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Mensajes - Luis Fuentes

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Hola

 Vuelvo a poner algo que ya expliqué en otro sitio:

A ver si lo entendemos:

- Cuando un usuario pregunta una duda de matemáticas, el hilo correspondiente ha de dedicarse a debatir y comentar esa duda de matemáticas.
- Incluso si la discusión, dentro de las matemáticas, se aleja demasiado del tema original del hilo, se separa a otro diferente.
- Si quieres quejarte de la administración del foro, puede abrir un hilos en la sección Dudas y sugerencias sobre el uso del foro y allí comentar lo que quieras.


 Esto último lo has hecho; y perfecto, aquí tienes tu hilo con tus quejas y las sucesivas respuestas. Público. Con luz y taquígrafo, como suele decirse.
 
 Por otra parte, desde luego la administración puede modificar mensajes eso es así: como mínimo para eliminar posibles insultos; también para corregir las fórmulas, y a veces faltas de ortografía. Los usuarios razonables suelen agradecer esto.

Nunca se cambia el fondo (ni esencialmente la forma) de lo que dice el usario, salvo que, dicho coloquial  y vulgarmente: "mee fuera del tiesto".

En cualquier caso el usuario tiene derecho a quejarse; sólo debe de hacerlo por el cauce adecuado.

Por otra parte, ¿crees qué la modificación qué he hecho de tus mensajes cambia el fondo (¡y la forma!) matemático de lo que has dicho?¿crees qué te hace parecer cómo un imbécil?.

 El mensaje original que había escrito está aquí:

Spoiler
Buenas noches

Voy a exponer una forma de hallar la solución de la ecuación que propone pedroregistro sin que se utilice más que una sencilla calculadora. Espero que después de esto, Carlos Ivorra no se dedique a insultarme aunque ya estoy acostumbrado a recibir sus insultos.

En primer lugar hay que recordar, que como ya dijo Luis, es una ecuación de grado 7 y por tanto, lo mas probable es que las soluciones haya que buscarlas por métodos numéricos en forma aproximada.

La primera pregunta que debemos hacernos es la precisión que se desea obtener. Es claro que hay que obtener dos cifras decimales precisas pues el término 11859,43 así lo sugiere.

La siguiente pregunta es cuántas raíces reales tendremos. Si operamos, obtenemos que las soluciones buscadas son las raíces del polinomio
                                                  \( f(x)=x^7+8x^6+28x^5+56x^4+70x^3+56x^2+28x-3.85943 \)
Si derivamos sucesivamente hasta llegar a una ecuación de segundo grado que sabemos resolver
obtenemos
                                                  \( f^{(5)}(x)=2520x^2+5760x+3360 \)
que no tiene raíces reales y es por tanto de signo constante. En esta caso siempre positivo.

El polinomio\(  f^{(4)}=840x^3+2880x^2+3360x+1344 \) será pues una función estrictamente creciente y tendrá una única raíz real.

Como \( f{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.

Volvemos al caso de \( f{(5)} \), esto es \( f{(2)} \) no tiene más que una raíz real y razonando sucesivamente, \( f=0 \) tiene solución real única.

Para calcular dicha solución basta dar algunos valores.

Evaluando en x=0 es trivial que \( f=-3.85<0 \)
Evaluando en x=1 bastan unas cuantas sumas para obtener \( f=243.14>0 \)
La raíz buscada está en [0,1/2] o [1/2,1]
Ahora sacamos la calculadora pues las cuentas podían hacerse a mano pero es muy aburrido.
f(0.5)=37.39
La raíz está en [0,1/4] o [1/4,1/2]
f(0.25)=7.98
f(0.125)=0.666
f(0.063)=-1.85
f(0.094)=-0.67
f(0.1095) = -0.02
f(0.11725) =0.31
En el intervalo [0.1095,0.11725] hay un cambio de signo y así contiene la raíz real. La longitud de este intervalo es 0.0077 por lo que si tomamos su punto medio x=0.11 obtendremos la solución buscada con al menos 2 cifras decimales exactas.

Puede observarse que he aplicado el método diádico para buscar raíces que es muy antiguo y poco eficiente. Por eso he tenido que hacer 6 evaluaciones. La rapidez mejoraría aplicando otros métodos como Newton-Raphson.

Espero que el problema estuviese planteado en los número reales para que Carlos Ivorra no pueda insultarme y decir que soy un ignorante por no haberme dado cuenta que la ecuación estaba planteada en un espacio de números hiperreales.

Un saludo
[cerrar]

Junto con este otro en otro mensaje separado:

Spoiler
Citar
........

La ecuación es una ecuación polinómica de grado siete. No se puede resolver analíticamente de manera explícita sin recurrir a métodos numéricos o aproximaciones.

Saludos.

Una pequeña precisión. Una ecuación de grado 7 puede que no se pueda resolver analíticamente de manera explícita. Tal vez sí.

Saludo
[cerrar]

El mensaje lo dejé así:

Spoiler
Buenas noches

Voy a exponer una forma de hallar la solución de la ecuación que propone pedroregistro sin que se utilice más que una sencilla calculadora.

En primer lugar hay que recordar, que como ya dijo Luis, es una ecuación de grado 7 y por tanto, lo mas probable es que las soluciones haya que buscarlas por métodos numéricos en forma aproximada.

La primera pregunta que debemos hacernos es la precisión que se desea obtener. Es claro que hay que obtener dos cifras decimales precisas pues el término 11859,43 así lo sugiere.

La siguiente pregunta es cuántas raíces reales tendremos. Si operamos, obtenemos que las soluciones buscadas son las raíces del polinomio
                                                  \( f(x)=x^7+8x^6+28x^5+56x^4+70x^3+56x^2+28x-3.85943 \)
Si derivamos sucesivamente hasta llegar a una ecuación de segundo grado que sabemos resolver
obtenemos
                                                  \( f^{(5)}(x)=2520x^2+5760x+3360 \)
que no tiene raíces reales y es por tanto de signo constante. En esta caso siempre positivo.

El polinomio\(  f^{(4)}=840x^3+2880x^2+3360x+1344 \) será pues una función estrictamente creciente y tendrá una única raíz real.

Como \( f{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.

Volvemos al caso de \( f{(5)} \), esto es \( f{(2)} \) no tiene más que una raíz real y razonando sucesivamente, \( f=0 \) tiene solución real única.

Para calcular dicha solución basta dar algunos valores.

Evaluando en x=0 es trivial que \( f=-3.85<0 \)
Evaluando en x=1 bastan unas cuantas sumas para obtener \( f=243.14>0 \)
La raíz buscada está en [0,1/2] o [1/2,1]
Ahora sacamos la calculadora pues las cuentas podían hacerse a mano pero es muy aburrido.
f(0.5)=37.39
La raíz está en [0,1/4] o [1/4,1/2]
f(0.25)=7.98
f(0.125)=0.666
f(0.063)=-1.85
f(0.094)=-0.67
f(0.1095) = -0.02
f(0.11725) =0.31
En el intervalo [0.1095,0.11725] hay un cambio de signo y así contiene la raíz real. La longitud de este intervalo es 0.0077 por lo que si tomamos su punto medio x=0.11 obtendremos la solución buscada con al menos 2 cifras decimales exactas.

Puede observarse que he aplicado el método diádico para buscar raíces que es muy antiguo y poco eficiente. Por eso he tenido que hacer 6 evaluaciones. La rapidez mejoraría aplicando otros métodos como Newton-Raphson.

........

La ecuación es una ecuación polinómica de grado siete. No se puede resolver analíticamente de manera explícita sin recurrir a métodos numéricos o aproximaciones.

Saludos.

Una pequeña precisión. Una ecuación de grado 7 puede que no se pueda resolver analíticamente de manera explícita. Tal vez sí.

Saludo
[cerrar]

 Lo que hice es juntar ambos, quitando las alusiones a sus diferencias con Carlos Ivorra; el mensaje original sigue siendo púlbico y está donde he indicado.

Y la idea es sencilla: alguien que ha preguntado una duda de matemáticas no tiene porque ver en su hilo alusiones personales, disputas o quejas que nada tienen que ver con lo que se plantea. Las puedes plantear en otro hilo, como has hecho aquí. Así de simple.

Saludos.

62
Álgebra / Re: Resolver ecuación polinómica de grado alto
« en: 21 Febrero, 2021, 12:53 pm »
Hola

No entiendo a qué te refieres, tal vez te ha liado la notación \( f{(4)} \), \( f{(3)} \). Lo que he afirmado es: 'Como \( f{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.' observa el cambio \( f{(4)} \),\( f{(3)} \).

 martiniano sólo ha citado lo que tu has escrito. Supongo que querías poner:

 'Como \( f^{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f^{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.'

 Es decir te has comido el simbolito para que ese (3) y (4) fuesen como superíndice.

 Lo que te dice martiniano es que del hecho de que \( f^{(4)} \) tenga una única raíz real no se deduce que \( f^{(3)} \)  tenga como mucho una raíz real; podría tener dos.

Saludos.

63
Dudas y sugerencias del foro / Re: Hilo intrascendente
« en: 21 Febrero, 2021, 12:43 pm »
Hola

Buenas noches

.......

Cuando publiqué el comentario al que hago referencia, no imaginé que nadie pudiese modificarlo a su gusto y cambiarlo de hilo. El comentario original puede verse en https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115428.msg462652;topicseen#msg462652
aunque allí no está un segundo mensaje que se ha añadido al final del que se ha publicado en este hilo. Este enlace que por lo menos debería haberse puesto aquí para avisar a los que pudieran estar interesados en el mensaje completo.

Lo que mas me preocupa, es que en un foro pueda alguien modificar a su antojo un mensaje escrito por otra persona. ¿Qué garantía tenemos los participantes de este, de que no modifiquen nuestros mensajes y así hacernos aparecer como imbéciles mentales?

Movido por Luis Fuentes, como administrador del foro.

A ver si lo entendemos:

- Cuando un usuario pregunta una duda de matemáticas, el hilo correspondiente ha de dedicarse a debatir y comentar esa duda de matemáticas.
- Incluso si la discusión, dentro de las matemáticas, se aleja demasiado del tema original del hilo, se separa a otro diferente.
- Si quieres quejarte de la administración del foro, puede abrir un hilos en la sección Dudas y sugerencias sobre el uso del foro y allí comentar lo que quieras.


Por otra parte, desde luego la administración puede modificar mensajes eso es así: como mínimo para eliminar posibles insultos; también para corregir las fórmulas, y a veces faltas de ortografía. Los usuarios razonables suelen agradecer esto.

Nunca se cambia el fondo (ni esencialmente la forma) de lo que dice el usario, salvo que, dicho coloquial  y vulgarmente: "mee fuera del tiesto".

En cualquier caso el usuario tiene derecho a quejarse; sólo debe de hacerlo por el cauce adecuado.

Por otra parte, ¿crees qué la modificación qué he hecho de tus mensajes cambia el fondo (¡y la forma!) matemático de lo que has dicho?¿crees qué te hace parecer cómo un imbécil?.

Saludos.

64
Dudas y sugerencias del foro / Re: Hilo intrascendente
« en: 21 Febrero, 2021, 12:19 pm »
Hola

.........

He movido aquí este mensaje, ancape, porque al que planteo la pregunta sobre como resolver una ecuación (analíticamente, por cierto), desde luego no le interesan tus pataletas sobre Carlos Ivorra.

He dejado en el hilo original una copia de la parte de tu mensaje que trata de matemáticas: eso es bienvenido y aporta.

Por si ves fantasmas, aclaro que no hay censura ninguna, porque todo lo que has dicho ha quedado publicado. Simplemente es una cuestión de orden: cada cosa en su sitio.


No sé quién ha movido el enlace que publiqué pues no firma el comentario, pero el hecho de dejar parte del mensaje en un hilo, supone que el que lo haya hecho tiene poder para modificar los mensajes de los demás.

Estoy de acuerdo en que puedan eliminarse mensajes por parte de los administradores, pues estos pueden ser ofensivos para alguien, pero no que se pueda, en ningún caso, modificar mensajes porque podríamos leer algo que el autor no quiso nunca decir. Verdaderamente es para pensarse participar en un foro en el cual pueden leer mensajes firmados por ti diciendo cosas absurdas que enrojecerían al más tonto del pueblo.

He sido yo, Luis Fuentes, como administrador del foro, el que ha movido los mensajes y unido tus dos intervenciones en una.

Si he modificado tus mensaje (y lo único que he hecho es unir dos en uno y eliminar tus referencias a Ivorra, que he trasladado integramente a otro sitio) es para salvar la parte matemática de tu mensaje. En otro caso me hubiera visto obligado a mover el mensaje entero.

Si no quieres que sea así, dímelo. Elimino tu mensaje del otro hilo, y dejo simplemente su copia tal cual la escribiste en el Hilo Intrascendente.

Saludos.

65
Optimización (Máximos y Mínimos) / Re: Óptimos de una función
« en: 21 Febrero, 2021, 12:16 pm »
Hola

Citar
Creo que estás equivocado. La condición de que el Hessiano sea positivo o negativo es necesaria pero no suficiente, En el ejemplo que pones, la matriz Hessiana en \( x=0,y=0 \) es la matriz nula por lo que lo único que se puede afirmar es que \( x=0, y=0 \) es candidato a máximo o mínimo. El que la matriz Hessiana sea definida y no sólo el Hessiano, es importante pues el signo en el desarrollo de Taylor de \( f(x,y) \) alrededor de un posible punto crítico, da una forma cuadrática de la que hay que estudiar su signo.

Mira el enlace http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/segundo/Apuntes%20MII/Extremos_varias_variables.pdf

Lo que te ha dicho Fernando es que tu afirmaste:

Creo que la función que presentas, no tiene extremos relativos. Si resuelves el sistema que se obtiene al derivar respecto a x e y, resulta que la única solución real es \( x=3^{1/5}, y=3^{1/5} \) y el Hessiano de las derivadas segundas en ese punto no es ni definido positivo ni definido negativo.

 Entonces lo que has escrito ahí no es suficiente para poder afirmar que no tenga extremos relativos. El Hessiano pudiera ser ni definido positivo ni definido negativo y sin embargo, SI puede haber extremo relativo (en incluso absoluto) en ese punto.

 Y te ha puesto un ejemplo: la función \( f(x,y)=x^2y^2 \) en el punto \( (x,y)=(0,0) \) tiene matriz hessiana nula y por tanto ni definida positiva ni definida negativa y sin embargo SI tiene un extremo en ese punto. De hecho un mínimo global.

 Por otra parte también te ha dicho que una justificación válida de que \( f(x,y)=x^3y^3-9x-9y \)  NO tiene extremo relativo en el punto \( (3^{1/5},3^{1/5}) \) es que en ese punto el determinante de la matriz hessiana es negativo. Eso quiere decir para matrices \( 2\times 2 \) que la matriz es indefinida y por tanto SI es cierto que NO tiene extremo relativo en ese punto.

 ¿Sigues pensando que Fernando se ha equivocado en algo?¿Exactamente en qué?.

Saludos.

66
Hola

No se puede entender G como una formula sin asociar a nada,

El único que ha hablado de fórmula eres tu.

Citar
eso no es una función;

Le acabo de decir a Marcos que si, que a veces, se emplea \( G \) (sin nada más) para denotar a una función \( G:\Bbb R\to \Bbb R \). Entiendo entonces que no estás de acuerdo conmigo. Cuando tenga tiempo te enlazo una serie de referencias para que veas que SI se usa es notación. Añadido:

 Por ejemplo en todos esos enlaces hablan de \( f \) como función, sin variable:

https://www.ugr.es/~dpto_am/miembros/cabello/anteriores/metodos_matematicos/capII.pdf
http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/calc1inf1011/apjperez/calculo_cap04.pdf
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/102/CI/pdf/DocsApoyo/Tema0_PR/3Continuidad.pdf

  Por ejemplo en estos otros ponen \( f(x) \) para referise a la función:

https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/1BachCT/Continuidad.pdf
http://innova09.pbworks.com/f/Cap11+FuncionesContinuas.pdf
http://www.sietecolinas.es/materiales/mat/ContinuiComplet.pdf
 
 No descarto que en algún documento se combinen ambas notaciones.

En resumen: el uso de \( f \) o \( f(x) \) para referirse a una función está extendido y permitido. Las dos notaciones son válidas y con los matices de contexto que dije en mi anterior mensaje, significan lo mismo.

Citar
se asocia a los valores de un dominio, que, como en este problema, se suele designar por “x”.

Con esta frase no sé que quieres decir.

Citar
Lo que tienes además de G es \( F=G(G(x)) \),

Ahora pones \( F \) (sin nada al lado) igual a \( G(G(x)) \) (con una variable \( x \)). ¿Entonces según tu criterio \( F \) es no es una función?. Porque lo igualas a algo que si tiene la \( x \).

Citar
donde, aquí sí, \( F\neq G \)

¿Pero según tú son o no son funciones?.

Saludos.

67
Hola

Perdón por la pregunta básica, pero es que no encuentro una solución en ninguna parte.

Estoy en un portátil (no tiene teclado numérico), tengo abierto el Geogebra 3D Online y tengo dibujada una superficie. Quisiera saber cómo se puede mover la cámara "hacia arriba y hacia abajo" i.e. a través del eje z para poder visualizar posibles puntos críticos.

En una entrada de Geogebra, al final en el apartado "Move Tool in the [...] 3D Graphics View" dicen que con la herramienta Cursor se puede mover un punto, pero no necesito mover uno o varios puntos, sino nada más mover la cámara a lo largo del eje z.

¿Es posible, cómo?

Pues no estoy seguro, la verdad. Pulsando Shift al mismo tiempo que mueves el ratón sobre el eje Z, puedes cambiar la escala del eje Z; eso te permite ver un trozo más grande de superficie; pero claro, a costa de cambiar la escala.

Saludos.

68
Hola

 Marcos Castillo me está costando mucho entender cuál es tu duda.

Creo que la diferencia entre \( G \) y \( G(x) \) es esta:

\( \begin{array}{rccc}G&:R\setminus\{-1\}&\rightarrow& R\setminus\{-1\}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{x-1}{x+1}\end{array} \)


\( \begin{array}{rccc}G&:R\setminus\{-1\}&\rightarrow& R\\ &\dfrac{1-x}{1+x}&\rightarrow& x\end{array} \)


\( \begin{array}{rccc}H&:R\setminus\{-1\}&\rightarrow& R\\ &x&\rightarrow& x\end{array} \)


\( \xymatrix{ R\setminus\{-1\}\ar[r]^G \ar[dr]_{H=G\circ{G}} & R\setminus\{-1\}\ar[d]^G \\ & R } \)

\( G \) es una función. \( G(x) \) es la función.

 No entiendo que se supone que aclara esto; no entiendo que quieres subrayar al llamar a un "la" función y a otra "una" función.

 Reitero algunas ideas:

 1) Si uno tiene por ejemplo \( f:\Bbb R\to \Bbb R \), \( f(x)=x^2+1 \). Es usual hacer referencia a esa función diciendo cosas como:

 \( f(x) \) es continua.
 \( f \) es continua.
 \( f(x) \) es derivable.
 \( f \) es derivable
 \( f \) tiene mínimo.
 \( f(x) \) tiene mínimo.

 Cualquiera de esas notaciones es correcta y se usa: es decir \( f \) y \( f(x) \) son la MISMA FUNCIÓN.

 2) En el algunas ocasiones una hace referencia al valor de la función en un punto, escribiendo \( f(x) \). En ese caso \( f(x) \) es un número: la imagen de \( x \) por la función \( f \). Evidentemente en ese caso no podrías escribir sólo \( f \).

 Pero como ves la diferencia es muy gruesa en este caso y queda clara del contexo. \( f(x) \) es un número y \( f \) una función. Difícil confundirlas.

 3) Entonces la pregunta es. ¿Qué es lo que ha hecho pensar que \( G \) y \( G(x) \) son funciones distintas?. NO LO SON.

 4) Al principio pensé que era por la escritura \( \color{red}G\color{black}\circ \color{blue}G(x)\color{black} \) donde distinguías por un lado \( \color{red}G\color{black} \) y por otro  \( \color{blue}G(x)\color{black} \), como si compusieses dos funciones que son distintas. Pero no, eso es \( (G\circ G)(x) \) y estás componiendo la función \( G \) o la función \( G(x) \) (da igual) consigo misma.

 Una vez aclarado esto, si quieres vamos con el asunto de las composiciones y los dominios y esas cosas. Pero poco a poco.

Saludos.

69
Hola

Ordeno el polinomio de grado 2

\( P^2=xP-x+1 \)   (1)

Como está al cuadrado el polinimo \( P^2 \) entonces se forma la formula anterior pero negativa: \( a^2-2ab+b^2 \)

\( P^2=xP^2-x+1 \)   (2)

 No entiendo lo que haces. No entiendo como pasas de (1) a (2).

 Voy a dejar a un lado el primer ejercicio y me centro en esto. Te numeraré los pasos. Indica el primero que no entiendas:

1) Nos piden un polinomio de grado \( 1 \). Todo polinomio de grado \( 1 \) es de la forma \( P(x)=ax+b \) para valores de \( a,b \) que aún no conocemos.

 2) Sustituimos \( P(x)=ax+b \) en la ecuación \( p(x)^2+x=xp(x)+1 \):

\(  (ax+b)^2+x=x(ax+b)+1 \)

 3) Hacemos cuentas en la expresión anterior:

\(  a^2x^2+2abx+b^2+x=ax^2+bx+1 \)

\( a^2x^2+(2ab+1)x+b^2=ax^2+bx+1 \)

 4) Tenemos dos polinomios de grado dos igualados. Uno es \( a^2x^2+(2ab+1)x+b^2 \). El otro \( ax^2+bx+1 \). Para que dos polinomios sean el mismo tienen que tener lo mismos coeficientes.

 El coeficiente de \( x^2 \) tiene que ser el mismo para ambos: \( a^2=a \).
 El coeficiente de \( x \) tiene que ser el mismo para ambos: \( 2ab+1=b \).
 El término independiente tiene que ser el mismo para ambos: \( b^2=1 \).

 5) Resolvemos el sistema de ecuaciones:

\(  a^2=a \)
\(  2ab+1=b \)
\(  b^2=1 \)

 6) Si \( a^2=a \) entonces \( a=1 \) ó \( a=0 \). Pero \( a=0 \) no puedes ser porque entonces el polinomio \( p(x)=ax+b=b \) sería una constante: de grado cero. Por tanto \( a=1 \).
 
 7) Sustituyendo \( a=1 \) en \( 2ab+1=b \) queda \( 2b+1=b \) y de ahí \( b=-1 \).

 8) Comprobamos que \( b=-1 \) cumple la tercera ecuación \( b^2=1 \).

 9) La solución es: \( p(x)=ax+b=1\cdot x-1=x-1 \)

 Míralo con calma y como te dije indica en que punto tienes dudas.

 Si entiendes este procedimiento te debería de ayudar a entender el camino que te propuse para resolver el primero.

Saludos.

70
Hola

Demostrar que si \( R,S \) son relaciones transitivas definidas en \( A \), \( R\cap S \) también es transitiva.



La prueba clásica consiste en que dados \( x,y,z \) de \( A \), si suponemos que \( (x,y)\in R\cap S \) y \( (y,z)\in R\cap S \), en particular \( (x,y)\in R\land(y,z)\in R \) y \( (x,y)\in S\land(y,z)\in S \), por hipótesis sabemos que estas relaciones son transitivas, luego \( (x,z)\in R \) y \( (x,z)\in S \), por tanto \( (x,z)\in R\cap S \).

Quería saber si lo siguiente podría considerarse una prueba válida del enunciado:

Dados \( x,y,z \) de \( A \): \( xRy,\;yRz,\;xSy,\;ySz \), luego por hipótesis al ser ambas relaciones transitivas, \( xRz \) y \( xSz \), es decir \( (x,z)\in R \) y \( (x,z)\in S \), por lo tanto \( (x,z)\in R\cap S \).

Entiendo que lo que hace este intento es empezar "un poco más adelante" que la prueba clásica (ver lo rojo), pero no sé si exactamente prueba la propiedad.

Más allá de si la redacción deja bastante que desear o no, ¿ustedes la considerarían válida?

Yo diría que está incompleta; es decir, si quieres probar que \( R\cap S \) es transitiva debes de empezar explícitamente con pares \( (x,y),(y,z) \) en \( R\cap S \).
Saludos.

P.D. Tengo curiosidad. ¿Por qué se te ocurrió esta cuestión?.

71
Cálculo 1 variable / Re: Derivadas
« en: 20 Febrero, 2021, 07:57 pm »
Hola

Antes que nada gracias por la respuesta!
Lo que si la solución del libro es la siguiente \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{16}e^{4x} \)
El problema que tengo es que no puedo llegar a la solución del libro, vos que opinas?           

Esa función cumple:

\( \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=\dfrac{\dfrac{e^{4x}}{4}}{\dfrac{e^{2x}}{4}}=e^{2x} \)

Sin embargo en tu enunciado has puesto:

Citar
\( \textrm{La función f satisface} \displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt[ ]{f(x)}}=\color{red}x\color{black}e^{2x}\textrm{ y } f(0)=\displaystyle\frac{1}{16} \)

Es decir la solución que dices que da el libro no cumple la ecuación del enunciado; así o está mal copiado el enunciado o está mal la solución del libro.

Saludos.

72
Álgebra / Re: Resolver ecuación polinómica de grado alto
« en: 20 Febrero, 2021, 06:34 pm »
Hola

Llevo dos meses intentando resolver una ecuación pero no soy capaz. Usando Wiris me dice que el resultado es 0.11, pero tengo que resolverla analíticamente y no veo forma de hacerlo.

La ecuación le apareció a una amiga que está preparando las oposiciones de Economía y es la siguiente (la pongo también como un archivo adjunto):

Ecuación editada por un moderador
\[ 11859,43 = 1000 \cdot{}\displaystyle\frac{[(1+x)^8-1]} {x}  \]

Si alguien fuera capaz de indicarme los pasos para resolverla le estaría eternamente agradecido.

La ecuación es una ecuación polinómica de grado siete. No se puede resolver analíticamente de manera explícita sin recurrir a métodos numéricos o aproximaciones.

Saludos.

73
Dudas y sugerencias del foro / Re: Hilo intrascendente
« en: 20 Febrero, 2021, 03:02 pm »
Hola

Parece que estamos todos de acuerdo y que lo único que diferencia nuestros puntos de vista son detalles de tipo formal que, aunque nunca son despreciables, no varían apreciablemente las conclusiones finales. Sólo me gustaría aclarar alguna de mis afirmaciones.

De acuerdo. Si sigues teniendo dudas, puedes volver a preguntar; que para eso estamos.

Citar
Cuando he hablado de poco recorrido no me refería a poca importancia, sino a que es un concepto que en Matemática Aplicada (mi área de conocimiento según la ley actual), tiene poco uso.

Evidentemente cada cosa tiene su contexto. No obstante desde que dejamos claro (y fue en los primeros mensajes) que hablábamos de polinomios sobre un anillo cualquiera, es obvio que el tratamiento de los polinomios era el algebraico y no como simple funciones polinómicas.

De hecho si las tratamos como funciones polinómicas, el concepto de grado de un polinomio, se vuelve difuso (mal definido). Por ejemplo en \( \Bbb Z_2[ x] \) los polinomios \( x^2-x,x^4-x,x^6-x \) ó \( 0 \) tratados como funciones polinómicas serían la misma. ¿Qué grado tiene esa función polinómica \( 2,4,6,-\infty \)?.

También daría problema la factorización. También la división polinómica incluso para polinomios reales, no tiene exactamente la misma interpretación como funciones que como polinomios.

En fin....

Saludos.

74
Hola

No distingo \( G(x) \) de \( G \) en el siguiente ejemplo de composición de funciones:

Es que no hay ninguna diferencia. A veces una función \( f:\Bbb R\to \Bbb R \) se escribe para hacer referencia a ella como \( f(x) \) o simplemente como \( f \). Desde luego si queremos hacer referencia a su valor sobre un punto sea concreto o sea variable, si escribimos \( f(x) \).

Entonces creo que parte de la clave de tu confusión está en lo que apuntó I am Bo:

Faltan unos paréntesis, debería estar expresado así: $$(G\circ G)(x)$$. Es más claro.


No es que estés componiendo \( G \) con \( G(x) \). Estás componiendo \( G \) con \( G  \) ó \( G(x) \) con \( G(x) \) (si preferimos una u otra notación).

Eso si nunca se escribiría \( G(x)\circ G(x) \) (o al menos yo no lo he visto).

Entonces por definición:

\( (G\circ G)(x)=G(G(x)) \)

Compones una función con ella misma.

Saludos.

75
Hola

 Bienvenido al foro.

 Muchas gracias, de verdad, por tu esfuerzo y buena voluntad por adaptarte a las reglas del foro. Te felicito y te lo agradezco.  :aplauso:

Ejercicios
Encontrar los polinomios que verifican las siguientes condiciones
a)\( P^2-9=x^2(x^2+6) \)  Y Grado (P)\( \geq{2} \)

 Podría haber muchas formas de enfocarlo. Por ejemplo dado que

 \( P^2=x^2(x^2+6)+9=x^4+6x^2+9 \)

 y \( grado (P^2)=2grado(P) \). Se deduce que \( grado(P)=2 \). Además como el coeficiente de \( x^4 \) es \( 1 \), necesariamente \( p(x)=x^2+ax+b \).

 Entonces podrías hacer:

\(  (x^2+ax+b)^2=x^4+6x^2+9 \)

\(  x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2=x^4+6x^2+9 \)

 E igualar coeficientes:

\(  2a=0 \)
\(  a^2+2b=6 \)
\( 2ab=0 \)
\(  b^2=9 \)

 Sería más rápido si uno se da cuenta que \( x^4+6x^2+9=(x^2+3)^2 \).

Citar
b)\( P^2+x=x.P+1 \) y el grado de P es 1

 Pues por ejemplo toma \( p(x)=ax+b \). Haz las cuentas e iguala coeficientes.

 Una vez más habría otras posibilidades.

Saludos.

76
Hola

Hola! soy nueva, no se bien como e utiliza para comenzar un nuevo foro.

Pero queria saber como es el calculo para esto.

Suponga que en un grafo no dirigido con 5 vértices y 7 aristas, dos de los vértices
tienen grado 2 y dos de los vértices tienen grado 3. ¿Cuál es el grado del vértice restante?
Muestre los cálculos realizados.

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular para un nuevo ejercicio o pregunta abre un nuevo hilo. Esta vez desde la administración hemos separado tu pregunta del hilo donde la habías insertado.

 Para otra ocasión: simplemente entra en el subforo que quieras y pincha en Nuevo Tema.

 Obviamente si lo que tienes son dudas sobre ESTE ejercicio, sigue preguntando aquí, en este hilo.

Saludos.

77
Dudas y sugerencias del foro / Re: Hilo intrascendente
« en: 20 Febrero, 2021, 08:42 am »
Hola

Resumiendo, para decir que \( x^2-x \) no era el polinomio nulo me tengo que limitar a ver la escritura y no me es lícito hacer nada mas (como evaluar en un punto). Si esto es así, lo entiendo pero tiene poco recorrido.

 El al contrario: la expresión \( x^2-\color{red}x\color{black} \) es un polinomio distinto del polinomio nulo.

  Y te es lícito hacer con él todo lo que se hace con polinomios; en particular trabajar con la función polinómica. En ese caso y si estamos \( \Bbb Z_2[x] \) sería la función nula.

 Es decir trabajar con los polinomios como se definen habitualmente en el contexto del álgebra, es mucho más enriquecedor, que trabajar simplemente con funciones polinómicas.

Citar
La frase 'los conceptos de polinomio y función polinómica no son en general equivalentes' refuerza mi afirmación de que \( x^3+x^2-x \) no es lo mismo que el polinomio \( x^2-x \) incluso si \( a^2=a \), \( \forall{a\in{A}} \). Parece que quieres decir que \( x^3+x^2-x \) no es lo mismo que el polinomio \( x^2-x \) pero sí es lo mismo en el conjunto de funciones polinómicas. Si es así, confírmamelo por favor. ¿Qué sentido tiene entonces el anillo de polinomios si hay que salir de él y entrar en las funciones polinómicas para algo tan usual como evaluar en un punto.

 No hay que salir ni entrar en ningún sitio; repito la idea anterior. Tiene todo el sentido porque es un concepto mucho más amplio y completo, que simplemente trabajar con la función polinómica.

Citar
Si es así, resulta que en algunos ambientes, \( f(x)=Sen^2 x+Cos^2 x \) y g(x)=1 no son lo mismo salvo que salgamos de tal ambiente y entremos en uno que permita evaluar.
Esto me recuerda los password hacen diferente escribir fernando a escribir Fernando para acceder.

 Sobre lo que a cada uno le recuerde según que cosa... pues allá cada cuál.

Citar

 de hecho, en cualquier anillo de polinomios \( A[x] \) se puede evaluar cualquier polinomio sobre un elemento del anillo. De hecho se hace.

Ahora me entero menos, según Fernando, no se puede confundir el anillo de polinomios (en el que no está la operación evaluar) con el de las funciones polinómicas.

 Una vez más: en cualquier anillo de polinomios uno puede evaluar los polinomios y definir conceptos como la función polinómica asociada al polinomio o el morfismo evaluación.

Citar
¡Pero si está a la orden del día en álgebra!. Por ejemplo en criptografía o álgebra computacional se emplean continuamente polinomios con coeficientes en cuerpos finitos; se evalúan, se factorizan, y se hacen muchas cosas con ellos que se aplican al mundo de la informática.

Vuelves a afirmar que en el anillo de polinomios, se evalúa. Tendría que ver ejemplos de estudios criptográficos en los que se emplee un anillo de polinomios en el que no esté permitido evaluar, sino sólo trabajar con la estructura y propiedades formales.

¡Pero como te voy a poner un ejemplo de anillo donde no esté permitido evaluar si te estoy diciendo justo lo contrario!. En cualquier anillo de polinomios se "permite" (se define) la evaluación.

 Te voy a dar una (¡hay muchas!) referencia donde se resume todo esto:

"Algebra" de Serge Lang. GTM Springer. 
 
 Si pinchas en el nombre tienes acceso al libro. Te interesarán las páginas 97 y 98 que es donde se da la definición de polinomio sobre un anillo arbitrario.

 Te rescato algunos fragmentos.

 Definición de anillo de polinomios:



 Definición de función polinómica asociada a un polinomio:



 Definición del morfismo evaluación:



Saludos.

CORREGIDO

78
Hola

Bueno, también se ve con un valor cercano a 3.

Lo que quiero decir es esto; por ejemplo (tenía que haber tomado menos de 3, no más, pero para lo que quiero preguntar da igual)

\( (3,0001^{2})<9+\epsilon
  \)

\( 9,00060001-9<\epsilon
  \)

\( 0,00060001<\epsilon
  \)

y en la medida que me acerque más a 3 por la derecha, me salen más ceros a la izquierda.

Si; más o menos lo que dices ahí es que si \( x \) se aproxima a \( 3 \), entonces \( x^2 \) se aproxima a \( 9 \), es decir, \( x^2-9 \) se hace muy pequeño.

Citar
A ojo, la desigualdad dice que épsilón puede llegar a representar en el límite a cualquier número real positivo pequeño, sin excepción.

Esto ya es un vaguedad; volvemos a lo mismo. La desigualdad venía a cuento para probar la definición de límite; precisamente para dar rigurosidad a la noción intuitiva de límite.

Pero volver a reinterpretar la desigualdad con el \( \epsilon \) que ha salido de hacer cuentas a partir de \( |f(x)-19|<\epsilon \), no viene mucho a cuento.

Citar
Si la función saltara en \( 3+\delta
  \), eso no podría ocurrir, sí habría excepción, porque los puntos de las coordenadas “Y” se separan, mientras los de la coordenada X no.

Con un dibujo: si la gráfica se rompe y salta hacia otro punto, tenemos una distancia entre los puntos discontinuos, que dibujo con la barra azul; y entonces siempre existe una distancia menor dibujada con la barra marrón (y eso no pasa ahí, en las cuentas de arriba).



Pero como en la definición de límite se dice \( \epsilon>0
  \), sin restricción, entiendo que tal cosa no puede pasar y sólo ocurre cuando hay discontinuidad; ¿esto es así?

¡Buf!; me cuesta decirte un si o un no. Lo que dices es demasiado vago como para decir categóricamente que está bien o mal. Entiendo que ahí estás reinterpretando la noción de límite; efectivamente si hay un salto hay una diferencia entre \( f(x) \) y su NO-límite que tenemos garantizada que sea salvada por más que nos acerquemos al punto donde calculamos el límite.

Pero, desde luego esto no tiene nada que ver con el ejercicio; no tiene nada que ver con las cuentas concretas que hay que hacer para demostrar por epsilon-delta el correspondiente límite.

No sé; sigo pensando que no viene a cuento nada de esto, francamente.

Saludos.

79
Hola

Pues sí, primero hay que ver si es continua, claro, ya veo el ejemplo.

No, no hay que ver que es continua. De hecho en el caso del ejercicio es irrelevante.

El ejercicio dice:

 
Problema: Demostrar que el \(\displaystyle\lim_{x \to 3} 2x^2+1=19\), vía épsilon-delta (definición de límite).

 Es decir ya nos da el candidato a límite: \( 19 \). Entonces lo que pide es comprobar vía definición epsilon-delta que efectivamente ese es el límite.

 Si pudiésemos usar la continuidad de la función entonces directamente con ella sabríamos que:

\( \displaystyle\lim_{x \to 3} 2x^2+1=2\cdot 3^2+1=19 \)

 y justificaríamos ese límite, no por la definición epsilon-delta, sino por continuidad.

Citar
La función es continua porque es polinómica.

 Irrelevante.

Citar
Llego a \( 0<\dfrac{\epsilon}{2}+0
  \) y análogamente en el otro caso (o con delta o la letra que haya que poner).

Eso quiero decir que épsilon puede ser cualquier número positivo sin restricción.

Por tanto, si existe el límite, 19 es un número que cumple la condición de límite, pero como el límite es único, si existiera, tiene que ser 19.

Puesto que el ejercio dice “Demostrar que el límite es...” y no “demostrar si verdadero o falso”, concluimos que existe y que en efecto es 19.

 Me cuesta bastante encontrar un sentido a esto; porque dices que pones \( \epsilon \) o \( \delta \) (parece que te da igual). Y no se que pretendes al comprobar esa igualdad dándole a x el valor 3.

 Sinceramente me cuesta concretar más la crítica de lo que ya lo he hecho, porque no se me ocurre interpretación razonable alguna a lo que haces.

 Reitero en que consiste probar el límite vía épsilon-delta:

Lo que hay que hacer (y así procede didiyrex) es dado un \( \epsilon>0 \) proponer un \( \delta>0 \) garantizando que si:

\( 0<|x-3|<\delta \) entonces \( |18-2x^2|<\epsilon \)

Saludos.

80
Dudas y sugerencias del foro / Re: Hilo intrascendente
« en: 19 Febrero, 2021, 02:35 pm »
Hola

Dado un anillo \( A \) si miramos \( A[x] \) (conjunto de los polinomios del estilo \( a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n \)) de forma aséptica

O sea, si miramos el conjunto de polinomios sobre un anillo... como lo que es.

Citar
, sin pensar que tales elementos no tienen mas propiedades que su existencia tal y como se han definido, sin pensar siquiera en la evaluación de un polinomio en un punto, veo claro que \( x^2-x \) no es el polinomio nulo aunque sea \( a^2=a \), \( \forall{a\in{A}} \) pues  si sumamos \( x^2-x \) con el polinomio \( x^3 \) nos queda el polinomio \( x^3+x^2-x \) que no es (por lo menos formalmente) el polinomio \( x^3 \). Resumiendo, para decir que \( x^2-x \) no era el polinomio nulo me tengo que limitar a ver la escritura y no me es lícito hacer nada mas (como evaluar en un punto).

Pero es que no es así. En el los anillos de polinomios que he mencionado antes, \( \Bbb Z_2[x] \) o \( A[x] \) con \( A \) un anillo booleano, y de hecho, en cualquier anillo de polinomios \( A[x] \) se puede evaluar cualquier polinomio sobre un elemento del anillo. De hecho se hace.

Simplemente que no para todos los anillos esa evaluación tiene las mismas propiedades que cuando sólo trabajas son polinomios sobre enteros o reales.

Citar
Si esto es así, lo entiendo pero tiene poco recorrido.

¡Pero si está a la orden del día en álgebra!. Por ejemplo en criptografía o álgebra computacional se emplean continuamente polinomios con coeficientes en cuerpos finitos; se evalúan, se factorizan, y se hacen muchas cosas con ellos que se aplican al mundo de la informática.

 Fíjate que a veces en matemáticas cuando se buscan ejemplos de objetos que no cumplen las propiedades típicas, a veces se acaba en construcciones muy exóticas que apenas se usan más allá de su valor (que no es poco) como contraejemplo.

 Pero no es el caso; los anillos que te hemos puesto no son especialmente enrevesados ni exóticos. Son de uso común una vez que uno entra en harina en matemáticas.

Saludos.

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