Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - Luis Fuentes

Páginas: [1] 2 3 4 ... 2335
1
Cálculo 1 variable / Re: Elevación y curvatura
« en: Ayer a las 09:49 pm »
Hola

Puede ser que sea, para \( a \) inifnitésimo

\( f'(x)= \displaystyle\lim_{x\rightarrow{}a}\frac{f(x+a)-f(x)}{x-a}\geq{}g'(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow{}a}\frac{g(x+a)-g(x)}{x-a}. \) Pero la condición anterior no condiciona a que ese valor sea infinitésimo. Por lo tanto, podría ocurrir que en algún punto esa desigualdad de derivadas primeras no se cumpla en algún punto del intervalo, no?.

No estoy seguro de entenderte.

Lo que yo digo es que si para todos \( p,p+a\in [c,d] \) con \( a\geq 0 \) se tiene que \( f(p+a)-f(p)\geq g(p+a)-g(p) \) entonces se cumple que \( f'(x)\geq g'(x) \) en \( (c,d) \).

Basta tener en cuenta que si \( a>0 \) entonces:

\( \dfrac{f(p+a)-f(p)}{x-a}\geq \dfrac{g(p+a)-g(p)}{x-a} \)

y si \( a<0 \):

\( \dfrac{f(p+a)-f(p)}{x-a}=\dfrac{f(p+a+(-a))-f(p+a)}{a-x}\geq \dfrac{g(p+a+(-a))-g(p+a)}{a-x}= \dfrac{g(p+a)-g(p)}{x-a} \)

Por tanto en el paso al límite de la derivada se mantiene esa desigualdad.

Saludos.

2
Hola

Me preguntaba si, al igual que se puede encontrar un homeomorfismo entre \( \mathbb{R} \) y la circunferencia con la proyección estereográfica

Es entre \( \mathbb{R} \) y la circunferencia
Citar
menos un punto
.

Citar
, también se puede hacer algo parecido con la cardioide y la circunferencia, disponiendo la circunferencia dentro de la cardioide y el foco de la proyección en el centro de la circunferencia.

Si. Esencialmente es lo que se hace cuando se da ecuación de la cardioide en polares.

Citar
También, que la lemniscata y la circunferencia no son homeomorfas porque puedo elegir el centro de la lemniscata como punto de corte, y aparecerían dos componentes conexas, mientras que cualquier punto de corte en la circunferencia da una sola componente conexa.

Si.

Citar
Probar que la curva \( \alpha(t)=(a+bt, c+dt+et^2),\: a,b,c,d,e\in\mathbb{R} \), no puede ser una circunferencia.

No estoy seguro de que sentido preciso le quieres dar "no ser una circunferencia". ¿Homeomorfa? ¿O exactamente igual a una cicunferencia?.

Entonces:

- Homeomorfa no puede ser, porque la curva \( \alpha(t) \) nunca es una curva cerrada.
- Exactamente igual no puede ser porque \( \alpha(t) \) no es acotada si \( b\neq 0 \) y está contenida en una recta si \( b=0 \).

Quizá podría haber otras interpretaciones, así que clarifica bien tu pregunta.

Saludos.

3
Hola

Debo Probar Que: \( \forall{\epsilon}>0, \exists{N:} n>N \text{ tal que }|y_n-0|<\epsilon \)

\( \left|\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \right|<\epsilon \Longleftrightarrow{\frac{1}{2^{n-1}}}<\epsilon \)

Luego \( n>log_2\left(\frac{1}{\epsilon}\right) +1 \)

Es correcto?

Correcto es; pero no hace falta que afines tanto la elección del \( n \). Puedes usar que:

\( 2^n>n \)

Entonces:

\( \dfrac{1}{2^{n-1}}<\dfrac{2}{n} \)

Entonces puedes tomar \( n \) tal que \( \dfrac{2}{n}<\epsilon \), es decir, \( n>2\epsilon \).

Saludos.

4
Probabilidad / Re: Extracción con y sin reemplazo
« en: Ayer a las 08:51 pm »
Hola

Una urna contiene 10 bolas de las cuales una de ellas es distinguida. Si 5 de estas bolas se
seleccionan una a la vez, cada selección siendo igualmente probable que sea cualquiera de
las bolas que quedan en ese momento, ¿cuál es la probabilidad de que la bola distinguida
se seleccione?

La redacción del ejercicio me parece muy confusa; mal escrito. "5 de estas bolas se seleccionan una a la vez": ¿qué se supone que significa esa frase?.

En conjunto yo entiendo que se sacan cinco bolas de una en una, SIN reemplazo.

Citar
Tengo entendido que con reemplazo el espacio maestral no se se afecta, entonces siempre me quedarán 10 bolas en las
Entonces la probabilida de sacar esa 1 en las 10 es  \( \binom{10}{1} \), pero como solo se sacan 5 nos queda \( \binom{5}{1} \), entonces la respuesta es:
\( \binom{10}{1}\binom{5}{1} \) ¿o estoy contando dos veces?

Por una parte yo interpreto que el problema es SIN reemplazo.

Por otra parte no sé que estás calculando ahí. Una probabilidad tiene que dar un número entre \( 0 \) y \( 1 \).

En cualquier caso si interpretas que es CON reemplazo. El espacio muestral tiene \( 10^5 \) opciones equiprobables: en cada una de las cinco extracciones podemos sacar cualquier de las \( 10 \) bolas.

Para contar los casos en los que aparece la bola distinguida, restamos del total en los que no aparece, que son \( 9^5 \).

La probabilidad pedida sería:

\( \dfrac{10^5-9^5}{10^5} \)

Citar
Para el caso en donde no se devuelve la bola el espacio muestral se reduce, en las primera la prob es 1 de 10, después 1 de 9, 1 de 8...

\( \binom{10}{1}\binom{9}{1}\binom{8}{1}\binom{7}{1}\binom{6}{1} \)

¿está bien o debo considerar hasta 5,4,3,2,1?

Si es SIN reemplazo, efectivamente los casos equiprobables del espacio muestral son \( 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6 \).

De nuevo para los casos favorables, es más fácil contar en los que NO aparece la bola distinguida y descontarlos del total. Serían: \( 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5 \).

La probalidad pedida sería:

\( 1-\dfrac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\dfrac{1}{2} \)

Saludos.

P.D. A este último resultado se puede llegar también de manera muy rápida: hay las mismas probabilidades de que la bola distinguida quede entre las cinco que seleccionamos como entre las cinco que no seleccionamos.

5
Teoría de Conjuntos / Re: Isomorfismo
« en: Ayer a las 12:51 pm »
Hola

Hola a todos tengo la siguiente pregunta:

Probar que \( \mathbb{N}\times \{0,1\} \) y \(  \{0,1\} \times \mathbb{N}  \) no son isomorfos.

Aunque más o menos se deduce de lo que pones después deberías de explicar el contexto. ¿Isomorfos con qué estructura?.

Entiendo que te refieres a isomorfos como conjuntos ordenados dotando al producto del orden lexicográfico.

En realidad se puede ver directamente que no son isomorfos porque en \( \mathbb{N}\times \{0,1\} \) todo elemento excepto el \( (1,0) \) tiene "anterior"; pero en \( \{0,1\}\times \mathbb{N} \) los elementos \( (0,1),(1,1) \) no tienen "anterior.":

Spoiler
- En \( \mathbb{N}\times \{0,1\} \) todo elemento excepto el \( (1,0) \) tiene "anterior".

Hay que probar que dado \( (a,b)\in \mathbb{N}\times \{0,1\} \), \( (a,b)\neq (1,0) \) existe \( (a',b')\in \mathbb{N}\times \{0,1\} \) con \( (a',b')<(a,b) \) de manera que si \( (x,y) \) cumpliendo \( (a',b')\leq (x,y)<(a,b) \), entonces \( (x,y)=(a',b') \).

Si \( b=1 \) basta tomar \( (a',b')=(a,0) \). Si \( b=0 \) basta tomar \( (a',b')=(a-1,1) \). En ambos casos es inmediato que \( (a',b')<(a,b) \).

Ahora \( b=1 \) y \( (a',b')\leq (x,y)<(a,b) \) equivale a \( (a,0)\leq (x,y)<(a,1) \) y por tanto \( a\leq x\leq a \) y \( 0\leq y<1 \).

Si \( b=0 \) y \( (a',b')\leq (x,y)<(a,b) \) equivale a \( (a-1,1)\leq (x,y)<(a,0) \) y por tanto \( a-1\leq x<a \). Si \( x=a \) tendríamos \( y<0 \), lo cual no puede ser. Si \( x=a-1 tenemos 1\leq y \) y por tanto \( (x,y)=(a-1,1)=(a',b') \).

- En \( \{0,1\}\times \mathbb{N} \) los elementos \( (0,1),(1,1) \) no tienen "anterior."

En primer lugar si \( (a',b')<(0,1) \) entonces o bien \( a'=0 \) y \( b'<1 \), lo cual no puede ser, o bien \( a'<0 \)... lo cual no puede ser. Por tanto no existe elemento anterior a \( (0,1) \).

Ahora si \( (a',b')<(1,1) \) entonces o bien \( a'=1 \) y \( b'<1 \) lo cual no puede ser; o bien \( a'=0 \), pero entonces \( (x,y)=(a',b'+1) \) cumple \( (a',b')<(x,y)<(1,1) \). Por tanto \( (1,1) \) tampoco tiene anterior.
[cerrar]

Citar
La sugerencia es probar que \( \mathbb{N}\times \{0,1\} \cong (w, <) \) y \(  \{0,1\} \times \mathbb{N} \cong (w + w, <) \).
 Pero \( (w + w, <) \) y \( (w, <) \) no son ismorfos .

Esa sugerencia tiene especial sentido si previamente te han probado o has probado que  \( (w + w, <) \) y \( (w, <) \) no son ismorfos. La prueba de ese hecho esencialmente es la misma que te he indicado antes para los conjuntos que te daban.

Citar
Para el  isomorfismo \( \mathbb{N}\times \{0,1\} \cong (w, <) \) tengo la siguiente función \( f((n,a))=\begin{cases}{2n}&\text{si}& a = 0\\2n+1 & \text{si}& a= 1\end{cases} \).

Mejor: \( f(n,a)=2n+a-1 \) (tu habías escrito \( f(n,a)=2n+a \); pero así dejas el uno fuera de la imagen).

Citar
Para \(  \{0,1\} \times \mathbb{N} \cong (w + w, <) \) tengo \( g((a,n))=\begin{cases}{n}&\text{si}& a = 0\\w+n & \text{si}& a= 1\end{cases} \).

Bien.

Saludos.

6
Hola

Si, ya quedo más claro. En el enunciado no se dice homeomorfismo sobre \( \mathbb{R^{n}} \) sino sobre un abierto, que me imagino es \( f(U) \).  Gracias.

Si; no hay que imaginarlo. Un homeomorfismo es sobreyectivo, por tanto necesariamente si partimos de \( U  \)el homeomorfismo sólo puede ser sobre \( f(U) \).

Saludos.

7
Hola

Buenas noches amigos!! Necesito de vuestra gran ayuda, por favor, con la siguiente demostración

Dada \( X_n \) tal que  \( x_1=1 \) \( x_2=2 \) y \( x_{n+2}=\frac{1}{2}\left(x_n+x_{n+1}\right) \) probar que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{X_n}=\dfrac{5}{3} \)

Como debo probarlo formalmente entonces deberé probar que \( \forall{\epsilon}>0: \exists{N}\text{ tal que  }   n>N: |X_n-L|<\epsilon \)

\( \left|\dfrac{1}{2}\left( x_n+x_{n+1}\right)-\dfrac{5}{3}\right|<\epsilon \)

\( \dfrac{|3(x_n+x_{n+1})-10|}{6}<\epsilon \)

\( |3x_n+x_{n+1}-10|<6\epsilon \)

Aqui me quedo , ya que no podré despejar \( n \) para hallar el \( \epsilon \)

Incidiendo en lo que dice Fernando sería bueno que indiciases en que contexto te aparece el problema; hay varias formas de enfocarlo. Una es la que indica él. Otra podría ser resolviendo la ecuación usando la teoría general de ecuaciones lineales en diferencias.

Una prueba directa y autocontenida de lo que te piden podría ser la siguiente.

Probar que \( x_n\to a \) equivale a probar que \( y_n-a\to 0 \). Consideramos \( y_n=x_n-\dfrac{5}{3} \). Se cumple:

\( y_1=x_1-\dfrac{5}{3}=\dfrac{-2}{3} \), \( y_2=x_2-\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{3} \), \( y_{n+2}=\dfrac{1}{2}(y_{n+1}+y_n) \)

Entonces vemos que \( y_2=-y_1/2 \) y:

\( y_3=\dfrac{1}{2}(y_2+y_1)=\dfrac{-1}{6}=\dfrac{-y_2}{2} \)

\( y_4=\dfrac{1}{2}(y_3+y_2)=\dfrac{-1}{6}=\dfrac{-y_3}{2} \)

Es fácil ver por inducción entonces que \( y_n=\dfrac{-1}{2}y_{n-1} \) y de ahí que \( y_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}y_1 \).

De ahí es inmediato probar (bien usando propiedades de sucesiones conocidas o por definición tipo epsilon) que \( y_n\to 0 \).

Saludos.

8
Geometría y Topología / Re: Problema de rectas y plano
« en: Ayer a las 10:29 am »
Hola

Tengo las ecuaciones paramétricas de \( r_1,r_2 \) y del plano \( \pi. \) Es decir,

\( r_1: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{2}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{-1}\\{0}\end{pmatrix}\lambda, \hspace{0.8mm} \lambda\in \mathbb{K}
 \)

\( r_2: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{-1}\\{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{-1}\end{pmatrix}\lambda, \hspace{0.8mm}\lambda \in \mathbb{K} \)

\( \pi: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{0}\\{5}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
{-1}&{1}\\
{1}&{0}\\
{1}&{1}\\
{0}&{1}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \)

Pero sabemos que \( \ell \parallel \pi \), es decir, \( \text{Dir}(\ell)\subseteq \text{Dir}(\pi) \). Luego, \( \ell \) es combinacion lineal de los vectores directores del plano \( \pi \)??

Un punto de la primera recta es de la forma \( (t,0,-t,2) \); un punto de la segunda de la forma \( (-1,1,s,-s) \). El vector que une ambos:

\( (t,0,-t,2)-(-1,1,s,-s)=(t+1,-1,-t-s,2+s) \)

Tal vector debe de ser combinación lineal de los vectores del plano, para que la recta que une ambos puntos sea paralela a él. Eso equivale a que el rango de la matriz:

\( \begin{pmatrix}{1}&{0}&{1}&{1}\\{-1}&{1}&{1}&{0}\\{t+1}&{-1}&{-t-s}&{2+s}\end{pmatrix} \)

Sea dos. Si escalonas te queda:

\( \begin{pmatrix}{1}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{2}&{1}\\{0}&{0}&{-2t-s-1}&{1+s-t}\end{pmatrix} \)

Para que el rango sea dos la última fila debe de ser nula. Concluye.

Saludos.

9
Hola

Antes de nada he pensado que podía ocurrir que, dada una función \( f \) de un dominio unidimensional en otro n-dimensional, dicha función \( f \) podía ser inyectiva si y sólo si \( \forall i \in \{1,\ldots,n\}\: f_i \) inyectiva.

Pero resulta que sólo es cierta la implicación: \( (\forall i)f_i \) inyectiva \( \Longrightarrow f  \) inyectiva.

Esta implicación es cierta porque si imaginamos \( f \) con las \( f_i \) dispuestas en un vector columna, y tenemos (sin pérdida de generalidad) que la primera \( f_i \) es inyectiva, entonces \( (\forall t_0,t_1)t_0\neq t_1 \Longrightarrow f_1(t_0)\neq f_1(t_1) \).
Comparando el vector columna \( f \) con una pulsera de cuentas que sostengo por uno de sus extremos, cambio la pulsera que sostengo para cada valor de \( t \). Si la "cabeza" es siempre distinta, no importa lo que venga detrás; las pulseras serán distintas aunque coincidan los cuerpos porque la cabeza siempre es distinta.

Ahora bien: ¿es cierto que si \( f \) es inyectiva, entonces debe existir alguna \( f_i \) inyectiva? Creo que para \( n\geq 3 \), no necesariamente.
Se pueden coger los conjuntos \( \{1,2,3\} \) y \( \{\xi, \nu,\theta\} \) y la función \( f \) tal que \( f_1=f_2 \), y luego basta elegir \( f_3 \) convenientemente. De esta manera, si:

\( \begin{bmatrix}{}&{}&{}\\{f(1)}&{f(2)}&{f(3)}\\{}&{}&{}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\xi}&{\xi}&{\nu}\\{\xi}&{\xi}&{\nu}\\{\nu}&{\theta}&{\theta}\end{bmatrix} \)

\( f(1)=\begin{pmatrix}{f_1(1)}\\{f_2(1)}\\{f_3(1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\xi}\\{\xi}\\{\nu}\end{pmatrix}\quad f(2)=\begin{pmatrix}{f_1(2)}\\{f_2(2)}\\{f_3(2)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\xi}\\{\xi}\\{\theta}\end{pmatrix}\quad f(3)=\begin{pmatrix}{f_1(3)}\\{f_2(3)}\\{f_3(3)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\nu}\\{\nu}\\{\theta}\end{pmatrix} \)

No se tiene ninguna \( f_i \) inyectiva y sin embargo, \( f \) sí lo es.

O también \( \begin{bmatrix}1&1&1&1&2\\1&1&1&1&2\\1&1&1&1&2\\0&1&2&3&3\end{bmatrix}\quad (\ldots) \)

Si todo eso es cierto. Un ejemplo natural de parametrización inyectiva con componentes no inyectivas es la circunferencia:

\( \alpha:(0,2\pi)\to \Bbb R^2,\qquad \alpha(t)=(cos(t),sin(t)) \)

Citar
Para calcular la longitud de la curva, \( l=\displaystyle\int_{1}^{9}|\alpha'(t)|dt=\color{blue}96 \), que más o menos coincide con la distancia en línea recta entre sus dos extremos, que es aproximadamente \( 94 \).

Si; la curva no se separa mucho del segmento que une los puntos inicial y final:



Saludos.

10
Hola

Hola Luis. Gracias por la respuesta.
El ejemplo queda claro en el item \( a. \). Pero aun así me queda la duda. Si \( f \) es un homeomorfismo y ella es abierta. ¿Porque la imagen del abierto \( U \) no es abierto? ¿Es acaso que la definición de función abierta es solo para subconjuntos propios del conjunto  dominio de la función?

Veamos. La defnición de homeomorfismo es la siguiente:

Una aplicación \( f:X\to Y \) entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si y sólo si es biyectiva, continua y con inversa continua. Equivalentemente si es biyectiva, continua y abierta.

Ahora, cuando te dicen que una aplicación \( f:X\to Y \) es un homeomorfismo de \( X \) sobre \( f(X) \), en realidad se refieren a que las restricción en la imagen:

\( f':X\to f(X),\qquad f'(x)=x \)

es un homeomorfismo (con la definición que di antes). Nota que \( f(X)  \) es un espacio topológico con la topología que hereda de \( Y \), como subconjunto del mismo. Es decir los abiertos de \( f(X) \) son abiertos de \( Y \) intersecados con \( f(X) \).

El problema es que un abierto de \( f(X) \) con la topología restringida, NO necesariamente es abierto de \( Y \).

Entonces la restricción en la imagen de la aplicación original \( X \), es abierta en el sentido de que lleva abiertos de \( X \) en abiertos de \( f(X) \); pero no necesariamente abiertos de \( X \) en abiertos de \( Y \).

Citar
En el item \( b. \) creo poder sustentar la afirmación: esto  se da porque tanto \( T \) como \( T^{-1} \) son continuas y que exista la inversa a derecha e izquierda hace que \( T \) sea un homeomorfismo. ¿verdad?

Si; eso es lo que justifica que \( T \) sea un homeomorfismo.

Saludos.

11
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Curvas planas (1.1)
« en: 18 Octubre, 2020, 07:57 pm »
Hola

El último apartado de un problema me pregunta si dada la aplicación:

\begin{align*}\alpha:\: &\mathbb{R} \to\mathbb{R}^2\\
t &\mapsto (t^3-4t,t^2-4)\end{align*}

¿Es \( \alpha(\mathbb{R}) \) homeomorfa a \( \mathbb{R} \)?

Un homeomorfismo es una aplicación continua, biyectiva y con inversa continua.

Como \( \alpha(\mathbb{R})=\mathbb{R}\times [-4,+\infty) \),

¡No! Eso  está mal. \( \alpha(\mathbb{R}) \) es el gráfico de la curva en el plano (sólo los puntos de la curva). Tu has puesto todo el semiplano que la contiene.

Citar
entonces creo que no puede haber aplicaciones inyectivas de \( \mathbb{R}\times [-4,+\infty) \) en \( \mathbb{R} \) puesto que si las hubiera estaríamos afirmando que \( |\mathbb{R}^2|\leq |\mathbb{R}| \), lo cual es falso.

En realidad SI hay aplicaciones inyectivas (un poco feas) de  \( \mathbb{R}\times [-4,+\infty) \) en \( \Bbb R \)  y en realidad  \( |\mathbb{R}^2|\leq |\mathbb{R}| \) es cierto. De hecho:  \( |\mathbb{R}^2|= |\mathbb{R}| \). Pero digamos que eso es otra historia; no incumbe mucho al problema.

Ahora bien \( \alpha \) no es inyectiva porque \( \alpha(-2)=\alpha(2) \).

Pero...¡ojo!... eso nos dice que \( \alpha \) no es un homeomorfismo; pero quizá todavía \( \alpha(\Bbb R) \) podría ser homeomorfo a \( \Bbb R \) a través de otro homeomorfismo, distinto de \( \alpha \).

Pero no lo es porque \( \alpha(\Bbb R)-\{(0,0)\} \) tiene tres componentes conexas; pero \( \Bbb R \) menos cualquier punto tiene sólo dos componentes conexas. Si fuesen espacios homeomorfos deberían de serlo menos un punto (pudiendo elegir cuál sólo en en uno de ellos); y espacios homeomorfos tienen las mismas componentes conexas.



Conclusión: \( \alpha(\Bbb R) \) y \( \Bbb R \) NO son homeomorfos. Pero como ves el motivo es bien distinto al que apuntabas.

Saludos.

Añadido: O también si le quitamos a la curva \( \alpha(\Bbb R) \) por ejemplo el punto \( (0,-4) \) (uno cualquiera en la zona del lazo), tiene ahora sólo una componente conexa y \( \Bbb R \) menos cualquier punto tiene dos componentes: de nuevo no pueden ser homeomorfos.

12
Hola

Hola a todos, estoy trabajando en lo siguiente pero me quedan algunas dudas, espero puedan ayudarme:

1. Sea \( U \subset \mathbb{R^{n}} \) abierto, \( \Phi: U\rightarrow{\mathbb{R^{m}}}  \) una contacción y  \( f: U\rightarrow{\mathbb{R^{n}}}  \) una aplicación.
Si \( f(x) = x + \Phi(x) \), entonces \( f  \) es un homeomorfismo de \( U \) sobre un abierto de \( \mathbb{R^{m}} \).

2. Corolario.  Sea \( U \subset \mathbb{R^{n}} \) abierto, \( f: U\rightarrow{\mathbb{R^{n}}}  \) una aplicación y \( \Phi: U\rightarrow{\mathbb{R^{m}}}  \) que satisface \( \left |{\Phi(x) - \Phi(y)}\right |\leq{\lambda\left |{x-y}\right |} \) con \( \lambda \left |{T^{-1}}\right |<{1} \) y  \( T \in GL(\mathbb{R^{m}}) \).
Si \( f(x)=Tx+\Phi(x) \), entonces \( f \) es un homeomorfismo de \( U \) sobre el abierto \( f(U) \) em \( \mathbb{R^{m}} \).

Las cuestiones que me quedaron fueron:
\( a. \) En el teorema (1) se prueba que \( f \) es un homeomorfismo y luego se procede a probar que \( f(U) \) es abierto, pero... ¿si \( f \) es un homoemorfismo no se sigue que es una función abierta? luego... ¿la imagen \( U \) al ser abierto no debería ser abierto?

Eso, sin más explicación no es inmediato.

Por ejemplo si tienes\(  f:\Bbb R\to \Bbb R^2 \) definida como \( f(x)=(x,0) \) es un homeomorfismo de \( U=\Bbb R \) en \( f(U)\subset \Bbb R^2 \), pero \( f(U) \) no es abierto de \( \Bbb R^2 \).

\( [tex]b. \) En el corolario se prueba que \( T^{-1}f \) es un homoemorfismo, pero de ahí no sé como concluir que \( f \) sea un homeomorfismo. [/tex]

Tendrías \( f=T\circ T^{-1}f \) homeomorfismo por ser composición de homeomorfismos; recuerda que toda transformación lineal biyectiva \( T \)es un homeomorfismo.

Saludos.

13
Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Problema de mezclas
« en: 18 Octubre, 2020, 12:26 pm »
Hola

Me ayudan en éste problema:

Se tiene 10 litros de solución alcohólica al 40% de pureza. Para obtener una solución al 60% de pureza. ¿Qué volumen de solución al 70% de pureza se debe agregar?

Gracias de antemano

Si comienzas con \( 10 \) litros al \( 40 \)% la cantidad inicial de alcohol es:

\( \dfrac{10\cdot 40}{100}=4 \) litros de alcohol en un total de \( 10 \) de solución

Si le añades \( x \) litros al \( 70 \)% la cantidad de alcohol que tienes es:

\( 4+\dfrac{70x}{100} \) en un total de \( 10+x \) de solución.

Cómo queremos que tenga \( 60 \)% de pureza:

\( 4+\dfrac{70x}{100}=\dfrac{(10+x)60}{100} \)

Saludos.

14
Temas de Física / Re: Problema de Cáida Libre
« en: 17 Octubre, 2020, 10:04 pm »
Hola

Estimados el siguiente problema dice:

Una pelota se deja caer desde una altura H,llega al suelo con una velocidad v.¿ Con que velocidad pasa por 1 / 2 H?

Las soluciones que dan son \( \displaystyle a = 0.5 v \),\( \displaystyle b = 0.25 v  \),\( \displaystyle c = v \),\( \displaystyle d= 0.707 v \)

En este problema tengo 2 alturas y 2 velocidades iniciales y 2 velocidades final,de acuerdo a la altura desde donde cae la pelota.

\( \displaystyle v_f1 = v_0 ( 2 \cdot g \cdot  h )  \)

\( \displaystyle  v_f2 = v_0 (g \cdot h ) \)

Me llama la atención como llego a cualquiera de estos resultados.

La velocidad inicial es cero. Si llamas \( x \) a la velocidad cuando la altura es la mitad tienes:

\( v^2=2gh \)
\( x^2=2g(h/2) \)

Concluye.

Saludos.

15
Hola

Buenas tardes, no sé como probar que sea \( X=\left\{ x\in \mathbb{K}^\mathbb{N} : \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\left |{x(n)}\right |}{n}< \infty \right\} \) con la norma \( \left\|{x}\right\|=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\left |{x(n)}\right |}{n} \ \ \forall x \in X \) donde \( \mathbb{K}^\mathbb{N} \) es el espacio de todas las sucesiones escalares. \( X \) es un espacio de Banach.

Lo necesito para aplicar un teorema, pero me gustaría aprender a probarlo, por si me aparece otro caso similar en otro problema.

Supongo que lo que más dificultad puede causarte es la completitud. Las ideas son las mismas que para \( l^1 \):

https://www.math.upenn.edu/~kazdan/508F08/completeness-l_1.pdf

Saludos.

16
Cálculo de Varias Variables / Re: Conjuntos abiertos.
« en: 17 Octubre, 2020, 09:06 pm »
Hola

Gracias Fernando, su demostración me ha quedado clara.
           Con respecto a la demostración de delmar:

            me gustaria preguntar si es verdadero lo siguiente:

           \(  D_{s´}(x)\subset{D_{r}(x_0)}\Leftrightarrow{\forall{x´}(x´\in{D_{s´}{(x)}}\longrightarrow{x´}\in{D_{r}(x_0))}} \)   \( D_{s´}(x)\neq{D_{r}(x_0)}  \)

 Sobra la parte en rojo; de hecho no sé a que viene.

 Simplemente y en general un conjunto es subconjunto otro si todo elemento del primero es elemento del segundo.

Citar
Me gustaría también preguntar en el caso geométrico:

La circunferencia interior de radio \(  s   \), siempre se puede hacer tangente en un sólo punto a la circunferencia exterior de radio \(  r   \).¿ Me refiero a que los puntos frontera se de ambas circunferencias siempre se puede lograr que sean iguales en un sólo punto?

Antes de nada vaya por delante que "el caso geométrico" da la idea para resolver en problema en cualquier espacio métrico, por abstracto que sea. Es decir es la idea intuitiva que puede haber detrás de la demostración de Fernando.

Respecto a si siempre se puede tomar una bola abierta que toque a la frontera de la mayor en un sólo punto, piensa (y/o dibuja) que ocurre en el plano con la norma infinito, donde las bolas son cuadrados.

Saludos.

17
Probabilidad / Re: ¿Cómo demuestro esta igualadaD?
« en: 17 Octubre, 2020, 09:01 pm »
Hola

\( \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X|Y))^2]= \mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)^2] \)


Si hago a \( \mathbb{W}= \mathbb{E}(X|Y) \)] y uso \( \mathbb{E}(h(Y)X|Y)=h(x)\mathbb{E}(X|Y) \)
tengo que: \( \mathbb{E}(X\mathbb{W})= \mathbb{E}(\mathbb{E}(X\mathbb{W}|Y)) \rightarrow  \mathbb{E}(\mathbb{E}(X\mathbb{E}(X|Y)|Y))  \)
Pero hasta ahí no sé cómo continuar o si lo estoy planteando mal  :banghead:

Utiliza que:

\( \Bbb E[X\Bbb E[X|Y]]=\Bbb E[\Bbb E[X\Bbb E[X|Y]|Y]]=\Bbb E[\Bbb E[X|Y]^2] \)

Saludos.

18
Geometría y Topología / Re: Formula de Grassmann
« en: 17 Octubre, 2020, 08:41 pm »
Hola

Sean \( \Lambda_1: x_1-x_6=x_2-x_5=x_3-x_4=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_3-x_5+x_6=x_4+x_5-2x_6=0 \) en \( \mathbb{P}_{\mathbb{R}}^5 \). Calcular \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2) \) y \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \).

Hola, por la formula de Grassmann tenemos que \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1+\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2-\dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \), de donde se tiene que \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1=5-3=2 \), \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2=5-2=3. \) Luego, \( \Lambda_1\cap \Lambda_2: x_1=x_6, x_2=x_5, x_3=x_4 \), y \( \color{blue}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\\{x_5}\\{x_6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\
{0}&{1}\\
{2}&{-1}\\
{2}&{-1}\\
{0}&{1}\\
{1}&{0}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix}\color{black} \) se tiene el sistema de 2 ecuaciones y 6 variables. Por tanto, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2)=5-4=1. \) Luego, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=2+3-1=4. \) ¿Esta bien?

El resultado es correcto; pero es raro como has redactado la solución.

Lo que está en rojo no son las ecuaciones de la intersección, sino solo de \( \lambda_1 \).

Para la intersección tendrías que añadir las de  \( \lambda_2 \). Entonces verías que entre todas hay una dependiente y por tanto cuatro independientes.

De ahí deducirías lo que has escrito:

\( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2)=5-4=1. \)

Luego, lo que he marcado en azul son las paramétricas de la intersección que en realidad no te las piden.

Saludos.


19
Cálculo 1 variable / Re: Elevación y curvatura
« en: 17 Octubre, 2020, 08:30 pm »
Hola

Vi esta definición, la función \( f \) tiene más curvatura que la función \( g \) si \( f(p+a)-f(p)>g(p+a)-g(p) \) en el intervalo \( [c,d] \) con \( p,p+a \in [c,d], \) \( a>0. \) Cómo se relaciona esta definición con la discusión anterior?

Ahí lo que está diciendo es que la función \( f \) crece más que la \( g \) en cualquier intervalo contenido en \( [c,d] \); si son derivables sino me equivoco eso equivale a que \( f'\geq g' \).

Saludos.

20
Probabilidad / Re: Problema de Función de Distribución Acumulada
« en: 17 Octubre, 2020, 08:18 pm »
Hola

\( f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             \frac{x^3}{8} &   si  &  0\leq{}x<? \\
             
             \end{array}
   \right. \)
La pregunta asociada a esta función de densidad es la siguiente:
El retraso en minutos que le toma a un avión salir del aeropuerto cubriendo cierta ruta comercial, se puede comportar como una variable aleatoria con la función antes descrita.
Ahora lo que se pide es: El valor máximo en minutos que puede tardar el avión en salir del aeropuerto.

Ojo, porque eso es una función de densidad mientras que antes era una función de distribución. Ahora lo que tiene que cumplirse es que en su soporte la integral sea uno. Es decir el límite \( a \) tiene que verificar:

\( \displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^3}{8}dx=1 \)

Saludos.

Páginas: [1] 2 3 4 ... 2335