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Mensajes - Luis Fuentes

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Teoría de Conjuntos / Re: Congruencias
« en: Hoy a las 01:08 pm »
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no debes de usar imágenes para colocar el enunciado de un problema; deberías de haberlo escrito directamente en el mensaje, usando LaTeX para las fórmulas.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

 En cuanto al problema, a la hora de enfocar su resolución habría saber exactamente que resultados previos conoces. Eso hará que algunos razonamientos puedan ser más directos o hay que dar más rodeos o probar otras cosas previamente.

Citar
Me he topado por la red con este problema de Congruencias y no sé muy bien cómo resolverlo. He empezado relativamente poco con este tema, así que supongo que será por eso.

Sea \( p \) un primo impar. Un entero \( a \) no divisible por \( p \) se llama un resto cuadrático módulo \( p \) si la ecuación \( x^2\equiv a \) (mod \( p \)) tiene solución.

 Una forma bastante autocontenida:

 1) Si no lo has hecho ya prueba que el conjunto de enteros módulo \( p \), con \( p \) primo es un cuerpo. Básicamente lo único no trivial es que demostrar que todo elemento tiene inverso multiplicativo. Es decir que dado \( a \) no múltiplo de \( p \), existe \( b \) tal que \( ab=1+kp \). Lo único que hay que usar es que, por el algoritmo de Euclides, si \(  mcd(a,p)=1 \) existen enteros positivos.

 2) La ecuación \( x^2\equiv a \) equivale a \( x^2-a\equiv 0 \) (ya no escribiré el mod \( p \); se presupone).

 3) Dada una solución \( x_0 \), la ecuación se puede escribir como:

\( x^2-a\equiv 0\quad \Leftrightarrow{}\quad x^2-x_0^2\equiv 0\quad \Leftrightarrow{}\quad (x-x_0)(x+x_0)\equiv 0 \)

 4) De lo anterior es inmediato que \( -x_0 \) es también solución; comprueba que \( -x_0\not\equiv x_0 \) (ya tienes dos soluciones) y deduce, usando esta versión de la ecuación \( (x-x_0)(x+x_0)\equiv 0 \) que no hay más.

 Completa los detalles; intenta el resto. Indica que cosas sabes sobre congruencias. Por ejemplo en el ejericio (2) te indican que uses la Congruencia de Wilson. ¿Sabes de qué habla?.

Saludos.

2
Hola

No creo que hayas pasado nada por alto. :aplauso: :aplauso: :aplauso:

O al menos yo también he pensado en la misma respuesta que tú.  :D

Si; es que me pareció muy fácil. Por eso me entraba cierta duda si basándome en el dibujo daba por obvio algo que no lo es tanto.

Contrasta con el de geometría que pusieron el año pasado, que era infernal:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=112090.0

Saludos.

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Enlaces sugeridos / Re: Enlaces en el rincón
« en: Hoy a las 08:58 am »
Hola

Yo conozco varios papers ya publicados con errores. Muchas veces los investigadores publican en sus sitios Web erratas de publicaciones ya realizadas.

Por otra parte, en ArXiv se pueden señalar errores y los autores pueden subir nuevas versiones de su paper.

Si, yo también conozco papers con fallos publicados en revistas serias; al final es imposible que no haya errores que no se pasen por alto. Pero dependiendo de los criterios de calidad y de revisión de que haya pasado el artículo las probabilidades de que esto ocurra serán mayores o menores.

Si ha pasado por un proceso de revisión por pares serio las garantías son mayores.

No obstante, el ArXiV me parece una buena idea. Se dan a conocer con más fluidez las investigaciones y es cierto que muchos de los artículos allí publicados son revisados y criticados espontáneamente por sus lectores. También es cierto que en ArXiV pueden llegar aparecer artículos totalmente disparatados, cosas es que es mucho mas improbable en una revista con sistema de revisión por pares serio.

Saludos.


4
Hola

En un torneo de ajedrez participan seis maestros durante cinco días. Cada día se disputan tres partidas en las cuales participan todos los maestros, y al finalizar el torneo todos se han enfrentado contra todos exactamente una vez. Demostrar que al terminar el tercer día del torneo existe un conjunto de al menos tres maestros que ya han jugado entre ellos todas la partidas. ¿Es único el conjunto?

Observación:
La solución es prácticamente la misma que en el enunciado análogo de Galicia.

Equivale igualmente a probar que en dos jornadas al menos hay tres maestros NO han jugado ninguno de ello entre si.

Y esquematizando las primeras/segundas partidas en la misma forma que indiqué en la otra solución, en este caso la única posibilidad es un único ciclo de orden 6: \( 1-2+3-4+5-6+1 \).

Por tanto en los grupos \( 1,3,5 \) ó \( 2,4,6 \) sus integrantes no han jugado entre si: el conjunto NO es único.
[cerrar]

Saludos.

5
Hola

Hola, Luis. No he trabajado bajo la suposición \( n_1=n_p \) en los dos primeros casos del teorema 2. Sencillamente se han probado utilizando resultados del teorema 1. Como la demostración del tercer caso del teorema 2 se hace por reducción al absurdo, a diferencia de los demás casos, he intentado explicarme con más detalle haciendo de las partes esenciales del teorema 2 dos teoremas, el teorema 2 nuevo y el teorema 2 bis para que quede clara la independencia de los dos. Además insisto en que los casos que se estudian dependen del valor de k, nunca de los valores \( n_1 \), \( n_{p-1} \)  o \( n_p \). Las aclaraciones me resultan más cómodas escribirlas y adjuntarlas. Siento no saber utilizar laTex. Haz el favor de leer el archivo adjunto.

No estás teniendo en cuenta que \( k \) depende de \( p \).

Para enfatizar eso de manera más clara podríamos escribir:

\( n_p=\dfrac{3^{p-1}n_1+k_p}{2^{\alpha_2+\ldots+\alpha_p}} \)

Entonces en los dos primeros casos y en la primera parte del tercero pruebas:

1) si \( mcd(n_1,k_p)=1 \) ó \( h\neq n_1 \) ó \( n_1 \), si \( n_1 \) es múltiplo de \( 3 \), entonces es imposible que \( n_1=n_p \).

Por supuesto esta afirmación es válida para cualquier \( p \). Por ejemplo pruebas que:

-si \( mcd(n_1,k_5)=1 \) entonces es imposible que \( n_1=n_5 \).
- ó si \( mcd(n_1,k_8)=1 \) entonces es imposible que \( n_1=n_8 \).

Pero OJO NO pruebas que si \( mcd(n_1,k_5)=1 \) entonces es imposible que \( n_1=n_4 \).

¿De acuerdo hasta aquí?¿Algo que matizar por tu parte?.

2) Entonces para completar tu demostración te faltaría probar que:

- \( mcd(n_1,k_p)=n_1 \) con \( n_1 \) no múltiplo de \( 3 \), entonces es imposible que \( n_1=n_p \).   (*)

¿Estás de acuerdo que es lo qué te falta por probar antes de llegar al caso c.ii)?.

3) Sin embargo lo que tu pruebas es que:

- \( mcd(n_1,k_p)=n_1 \) con \( n_1 \) no múltiplo de \( 3 \), entonces es imposible que \( \color{red}n_1=n_{p-1}\color{black} \).

 Pero eso no prueba (*).

Saludos.

P.D. Fíjate que en realidad la cuestión es muy sencilla. Quieres probar que es imposible que:

\( \dfrac{3^{p-1}n_1+k_p}{2^{\alpha_2+\ldots+\alpha_p}}=n_1 \)

Eso equivale a que:

\( k_p=n_1(2^{\alpha_2+\ldots+\alpha_p}-3^{p-1}) \)

Desde luego que eso implica que \( k_p \) es múltiplo de \( n_1 \), \( k_p=n_1h_p \). Queda:

\( h_p=2^{\alpha_2+\ldots+\alpha_p}-3^{p-1} \)

Tienes que descartar que eso pueda darse y no lo has hecho.

Para que tus expresiones en LaTeX se vean bien tienes que encerrarlaras entre [tex]....[/tex].

6
Hola

 De acuerdo, no es exactamente la crítica que te había planteado pero es muy parecida. El problema es el siguiente

 En la prueba del Teorema 2:

 - En los casos a)b)c.i) trabajas bajo la suposición \( n_1=n_p \) y pruebas que eso no es posible si \( mcd(n_1,k)=1 \), \( h\neq n_1 \) ó si \( mcd(n_1,k)=n_1 \) y \( n_1 \) es múltiplo de \( 3 \).

 - En el caso c.ii) sin embargo trabajas bajo la suposición \( n_1=n_{p-1} \) y \( mcd(n_1,k)=n_1 \) con \( n_1 \) no múltiplo de \( 3 \). Pero OJO ahí ese \( k \) es el de la expresión de \( n_p=\dfrac{3^{p-1}n_1+k}{2^{\alpha_2+\ldots+\alpha_p}} \).

 Entonces en ningún momento estas descartando que \( n_1=n_p \) y  \( mcd(n_1,k)=n_1 \) con \( n_1 \) no múltiplo de \( 3 \).

 O visto de otra manera en ningún momento estás descartando que \( n_1=n_{p-1} \) si \( mcd(n_1,k)=1 \), \( h\neq n_1 \) ó si \( mcd(n_1,k)=n_1 \) y \( n_1 \) es múltiplo de \( 3 \) (siendo en todos esos caso el \( k \) de la expresión \( n_p \)).

 Como te dije el usar en el caso c.ii) \( n_1=n_{p-1} \) no viene a cuento y hace que todo que apliques ahí no se relacione con lo que has descartado antes.

Saludos.

7
Hola

No supongo \( n_p=n_1 \). Sí supongo \( n_{p-1}=n_1 \) pero en este caso \( p \) toma valores mayores que \( 2 \). Se llega a que \( n_{p-1} \) es distinto de \( n_1 \). Si hacemos \( p-1 =k \), lo anterior se puede resumir como \( n_1 \) es distinto de \( n_k \), con \( k \) natural mayor que \( 1 \).

Tienes razón; luego lo miro con más calma.

Saludos.

8
Hola

Gracias, Luis por tu respuesta.
Ahora adjunto la nueva versión del trabajo anteriormente mencionado con la demostración de que todos los términos de la serie de Collatz son distintos entre sí (excepto los términos triviales).

En la página 5, cuando estudias el caso c) ii) supones que \( n_1=n_{p-1} \) y también que \( n_1=n_p \). Entonces lo único que pruebas es que no se pueden dar las dos cosas al tiempo; lo cuál es una obviedad porque entonces \( n_{p-1},n_p) \) serían dos términos consecutivos iguales de una sucesión de Collatz; y es trivial que eso no se da.

Pero no pruebas que no pueda darse \( n_1=n_p \), sin más.

De hecho no entiendo a que viene que consideres además que \( n_1=n_{p-1} \).

Saludos.

9
Hola

\( A,B,C,D \) es un cuadrilátero convexo verificando \( AB>BC \), \( CD=DA \) y \( \angle ABD=\angle DBC \). Sea \( E \) el punto de la recta \( AB \) tal que \( \angle DEB=90^o \). Probar que \( AE=\dfrac{AB-BC}{2} \).

Mi solución.
No sé si paso algo por alto. Pero mi solución esencialmente es esta:  :D



Añado los detalles:

Tomamos el punto \( C' \) en el segmento \( AB \) tal que \( BC=BC' \). Los triángulos \( CDB \) y \( DC'B \) son congruentes por tener un ángulo y los lados que lo comprenden iguales. Por tanto \( C'D=CD=AD \).

Entonces el triángulo \( ADC \) es isósceles, por tener los lados \( AD \) y \( C'D \) iguales. Por ser el ángulo \( \angle DEB \) recto el segmento \( ED \) es la mediatriz del lado desigual \( AC' \) y así \( AE=EC' \).

Entonces:

\( AB=AE+EC'+C'B=2AE+BC\quad \Rightarrow{}\quad AE=\dfrac{AB-BC}{2} \)
[cerrar]

Saludos.

P.D. Añadida una explicación.

10
Hola

Demostrar que todos los números racionales se pueden pueden expresar como suma de algunas fracciones de la forma \( \dfrac{n-1}{n+2} \), con \( n\geq 0 \) entero, admitiendo repetir sumandos.

Mi solución.
Si llamamos \( A \) al conjunto de números que pueden expresarse de la forma indicada. Se tiene que:

1) Si \( a,b\in A \) entonces \( a+b\in A \) (si cada uno de ellos se expresa como suma de fracciones de ese tipo pudiendo repetirlas, su suma es suma de las fracciones de ambas).
2) Por lo anterior, para cualquier \( m\in \mathbb{N} \), si \( a\in A \) entonces \( ma\in A \).
3) Tomando \( n=0,1,2 \) sabemos que \( -1/2,0,1/4\in A \).
4) Por (2) y (3) cualquier entero positivo \( N=(4N)\cdot (1/4) \) o negativo \( N=(-2N)(-1/2) \) pertenece a \( A \).
5) Dado que \( \dfrac{n-1}{n+2}=1-\dfrac{3}{n+2}\in A \). Sumándole \( -1\in A \) (por 4),  y tomando \( n=3k-2 \) se tiene que (por 1):

 \( 1-\dfrac{3}{(3k-2)+2}+(-1)=\dfrac{-1}{k}\in A \) para cualquier natural \( k \).
6) Por tanto cualquier racional negativo está en \( A \) ya que:

\( \dfrac{-p}{q}=p\cdot \dfrac{-1}{q} \) (y aplicamos 5 y 2)

7) Por útlimo  cualquier racional positivo \( p/q \) se puede escribir para un \( M \) natural suficientemente grande como:

\( \dfrac{p}{q}=\underbrace{\dfrac{p}{q}-M}_{<0}+M \)

Como por (6) los racionales negativos están en \( A \) y por (1) la suma de elementos de \( A \) está en \( A \): hemos conlcuído.
[cerrar]

Saludos.

11
Demostrar que todos los números racionales se pueden pueden expresar como suma de algunas fracciones de la forma \( \dfrac{n-1}{n+2} \), con \( n\geq 0 \) entero, admitiendo repetir sumandos.

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\( A,B,C,D \) es un cuadrilátero convexo verificando \( AB>BC \), \( CD=DA \) y \( \angle ABD=\angle DBC \). Sea \( E \) el punto de la recta \( AB \) tal que \( \angle DEB=90^o \). Probar que \( AE=\dfrac{AB-BC}{2} \).

Dibujo.
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13
Hola

En un torneo de ajedrez participan ocho jugadores durante siete días. Cada día se disputan cuatro partidas en las que participan todos los jugadores, y al finalizar el torneo todos se enfrentaron contra todos exactamente una vez. Demostrar que al terminar el quinto día existe un conjunto de al menos cuatro jugadores que ya jugaron entre ellos todas las partidas.

Pista para simplificarlo.
Dado que al final del torneo en cualquier grupo de cuatro jugadores se han enfrentado todos contra todos exactamente una vez, si uno de esos grupos el quinto día ya ha completado sus partidas, en las dos jornadas restantes no jugarán ninguna entre ellos. Y viceversa si en las dos últimos días no juegan entre ellos, sus partidas han tenido que completarse en las cinco primeras sesiones.

Por tanto el problema equivale a demostrar que en dos jornadas al menos hay un grupo de cuatro jugadores que no se han enfrentado ningún par de ellos entre si.
[cerrar]

Mi solución.
Continuando con la pista. Nos fijaremos en dos jornadas competitivas. Formamos una lista de enfrentamientos empezando por un jugador poniendo a su derecha quien juega con él el primer día, después a su derecha quien juega con esta segunda persona el segundo día, después el rival de esta tercera persona el primer día y así sucesivamente. Por ejemplo si las partidas fueron:

Primer día: \( 1-2, 3-4, 5-6, 7-8 \) Segundo día: \( 1-4,2-5,3-8,6-7 \)

Lo indicamos:

\( 1-2+5-6+7-8+3-4+1 \)

Con el \( - \) en medio indico que la partida es del primer día; y con el \( + \) del segundo. Como vemos en el ejemplo se ha formado un ciclo (el más grande posible) de longitud 8, es decir, al final aparece otra vez una partida con el primer jugador.

Ahora:

 - Es claro que los ciclos tienen que ser de longitud par (primer día/segundo día/primer día/segundo día/...).
 - No puede haber un ciclo de longitud \( 2 \) (1-2+1) (porque entonces un jugador jugaría con dos personas el mismo día).
 - Por tanto:

 o bien hay dos ciclos de orden \( 4 \): \( 1-2+3-4+1 \) , \( 5-6+7-8+5 \)
 o bien hay un ciclo de orden \( 8 \): \( 1-2+5-6+7-8+3-4+1 \)

 En cualquiera de los dos casos los grupos de jugadores \( 1,3,5,7 \) ó \( 2,4,6,8 \) no han tenido ningún enfrentamiento interno en dos jornadas, que es lo que queríamos probar.
[cerrar]

Saludos.

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En un torneo de ajedrez participan ocho jugadores durante siete días. Cada día se disputan cuatro partidas en las que participan todos los jugadores, y al finalizar el torneo todos se enfrentaron contra todos exactamente una vez. Demostrar que al terminar el quinto día existe un conjunto de al menos cuatro jugadores que ya jugaron entre ellos todas las partidas.

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Hola

P.D.: Y, según acabo de ver por ahí atrás, las imágenes siguen fallando, así que habrá que pensar más en serio en las alternativas.
-

¿Indica en qué mensaje fallan y que archivo quieres colgar?. Como te dije se pueden poner sin problema; corregía algunos mensajes, pero en un par de ellos no encuentro la imagen que querías poner. Entonces indícame el mensaje, la imagen, y lo arreglamos.

Saludos.

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Off-topic / Re: Partida de ajedrez "en consulta": ¡a disfrutar!
« en: 22 Enero, 2021, 09:48 pm »
Hola

-
Gracias. De todas formas no pierdas mucho tiempo en esto. Creo que tengo alternativas ... mmm ... quizá colocar enlaces a Lichess, y además así la gente puede mover las piezas para revisar las jugadas anteriores.

Pero no hay problema es subir imágenes. Simplemente hay que adjuntar el archivo y proceder como se indica aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=3659.msg14457#msg14457

Lo que se ha desactivado es un módulo que hacía ese proceso ligeramente más sencillo.

Saludos.

17
Foro general / Re: Teoría de conjuntos y lógica
« en: 22 Enero, 2021, 09:45 pm »
Hola

 Para responder a este tipo de preguntas lo que tienes que hacer es coger un libro de historia de las matemáticas y leer. ¿Tienes algún libro de historia de las matemáticas?.

Saludos.

18
Hola

Me gustaría saber si se ha llegado a demostrar que todos los términos de la serie de Collatz son distintos entre sí (a excepción de la serie trivial 4, 2, 1.)

Que yo sepa no está demostrado. Hay trabajos que prueba que si existiese un ciclo debería de ser de longitud mayor que "tanto" (da igual el número).

Si uno bucea en internet buscando trabajos en inglés, encuentra alguno que DICE que lo ha probado; pero si uno indaga un poco más ve que no están publicados en ninguna revista (mínimante seria) y algunas además tienen un anexo donde ponen de manifiesto el error.

Saludos.

19
Off-topic / Re: Partida de ajedrez "en consulta": ¡a disfrutar!
« en: 22 Enero, 2021, 06:46 pm »
Hola
 
 He estado colocando las imágenes; pero en algún mensaje parece que falta alguna.

Saludos.

20
Hola

 Por completar voy a detallar como construir la isometría, mediante composición de varias isometrías.

 Supongamos que \( d(R_1,S_1)=d(R_2,S_2) \) y \( ang(R_1,S_1)=ang(R_2,S_2). \)

 Sean \( P_i\in R_i \) y \( Q_i\in S_i \) los únicos puntos en las rectas tales que d(R_i,S_i)=d(P_i,Q_i) (los puntos de las rectas a mínima distancia y por tanto dan la distancia entre ellas). Recordemos que el vector \( P_iQ_i \) es perpendicular a ambas rectas.

 1) Mediante una traslación podemos llevar \( P_1 \) en \( P_2 \).  En cada paso mantengo el nombre de los objetos transformados. De esta forma ahora \( P_1=P_2 \).
 2) Mediante un giro llevamos \( R_1 \) en \( R_2 \) manteniendo el punto \( P_1 \) fijo. Ahora \( R_1=R_2 \).
 3) Los vectores \( \vec{P_1Q_1} \) y \( \vec{P_2Q_2} \) son ambos perpendiculares a \( R_1=R_2 \) y de la misma longitud. Por tanto con un giro de eje \( R_1=R_2 \) podemos llevar \( Q_1 \) en \( Q_2, \) manteniendo el eje de giro fijo. Ahora \( Q_1=Q_2 \).
 4) Ahora las rectas \( S_1 \) y \( S_2 \) son ambas perpendicualres al vector  \( \vec{P_1Q_1}=\vec{P_2Q_2} \), es decir, están en el plano perpendicular a ese vector que pasa por el punto \( Q_1=Q_2. \) Como ambas rectas forman el mismo ángulo con \( R_1=R_2 \) o coinciden o bien una es simétrica de la otra respecto al plano que forman \( R_1=R_2 \) y  \( Q_1=Q_2 \). Con esto hemos terminado.

Saludos.

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