estudio los casos donde alguna  \( f_{i_1,i_2,...,i_k, j} \) no se anula y las demás si, con esto llego que el escalar que acompañ a esta  \( f_{i_1,i_2,...,i_k, j} \)  es cero y así para los demás escalares?[/tex]

Supón que trabajas en las bases que te indiqué en mi primera respuesta:

Sean \( B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\} \) base de \( V \) y \( B'=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\} \) base de \( W \).ç

Si tienes una combinación lineal \( \displaystyle\sum a_{i_1,i_2,...,i_k;j}f_{i_1,i_2,...,i_k:  j} \) igualadas a cero, evaluando en un vector \( (v_{j_1},v_{j_2},\ldots,v_{j_k}) \) te queda:

\( \displaystyle\sum_{j=1}^m a_{j_1,j_2,...,j_k; j}w_j=0 \)

Por ser \( B'=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\} \) base (y entonces independientes) deduces que  \( a_{j_1,j_2,...,j_k, j}=0 \) para \( j=1,2,\ldots,m \).

Saludos.

2
Cálculo de Varias Variables / Re: Area de superficie 1
« en: Ayer a las 11:31 pm »
Hola

Hola , sustituyendo en la integral para calcular el area,  usado  $$\phi \in [-\pi/2,\pi/3]$$ sale

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/3} 12 \sin \phi  d \phi   d \theta=-12\pi  \sqrt{3}  $$

Ahora usando mi $$\phi \in [\pi/3, \pi]$$ sale

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/3}^{\pi} 12 \sin \phi  d \phi   d \theta=12\pi (\sqrt{3}+2)  $$ que si resulta igual a la respuesta que colocaron aqui. Que estraño  :-\

Es que tu tomas esféricas tomando como ángulo cero el polo Norte y ángulo \( \pi \) el Sur:

\( \varphi(\theta,\phi )=(2\sqrt{3}\cos \theta \color{red}\sin \phi \color{black},2\sqrt{3}\sin \theta \color{red} \sin \phi\color{black},2\sqrt{3} \color{red}\cos \phi\color{black}) \)

 Entonces los límites correctos son $$\phi \in [\pi/3, \pi]$$.

Richard estaba pensando en esta otra parametrización:

\( \varphi(\theta,\phi )=(2\sqrt{3}\cos \theta \color{red}\cos \phi \color{black},2\sqrt{3}\sin \theta \color{red} \cos \phi\color{black},2\sqrt{3} \color{red}\sin \phi\color{black}) \)

Saludos.

3
Hola

En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \), sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5 \) tres subespacios lineales proyectivos. Hallar las ecuaciones parametricas y cartesiana de \( \Lambda_1+\Lambda_2. \)

Hola, lo había preguntado en otro hilo, pero no me quedo lo suficientemente claro.

¿Y por qué no preguntas en el mismo hilo y concretas las dudas?.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114384.0

Saludos.

4
Hola

 Está bien planteado. Pero al hacer las cuentas has olvidado que estás en el cuerpo \( \mathbb{K}=\mathbb{F}_3 \).
 
 Entonces en realidad, en ese cuerpo, \( 3=0 \) y \( \dfrac{1}{2}=2^{-1}=2 \).

Saludos.

5
Hola

Y si! A eso me refería, la cantidad \( L \) es constante y sólo sé que es mayor que \( \sqrt[ ]{2} \) por lo que tampoco me parece sencillo a simple vista construir la familia de curvas.

El problema equivale a encontrar infinitas funciones de clase \( 1 \) definidas en el intervalo \( [0,\sqrt{2}] \) cuya longitud es constante e igual a \( L>\sqrt{2} \) y posteriormente girar las curvas un ángulo \( \pi/4 \). Sea \( a>0 \) y \( 0<x_0 <\sqrt{2} \) y las funciones

        \( y_{a,x_0}(x)=\begin{cases}{a(x-x_0)^2}&\text{si}& 0\le x\le x_0\\0 & \text{si}& x_0<x\le \sqrt{2}\end{cases}. \)

Las funciones \( y_{a,x_0} \) son de clase \( 1 \) en \( [0,\sqrt{2}] \). Si denotamos \( L_{a,x_0} \) la longitud de \( y_{a,x_0}(x) \), entonces  \( L_{a,x_0}\to \sqrt{2} \) cuando \( a\to 0^+ \) y \( L_{a,x_0}\to +\infty \) cuando \( a\to +\infty. \) Por continuidad y para \( x_0 \) fijo, ha de existir un \( a>0 \) tal que \( L_{a,x_0}=L \). Ahora, basta mover \( x_0 \).

Fernando, ¿estás seguro de qué querías poner esa función?. Esa función no vale cero para \( x=0 \), con lo cual el giro (con centro el origen) no lo lleva sobre la diagonal pedida. Por otra parte según la función que cojas hay que tener cuidado que con el giro no tome dos valores distintos para un mismo \( x \), con lo cuál no podría expresarse como una curva \( (x,y(x)). \)

Otra opción es tomar la familia de funciones:

\( f_{a,b}=ax^b(1-x)+x \)

es evidente que fijado \( b \), para \( a=0 \) la longitud es \( \sqrt{2} \) y cuando \( a\to \infty \) la longitud tiende a infinito (basta acotar sin hacer cálculo exacto), con lo que se alcanzan las longitudes intermedias.

Saludos.

6
Probabilidad / Re: Distribuciones n-dimensionales
« en: Ayer a las 09:48 pm »
Hola

 YeffGC: tienes suficiente experiencia en el foro como para saber que se debe de usar LaTeX en las fórmulas. He tenido que corregir tu mensaje, donde usabas caracterés que en algunos navegadores pueden verse mal en lugar de LaTeX. Además estaban mal los acentos: toda la pinta de que hiciste un copia-pega para las fórmulas.

Por favor: cuida la escritura siguiendo las normas del foro.

Saludos.

7
Hola

Búsquense las diferencias.

1. Problema tal como lo escribió O_kool:

¿Como plantear este problema ? En una reunión los hombres exceden en 50% a las mujeres,si las mujeres aumentan 5%. ¿En qué porcentaje deben aumentar los hombres para que el total de personas aumente en un 20%?

2. Problema tal como lo habéis interpretado todos (y sospecho que quien propone el problema también):

¿Como plantear este problema ? En una reunión los hombres exceden en 50% a las mujeres. Si las mujeres aumentan 5%, ¿en qué porcentaje deben aumentar los hombres para que el total de personas aumente en un 20%?

Con el enunciado 1 y leyendo la primera frase completa:

Citar
En una reunión los hombres exceden en 50% a las mujeres,si las mujeres aumentan 5%.

a mi lo que me parece que dice es que los hombres excenden en 50% a las mujeres SI éstas aumentan un 5%. De ahí mi plantemiento inicial:

Si \( H \) es el número de hombres y \( M \) el de mujeres:

- Si las mujeres aumentan un \( 5 \)% hay: \( M+\dfrac{5}{100}M=1.05M \) mujeres.

- En ese caso los hombres exceden en un 50% a las mujeres:

\( H=1.05M+\dfrac{1.05M}{2} \)

 Pero bueno, veo que todos lo habéis interpretado de la otra forma (cuya redacción correcta, en mi opinión sería la 2).

 ¡Seré yo el equivocado!.  ;)

Saludos.


8
Hola

Hola a todos,
Espero estén bien. Supongamos que tenemos la siguiente ecuación
\( \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1+y'(x)^2} dx=L \), donde \( L>\sqrt[ ]{2} \)
¿Cómo puedo probar rigurosamente que existen infinitas funciones que satisfacen esa ecuación junto con las condiciones \( y(0)=0,y(1)=1 \)?
Visto de forma geométrica es más o menos claro, porque esa función representa la longitud de arco de una función en el intervalo \( [0,1] \) así que podemos verlo como tomar un segmento de longitud \( L \), y como éste último mide más que \( \sqrt[ ]{2} \) es posible "sujetar"/"clavar" los extremos del segmento a los puntos \( (0,0),(1,1) \)(doblando de manera suave el segmento), y podemos hacer esto de "doblar suavemente" el segmento de una infinidad de maneras de forma que la curva formada represente a la gráfica de una función. Pero no se me ocurre cómo decir esto más formalmente.
De antemano gracias.
Saludos.

Pues simplemente construye explícitamente una familia de curvas que unan esos dos puntos...¡cualquiera va a tener más longitud que la mínima!.

Saludos.

9
Hola

Hola, estoy viendo este hilo y me pregunte:

Si \( V = \mathbb{R^{n}} \) e \( W = \mathbb{R^{m}} \) e intente plantear las funciones \( f_{i_1,i_2,...,i_k;j} \) pero no entendí la nomenclatura de los \( i_k, i_k = 1,..., n \).

Es más: ¿qué dimensión tendría este espacio?.

Tiene dimensión \( n^k\cdot m \).

Por ejemplo si \( k=2 \), \( n=3, m=4 \) y trabajas en las bases canónicas,

\( f_{1,1;1} \) es la función que lleva \( f_{1,1;1}((1,0,0),(1,0,0))=(1,0,0,0) \) y todo los demás pares de vectores de la canónica en cero. Sería en concreto:

\( f_{1,1;1}((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=(x_1y_1,0,0,0) \)

\( f_{2,3;4} \) es la función que lleva \( f_{2,3;4}((0,1,0),(0,0,1))=(0,0,0,1) \) y todo los demás pares de vectores de la canónica en cero. Sería en concreto:

\( f_{2,3;4}((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=(0,0,0,x_2y_3) \)

En general:

\( f_{i_1,i_2;j}((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_{i_1}y_{i_2}\vec e_j \)

siendo \( e_1=(1,0,0,0) \), \( e_2=(0,1,0,0) \), \( e_3=(0,0,1,0) \), \( e_4=(0,0,0,1). \)

Saludos.

10
Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Reunión de hombres y mujeres
« en: 23 Octubre, 2020, 09:14 am »
Hola

¿Como plantear este problema ? En una reunión los hombres exceden en 50% a las mujeres,si las mujeres aumentan 5%.

Si \( H \) es el número de hombres y \( M \) el de mujeres:

- Si las mujeres aumentan un \( 5 \)% hay: \( M+\dfrac{5}{100}M=1.05M \) mujeres.

- En ese caso los hombres exceden en un 50% a las mujeres:

\( H=1.05M+\dfrac{1.05M}{2} \)

Citar
¿En qué porcentaje deben aumentar los hombres para que el total de personas aumente en un 20%?

Si \( x \) es el porcentaje buscado tiene que cumplirse que:

\( \left(1+\dfrac{x}{100}\right)H+M=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)(H+M) \)

Termina...

Saludos.

11
Topología (general) / Re: Demostración sobre bases topológicas
« en: 22 Octubre, 2020, 01:04 pm »
Hola

Ya por curiosidad, ¿cuál es la definición que suele usarse para la equivalencia entre topologías?

La más tonta del mundo: dos topologías \( \tau,\tau' \) en un conjunto \( X \) son equivalentes si tienen los mismos abiertos, es decir,... ¡si son iguales, si  \( \tau=\tau' \)!.

Es decir uno podría usar directamente "topologías iguales" en lugar de "topologías equivalentes".

La palabra equivalente cobra más sentido por ejemplo, si uno habla de "bases equivalentes": dos bases (topológicas) son equivalentes si definen la misma topología. Eso no significa que las bases sean iguales pero si la topología que definen.

O por ejemplo, dos métricas son (topológicamente) equivalentes si definen la misma topología; pero una vez más eso no quiere decir que sean la misma métrica. De hecho métricamente podrían tener propiedades muy distintas, de forma que el conjunto podría ser acotado con una de ellas pero no con la otra. He puesto entre paréntesis lo de topológicamente, porque hay otras conceptos más fuertes de métricas equivalentes, aunque normalmente si se habla de "métricas equivalentes" sin aclarar más se refiere a la equivalencia topológica.

Saludos.

12
Hola

Como \( \overline{Z}_{1} = \overline{P}_{1} \), el resto de vectores están todos contenidos en el mismo plano.
Si nuestra posición está a una latitud geográfica \( \phi \), entonces \( \{\overline{P}_{2}, \overline{P}_{3}\} \) son los resultantes de hacer el giro de ángulo \( \pi/2 - \phi \) en sentido horario --en el plano que los contiene-- a \( \{\overline{Z}_{2}, \overline{Z}_{3}\} \). A su vez, \( \{\overline{Z}_{2}, \overline{Z}_{3}\} \) será el resultado de aplicar el giro en sentido antihorario a \( \{\overline{P}_{2}, \overline{P}_{3}\} \).

Dada una base ortonormal \( B=\{\overline{P}_{2}, \overline{P}_{3}\} \). la matriz de giro con ángulo \( \pi/2-\phi \) en sentido antihorario es:

\( G=\begin{pmatrix}cos(\pi/2-\phi) & - sin(\pi/2-\phi)\\sin(\pi/2-\phi) & \phantom{-}cos(\pi/2-\phi)\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}sin(\phi) & - cos(\phi)\\cos(\phi) & \phantom{-}sin(\phi)\\\end{pmatrix} \)

Entonces si se la aplicamos a los vectores \( \overline{P}_{2}=(1,0)_B \) y \( \overline{P}_{3}=(0,1)_B \) queda respectivamente:

\( \overline{Z}_{2}=G\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}sin(\phi) \\cos(\phi) \\\end{pmatrix}=(sin(\phi),cos(\phi))_B=sin(\phi)\overline{P}_{2}+cos(\phi)\overline{P}_{3} \)

\( \overline{Z}_{3}=G\begin{pmatrix}0\\1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-cos(\phi) \\\phantom{-}sin(\phi) \\\end{pmatrix}=(-cos(\phi),sin(\phi))_B=-cos(\phi)\overline{P}_{2}+sin(\phi)\overline{P}_{3} \)

Saludos.

13
Cálculo 1 variable / Re: Elevación y curvatura
« en: 22 Octubre, 2020, 11:47 am »
Hola

 Entiendo que te estás centrando en estas definiciones:

\( E=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx \)

\( C=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)dx, \) con \( f'(a)=f'(b)=1 \) con \( f'(x)<1 \) para \( x\in(a,b). \)

 En ese caso, esto está bien:

Para ver la relación que hay entre elevación \( E \) y curvatura \( C \) no puedo deducir algo de la igualdad

\( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(1-x)f'(x)dx, \) creo que

\( \displaystyle\int_{a}^{b}xf'(x)dx\geq{}(b-a)C-E. \)

Lo que pasa es que no si es una cota útil. Depende de este valor \( \displaystyle\int_{a}^{b}xf'(x)dx \) que es un valor más difícil de calcular que la propia curvatura, tal como la has definido.

Citar
También por el teorema del valor medio

\( C=f'(c) \) para \( c\in(a,b) \) y por el mismo teorema, \( f(d)=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=E \) para un \( d\in(0,1). \)

Me interesa analizar el signo de \( f(d)-f'(c). \) [/quote]

En este caso, perdemos el control de quien es \( d \) y quien es \( c \), y simplemente estudiar  \( f(d)-f'(c) \) es demasiado general.

Nota además que con estas definiciones la elevación es el área bajo la curva.

Entonces si se construye una función donde "en seguida se pase de convexidad a concavidad muy rápido y bruscamente se puede conseguir una elevación muy alta con curvatura muy alta.

Pero igualmente si se mantiene la función casi constante igual a cero hasta muy cerca del 1, y ahí se pasa bruscamente de convexidad a concavidad muy rápido, la curvatura sigue siendo muy alta pero la elevación  es baja.

Con esto quiero decir que no hay, sin más datos, relación entre elevación y curvatura.

Saludos.

14
Hola

Sí lo siento ha sido un error de notación que al copiar y pegar la fórmula he ido arrastrando.
No me queda aún clara una cosa, es necesario probar que \( x \in X \) o ya estaría por hipótesis?

Hay que probarlo. El límite podría quedar fuera del conjunto \( X \), con lo cuál este no sería completo.

Entiendo que tu lo pruebas aquí:

Por tanto hemos probado que \( x_n-x \in X \) por lo que \( x=x_n-(x_n-x) \in X \), pero entonces la última desigualdad nos dice que \( \left\|{x_n-x}\right\| \leq \epsilon \). Como esto es válido para \( n \geq n_0 \), tenemos que la sucesión \( \{x_n\} \) converge a \( x \) y por tanto el espacio \( X \) con la norma definida es de Banach.

Al expresarlo como diferencia de dos elementos de \( X \) y usar que \( X \) es un subespacio del espacio de sucesiones.

Saludos.

15
Combinatoria / Re: Probabilidad y combinatoria
« en: 22 Octubre, 2020, 11:24 am »
Hola

2. En cierta región las observaciones mostraron que en un 20% de los días de noviembre el cielo estuvo despejado y en un 20% de los días nublados llueve. Cuál es la probabilidad de que llueva en un día de noviembre? ( Estuve pensando en hacerlo por el teorema de la probabilidad total pero siento que me falta algo)

Se entiende que si el cielo está despejado es imposible que llueva (en otro caso faltarían datos).

Si llamas a los sucesos \( D \)=despejado, \( D^c \)=nublado (el complementario de despejado) y \( A \)=llueve, tienes:

\( P(D)=0.2,\qquad P(A|D^c)=0.2,\qquad P(A|D)=0 \)

Entonces:

\( P(A)=P(A|D^c)P(D^c)+P(A|D)P(D) \)

Termina...

Citar
3. Un bus tiene 9 sillas en la parte delantera y 8 sillas en parte trasera. ¿De cuántas formas se puede n ubicar 7 personas si 2 de ellas se rehúsan a viajar en las sillas delanteras y 3 se rehúsan a viajar en las sillas traseras?

Entiendo que se diferencia entre personas y entre asientos en cada posición (es decir no solo importa que se sentasen, por ejemplo, cuatro delante y tres detrás, sino también si los que se sentaron fueron fulanito o menganito y en que número de asiento dentro de cada zona se ubico cada uno).

Entonces supongamos que \( A,B \) reusan ir delante: necesariamente van detrás. Tienen \( 8\cdot 7 \) posiciones donde ubicarse.

Entonces supongamos que \( C,D,E \) reusan ir detrás: necesariamente van delante. Tienen \( 9\cdot 8\cdot 7 \) posiciones donde ubicarse.

Los dos restantes pueden sentarse en cualquiera da los \( 12 \) asientos restantes: \( 12\cdot 11 \).

En total:

\( 8\cdot 7\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 12\cdot 11 \)

Citar
4.¿De cuántas  formas puede ubicarse en una fila 5 bolas rojas, 4 blancas y 4 azules; Si al inicio y al final deben quedar bolas del mismo color?
(En este obtuvé una respuesta de 1756339200; pero tengo dudas ya que otra persona lo hizo y le dio un resultado distinto :banghead: ).

Entenderé que bolas del mismo color son indistinguibles.

Si en los extremos hay rojas, en medio contamos las formas de ordenar \( 3+4+4=11 \) objetos de los cuales \( 3,4 \) y \( 4 \) son iguales entre si: permutaciones con repetición \( PR_{11;3,4,4}=\dfrac{11!}{3!4!4!} \).

Análogamente si en los extremos hay blancas en el medio las posibilidades son: \( PR_{11;5,2,4}=\dfrac{11!}{5!2!4!} \).

Idem si en los extremos hay azules en el medio las posibilidades son: \( PR_{11;5,4,2}=\dfrac{11!}{5!4!2!} \).

En total:

\( \dfrac{11!}{3!4!4!}+\dfrac{11!}{5!2!4!}+\dfrac{11!}{5!4!2!}=25410 \)

Tu resultado me parece muy elevado. ¿Quizá has considerado las bolas del mismo color distinguibles entre si?.

Saludos.

16
Topología (general) / Re: Demostración sobre bases topológicas
« en: 22 Octubre, 2020, 11:09 am »
Hola

Yo me preguntaba por qué no podría darse una definición de equivalencia entre topologías de la siguiente manera:

Dos topologías \( \tau, \tau' \) de bases \( \mathcal{B},\mathcal{B}' \) se dicen equivalentes si todo elemento de \( \mathcal{B} \) puede escribirse como unión de elementos de \( \mathcal{B}' \) (propiedad (i)) y viceversa (propiedad (ii)).

Bueno al definición suele darse sin tener que hacer intervenir el concepto de base de topología; no obstante esa caracterización es cierta; de hecho casi casi es lo que mandan probar en este ejercicio y la prueba (¡tu te liaste!) es la que indica mg.

Saludos.

17
Teoría de números / Re: Expresion polinomial
« en: 22 Octubre, 2020, 10:41 am »
Hola

Gracias el_manco, pero entonces debo resolver la suma telescopica? Se tiene que \( p(n)-p(n-1)=\displaystyle\sum_{i=0}^n (i^3-i^2)-\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}(i^3-i^2) \)

Y como resuelvo esa suma?

¿Pero lo has intentado? ¿Entiendes lo que significa un sumatorio?:

\( \displaystyle\sum_{i=0}^n{}f(i)=f(0)+f(1)+f(2)+\ldots+f(n) \)

\( \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{}f(i)=f(0)+f(1)+f(2)+\ldots+f(n-1) \)

¿Si restas ambas cosas qué te queda?.

Saludos.

18
Teoría de números / Re: Expresion polinomial
« en: 21 Octubre, 2020, 11:05 pm »
Hola

Encontrar el grado de una expresión polinomial en \( n \) para \( \displaystyle\sum_{i=0}^n (i^3-i^2). \) Indicar un sistema de ecuaciones con solución única que permita calcular los coeficientes de esta expresión polinomial.

Hola, ¿Cuál es la idea de este problema?

La idea es definir:

\( p(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n (i^3-i^2) \)

y ver si \( p(n)-p(n-1)  \) es un polinomio y de que grado.

Saludos.

19
Hola

Hola, tuvimos varios días sin luz y por consiguiente sin internet aquí monagas, Venezuela. Por eso no había ingresado mas al foro. No pude entregar la asignación a tiempo, justamente por eso. He estado estudiando para el próximo mes, con los ejercicios que tienes en el blog. De verdad muchas gracias Fernando. Estos días han sido muy difíciles por aquí. Respecto al ejercicio, que pasos debo dar para resolverlo?

Ya te ha dado un primer paso:

Lo de no sé, no tiene sentido ¿qué dificultades has encontrado en el apartado a) al aplicar el criterio de la raíz?

https://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_la_ra%C3%ADz

Saludos.

20
Teoría de números / Re: Relación de equivalencia 2
« en: 21 Octubre, 2020, 10:53 pm »
Hola

En un anillo conmutativo unitario, dos elementos \( \alpha \) y \( \beta \) son asociados si \( a\mid \beta \) y \( \beta \mid \alpha \). Mostrar que la asociación es una relación de equivalencia.

Este tipo de ejercicios son totalmente mecánicos y rutinarios. Tienes que comprobar las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. ¿Qué has intentado? ¿Dónde encuentras la dificultad?.

Saludos.

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